Fordított inga

Fordított inga
Feladat:
Egy fordított inga egyensúlyban tartása egy mozgó kocsin, amely csak előre és
hátra mozoghat „v” sebességgel, ami a kimenete lesz a vezérlőnek.
A bemenő jelek az „α” szög illetve a „szögsebesség”
Definiáljuk a mozgásokat = fuzzifikáció
Hátra gyors (cián) Előre gyors (magenta) Áll (piros)
Hátra lassú (zöld) Előre lassú (kék)
α

Felállítjuk a Fuzzy halmazokat (fuzzifikáció) a bemenetekre is: az α
szögre és a szögsebességre is:
α Szögek Fuzzy halmazai:
Szögsebességek Fuzzy halmazai

Felállítjuk a Fuzzy szabályokat:
Példaként kettőt leírok, a többit táblázatban, (ezek a klasszikus HA,.. Akkor
szabályok, ÉS kapcsolatban)
1. HA a bezárt szög „0” ÉS a szögsebesség is „0”, AKKOR a sebesség is legyen „0”
2. HA a bezárt szög „0” ÉS a szögsebesség „előre lassú”, AKKOR a sebesség is legyen „előre lassú”.
Táblázatban (szabálybázis)
összefoglalva a lehetőségek:
ANTECEDENSEK KONZEKVENSEK
Sebességek
S
Z
Ö
g
S
E
B
E
S
S
É
G
Hátra
gyors
Hátra
lassú
nulla
Előre
lassú
Előre
gyors
Hátra
nagy
Hátra
gyors
Hátra
kicsi
Hátra
lassú
nulla
Bezárt szögek
nulla
Hátra
gyors
Hátra
lassú
nulla
Előre
lassú
Előre
gyors
Előre
kicsi
nulla
Előre
lassú
Előre
nagy
Előre
gyors

A folyamat leírása egy konkrét érték segítségével:
Egy konkrét érték ábrázolása a
szögsebességre:
0,75
0,25
Egy konkrét érték ábrázolása a
bezárt α szögre
0,6
0,4

Nézzük a konkrét szabályt:
1. HA a bezárt szög „0” ÉS a szögsebesség is „0”, AKKOR a sebesség is legyen „0”
Megállapítottuk, hogy a valóságban bezárt szögünk (lásd
ábra), a 0,75-ös tagsági értéknek felel meg. (vagyis annak az
igazságtartalma, hogy a bezárt szögünk „0” = 0,75 – vagyis elég kicsi
szögről van szó.)
Nézzük mi a Fuzzy „0” - ba tartozó bezárt szögek halmaza.
Látunk az ábrán egy 0-hoz közel álló értéket.

Ugyanezt megnézzük a szögsebességre:
A majdnem „0”
szöghöz, 0,75 értékű
tagsági függvény
tartozik.
A majdnem „0”
szögsebességhez, 0,4
értékű tagsági függvény
tartozik.

(1.) A két halmaz közti ÉS kapcsolat és az 1. variációra
{(min(0,75;0,4)} vonatkozó kimeneti sebesség-érték:
Mivel a szabályban a két halmaz ÉS kapcsolattal kapcsolódik (t=min(a,b) ami a konkrét adatokkal:
min(0.75,0.4) = 0,4. Vagyis a függvény kimenete a „Fuzzy-s nulla” sebesség tagsági f. értéke =0,4.

(2.) A két halmaz közti ÉS kapcsolat és a 2. variációra
{(min(0,75;0,6)} vonatkozó kimeneti sebesség-érték:
0,6
0,75
min

(3.) A két halmaz közti ÉS kapcsolat és a 3. variációra
{(min(0,25;0,4)} vonatkozó kimeneti sebesség-érték:
0,4
0,25
min

(4.) A két halmaz közti ÉS kapcsolat és a 4. variációra
{(min(0,25;0,6)} vonatkozó kimeneti sebesség-érték:
0,6
0,25
min

Az eredmények összefoglalva:
min(0,75;0,4)=0,4
(1.) HA a bezárt szög „0” ÉS a
szögsebesség is „0”, AKKOR a
sebesség is legyen „0”
min(0,25;0,4)=0,25
(3.) HA a bezárt szög „előre kicsi” ÉS a
szögsebesség „0”, AKKOR a
sebesség is legyen „előre lassú”
min(0,75;0,6)=0,6
(2.) HA a bezárt szög „0” ÉS a
szögsebesség „hátra lassú”,
AKKOR a sebesség is legyen „
hátra lassú”
min(0,25;0,6)=0,25
(4.) HA a bezárt szög „előre kicsi” ÉS a
szögsebesség „hátra lassú”,
AKKOR a sebesség is legyen „0”

A négy kimenet ábrázolva egy halmazba (Mamdami halmaz):
0,6
0,4 (és 0,2 is de a nagyobb „letakarja” a kisebbet)
0,25
A végeredmény egy összetett Fuzzy halmaz (Mamdani féle
eljárás – Mamdani féle Fuzzy halmaz – Mamdani féle szabályzás).
Amennyiben a végeredményt egy számmal szeretnénk
kifejezni, defuzzifikáció-t kell alkalmaznunk, melynek
egyik lehetséges módszere a az ún. súlypontmegadás.

Defuzzifikáció:
Defuzzifikációs eljárások:
Maximális tagsági értékű elem
Maximumok átlagolásának módszere
Súlypont keresésének módszere
Egyszerűsített súlypontkeresés
Defuzzifikálás korlátozással
Defuzzifikálás egyenlő területfelosztással (Jager)

Maximális tagsági értékű elem:
µµµµ(x)
x M
X
A maximális tagsági értékhez tartozó alaphalmazbeli érték (x M ).
x M =hgt(X)=supµ x (x), ahol x∈X
Amennyiben több maximális értéket is tartalmaz az alaphalmaz, akkor a megoldásra több stratégia is
létezik (xM ):
µµµµ(x)
Véletlenszerűen választunk a maximumok között
Mindjárt az első maximumot választjuk
Az utolsó maximumot választjuk, …
(Az első és utolsó időbeli sorrendben is lehet)
Sajnos ilyen esetekben van mikor a megoldás
nem teljesen egyértelmű!
Trapéz alakú tagsági függvénynél az intervallum
közepét vesszük megoldásnak.
µµµµ(x)
x első
x M
x M
X
x utolsó
X

Maximumok átlagolása:
Legyen:
µµµµ(x)
xM (1) xM (2) …. xM (n)
x M (1)=15, x M (2)=17, x M (3)=21;
X
M
15 + 17 + 21
=
=
3
17,
66
A maximális tagsági értékű elemek helyett, azok átlagát választja (x M ).
X
X
M
n
∑
i=
= 1
x
n
M
( i)
Sajnos itt olyan érték is kijöhet, melynek kevés köze van a
legjellemzőbb Fuzzy halmazra, vagy olyan is, ahol az
X M =µ(x) minimum

Súlypont kiválasztás: Egyszerűsített
súlypontkiválasztás:
Diszkrét alakban:
x M
µµµµ(x)
1
(Amennyiben „x” csak diszkrét
értékeket vehet fel.)
Folytonos alakban:
x
M
x
=
M
∫
X
=
∫
X
∑x
∑
∈X
x∈X
µ ( x).
x dx
µ ( x).
dx
µ ( x).
x
µ ( x)
Amennyiben a kimenő Fuzzy halmaz az összetevő
halmazok uniójából tevődik össze és ismeretesek az
összetevő halmazok legfőbb jellemzői, akkor az
összetevőket a jellemzők függvényében
súlyozhatjuk.
x = x ∪ x ∪...
w
x
x
i
i
M
=
=
∑
∑x
∑
=
1
2
x∈X
∈X
x∈X
∑i∈[
∑
µ ( x)
µ ( x).
x
xi
µ ( x)
1,
n]
xi
xi
i∈[
1,
n]
w . x
i
w
i
i
x
n
………. : összetevők
………. : súlyozások
………. : legjellemzőbb elemek
………. : súlyozott súlypont

Defuzzifikálás korlátozással:
Amennyiben a kimenő Fuzzy halmazaink diszkrét halmazok, előfordulhat, hogy az előző módszerek
olyan eredményt adnak, hogy az érték nem is lesz része a halmaznak (x M’ ). Ilyen esetekben
korlátozhatjuk (behatárolhatjuk) a kimenő „script” értékünket.
µµµµ(x)
x (1)
x M
x M’
Ilyenkor letiltunk bizonyos tartományokat, és amennyiben elemünk ebbe a tartományba esne, akkor
eredményként a hozzá legközelebb eső tartományon kívüli elemet kell választani (x M ).
x (2)
X

Defuzzifikálás egyenlő területfelosztással:
A módszer lényege, hogy két egyenlő nagyságú területre osztjuk fel a kimenő alakzatunkat, és a
középvonal megadja a kimenő „crisp” értékünket.
µµµµ
(A szürke és fehér területek egyforma nagyságúak.)
x
x
M
∫
min
max
µ ( x ) dx = µ ( x)
dx
x
x
x
∫
M
x
Az eddigi eljárások síkbeli defuzzifikációt (1 típusú Fuzzy logikai rendszer) feltételeztek. Természetesen
mindezeket az eljárásokat 2 típusú Fuzzy logikai rendszerekre is kibővíthetjük (térbeli). Lásd erre az
esetre:
∫∫ µ ∫∫
x,
y ( x , y)
dxdy = µ x,
y ( x,
y)
dxdy
xmin
→xM
xM
→xmax
y →y
y → y
min
M
M
1
y
x min
max
x M
x max

Fuzzy szabályzás és környezete:
Fuzzy Fuzzy szabályzó
szabályzó
Fuzzy
„aritmetiai”
i(t) e(t) u(t)
egység
Szabálybázis
Egy Fuzzy szabályzó tervezésének lépései:
Irányított
folyamat
Érzékelők
1. A rendszer bemeneteinek/kimeneteinek meghatározása 2. Bemeneti Fuzzy halmazok felállítása (Fuzzifikáció)
3. Szabálybázis felállítása 4. Defuzzifikációs módszer kiválasztása
5. Rendszer futtatása egy szimulációs környezetben 6. Rendszer végleges dokumentálása
o(t)

Fuzzy szabályzás összefoglalása:
A legszembetűnőbb különbség a Fuzzy és konzervatív irányítás között a bemenetekben és a
döntéshozó mechanizmusokban van. Míg a klasszikus szabályzásnál egy bemenő változó alapján
hozzuk meg a döntést, a Fuzzy vezérlésnél több bemenetet (szög, szögsebesség) veszünk figyelembe,
melyek átfedésben vannak (átfedés→únió/metszet) és mindegyik bemenet valamely módon (lásd kimeneti
halmaz=bemenetek uniója/metszete) „részt vesz” a kimeneti „crisp” érték meghatározásában. Így a
szabályzás átmenetei „lágyabbak” lehet, mint a klasszikus esetben.
A Fuzzy szabályzással a nyelvi meghatározásokat tudjuk modellezni, és ezek alapján tudunk egy
vezérlőt építeni, míg a klasszikus szabályzókhoz matematikai modellek, meghatározások (általában
differenciális egyenletek formájában) kellenek.
A Fuzzy szabályzásnál a döntéshozatal egy szabálybázis alapján történik (a szabálybázis módosítható – sőt
folyamat közben is módosítható ⇒ öntanuló „adaptív” rendszerek).
Költség szempontjából a klasszikus vezérlésnél a matematikai modell felállítása komoly számítási
igényeket támaszthat (magas számítási költség), míg a Fuzzy modell az olcsóbb megoldásokra kínál
lehetőséget.
A Fuzzy vezérlőknél a bemenetekre illetve kimenetekre leggyakrabban a 7 változós modell alkalmazott:
Kicsit negatív közepesen negatív nagyon negatív
Nulla
Kicsit pozitív közepesen pozitív nagyon pozitív
Utána ezekkel az értékekkel van felállítva a szabálybázis.

Gyakorlásra szolgáló feladatok:
1. Példa (Otthoni gyakorlásra – Házi feladat!)
Építsen egy Fuzzy szabályzót amely a fékezés nyomóerejét a fékbetétek hőmérséklete és a
sebesség alapján szabályozza.
Bemenetek: hőmérséklet, sebesség
Kimenet: nyomóerő
Fuzzifikáció: Bemenetek:
A bemenő hőmérséklet „Fuzzifikálása”
hőmérsékletre: hideg, langyos, névleges, meleg, forró
sebességre: áll (nulla), lassú, közepes, gyors, nagyon gyors
Kimenetre: nagyon csökkent, kicsit csökkent, 0 (nem változik), kicsit növel,
nagyon növel

Szabályrendszer felállítása:
A szabályrendszert a felállított „fuzzifikált” bemenetekből és kimenetekből állapítjuk meg.
A fuzzifikálást úgy végezzük, hogy maximum kettő halmazbeli (tagsági függvénybeli) átfedések legyenek
(lásd előző példa: hőmérsékletek fuzzifikálása)
Példa a szabályrendszer felállítására:
1. HA a hőmérséklet hideg, ÉS a sebesség nulla, AKKOR a nyomóerő legyen nulla.
2. HA a hőmérséklet hideg, ÉS a sebesség lassú, AKKOR a nyomóerő legyen kicsit növel.
3.
4.
Ha végigvisszük az összes lehetséges variációt, akkor 5x5 szabályt állíthatunk fel (ezeket érdemes
táblázatban összefoglalni!).
Defuzzifikáció megállapítása:
Válasszuk a súlypontkereséses defuzzifikációs módszert a kimeneti érték megállapítására!

Gyakorlásra szolgáló feladatok:
2. Példa – Otthoni feladatok – Házi feladat!
Készítsük el egy gőzturbina Fuzzy szabályzását, ahol a bemenő változóink legyenek a nyomás
és hőmérséklet, a kimenő változó pedig a turbina sebessége. A sebesség lehet negatív is
(fékező üzem), így a kimenő változó a következőképpen „fuzzifikálható”:
Nagyon negatív (N3) közepesen negatív (N2) kicsit negatív (N1)
Nulla (0)
Kicsit pozitív (P1) közepesen pozitív (P2) nagyon pozitív (P3)
A működés blokkábrája:
A blokkábrából látható a bemenő
változók „fuzzifikálása”!

Szabályrendszer felállítása:
1. HA a hőmérséklet langyos (cood), ÉS a nyomás gyenge (weak), AKKOR a sebesség legyen P3.
2. HA a hőmérséklet langyos (cood), ÉS a nyomás alacsony (low), AKKOR a sebesség legyen P2.
3. HA a hőmérséklet langyos (cood), ÉS a nyomás o.k., AKKOR a sebesség legyen Z.
4. HA a hőmérséklet langyos (cood), ÉS a nyomás erős (strong), AKKOR a sebesség legyen N2.
5. …
6. ..
.
.
Példaként nézzük meg a kimeneteket, ha a hőmérsékletünk langyos (cool) és a nyomásunk
alacsony (low), illetve o.k. (rendben) állapotokban vannak.

Kimenetek felállítása:
Ezekben az esetekben csak a 2. illetve a 3. szabály
érvényes
1. ….
2. HA a hőmérséklet langyos (cood), ÉS a nyomás
alacsony (low), AKKOR a sebesség legyen P2.
3. HA a hőmérséklet langyos (cood), ÉS a nyomás
o.k., AKKOR a sebesség legyen Z.
4. …

Kimenő halmaz a 2. szabályra:

Kimenő halmaz a 3. szabályra:

A végleges kimenő halmaz
és a kimeneti érték:
A „defuzzifikálást” (a végleges „crisp”
eredményt) ebben az esetben is a
súlypontkereséses módszer segítségével
végeztük.