Korrelációs együttható - Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék ...

Kérdés:• Van-e kapcsolat a változók között?(példák: fizetés-távolság; felvételi pontszám - görgetett átlag)2Korrelációs együttható

Felvételi pontszám-görgetett átlag120115110felvételi pontszám105100959085802.00 3.00 4.00 5.00görgetett átlag3Korrelációs együttható

Kérdés:Van-e kapcsolat a változók között?Válasz: korrelációs együtthatóMegfigyelés sorozat:(ξ 1 ,η 1 ), (ξ 2 ,η 2 ),… (ξ n ,η n ),Átlagok:ξésη4Korrelációs együttható

Korrelációs együttható:c = ξ − ξ( )( )i i iη −η5Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóA pontoktendenciájan∑( i )(i)C= ξ−ξ η−η> 0i=17Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatón∑( i )( i )C= ξ−ξ η−η< 0i=1A pontoktendenciája8Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóC≈09Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóC függ a megfigyelések számától: n1n∑( ξ −ξi )( η −ηi )az változók szórásától: s ξ s η∑ ( ξ −ξ)( η −η)ii1n1ρξη = n∑ ξ −ξ η −η( , )( )( )iiss ξ ηtapasztalati korrelációs együtthatóss ξ η10Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóTapasztalati korrelációs együttható1ρξη = n∑ ξ −ξ η −η( , )( )( )iiss ξ ηKorrelációs együtthatór( , )ξη =( ξ− ( ξ)) η− ( η)( )M⎡⎣ M Mσσξη⎤⎦11Korrelációs együttható

Korrelációs együttható tulajdonságai• szimmetrikus:• értéke:( ξ , η) r( η,ξ )r =( ξ,η) 1−1 ≤ r ≤• linearitás:( ξ, η) = ± 1r η = aξ+bHa értéke = ±1, akkor a két változó közötti kapcsolat lineáris12Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóBizonyítás (azt akarjuk látni, hogy)r ξ, η = ± 1 ⇒ η = aξ+ b( )A korrelációs együttható definíciójából:r( ξη , )( ξ − ( ξ)) η − ( η)( )⎡= M ⎣ M Mσσξη⎤⎦r( ξη , )( ) −M( )⎡⎛ξ −Mξ ⎞⎛η η ⎞⎤= M ⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎥⎢⎣⎝ σξ⎠⎝ ση⎠⎥⎦13Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóBelátjuk, hogyM ξ = 0(*)ξ*=ξ−M( ξ)σξM*( )M( ξ)⎛ξ − ⎞ξ = M⎜⎟⎝ σξ⎠( ξ−M( ξ))M= =σξ015Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóBelátjuk, hogy2D ξ = 1(*)D⎛ξ −2( ) DM( ξ )*2⎞ξ = ⎜⎟⎝ σξ⎠( ξ)2D=2= 1σξ16Korrelációs együttható

Korrelációs együttható( ) 2( *) ⎡ * ( )ξ = = ξ − ξ ⎤ =⎣⎦2D 1 M M *= M ξ −Mξ =(* 2) 2( *)tudjuk:*( )M ξ = 0= M ( ξ*2 )Kaptuk, hogy(* 2)M ξ = 117Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóHasonló módon láthatjuk, hogy(*)D2η = 1és(* 2)M η = 118Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóEddig kaptuk:Vizsgáljuk meg:(* 2)(* 2)(* *)M ξ = 1M η = 1M ξ η = a feltétel szerint = 1M ⎡( * * ) 2⎤⎣ξ −η⎦= ?= M ξ −2ξ η +η =(* 2 * * 2*)= M ξ −2M ξ η + M η = 0(* 2) (* *) (* 2)19Korrelációs együttható

Korrelációs együttható( ) 2M⎡⎤⎣ξ −η⎦= 0 ⇒ ξ =η* * * *ξ−Mξ η−Mη=σ σξ( ) ( )σ ση ηη= ξ− Mξ+ M ησ σξξη( )η= aξ+b20Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóEddig azt láttuk, hogy:( ξ, η) = ± 1r η = aξ+bVisszafelé is igaz:η= aξ+br( ξ, η) = ± 121A bizonyítás sokkal egyszerűbb:Indulás a korrelációs együttható definíciójából:Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóTudjuk (a definició)A várhatóérték:η = aξ+ br( ξη , )M( η= ) M( aξ+ b)=( ξ − ( ξ)) η − ( η)( )⎡= M ⎣ M Mσσξη= aM( ξ ) + b⎤⎦22A szórás:2( a b)σ = D2ξ+ =η= a2σ2ξKorrelációs együttható

Korrelációs együtthatóEddig azt láttuk, hogy( ξ, η) = ± 1r η = aξ+bA korrelációs együttható a lineáris kapcsolat szorosságátmériHa korrelációs együttható zérus: korrelálatlanok a változókHa korrelálatlanok és normális eloszlásúak, akkorfüggetlenek.25Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóEllenpélda!Legyen ξ egyenletes (-1,1)-ben2η = ξc j < 0 c j > 0A kapcsolatdeterminisztikus,funkcionális, mégis akorrelációs együtthatózérus26ξ-1 1Korrelációs együttható

Korrelációs együtthatóFelvételi pontszám-görgetett átlag120115110felvételi pontszám1051009590ρ=0.26585802.00 3.00 4.00 5.00görgetett átlag27Korrelációs együttható

Spearman féle rangkorreláció• A megfigyelt két változó diszkrét(pl. a sorrend, a rangsorolás szubjektív)• Kérdés: van e kapcsolat a két sorrend között (hogyanértékel a zsűri?).• Rangszám: sorba rendezzük az adatokatRangszám = a sorba-rendezett elem sorszáma• Spearman féle rangkorreláció = korrelációs együttható arangszámok között28Korrelációs együttható

Spearman féle rangkorrelációMinta: A B C D……1. rangszám k1 k2 k3 k4….2. rangszám j1 j2 j3 j4….Rangszámok különbsége:d i = k i -j i29Spearman féle rangkorreláció:2r 1 6 d= − n n 1∑ i(2− )Korrelációs együttható

Spearman féle rangkorrelációTulajdonságai:• Ha a két sorrend azonos: r =1• Ha a két sorrend egymás ellentettje: r = -1• Ha nem sok közük van egymáshoz: r = ~030Korrelációs együttható

Lássunk egy példát (rangkorreláció):Borversenyen vagyunk.Adott 4 féle bor. Jelöljük őketegyszerűen betűkkel. A kétzsűritag más-más nedűt találjobbnak. Hasonlítsuk összepontjaikat, melyek a képenláthatóak. A rangszámokatvonjuk ki egymásból (d i ).Helyettesítsünk be aSpearman-képletbe.© Bagó Ákos Károly31Korrelációs együttható

Lássunk egy példát (rangkorreláció):Behelyettesítés:2r 1 6 d= − nn 1∑ i(2− )61 ( + 22+ 22+1)r= 1− = 044−1(2)32Korrelációs együttható

Lássunk egy példát (rangkorreláció):A példa eredménye:r = 0-át kaptunk eredményül. Így azt láthatjuk, nincskapcsolat a két zsűritag véleménye közt. Újra kellkóstolni…Vége...33Korrelációs együttható

korrelációÖsszefoglalás:Korrelációs együtthatór( , )ξη =( ξ− ( ξ)) η− ( η)( )M⎡⎣ M Mσσξη⎤⎦A változók közötti lineáris kapcsolat szorosságát mériLegfontosabb tulajdonsága:34r(ξ, η) = ± 1η= aξ+Korrelációs együtthatób

Rangkorreláció:Spearman féle rangkorrelációKét sorrend (sorba rendezett minta) összehasonlításáraszolgál.Rangszámok különbsége:d i = k i -j i352r 1 6 d= − nn 1∑ i(2− )Ha a két sorrend azonos: r =1Ha a két sorrend egymás ellentettje: r = -1Korrelációs együttható