Integrasi 1 - Member of EEPIS-ITS

Integrasi 1
• Metode Integral Reimann
• Metode Integral Trapezoida
• Metode Integral Simpson
Integrasi 1

Permasalahan Integrasi
Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam
kalkulus, dalam banyak keperluan. Integral ini secara definitif digunakan
untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan
sumbu x. Perhatikan gambar berikut :
Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan :
b
∫
a
L = f ( x)
dx
Pada beberapa permasalahan perhitungan integral ini, dapat dihitung
secara manual dengan mudah,tetapi pada banyak permasalahan integral sulit sekali
dihitung bahkan dapat dikatakan tidak dapat dihitung secara manual
Integrasi 2

Permasalahan Integrasi
Pada aplikasi, perhitungan integral ini digunakan untuk
menghitung luas area pada peta, volume permukaan tanah,
menghitung luas dan volume-volume benda putar dimana fungsi f(x)
tidak ditulis, hanya digunakan gambar untuk menyajikan nilai f(x)
Perhatikan contoh :
Skala 1:100000
Untuk menghitung luas daerah yang berwarna hijau, perlu digunakan
analisa numerik.Karena polanya disajikan dalam gambar dengan
Integrasi 3
faktor skala tertentu.

Metode Integral Reimann
Metode integral Reimann ini merupakan metode integral yang
b
n
digunakan dalam kalkulus, dan didefinisikan dengan : lim
f ( x)
dx f ( x ) Δx
∫
a
= Δx→0
∑
i=
0
Pada metode ini, luasan yang dibatasi oleh y = f(x) dan sumbu x dibagi menjadi N
bagian pada range x = [ a, b]
yang akan dihitung.Kemudian dihitung tinggi dari setiap
step ke-i yaitu f(xi).Li adalah luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi). Δxi
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
0.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
a
L0 L1 L2 L3 Ln-1 Ln Integrasi 4
b
i

Metode Integral Reimann
Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :
L
=
=
=
f
n
∑
i=0
L
( x ) Δx
+ f ( x ) Δx
+ f ( x ) Δx
+ ... + f ( x )
f
0
0
+
L
1
0
+
( xi
) Δxi
L
2
+ .. +
1
L
1
n
2
Bila diambil 0 1 2
maka didapat metode integral Reimann sebagai berikut :
b
∫
a
f
2
n
Δx
x x x xn
= Δ = = Δ = Δ = Δ ...
( x)
dx h∑
f ( x ) i
= n
i=
0
3
h
Integrasi 5

Contoh Metode Integral Reimann
Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x
0,
1
untuk range x = [ ]
L =
1
∫
0
2 dx
x
Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
=
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.
f(x) 0 0.01 0.04 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 1
10
L = h.
∫
n=
=
0
f
( x )
i
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.
1(
0 + 0.
01+
0.
04 + 0.
09 + 0.
16 + 0.
25 + 0.
36 + 0.
49 + 0.
64 + 0.
81+
1.
00)
( 0.
1)(
3,
85)
= 0,
385
Secara kalkulus :
1
L = ∫ x
0
2
1 3 1
| 0
dx = x
3
=
Integrasi
e = 0,385-0,333
= 0,052
6
0,
3333.....
x**2

Algoritma Metode Integral Reimann
1. Definisikan fungsi f(x)
2. Tentukan batas bawah dan batas atas integrasi
3. Tentukan jumlah pembagi area N
4.
5.
Hitung h=(b-a)/N
N
Hitung L = h.
∑ f ( x i )
i = 0
Untuk mengurangi kesalahan dapat dilakukan dengan
memperkecil nilai h atau memperbesar jumlah pembagi N.
Integrasi 7

Metode Integral Trapezoida
Pada metode trapezoida ini setiap bagian dinyatakan sebagai
trapezium seperti gambar berikut :
f(x 0 )
f(x 1 )
f(x 2 )
x 0 x 1 x 2 x 3 x n
x 4
x n-2
x n-1
a b
x 5
…
f(x n-1 )
Luas trapezium ke-i (Li) adalah :
f(x n )
L
L
i
atau
i
=
=
1
2
1
2
( f ( x ) + f ( x ) )
i+
1
( fi
+ fi+
1)
. Δxi
Dan luas keseluruhan dihitung dengan menjumlahkan luas dari
η 1
semua bagian trapezium. Sehingga diperoleh
L = L
∑ −
i=
0
1
h
L +
n−1
= −
i=
0 2
2
i
∑ h(
f ) ( )
i + fi+
1 = f 0 + 2 f1
+ 2 f 2 + ... + 2 f n 1 f n
Integrasi 8
i
. Δx
i

Contoh Metode Integral Trapezoida
Hitung luas yang dibatasi y = 2x3 dan sumbu x untuk range x = [ 0,
1]
L =
∫ 1
0
Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.
f(x) 0 0,002 0,016 0,054 0,128 0,25 0,432 0,686 1,024 1,458 2
0,
1
L =
2
Secara kalkulus :
3
2x dx
{ 0 + 2(
0,
002 + 0,
016 + 0,
054 + 0,
128 + ... + 1,
024 + 1,
458)
+ 2}
= 0,
505
1
L
= ∫ 2x
0
3
⎡1
dx =
⎢
x
⎣2
0,
5
Dengan h=0,1 terjadi kesalahan e = 0,505-0,5 = 0,005
4
⎤
⎥
⎦
1
0
=
Integrasi 9

Algoritma Metode Integral Trapezoida
1. Definisikan fungsi f(x)
2. Tentukan batas bawah dan batas atas integrasi
3. Tentukan jumlah pembagi area N
4. Hitung h=(b-a)/N
⎛
⎞
5. Hitung = ⎜ + ∑ + ⎟
⎝
⎠
− n 1 h
L f0
2 fi
f n
2
i=
1
Integrasi 10

Metode Integral Simpson
Metode integrasi Simpson merupakan pengembangan metode integrasi
trapezoida, hanya saja daerah pembaginya bukan berupa trapesium
tetapi berupa dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot
berat di titik tengahnya seperti telihat pada gambar berikut ini.
Atau dengan kata lain metode ini adalah metode rata-rata dengan
pembobot kuadrat.
f(x i-1 )
x i-1
x i
f(x i )
f(x i+1 )
Pemakaian aturan simpson dimana bobot fi sebagai titik tengah dikalikan
dengan 2 untuk menghitung luas bangun diatas dapat dituliskan dengan:
h
h
h
L = ( fi−
1 + 2 fi
) + ( 2 fi
+ fi+
1)
= ( fi−1
+ 4 fi
+ fi+
1)
3
3
3
x i+1
Integrasi 11

Luas daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu x, dihitung
dengan aturan Simpson :
h h h
h
h
h
L = 0 1
1 2
2 3
3 4
n−2
n−1
n−1
+
3 3 3
3
3
3
f(x 0 )
( f + 2 f ) + ( 2 f + f ) + ( f + 2 f ) + ( 2 f + f ) + ... + ( f + 2 f ) + ( 2 f f )
f(x 1 )
f(x 2 )
x 4
x n-2
x n-1
x 0 x 1 x 2 x 3 x n
a b
x 5
…
f(x n-1 )
f(x n )
L
Atau dapat ditulis :
h ⎛
= ⎜
f + + ∑
0 4 fi
2
3 ⎝ i ganjil i
Integrasi 12
+
∑ i n
f
genap
f
n
⎞
⎟
⎠

Contoh Metode Integral Simpson
Hitung luas yang dibatasi y = 2x3 dan sumbu x untuk range x = [ 0,
1]
L =
∫ 1
0
3
2x dx
Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.
f(x) 0 0,002 0,016 0,054 0,128 0,25 0,432 0,686 1,024 1,458 2
0,
1
L
=
3
0,
1
=
3
( 0 + ( 4)(
0,
002)
+ ( 2)(
0,
016)
+ ( 4)(
0,
054)
+ ( 2)(
0,
128)
+ ... + ( 2)(
1,
024)
+ ( 4)(
1,
458)
+ 2)
( 15)
= 0,
5
Secara kalkulus :
1
3 ⎡1
4 ⎤
L = ∫ 2x
dx =
⎢
x
⎣2
⎥
⎦
0
1
0
=
0,
5
Dengan h=0,1 terjadi kesalahan e = 0,5-0,5 = 0
Integrasi 13

Algoritma Metode Integral Simpson
1. Definisikan fungsi f(x)
2. Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi
3. Tentukan jumlah pembagi area N
4. Hitung h=(b-a)/N
5. Hitung
L
h ⎛
= ⎜
f + + ∑
0 4 fi
2
2 ⎝ i ganjil i
+
∑ i n
f
genap
• Metode ini akan mendapatkan hasil yang baik bila diambil n genap.
• Metode ini sangat terkenal karena kesalahannya sangat kecil,
sehingga menjadi alternatif yang baik dalam perhitungan integral dan
penerapannya khususnya di bidang teknik.
f
⎞
⎟
⎠
Integrasi 14