Kalkulus – Fungsi Transenden

Asimtot.wordpress.com 

FUNGSI TRANSENDEN 

7.1 Fungsi Logaritma Asli 

7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 

7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 

7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 

7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 

7.6 Persamaan Differensial Linear Orde Saturday 

7.7 Fungsi-fungsi balikan Trigonometri dan Turunannya 

7.8 Fungsi-fungsi hiperbola dan Turunannya 

muhammadsihabudin@yahoo.co.id


7.1 Fungsi Logaritma Asli 

Turunan dan integral sudah dipelajari pada bab-bab sebelumnya. Tentu kita sudah cukup 

menguasai tentang dua hal tersebut. Dari kedua hal tersebut, jika kita kaitkan dengan cara 

mengurutkannya sesuai besarnya pangkat maka diperoleh suatu keanehan yang belum kita temui 

pada bab-bab yang telah kita pelajari. Perhatikan hal berikut 

Dengan adanya kesenjangan tersebut, maka didefinisikan suatu fungsi logaritma asli. Untuk 

memenuhi tempat kosong yang ada di atas. 

Definisi Fungsi Logaritma Asli 

Fungsi Logaritma Asli, dinyatakan oleh , didefinisikan sebagai 

Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif. 

Dengan demikian kita sudah mempunyai suatu fungsi yang turunannya adalah 

suatu fungsi logaritma asli 

muhammadsihabudin@yahoo.co.id 

, yaitu turunan 

Kita kombinasikan dengan aturan rantai. Jika dan jika terdiferensialkan, maka 

Contoh : Tentukan . 

Penyelesaian : Andaikan


Karena 

maka 

Sehingga didapatkan suatu yang selama ini menjadi permasalahan juga. Dalam aturan pangkat : 

Contoh : Tentukan 

Penyelesaian : 

Sifat-sifat Logaritma Asli 

Teorema Logaritma Asli 

, dengan sekarang, untuk kita sudah punya solusinya, yaitu 

Jika dan bilangan-bilangan positif dan sebarang bilangan rasional, maka 

i. 

ii. 

iii. 

iv. 

Grafik Logaritma Asli 

Daerah asal adalah himpunan bilangan real positif, sehingga grafik terletak di 

setengah bidang kanan. 

Karena , maka . Ini menunjukkan bahwa fungsi selalu naik. Dan untuk 

ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut cekung ke bawah dimana-mana. Gambarnya seperti 

berikut. 



7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 

Teorema 

Jika monoton murni pada daerah asalnya, maka memiliki balikan. 

Fungsi monoton 

Misalkan terdefinisi pada suatu himpunan . Untuk semua , fungsi 

dikatakan: 

monoton naik, jika maka 

monoton turun, jika untuk maka 

monoton tak naik, jika untuk maka 

monoton tak turun, jika untuk maka 

monoton datar, jika untuk maka 

Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati, 

dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik. 

Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi 

monoton turun. Monoton naik jika maka Monoton turun jika 

maka Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi 

monoton murni memiliki invers. Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk maka berlaku 

untuk setiap pada daerah asalnya. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan 

pernyataan jika maka berlaku untuk setiap pada daerah asalnya. 

Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu. 

Bukti teorema 

Kita ambil 

Jika monoton murni maka satu-satu dan onto 



Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik. 

Bukti untuk satu-satu. 

Diketahui monoton naik ⟷ 

Dengan kata lain : 

Terbukti satu-satu. 

Bukti untuk onto 

Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Mungkin karena hal ini sehingga di buku kalkulus tidak 

dituliskan. Kami mencoba untuk membuktikannya. 

Onto artinya , yang ekuivalen dengan dan 

Untuk sudah sangat jelas. 

Sekarang akan dibuktikan untuk 

Andaikan 

Maka 

Untuk 

Maka 

Menurut teorema apit maka haruslah 

Kontradiksi bahwa 

Jadi, adalah Onto. 

Contoh : Perlihatkan bahwa memiliki balikan. Untuk . 

Penyelesaian : Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita 

dapatkan turunan pertamanya yaitu 

Dimana nilai selalu lebih besar nol untuk setiap . 


untuk semua 

Jadi naik pada seluruh garis real. Sehingga memiliki balikan di sana.


Cara Menentukan Fungsi Balikan 

Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk untuk melakukan itu, kita tentukan 

terlebih dahulu , kemudian kita menukarkan dan dalam rumus yang dihasilkan. Jadi 

diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian 

1. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan untuk dalam bentuk . 

2. Langkah 2 : Gunakan untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam . 

3. Langkah 3 : Gantilah dengan . 

Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan dan . Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa 

menukar peranan dan pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis . Jadi, 

grafik adalah gambar cermin grafik terhadap garis 

Contoh : Carilah invers dari 

Penyelesaian : Langkah 1 : menyelesaikan persamaaan untuk dalam bentuk . 

Langkah 2 : menggunakan untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam 

Langkah 3 : mengganti dengan . 



Turunan Fungsi Balikan 

Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi 

dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini 

pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni. 

Teorema 

Andaikan terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang . Jika 

di suatu tertentu dalam . Maka terdiferensiasikan di titik yang berpadanan 

dalam daerah hasil dan 

Menurut definisi invers. Yaitu, jika maka . Dengan melakukan substitusi 

kita dapatkan . 

Kita perhatikan untuk Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh : 

Yang ekuivalen dengan 

Bukti teorema 

Interval , dan , fungsi monoton murni dan kontinu pada . 


dan invers fungsi yang monoton murni dan kontinu.


Fungsi terdiferensial di titik dan . Fungsi terdiferensial di titik 

lebih lanjut, 

Ambil sembarang dengan , selanjutnya didefinisikan fungsi 

dengan 

Diketahui monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap 

dengan , maka . dengan kata lain , well define. Demikian 

halnya jika dan maka berdasarkan definisi fungsi diperoleh 

Mudah dipahami bahwa untuk setiap dengan , maka . Selanjutnya 

dibuktikan bahwa 

Diberikan bilangan dan jika terdiferensial di , maka terdapat bilangan 

sehingga untuk setiap dengan sifat – berlaku 

Diketahui kontinu di titik , artinya untuk setiap bilangan terdapat bilangan 

sehingga untuk setiap dengan – , maka berlaku 

Karena fungsi invers dari maka bijektif, dengan kata lain injektif dan surjektif. 

injektif dan , maka diperoleh; jika – 

maka untuk setiap 

Oleh karena itu untuk setiap dengan – berakibat 

Untuk sebarang Jadi 



Perhatikan bahwa karena maka 

Dapat disimpulkan, untuk setiap dengan berlaku 

Terbukti 

Contoh : Carilah jika diketahui 

Penyelesaian : Kita akan mencari nilai yang berpadanan dengan 

Kemudian kita cari 

Kita selesaikan dengan menggunakan teorema 


, sehingga diperoleh


7.3. Fungsi Eksponen Asli 

Definisi 

Balikan disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh Jadi 

Dari definisi dapat diambil bahwa 

i. 

ii. untuk semua 

Sifat-sifat Fungsi Eksponen 

Definisi 

Huruf menyatakan bilangan real positif unik sedemikian rupa sehingga . 

Bilangan sama halnya seperti bilangan yaitu sama-sama bilangan yang tak rasional. Ekspansi 

desimalnya diketahui sampai beribu-ribu angka di belakang koma. 

Teorema 

Andaikan dan sebarang bilangan real, maka dan 

Turunan 

Andaikan , maka dapat dituliskan . Perhatikan untuk 

Kedua ruas diturunkan terhadap Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh 

Karena , maka 

Apabila . Dan terdiferensiasi, maka menurut aturan rantai 





Integral 

Rumus turunan secara otomatis akan menghasilkan integral 



7.4. Fungsi-fungsi Eksponen dan logaritma Umum 

Definisi 

Untuk dan sebarang bilangan real maka berlaku 

Coba hitung dengan menggunakan . Hasilnya pasti sama yaitu 9. Kalkulator mungkin 

akan menghasilkan yang berbeda. Misalnya 8,9999999999. Karena kalkulator menggunakan 

nilai hanya 8 digit atau beberapa digit di tempat desimal. 

Sifat-sifat 

Teorema 

Jika dan dan adalah bilangan-bilangan real, maka 

i. 

ii. 

iii. 

iv. 

v. 



Aturan-aturan Fungsi Eksponensial 

Teorema 

Contoh : tentukan 

Penyelesaian : dengan menggunakan aturan rantai diperoleh 

Fungsi 

Definisi 

Andaikan adalah bilangan positif bukan 1. Maka 

Basis yang paling umum digunakan adalah basis 10. Logaritma yang dihasilkan dinamakan 

logaritma biasa. Di dalam kalkulus dan dalam semua matematika lanjut, basis yang berarti 

adalah . 

Jika sehingga , maka 

Dengan menggunakan sifat sebelumnya diperoleh turunannya, yaitu 



7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 

Pertambahan populasi yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendek 

sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan 

panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi atau 

Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial 

populasi bertambah. populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah 

menunjukkan bahwa sekitar 

Menyelesaikan Persamaan Differensial 

dengan syarat awal apabila . Dengan memisahkan peubah dan 

mengintegrasikan, kita peroleh 

Syarat pada saat akan menghasilkan Sehingga, 

Ketika jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika 

disebut peluruhan eksponensial. 

Peluruhan Radioaktif 

Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya, zat-zat 

radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk 

Teorema 



Bukti 

Pertama ingat kembali bahwa jika maka 

Kemudian, dari definisi turunan dan sifat-sifat , kita peroleh 

Jadi 


dan khususnya, 

. Karena adalah fungsi yang kontinu, ini berarti kita 

dapat melewatkan limit ke dalam eksponen argumentasi berikut 

Contoh : Rudi menyimpan 500 di bank dengan bunga harian majemuk sebesar . Andaikan 

bunga majemuknya kontinu, berapakah uang Dono pada akhir tahun ketiga? 


Perhatikan bahwa walaupun beberapa bank mencoba mendapatkan promosi iklan dengan 

menawarkan bunga majemuk kontinu, beda hasil antara bunga majemuk secara kontinu dan yang 

secara harian (yang ditawarkan banyak bank) ternyata sangat kecil. 

Berikut pendekatan lain terhadap masalah pemajemukan bunga secara kontinu. Andaikan 

adalah nilai pada saat uang sebesar rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga 

mengatakan bahwa bunga majemuk secar kontinu berarti bahwa laju perubahan sesaat dari 

terhadap waktu adalah , yakni 

Persamaan diferensial ini adalah 

7.6. Persamaan Differensial Linear Orde-Satu 

Tidak semua persamaan linear dapat dipisahkan. Contohnya dalam persamaan differensial 

Tidak ada cara untuk memisahkan peubah sedemikian rupa sehingga memiliki dan seluruh 

ungkapan yang melibatkan pada satu sisi dan beserta seluruh ungkapan yang melibatkan 

pada sisi lainnya. 

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk


Dimana dan hanyalah fungsi-fungsi saja. Persamaan differensial dalam bentuk ini 

dinamakan sebagai persamaan differensial orde-satu. 

Menyelesaikan Persamaan Linear Orde-Satu 

Untuk menyelesaikan persamaan linear orde-satu, pertama kita mengalikan kedua sisi dengan 

factor integrasi 

Didapatkan 

Sisi kiri adalah turunan hasil kali , maka persamaannya mengambil bentuk 

Integrasi kedua sisi menghasilkan 

Contoh : Carilah penyelesaian umum dari 

Penyelesaian : Faktor integrasi yang tepat adalah 

Di bawah perkalian dengan factor ini, persamaannya akan berbentuk 

atau 

Jadi penyelesaian umumnya adalah 



7.7. Fungsi-fungsi balikan Trigonometri 

Balikan sinus dan Kosinus 

Definisi 

Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masing- 

masing pada selang 


dan Sehingga, 

dan 

dan 

Balikan Tangen dan Balikan Sekan 

Definisi 

Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masing- 

masing pada selang 

Teorema 

i. 

ii. 

iii. 

iv. 

dan 

Turunan Fungsi Trigonometri 

dan 

dan 

Sehingga,


Turunan Fungsi Balikan Trigonometri 

Teorema 

i. 

ii. 

iii. 

iv.

Kalkulus – Fungsi Transenden

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?