Jegyzet kezdemény (BMEGEÁTMO10 ... - BME Áramlástan Tanszék

c○Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 

Turbulencia és modellezése jegyzet 

Lohász Máté Márton, Régert Tamás 

Áramlástan Tanszék 

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 

Budapest, 2010. tavasz 

Frissítve: 2010. október 13. 

Vázlat verzió 

Saját használatra


Tartalomjegyzék 

1. Bevezetés 1 

1.1. Turbulens áramlások tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.1.1. Nagy Reynolds szám esetén lép föl . . . . . . . . . . . . 1 

1.1.2. Rendezetlen és kaotikus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.1.3. 3D jelenség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.1.4. Instacionárius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.1.5. Örvényes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.1.6. Kontinuum jelenség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.1.7. Disszipatív . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.8. Diffúzív . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.9. Sok skála folytonosan van jelen . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.10. Történelme van, tehát a turbulencia nem létezik . . . . . . 3 

1.2. Jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2.1. A Navier-Stokes egyenlet példája . . . . . . . . . . . . . 4 

2. Statisztikai leírásmód 5 

2.1. Statisztikai szemlélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.1.1. Determinisztikus folyamat miért lehet véletlenszerű? . . . 5 

2.2. Statisztikai megvalósulások jelölése . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.3. Valószínűségszámítás ismétlés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.3.1. Sűrűség függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.3.2. Várható érték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.3.3. Fontos tulajdonság a linearitás . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2.3.4. Ingadozás átlaga zérus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2.3.5. A Reynolds átlag csak egyszer hat . . . . . . . . . . . . . 7 

2.3.6. Reynolds felbontás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2.3.7. Szórás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2.3.8. n-ed rendű centrális momentumok . . . . . . . . . . . . . 7 

2.3.9. Normál eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.3.10. Torzultság (Skewness) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.3.11. Lapultság (flatness, kurtosis) . . . . . . . . . . . . . . . . 8 


Saját használatra 

i


TARTALOMJEGYZÉK ii 

2.4. Ergodicitás hipotézis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.5. Statisztikai és időátlag kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.6. Többváltozós valószínűségek, sűrűségfüggvények (feltételes valószínűség) 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.6.1. Feltételes valószínűség sűrűség függvény . . . . . . . . . 10 

2.7. Korrelációs függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.7.1. Példa1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.7.2. Példa2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.8. Integrál léptékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.8.1. Hosszléptékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.8.2. Időlépték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.9. Taylor-féle fagyott örvény hipotézis . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

3. Reynolds egyenlet 14 

4. A Reynolds feszültség tenzor tulajdonságai 16 

4.1. Szimmetrikus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

4.2. Feszültség típusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

4.2.1. A turbulens kinetikus energia . . . . . . . . . . . . . . . 16 

4.2.2. Motivációs példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

4.3. Anizotrópia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

4.3.1. Reynolds feszültség tenzor saját koordináta rendszerben . 20 

4.3.2. A Reynolds feszültség tenzor szimmetrikus áramlásra és 

2D-re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

4.3.3. Lumley háromszög (1978) . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

5. A Reynolds feszültség tenzor és k transzport egyenlete 24 

5.1. Az átlagsebesség mozgási energiájának transzport egyenlete . . . 25 

5.2. Reynolds feszültség transzport egyenlet . . . . . . . . . . . . . . 26 

5.2.1. Viszkózus tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

5.2.2. k transzport egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

5.2.3. Produkció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

5.2.4. A sebesség-nyomásgradiens tenzor . . . . . . . . . . . . 27 

5.3. A transzport tagok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

5.4. A nyomás hatásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 


6. A turbulencia léptékei 29 

6.1. Az energia kaszkád . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

6.2. A Kolmogorov hipotézisek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

6.3. Az energia spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

6.3.1. Egy modell spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

Saját használatra


TARTALOMJEGYZÉK iii 

6.4. A spektrum Reynolds szám függése . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

7. Önhasonlóság 35 

8. Határréteg egyenlet 36 

9. Szabad nyíróréteg áramlások 39 

9.1. Hengeres szabadsugár . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

9.1.1. Energia mérleg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

9.2. Sík keveredési réteg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

9.3. Sík nyom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

9.4. Axiszimmetrikus nyom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

9.5. Homogén nyírás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

9.6. Rács turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

10. Fali áramlások 62 

10.1. Csatorna áramlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

10.1.1. Az átlagsebesség profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

10.1.2. A faltörvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

10.1.3. Sebesség defekt függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

10.1.4. A logaritmikus faltörvény tulajdonságai . . . . . . . . . . 70 

11. A koherens struktúra koncepció 71 

11.1. Áramlások lokális jellemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

11.2. Koherens struktúra, örvény detektálás . . . . . . . . . . . . . . . 72 

11.2.1. Örvényesség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

11.2.2. Diszkrimináns kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

11.2.3. Q kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

11.2.4. λ2 kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

11.2.5. Kritériumok és a koherencia . . . . . . . . . . . . . . . . 75 


12. A RANS modellezés 76 

12.1. Örvényviszkozitás modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

12.1.1. Az összefüggés lokális . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

12.1.2. Az összefüggés lineáris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

12.2. Az örvényviszkozitás meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

12.2.1. keveredési úthossz modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

12.2.2. k-epszilon modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

12.2.3. A k-epszilon modell tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . 82 

Saját használatra


TARTALOMJEGYZÉK iv 

13. A nagy örvény szimuláció 86 

13.1. DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

13.2. A nagy örvény szimuláció alapgondolata . . . . . . . . . . . . . . 87 

13.3. A LES egyenlet levezetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

13.3.1. A szűrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

13.3.2. A szűrt egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

13.3.3. Örvény viszkozitás modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

13.3.4. Méret hasonlóság (scale similarity) modell . . . . . . . . 92 

13.3.5. A dinamikus modellezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

13.3.6. Numerikus szempontok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

13.4. Permfeltételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

13.4.1. Periodikus perem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

13.4.2. Belépő perem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

13.4.3. Fali perem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 

13.4.4. Példa szükséges cellaszámra . . . . . . . . . . . . . . . . 96 


Saját használatra


1. fejezet 

Bevezetés 

E tárgy keretein belül végig a ρ = konst. és a ν = konst. feltevéssel élünk, így 

nem lesz szó a sűrűség különbség keltette turbulenciáról se, és a turbulencia és 

lökéshullámok kölcsönhatásáról se. Ezenkívül a térerő hatásától is eltekintünk, ha 

nincs szabad vízfelszín akkor potenciális erőtérben ez nem csökkenti az általánosságot. 

A turbulenciát matematikai értelemben eddig nem sikerült definiálni, habár 

stabilitás elmélet jellegű definiciót talán bonyolult eszközrendszerrel lehetne adni. 

Ennek ellenére mérnöki szempontból általában könnyen el tudjuk dönteni, hogy 

turbulens vagy lamináris áramlásról van-e szó. 

1.1. Turbulens áramlások tulajdonságai 

Alábbiakban összefoglaljuk néhány fontos tulajdonságát a turbulens áramlásoknak, 

melyek szinte definicióként is alkalmazhatóak. Ezek némelyikét a kurzus 

során részletesebben és világosabban is tárgyalunk majd, ha meg lesz hozzá az 

eszközrendszer. 


1.1.1. Nagy Reynolds szám esetén lép föl 

Mivel a Reynolds szám (Re) a tehetetlenségi és a viszkózus (súrlódásól származó) 

erők hányadosaként is értelmezhető, így turbulens áramlás olyan ahol a tehetetlenségi 

erők dominálnak a súrlódási erők felett. Ezzel szemben súrlódás mentes 

áramlásnál nem beszélünk turbulenciáról. 


1


1. FEJEZET. BEVEZETÉS 2 

1.1.2. Rendezetlen és kaotikus 

Ez a tulajdonság tulajdonképpen azt jelenti, hogy a folyamat nagyon érzékeny a 

kezdeti és/vagy peremfeltételekre. A megnevezés a dinamikus rendszerek elméletéből 

jön, a turbulenciát is próbálják ilyen szemmel nézni ámde, mivel itt végtelen 

dimenziós térrel állunk szemben a kezelés sokkal nehezebb így komolyabb eredményeket 

nem sikerült ezidáig elérni. Tulajdonképpen ez lehetne a turbulencia 

definiciója, ha pontosan meg tudnánk fogalmazni milyen téren értjük a stabilitást. 

Mindenesetre, ahogy látni fogjuk ez a szemlélet segít világosan elkülöníteni az 

instacioner lamináris áramlást a turbulenstől. 

1.1.3. 3D jelenség 

A 3D térben lezajló turbulens áramlás lényegét tekintve különbözik a 2D térben 

létrejövőtől, mivel az örvényesség csak 3D áramlás esetén növekedhet a tér belsejében 

az örvényesség megnyúlása következtében. Ezt akár az áramlástanban tanult 

Helmholtz II. tétel segítségével is beláthatjuk, ha 2D az áramlás egy zárt örvényvonal 

által közbezárt felület állandó, így a tétel szerint az átlagos örvényesség is, 

míg egy áramlással egyirányú örvénycső csak 3D-ben létezhet (az örvényesség 

2D-ben mindig az invariáns irányba mutat). Ezen örvénycsőnek változhat a keresztmetszete, 

így növekedhet az örvényesség is. Ez fontos szerepet kap turbulens 

áramlásokban, így mérnöki szempontól azt mondhatjuk, hogy csak 3D-s turbulencia 

van. 

1.1.4. Instacionárius 

A turbulencia mindig időfüggő jelenség, ahogy ezt korábban is tanultuk. 

1.1.5. Örvényes 


Turbulens áramlásban örvényesség mindig jelen van. 

1.1.6. Kontinuum jelenség 

Fontos tulajdonság, hogy a turbulencia leírható a kontinuum hipotézisen alapuló 

Navier-Stokes egyenlettel, ellentétben azzal a korábban tett feltevéssel szemben, 

hogy a turbulencia a molekuláris szintről táplálkozik. Ennek a tulajdonságnak fontos 

következménye, hogy a Navier-Stokes egyenleten alapuló numerikus szimulációkkal 

(DNS=Direct Numerical Simulation) a turbulencia tanulmányozható. 

Saját használatra



1.1.7. Disszipatív 

Az áramlásban a mozgási energia a súrlódás következtében folyamatosan hővé 

alakul, így zárt rendszer energia bevitel nélkül idővel nyugalomba kerül. Ez a 

tulajdonság megkülönbözteti a turbulenciát a hullámmozgásoktól. 

1.1.8. Diffúzív 

A turbulens áramlásokban az impulzus vagy bármilyen skalár keveredése felerősödik, 

hasonlóan mintha a megfelelő vezetési tényező (pl. viszkozitás az impulzusra, 

hővezetési tényező a hőmérsékletre) megnőne, de ennek nem anyagtulajdonságbeli 

hanem áramlástani okai vannak, azaz a turbulencia növeli a keveredést. 

Általunk már korábbról ismert példa erre, hogy megnő a csősúrlódási (hőátadási) 

tényező ha lamináris áramlásból turbulensbe térünk át (λ = 64 0,316 

, Re Re0.25 ). 

1.1.9. Sok skála folytonosan van jelen 

A turbulens áramlásban mindig sok skálájú mozgás van jelen, ezek folyamatosan 

egymásba alakulnak, így világosan elkülönül egy hangszer hangjától, ahol al- és 

felharmonikusok dominálnak. 

1.1.10. Történelme van, tehát a turbulencia nem létezik 

Mivel a turbulens áramlás az előzményektől (mind időben, mind térben) függ, 

így mindig csak az adott turbulenciáról lehet beszélni, ennek ellenére lehet és 

érdemes a turbulens áramlásokat osztályozni (fali turbulencia, szabad nyiróréteg 

turbulencia stb.). 

1.2. Jelölések 


A koordináta rendszert a másol is megszokott módon: x1, x2, x3 vagy máskor 

x, y, z, a sebességeket egyrészt u1, u2, u3 , vagy máskor u, v, w-vel jelöljük. A 

koordináta rendszert, ha konkrét áramlásról van szó úgy választjuk, hogy az első 

koordináta irány a fő áramlás iránya, a második pedig ennek a gradiensével 

párhuzamos (a kettő egymásra merőleges), a harmadik irányt pedig a jobbsodrású 

koordináta rendszer adja. Tipikus alkalmazási példa a fal melletti áramlás, ahol 

x az áramlás iránya és u az ez-irányú sebesség, y a faltól mért távolság és v az 

ez-irányú sebesség, z és w pedig ezekre merőleges. 

Saját használatra



1.2.1. A Navier-Stokes egyenlet példája 

A kontinuitás egyenletet a következő alakban tanultuk: 

ha ρ = konst., akkor 

∂ρ 

∂t 

A mozgás egyenlet x komponense: 

∂vx 

∂t 

+ vx 

∂vx 

∂x 

+ vy 

∂vx 

∂y 

+ vz 

+ div(ρv) = 0 (1.1) 

divv = 0 (1.2) 

∂vx ∂p 

= −1 + ν 

∂z ρ ∂x 

� 2 ∂ vx 

∂x2 + ∂2vx ∂y2 + ∂2vx ∂z2 Vezessük be a következő egyszerűsítő jelöléseket a parciális deriváltakra: 



∂t 

∂i 

def 

= 

∂ 

∂t 

def 

= 

∂ 

∂xi 

� 

(1.3) 

(1.4) 

(1.5) 

Továbbá vezessük be az Einstein-féle összegzési konvenciót, miszerint ha két azonos 

index szerepel egy szorzatban akkor arra az indexre a tér dimenzióinak megfelelő 

számban összegezni kell, például: 

def 

aibi = 

3� 

i=1 

aibi 

(1.6) 

Ezen szabályok együttes alkalmazásával a kontinuitás egyenlet rendkívül egyszerűen 

írható (a sebességek jelölésénél pedig, ahogy korábban említettük áttérünk 

az ui jelölésre): 

∂iui = 0 (1.7) 

A Navier-Stokes egyenletek még nagyobb mértékben egyszerűsödnek, mivel 

mindhárom komponens együtt írható: 

∂tui + uj∂jui = − 1 

ρ ∂ip + ν∂j∂jui 

(1.8) 

Az elkövetkező órákon meg fogjuk látni, hogy ezen egyszerűsítő jelölések még 

fontosabbá válnak, mivel jelentősen bonyolultabb, hosszabb egyenleteket fogunk 

levezetni, elemezni.


2. fejezet 

Statisztikai leírásmód 

Alapáramlástanban a turbulens áramlásokat időátlagukkal és az attól való eltéréssel 

(ingadozással) jellemeztük. Az időátlagolás definíciója zavarossá válhat – sok 

esetben – ha az áramlás statisztikai értelemben nem stacioner. 

át. 

– Turbulens csőáramlás (Re >> 2300), amit pl. egy dugattyús szivattyú hoz 

létre, azaz van egy a turbulens ingadozásoktól elkülönülő instacinaritás. 

– Henger körüli áramlás Re = 10 5 esetén, szabályszerűen leváló (St = 0.2) 

örvénysor alakul, amely azonban turbulens. 

Ilyen esetekben nehéz szétválasztani a „sima” instacionaritást és a turbulenci- 

2.1. Statisztikai szemlélet 

A turbulens áramlást mint statisztikus jelenséget tekinthetjük, ha bevezetjük a különböző 

kísérletek fogalmát. Például ugyanazt az áramlást vizsgálhatunk a szélcsatornában 

az év különböző napjain, például egy Re = 105-s henger körüli áramlást. 

Ha mindig ugyanazt a kísérletet is végezzük az eredmény statisztikai jelleget 

mutat. 


2.1.1. Determinisztikus folyamat miért lehet véletlenszerű? 

Fölmerül a kérdés, ha pontosan ugyanazt a kísérletet végezzük el, miért különbözhet 

az eredmény miközben a leíró N-S egyenletrendszer teljesen determinisztikus. 

A válasz a turbulencia kaotikus tulajdonságában rejlik, mivel praktikusan soha 

nem adható meg teljesen azonos kezdeti és/vagy peremfeltétel a megoldás más 


5


2. FEJEZET. STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD 6 

lesz és mivel a rendszer nagyon érzékeny a perem és/vagy kezdeti feltételekre a 

megvalósulások teljesen letérnek egymástól, statisztikailag leírhatóak. 

RAJZ ARRÓL, HOGY MIKÉNT FÜGG A PROFIL CSŐÁRAMLÁSBAN A 

BELÉPŐ PEREMTŐL LAMINÁRIS ÉS TURBULENS ESETBEN 

2.2. Statisztikai megvalósulások jelölése 

A korábban leírtaknak megfelelően egy statisztikai változó így írható: 

ahol i a megvalósulás sorszáma. 

2.3. Valószínűségszámítás ismétlés 

2.3.1. Sűrűség függvény 

Valószínűségi változó sűrűség függvényéről beszélünk. 

ϕ = ϕ(x, y, z, t, i) (2.1) 

f(ϕ) (2.2) 

Megmutatja mennyi a valószínűsége, ϕ egy adott értékének. 

A sűrűség függvény normált tulajdonsága: 

� ∞ 

f(ϕ) dϕ = 1 (2.3) 

2.3.2. Várható érték 

Átlag � 

−∞ 

� ∞ 

� � 

ϕ(x, y, z, t) = ϕ(x, y, z, t) f ϕ(x, y, z, t) 


−∞ 

ϕ(x, y, z, t) = lim 

N→∞ 


1 

N 

dϕ (2.4) 

N� 

ϕ(x, y, z, t, i) (2.5) 

Ingadozás � Az aktuális érték átlagtól való eltérését ingadozásnak nevezzük: 

i=1 

ϕ ′ def 

= ϕ − ϕ (2.6)



2.3.3. Fontos tulajdonság a linearitás 

aϕ + bψ = aϕ + bψ (2.7) 

Ez a tulajdonság azért fontos, mivel az integrálás és a deriválás is lineáris operátor, 

így felcserélhető az átlag képzéssel. Ezt sokat fogjuk használni egyenletek 

levezetésénél. 

2.3.4. Ingadozás átlaga zérus 

2.3.5. A Reynolds átlag csak egyszer hat 

2.3.6. Reynolds felbontás 

ϕ ′ = 0 (2.8) 

ϕ = ϕ (2.9) 

Mivel a statisztikai átlagot az turbulenciakutatásban más néven Reynolds átlagnak 

is hívják, így be lehet vezetni az un. Reynolds felbontás, ahol tetszőleges mennyiséget 

átlag és ingadozás összegeként állítjuk elő. 

2.3.7. Szórás 

σϕ = 

ϕ = ϕ + ϕ ′ 



� 

ϕ ′2 = ϕrms 

2.3.8. n-ed rendű centrális momentumok 

Példák 

µ ϕ n = ϕ ′n = 

� ∞ 

(2.10) 

(2.11) 

(ϕ 

−∞ 

′ ) n f(ϕ) dϕ (2.12) 

µ0 = 1 (2.13) 

µ1 = 0 (2.14) 

µ2 = σ 2 

(2.15)



2.3.9. Normál eloszlás 

f(ϕ) = 

2.3.10. Torzultság (Skewness) 

Sk = µ3 

σ3 RAJZ normál eloszláshoz képest 

Az eloszlás szimmetriától való eltérését mutatja. 

2.3.11. Lapultság (flatness, kurtosis) 

(ϕ−ϕ ) 1 

√ e 

2πσϕ 

2 

σ2 ϕ (2.16) 



(2.17) 

F l = µ4 

σ4 (2.18) 

Az eloszlás a normál eloszláshoz képesti lapultságát mutatja. A normál eloszlás 

lapultsága F l = 3. 

RAJZ, normálhoz képest. 

2.4. Ergodicitás hipotézis 

Az idő vagy térbeli és a statisztikai átlagok (momentumok) megegyeznek. Azt feltételezik, 

hogy egy statisztikailag stacioner áramlás minden statisztikai jellemzője 

megegyezik, mind ha eseményeket veszünk, mind ha hosszú idősort tekintünk. 

Hasonlóan tekinthető a statisztikailag homogén irányt tartalmazó áramlásnál a térbeli 

átlag. 

Ezt a hipotézist eddig nem sikerült bizonyítani, de ellenérv és ellenpélda se 

létezik. 

2.5. Statisztikai és időátlag kapcsolata 

Mivel a gyakorlatban ritkán tudunk valódi statisztikai átlagot meghatározni, és helyette 

az ergodicitás feltevésével időbeli átlagot használunk, vizsgáljuk meg, hogy 

mennyire közelíti az időbeli átlag a statisztikai átlagot az átlagolási idő függvényében. 

Azt várjuk, hogy végtelen hosszú átlag visszaadja a statisztikai átlagot, de 

praktikusan fontos kérdés milyen hosszan kell átlagolni, hogy pontos eredményt 

kapjunk. 

Természetesen csak statisztikailag stacioner (∂tϕ = 0) áramlásra lehet időbeli 

átlaggal meghatározni az átlagot.



Definiáljuk az időbeli átlagot: 

ˆϕ (T ) � T 

def 1 

= ϕ 

T 0 

Vegyük ennek statisztikai átlagát! 

dt (2.19) 

ˆϕ (T ) = 1 

T 

� T 



0 

ϕ dt = ϕ (2.20) 

Mivel a statisztikai átlag időfüggetlen. Tehát az időbeli átlag várható értéke a 

statisztikai átlag. Ez megnyugtató eredmény, de vizsgáljuk meg mekkora a becslés 

szórása. 

σ 2 

ˆϕ (T ) = 

� 

1 

T 

= 1 

T 2 

� T 

0 

� T 

0 

ϕ ′ dt 

ϕ ′ (t1)dt1 

�2 

� T 

Vezessünk be az időbeli korrelációs függvényt: 

ρϕ(τ) = ϕ′ (t)ϕ ′ (t + τ) 

σ2 ϕ 

0 

ϕ ′ (t2)dt2 

(2.21) 

(2.22) 

A stacionaritás miatt ∂tρ = 0 ezért hagyható el a t argumentum. Ennek behelyettesítésével 

és további átalakításokkal kapjuk: 

σ ˆϕ (T ) = σϕ 

� � 

T 

1 − 

T 

|τ| 

� 

ρϕ(τ)dτ (2.23) 

T 

−T 

Definiáljuk továbbá az integrál időléptéket: 

� ∞ 

Θ = |ρ(τ)|dτ (2.24) 

ha az integrál konvergál. 

Így a következő képletet kapjuk: 

σ ˆϕ (T ) ≤ 

−∞ 

� 

Θ 

T 

� 1/2 

σϕ 

(2.25) 

Ez azt jelenti, hogy ha statisztikai átlagot egy T hosszú időátlaggal közelítjük, 

akkor ezen közelítés szórása, arányos a közelítendő mennyiség szórásával (σϕ) és 

a jellemző integrál időléptékének és az átlagolási idő hányadosának gyökével.



2.6. Többváltozós valószínűségek, sűrűségfüggvények 

(feltételes valószínűség) 

Legyenek ϕ, ψ valószínűségi változók, ez esetben beszélhetünk ezen változók 

együttes valószínűségéről, azaz ezen számpár valószínűségi eloszlásáról. Ilyen 

esetben lényeges tulajdonság, hogy ezek a valószínűségi változók (esetünkben 

turbulens áramlási jellemzők) függenek-e egymástól vagy függetlenek. Ha függetlenek 

akkor az együttes sűrűség függvény a következőképpen számolható. 

fϕψ(ϕ, ψ) = fϕ(ϕ)fψ(ψ) (2.26) 

RAJZ FÜGGŐRŐL, FÜGGETLENRŐL (Kontúr ábra) 

2.6.1. Feltételes valószínűség sűrűség függvény 

fϕ|ψ(ϕ|ψ) def 

= fϕψ(ϕ, ψ) 

fψ(ψ) 



(2.27) 

Turbulens áramlásoknál mindkét esetnek jelentősége van, tipikusan egy pontban 

a különböző sebességkomponensek egymástól függenek, így érdemes együttes 

sűrűségfüggvényüket vizsgálni. Az együttes sűrűségfüggvény bepillantást adhat 

a turbulencia szerkezetére, például ha u ′ és v ′ együttes sűrűség függvényének 

valamilyen speciális értéknél van maximuma, az azt jelentheti, hogy az ingadozásoknak 

valamilyen speciális szerkezet van, például egy tipikus irányú örvény 

elhaladása során keletkeznek. 

A feltételes valószínűség szintén fontos a turbulencia kutatásban, talán egyik 

legszebb példa erre egy fal melletti határréteg ahol a fal hatása okozza a turbulenciát, 

de távolabb lamináris az áramlás. A két részt egy időben változó felület 

választja el, így a határfelület közelében olykor turbulens olykor lamináris az 

áramlás. 

Ha ilyen esetben nem alkalmaznánk a áramlás turbulens vagy lamináris voltára 

vonatkozó feltételt például olyan átlagot kapnánk, amely egyik áramlási állapotra 

se jellemző, így célszerűbb a két állapotnak megfelelő átlagot meghatározni és 

ezeket tekinteni. 

Tehát olyan esetekben alkalmazunk praktikusan feltételes átlagot, amikor arra 

számítunk, hogy bizonyos paraméter jelentős hatással van a vizsgálni kívánt 

paraméterre. Ahogy a későbbiekben látni fogjuk nagy szerepet tulajdonítunk az 

örvényeknek, így szokás külön vizsgálni az örvények keltette turbulens jelenségeket, 

megfelelő feltételek felhasználásával. 

Például csatornában az örvények valószínűsége, és a feltételes áramlás irányú 

átlagsebesség látható.



2.1. ábra. Feltételes valószínűség és átlag 

2.7. Korrelációs függvények 

A feltételes valószínűségek témakörében felvethetjük azt a kérdést is, függetleneke 

a turbulens jellemzők ha térben vagy időben távoli jellemzőt vizsgálunk. Vizsgáljuk 

azt a feltételes valószínűséget például, hogy független-e a ϕ(x, y, z, t) a 

ϕ(x, y, z, t + τ) mennyiségtől. Ilyen jellegű kérdésekkel foglalkozik a korrelációs 

függvény. Először definiáljuk a következő kovariancia függvényt. 

Rϕψ(x, y, z, t, δx, δy, δz, τ) = ϕ ′ (x, y, z, t)ψ ′ (x + δx, y + δy, z + δz, t + τ) 

(2.28) 

Ha ϕ és ψ különböző jellemzők, akkor kereszt kovarianciáról beszélünk, ha 

azonos akkor autokovarianciáról. Például: 

Rϕϕ(x, y, z, t,0,0,0, τ) (2.29) 

időbeli autokovariancia függvénye ϕ-nek. 

Ha dimenziótlan jellemzőt akarunk kapni, akkor bevezetjük a korrelációs függvényt. 


ρϕψ(x, y, z, t, δx, δy, δz, τ) = 

Rϕψ 

σϕ(x,y,z,t)σψ(x+δx,y+δy,z+δz,t+τ) 


(2.30) 

Ha δx, δy, δz, τ-t nullának választjuk, akkor két változó azonos pontban vett 

korrelációját kapjuk, ami azt fejezi ki, hogy lineáris-e a kapcsolat a két változó 

között, konyha nyelven úgy mondhatjuk mekkora a kapcsolat a két változó között. 

Ha ψ értékének más pontokbeli értékéhez vizsgáljuk ϕ kapcsolatát, akkor arról 

kaphatunk képet, miképpen változik ez a kapcsolat a távolság (térben és/vagy 

időben) növekedésével.



2.7.1. Példa1 

Az Ruiuj (x, y, z, t,0,0,0,0) tenzor a Reynolds feszültség tenzor. 

2.7.2. Példa2 

ρ(x, y, z, t,0,0,0, τ)-t használtuk az időlépték definíciójánál. 

2.8. Integrál léptékek 

2.8.1. Hosszléptékek 

Vegyünk egy tetszőleges irányú ei egységvektort, ekkor a vektor irányában lévő 

integrál hosszléptéket a következőképpen definiálhatjuk. 

L (e) 

(x, y, z, t) = 

ϕψ 

� +∞ 

−∞ 

ρϕψ(x, y, z, t, exs, eys, ezs, 0) ds (2.31) 

Általában az egységvektornak koordináta irányokat választunk, például a z 

irányú hosszlépték. 

L (z) 

(x, y, z, t) = 

ϕψ 

� +∞ 

−∞ 

ρϕψ(x, y, z, t,0,0, s, 0) ds (2.32) 

Ez a hossz jellemzi egyszerűsítve a z irányú korrelációs függvényt, és nagyságrendileg 

megmutatja, milyen z távolságban tekinthetőek a turbulens jellemzők 

egymástól függetlennek. Más néven milyen távolságon belül függenek a változók 

egymástól. Előbbinek fontos alkalmazása lesz a homogén irányok periodicitással 

való modellezése a turbulencia numerikus szimulációjában, ennek segítségével 

tudjuk megválasztani a periodicitás távolságát. 

RAJZ (szimulációs videó) henger mögötti örvénysorról. Örvény leválás henger 

mögött (DNS Re = 100) 

A másodikat fogjuk alkalmazni, mikor meg akarjuk becsülni milyen nagyságrendű 

struktúrák vannak a turbulens áramlásban, hogy ezek segítségével becsülhessük 

többek között az energetikai viszonyokat. 

2.8.2. Időlépték 


Hasonlóan a hosszléptékhez definiálhatjuk az integrál időléptéket. 


Tϕψ(x, y, z, t) = 

� +∞ 

−∞ 

ρϕψ(x, y, z, t,0,0,0, τ) dτ (2.33)



Az előző fejezetben ezt Θ-val jelöltük, mert ott T az átlagolási időt jelentette. 

2.9. Taylor-féle fagyott örvény hipotézis 

Gyakorlati szempontból legkönnyebben az időbeli korrelációs függvényt (és vele 

együtt az integrál időléptéket) lehet meghatározni, mivel elegendő hozzá egy 

adott pontban finom időfelbontással mérni az adott jellemzőt, ez pedig megtehető 

általában hődróttal. Ellenben pl. a turbulencia modellt használó számításoknál a 

hosszléptékre van szükség, így érdemes lenne módszert találni ennek becslésére 

az időlépték ismeretében. 

Taylor azt a javaslatot tett, hogy képzeljük el az örvényeket megfagyottnak 

amelyek pusztán az átlagsebességgel (U) repülnek tova, ezen feltételezéssel becsülhetővé 

válik az áramlás irányú hosszlépték. 

L x = T U (2.34) 

A valóság természetesen nem ilyen, mivel az örvények folyamatosan egymással 

kölcsönhatásban vannak és deformálódnak, mozognak, de az előbbi nagyságrendi 

becslésre jól használható. 


Saját használatra


3. fejezet 

Reynolds egyenlet 

Ismétlésként és gyakorlásképpen levezetjük a Reynolds egyenlet rendszert. Elsőként 

a kontinuitás egyenletet Reynolds átlagoljuk. 

∂iui = 0 (3.1) 

Reynolds átlagolva ezt az egyenletet és felhasználva, hogy a deriválás lineáris 

operátor (2.7 egyenlet) és, hogy az ingadozások Reynolds átlaga zérus (2.8 egyenlet) 

és, hogy Reynolds átlagolt mennyiség Reynolds átlaga önmaga (2.9 egyenlet). 

∂iui = 

= ∂iui 

= ∂iui + u ′ i 

= ∂iui 

0 = ∂iui (3.2) 

Teljesen hasonlóan eljárva átlagolható a mozgásegyenlet is attól az egy kivételtől 

eltekintve, hogy a konvektív tag nem lineáris. A következőekben ennek 

átalakítását ismertetjük. 



14


3. FEJEZET. REYNOLDS EGYENLET 15 

uj∂jui = 

= ∂j(ujui) 

= ∂jujui 

= ∂j(uj + u ′ j )(ui + u ′ i ) 

= ∂j 

= ∂j 

= ∂j 

� 

� 

� 

uj ui + ui u ′ j + uj u ′ i + u′ j u′ i 

uj ui + u ′ j u′ i 

uj ui 



� 

� 

+ ∂ju ′ j u′ i 

= uj ∂jui + ∂ju ′ i u′ j (3.3) 

Ez alapján a Reynolds átlagolt mozgás egyenlet a következő alakú lesz: 

∂tui + uj ∂jui = − 1 

ρ ∂ip + ν∂j∂jui − ∂ju ′ i u′ j 

� 

(3.4) 

Az egyenlet ismét nagyon hasonlít az eredeti egyenlethez Reynolds átlagolt változókkal 

felírva, de a nemlinearitás miatt megjelenik egy tag a jobb oldalon amelyet 

a Reynolds feszültség tenzor divergenciájának nevezünk. Így a Reynolds feszültség 

tenzor a következő: 

(3.5) 

u ′ i u′ j 

valójában ennek ρ szorosa lenne a feszültség tenzor, de mindkét alakot szokás 

Reynolds feszültség tenzornak nevezni. 

Így az előbb definiált Reynolds feszültség tenzorral együtt felírhatjuk, milyen 

(felületi) feszültségek divergenciái hozzák létre az átlagsebesség gyorsulását. 

− 1 

ρ p δij + ν∂jui − u ′ i u′ j 

(3.6) 

ahol δij a Kronecker delta szimbólum. 

Előzetesen érdemes megjegyezni, hogy az úgynevezett Reynolds átlagolt turbulencia 

modellezésnél ezt az egyenletet oldjuk meg oly módon, hogy a Reynolds 

feszültség tenzort modellezzük a rendelkezésre álló átlagolt mennyiségek segítségével.


4. fejezet 

A Reynolds feszültség tenzor 

tulajdonságai 

Ebben a fejezetben a Reynolds feszültség tenzor tulajdonságait vizsgáljuk. 

4.1. Szimmetrikus 

Első tulajdonságként a már tanult szimmetriát ellenőrizzük. Mivel a szorzás kommutatív 

művelet, így 

u ′ i u′ j = u′ j u′ i (4.1) 

tehát a Reynolds feszültség tenzor szimmetrikus. 

4.2. Feszültség típusok 

A feszültség tenzor átlójában és azon kívül lévő feszültségek komponenseket a 

következő képpen nevezzük: 


– Normál feszültségek vannak az átlóban. u ′ i u′ j 

– Nyíró feszültségek vannak az átlón kívül. u ′ i u′ j 

4.2.1. A turbulens kinetikus energia 

ha i = j 

ha i �= j 

A Reynolds feszültség tenzor első skalár invariánsának felét, mivel az ingadozó 

sebességek tömegegységre jutó mozgási energiája, így turbulens kinetikus energiának 

nevezzük és k-val jelöljük. 

k = 1 

2 u′ iu′ � 

i = 1� 

u ′2 + v ′2 + w ′2 

2 

�� 

(4.2) 


16


4. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI 17 

4.2.2. Motivációs példa 

Vegyünk egy gyakran vizsgált alkalmazások szempontjából is nagyon fontos tudományosság 

szintjére egyszerűsített áramlást, és nézzük meg milyen ezen áramlás 

esetén a Reynolds feszültség tenzor. Tekintsünk két végtelen méretű egymással 

párhuzamos álló lapot, áramoljon a két lap között statisztikailag stacioner módon 

az általunk vizsgált newtoni folyadék, olyan Reynolds számmal, hogy az áramlás 

turbulens legyen (lásd 4.1 ábra). Ez esetben mérésekből vagy direkt numerikus 

szimulációból (kellően alacsony Reynolds szám esetén szimulálható ezen 

áramlási eset) ismert a Reynolds feszültség tenzor komponenseinek eloszlása az 

y koordináta mentén (lásd 4.2). Ezen az ábrán megfigyelhetjük, hogy a Reynolds 

4.1. ábra. Vázlat csatorna áramlásra 

feszültség tenzor mennyire anizotróp (azaz mennyire irányfüggőek az értékek). 

Felmerülhet a kérdés hogyan lehetne ezt az anizotrópiát jellemezni és van-e valamilyen 

fizikai szabályszerűség a komponensek között, lehet-e szemléletes geometriai 

reprezentációt adni. Megfigyelhetjük például, hogy az áramlás irányú sebességingadozás 

(u ′2 ) sokkal nagyobb mint a másik két ingadozás komponens. A 


fal közvetlen közelében a falra merőleges sebességkomponens ingadozása (v ′2 ) 

máshogy viselkedik, mint a fallal párhuzamos, keresztirányú sebesség ingadozás 

(v ′2 ). Ez utóbbi jelenséget megpróbáljuk egyszerű megfontolással magyarázni. 

Saját használatra



4.2. ábra. Reynolds feszültségek csatornában 

A Reynolds feszültség tenzor normál komponenseinek fal-közeli viselkedése 

Írjuk fel a sebességkomponensek ingadozását a faltól távolodva Taylor sorba. 

u ′ = a1 + b1y + c1y 2 + . . . (4.3) 

v ′ = a2 + b2y + c2y 2 + . . . (4.4) 

w ′ = a3 + b3y + c3y 2 + . . . (4.5) 

Legelemibb megfontolásunk a tapadási törvény (ui = 0, ha y = 0), ez alapján, ha 

a sebesség 0 akkor az ingadozása is: 

a1 = a2 = a3 = 0 (4.6) 

Írjuk fel továbbá a kontinuitás egyenletet az ingadozó komponensekre (lásd 2.8 

egyenlet) a falnál (y = 0): 


∂xu ′ + ∂yv ′ + ∂zw ′ = 0 (4.7) 

mivel a x és a z irány a fal síkjában van, így ebben az irányokban a deriváltak 

zérus értékűek, így: 

∂yv ′ = 0 (4.8) 

amiből viszont b2 = 0 következik. Ennek segítségével a három normál irányú 

Reynolds feszültség tenzor komponens sorfejtésének első tagjai a következőképpen 

alakulnak. 

u ′2 = b 2 1y 2 + . . . (4.9) 


v ′2 = c 2 2y 4 + . . . (4.10) 

w ′2 = b 2 3y 2 + . . . (4.11)



Ezzel megmagyaráztuk miért indul laposabban a v ′2 görbéje a falnál. 

4.3. Anizotrópia 

Ebben a fejezetben a Reynolds feszültség tenzor anizotrópiáját fogjuk jellemezni. 

Előszöris képezzük a Reynolds feszültség tenzor deviátor részét, ezt nevezzük 

anizotrópia tenzornak: 

def ′ 

aij = u iu ′ 1 

j − δij 

(4.12) 

�� 

3 u′ l u′ l 

Ezt tovább elosztva a feszültségtenzor nyomával (2k = u ′ j u′ j 

anizotrópia tenzort. 

def aij 

bij = 

2k = u′ iu′ j 

u ′ lu′ l 

− 1 



2k 

− 2 

3 δij = u′ iu′ j 3kδij u ′ lu′ l 

) kapjuk a normált 

(4.13) 

Az anizotrópia tenzor segítségével újra fölírhatjuk a Reynolds egyenlet feszültség 

tenzorát a következőképpen rendezve. 

ahol 

− 1 

ρ p δij − 2 

3 kδij − aij + 2νsij 

� �� 

� �� 

− 1 

ρ pmod δij 

def 

sij 

(4.14) 

1 

= 

2 (∂iuj + ∂jui) (4.15) 

a derivált tenzor szimmetrikus része. 

Fenti felbontás azért érdekes, mert különválasztottuk a gömbtenzor részt, melyet 

a pmod a turbulens kinetikus energiával megváltoztatott nyomás jellemez és a 

deviátor részt. sij is deviátor jellegű tenzor ugyanis a nyoma zérus, mivel 

sll = 1 

2 (∂lul + ∂lul) �� = 0 (4.16) 

a kontinuitás miatt zérus. Mint azt numerikus áramlástanból tudhatjuk, összenyomhatatlan 

áramlásban a nyomás pusztán a kontinuitás kielégítésében játszik 

szerepet, így dinamikailag csak a két utolsó tag számít. Azaz dinamikailag az 

anizotrópia tenzor és a deformáció fontos (a következőekben látjuk majd, hogy 

energetikai szerepe is csak ennek a két tagnak van). 

kont.



4.3.1. Reynolds feszültség tenzor saját koordináta rendszerben 

Ha a Reynolds feszültség tenzort a saját koordináta rendszerében írjuk fel, akkor 

nyilván csak az átlóban van nem zérus elem. 

u ′ iu′ j = 

⎛ 

u 

⎜ 

⎝ 

′2 

I 

0 

0 

u 

0 

′2 

II 0 

0 0 u ′2 

⎞ 

⎟ 

⎠ (4.17) 

Érdemes megfigyelni, hogy a sajátirányok merőlegesek, mivel a tenzor szimmetrikus. 

Így a diagonizált alak pusztán koordináta rendszer elforgatással keletkezik. 

Pozitív szemidefinit 

Ezen alakból világosan látszik, hogy a tenzor pozitív szemidefinit, mivel az átló 

minden eleme nagyobb vagy egyenlő nullánál. 

u ′2 

I 

, u′2 

II , u′2 

III 



III 

≥ 0 (4.18) 

4.3.2. A Reynolds feszültség tenzor szimmetrikus áramlásra és 

2D-re 

A mérnöki gyakorlatban gyakran fordul elő áramlás szimmetrikus tartományon, 

így érdemes megvizsgálni, milyen speciális tulajdonsága van a Reynolds feszültség 

tenzornak a szimmetria síkban. A turbulencia könnyebb megértése érdekében 

gyakran vizsgálunk 2D áramlásokat, szintén fontos tudnunk ilyenkor hogyan alakul 

a Reynolds feszültség tenzor. 

Szimmetrikus tartomány 

Ha az áramlási tartományuk szimmetrikus és élünk az ergodicitás hipotézisével, 

akkor a következő sűrűségfüggvény is tükör szimmetrikus: 

Ez alapján a középsíkban: 

f(x, y, z, u, v, w, t) = f(x, y, −z, u, v, −w, t) (4.19) 

f(x, y,0, u, v, w, t) = f(x, y,0, u, v, −w, t) (4.20) 

a sebességeloszlás sűrűségfüggvény szimmetrikus w-ben. Ez alapján:



így a Reynolds feszültség tenzor: 

2D áramlás 

u ′ i u′ j = 

w = 0 (4.21) 

u ′ w ′ = 0 (4.22) 

v ′ w ′ = 0 (4.23) 



⎛ 

⎝ 

u ′2 u ′ v ′ 0 

u ′ v ′ v ′2 0 

0 0 w ′2 

A 2D áramlásban z-től függetelen a sűrűségfüggvény, tehát: 

⎞ 

⎠ (4.24) 

f(x, y, z, u, v, w, t) = f(x, y, z, u, v, −w, t) ∀z (4.25) 

4.3.3. Lumley háromszög (1978) 

Lumley javasolta a normált anizotrópia tenzor grafikus árbrázolását, mivel a tenzor 

deviátoros (zérus a nyoma), így két invariansávál jellemezhető: 

6η 2 � � 

= bijbji = −2IIb = tr(BB) 

(4.26) 

6ξ 3 = bijbjkbki = 3IIIb (4.27) 

Lumley eredetileg a második és harmadik skalár invariánst (IIb, IIIb) használta, 

de az η, ξ változók használatával könnyebb dolgozni, mivel így a pozitív 

szemidefinitség által kijelölt tartomány két oldala egyenes lesz. Ezt az alakot látjuk 

a 4.3 ábrán. Ezen az ábrán könnyen elhelyezhetjük a speciális Reynolds feszültség 

tenzor eseteit. A Reynolds feszültség tenzort érdemes továbbá az által 

definiált kvadratikus alak szintfelületének alakjával is jellemezni. Mivel a tenzor 

pozitív szemidefinit, így ezek a szintfelületek mindig ellipszoidok, csak az alakjuk 

változik. 

1C 

xibijxj = C (4.28) 

Célszerűen mindig a saját koordináta rendszerben ábrázoljuk az ellipszoidot. 

Egy komponensű turbulencia. 

Az ellipszoid egy vonal. Növény analógia: hagymaszár.




4.3. ábra. Lumley háromszög 

Saját használatra



2C 

Két komponensű turbulencia. 

Az ellipszoid egy ellipszis. A Lumley háromszög „teteje”. 

Izotróp 

A turbulencia izotróp. Az ellipszoid egy gömb. Növény analógia: dinnye. 

Axiszimmetrikus 

lapos � ξ < 0, a háromszög bal oldala. Növény analógia: patisszon. 

korong ∗ Ezen belül ha két komponensű akkor korong, a háromszög bal felső 

csúcsa. 

hosszúkás � ξ > 0, a háromszög jobb oldala. A fali határréteg majdnem ilyen. 

Növény analógia: uborka. 


Saját használatra


5. fejezet 

A Reynolds feszültség tenzor és k 

transzport egyenlete 

Ebben a fejezetben néhány transzport egyenletet vezetünk le, amint azt később 

látni fogjuk ezen egyenletek új ismereteket nyújtanak majd a turbulens áramlások 

energetikai viszonyairól, ezen felül a Reynolds feszültség tenzor transzport 

egyenlete segíteni fog a Reynolds egyenlet lezárásában. 

Hogy a levezetések menetét könnyen összefoglalhassuk bevezetjük az Navier- 

Stokes (NS) operátort, amely valójában a momentum egyenletet jelöli. 

NS(ui) def 

= ∂tui + uj∂jui = − 1 

ρ ∂ip + ν∂jsij 

� �� 

∂jtij 



(5.1) 

Ezzel a jelölésrendszerrel, nagyon tömören leírható a Reynolds egyenlet levezetése: 

NS(ui) (5.2) 

� 

∂tui + uj ∂jui = ∂j − 1 

ρ p δij + νs ij − u ′ iu′ � 

j (5.3) 

� �� 

Definiáljuk a mozgási energiát: 

E def 

= 1 

2 uiui 

Majd írjuk fel a Reynolds felbontást fölhasználva: 

E = 1 

2 uiui = 1 

Tij 

(5.4) 

2 (ui + u ′ i)(ui + u ′ i) (5.5) 

= 1 

2 (ui ui + 2u ′ iui + u ′ iu ′ i) (5.6) 

24


5. FEJEZET. A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR ÉS K TRANSZPORT EGYENLETE25 

Végül nézzük ennek Reynolds átlagát: 

E = 1 

2 (ui ui ) + k (5.7) 

Láthatjuk, hogy az ‘össz’ mozgási energia átlaga az átlagsebesség mozgási energiája 

és ingadozó sebesség mozgási energiájának átlaga. Jelöljük az előbbi tagot 

Ê-vel. 

5.1. Az átlagsebesség mozgási energiájának transzport 

egyenlete 

Az alábbi szabály szerint levezethetünk Ê-re vonatkozó mozgásegyenletet. 

NS(ui) ui 



(5.8) 

∂tÊ + uj ∂jÊ = ui ∂jTij 

szorzat deriválás 

= (5.9) 

= ∂j(ui Tij) − Tij∂jui (5.10) 

Ez utóbbi alak azért fontos, mivel az első tagja divergencia, azaz térfogatra integrálva 

felületi integrállá alakítható és így látható, hogy csak a peremi jelenségek 

hatását fejezi ki. Például egy periodikus áramlás esetén az ilyen tagok nullává válnak. 

Így belátható, hogy a turbulencia helyi jelenségeiben csak a további tag(ok) 

számítanak. Írjuk ki a nem divergenciás tagot részletesen: 

∂tÊ + uj ∂jÊ = ∂j(ui Tij) + 1 

ρ 

p δij∂jui −νsij ∂jui + u ′ iu′ j ∂jui (5.11) 

� �� 

A deformációs és Reynolds feszültség tenzoros tag átalakítható (MAGYARÁZAT 

KELL!!!): 

=0 

∂tÊ + uj ∂jÊ = ∂j(ui Tij) − 2νsij sij 

� �� 

transzport 

disszipáció 

+ aijsij 

� �� 

produkció 

(5.12) 

Mátrixos írásmóddal (Frobenius belső szorzat) S : A = tr(ST · A) = tr(S · AT ), 

így belátható, hogy tr(ST · (A + AT )/2) = tr(ST · A)/2 + tr(ST · AT )/2. A második 

tagban átvíve a transzponáltat az elsőre: tr(ST · AT )/2 = tr(ST T · A)/2 = 

= tr(S · A)/2 és mivel S szimmetrikus, így tr(ST · (A + AT )/2) = tr(ST · A). 

Azonos érvelés igaz az utolsó tagra, szimmetrikus tenzor és a sebesség derivált 

tenzor Frobenius szorzata, ezek után a gömb tenzorral vett szorzatot kell még elemezni: 

kδijsij. 

Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a lokális egyensúlyban csak a Reynolds 

feszültség tenzor anizotrópiája és az átlagsebesség deformációja számít.



5.2. Reynolds feszültség transzport egyenlet 

Az alábbi szabállyal levezethető a Reynolds feszültség tenzorra egy transzportegyenlet: 

amely a következő alakot ölti: 

(NS(ui) − NS(ui) )u ′ j + (NS(uj) − NS(uj) )u ′ i 



(5.13) 

∂tu ′ iu′ j + ul ∂lu ′ iu′ j = −∂lu ′ iu′ ju′ l + Pij + Πij + ν[u ′ i∂l∂lu ′ j + u′ j∂l∂lu ′ i ] (5.14) 

ahol 

a sebesség-nyomásgradiens tenzor, és 

a produkció tenzor. 

5.2.1. Viszkózus tag 

Bontsuk a viszkózus tagot két részre: 

itt 

Πij = − 1 

ρ ui∂jp ′ + uj∂ip ′ (5.15) 

Pij = −u ′ i u′ l ∂luj − u ′ j u′ l ∂lui 

ν[u ′ i ∂l∂lu ′ j + u′ j ∂l∂lu ′ i ] = −εij + ∂l (ν∂lu ′ i u′ j ) 

def 

εij = 2ν∂lu ′ i∂lu ′ j 

� �� 

−T (ν) 

lij 

(5.16) 

(5.17) 

(5.18) 

ezt disszipációs tenzornak nevezzük. Ez a tag az energia hővé alakulását fejezi ki. 

5.2.2. k transzport egyenlet 

A különböző tagok elemzéséhez előbb célszerű ennek az egyenlet nyomának a 

felét venni. Az egyenlet nyomának fele a k transzport egyenlete lesz. 

� 

∂tk + uj ∂jk = −aijsij + ∂j u 

� �� 

produkció 

′ � 

p ′ � 

j + k′ − νu 

ρ ′ is′ � 

ij − �� ε (5.19) 

disszipáció 

� �� 

ahol 

ε def 

= 1 

transzport 

2 εii = 2νs ′ ij s′ ij 

(5.20)



5.2.3. Produkció 

Az alapjellemzőket tartalmazza. Nyoma a következő: 

Pii = −2u ′ i u′ l ∂lui 



(5.21) 

Ez azonos a Ê egyenletben lévő produkció tag kétszeresével, csak itt ellentétes 

előjellel kerül elő. A k transzport egyenletben pont ez a tag fog majd előfordulni. 

5.2.4. A sebesség-nyomásgradiens tenzor 

A sebesség-nyomásgradiens tenzort érdemes fölbontani két részre: 

ahol 

Πij = Rij − ∂lT (p) 

def 

Rij 

ρ s′ ij 

= p ′ 

amit nyomás-deformáció tenzornak hívnak. Ezen kívül 

T (p) def 1 

= 

amit nyomás transzport tagnak hívnak. 

lij 

lij 

ρ u′ ip′ δjl + 1 

ρ u′ jp′ δil 

Rii = p′ 

ρ s′ ii 

(5.22) 

(5.23) 

(5.24) 

= 0 (5.25) 

így nem jelenik meg a k egyenletben, tehát a csak az irányok közötti transzportot 

okoz, így redisztribúció tenzornak nevezik. 

5.3. A transzport tagok 

Bevezetjük a következő harmadrendű tenzort: 

ahol 

def 

Tlij 

(p) (ν) (u) 

= T + T + T 

lij 

T (u) 

lij 

lij 

def ′ = u lu ′ iu′ j 

lij 

(5.26) 

(5.27)



5.4. A nyomás hatásai 

Először is vezessünk le egyenletet a nyomásingadozásra a következő módon: 

� 

� 

NS(ui) − NS(ui) 

(5.28) 

∂i 

A kontinuitást is felhasználva a következő egyenletet kapjuk: 

∂l∂lp ′ � 

= −ρ∂i∂j ui u ′ j + uj u ′ i + u 

� �� 

′ iu ′ j + u ′ iu′ � 

j 

� �� 



I. 

II. 

(5.29) 

mivel ez az egyenlet lineáris, így a megoldása előáll különböző rész jobb oldalak 

megoldásaként és a homogén Laplace egyenlet megoldásaként: 

∂l∂lp ′r = −ρ∂i∂j(I.) (5.30) 

∂l∂lp ′s = −ρ∂i∂j(II.) (5.31) 

∂l∂lp ′h = 0 (5.32) 

p ′r a gyors nyomástag, itt a sebesség fluktuációk lineárisan szerepelnek, gyorsnak 

hívják, mivel ez a tag gyorsan reagál a jellemzők lokális változására. p ′s a 

lassú nyomás tag, itt a sebesség fluktuációk nemlineárisan szerepelnek, lassúnak 

hívják, mivel a reakciónak egy időbeli késleltetése van. A p ′h homogén tag a peremfeltételek 

hatását veszi, figyelembe, így pl. a fali visszhang is ebben tagban 

jelentkezik. 

Ezek összegeként áll elő a nyomásingadozás: 

p ′ = p ′r + p ′s + p ′h 

(5.33) 

A nyomás nem lokális jellemző, de csak hosszlépték távolságra hat. 

p ′ u ′ l = 

� � � 

ρ 

� 

∂i∂j ui (x 

4π 

⋆ )u ′ j (x⋆ )u ′ l (x) + uj (x ⋆ )u ′ i (x⋆ )u ′ l (x) + 

+u ′ i (x⋆ )u ′ j (x⋆ )u ′ l (x) 

� 3 ⋆ d x 

|x − x⋆ (5.34) 

| 

mivel u ′ i (x⋆ )u ′ l (x) egy térbeli korrelációs függvény. Tehát ezek alapján elvileg 

is lehetetlen bármiféle lokális turbulencia modell, viszont jó hír, hogy a nyomás 

hatása is a hosszlépték méretére van korlátozva. 

A nyomás szerepét és viselkedését azért fontos látunk, mivel előfordul a sebességnyomásgradiens 

tenzor mindkét tagjában. Ennek a transzport tagja lényegét te- 

kintve a k transzport egyenletben is előfordul.


6. fejezet 

A turbulencia léptékei 

Ebben a fejezetben a korábbiakhoz képest új szempontból vizsgáljuk a turbulenciát, 

mégpedig olyan szempontból, hogy az ingadozások milyen léptékekhez tartoznak. 

Korábban már definiáltuk az integrál hosszléptéket, de emlékezhetünk, hogy 

ez a térbeli korrelációs függvénynek csak egy speciális paramétere. Ha megfigyeljük 

például a 6.1 ábrán látható nyíróréteget, vagy akár tanulmányozzuk egy híd 

pillérei mögött az áramlást megfigyelhetjük, hogy sokféle méretű struktúra van 

folyamatosan jelen. A nagyobb struktúrák eközben tartalmazhatják a kisebbeket. 

Egyik fő eredményünk az lesz, hogy az energia a nagy léptékeken keletkezik, a 


6.1. ábra. Szabad nyíróréteg vizualizációja 

közepes létékeken veszteség nélkül halad át és a kis léptékeken alakul hővé. 

6.1. Az energia kaszkád 

Tekintsünk egy nagy Reynolds számú áramlást, melynek tipikus sebessége U és 

tipikus léptéke L. 


29


6. FEJEZET. A TURBULENCIA LÉPTÉKEI 30 

Az első feltevésünk, hogy a turbulencia különböző méretű örvényekként fogható 

fel. Az örvény definícióját itt még nem adjuk meg, nagyjából együtt mozgó l 

méretű folyadékcsomagot értünk rajta. Tehát az örvény: 

– mérete: l 

– tipikus sebessége: u(l) 

– időléptéke: τ(l) = l/u(l) 

A legnagyobb örvények méretét jelölje l0, amely összevethető az áramlás L 

léptékével. Ezen örvények tipikus sebessége u0 = u0(l0) ami pedig az áramlás 

turbulens intenzitásával mérhető össze (u = (2/3k) 1/2 ), ami pedig az áramlás 

tipikus sebességével U arányos. Így a Re0 = u0l0/ν Reynolds szám is nagy, így 

ezen a léptéken elhanyagolható a viszkozitás hatása. 

Richardson véleménye szerint, mivel a viszkozitásnak nincs szerep, így ezek 

az örvények instabilak és kisebbekre esnek szét, ahova mozgási energiájukat is 

magukkal viszik. Majd a keletkezett örvények úgyszintén, míg el nem érkezünk 

egy olyan örvény Reynolds számhoz (Re(l) = u(l)l/ν), ahol már stabilak az 

örvények a viszkozitás miatt és eldisszipálják a mozgási energiát. 

A koncepció leglényegesebb pontja, hogy a disszipáció a sor legkisebb méretű 

végén van. Ellenben az ε disszipáció mértékét a folyamat első léptéke szabja meg, 

amely a nagy örvényeket jelenti. A nagy örvények energiája u 2 0 és ennek időléptéke 

τ0 = l0/u0, így az energiaáram u 2 0/τ0 = u 3 0/l0 értékkel skálázható. Azaz ε 

u 3 0/l0-al skálázódik, de független ν-től. Ez mérésekben is megfigyelhető. 

6.2. A Kolmogorov hipotézisek 

Az előzőeken felül még jó néhány kérdés megválaszolatlanul maradt, a turbulencia 

léptékeivel kapcsolatban. Mekkorák a disszipatív örvények, l növekedésével, 

hogy változnak a megfelelő sebesség (u(l)) és időléptékek (τ(l)). 

Ezekre a kérdésekre ad választ Kolmogorov három hipotézise, például kiderül, 

hogy l csökkenésével együtt u(l) és τ(l) is csökken. 


Az első hipotézis szerint a kis léptékek izotropak, azaz habár a nagy örvények 

a különböző peremfeltételek miatt anizotropak, a kaszkádban ez az anizotrópia 

csökken és kis örvények esetére teljesen megszűnik, ez kimondva: 

Hipotézis (Kolmogorov lokális izotrópia hipotézise). Megfelelően magas Reynolds 

szám esetén, a kis-léptékű turbulens mozgások statisztikailag izotropok. 

Hogy pontosan milyen méreteket értünk kis lépték alatt azt célszerű definiálni, 

vezessük be lEI léptéket amely alatt a lokális izotrópia fennáll. Tehát l > lEI nagy 

örvények anizotrópok és a l < lEI örvények izotrópok. 

Saját használatra



A gondolatot továbbvíve feltehető az is, hogy irányfüggésen túl a nagy léptékeknek 

egyáltalán nincs hatásuk a kis léptékekre, így a kis léptékek bármely 

statisztikái univerzálisak vagyis hasonlóak. Kérdés, hogy milyen paraméterektől 

függhet ez az univerzális állapot. Az energia kaszkád két fő folyamata az energia 

transzfer és a viszkózus disszipáció. Tehát vegyük egyik paraméterként azt 

az energia rátát amely a nagy skáláktól érkezik és jelöljük TEI-vel. A viszkózus 

disszipációt pedig jellemezzük a kinematikai viszkozitással ν. Mint ahogy korábban 

láttuk a disszipációt az energia ráta szabja meg, tehát ezek a mennyiségek 

közel azonosak: ε ≈ TEI. Így a hipotézis a következőképpen fogalmazható meg: 

Hipotézis (Kolmogorov első hasonlósági hipotézise). Minden megfelelően magas 

Reynolds számú turbulens áramlásban a kis mozgások (l < lEI)) statisztikáinak 

univerzális az alakja, amely csak ε-tól és ν-től függ. 

Az l < lEI mérettartományt univerzális egyensúlyi tartománynak nevezzük, 

mivel a l/u(l) időlépték kicsi a l0/u0 időléptékhez képest, így a kis örvények 

hamar követik a nagy örvények változását, és dinamikusan előáll a TEI által megszabott 

egyensúly. 

Az ε és a ν paraméterek segítségével egyértelműen (konstans szorzótól eltekintve) 

egy hossz, sebesség és időlépték képezhető. 

η = (ν 3 /ε) 1/4 

uη = (εν) 1/4 

τη = (ν/ε) 1/2 



(6.1) 

(6.2) 

(6.3) 

Ezek a Kolmogorov skálák jellemzik a kis disszipatív örvényeket. Ezt egyrészt 

onnan látjuk, hogy a belőlük képzett Reynolds szám egységnyi (ηuη/ν = 1) 

és kaszkád addig tart, amíg megfelelően kicsi nem lesz a Reynolds szám, hogy 

stabilizálja az örvényeket. Másrészt a disszipációt felírva: 

ε = ν(uη/η) 2 = ν/τ 2 η 

(6.4) 

látszik, hogy (uη/η) = 1/τη adja a disszipatív skála sebesség gradiensét. 

Nézzük meg miért is hívjuk ‘hasonlósági hipotézisnek’ és ‘univerzális alaknak’ 

az előzőeket. Ha Kolmogorov skálával dimenziótlanított sebességet tekintünk 

a Kolmogorov skálával dimenziótlan távolság függvényében láthatjuk, hogy 

ez nem függhet ε és ν paraméterektől, mivel a kettőből nem képezhető dimenziótlan 

mennyiség, tehát bármely ‘közeli’ pontban azonos függvényt kapunk. 

u/uη(l/lη) = f(ε, ν) = konst. (6.5) 

Nagy Reynold szám esetén a kis léptékekkel dimenziótlanítva minden sebesség 

mező statisztikailag azonos.



A nagy léptékek és Kolmogorov léptéket aránya is számolható, ha figyelembe 

vesszük, hogy ε ∼ u 3 0/l0. 

η/l0 ∼ Re −3/4 

uη/u0 ∼ Re −1/4 

τη/τ0 ∼ Re −1/2 



(6.6) 

(6.7) 

(6.8) 

Látható, hogy η/l0 csökken a Reynolds szám növelésével, tehát nagy Reynolds 

szám esetén van egy olyan l tartomány, hogy l0 ≫ l ≫ η. Feltehető, hogy ebben a 

tartományban olyan nagy a Reynolds szám (lu(l)/ν), hogy a viszkozitásnak nincs 

szerepe. Ez alapján kimondhatjuk a harmadik hipotézist. 

Hipotézis (Kolmogorov második hasonlósági hipotézise). Minden turbulens áramlásban 

megfelelően magas Reynolds szám esetén az l léptékű mozgások statisztikáit 

függetlenül ν-től egyedül ε határozza meg, amennyiben l az l0 ≫ l ≫ η 

tartományba esik. 

Érdemes bevezetni egy lDI hosszat, oly módon, hogy az előző hipotézist a l0 > 

> l > lDI módon írhassuk. Ez a skála két részre bontja az univerzális egyensúlyi 

tartományt (l < lEI), a tehetetlenségi tartományra (lEI > l > lDI) és a disszipációs 

tartományra (l < lDI). A viszkozitásnak csak disszipációs tartományban van 

szerepe, itt játszódik le a disszipáció teljes egészében. 

A KÖVETKEZŐ ábrán a különböző skálák és tartományok láthatóak. Az energia 

fő tömege a 1 

6l0 < l < 6l0 tartományban van, ezt energiát tartalmazó tartománynak 

nevezzük. A betűk jelentése a következő I= inercia, E= energia, D= 

disszipációs, a hosszléptékek nevei a két oldal alapján vannak definiálva. 

Pusztán ε használatával nem lehet hossz-, sebesség- és időléptéket definiálni, 

de egy l hosszléptékhez meg lehet határozni ε és l segítségével sebesség és 

időléptéket: 

u(l) = (εl) 1/3 = uη(l/η) 1/3 ∼ u0(l/l0) 1/3 

τ(l) = (l 2 /ε) 1/3 = τη(l/η) 2/3 ∼ τ0(l/l0) 2/3 

(6.9) 

(6.10) 

Ennek következmény, hogy a tehetetlenségi tartományban a sebesség és idő 

léptékek a hosszléptékkel egyszerre csökkennek. 

Az energia kaszkádban lényeges szerepe van a T (l) energia áramnak, amely a 

l-nél nagyobb skálákról az l-nél kisebb skálája szállítja a mozgási energiát. T (l) 

u(l) 2 /τ(l)-el skálázható. Mivel 

u(l) 2 /τ(l) = ε (6.11) 

T (l) is l-től független és ε-al megegyező. Az energia ráta minden skálán azonos: 

TEI ≡ T (lEI) = T (l) = TDI ≡ T (lDI) = ε (6.12)



6.3. Az energia spektrum 

Vezessük be újfent a térbeli korrelációs függvényt és annak spektrális változatát: 

Rij(xl, rm, t) = ui(xl)uj(xl + rm, t) (6.13) 

1 

Φij(κl, t) = 

(2π) 3 

�� +∞ 

e −ıκlrmRij(rm, t) drm (6.14) 

−∞ 

Ezek segítségével az energia spektrum definiálható: 

E(κ, t) = 

�� +∞ 

−∞ 

1 

2 Φii(κm, t)δ(|κm| − κ) dκm 



(6.15) 

Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy a hullámszám és a lépték között a következő 

összefüggés van: 

κ = 2π/l (6.16) 

Ennek segítségével felírható a κa és a κb hullámszám közé eső energia: 

kκa,κb = 

� κb 

κa 

E(κ) dκ (6.17) 

Bebizonyítható, hogy a κa és a κb hullámszám közé eső disszipáció a követ- 

kezőképpen írható: 

εκa,κb = 

� κb 

κa 

2νκ 2 E(κ) dκ (6.18) 

Az első Kolmogorov hipotézisből következik, hogy a spektrum ε és ν, a második 

hipotézisből következik, hogy a tehetetlenségi tartományban pusztán ε függvénye, 

így itt csak a következő alakú lehet: 

6.3.1. Egy modell spektrum 

E(κ) = Cε 2/3 κ −5/3 

(6.19) 

E(κ) = Cε 2/3 κ −5/3 fL(κL)fη(κη) (6.20) 

6.4. A spektrum Reynolds szám függése



6.2. ábra. Spektrum a nagy léptékkel dimenziótlanítva 


6.3. ábra. Spektrum a Kolmogorov léptékkel dimenziótlanítva 

Saját használatra


7. fejezet 

Önhasonlóság 

A turbulens áramlások mint láttuk a nagy léptékekben esetről esetre változóak, 

csak a kis léptékekben figyelhető meg bizonyos univerzalitás. Így érdemes a turbulens 

áramlások gyakran előforduló építőköveit egyesével megismerni. Az elkövetkező 

fejezetekben ezzel foglalkozunk. Ezek az építőkövek 2D áramlások 

lesznek, attól eltekintve, hogy bizonyos jelenségek csak 3D átlag áramkép esetén 

jönnek elő. 

Az önhasonlóság koncepcióját egy kétváltozós Q(x, y) függvényen mutatjuk 

be. x függvényében definiálhatjuk a függő Q mennyiséget skálázó Q0(x) és a 

független y mennyiséget skálázó δ(x) jellemző változókat. Így a következő dimenziótlan 

mennyiségeket vezethetjük be: 

ha ˜ Q(ξ, x) független x-től tehát 



ξ 

˜Q(ξ, x) 

def 

= 

y 

δ(x) 

def Q(x, y) 

= 

Q0(x) 

(7.1) 

(7.2) 

˜Q(ξ, x) = ˆ Q(ξ) (7.3) 

akkor Q(x, y)-et önhasonlónak nevezzük. Ekkor Q(x, y) a Q0(x), δ(x) és a ˆ Q(ξ) 

egyváltozós függvények segítségével kifejezhető. Néhány dolgot még érdemes 

megjegyezni: 

– Q0(x)-t és δ(x)-t jól kell megválasztani. 

– Általánosabb esetben ˜ Q(ξ, x) def 

= Q(x,y)−Q∞(x) 

alakot kell használni a transz- 

Q0(x) 

formációhoz. 

– Néha csak egy adott x érték halmazra igaz az önhasonlóság 

35


8. fejezet 

Határréteg egyenlet 

Statisztikailag 2D és stacioner áramlások esetén, ahol egyértelműen kijelölhető az 

áramlás iránya (x), melynek irányában a változások kisebbek mint az y irányban a 

kontinuitás és a momentum egyenletek egyszerűbben írhatóak. Ilyen tipikus áramlási 

esetek láthatóak a 8.1 ábrán. Minden egyes áramlásra bevezethető egy δ(x) 

jellemző szélesség, egy Uc jellemző konvekciós sebesség és egy Us jellemző sebesség 

különbség. Az előbb bevezetett határréteg közelítésben tehát az egyenletek 

a következő alakot öltik: 

∂xu + ∂yv = 0 (8.1) 

u ∂xu + v ∂yu = − 1 

ρ ∂xp + {ν∂x∂xu } + ν∂y∂yu − ∂xu ′2 − ∂yu ′ v ′ (8.2) 

{u ∂xv } + {v ∂yv } = − 1 

ρ ∂yp + {ν∂x∂xv } + {ν∂y∂yv } − {∂xu ′ v ′ } − ∂yv ′2 

(8.3) 

A kapcsos zárójelben { } lévő tagok a határréteg megközelítésben elhanyagolhatóak. 

Így az y irányú momentum egyenlet a következő alakot veszi: 


1 

ρ ∂yp + ∂yv ′2 = 0 (8.4) 

A távoltéri nyomást p0-val jelölve és figyelembe véve, hogy a távol-térben v ′2 = 0 

az egyenlet kiintegrálható, a nyomás kifejezhető: 

Ez alapján fölírható a nyomás áramlás irányú deriváltja: 

p 

ρ = p 0 

ρ − v′2 (8.5) 


1 

ρ ∂xp = 1 

ρ dxp 0 − ∂xv ′2 (8.6) 

36


8. FEJEZET. HATÁRRÉTEG EGYENLET 37 



8.1. ábra. Turbulens áramlási alapesetek


8. FEJEZET. HATÁRRÉTEG EGYENLET 38 

Ennek felhasználásával az x irányú momentum egyenlet a következőképpen alakul: 

u ∂xu + v ∂yu = − 1 

ρ dxp 0 + ν∂y∂yu − ∂yu ′ v ′ − ∂xu ′2 − v ′2 (8.7) 

A viszkózus tag szabad nyírórétegekben elhanyagolható, de fali határrétegben 

nagy szerepet kap, mivel itt sokkal nagyobb az átlagsebesség deriváltja. Mivel 

az utolsó a Reynolds feszültség komponensek különbségének áramlási irányú deriváltja 

így az a lamináris nagyságrendi becslés elmélete alapján el lehet hagyni, 

habár turbulens esetben ez a tag a többi nagyságrendjének kb. 10%-át teszi ki. 

Így ha állandó a távol-téri sebesség (így a nyomás se változik) a következő alakot 

kapjuk: 

u ∂xu + v ∂yu = ν∂y∂yu − ∂yu ′ v ′ (8.8) 

Láthatjuk, hogy az u ′ v ′ Reynolds nyírófeszültségnek van fontos szerepe. 


Saját használatra


9. fejezet 

Szabad nyíróréteg áramlások 

Az önhasonlóság és a határréteg egyenlet alkalmazhatóságára elsőként nézzük a 

hengeres szabadsugár áramlást, hogy alakulnak a viszonyok. 

9.1. Hengeres szabadsugár 

Mérésekből a következőt találjuk (9.1 ábra), ha megfelelően távol vagyunk a befúvástól 

( x/d > 30) a profilokat dimenziótlanítva egybeesnek (9.2 ábra). A dimenziótlanításra 

U0(x) és r0.5(x)-t használjuk. 

U0(x) 



def 

= u (x, r = 0) (9.1) 

u (x, r def 

= r0.5(x)) = U0/2 (9.2) 

Az önhasonló profil definíciója akkor lesz egyértelmű, ha megadjuk U0(x) és 

r0.5(x) függvényeket is. Mérések alapján (9.3 ábra) U0(x)-ra a következőt találjuk: 

UJ 

U0(x) = 

B 

(9.3) 

(x − x0)/d 

ahol UJ a szabadsugár sebessége a belépés helyén. 

A széttartási arány: 

azaz kisérletek alapján r0.5(x): 

S def 

= dxr0.5 

(9.4) 

r0.5(x) = S(x − x0) (9.5) 

Ez az eredmény egyébként a határréteg egyenlet segítségével következik a sebesség 

profilok önhasonlóságából. 

39


9. FEJEZET. SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 40 


9.1. ábra. Hengeres szabadsugár axiális sebességprofilok. 

Saját használatra



9.2. ábra. Hengeres szabadsugár dimenziótlan axiális sebességprofilok. 

Tehát a hengeres szabadsugár önhasonló a következő skálázás alapján: 

ξ 

η def 

= 

def r 

= 

r0.5 



r 

x − x0 

f(η) = ˘ f(ξ) = 

u (x, r) 

U0(x) 

Az önhasonló sebességprofil látható a 9.4 ábrán. 

Integrál megmaradási tételek 

(9.6) 

(9.7) 

(9.8) 

Bebizonyítható (lásd pl. áramlástan alapjai könyv), hogy hengeres szabadsugárban 

állandó az áramlás irányú impulzus: 

˙M = 2πρ(r0.5U0) 2 

� ∞ 

ξf (ξ) 2 dξ (9.9) 

0 

dx ˙ M = 0 (9.10) 

Ez alapján mivel az integrál az önhasonlóság szerint x-től függetelen, (r0.5U0) 2 is 

x-től független kell, hogy legyen. Tehát a széttartási arány (S) állandósága és U0




9.3. ábra. Hengeres szabadsugár maximális axiális sebességek. 

Saját használatra




9.4. ábra. Hengeres szabadsugár axiális sebességprofil. 

Saját használatra



hiperbolikus x függése összefügg egymással. 

Ez alapján szintén belátható, hogy a lokális Reynolds szám állandó egy adott 

hengeres szabadsugáron belül: 

Re0 = U0(x)r0.5(x) 

ν 



= konst. (9.11) 

Ettől függetlenül természetesen vizsgálhatunk különböző Reynolds számú szabadsugarakat, 

azt találjuk, hogy B és S közelítőleg független a Reynolds számtól. 

S ≈ 0.98 (9.12) 

B ≈ 6 (9.13) 

Természetesen tudjuk, hogy a Reynolds szám függvényében több-kevesebb kis 

léptékű struktúra van, de a nagy skálák Reynolds szám függetlenek. 

A radiális sebesség is önhasonló a 9.5 ábra alapján. Megfigyelhetjük, hogy a 

szélén magával ragadás, középen meg kiszorítás van. 

9.5. ábra. Hengeres szabadsugár dimenziótlan radiális sebességprofil. 

Reynolds feszültségek 

A Reynolds feszültségek is önhasonlóak és Reynolds szám függetlenek. A tengely 

környékén megfigyelhetjük a függvények páros-páratlan tulajdonságát és, hogy v ′ 

és w ′ azonossá válik. Középen az áramlási irányú ingadozásnak u ′ nincs maximuma.



9.6. ábra. Hengeres szabadsugár dimenziótlan Reynolds feszültségprofil. 

9.1.1. Energia mérleg 

A 9.10 ábrán az turbulens kinetikus energia mérlegegyenletének tagjai látszanak 

dimenziótlanítva, azaz önhasonló módon. Habár az eredmény bizonytalansága jelentős, 

pár megfigyelés tehető: 

– A disszipáció dominálja a szabadsugarat. 

– A produkció maximuma r/r0,5 = 0,6-nál van, ahol P/ε értéke: 0,8. 


– A sugár szélén P/ε nullához tart, itt a transzport tart egyensúlyt a disszipációval. 

Saját használatra




9.7. ábra. Hengeres szabadsugár dimenziótlan turbulencia profil. 

Saját használatra




9.8. ábra. Hengeres szabadsugár dimenziótlan nyírófeszültség és korreláció profil. 

Saját használatra



9.9. ábra. Hengeres szabadsugár dimenziótlan hosszlépték profil. 


Saját használatra




9.10. ábra. Hengeres szabadsugár dimenziótlan (U0 és r0,5) energia mérleg. 

Saját használatra



9.2. Sík keveredési réteg 

9.11. ábra. A sík keveredési réteg létékeinek definiciói. 


9.12. ábra. A sík keveredési réteg dimenziótlan sebességprofil. 

Saját használatra



9.13. ábra. A sík keveredési réteg széttartása. 


Saját használatra




9.14. ábra. A sík keveredési réteg széttartása. 

Saját használatra



9.3. Sík nyom 

9.15. ábra. A sík nyom dimenziótlan sebesség. 


Saját használatra



9.4. Axiszimmetrikus nyom 

9.16. ábra. Axiszimmetrikus nyom dimenziótlan sebesség. 


Saját használatra



9.17. ábra. Axiszimmetrikus nyom dimenziótlan Reynolds feszültsé tenzor. 


Saját használatra




9.18. ábra. Axiszimmetrikus nyom energia mérleg. 

Saját használatra



9.5. Homogén nyírás 

A mechanizmusok pontosabb elkülönítése végett érdemes olyan áramlást tekinteni 

ahol elhanyagolható a transzport. Homogén nyíróáramlásban csak egy konstans 

S = ∂yu van jelen. Szélcsatornában előállítható a 9.19 ábrán látható lineáris sebesség 

profil, amelyben a mennyiségek ugyan áramlás irányában változnak, de 

egy átlagsebességgel együtt-mozgó rendszerben már nem. A Reynolds feszültség 

tenzor komponensei láthatóak a 9.20 ábrán. 


9.19. ábra. Homogén nyírás definíciója. 

Megfigyelhető, ha a mennyiségeket S és k-val skálázzuk önhasonlóvá válnak. 

A 9.1 táblázatban látjuk az önhasonló értékeket. A Reynolds feszültség komponensek 

önhasonlóak, tehát állandó az anizotrópia. A turbulens időlépték nem változik 

jelentősen, az átlagáramkép időléptékétől S függ. A hosszlépték növekszik 

abszolút értékben, de skálázva szintén állandó marad. 

A homogén nyírás esetére a következő alakot ölti a turbulens kinetikus energia 

transzport, vagy más néven mérleg egyenlete: 


dtk = P − ε (9.14)



átalakítva: 

mivel τ 

k 

és P 

9.20. ábra. Homogén nyírás dimenziótlan Reynolds feszültségek. 

ε 

τ 

k dtk = P 

− 1 (9.15) 

ε 

állandó így az egyenlet időben integrálható: 

� 

t P 

τ ε 

k(t) = k(0)e 

−1 

� 



(9.16) 

mivel P ≈ 1,7, azaz nagyobb mint egy k időben exponenciálisan növekszik, vele 

ε 

együtt a ε és a hosszlépték (L def 

= k3/2 /ε = k1/2 /τ) is.



mérés 1. mérés 2. DNS 

u ′2 /k 1,04 1,07 1,06 

v ′2 /k 0,37 0,37 0,32 

w ′2 /k 0,58 0,56 0,62 

u ′ v ′ /k 0,28 0,28 0,33 

ρuv 0,45 0,45 0,57 

Sk/ε 6,5 6,18 4,3 

P/ε 1,8 1,7 1,4 

L11S/k0,5 4,0 4,0 3,7 

L11/(k1,5 /ε) 0,62 0,66 0,86 

9.1. táblázat. Homogén nyírás önhasonló paraméterei 


Saját használatra



9.6. Rács turbulencia 

Ha nyírás zérus akkor a homogén turbulencia időben elhal, mivel nulla a produkció 

(P = −aijsij ). Rácson átáramló állandó sebességű áramlással lehet ezt a 

jelenséget kísérletileg leginkább modellezni. Ha a rács mindkét áramlásra merőleges 

irányban azonos struktúrájú, mint a 9.21 ábrán, akkor a v ′ és a w ′ mennyiség 

közel azonos a rács után, a u ′ 1/2 10%-al nagyobb mint a másik két komponens 

(9.22 ábra). A kísérlet szerint k a következőképpen alakul: 

k 

U 2 0 

� 

x − 

� 

x0 

−n 

= A 

M 



(9.17) 

itt x0 a virtuális origó és M a rács paramétere. n értéke a mérések alapján 1,3 körül 

található. Átlagsebességgel (U0) együtt mozgó koordináta rendszerben a következőképpen 

írható: 

k(t) = k0 

� 

t 

�−n A k mérlegegyenlet ez esetben még egyszerűbb: 

így a disszipáció időbeni alakulása: 

ε(t) = ε0 

t0 

(9.18) 

dtk = −ε (9.19) 

� 

t 

�−n−1 t0 

(9.20) 

−n − 1 -es kitevő szerint alakul. Hasonlóan származtatható a hosszlépték, vagy 

az időlépték.



9.21. ábra. Rács turbulencia definíciója. 


9.22. ábra. Rács turbulencia Reynolds feszültség tenzor. 

Saját használatra


10. fejezet 

Fali áramlások 

A fallal határolt áramlások, fali nyírórétegek (határrétegek) rengeteg alkalmazásban 

fordulnak elő. Csatorna, cső vagy határréteg áramlást vizsgálva fontos általános 

tulajdonságokat ismerhetünk meg mivel a fal közeli viselkedése közel univerzális. 

10.1. Csatorna áramlás 

Az áramlást mindössze a Reynolds szám (Reb) jellemzi amelyet gyakran az átlagsebességgel 

definiálnak ( Ub2δ 

ν ): 

def 

Ub 

1 

= 

δ 

� δ 



0 

u dy (10.1) 

U0δ 

vagy szokás használni a maximális sebességet is (U0 = u (δ)). Azaz Re0 = ν . 

Reb > 1800 esetén az áramlás turbulens. 

Az áramlás irányú momentum egyenlet a következő alakot ölti: 

0 = νd 2 

y2u � �� 

dyτl 

− dyu ′ v ′ 

� �� 

dyτt 

def 

def 

− 1 

ρ ∂xp (10.2) 

mivel kialakult az áramlás, így az utolsó tag közönséges deriváltként is írható 

például a fali nyomást alapul véve dxpw . Ebből belátható, hogy az össz-csúsztató 

feszültség τ = τl + τt a következőképpen alakul: 

� 

τ(y) = τw 1 − y 

� 

(10.3) 

δ 

itt τw a fali csúsztató feszültség. 

62


10. FEJEZET. FALI ÁRAMLÁSOK 63 

10.1. ábra. Csuszatófeszültség eloszlás csatorna áramlásban. 


10.2. ábra. A lamináris és a turbulens csuszatófeszültség eloszlás arányai csatorna áramlásban. 

Saját használatra



10.1.1. Az átlagsebesség profil 

A csatorna áramlás egyértelműen jellemezhető a ρ, ν anyagjellemzőkkel a csatorna 

méretének felével δ és a létrejövő nyomásgradienssel. A nyomásgradiens 

helyett írhatjuk a súrlódási sebességet (uτ) is, mivel: 

uτ 

� 

def τw 

= 

ρ = 



� 

− δ 

ρ dxpw 

uτ δ 

Így az y pozíció függő átlagsebesség profil a y/δ és a Reτ = ν 

vényeként általánosan a következőképpen írható: 

def 

(10.4) 

= δ 

δν függ- 

u = uτF0( y 

δ , Reτ) (10.5) 

E helyett általában a dinamikailag fontosabb (mind a viszkózus feszültségben, 

mind a turbulencia produkciójában megjelenik) sebesség gradiensre írhatjuk 

a következő általános képletet: 

dyu = uτ 

y Φ 

� 

y 

, 

δν 

y 

� 

(10.6) 

δ 

itt áttértünk a fali és nagy létékkel származtatott relatív faltávolságokra, természetesen 

ez ekvivalens mintha Reτ-t használnánk, amely a két hosszlépték lépték 

viszonya. 

10.1.2. A faltörvény 

Prandtl feltette, hogy a fal közelében csak a viszkózus skála számít azaz: 

dyu = uτ 

y ΦI 

� 

y 

� 

δν 

y ≪ δ esetén. (10.7) 

Vezessük be a fali léptékek segítségével a ✷ + -os a dimenziótlan mennyiségeket: 

u + def 

= 

u 

(10.8) 

y + def 

uτ 

= y 

Így a sebesség függvény a következő alakra integrálható: 

δν 

(10.9) 

(10.10) 

u + = fw(y + ) (10.11) 

aminek a legfontosabb üzenete, hogy u + pusztán y + -tól függ y ≪ δ esetén. Mé- 

rések igazolják ezt a feltevést ráadásul általánosabb határrétegek esetén is.



Viszkózus alapréteg 

Mivel a fal közelében csak τl jelentős, így könnyen kijön, hogy: 

ez y + < 5-re nagyon jó közelítés. 

A logaritmikus faltörvény 

u + = y + 



(10.12) 

A belső rétegben (y ≪ δ), de faltól távolabb, már a viszkozitásnak sincs szerepe, 

így ΦI konstans lehet csak: 

ΦI = 1 

κ 

y ≪ δ és y + ≫ 1 esetén (10.13) 

ez alapján a sebességprofilt kiintegrálva kapjuk a logaritmikus faltörvényt: 

ahol mérések alapján κ ≈ 0,41 és B ≈ 5,2. 

10.1.3. Sebesség defekt függvény 

A külső rétegben Φ pusztán y/δ-tól függ. 

Tartományok 

u + = 1 

κ ln(y+ ) + B (10.14) 

Tartomány Hely Definíció 

Belső réteg y < 0,1δ u -t csak uτ és y + határozza meg, U0-tól és δ-tól függetle 

Viszkózus fali réteg y + < 50 A csúsztató feszültség viszkózus része fontos. 

Viszkózus alapréteg y + < 5 A Reynolds feszültség elhanyagolható τl-hez képest 

Külső réteg y + > 50 A viszkozitás direkt hatásai elhanyagolhatóak. 

Átfedés y + > 50 és y < 0,1δ 

Logaritmikus ftv. y + > 30 és y < 0,3δ Igaz a log tv. 

Buffer zóna 5 < y + < 30 

10.1. táblázat. A fali áramlás tartományai




10.3. ábra. A csatorna áramlás tartományai Re szám függvényében. 

Saját használatra



Csúsztató feszültség függvény 

Szokás definiálnia a súrlódási tényezőt az átlag (Ub) vagy a maximális sebességgel 

(U0): 

cf 

Cf 

Reynolds feszültség tenzor 

def 

= 

def 

= 

τw 

1 

2ρU 2 0 

τw 

1 

2ρU 2 b 

= 2(uτ/U0) 2 

= 2(uτ/Ub) 2 



(10.15) 

(10.16) 

A 10.4 ábrán látható a Reynolds feszültség tenzor eloszlása a csatorna keresztmetszete 

mentén. Ha ugyanezt a profilt a turbulens kinetikus energiával dimenziótlanítjuk 

a logaritmikus rétegben (50δν < y < 0,1δ) közelítőleg önhasonlóság 

figyelhető meg (10.5 ábra). u ′ iu′ j /k közel állandó itt, emellett a P/ε arány is és a 

Sk/ε (10.6 ábra) úgyszintén. Az u ′ iu′ j /k értékek közel azonosak a homogén nyírás 

esetén tapasztaltakkal, P/ε egyensúlyban van és a viszkózus és a turbulens 

transzport kisebb az előbbieknél. 

A csatorna középtengelyén, mivel mind a nyírás, mind a Reynolds feszültség 

zérus, így a produkció is az. Erről az értékről növekszik a logaritmikus faltörvény 

tartományáig. 

A fal közeli réteg y + függését már korábban tárgyaltuk (10.7 ábra). 

Turbulens kinetikus energia mérleg 

A 10.8 ábrán látható a turbulens kinetikus energia mérlegegyenlete. A produkció 

y + = 12-nél éri el a maximumát, belátható, hogy pontosan ott, ahol a viszkózus 

és a turbulens feszültség azonos értékű. Ezen a környéken a produkció sokkal 

nagyobb mint a disszipáció (P/ε ≈ 1,8) és a többlet energia elszállítódik a fal és 

a logaritmikus tartomány felé. A nyomás transzport kicsi, de turbulens transzport 

mindkét irányba jelentős. A viszkózus transzport a fal felé szállítja az energiát. 

A disszipáció a falnál a legnagyobb, annak ellenére, hogy itt nincs ingadozó 

sebesség, ellenben a nyírás ingadozás nagy. A disszipációt itt a viszkózus transzport 

egyensúlyozza ki: 

ε = νd 2 

2k ha y = 0 (10.17) 

y



10.4. ábra. A Reynolds feszültség a tenzor csatorna keresztmetszetben. 



10.5. ábra. A Reynolds feszültség a tenzor csatorna keresztmetszetben a turbulens kinetikus 

energiával dimenziótlanítva.



10.6. ábra. A k mérleg egyenlet tagjai csatornaáramlás esetén. 



10.7. ábra. A csatornaáramlás tartományai Re szám függvényében.



10.8. ábra. A csatornaáramlás tartományai Re szám függvényében. 

10.1.4. A logaritmikus faltörvény tulajdonságai 

A nyírás állandó: 

S = dyu = uτ 

κy 

dy +u+ = 1 

κy + 

A produkció és a disszipáció közel azonos: 


A normalizált Reynolds feszültség közel konstans: 

−u ′ v ′ 


k 

(10.18) 

(10.19) 

P ≈ ε (10.20) 

≈ 0,3 (10.21) 

Mivel kialakult 2D áramlás esetén P = Su ′ v ′ , így a turbulencia és a nyírás 

időskálájának aránya a következőképpen írható, és így konstans. 

� 

� 

� k 

u ′ v ′ 

� 

� 

� P 

≈ 3 (10.22) 

ε


11. fejezet 

A koherens struktúra koncepció 

A koherens struktúra koncepció szerint a turbulencia nem pusztán véletlenszerű 

jelenség, hanem a turbulns ingadozások jelentős részét áramlási struktúrák mozgásaként 

képzelhetjük el. Így a Reynolds felbontás helyett egy hármas felbontást 

definiálunk, ahol tulajdonképpen az ingadozást bontjuk úgynevezett koherens és 

háttér turbulencia részekre. 

ϕ = ϕ + ϕ ′ ch + ϕ ′ bg 



(11.1) 

ϕ ′ ch a koherens részt jelenti, míg ϕ′ bg a turbulens hátteret. E szerint a megközelítés 

szerint a koherens résznek van fontosabb szerepe a turbulencia leírásában és 

egyben ezt a részt könyebb megérteni, befolyásolni. A koherens név onnan származik, 

hogy olyan struktúrákat keresünk amelyek a Kolmogorov skálákhoz mérve 

nagyok és hosszú ideig megtartják főbb tulajdonságaikat. Sok turbulens áramlásokat 

megfigyelve intuitíve arra jutottak, hogy az áramlásban lévő forgó struktúrák 

azaok amelyek hosszú ideig eggyüt mozognak. Később látni fogjuk, hogy ez a 

megérzés többé-kevéssé igaznak bizonyult, azaz örvények a koherens stuktúrák. 

11.1. Áramlások lokális jellemzése 

Áramlástanból már tanultuk, hogy a sebességmezőt egy pont környezetében a sebességvektor 

derivált tenzorával lehet jellemezni, így a pont környezében a sebesség 

egy totális deriváltként írható fel. 

ui(xl + δxj) = ui(xl) + ∂juiδxj 

(11.2) 

Szintén tanultuk, hogy a derivált tenzort (Aij 

def 

= ∂iuj) érdemes három részre felbontani, 

elsőként szimmetrikus (Sij = 1/2(∂iuj + ∂jui)) és antiszimmetrikus 

(Ωij = 1/2(∂iuj −∂jui)) részre bontjuk. Elvileg a szimmetrikus részt még tovább 

71


11. FEJEZET. A KOHERENS STRUKTÚRA KONCEPCIÓ 72 

bonthatnánk a nyomára és a deviátor részére, de mivel összenyomható áramlásokat 

vizsgálunk, így a nyom zérus. A felbontás azért érdekes, mivel Ωij a forgásnak 

felel meg, Sij pedig a deformációnak. Ez alapján logikus például, hogy a 

Navier-Stokes egyenletben a viszkozus erők Sij függvényeként irhatóak, ugyanis 

a folyadék forgása következtében nem keletkezik súrlódási erő. 

Ωij hatása forgásnak felel meg, mivel Ωjiδxl egy kereszt szorzat ω × δx formájában 

írható fel aminek eredménye egy ω-ra és x merőleges sebességváltozás. 

A derivált tenzor ismeretében meghatározhatóak egy pont közelében az áramvonalak 

viselkedése. Legyen az áramvonal lokális Lagrange-i koordinátája s(t), 

ennek időbeli deriváltja megegyezik a lokális Euler-i sebességgel, azaz: 

si(t) ˙ = ∂juisi(t) (11.3) 

Ha egy pontban ∂jui állandónak tekintjük, akkor ez egy közönséges előpsrendű 

lineáris differenciál egyenlet rendszer, ennek megoldásainak viszgálatához érdemes 

a derivált tenzort saját koordináta rendszerében tekinteni. A saját koordináta 

rendszerbeli viselkedést a sajátértékek helyett a tenzor skalár invariánsaival is lehet 

jellemezni. 

P = −Aii (11.4) 

Q = 1 

2 P 2 − 1 

2 AikAki 

R = − 

(11.5) 

1 

3 P 3 + P Q − − 1 

3 AikAknAni 

(11.6) 

Összenyomhatatlan áramlásra P = 0, így a lokális áramképeket pusztán Q és 

R segítségével jellemezni lehet. A 11.1 ábrán látható milyen értékekhez milyen 

áramkép tartozik. 

11.2. Koherens struktúra, örvény detektálás 


11.2.1. Örvényesség 

Eleinte a nagy örvényességű zónákat tekintették koherens struktúráknak, ez a 

megközelítés sok hasznos eredményt szolgáltatott szabad nyírórétegek viszgálatánál. 

Azonban a későbbiekben felismerték, hogy fallal határolt áramlások esetén 

a fal melletti nagy nyírás, nagy örvényességgel is együtt így ez a változó nem 

használható koherens struktúrák detektálására. 

11.2.2. Diszkrimináns kritérium 


A diszkrimináns módszernél abból indultak ki, hogy ha a lokális áramképben forgás 

van jelen akkor örvényről van szó, így a derivált tenzor diszkriminánsát tekin-




11.1. ábra. Lokális áramképek a Q-R síkban. 

Saját használatra



tik ami: 

D = 27 

4 R2 + Q 3 

módon számítható, a D = 0 görbe a 11.1 ábrán látható. 

11.2.3. Q kritérium 



(11.7) 

Egy további koncepció szerint a Q > 0 tartományt tekintik örvénynek, ez látható, 

hogy a D > 0 tartomány részhalmaza, tehát szigorúbb kritérium. Részletesebben 

megérthetjük a Q > 0 feltétle jelentését, ha Q-t Sij és Ωij függvényeként írjuk 

összenyomhatatlan áramlásra: 

Q = − 1 

� 

� 

SijSij − ΩijΩij 

(11.8) 

2 

Ez alapján a képlet alapján láthatjuk, hogy Q > 0 forgás dominálta áramlást jelent. 

(Tetszőleges BijBij mennyiség a Bij mennyiség Frobenius normájának négyzete) 

http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_norm 

További érdekesség, hogy a nyomásra vonatkozó Poisson egyenlet forrástagja 

a Q. 

∂j∂jp = ρQ (11.9) 

Ebből láthatjuk, hogy a Q által detektál örvények lokális nyomáscsökkenést 

okoznak. 

11.2.4. λ2 kritérium 

Ebben a módszerben az alapfeltevés az, hogy az örvények nyomáscsökkenést 

okoznak. Tehát a síkbeli nyomásminimumokat keressük, mivel az örvények hosszúkásak 

(a forgás irányában elnyúltak) így síkbeli nyomásminimumokat kell keresni. 

Ezen felül azt is kikötjök, hogy a instacior nyirás miatti nyomásminimumok nem 

érdekelnek és továbbá , hogy a viszkozus hatásokat szintén kihagyjuk a levezetés 

során. A Navier-Stokes egyenlet gradiensét véve, majd ennek szimmetrikus részét 

véve és az előbbiek alapján az instacioner és a viszkozus tagokat kihúzva a 

következő egyenletet kapjuk: 

ΩikΩkj + SikSkj = − 1 

ρ ∂i∂jp (11.10) 

Tehát a nyomás Hesse mátrixa a fentiek szerint számítható, ennek segítségével 

eldönthető, hogy lokális síkbeli minimumról van-e szó. Belátható, hogy amennyiben 

a mátrix nagyság szerint rendezett sajátértékeiből a második (λ2) negatív akkor 

van síkebeli minimuma a nyomásnak, így λ2 < 0 zónákat is tekinthetjük 

örvénynek.



11.2.5. Kritériumok és a koherencia 

A fentieken túl még jó pár kritérium létezik, ezek közül elméleti szempontből 

jelentős egy a folyadékok Lagrange-i trajektoriája alapján javasolt, mivel ez a kritérium 

közvetlenül a folyadékcsomag koherenciáját ellenőrzi, azaz, hogy közeli 

folyadékrészek milyen hossazn maradnak együtt. Az eredeti kritérium használta 

egyenlőre nehézkes, de ezen gondolat menet alapján ellenőrizték le, hogy a Q 

kritérium mennyiben különbözik a D-től. Belátható, hogy Q > esetén a D > 0 

képest a forgás mellett az is biztosított, hogy az örvény koherens marad. 


Saját használatra


12. fejezet 

A RANS modellezés 

A Reynolds átlagolt modellezés (RANS=Reynolds Averaged Navier-Stokes) az a 

turbulencia modellezési fajta, amelyet még manapság is leggyakrabban használnak 

az ipari gyakorlatban. Ebben a megközelítésben az a cél, hogy a Reynolds 

átlagolt mennyiségeget meg tudjuk határozni. Ennek módja, hogy numerikusan 

megoldjuk a már korábban levezetett RANS egyenletet. Ahogy azt láttuk ez az 

egyenlet a konvektív tag nemlinearitása miatt nem képez zárt rendszert, megjelenik 

a Reynolds feszültség tenzor, amely új változó a Reynolds átlagolt sebességkomponensekhez 

(ui ) és a nyomáshoz (p ) képest. 

12.1. Örvényviszkozitás modell 

Tehát összefoglalva a RANS modellezés feladta a Reynolds feszültség tenzor 

(u ′ i u′ j ) modellezése a számítani kívánt mennyiségek segítségével (ui , p ). Esetleg 

új közbülső mennyiségeket fogunk definiálni amelyeket szintén számítunk. 

Mivel korábban már láttuk hogy a turbulencia egyik legfontosabb tulajdonsága 

mérnöki szemmel az, hogy növeli a diffúziót, a modellezésnek érdemes erre fokuszálnia. 

Továbbá analógiát fedezhetünk föl a kinetikus gázelmélet molekulái és a 

turbulens áramlás folyadékcsomagjai között. Ezt az analógiát már közel száz éve 


megtették, annak ellenére, hogy nem volt olyan tiszta képük a koherens struktúrák 

mibenlétéről mint manapság. Mi már láthattuk a koherens struktúra koncepció alkalmazásaiban, 

hogy a sebességingadozások nagyrészt megérhetőek a struktúrák 

sebességmezőjeként, mozgásaként. 

A kinetikus gázelmélet alapján a viszkózus feszültség tenzor felírható a deformáció 

tenzor skalár szorosaként, amely skalárt dinamikai viszkozitásnak nevezünk, 

ha tömegegységre vesszük, akkor: 


Φij = 2νSij 

76 

(12.1)


12. FEJEZET. A RANS MODELLEZÉS 77 

Ennek alapján modellezhetjük a Reynolds feszültség tenzort is egy turbulens viszkozitás 

(νt) bevezetésével, de mivel a Reynolds feszültség tenzor nyoma a turbulens 

kinetikus energia kétszerese és a deformáció tenzor nyoma a kontinuitás miatt 

zérus, így csak az anizotrópia tenzort modellezhetjük eképpen: 

u ′ i u′ j 

− 2 

3 kδij = −2νtSij 



(12.2) 

A határréteg egyenletben láttuk, hogy pusztán a u ′ v ′ tagnak van szerepe, ezért ezt 

érdemes külön kiírni: 

u ′ v ′ = −νtdyu (12.3) 

Ílyen egyszerű esetben akár definiálhatnánk a turbulens viszkozitást ezzel a képlettel 

és csak az maradna a kérdés, hogyan lehetne az értékét modellezni: 

ν d t 

def u 

= − ′ v ′ 

dyu 

(12.4) 

A következőekben nézzük meg valójában mit is tételeztünk fel ezzel a modellel 

és milyen esetekben helytálló a feltevés. 

12.1.1. Az összefüggés lokális 

Az első fontos tulajdonsága a modellnek, hogy lokális turbulenciát feltételez, azaz 

a Reynolds feszültség tenzort a vele azonos pontban lévő áramlási állapotból 

számolja, konkrétan a deformáció tenzorból. 

Először lássunk egy példát miért nem igaz ez a feltevés. Készíthető olyan szélcsatorna 

amelyben a deformáció egy áramvonal mentén lépcsősen változik, egy 

ilyen látható a 12.1 ábrán. A belépésnél lévő rács közel homogén turbulenciát kelt, 

12.1. ábra. Hossz mentén lépcsősen változó deformációt létrehozó szélcsatorna



amely a korábban tanultak alapján elkezd lecsengeni. Ahogy a konfúzorba ér a folyadék 

onnantól folyamatosan az áramvonal mentén állandó deformáció állapotba 

kerül. A konfúzort elhagyva a deformáció ismét nullára csökken. Ebben a szélcsatornában 

mért anizotrópia tenzor eloszlás látható a 12.2 ábrán. Megfigyelhető, 

12.2. ábra. Hossz mentén lépcsősen változó deformációt létrehozó szélcsatornában az 

anizotrópia alakulása 

hogy a turbulencia a konfúzorban a hossz mentén fokozatosan anizotroppá válik, 

majd a konfúzort elhagyva fokozatosan ismét visszatér az izotrop állapot felé. 

Klasszikusan ez az a jelenség amit lokális modellünk nem tud előrejelezni, mivel 

a modell szerint a turbulencia anizotrópiája minden egyes pontban megegyezik 

a deformáció anizotrópiájával, azaz az összefüggés lokális. A mérésekből látjuk, 


hogy a valóságban az anizotrópia lassan követi a deformáció tenzort. 

Ennek a hibának az oka a kinetikus gázelmélettel való összevetés alapján látszik: 

Molekuláris szinten a deformáció időléptéke sokkal nagyobb mint a feszültségek 

kialakulása, azaz jól használható egy lokális modell. A turbulenciában ezzel 

szemben a turbulens időlétékek, akár még nagyobbak is lehetnek a deformáció 

időléptékénél. Korábbiakban láttuk, hogy tipikusan: 


k 

ε 

1 

S 

≈ 3 (12.5)



Azaz a turbulencia lassan követi a deformációt, ahogy ezt láttuk. 

Fölmerül a kérdés miért használunk akkor ilyen modellt. A gyakorlatban előforduló 

áramlások esetében ritka, hogy gyorsan változik a deformáció, például a 

határréteg közelítésben feltettük, hogy az áramlás irányában minden mennyiség 

lassan változik. Ilyen esetekben a lokális folyamtok jellemzőek és jól működhet 

a modell. Ha a lokális folyamatok a jellemzőek akkor a produkció és disszipáció 

közel azonos (P ≈ ε), például a fali határrétegek logaritmikus tartományában. 

Ellenpéldaképp mondható az előzőhöz hasonló, korábban tanult homogén nyírás 

(P > ε), vagy a csillapodó turbulencia (P = 0 és ε > 0). 

12.1.2. Az összefüggés lineáris 

Az örvényviszkozitás modell második tulajdonsága, hogy lineáris kapcsolatot tételez 

fel a deformáció és a Reynolds feszültség tenzor között. Ezzel ellentétes viselkedést 

figyelhetünk meg homogén nyíró áramlásban. Ott egyedül az Sxy komponens 

nem nulla, de korábbiakból tudjuk, hogy a hosszirányú ingadozás nagyobb 

mint a gradiens irányú (u ′2 > v ′2 ). 

Ezt a viselkedést más néven úgy is mondhatjuk, hogy a deformáció Sij és az 

anizotrópia tenzor aij nem egy irányba mutat. Az okokat keresve ismét a gázelmélethez 

lehet viszonyítani, ahol a feszültségtenzor anizotrópiája kicsi és jól 

működik a lineáris kapcsolat. Turbulens áramlásokban ezzel szemben jelentős az 

anizotrópia, például homogén nyírás esetén: 

− u′ v ′ 

2 ≈ 0,5 (12.6) 

k 



3 

azaz a diagonálison kívüli elem fele egy tipikus átlóbeli elemnek. 

A modell ezen gyengéje az előzővel ellentétben azonban könnyen feloldható, 

mindössze nemlineáris modellt kell használni az anizotrópia tenzor kiszámításához, 

erre egy példa lehet: 

aij = −2νtSij + νt2(SikΩkj − ΩikSkj) + νt3(SikSkj − 1 

2 S2 kkδij) (12.7) 

12.2. Az örvényviszkozitás meghatározása 

Amennyiben az örvényviszkozitás modellt elfogadtuk, a turbulencia modellezési 

feladatunk az örvényviszkozitás meghatározására redukálódott. Itt is követhetjük 

a kinetikus gázelmélet gondolatmenetét részben. Ezek alapján a kinematikai viszkozitás 

egy úthossz (l ′ ) és az ahhoz kapcsolódó sebességingadozásból (u ′ ) szá- 

molható. 

νt ∼ l ′ u ′ 

(12.8)



12.2.1. keveredési úthossz modell 

A Prandtl-féle keveredési úthossz modellben a hossz a keveredési úthossz (l ′ = 

= lm). A sebességingadozás, azzal a feltevéssel számítható, hogy a keveredési 

úthossz távolságot megtevő folyadékrész megőrzi sebességét, így a következőképpen 

számítható: 

u ′ = lmdyu (12.9) 

Természetesen ez a modell csak fal mellett alkalmazható, ennek általánosítását 

adta Smagorinsky: 

(12.10) 

u ′ � 

= lm 2SijSij 

miszerint a sebességderivált helyett, a deformáció normáját vesszük. Egy másik 

megközelítés szerint amelyet Baldwin-Lomax modellnek is neveznek az örvényesség 

normáját érdemes használni: 

u ′ � 

= lm 2ΩijΩij 



(12.11) 

Ezen modelleknek az a hiányossága továbbra is megmarad, hogy elő kell írni a keveredési 

úthossz térbeli eloszlását (lm = lm(xi)), ami jelentősen rontja a modell 

általánosságát. Ezen hiányosság ellenére a Baldwin-Lomax modellt még mindig 

használják, ha egyszerű modellre van szűkség és jól definiált faltávolság segítségével 

megadható a keveredési úthossz térbeli eloszlása, például forgógépek optimalizálásánál. 

12.2.2. k-epszilon modell 

Próbáljunk olyan modellt találni amelynél megszűnik a jellemző hossz ad-hoc 

jellege, ez esetben a sebességingadozást is célszerű lenne a hossztól függetlenül 

kifejezni. A sebességingadozás jellemzésére érdemes a turbulens kinetikus energia 

négyzetgyökét használni, mivel arról a korábbiakban már sok megfigyelést 

tettünk és transzport/mérleg egyenletet tudtunk rá levezetni. 

u ′ ∼ √ k (12.12) 

Érdemes lenne ezek alapján a hosszléptékre is transzportegyenletet felírni, ezt korábban 

meg is tették, de később rájöttek, hogy érdemesebb ε-al dolgozni, az úgyis 

szorosan összefügg a hosszléptékkel az energia kaszkád koncepció alapján (l ′ ∼ 

∼ k3/2 ). Itt érdemes megfigyelni, hogy ezen feltevés P ≈ ε esetén áll fönn. Ezek 

ε 

alapján a következőképpen írható az örvényviszkozitás: 

νt = Cν 

k 2 

ε 

(12.13)



ahol Cν az arányossághoz tartozó meghatározandó konstans. így persze elvileg 

bonyolultabb lett a feladat, mert egy változó helyett kettőt kell meghatároznunk, 

de abban bízunk, hogy ezt a két változó jobban fizikai, így könnyebb meghatározni. 

k modell-egyenlet 

A korábbiakban levezettük a k transzportegyenletét, nézzük meg mely tagok azok 

amelyeket nem ismerünk. Az egyenlet bal oldalán áll k lokális és konvektív változása, 

ezek számíthatók, mivel a sebességet természetesen ismerni fogjuk és k-ra 

oldjuk meg az egyenletet, tehát az lesz a változónk. A produkció a Reynolds feszültség 

ismeretében számítható. 

P = −aijSij = 2νtSij Sij (12.14) 

Érdemes megfigyelni, hogy ez a tag ebben a közelítésben mindig pozitív, mivel 

Sij Sij egy négyzetszám és νt > 0. A disszipációra (ε) külön egyenletet tervezünk 

megoldani, tehát szintén ismertnek tekinthető. A transzport tagot ellenben 

modelleznünk kell. A különböző skalár mennyiségek molekuláris transzportjához 

hasonlítva, gradiens diffúziós hipotézissel élhetünk: 

Tj = νt 



σk 

∂jk (12.15) 

Itt a diffúziós tényezőt a momentum diffúziós tényező νt alapján σk Schmidt szám 

jellegű mennyiséggel átszámítva közelítjük. Összefoglalva: 

� � 

νt 

∂tk + uj ∂jk = 2νtSij Sij − ε − ∂j ∂jk 

itt természetesen k-ra nem kell összegezni. 

epszilon modell-egyenlet 

A disszipációt kétféle oldalról nézhetjük: 

σk 

(12.16) 

– A nagy léptékek oldaláról, az energia kaszkád alapján, a léptékek közötti 

energia áram 

– A kis léptékek oldaláról a kis léptékeken való hővé alakulás 

Ugyan az utóbbi megközelítés alapján tudnánk egyenletet levezetni ε = νs ′ ij s′ ij - 

re, de ez fizikailag nehezen követhető így inkább a nagy léptékek oldaláról szokás



közelíteni. Így a disszipációra pusztán analógia alapján a k egyenlethez hasonlóan 

írjuk föl: 

∂tε + uj ∂jε = C1εP ε ε 

� � 

νt 

− C2εε − ∂j ∂jε (12.17) 

k k σε 

A baloldalra írtunk lokális és konvektív változást, a jobb oldalon a produkciót 

és disszipációt ε 

k segítségével a helyes dimenzióra váltottuk át és C1ε-t és C2ε-t 

használjuk további korrekcióra. A transzport tagot szintén gradiens diffúziós hipotézissel 

írtuk σε Schmidt szám felhasználásával. 

A standard modell konstansai 

A modell egyenletek konstansaira az eredeti verzióban a következő értékeket javasolták: 

12.2.3. A k-epszilon modell tulajdonságai 

Cν = 0,09 (12.18) 

C1ε = 1,44 (12.19) 

C2ε = 1,92 (12.20) 

σk = 1 (12.21) 

σε = 1,3 (12.22) 

Ebben a fejezetben néhány speciális esetben nézzük meg milyen megoldásokat ad 

az egyenletrendszer. Ezen elemzésben vizsgáljuk először a homogén turbulencia 

esetét, ekkor az egyenletrendszer a következő alakot ölti: 

Csillapodó turbulencia 

dtk = P − ε (12.23) 

dtε = C1εP ε ε 

− C2εε (12.24) 

k k 


Csillapodó turbulencia esetén P = 0 így az egyenletrendszer könnyen megoldható: 

� �−n t 

k(t) = k0 

(12.25) 


t0 

� �−n−1 t 

ε(t) = ε0 

t0 

(12.26)



ahogy a mérési eredmények ismertetésénél is láttuk, itt azonban most ε-ra szóló 

egyenletből kijön n értéke is: 

n = 



1 

C2ε − 1 

azaz C2ε a turbulencia csillapodásához köthető együttható az ε egyenletben. 

Homogén nyírás 

Érdemes k és ε egyenletet egymással elosztani: 

� � 

k 

dt = 

ε 

� C2ε − 1 � − � C1ε − 1 �P 

ε 

(12.27) 

(12.28) 

Ahogy korábban láttuk homogén nyírás esetén a turbulencia önhasonló, így a bal 

oldal zérus ez alapján a produkció és a disszipáció aránya kifejezhető: 

P 

ε = C2ε − 1 

C1ε − 1 

sztand. mod. 

= 2,1 > 1,7 (12.29) 

azaz a standard modell együtthatók alapján a produkció és a disszipáció arányát 

homogén nyírás esetére túlbecsüljük. Mindenesetre láthattuk, hogy C2ε a produkció 

és a disszipáció arányát szabályozza. 

Az epszilon egyenlet relaxációs tulajdonsága 

Ebben a fejezetben az ε egyenlet egy további tulajdonságát fogjuk megismerni. 

Először definiáljuk turbulencia frekvenciáját: 

ω def 

= ε 

k 

(12.30) 

ezt más néven (a definíció alapján) specifikus disszipációnak is szokás nevezni. 

Nyilvánvaló, hogy ezt a mennyiséget is használhatnánk egy turbulencia modell 

második egyenletének ε-hoz hasonlóan (látjuk majd, hogy szokás is használni). 

Tekintsünk egy nagyon egyszerű modellt ω-ra: 

ω = S 

β 

(12.31) 

ahol β = 3 egy konstans. Ez modell egy algebrai modell, azaz pusztán lokális jellemző 

alapján adja meg ω értékét. A modell annyiban logikus, hogy logaritmikus 

faltörvény tartományában láttuk, hogy Sk ≈ 3. 

ε



Ez a modell ellenben csillapodó turbulenciában rossz, mivel S = 0, ezzel 

szemben ε �= 0 a modellel ellentétben, ugyanis ε > 0 okozza a turbulencia csillapodását. 

Homogén nyírás esetén Sk = 6, azaz a konstans függés helyes, de 

ε 

β = 3 �= 6 érték helytelen. 

Próbáljunk az algebrai modell helyett egy differenciálegyenletet írni amely 

relaxál a korábbi egyenlet felé: 

� � 

dtω 2 = −αω 

ω 2 − S2 



β 2 

(12.32) 

Látjuk, hogy ez alapján az egyenlet alapján (ω = S 

β )2 felé konvergál a megoldás 

αω frekvenciával. Ha ezt az egyenletet átírjuk ε változó, az látjuk, hogy a homogén 

turbulenciára vonatkozó ε egyenletet kapjuk a következő konstansokkal: 

A logaritmikus tartományban 

α = 2(C2ε − 1) (12.33) 

� 

�1/2 C2ε − 1 

β = 

(12.34) 

Cν(C1ε − 1) 

A modell egyenletek vizsgálata a logaritmikus tartományban azért különösen érdekes, 

mivel itt kap szerepet az ε egyenletben szereplő transzport tag. Ennek a 

tagnak fontos szerepe van abban is hogy sima megoldása legyen az egyenleteknek, 

a peremfeltételek hatása érződjön a számítási tartomány belsejében is, ne 

csak az áramvonalak mentén. Ha nagy Reynolds számú kialakult csatorna áramlást 

tekintünk a modell egyenletrendszerünk a következő alakra egyszerűsödik: 

� � 

0 = P − ε + dy 

νt 

σk 

0 = C1εP ε ε 

− C2εε 

k k 

dyk 

+ dy 

� 

νt 

σε 

dyε 

� 

(12.35) 

(12.36) 

Ha a logaritmikus tartományra fokuszálunk, ahol mint korábban láttuk P ≈ 

≈ ε az egyenletrendszer tovább egyszerűsödik. A k egyenletben a diffúziós tag 

zérus, azaz k konstans a logaritmikus tartományban, ez a mérési eredményekkel 

közelítőleg egyezik is. Az ε egyenletben a P ≈ ε egy −(C2ε − C2εε2 /k) mértékű 

nyelőt eredményez, amely y−2 szerint alakul. Ezt egyenlíti ki ε diffúziója. 

SOK MINDEN HIÁNYZIK! 

A sebességderivált a logaritmikus faltörvény részében:



A produkció így: 

dyu = 1 

κy 

P = dyu = 1 

κy 



(12.37) 

(12.38)


13. fejezet 

A nagy örvény szimuláció 

Ebben a fejezetben megismerkedünk a nagy örvény szimuláció alapgondolatával. 

A nagy örvény szimuláció az angol Large-Eddy Simulation magyar fordítása 

melynek rövidítése LES a magyar „köznyelvben” is használatos. Ez a megközelítés 

az előző fejezetben tárgyal RANS modellezéshez képest annyiban más, hogy 

ahogy a módszer neve is mutatja, nagyrészt turbulencia szimulációról és nem modellezésről 

van szó. 

13.1. DNS 

A turbulencia teljes szimulációját közvetlen numerikus szimulációnak nevezzük 

(angolul Direct Numerical Simulation, rövidítve DNS). Ebben a megközelítésben 

arról van szó, hogy a Navier-Stokes egyenletet numerikusan megoldjuk. Ahogy 

korábban láttuk, mivel a turbulencia kontinuum jelenség, ezért az egyenlet megoldásával 

pontosan a turbulens áramlást kapjuk. A probléma a numerikus megoldásban 

rejlik, ugyanis ahogy szintén korábban láttuk, a turbulencia nagy létékei 

(l0), amely tipikusan a számítási tartomány léptékével egy nagyságrendbe esik, 

vagy némely esetben előírja a számítási tartomány méretét (pl. homogén izotrop 

turbulencia, korábban pl. a csillapodó turbulencia volt ilyen) és a legkisebb azaz 

a Kolmogorov lépték aránya erősen Reynolds szám függő. Ez azért érdekes mivel 


ez az arány arányos szükséges cellák számával, azaz a véges számítási kapacitás 

(mivel a számítások parallelizáció foka tipikusan kisebb mint 100%, így végtelen 

sok számítógép se segítene) miatt csak kis Reynolds számú turbulens áramlások 

számíthatóak közvetlen módon. Ugyan nyilvánvaló, érdemes megjegyezni, hogy a 

szimulációt mindig 3D-ben időfüggő módon végezzük és ha statisztikai átlagokra 

van szükségünk ezt időbeli átlagolással és homogén irányokban történő átlagolással 

közelítjük (az ergodicitás feltételezésével). Így a szimuláció hossza is nyilván 

jelentős, sok időléptéknyi adatra van szükségünk pontos átlagok képzéséhez, 


86


13. FEJEZET. A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ 87 

ahogy ezt korábban láttuk. 

13.2. A nagy örvény szimuláció alapgondolata 

A nagy örvény szimuláció a közvetlen numerikus szimuláció és Reynolds átlagolt 

modellezés előnyeit próbálja ötvözni, emellett a hátrányokat is sikerül ötvöznie. 

A megközelítés alapgondolata, hogy az energia kaszkád koncepció helyes és minden 

esetben alkalmazható az a megközelítés, hogy egy bizonyos mérettartomány 

alatt a turbulencia közel univerzális. Ezek alapján az javasoljuk, hogy a nagy örvényeket 

(Large-Eddy) szimuláljuk és csak a kisebbeket modellezzük, mivel azokat 

jóval könnyebb. Így a nehezen modellezhető nagy léptékeket szimuláljuk, tehát az 

eredmény pontosabb lesz, kicsiket modellezzük, tehát nem kell a Kolmogorov létékek 

felbontására is képes finom hálón számolnunk, így a szimulációnk olcsóbb 

lesz. A hátrányok is természetesen megjelennek, az eredmény nem lesz tökéletes, 

de jóval lassabb, drágább lesz mint egy RANS. Ezek után nézzük meg, hogyan 

vezethető le a megoldandó egyenlet. 

13.3. A LES egyenlet levezetése 

13.3.1. A szűrés 

A nagy örvény szimuláció alapegyenletét hagyományosan a Navier-Stokes egyenlet 

térbeli szűrésével állítják elő, mi is ezt az utat követjük itt, lássuk hogyan simítható 

térben egy áramlási mennyiség. Definiáljuk az átlagolást a következőképpen: 

〈ϕ〉 (xj, t) def 

� 

= G∆(ri; xj) ϕ(xj − ri, t)dri (13.1) 

V 

ami egy G∆, egy ∆ tipikus szélességű magfüggvénnyel képzett konvolúciós integrál, 

melyben V a teljes vizsgált tartomány, ahol ϕ(xj, t) értelmezve van. Itt G∆-ra 

igaz, hogy az első változóban kompakt tartójú (matematikailag kevésbé szabatosan: 

a nem nulla értékkészletű tartománya zárt). Ezen felül, hogy egy konstans 

függvény szűrtje önmaga legyen, a következőnek is igaznak kell lennie. 

� 

G∆(ri; xj)dri = 1 (13.2) 


V 

Ha G∆(ri; xj) homogén (a második változóban) és izotrop (az első változóban) 

azaz csak ri abszolút értéke számít a függvényben, azaz G∆(|ri|) egyváltozós 

függvény. Pár tipikusan használható ilyen magfüggvény látható a 13.1 ábrán. 

Saját használatra




13.1. ábra. Néhány tipikus szűrésre használt magfüggvény. 

Saját használatra



A simítás hatását jeleníti meg egy sebességkomponens értékén a 13.2 ábra. 

Ugyanezen az ábrán látható a következőképpen definiált az átlagoláshoz tartozó 

fluktuáció: 

ϕ� def 

= ϕ − 〈ϕ〉 (13.3) 

Megfigyelhetjük, hogy általános esetben (pl. az ábrán), az ingadozást szűrve nem 

kapunk azonosan nullát. Ez például egy jelentős eltérés a Reynolds átlagoló operátorhoz 

viszonyítva, ahol sokszor kihasználtuk azt a tulajdonságot ami ebből következett, 

hogy a jelet másodszori átlagolása már hatástalan (ϕ = ϕ ). A magfügg- 


13.2. ábra. A szűrés hatása egy térbeli sebességeloszláson. 

vényt spektrálisan is szokás definiálni és/vagy vizsgálni, mivel fontos látnunk azt 

a tulajdonságát, hogy egy bizonyos méretnél kisebb struktúrákat kiszűr. Ez utóbbi 

tulajdonság megfigyelhető a turbulencia energia spektrumát összehasonlítva a 

szűrt sebességmezőből képezett energiaspektrummal. Egy ilyen összehasonlítás 

Saját használatra




13.3. ábra. A szűrés hatása egy analitikus spektrumon. 

Saját használatra



látható a 13.3 ábrán. Láthatjuk, hogy az amúgy is kis energia tartalmú mozgások 

kiszűrésre kerültek. A korábbi kaszkádos gondolatmenet alapján azt szokták javasolni, 

hogy helyezzük a szűrőnk vágási hullámhosszát a spektrum inerciális tartományába, 

mert így válik egyszerűvé a levágott örvények modellezése. A spektrum 

vizsgálatával úgy tűnik, hogy ha az energia 80%-át szimuláljuk, körülbelül akkor 

járunk el az előbbiek szerint. 

13.3.2. A szűrt egyenlet 

Ha az előbbi említett homogén, izotrop szűrőt használjuk, akkor az operátorunk 

kommutálni fog a deriválással és így a Navier-Stokes egyenlet szűrt alakja a következő: 

∂i 〈ui〉 = 0 (13.4) 

∂t 〈ui〉 + 〈uj〉 ∂j 〈ui〉 = − 1 

ρ 〈p〉 + ν∂j∂j 〈ui〉 − ∂jτij (13.5) 

ahol τij a háló méret alatti (Sub Grid Scale, rövidítve SGS) feszültség tenzor, 

melynek neve még azokból az időkből származik, amikor a szűrű azonos volt a 

numerikus hálóval. Értéke a következő: 

τij 

def 

= 〈uiuj〉 − 〈ui〉 〈uj〉 (13.6) 

Ez az egyenlet formálisan teljesen megegyezik a Reynolds átlagolt Navier- 

Stokes egyenlettel, csak a modellezendő feszültség tenzor (τij) jelentése lényegesen 

más. 

13.3.3. Örvény viszkozitás modell 

A leszűrt kis méretű örvényeket célszerű ismét örvény viszkozitás modellel megközelíteni: 

Smagorinsky modell 


τij − 1 

3 τkkδij = −2νt 〈sij〉 (13.7) 

Az örvényviszkozitást a Smagorinsky modellel szokás közelíteni: 

ahol 

νt = (Cs∆) 2 | 〈S〉 | (13.8) 


| 〈S〉 | def 

= � 2sijsij 

(13.9)



a deformáció egy normája. és Cs az úgynevezett Smagorinsky konstans, mely a 

modell egyetlen paramétere. Valójában természetesen a ∆ is a felhasználó által 

megadandó paraméter, elvileg a korábbiak alapján az áramlás közelítő ismeretében 

a 80%-os szabály alapján írjuk elő. 

A Smagorinsky konstans � A konstans értékét többféleképpen meg lehet határozni. 

Egyik lehetőség egy modellspektrum alapján a 80%-os felbontott energiára 

törekedve, a lényegileg másik megoldás, pedig konkrét áramlást kiszámolni és 

megnézni mely értékkel kapjuk a legjobb eredményt. Sajnos ezzel a két módszerrel 

nem azonos értéket szokás kapni, sőt a második módszer eredménye áramlás 

függő. Különböző érték megfelelő csatorna áramlás és csillapodó turbulencia szimulációjához. 

A Smagorinsky modell hibái 

A Smagorinsky modell hibái leginkább onnan származnak, hogy míg egy modell 

célja a szűrőméret alatti folyamatok modellezése ehhez a deformáció tenzor „egészét” 

veszi figyelembe, azaz nem csak a kis léptékeket, hanem a nagy léptékű 

deformáció is jelentősen számít, így például lamináris cső vagy csatornaáramlásban 

is nagy mértékű turbulens viszkozitást jelez, főként a fal mellett. Turbulens 

fal melletti áramlásoknál ezt a hibát különböző csillapító függvények segítségével 

redukálják, de ennek ellenére lamináris turbulens átcsapás modellezésére a modell 

alkalmatlan, mivel lamináris áramlásban is SGS feszültséget ad. Teljesen turbulens 

áramlásoknál mint korábban írtuk áramlásfüggő a megfelelő Cs érték azaz 

összetett áramlásokban nyílván hibás eredményre vezet. 

13.3.4. Méret hasonlóság (scale similarity) modell 

Ebben a modellben azt a feltevést tesszük, hogy az SGS feszültség tenzor közelíthető 

úgy is ha a feszültség tenzort a simított (számolt) sebességmező alapján 

számoljuk, azaz: 


τij 

def 

= 〈〈ui〉 〈uj〉〉 − 〈〈ui〉〉 〈〈uj〉〉 (13.10) 

Ez a modell ugyan nagyon logikusnak és egyszerűnek tűnik azonban használatához 

explicite szűrni kell az eredmény sebességmezőt, ezen felül a tapasztalatok 

alapján nem eléggé disszipatív, azaz nem nyeli el a nagy skálákról az inerciális 

tartományon keresztül érkező energiát, így az a számításban akkumulálódhat. 

Ennek a modellnek elméleti előnye, hogy a kis skálák alapján próbálja a kiszűrteket 

modellezni, így nem érzékeny a nagy léptékeken zajló folyamatokra, 

ami a Smagorinsky modell egy komoly hiányossága volt. 

Saját használatra



13.3.5. A dinamikus modellezés 

A méret hasonlóság modellhez hasonlóan ebben a megközelítésben is a cél, hogy a 

kis léptékek segítségével próbáljuk modellezni a kiszűrt mennyiségeket. Itt ebből 

a célból definiálunk egy újabb szűrés operátort (�✷), mely csak a szűrő méretében 

tér el az előzőtől. 

A szűrők és a megfelelő méretek a következőképpen állnak párban: 

〈ϕ〉 ←→ ∆ (13.11) 

�ϕ ←→ � ∆ (13.12) 

Legyen a továbbiakban � ∆ > ∆. 

Ennek segítségével ϕ a következőképpen bontható fel: 

ϕ = � 

� 

〈ϕ〉 + 〈ϕ〉 − 

�� 

� 

� 

〈ϕ〉 + ϕ� 

� �� 

�� 

�∆-nél nagyobb 

�∆ és ∆ közötti 

∆ alatti 



(13.13) 

Ez alapján láthatjuk, hogy három léptékre tudtuk bontani a változónkat. A 〈ϕ〉 − 

− � 〈ϕ〉 a legkisebb felbontott skálát jelenti. 

Nézzük meg hogyan alakul ez a mennyiség, ha két szűrőt azonosnak vesszük 

( � ∆ = ∆). 

〈ϕ〉 − � 〈ϕ〉 = 〈ϕ〉 − 〈〈ϕ〉〉 = 〈ϕ�〉 (13.14) 

� �� 

〈ϕ−〈ϕ〉〉 

Ez alapján láthatjuk, hogy a legkisebb felbontott skála (az egyenlet bal oldala) 

azonos a legnagyobb fel nem bontott skálával (az egyenlet jobb oldala). Így célszerűnek 

tűnik a legkisebb felbontott skála segítségével modellt készíteni. 

Definiáljuk a két skála SGS feszültségeit: 

τij 

Tij 

def 

= 〈uiuj〉 − 〈ui〉 〈uj〉 (13.15) 

def 

= � 〈uiuj〉 − � 〈ui〉 � 〈uj〉 (13.16) 

Ezekre a mennyiségekre levezethető a Germano azonosság. 

Germano azonosság 

Lij = Tij − �τij = � 

〈ui〉 〈uj〉 − � 〈ui〉 � 〈uj〉 (13.17) 

amely csupa számítható mennyiséget tartalmaz.



Dinamikus Smagorinsky modell 

Ha feltételezzük, hogy mindkét léptékű SGS feszültséget a Smagorinsky modellel 

határozzuk meg, az a következőképpen néz ki: 

τ d ij 

T d 

ij 

def 

= τij − 1 

3 τkkδij = −2Cs∆ 2 | 〈S〉 | 〈sij〉 (13.18) 

def 

= Tij − 1 

3 Tkkδij = −2Cs � ∆ 2 | � 〈S〉| � 〈sij〉 (13.19) 

Ezeket a modell egyenleteket beírhatjuk a Germano azonosságba, ez alapján Csre 

hat egyenletet kapunk, Lilly javaslata alapján azt követeljük megy, hogy a hat 

egyenlet a legkisebb négyzetek értelmében legkisebb hibát tartalmazzon. Így explicit 

képlet adható Cs kiszámítására. A módszer így időről időre, pontról-pontra 

meghatározza Cs értékét és azzal végzi a szimulációt. Ennek előnye, hogy lamináris 

áramlásban a kívánt Cs = 0 előállhat. A módszer praktikus alkalmazásánál 

stabilitási problémát jelent, hogy Cs negatív értéket is felvehet, ezért ekkor nullára 

szokás vágni, vagy ennek kiküszöbölése érdekében Cs értékét esetleges homogén 

irányok mentén vagy áramvonal mentén átlagolják. 

13.3.6. Numerikus szempontok 

A RANS egyenletre vonatkozó numerikus áramlástani megfontolások alapján tudhatjuk, 

hogy egy adott numerikus séma esetén az áramlás sajátosságai alapján választható 

meg az optimális numerikus háló. Annak ellenőrzésére, hogy megfelelő 

hálót használunk-e legjobb módszer az eredmény összevetése egy lényegesen sűrűbb 

háló eredményével, mivel a praktikusan használt numerikus módszerek esetén 

végtelen sűrű hálón a differenciál egyenlet tökéletes megoldását kaphatnánk 

(persze itt kerekítési hibáktól pl. eltekintünk). 

Nagy örvény szimulációra esetén azonban sokkal óvatosabbnak kell lennünk 

a háló sűrítésével, mivel tudatosan használunk a DNS-hez képest jóval durvább 

hálót. Ezen felül hagyományosan a szűrőméretet a háló mérettel azonos méretűre 

szokták venni (innen a Sub Grid kifejezés), ez esetben azonban azonban a háló 


sűrítése a megoldandó egyenlet megváltoztatását is jelenti. 

A numerikus megoldás pontosságát ezek alapján nyilván a szűrőméret és a 

hálóméret arányának (∆/h) növelésével lehet csak vizsgálni. Tipikus eredmény, 

hogy körülbelül ∆/h = 4 esetén ad egy másodrendű séma elfogadható hibájú 

(1 − 5%) eredményt. Robusztus kódokban másodrendű séma tűnik a leghatékonyabbnak 

a számítási erőforrás igény, pontosság arányt tekintve így érdemes ezt 

az értéket figyelembe venni. 

Ha ezt az eredményt összevetjük a hagyományosan használt ∆/h = 1 értékkel 

erősen csodálkozhatunk, miért tudtak mégis elfogadható eredményeket elérni. 

Saját használatra



A válasz abban rejlik, hogy a numerikus hiba se sokkal rosszabb mint egy SGS 

modell, azaz numerikus megoldás hibája is a kis örvényeket modellezi. 

Ha ezt figyelembe vesszük, egyértelművé válik, hogy nem akarunk ∆/h = 4t 

használni, mivel annak erőforrás igénye közel 100(!)-szoros, azaz egy év alatt 

vagy 3 nap alatt kapunk eredményt. 

13.4. Permfeltételek 

13.4.1. Periodikus perem 

Akadémia tesztesetekben és az átlagáramkép szempontjából 2D áramlások esetén 

a homogén irányokban periodikus peremfeltételt szokás használni. Ezen peremeknél 

az aránylag triviális numerikus implementáláson túl az egyetlen kérdés milyen 

távolságra legyenek a periodikus peremek. Mivel a valóságban nincs periodicitás 

az áramlásban ezért olyan nagy távolságot kell választani, amely garantálja, hogy 

a megoldás se legyen ilyen. A hosszlépték kétszeresére érdemes így elhelyezni a 

peremfeltételeket. 

13.4.2. Belépő perem 

A belépő peremfeltételek megadása a RANS-hoz képest jelentősen komolyabb 

problémát okoz, mivel nem elég pusztán a Reynolds feszültség tenzor komponenseinek 

megadás, hanem a turbulens áramlási struktúrák időbeli lefutását kell 

megadni. Ezért a következő jól használható módszereket használják. 

Külön segéd számítás 

A legpontosabb módszer, ha külön áramlás irányában is periodikus szimulációt 

futtatunk és ennek eredményét írjuk elő. 


Az eredmény visszaforgatása 

Az előbbivel analóg de hatékonyabb megoldás (ráadásul pl. vastagodó határrétegek 

esetén az előbbi módszer nem is alkalmazható közvetlenül), ha számítás 

belépés közeli zónája alapján generáljuk a belépő peremet valamilyen geometriai 

transzformációt is segítségül hívva. 

Szintetikus örvények generálása 


Szintén alkalmazható módszer, ha tényleges örvényeknek megfelelő áramképet 

írunk elő a belépésnél. Természetesen ennek közelítenie kell az előírt Reynolds



feszültség tenzor és hosszlépték eloszlást. 

13.4.3. Fali perem 

A fali peremfeltétel klasszikus LES számítás esetén triviálisan a súrlódásmentes 

fali perem, azonban mivel a turbulencia skálái a fal közelében kicsik, így szükséges 

szűrő azaz hálóméretről érdemes beszélni. Így a következő méretek szükségesek 

körülbelül: 

y + ≈ 1 (13.20) 

x + ≈ 50 (13.21) 

z + ≈ 10 − 20 (13.22) 

Ennek oka a turbulens struktúrák méretében rejlik, láttuk, hogy a struktúrák hosszanti 

elrendeződésüek, ezért nincs szükség hosszanti irányban olyan finom felbontásra 

mint kereszt irányban. 

13.4.4. Példa szükséges cellaszámra 

Pl. 40 3 elég homogén turbulenciára. 


Saját használatra


Irodalomjegyzék 



97

Jegyzet kezdemény (BMEGEÁTMO10 ... - BME Áramlástan Tanszék

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?