1. Végtelen sorok

More documents

Recommendations

Info

aN+2 aN+1 < r ⇔ aN+2 < raN+1 < r 2 aN és általában pozitív egész m esetén aN+m < r m aN. Ekkor az sn részletösszeg felülről becsülhető a a1 + a2 + · · · + aN−1 + aN + raN + r 2 aN + · · · = a1 + a2 + · · · + aN−1 + aN(1 + r + r 2 + . . . ) konvergens sorral, így � an is konvergens. 2. Ha ρ > 1, akkor létezik N, hogy n ≥ N esetén 3. A ezért an+1 an > 1, aN < aN+1 < aN+2 < . . . ezért a sorozat tagjai nem tartanak a 0-hoz, így a � an végtelen sor divergens. ∞� 1 n és n=1 an+1 ∞� n=1 1 n 2 sorokra teljesül, hogy ρ = lim = 1 és az első egy divergens, a második n→∞ an pedig egy konvergens sor. � Példák ∞� 2 1. A n n! végtelen sor konvergens, mert an = 2n n! és 2. A n=1 an+1 = 2n+1 (n+1)! , ezért ∞� n=1 lim n→∞ 2 n+1 (n+1)! 2 n n! 2 = lim = 0 < 1. n→∞ n + 1 2 n n 2 végtelen sor divergens, mert an = 2n n 2 és an+1 = 2n+1 (n+1) 2 és így lim n→∞ 2 n+1 (n+1) 2 2 n n 2 = 2 > 1. 8. tétel (Gyökkritérium). Legyen � an csupa pozitív tagból álló végtelen sor. Tegyük fel, hogy Ekkor lim n√ an = ρ. n→∞ 1. ha ρ < 1, akkor � an konvergense; 2. ha ρ > 1, akkor � an divergens; 4 3. ha ρ = 1, akkor a kritérium nem alkalmazható. Bizonyítás: 1. Ha lim n√ an = ρ < 1, akkor egy rögzített ρ < r < 1 n→∞ esetén létezik N, hogy n√ an < r, azaz an < r n , ha n ≥ N, alkalmas pozitív egész N esetén. Meg kell mutatnunk, hogy az sn, (n ≥ N) részletösszegek felülről korlátosak. Nyilván: 2. Ha lim sn = a1 + · · · + aN−1 + aN + aN+1 + · · · + an < a1 + · · · + aN−1 + r N + r N+1 + · · · + r n ≤ n→∞ a1 + · · · + aN−1 + r N + r N+1 + · · · ≤ a1 + · · · + aN−1 + rN . � 1 − r n√ an = ρ > 1, akkor létezik N, hogy n√ an > 1, ha n ≥ N, ezért an > 1, ha n ≥ N és így lim n→∞ an �= 0, ezért a � an végtelen sor divergens. Példa: A � n 1 n lim = n→∞ 2n 2 ∞� n=1 < 1. n végtelen sor konvergens, mert 2n A következő tételben ún. alternáló sorokkal foglalkozunk. Legyenek an > 0. Ekkor az a1 − a2 + a3 − a4 + − váltakozó előjelű végtelen sort alternáló sornak mondjuk. 9. tétel (Leibniz-kritérium). A fenti alternáló sor konvergens, ha an monoton csökkenő és lim n→∞ an = 0. Bizonyítás. A 2m-edik részletösszeg: Ekkor s2m = (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · · + (a2m−1 − a2m). s 2(m+1) = s2m + (a2m+1 − a2m+2), ahol a monoton csökkenés miatt (a2m+1 −a2m+2) ≥ 0. Igy az s2m sorozat monoton növő. Másrészt s2m = a1−(a2−a3)−(a4−a5)−· · ·−(a2m−2−a2m−1)−a2m ≤ a1, megint csak a monoton csökkenés miatt. Mivel s2m monoton nő és felülről korlátos, emiatt létezik a lim m→∞ s2m. De lim m→∞ s2m+1 = lim m→∞ (s2m + a2m+1) =
lim m→∞ s2m + lim m→∞ a2m+1 = lim m→∞ s2m, ezért létezik a véges limn→∞ sn. � Példa: A ∞� (−1) n−1 n=1 n = 1 − 1 1 1 + − + − 2 3 4 alternáló sor konvergens, mert an = 1 n tart a 0-hoz. monoton csökkenve 2. definíció. A � an végtelen sor abszolút konvergens, ha � |an| konvergens. Példa A ∞� n=1 (−1) n−1 n 2 = 1 − 1 1 1 + − + − . . . 4 9 16 végtelen sor a Leibniz kritérium szerint konvergens, és a tagok abszolút értékét véve a ∞� n=1 1 1 1 1 = 1 + + + + . . . n2 4 9 16 is konvergens sor lesz az integrál kritérium szerint, tehát az eredeti sor abszolút konvergens. 3. definíció. A � an konvergens végtelen sor feltételesen konvergens, ha � |an| divergens. Példa A ∞� n=1 (−1) n−1 n = 1 − 1 1 1 + − + − . . . 2 3 4 sor a Leibniz-kritérium szerint konvergens, de a tagok abszolút értékét véve a ∞� n=1 1 1 1 1 = 1 + + + + . . . n 2 3 4 ún. harmonikus sor már divergens lesz az integrálkritérium alapján. 10. tétel. Ha a � an végtelen sor abszolút konvergens, akkor konvergens is. Bizonyítás. Legyen Ekkor cn = an + |an|. 0 ≤ cn ≤ 2|an| Mivel � |an| konvergens, emiatt � 2|an| is konvergens és így az összehasonlító kritérium alapján � cn is konvergens végtelen sor. De an = (an + |an|) − |an| = cn − |an| és mivel két konvergens végtelen sor különbsége is konvergens, emiatt � an is konvergens. � 5
Page 1 and 2: 1. Végtelen sorok 1. Bevezetés é
Page 3: Példa: A ∞� n=1 1 konvergens,
Page 7 and 8: amelynek első eleme 1 és hányado
Page 9 and 10: Példa: Határozza meg a ∞� n=1
Page 11 and 12: ahonnan már következik az állít
Page 13 and 14: 1. Fourier-sorok 1. Bevezetés és
Page 15 and 16: 1. tétel. Legyen az f(x) 2π szeri
Page 17 and 18: 2. Fejtsük Fourier-sorba az függv

1. Végtelen sorok

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?