1. Végtelen sorok

2. Fejtsük Fourier-sorba az
függvényt!
f(x) = sin 3 x
Olyan a0, ak, bk valós számokat kell találnunk, amelyekkel
sin 3 x = a0 +
∞�
(ak cos kx + bk sin kx).
k=1
A linearizációs formulák szerint:
1
2
sin 3 x = sin 2 x sin x =
1 − cos 2x
2
1 1
sin x − sin x cos 2x =
2 2
sin x =
1
3 1
sin x − (sin 3x + sin(−x)) = sin x − sin 3x,
4 4 4
azaz a nemnulla Fourier-együtthatóák: b1 = 3
4 és b3 =
− 1
4 .
4. Páros és páratlan függvények
Az alábbiakban azt gondoljuk meg, hogy páros és páratlan
függvények esetén hogyan egyszerűsödik le az együtthatók
kiszámítása.
A továbbiakban felhasználjuk, hogy ha g(x) egy 2π szerint
periodikus függvény, akkor a [π, 2π] intervallumon
vett integrál megegyezik a [−π, 0] intervallumon vett integrállal,
ezért
�
2π
0
g(x)dx =
�π
−π
g(x)dx.
1. Legyen f(x) egy páros függvény. Ekkor f(x)
párossága miatt
a0 = 1
2π
�
2π
0
f(x)dx = 1
2π
�π
−π
f(x)dx = 1
π
továbbá f(x) cos kx párossága miatt
ak = 1
π
�
2π
0
f(x) cos kxdx = 1
π
2
π
�π
0
�π
−π
f(x) cos kxdx.
Mivel f(x) sin kx páratlan, ezért
bk = 1
π
�
2π
0
f(x) sin kxdx = 1
π
�π
−π
�π
0
f(x)dx,
f(x) cos kxdx =
f(x) sin kxdx = 0.,
5
tehát a Fourier-sor nem tartalmaz szinuszos tagokat,
emiatt ezt a Fourier-sort tiszta koszinuszos Fouriersornak
mondjuk.
2. Most legyen f(x) egy páratlan függvény. Ekkor f(x)
páratlansága miatt
a0 = 1
2π
�
2π
0
f(x)dx = 1
2π
�π
−π
f(x)dx = 0,
továbbá f(x) cos kx páratlansága miatt
ak = 1
�2π
f(x) cos kxdx =
π
1
�π
f(x) cos kxdx = 0
π
0
Mivel f(x) sin kx páros, ezért
bk = 1
�2π
f(x) sin kxdx =
π
1
π
0
2
π
�π
0
−π
�π
−π
f(x) sin kxdx,
f(x) sin kxdx =
emiatt ez a Fourier-sor csak szinuszos tagokat tartalmaz,
ezért ezt tiszta szinuszos Fourier-sornak mondjuk.
Példák:
1. Fejtsük tiszta szinuszos Fourier-sorba az
függvényt!
f(x) = x(π − x) 0 ≤ x ≤ π
Megoldás: A függvényt a [−π, 0] intervallumon úgy
egészítjük ki, hogy a [−π, π] intervallumban páratlan
legyen. Erre a függvényre már alkalmazhatom a
fenti képleteket. A részleteket mellőzve a következőt
kapjuk
b2k = 0
b2k−1 = 2
π
azaz
�π
0
x(π − x) sin(2k − 1)xdx =
8
(2k − 1) 3 π ,
f(x) = 8
�
sin 3x
sin x +
π
33 sin 5x
+
53 �
+ . . .
2. Magyarázza meg, hogy a korábban kiszámolt
f(x) = x, 0 < x < 2π
2π szerint periodikus függvény Fourier-sora miért
nem tartalmaz koszinuszos tagot!
Megoldás: Tekintsük a g(x) = f(x) − π
2 függvényt.
Ez már páratlan lesz, emiatt az ő Fourier-sora csak
szinuszos tagokat tartalmaz. Ehhez a Fourier-sorhoz
-et megkapjuk f(x) Fourier-sorát.
hozzáadva π
2