1. Végtelen sorok

1. Fourier-sorok
1. Bevezetés és definíciók
Ennek a fejezetnek a célja, hogy egy 2π szerint periodikus
függvényt felírjunk mint trigonometrikus függvényekből
képzett függvénysorként. Nyilván a cos x és a sin x
függvények 2π szerint periodikus függvények és általában
tetszőleges k egész szám esetén a cos kx és a sin kx
függvények szintén 2π szerint periodikus függvények,
továbbá az ezekből formált
a0 +
n�
(ak cos kx + sin kx)
k=1
ún. trigonometrikus polinomok is tetszőleges a0, ak, bk
valós számok esetén 2π szerint periodikus függvényt adnak.
Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus
függvényt felírni
függvénysorként.
a0 +
∞�
(ak cos kx + sin kx)
k=1
A továbbiakban feltesszük, hogy a 2π szerint peiodikus
f(x) Riemann-integrálható a [0, 2π] intervallumban.
Először az f(x)-et a
a0 +
n�
(ak cos kx + bk sin kx)
k=1
trigonometrikus polinommal közelítjük. Az együtthatókat
úgy válaszjuk, hogy a következő, összesen 2n + 1 feltétel
teljesüljön:
1.
2.
3.
2π �
0
2π �
0
2π �
0
f(x)dx =
2π �
0
f(x) cos kxdx =
f(x) sin kxdx =
fn(x)dx
2π �
0
2π �
Az első feltételből a következőt kapjuk:
�
�2π
0
a0x +
0
a0 +
0
fn(x) cos kxdx, k = 1, 2, . . . n
fn(x) sin kxdx, k = 1, 2, . . . n
�2π
�2π
f(x)dx = fn(x)dx =
n�
k =1
0
n�
(ak cos kx + bk sin kx)dx =
k=1
�2π sin kx cos kx
ak − bk = 2πa0,
k k
0
1
ezért
a0 = 1
2π
�
2π
0
f(x)dx.
Az ak, bk együttható meghatározásához szükségünk lesz a
következő integrálokra:
1. Ha k �= l pozitív egészek, akkor
(a)
(b)
(c)
�
2π
0
�
2π
0
�
2π
0
2. Ha k = l, akkor
(a)
(b)
(c)
cos kx cos lxdx = 1
2
�
sin(k + l)x
+
k + l
sin(k − l)x
sin kx sin lxdx = 1
2
�
sin(k − l)x
−
k − l
sin kx cos lxdx = 1
2
�
2π
0
�
cos(k+l)x+cos(k−l)dx =
k − l
2π
0
� 2π
0
= 0
cos(k−l)x−cos(k+l)dx =
sin(k + l)x
k + l
�
2π
0
�
cos(k + l)x
− −
k + l
�
�
2π
0
�
2π
0
2π
0
cos 2 kxdx =
�2π
0
�
1 sin 2kx
x +
2 4k
sin 2 kxdx =
�2π
0
�
1 sin 2kx
x −
2 4k
sin kx cos kxdx = 1
2
− 1
2
� cos 2kx
2k
� 2π
0
= 0
sin(k+l)x+sin(k−l)dx =
�2π cos(k − l)x
= 0
k − l 0
1 + cos 2kx
dx =
2
� 2π
0
= π;
1 − cos 2kx
dx =
2
� 2π
0
�
2π
0
�2π 0
= π.
sin 2kxdx =
= 0