TEKNIK PENGOLAHAN CITRA Kuliah 7 – Transformasi Fourier

TEKNIK PENGOLAHAN CITRA
Kuliah 7 – Transformasi Fourier
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro
Program Studi Teknik Informatika
Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer
Universitas Mercu Buana Yogyakarta
2009

KULIAH 7
TEKNIK PENGOLAHAN CITRA
TRANSFORMASI FOURIER
Transformasi Fourier merupakan salah satu dasar penting dalam pengolahan citra,
dapat memproses dengan efisien dan lebih cepat. Dibandingkan dengan linear spatial
filtering, maka transformasi Fourier lebih cepat (terutama jika ukuran filternya besar).
Transformasi Fourier memungkinkan pengolahan dengan cara mengisolasi satu
“frekuensi” tertentu pada citra, sehingga dapat digunakan untuk menerapkan LPF dan
HPF dengan ketelitian yang cukup tinggi.
Latar Belakang
Suatu fungsi periodik dapat dinyatakan sebagai jumlahan fungsi sinus dan cosinus
yang bervariasi amplitude dan frekuensinya. Gambar berikut merupakan contoh suatu
fungsi dan dekomposisinya menjadi fungsi-fungsi sinus.

Beberapa fungsi mungkin hanya terdekomposisi menjadi sejumlah terhingga
fungsi sinus dan cosinus, tetapi juga terdapat fungsi yang mempunyai tak terhingga
fungsi dekomosisi, misalnya fungsi gelombang kotak (square wave) berikut.
Pada gambar berikut, diambil empat fungsi dekomposisi yang pertama dan kemudian
dijumlahkan. Semakin banyak fungsi dekomposisi yang dijumlahkan, maka hasilnya
akan semakin mirip dengan fungsi aslinya (fungsi kotak).
Transformasi Fourier Diskret Satu Dimensi
Dalam fungsi diskret (sebagaimana pada pengolahan citra), maka hanya akan ada
sejumlah terhingga nilai sehingga juga hanya dibutuhkan sejumlah terhingga fungsi saja.
Misalkan terdapat suatu deret sbb.
1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
Maka dapat dinyatakan dengan pendekatan diskret seperti gelombang kotak pada gambar
berikut. Pada gambar yang sama juga dapat dilihat bahwa gelombang kotak ini dapat
dinyatakan sebagai jumlahan dua fungsi sinus saja. Oleh karena pembahasan pengolahan
citra menggunakan citra digital maka hanya akan dibahas transformasi Fourier diskret
saja (DFT : Discrete Fourier Transform).

Definisi DFT Satu Dimensi
Misalkan terdapat deret sepanjang N yang dinyatakan sbg fx = [f0, f1, f2, ..., fN-1]
maka DFT dari deret tsb didefinisikan sbg
dengan
Fu = [F0, F1, F2, ..., FN-1]
Dan untuk Inverse Discrete Fourier Transform (IDFT) – nya adalah
∑ −1
1 ⎡ ⎤
= exp
⎢
2
⎥
= 0 ⎣ ⎦
N xu
f x
π
i F
N u N
u

Fast Fourier Transform (FFT)
Alternatif lain untuk menghitung DFT (selain menggunakan rumusan di atas)
adalah menggunakan algoritma cepat yang dikenal dengan Fast Fourier Transform (FFT).
Dengan FFT maka waktu yang dibutuhkan untuk menghitung DFT menjadi lebih cepat.
Metode FFT bekerja secara rekursif dengan membagi vektor asli menjadi dua
bagian, menghitung FFT masing-masing bagian, dan kemudian menggabungkannya. Hal
ini mengindikasikan bahwa FFT akan menjadi sangat efisien jika panjang vektor
merupakan bilangan pangkat 2. Tabel berikut memuat perbandingan jumlah operasi
perkalian dalam perhitungan DFT menggunakan rumus DFT secara langsung dan
menggunakan algoritma FFT.
DFT Dua Dimensi
Dalam dua dimensi, DFT mempunyai input berupa matriks dan akan
menghasilkan output berupa matriks dengan ukuran yang sama. Jika input adalah f(x,y)
maka outputnya dapat dinyatakan dengan F(u,v). Matriks F(u,v) disebut transformasi
Fourier dari f (x,y) dan ditulis sbb.
Jika diketahui fungsi F(u,v), maka matriks f(x,y) dapat dicari dengan Inverse DFT, yaitu
Dalam satu dimensi, suatu fungsi dapat dinyatakan sebagai jumlahan fungsi sinus
dan cosinus. Oleh karena citra adalah fungsi dua dimensi f(x,y), maka adalah beralasan
jika fungsi tsb dinyatakan sebagai

Definisi DFT untuk 2 dimensi mirip dengan pada satu dimensi. Dengan masukan
f(x,y) berukuran M x N (sehingga x = 0, 1, ... M-1 dan y = 0, 1, 2, ..., N-1) maka
Sifat-Sifat Transformasi Fourier Dua Dimensi
Similarity (Kemiripan). Dari rumusan DFT dan IDFT dua dimensi di atas, maka
sekilas terlihat bahwa keduanya sangat mirip kecuali faktor skala 1/MN pada rumus
IDFT dan tanda negatif pada eksponen dalam rumus DFT. Hal ini menunjukkan bahwa
algoritma yang sama dapat diterapkan untuk mencari DFT dan IDFT hanya dengan
sedikit penyesuaian saja.
DFT Sebagai Filter Spasial. Perhatikan bahwa nilai
merupakan nilai yang tidak bergantung pada nilai f atau F. Ini berarti bahwa nilai tsb
dapat dihitung terlebih dahulu dan kemudian meletakkannya di depan tanda sigma. Ini
juga berarti bahwa setiap nilai F(u,v) dapat diperoleh dengan mengalikan setiap nilai
f(x,y) dengan suatu nilai tertentu, dan menjumlahkan semua hasilnya. Hal ini sama
seperti yang dilakukan pada proses linear spatial filtering, yaitu mengalikan semua
elemen di bawah mask dan kemudian menjumlahkan hasilnya. Dengan demikian, DFT
dapat dipandang sebagai filter spasial linear dengan ukuran sama besar dengan citra yang
diolah.
Separabilitas. Perhatikan bahwa elemen filter transformasi Fourier dapat
dinyatakan sebagai hasil kali sbb.

Hasil kali yang pertama
hanya bergantung pada x dan u dan independen terhadap y dan v. Sebaliknya hasil kali
yang kedua
hanya bergantung pada y dan v dan independen terhadap x dan u. Hal ini berarti rumusan
di atas dapat dipecah menjadi rumusan yang lebih sederhana yang mengolah masing-
masing baris dan kolom pada matriks. DFT dan IDFT untuk matriks baris adalah sbb.
Jika variabel x dan u diganti dengan y dan v maka didapatkan rumusan DFT dan IDFT
untuk matriks kolom.
DFT dua dimensi dapat diperoleh dengan menggunakan sifat separabilitas ini;
untuk menghitung DFT sebuah matriks, dapat dihitung DFT seluruh baris dan kemudian
menghitung DFT semua kolom dari matriks hasilnya. Dapat juga menghitung DFT
seluruh kolom dan kemudian menghitung DFT semua baris dari matriks hasilnya.
Perhatikan gambar berikut.

Linearitas. DFT mempunyai sifat linear, yaitu DFT dari jumlahan dua atau lebih
fungsi adalah jumlahan dari DFT masing-masing fungsi tsb; DFT dari perkalian skalar
suatu fungsi adalah DFT dari fungsi tsb dikalikan dengan skalar yang sama. Atau
dinyatakan,
Dengan f dan g adalah matriks dan k adalah skalar. Sifat ini sangat penting saat
menangani degradasi citra, misalnya citra berderau yang dimodelkan sbg
d = f + n
dengan f adalah citra tak berderau, n adalah derau dan d adalah citra berderau. Maka
dengan transformasi Fourier citra berderau dapat dinyatakan
Dan sebagaimana yang akan dibahas nanti, derau yang tampak pada DFT membuatnya
lebih mudah untuk dihilangkan.
Koefisien DC. Nilai F(0,0) pada DFT disebut koefisien DC. Jika u = v = 0, maka
persamaan atau rumusan DFT di atas menghasilkan
Nilai di atas sama dengan jumlahan semua elemen pada matriks asli (yang diolah).
Pergeseran (Shifting). Untuk kemudahan dalam menampilkan (display), akan
lebih mudah jika koefisien DC berada di pusat matriks. Hal ini akan terjadi jika semua
elemen matriks f(x,y) dikalikan dengan (-1) x+y sebelum dilakukan transformasi. Gambar
berikut memperlihatkan pergeseran matriks menggunakan metode ini. Koefisien DC
ditunjukkan dengan kotak kecil berwarna hitam di sudut kiri atas submatriks A.

Simetri Konjugat. Analisis definisi transformasi Fourier mengarahkan ke sifat
simetri; jika diambil substitusi u = -u dan v = -v maka
F(u,v) = F*(-u + pM, -v + qN)
untuk sebarang bilangan bulat p dan q. Hal ini berarti bahwa setengah hasil transformasi
merupakan “cermin” konjugat dari setengah yang lain. Dapat dipandang bahwa setengah
bagian atas adalah “cermin” konjugat dari setengah bagian bawah atau setengah bagian
kiri adalah “cermin” konjugat dari setengah bagian kanan. Simetri berarti bahwa
informasi berada di setengah hasil transformasi, setengahnya lagi adalah redundant
(mubazir). Gambar berikut memperlihatkan simetri dalam DFT yang telah digeser; kotak
kecil berwarna hitam menunjukkan posisi koefisien DC.
Menampilkan Hasil Transformasi
Setelah melakukan transformasi Fourier citra f(x,y) menjadi F(u,v) maka perlu
dilihat hasilnya. Elemen F(u,v) merupakan bilangan kompleks sehingga tidak dapat

ditampilkan secara langsung, namum dapat dilihat magnitude-nya yaitu | F(u,v) |. Berikut
cara atau pendekatan yang dapat dilakukan untuk menampilkan hasil tranformasi Fourier.
1. Temukan nilai terbesar dari | F(u,v) | yaitu m. Nilai ini biasanya adalah koefisien
DC yang dihasilkan dari transformasi. Gunakan imshow.m untuk
melihat | F(u,v) | / m.
2. Gunakan mat2gray.m untuk melihat | F(u,v) | secara langsung.
Permasalahan lain adalah bahwa koefisien DC biasanya sangat besar dibandingkan
dengan nilai-nilai yang lain. Hal ini mempunyai pengaruh pada tampilan hasil
transformasi yaitu berupa satu titik putih dikelilingi warna hitam. Satu cara untuk
merentangkan nilainya adalah dengan mengambil logaritma dari | F(u,v) | dan
menampilkan
Log ( 1 + | F(u,v) | )
Tampilan magnitude transformasi Fourier disebut spektrum dari transformasi tersebut.
Transformasi Fourier Dalam MATLAB
Beberapa fungsi Matlab yang sesuai adalah
• fft.m untuk memperoleh DFT dari sebuah vektor
• ifft.m untuk memperoleh inverse DFT dari sebuah vektor
• fft2.m untuk memperoleh DFT dari sebuah matriks
• ifft2.m untuk memperoleh inverse DFT dari sebuah matriks
• fftshift.m untuk menggeser hasil transformasi sehingga koefisien DC berada di
tengah
Contoh 1
Membuat matriks 8 x 8 dengan semua elemennya sama dengan 1, kemudian mencari
DFT-nya dengan metode FFT. Hasilnya adalah matriks dengan koefisien DC dan nol
pada semua elemen yang lain (karena matriks masukan elemennya sama, tidak ada
perubahan)
>> a = ones (8);
>> fft2 (a)
Hasilnya adalah

Contoh 2
ans =
64 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Membentuk matriks yang mengandung perubahan nilai dan melihat DFT-nya.
>> a = [100 200; 100 200];
>> b = repmat (a, 4, 4)
b =
>> bfft = fft2 (b)
100 200 100 200 100 200 100 200
100 200 100 200 100 200 100 200
100 200 100 200 100 200 100 200
100 200 100 200 100 200 100 200
100 200 100 200 100 200 100 200
100 200 100 200 100 200 100 200
100 200 100 200 100 200 100 200
100 200 100 200 100 200 100 200
bfft =
9600 0 0 0 -3200 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Matriks b dapat dinyatakan dengan jumlahan dua matriks yaitu sebuah matriks konstan
yang semua elemennya 150 dan sebuah matriks yang berubah-ubah nilainya sebesar -50
dan 50 dari kiri ke kanan. Matriks konstan akan menghasilkan koefisien DC yang bernilai
64 x 150 = 9600.

Contoh 3
Membuat matriks dengan satu tebing step tunggal dan mencari DFT-nya.
>> a = [zeros(8, 4) ones(8, 4)]
a =
>> afft = fft2 (a)
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
afft =
Columns 1 through 5
32.0000 -8.0000 +19.3137i 0 -8.0000 + 3.3137i 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Columns 6 through 8
-8.0000 - 3.3137i 0 -8.0000 -19.3137i
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Untuk menempatkan koefisien DC di tengah dan karena hasil transformasi memuat nilainilai
kompleks maka dicari magnitude-nya sekaligus dibulatkan.
>> afft = fftshift (afft)
>> round (abs(afft))

ans =
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 9 0 21 32 21 0 9
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Koefisien DC merupakan jumlahan semua nilai matriks a dan nilai-nilai yang lain
merupakan koefisien-koefisien fungsi sinus yang diperlukan untuk membentuk tebing
pada matriks.
Transformasi Fourier Citra
Akan dibuat beberapa citra sederhana dan melihat hasil transformasi Fourier-nya.
Contoh 1
>> a = [zeros (256, 128) ones (256, 128)];
>> af = fftshift (fft2 (a) );
Untuk melihat spektrumnya dapat dipilih dari dua cara berikut:
1. af1 = log ( 1 + abs (af) );
imshow (af1/af1(129,129))
Proses ini didasarkan pada kenyataan bahwa setelah penggeseran maka koefisien
DC berada pada posisi x = y = 129. Nilai direntangkan dengan fungsi log dan
membagi nilainya dengan koefisien DC.
2. imshow (mat2gray ( log (1 + abs (af) ) ) )
Fungsi mat2gray.m secara otomatis melakukan scaling untuk menampilkan citra.
Untuk kemudahan maka akan dibuat satu fungsi sederhana untuk melihat hasil
transformasi. Berikut adalah contoh fungsinya.

function fftshow (f, type)
if nargin < 2,
type = 'log';
end
if (type == 'log')
f1 = log (1 + abs(f));
fm = max (f1(:));
imshow (im2uint8(f1/fm))
elseif (type == 'abs')
fa = abs(f);
fm = max (fa(:));
imshow (fa/fm)
else
error ('Type must be log or abs');
end;
Berikut adalah citra dari matriks a dan hasil transformasi Fourier-nya.
Citra matriks a Transf. Fourier matriks a
Citra matriks b Transf. Fourier matriks b

Contoh 2
Membuat sebuah kotak dan melihat transformasi Fourier-nya.
Contoh 3
clear all;
clc;
a = zeros (256, 256);
a(78:178, 78:178) = 1;
imshow (a)
af = fftshift(fft2(a));
figure, fftshow(af,'abs')
Sebuah kotak dan DFT-nya
Sebuah kotak yang diputar 45° dan melihat DFT-nya.
clear all;
clc;
[x,y] = meshgrid(1:256, 1: 256)
b = (x+y < 329) & (x+y > 182) & (x-y > -67) & (x-y < 73)
imshow (b)
bf = fftshift(fft2(b));
figure, fftshow(bf)

Contoh 4
Sebuah kotak yang diputar 45° dan DFT-nya
Membuat sebuah lingkaran dan melihat DFT-nya.
clear all;
clc;
[x,y] = meshgrid(-128:127, -128: 127)
z = sqrt(x.^2 + y.^2)
c = (z

Contoh 5
Citra einstein.jpg dan DFT-nya.
Citra einstein.jpg dan DFT-nya
Citra einstein.jpg dengan derau periodik dan DFT-nya