BAB II
BAB II
BAB II
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
TKE 3105<br />
ISYARAT DAN SISTEM<br />
B a b 2 – S i s t e m<br />
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.<br />
Program Studi Teknik Elektro<br />
Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer<br />
Universitas Mercu Buana Yogyakarta<br />
2009
Tujuan Instruksional<br />
1. Umum<br />
B A B I I<br />
S I S T E M<br />
Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, mahasiswa dapat melakukan analisis dan<br />
sintesis sistem yang sangat bermanfaat untuk menunjang kreativitas perekayasaan<br />
terutama dalam desain sistem.<br />
2. Khusus<br />
Setelah menyelesaikan bab ini, diharapkan:<br />
- Mahasiswa dapat menjelaskan tentang pengertian sistem.<br />
- Mahasiswa dapat membedakan jenis sistem waktu kontinyu dan sistem waktu<br />
diskrit.<br />
- Mahasiswa dapat memahami jenis-jenis interkoneksi sistem.<br />
- Mahasiswa dapat menjelaskan sifat-sifat sistem.<br />
- Mahasiswa dapat menerapkan teori untuk analisis sistem, terutama yang<br />
berhubungan dengan bidang teknik elektro.<br />
2.1. Pengertian Sistem<br />
Sistem dapat diartikan sebagai suatu proses dimana isyarat masukan akan diubah<br />
menjadi isyarat keluaran. Suatu sistem terdiri atas komponen-komponen, piranti-piranti,<br />
atau bagian-bagian yang lebih kecil yang disebut subsistem.<br />
Dipandang dari sifat isyarat masukan dan keluarannya, sistem dapat dibedakan<br />
menjadi dua jenis, yaitu:<br />
1. Sistem waktu kontinyu<br />
Pada sistem waktu kontinyu, masukan berupa isyarat waktu kontinyu dan akan<br />
dihasilkan keluaran yang merupakan isyarat waktu kontinyu pula. Isyarat masukan<br />
sistem waktu kontinyu biasanya dinotasikan dengan x(t), dan isyarat keluarannya<br />
dinotasikan dengan y(t). Hubungan masukan-keluaran dalam sistem waktu kontinyu<br />
akan dinotasikan dengan pernyataan:<br />
51
x(t) → y(t)<br />
Hubungan ini juga dapat diperlihatkan dengan ilustrasi pada gambar 2.1.<br />
Sistem waktu<br />
x(t) kontinyu<br />
y(t)<br />
2. Sistem waktu diskrit<br />
Gambar 2.1 Sistem waktu kontinyu<br />
Pada sistem waktu diskrit, masukan berupa isyarat waktu diskrit dan akan dihasilkan<br />
keluaran yang merupakan isyarat waktu diskrit pula. Isyarat masukan sistem waktu<br />
diskrit biasanya dinotasikan dengan x[n], dan isyarat keluarannya dinotasikan dengan<br />
y[n]. Hubungan masukan-keluaran dalam sistem waktu diskrit akan dinotasikan<br />
dengan pernyataan:<br />
x[n] → y[n]<br />
Hubungan ini juga dapat diperlihatkan dengan ilustrasi pada gambar 2.2.<br />
Sistem waktu<br />
x[n] diskrit<br />
y[n]<br />
2.2. Interkoneksi Sistem<br />
Gambar 2.2 Sistem waktu diskrit<br />
Seperti telah dikemukakan di atas, sistem dapat tersusun atas beberapa subsistem<br />
yang lebih sederhana. Untuk membentuk sistem ini, dibutuhkan hubungan antara<br />
subsistem-subsistem tersebut yang biasanya disebut interkoneksi sistem. Adanya<br />
interkoneksi sistem ini juga akan memudahkan analisis, karena sistem dapat dipecah<br />
menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana.<br />
Ada beberapa jenis interkoneksi sistem yang sering dijumpai, yaitu:<br />
1. Interkoneksi seri (cascade)<br />
Interkoneksi ini diilustrasikan pada gambar 2.3.<br />
52
masukan keluaran<br />
Sistem 1<br />
Sistem 2<br />
2. Interkoneksi paralel<br />
Gambar 2.3 Interkoneksi seri<br />
Interkoneksi ini diilustrasikan pada gambar 2.4.<br />
Sistem 1<br />
masukan + keluaran<br />
3. Interkoneksi seri - paralel<br />
Sistem 2<br />
Gambar 2.4 Interkoneksi paralel<br />
Interkoneksi ini diilustrasikan pada gambar 2.5.<br />
Sistem 1 Sistem 2<br />
x(t) ⊕ Sistem 4 y(t)<br />
Sistem 3<br />
Gambar 2.5 Interkoneksi seri – paralel<br />
Antara sistem 1 dan sistem 2 terhubung seri, sistem 1 dan sistem 2 terhubung paralel<br />
dengan sistem 3. Sedangkan sistem 1, 2, dan 3 terhubung seri dengan sistem 4.<br />
4. Interkoneksi umpan balik (feedback)<br />
53
Interkoneksi umpan balik menghubungkan keluaran kembali ke masukannya.<br />
Hubungan semacam ini biasanya digunakan dalam pengendalian (kontrol).<br />
Interkoneksi ini diilustrasikan pada gambar 2.6.<br />
masukan keluaran<br />
⊕<br />
Sistem 1<br />
Sistem 2<br />
Gambar 2.6 Interkoneksi umpan balik<br />
Keluaran sistem 1 merupakan masukan sistem 2, sedangkan keluaran sistem 2<br />
diumpan-balik dan ditambahkan ke masukan eksternal untuk menghasilkan masukan<br />
yang aktual.<br />
2.2.1. Contoh Soal dan Penyelesaian<br />
1. Untuk rangkaian seperti gambar 2.7 berikut ini, maka tentukan bagaimana hubungan<br />
antara Vs(t) sebagai masukan dan Vc(t) sebagai keluaran.<br />
Vs<br />
R<br />
i(t)<br />
C<br />
Gambar 2.7 Rangkaian RC untuk contoh soal no. 1<br />
Penyelesaian:<br />
Arus i(t) yang mengalir dalam rangkaian dapat dinyatakan dengan:<br />
Vs<br />
(t) − Vc<br />
(t)<br />
i(t) =<br />
R<br />
V C<br />
54
atau dapat juga dinyatakan sebagai:<br />
d<br />
= C V (t)<br />
dt<br />
i(t) c<br />
Sedangkan pada rangkaian berlaku hubungan:<br />
RC<br />
d<br />
dt<br />
d<br />
dt<br />
V (t) + V (t) = V (t)<br />
V (t) +<br />
C<br />
C<br />
V + V<br />
i(t) R+<br />
V<br />
1<br />
RC<br />
R<br />
C<br />
= V<br />
= V<br />
V (t) =<br />
C<br />
C<br />
C<br />
S<br />
S<br />
S<br />
1<br />
RC<br />
V (t)<br />
Persamaan yang terakhir inilah yang menyatakan hubungan antara VS(t) sebagai<br />
masukan dan VC(t) sebagai keluaran pada rangkaian RC tersebut.<br />
2. Sebuah bank memberikan bunga sebesar 10% setiap akhir bulan. Nyatakan hubungan<br />
antara y[n] dan x[n], jika y[n] adalah saldo akhir bulan ke-n dan x[n] adalah<br />
simpanan bersih bulan ke-n.<br />
Penyelesaian:<br />
x[n] adalah simpanan bersih pada bulan ke-n<br />
y[n] adalah saldo akhir bulan<br />
y[n-1] adalah saldo akhir bulan ke-[n − 1]<br />
maka<br />
y[n] = x[n] + 1,1 y[n − 1]<br />
3. Untuk gambar rangkaian 2.8 di bawah ini, gambarkan diagram blok yang<br />
mengilustrasikan interkoneksi sistem yang mewakilinya.<br />
i1(t)<br />
i(t)<br />
C<br />
i2(t)<br />
S<br />
R V(t)<br />
Gambar 2.8 Rangkaian untuk soal no. 3<br />
55
Penyelesaian:<br />
i(t) + i1(t) t<br />
1<br />
v(t)<br />
v ( t)<br />
= i1<br />
( t)<br />
dt<br />
-<br />
C<br />
2.2.2 Soal-soal Tambahan<br />
i2(t)<br />
∫ ∞<br />
−<br />
v(<br />
t)<br />
i2<br />
( t)<br />
=<br />
R<br />
Gambar 2.9 Diagram blok untuk soal no. 3<br />
1. Sebuah sistem terdiri atas dua buah subsistem yang terhubung dengan interkoneksi<br />
seri seperti terlihat pada gambar 2.3. Berikut adalah hubungan masukan dan keluaran<br />
untuk masing-masing sistem.<br />
Subsistem 1 : y1[n] = 2x1[n] + 4x1[n − 1]<br />
Subsistem 2 : y2[n] = x2[n] + 0,5x2[n − 3]<br />
Dengan x1[n] dan x2[n] melambangkan isyarat masukan sistem 1 dan sistem 2,<br />
sedangkan y1[n] dan y2[n] adalah isyarat keluaran masing-masing subsistem.<br />
Tentukanlah:<br />
a. Hubungan masukan dan keluaran sistem secara keseluruhan.<br />
b. Apakah keluaran sistem akan berubah jika urutan interkoneksi kedua subsistem<br />
dibalik? Jika berubah, tentukan hubungan masukan dan keluaran sistem yang<br />
baru.<br />
2. Ulangi soal no. 1 jika antara subsistem 1 dan subsistem 2 terhubung dengan<br />
interkoneksi paralel.<br />
56
2.3. Sifat-sifat Sistem<br />
Pada subbab ini akan dibahas tentang sifat-sifat dasar sistem yang mempunyai<br />
interpretasi fisik yang penting.<br />
1. Sistem dengan dan tanpa memori<br />
Pada sistem tanpa memori, keluaran sistem pada suatu waktu tertentu hanya<br />
bergantung pada masukan pada waktu yang sama. Contoh sistem tanpa memori<br />
adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan masukan sebagai berikut:<br />
y[n] = 2 x[n]<br />
v(t) = R i(t)<br />
y(t) = x(t)<br />
Contoh terakhir biasa disebut dengan sistem identitas, yaitu suatu sistem yang<br />
keluarannya sama dengan masukannya.<br />
Sistem dengan memori mempunyai mekanisme untuk menyimpan informasi<br />
harga masukan yang bukan saat ini, masukan ini mempengaruhi sistem. Contoh<br />
sistem dengan memori adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan<br />
masukan sebagai berikut:<br />
y[n] = x[n − 1]<br />
y[<br />
n ] =<br />
n<br />
∑<br />
1<br />
v ( t ) =<br />
C<br />
k = ∞<br />
t<br />
∫<br />
− t<br />
x[<br />
n ]<br />
i(<br />
t ) dt<br />
2. Sistem inversi<br />
Sebuah sistem disebut invertibel jika masukan yang tertentu menghasilkan<br />
keluaran yang tertentu pula. Dengan kata lain bahwa masukan sistem dapat diperoleh<br />
kembali dengan cara inversi. Contoh sistem invertibel adalah sistem yang mempunyai<br />
hubungan keluaran dan masukan sebagai berikut:<br />
y(t) = 2 x(t), maka masukan x(t) dapat diperoleh dengan cara inversi, yaitu<br />
x(t) = 0,5 y(t)<br />
Contoh sistem non invertibel adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan<br />
masukan sebagai berikut:<br />
y[n] = 0<br />
57
y(t) = {x(t)} 2<br />
Pada kedua contoh sistem ini, masukan yang menghasilkan keluaran tertentu tidak<br />
dapat ditentukan secara pasti.<br />
3. Kausalitas<br />
Suatu sistem disebut kausal jika keluaran sistem hanya bergantung pada harga<br />
masukan saat ini dan masukan yang telah lalu (sebelumnya). Sistem yang seperti ini<br />
juga disebut sistem nonantisipasif (yaitu sistem yang tidak dapat meramalkan<br />
masukan yang akan datang). Contoh sistem kausal adalah sistem yang mempunyai<br />
hubungan keluaran dan masukan sebagai berikut:<br />
t<br />
∫<br />
−t<br />
1<br />
v ( t)<br />
= i(<br />
t)<br />
dt<br />
C<br />
Contoh sistem non-kausal adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan<br />
masukan sebagai berikut:<br />
y[n] = x[n] – x[n +1]<br />
y(t) = x(t +1)<br />
Sistem-sistem tanpa memori merupakan sistem kausal.<br />
4. Stabilitas<br />
Sistem yang stabil merupakan sistem yang dengan masukan kecil namun tetap<br />
menghasilkan keluaran yang tidak menyimpang. Sebagai contoh adalah jarum<br />
pendulum jam. Masukan x(t) berupa gaya tarikan, sedangkan keluaran y(t) berupa<br />
deviasi sudut yang dihasilkan. Meskipun masukan x(t) cukup kecil, pendulum akan<br />
tetap kembali pada posisi awalnya (gambar 2.10a). Sistem yang tidak stabil<br />
diperlihatkan pada gambar 2.10b.<br />
x(t) y(t)<br />
y(t) x(t)<br />
(a) (b)<br />
Gambar 2.10 (a) Sistem stabil (b) Sistem tidak stabil<br />
58
5. Invariansi waktu (time invariance)<br />
Sebuah sistem disebut waktu invarian jika perilaku sistem tersebut tidak<br />
terpengaruh oleh waktu. Sebagai contoh misalnya sebuah rangkaian RC; rangkaian<br />
RC pada eksperimen hari ini akan menghasilkan tanggapan yang sama dengan<br />
tanggapan yang dihasilkan pada eksperimen pada hari sebelumnya.<br />
Sifat waktu invarian sebuah sistem, secara matematis dapat dinyatakan sebagai<br />
berikut.<br />
Untuk sistem waktu diskrit:<br />
Jika y[n] adalah keluaran untuk masukan x[n], maka y[n − n0] adalah keluaran<br />
untuk masukan x[n − n0].<br />
x[n] → y[n]<br />
x[n − n0] → y[n − n0]<br />
Untuk sistem waktu kontinyu:<br />
Jika y(t) adalah keluaran untuk masukan x(t), maka y(t − t0) adalah keluaran<br />
untuk masukan x(t − t0).<br />
x(t) → y(t)<br />
x(t − t0) → y(t − t0)<br />
6. Linearitas<br />
Jika sebuah sistem mempunyai keluaran y1(t) untuk masukan x1(t) dan keluaran<br />
y2(t) untuk masukan x2(t), maka sistem tersebut linear jika:<br />
a. Masukan x1(t) + x2(t) menghasilkan keluaran y1(t) + y2(t)<br />
b. Untuk sebuah konstanta c, maka masukan cx1(t) akan menghasilkan keluaran<br />
cy1(t)<br />
Dengan kata lain, sebuah sistem disebut linear jika memenuhi syarat:<br />
Untuk sistem waktu kontinyu:<br />
c x1(t) + d x2(t) → c y1(t) + d y2(t)<br />
Untuk sistem waktu diskrit:<br />
c x1[n] + d x2[n] → c y1[n] + d y2[n]<br />
59
Sistem linear mempunyai sifat superposisi, yaitu jika masukan sistem<br />
merupakan kombinasi yang dinyatakan oleh<br />
x[<br />
n]<br />
= ∑ a<br />
k<br />
= a x [ n]<br />
+ a x [ n]<br />
+ ...<br />
1<br />
1<br />
k<br />
x [ n]<br />
k<br />
2<br />
2<br />
maka tanggapan sistem dinyatakan sebagai jumlahan<br />
y[<br />
n]<br />
= ∑a<br />
= a y [ n]<br />
+ a y [ n]<br />
+ ...<br />
1<br />
1<br />
y [ n]<br />
dengan k = 1, 2, 3, ….<br />
k<br />
k<br />
k<br />
2<br />
2<br />
Sifat superposisi juga berlaku untuk sistem waktu kontinyu.<br />
2.3.1. Contoh Soal dan Penyelesaian<br />
1. Sebuah sistem waktu kontinyu dinyatakan dengan persamaan<br />
y(t) = sin {x(t)}<br />
Tentukanlah apakah sistem tersebut adalah sistem yang waktu invarian.<br />
Penyelesaian:<br />
Misalkan x1(t) adalah masukan sebarang sehingga akan diperoleh keluaran<br />
y1(t) = sin { x1(t) }<br />
Jika x1(t) digeser sebesar t0 ke arah kanan sehingga menjadi x2(t) sebagai berikut<br />
x2(t) = x1(t − t0)<br />
Maka dengan masukan x2(t) akan diperoleh keluaran<br />
Sehingga<br />
y2(t) = sin {x2(t)}<br />
= sin { x1(t – t0)}<br />
x1(t) → sin {x1(t)}<br />
x1(t – t0) → sin {x1(t – t0)}<br />
Nilai sinus suatu masukan tergeser adalah versi tergeser dari keluaran, atau<br />
pergeseran waktu pada masukan menghasilkan pergeseran yang sama pada sisi<br />
keluaran. Dengan demikian, sistem yang dinyatakan dengan persamaan y(t)=sin{x(t)}<br />
merupakan sistem yang mempunyai sifat waktu invarian.<br />
60
2. Sebuah sistem waktu kontinyu dinyatakan dengan persamaan<br />
y(t) = x(2t)<br />
Tentukanlah apakah sistem tersebut adalah sistem yang waktu invarian.<br />
Penyelesaian:<br />
Misalkan isyarat masukan x1(t) adalah sebagai berikut:<br />
x1(t)<br />
1<br />
-2 2 t<br />
Gambar 2.11 Masukan x1(t) untuk soal no.2<br />
maka keluaran sistem adalah<br />
y1(t) = x1(2t)<br />
1<br />
-1 1 t<br />
Gambar 2.12 Keluaran y1(t) untuk soal no.2<br />
Sebuah sistem disebut mempunyai sifat waktu invarian jika pergeseran waktu pada<br />
masukan akan menghasilkan pergeseran yang sama pada keluaran. Dengan demikian,<br />
penggeseran masukan pada gambar 2.11 menjadi x2(t) = x1(t – 2) maka akan<br />
menggeser keluaran pada gambar 2.12 menjadi y2(t) = y1(t – 2). Dengan masukan<br />
x2(t), keluaran sistem diperlihatkan pada gambar 2.13b.<br />
Sistem mempunyai sifat waktu invarian jika dipenuhi syarat y2(t) = y1(t – 2), yang<br />
berarti gambar 2.13b harus sama dengan gambar 2.13c. Ternyata syarat ini tidak<br />
dipenuhi, sehingga dengan demikian sistem yang dinyatakan dengan persamaan<br />
y(t)=x(2t) adalah sistem yang tidak waktu invarian.<br />
61
x2(t) = x1(t - 2)<br />
1 (a)<br />
0 4 t<br />
y2(t)<br />
1 (b)<br />
0 2 t<br />
y1(t – 2)<br />
0 1 2 t<br />
Gambar 2.13 (a) Masukan x2(t) = x(t – 2)<br />
2.3.2. Soal-soal Tambahan<br />
(b) Keluaran y2(t)<br />
(c) Keluaran y1(t) versi tergeser<br />
1. Buktikan bahwa sistem yang mempunyai hubungan masukan dan keluaran y[n] = 0<br />
merupakan sistem yang non-invertibel.<br />
2. Buktikan bahwa sistem yang mempunyai hubungan masukan dan keluaran y[n] =<br />
{x(t)} 2 merupakan sistem yang non-invertibel.<br />
3. Jelaskan mengapa sistem tanpa memori juga merupakan sistem yang kausal.<br />
(c)<br />
62
4. Sebuah sistem waktu kontinyu dinyatakan dengan persamaan<br />
y(t) = cos {x(t)}<br />
Tentukanlah apakah sistem tersebut adalah sistem yang waktu invarian.<br />
5. Sebuah sistem waktu kontinyu dinyatakan dengan<br />
y(t) = x(t - 2) + x(2 - t)<br />
Tentukanlah apakah sistem tersebut mempunyai memori atau tanpa memori.<br />
6. Sebuah sistem waktu diskrit dinyatakan dengan<br />
y[n] = x[t – 2] - 2x[n – 8]<br />
Tentukanlah sifat-sifat apa saja yang melekat pada sistem tersebut.<br />
63