Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak ... - Euskara

Jakintza-arloa: Fisika
Eremu-teorietako objetu hedatuen
ezaugarri bitxiak
Egilea: JON URRESTILLA URIZABAL
Urtea: 2003
Zuzendaria: ANA ACHUCARRO JIMÉNEZ
Unibertsitatea: UPV/EHU
ISBN: 978-84-8438-139-6

Hitzaurrea
“Eremu-Teorietako Objektu Hedatuen Ezaugarri Bitxiak" izenburuko lana 2003.
urtean amaitutako doktorego tesia da; eta lau urte beranduago hona hemen
bere argitalpen digitala. Lana Euskal Herriko Unibertsitateko Fisika Teorikoaren
Sailean burutu nuen, eta harrezkero atzerriko goi mailako instituzioetan jarraitu
dut tesiko ildoko ideiak jorratzen.
Hemen aurkituko duzun testuak, defektu topologikoak izeneko objektuak
aztertzen ditu.
Nahiz eta Fisikako alor ugaritan agertu, gure jarduera ikuspuntu kosmologiko
batetik abiatu zen; hau da, unibertsoaren lehenengo momentuetan gertatutako
prozesu Fisikoen ondorioz formatu ziren defektuen ezaugarriak aztertu
genituen.
Azken lau urte hauetan, esperimentu kosmologikoek datu oso zehatzak lortu
dituzte, batez ere WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) izeneko
esperimentuak, eta unibertsoari buruzko informazio paregabea eskaini digute.
Beste alde batetik, energia altuko teoria Fisiko estandarra oso ongi aztertua
izan da, eta partikula gehienak eta beraien arteko elkarrekintzak ezagunak dira.
Datozen urteetan bi sail hauek, kosmologia eta energia-altuko Fisika, beste
bultzada bat jasoko dute beste bi esperimentu internazionalei esker: Europako
ESA-k (European Space Agency) PLANCK sateliteari esker kosmologian eta
Suitzan, CERN-en (Conseil Europeen pour la Recherche Nucleaire) eraikitzen
ari diren LHC (Large Hadron Collider) esperimentuari esker energia-altuko
Fisikan.
Unibertsoaren lehenengo momentuetan unibertsoak energi-dentsitate itzela
zuenez, enegia-altuko teoria fisikoak erabili behar ditugu Unibertsoa ulertzeko.
Baina nahiz eta bai modelo kosmologikoak eta bai energia-altuko fisika
ezagunak eta arrakastatsuak izan, modelo kosmologikoen atzean dagoen
energia-altuko fisika ezezaguna da; Unibertsoaren lehengo momentuak
esplikatzeko behar ditugun energia eskalak laborategian lortutakoak baino
askoz handiagoak dira. Alde batetik, unibertsoaren energia gehiena (95/energia
ilunaz eta materia ilunaz osatua dago; eta ez dakigu zer diren ez bata eta ez
bestea. Beste aldetik, unibertsoaren lehen momentuak esplikatzeko dugun
modelo fisiko onenetarikoek, partikula supersimetrikoak aurresaten dituzte, eta
esperimentu kosmologikoetan ez dugu partikula supersimetriko horien
aztarnarik aurkitu.
Bi sail horien arteko zubia dira defektu topologikoak. Unibertso primitiboa
ulertzeko erabiltzen diren hainbat modeluek defektu topologikoak aurresaten
dituzte, eta defektuen eragina esperimentu kosmologikoetan neur daitezke.
Gaur egun, Unibertso primitiboko fisikaren ikerketa gai oso bizia da, eta hemen
argitaratutako tesiaren ondorioak puzzlearen pieza txiki bat dira.

Euskal Herriko Unibertsitatea
Fisika Teorikoaren eta Zientziaren Historiaren Saila
Eremu-Teorietako Objektu Hedatuen
Euskal Herriko Unibertsitateko
Ana Achúcarro Jiménez irakasleak
zuzenduriko lana
Ezaugarri Bitxiak
Jon Urrestilla Urizabal
Fisikan Doktore-gradua
lortzeko aurkezturiko Txostena

Muxu bat, Miren Josu
Zuentzat,
ama eta aita

Esker Onak
Lehendabizi eta batez ere, nire tesi zuzendaria den Ana Achúcarro eskertu nahi dut, tesi
honetan eskaini didan laguntza eta babesagatik. Fisika/akademia munduan zeharreko
gidari ezin hobea izan da, eta are lagun hobea. Gracias Ana. Koen, Marta eta Teresa
Kuijken ere eskertu nahi ditut, elkartu garen guztietan etxean bezala sentiarazi nautelako.
Oso gustokoa izan dut Anne-Christine Davis, Julian Borrill, Andrew R. Liddle eta Michael
Pickles ikertzaileekin lan egitea; tesi honetan aurkeztutako emaitzak beraiekin egindako
elkarlanaren ondorio dira.
Nire esker ona Iñigo L. Egusquizarentzat eta Josu M. Igartuarentzat da baita ere; beren
laguntzarik gabe tesiaren euskal bertsioa, eta beste hainbat gauza, askoz ere zailagoak
suertatu izan bailitzaizkidake. Tanmay Vachaspati ere eskertu nahi nuke, 3.1 soka elek-
troahulen egonkortasun irudiagatik.
Beraiekin lan egiteko aukera eman didatelako, esker mila University of Sussex-eko Centre
for Theoretical Physics eta the Astronomy Centre zentroei; Lawrence Berkeley Natio-
nal Laboratory-ko National Energy Research Scientific Computing Center eta University
of California at Berkeley-ko Center for Particle Astrophysics zentroei; Rijksuniversiteit
Groningen-eko Institute for Theoretical Physics institutuari; eta Universiteit Leiden-eko
Lorentz Institute for Theoretical Physics institutuari.
Mila esker baita ere Euskal Herriko Unibertsitateko Fisika Teorikoaren Sailari eta Juan
Luis Mañesi beren laguntzagatik, eta ikasle baten bizimodua errazteagatik; batez ere gai-
nontzeko bekadunei: Ruth Lazkoz, Itsaso Olasagasti, José María Martínez, Luis Gonzalo,
Rodolfo del Moral, Andrés D. Baute eta Alfonso J. García-Parrado. Beste departamentuko
pertsona batzuk ere aipatu nahi ditut, benetan merezitako kafetxoak elkarrekin hartzean

igarotako uneengatik: Eider Landa, Estibaliz Apiñaniz, Ana García, Arantzazu García
eta Elena Rodríguez.
Tesi hau burutzeari esker lortu dudan gauzarik garrantzitsuenetarikoa ezagutu ditudan
lagunak izan dira. Batzuekin harremanetan nago oraindik, eta beste batzuekin dudan adis-
kidetasuna ximelduz doa denboraren poderioz; baina, akademikoki edota ez-akademikoki
beren laguntza nabari izan dut behar izan dudanean:
Sally&Dave Stevens, Claire Eckman, José
Ángel Hernando, Felix Busqué, María José
Costa, Louise Griffiths, Igor Villareal, Ainhoa Elices, Guillermo Menéndez, Mónica Luna,
Manuel Sangüesa, Lide M. Rodríguez, Nicole R. Rauch, Peter H. Nalbach, Eike Zim-
mermann, Andrew G. MacPhee, Manel Luque, Raquel Serrano, Ara H. Merjian; Beatriz
de Carlos, Mark Hindmarsh, Roberto Emparan, Mairi Sakellariadou, Filipe Freire, Nu-
no Antunes, Luis Bettencourt; Francesca Pozzi, Alberto Calesini, Astrid Wachter, Silvia
Pascoli, Neil McNair, María Eugenia Angulo, Jayesh De Silva, Yaiza Schmöhe, Jordan
Morton, Kevin Mc Louhlin, Fernando Santoro, Majd Ranjous;
Álix Y. Alfonso, Patri-
cia Eguino, Marina Gastesi, Isabel Pastora López, Javier Barrionuevo, Ohiana Molina,
Ana Gutiérrez, Oihane Lakar; Olalla Castro, David Ali, Christopher A. Johnson, Miguel
Aguado, Lorenzo Cazón, Verónica Sanz, Jonathan Esole, Giuseppe de Risi...
Lagun berri horiez gain, betiko lagunak hor izan ditut laguntzeko prest ere, eta nire al-
darte-aldaketak pairatu dituzte estoikoki urte hauetan: UEUko fisika saileko kideak, Lu-
rra Dantza Taldea, Maier Rodríguez, Junkal Fernández, Xabier Lizarralde, Txema Tena,
Olatz Holgado, Ane Miren Ormazabal, Agurtzane Albisua, Christiane Koch, Kristina Zu-
za, Fernando Morillo, Silvia Arrese-Igor, Olatz Adarraga, Eba M. Karraskal, Iñigo Arregi,
Oier Bikondoa, Aitor Mugarza, Marta Pazos, Vivian L. Mancebo...
Azkenik, nire benetako eskerrik beroenak Bakko eta nire familiarentzat. Beren laguntza
ez da akademikoki hain lagungarria suertatu; baina, askoz ere beharrezkoa izan da, batez
ere momentu txarretan. Eskerrik asko kanpoan nengoenean zuen ondoan egon ezin izana
ulertzeagatik. Lan hau ezin izango nukeen burutu eman didazuen indarrarik gabe.
Och en kram till min bästis.

AURKIBIDE OROKORRA
Gainbegirada 5
1 Defektu topologikoak 7
1.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Defektuak eremu-teorian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Defektuak Kosmologian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Higgs eredu trukakorra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Nielsen-Olesen zurrunbiloa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Nielsen-Olesen zurrunbiloaren egonkortasuna . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Soka erdilokalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Soka erdilokalen egonkortasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Monopolo globalak 31
2.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Eredua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Egonkortasun erradiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Egonkortasun angeluarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1 r finkoko perturbazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.2 r finkoko zenbakizko simulazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1

2
2.4.3 Belavin-Polyakov monopoloa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.4 r guztietarako simulazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.5 Energia-langaren kalkulua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5 Perturbazio txikiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.1 Ekuazioen lorpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.2 Ekuazioen analisia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6 Potentzial orokorragoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.7 Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Dumbbell-ak 77
3.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Eredua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Soka elektroahulak eta dumbbell-ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4 Zenbakizko simulazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5 Emaitzak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6 Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4 Defektuak eredu supersimetrikoetan 95
4.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Superaljebra eta (super)multipleteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.1 Superaljebra eta karga topologikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 N =1 Higgs motako eredu supersimetrikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.1 N =1 kasurako huts-aukeratzearen efektua . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.2 Huts-aukeratzearen efektua Bogomol’nyi-ren bornetik at . . . . . . 110
4.3.3 N =1 Supersimetria-apurketa biguneko masa-gaiak . . . . . . . . . 115
4.4 N =2 QED supersimetrikoa – Bosoiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.4.1 N =2 kasurako huts-aukeratzearen efektua . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4.2 N =2 Supersimetria-apurketa bigunerako masa-gaiak . . . . . . . . 121
4.5 N =2 QED supersimetrikoa – Fermioiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5.1 Modu nulu fermioidarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5.2 Higidura-ekuazio fermioidarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.6 Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Bibliografia 137
A Hitzarmenak 143
A.1 Hitzarmenak supersimetrian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B Sine-Gordon eredua 147
C Translazio-modu nulua 151
D Eredu elektroahularen higidura-ekuazioen diskretizazioa 153
E Sare-loturaren aldagaien metodoa 159
E.1 Lotura-aldagaien bidezko hamiltondarraren diskretizazioa . . . . . . . . . . 159
E.2 Eredu erdilokaleko simulazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3

Gainbegirada
Zenbait eredu fisikoetako defektuen ezaugarriak deskribatu ditugu tesi honetan. Hemen
aurkezturiko lana ondoko ikertzaileekin batera burutu dut: nire zuzendari den Ana Achú-
carro; eta Julian Borrill, Anne-Christine Davis, Andrew R. Liddle eta Michael Pickles.
Berezko simetri-apurketa emango den eremu-teorietan sortuko diren objektuak dira defek-
tuak; hau da, energia-kontzentrazio edota karga-kontzentrazio handiagoa duten espazio-
-denborako zonaldeek osatzen dituzten objetu hedatu iraunkorrak. Fisikako alor ugaritan
agertuko dira; adibidez, soka-teorian, kosmologian eta materia kondentsatuaren fisikan.
Zenbait teoriatan, argudio topologikoek defektu topologikoen eraketa aurresango dute.
Horiez gain, defektu ez-topologikoak ager daitezke. Azken horien izatea eta portaera ezin
da a priori jakin; eta, dituzten propietateak ezagutzeko, beren dinamika aztertu beharra
dago. Zenbait testuingurutako bai defektu topologiko zein ez-topologikoen deskribapena
eman dugu sarreran (1. kapitulua). Deskribapena literaturako hainbat artikulu, review
eta liburuetan oinarritu dugu.
Defektu topologiko mota bat aztertu dugu 2 kapituluan: O(3) monopolo globalak, hain
zuzen ere. Ikusiko dugunez, monopolo globalen azterketa garrantzitsua da, propietate ha-
rrigarriak aurkituko baititugu. Ondorengo artikuluko emaitzak aurkituko ditugu kapitulu
horretan
’Stability of global monopoles revisited’
Ana Achúcarro and Jon Urrestilla
Phys. Rev. Lett. 85, 2091 (2000); hep-ph/0003145
5

6
Baita soka erdilokaletarako ere garrantzitsua da monopolo globalen dinamika. Soka erdi-
lokalek muturrak izan ditzateke, ez-topologikoak baitira; hain zuzen ere, soka erdilokalen
muturretan monopolo globalak daude. Soka erdilokalen deskribapena ondoko erakoa izan
daiteke: eredu elektroahuleko limite jakinean murgildutako soka kosmikoak (topologikoak
direnak); zehazki, SU(2) gauge-eremuak bananduko diren limitean. Limite horretatik
kanpoko sistemaren portaera aztertu dugu 3. kapituluan; eta dummbell-sarearen –soka
elektroahulen segmentu-sarearen– izatea eta iraunkortasuna ikertu dugu. Emaitza horiek,
kolaboratzileekin burututako lanean lortu genituen, eta ondoko artikuluan argitaratuta
daude:
’The evolution and persistence of dumbbells’
Jon Urrestilla, Ana Achúcarro, Julian Borrill and Andrew R. Liddle
JHEP 08, 033 (2002); hep-ph/0106282
Soka kosmikoak (eta soka erdilokalak) eredu supersimetrikoetan murgildu daitezke. De-
fektuen egitura askoz aberatsagoa da eredu horietan. Alde batetik, potentzial eskalarrak
norabide laukoa da, orokorrean; eta, beraz, ez dago argi defektuak zein funtsezko egoe-
ratan sortuko diren. Beste alde batetik, fermioiak era naturalean agertuko dira eredu
supersimetrikoetan; eta fermioien eragina garrantzitsua izan daiteke sokaren propieta-
teetarako. Teoria supersimetrikoetako objektu hedatuen propietateak aztertu ditugu 4.
kapituluan, eta bai soka kosmikoak zein erdilokalak aurkitu ditugu. Kapitulu horretako
ikerketa honako hiru artikuluetan aurkitu daiteke
’Vortices in theories with flat directions’
Ana Achúcarro, Anne-Christine Davis, Michael Pickles and Jon Urrestilla
Phys. Rev. D 66, 105013 (2002), hep-th/0109097
’Nielsen-Olesen strings in SUSY theories’
Michael Pickles and Jon Urrestilla
JHEP 01, 052 (2003), hep-th/0211240
’Fermionic zero modes in a supersymmetric N =2 model’
Ana Achúcarro, Anne-Christine Davis, Michael Pickles and Jon Urrestilla
hep-th/0212125, submitted to Phys. Rev. D

1. KAPITULUA
Defektu topologikoak
1.1 Sarrera
Gaur egungo fisikaren helburu nagusietako bat da, fisikaren arau guztiak bateratzen dituen
teoria lortzea, eskala azpiatomikoetatik eskala kosmologikoetara. Simetria apurtzen duten
fase-trantsizioak dituzten teorien bidez indar nuklear ahula eta elektromagnetikoa, eta
hein haundi batean, nuklear bortitza, bateratzen badakigu. Hortaz, unibertsoa Big-Bang
berotik hasi eta hoztuz doan neurrian, simetria apurtzen duten fase-trantsizioak izan
dituela uste dugu.
Simetria apurtzen duten fase trantsizioak dituzten teoriek, soluzio ez-barreiakor, klasikoak
eduki ditzakete, “defektuak” deritzenak. Nahiz eta materia kondentsatuko sistemetan
defektuak ikusi diren, partikulen fisikan oraindik ez da mota horretako soluziorik neurtu.
Partikulen fisikan soluzio klasiko, ez-barreiakorrak daudenentz erantzunik gabeko galdera
da oraindik.
Sistema batean defekturen bat detektatzeak, sistemari buruzko informazio baliagarria
emango liguke. Defektua soluzio ez-perturbagarria denez, teoriaren egitura ez-perturba-
garriari buruzko informazio gureganatuko genuke. Defektu topologikoak egoteak, teoriaren
topologiari buruzko informazioa emango liguke, baita sakabanaketa-esperimentu pertur-
bagarrien bidez aztertu ezin daitezkeen hainbat propietate ere. Bestalde, defektu ezak,
7

8 Defektu topologikoak
gaur egungo teoria fisikoen berraztertzea derrigortuko luke. Gainera, defektuak testuin-
guru fisiko ezberdin askotan agertzen direnez, azeleragailuetako esperimentuen, materia
kondentsatuaren eta kosmologiaren arteko lotura izan litezke.
Kapitulu honetan, defektuen oinarrizko propietateak aztertuko ditugu bai eremu-teorian
bai kosmologian. Ondoren, defektuen bi adibide jorratuko ditugu, Higgs eredu trukakorra
eta eredu erdilokala, bidean aurrerago erabiliko ditugun hainbat kontzeptu azalduz.
1.1.1 Defektuak eremu-teorian
Atal honetan defektuak eremu-teorian nola agertzen diren aztertuko dugu. Oinarrizko
propietateak ulertzeko, eredu erraz batekin hasiko gara [28, 58, 98].
Demagun
L = (∂tφ) 2 − (∂xφ) 2 − V (φ) (1.1)
lagrangear dentsitateak deskribatzen duen espazio-dimentsio batean eta denbora-dimen-
tsio batean bizi den φ eremu eskalar bakarreko teoria 1 , non
V (φ) = λ φ 2 − η 2 2
(1.2)
potentziala den. (1.1) lagrangearrak Z2 simetria du, φ → −φ aldaketak lagrangearra
berdin uzten duelako.
φ eremuaren higidura-ekuazioa
δL
∂µ
δ(∂ µ δL
+ = 0 ⇒
φ) ∂φ
∂ttφ = ∂xxφ − 2λφ φ 2 − η 2
(1.3)
da, eta sistemaren energia
E = dx (∂tφ) 2 + (∂xφ) 2 + V (φ) . (1.4)
Energia erdidefinitu positiboa (E ≥ 0) da argi eta garbi, eta energia nulua da eremua
φ(t, x) = η edo φ(t, x) = −η denean.
1 A eranskinean, lan honetan erabilitako hitzarmenak deskribatu ditugu

1.1 Sarrera 9
Energia finitudun soluzioak nahi baditugu, infinituan (x = ±∞) eremuak potentzialaren
minimo batean egon behar duela ikus dezakegu
Vmin = V (φ = η) = V (φ = −η) = 0 , (1.5)
baina ez du minimo berean egon behar. Adibidez, infinituan
φ(−∞) = −η , φ(∞) = η , edo (1.6)
φ(−∞) = η , φ(∞) = −η (1.7)
balioa duten konfigurazioek energia finitukoak dira baita ere. Higidura-ekuazioak ebatziz,
muga baldintza horiek beteko duten konfigurazio estatikoak lor daitezke
φ±(x) = ±ηtanh( √ ληx) , (1.8)
non + ikurrak (1.6) kink soluzioari dagokion, eta − ikurrak (1.7) anti-kink soluzioari. Bi
soluzio horiek energia berekoak dira, hots,
E± = dx (∂xφ±) 2 + V (φ±) = 8√
3
λη . (1.9)
3
1.1 irudia: Kink soluzioa (φ+) eta dagokion energia λ = η = 1 kasurako. Energia gehienbat
x = 0 inguruan dago, kink soluzioaren muinean.
kink soluzioaren profila eta dagokion energia dentsitatea adierazi ditugu 1.1 irudian. Kink-
ak φ(−∞) = −η eta φ(∞) = η balioen bitarteko balioak ditu, eta funtzio jarraitua da.
Beraz, φ = 0 baliotik pasatzen da eta, ondorioz, energia potentziala bereganatuko du.

10 Defektu topologikoak
Energia gehiena x = 0 inguruan metaturik dago (E(0) = Emax = 2 √ λη 3 ); ingurune hori
defektuaren muina (core) dela esan ohi da.
Gure sistema aldaezintasun espazialekoa denez, φ = −η baliotik φ = η baliorako aldaketa
x aldagaiaren edozein baliotan gerta daiteke (ez bakarrik x = 0 puntuan), baina φ eremua
derrigorrean potentzialaren minimoak ez diren balioak hartu behar ditu; hau da, energia-
-kontzetrazio handiko ingurunea higi daiteke, baina ezin daiteke barreiatu.
Kink soluzioaren existentzia argudio topologikoak erabiliz aurresan genezakeen: demagun
M0 huts-barietatea dela, i. e., V (φ) potentziala minimoa egiten duten φ balioen multzoa
M0 ≡ {φ : V (φ) = 0} = {−η, η} . (1.10)
Gorago esan dugunez, (1.1) lagrangearrak Z2 simetriakoa da, eta honek, G = Z2 taldeak
definitzen dituen transformazioekiko aldaezina dela esan nahi du. Baina hutsaren simetria
ez da Z2. Sistema batek, hutsak ez dituen simetriak dituenean, simetria berez apurtu dela
esan ohi da. Ondorioz, aztertzen ari garen kasuan, simetria Z2 simetriatik I simetriara
berez apurtu da.
1+1 dimentsiodun eredu honetan, S0 infinitu espazialen multzoak bi puntu ditu baita
ere: S0 = {−∞, +∞}. Hizkuntza-mota hori erabiliz, (1.6,1.7) energia finitua lortzeko
baldintza, S0 infinitu espazialetatik M0 huts-barietaterako aplikazioa dela esan dezakegu.
Karga topologikoa, n, definituz
hiru aukera dago:
n =
φ(∞) − φ(−∞)
2η
, (1.11)
• n = 0 kasua, S0 multzoko bi elementuak, M0 barietateko elementu berberarekin
erlazionatuta daude
• n = 1 (1.6) kink konfigurazioari dagokio
• n = −1 (1.7) anti-kink konfigurazioari dagokio
Karga topologikoa kontserbatu egiten da: gure sistema n jakin batekoa bada, energia kan-
titate infinitua behar da konfigurazioa n desberdineko konfigurazio bihurtzeko. Beste era

1.1 Sarrera 11
batera esanda, ezin da karga topologiko jakineko konfigurazioa era jarraituan deformatu
beste karga topologikoko konfigurazioa lortzeko. Matematikoki esanda, S0-tik M0-rako
aplikazioa topologikoki ez-tribiala da.
Analisi horretatik ondorio interesgarria lortu dugu: defektuak dauden ala ez jakiteko nahi-
koa da eremuek infinituan duten portaera aztertzea. Konfigurazioak definitzen duen in-
finitotik huts-barietaterako aplikazioa era jarraituan ezin deformatu badaiteke aplikazio
tribialera, defektuak agertuko dira.
Orokortu dezagun emaitza hori [28, 80]:
σ kurba itxia ondoko eran definitu dezakegu: zenbaki errealen I unitate tartetik, M
barietaterako aplikazio jarraitua; σ : I → M, non σ(0) = σ(1). Beste era batera esanda,
σ : S 1 → M, non S 1 unitate zirkunferentzia den.
Bi kurba itxi bata bestearekiko homotopikoak direla esango dugu, M barietatearen ba-
rruan bata era jarraituan deformatu badaiteke bestea lortzeko. Erlazio hori, baliokideta-
sun-erlazioa da; beraz, kurbak homotopia-klasetan banatu daitezke. Klase horiek talde ba-
ten elementuak dira, M-ren funtsezko taldea edo lehenengo homotopia-taldea, eta π1(M)
ikurraren bidez adierazten da. Arrazonamendu berdinari jarraituz, M-ren n-garren ho-
motopia-taldea –πn(M)– n-gainazal itxien σ : S n → M homotopia-klaseak definitutakoa
izango da.
π0(M) zerogarren “homotopia-taldeak”, M huts-barietateak dituen elementu ez-kone-
xuak neurtzen ditu. Beste homotopia-taldeen analogoa da: σ : S 0 → M aplikazioak, non
S 0 = {−1, 1}, sailkatzen baititu. Hala ere, kasu orokorrean, terminologia ez da zuzena, π0
ez baitu zertan talde bat osatu.
Gure adibidean, energia finitua lortzeko baldintza berridatziz
φ : S0 → M0 . (1.12)
Dakigunez, huts-barietateak elementu ez-konexuak ditu, hau da, π0(M) = I, non I aplika-
zio tribiala den. Ondorioz, eredu horretan, topologikoki ez-tribialak diren soluzioak daude,
kink soluzioa adibidez. Beste homotopia-taldeekin berbera gertatuko da: homotopia-talde
jakin batzuk ez-tribialak direnean, defektuak ager daitezke.

12 Defektu topologikoak
Defektu topologikoak sailkatzeko, huts-barietateko homotopia-propietateak erabiltzen di-
ra. Huts-barietateak uzkurtu ezinak diren n-esferak baditu, orduan n+1 espazio-dimen-
tsiotan, eremu eskalarrak esfera horien inguruan biribilkatu daitezke r → ∞ puntuan.
Konfigurazio horiek ez-barreiakorrak dira, eremu eskalarra jarraitua izanik, espazio-den-
boran puntu batek gutxienez potentzial eskalarra ez-nulua baitu.
Adibidez, M ez bada simpleki konexua, hau da, funtsezko taldea tribiala ez bada π1(M) =
I, orduan, huts-barietatearen inguruan biribilkapen ez-tribialak daude. Bi dimentsiotan,
φ(r → ∞) → e iθ konfigurazioa ezin da era jarraituan deformatu aplikazio tribiala lortu
arte, eta beti izango dugu puntu bat non potentzial eskalarra ez-nulua den.
Hiru dimentsio espazialetan, puntu-itxurako defektuak, dimentsio bakarrekoak eta bi di-
mentsiokoak, izen bereziak dituzte, monopoloa, soka kosmikoa, eta domeinu-pareta, hu-
rrenez hurren (ikus 1.1 taula). Baita ere, karga topologiko negatiboko monopoloari anti-
monopolo deritzo.
π0(M) = I M ez-konexua Domeinu-pareta
π1(M) = I M-n esfera uzkurtezinak Soka kosmikoa
π2(M) = I M-n 2-esfera uzkurtezinak Monopoloa
π3(M) = I M-n 3-esfera uzkurtezinak Testura
1.1 taula: Huts-barietatearen topologiaren arabera gerta daitezken defektu topologikoak. Irudia
osatzeko, testurak ere aipatu ditugu, nahiz eta testuren sailkapen topologikoa ezberdina izan.
3 dimentsiotan hain zuzen ere, testurak sektore topologiko batetik beste batera era jarraituan
deforma daitezke energia finitua erabiliz, eta hortaz, ez-egonkorrak dira.
Sistema simetria lokalekoa denean, i. e., gauge-eremuak dituenean, defektuei defektu lokal
deritze; simetria globaleko kasuan, berriz, defektu globalak.
Hutsaren topologia eta defektu egonkorren arteko erlazioa nahiko zolia da. Orain arte
erakutsi dugu huts-barietateko homotopia ez-tribialak soluzio ez-barreiakorrak aurresaten
dituela. Hau ikusteko, demagun e(x, y, z, t) energia dentsitatea definitu positiboa dela, eta
nulua dela sistemaren oinarrizko egoerarako. Higidura-ekuazioen soluzio bat ez-barreia-
korra da [28]
lim
t→∞ max e(x, y, z, t) = 0 (1.13)
x,y,z

1.1 Sarrera 13
denean. Baina eremu eskalarrak infinituan biribilkapena badu, eremu eskalarraren jarrai-
tasuna dela eta, (x0, y0, z0) espazioko puntu jakin batetan eremu eskalarra nulua izan
behar da φ = 0. V (φ = 0) > 0 denez, (x0, y0, z0) puntuan
eta ondorioz
hau da, soluzioa ez-barreiakorra da.
e(x0, y0, z0, t) > 0 , (1.14)
lim
t→∞ max e(x, y, z, t) = 0 , (1.15)
x,y,z
Baina soluzio horiek ez dute zertan estatikoak izan, ezta ere perturbazio txikiekiko egon-
korrak. Kasu bakoitzerako egonkortasun-analisia egin behar izango dugu.
Are gehiago, tesi honetan ikusiko dugunez (ikus 2. kapitulua), kasu batzuetan nahiz eta
sektore topologiko batetik bestera joateko energia infinitua izan, bi konfigurazioen arteko
energia-diferentzia finitua suertatu daiteke.
Bestalde, hutsaren homotopia ez-tribialak defektuak aurresan arren, homotopia tribiala
izateak ez du esan nahi defekturik ez dela egongo; defektu bat beste teoria orokorrago, eta
topologikoki tribial, batetan murgiltzeko baldintzak ez dira oso gogorrak eta, ondorioz,
murgildutako defektuak ia edozein teoriatan aurkitu genitzazke. Halere, defektu horien
egonkortasuna lortzea askoz ere zailagoa da.
Kasu topologikoan ziur dakigu potentzial eskalarra gutxienez puntu batean ez-nulua dela.
Baina kasu ez-topologikoetarako ezin dugu hori ziurtatu; sistema desbiribilkatu daite-
ke. Propietate garrantzitsu horretan datza defektu topologiko eta ez-topologikoen arteko
desberdintasunetako bat. Defektu ez-topologikoen egonkortasuna ereduaren energiaren
araberakoa da, eta gehienetan ez-egonkorrak dira.
Defektu ez-topologiko egonkorren adibide ezaguna soka erdilokalak dira, kapitulu honetan,
1.3 atalean, deskribatuko ditugunak. Soka erdilokalak, Higgs eredu trukakorrean (ikus 1.2
atala) gertatzen diren Nielsen-Olesen zurrunbiloak teoria zabalago batean murgiltzean lor
ditzakegu.

14 Defektu topologikoak
1.1.2 Defektuak Kosmologian
Aurreko atalean defektu-motako soluzioak aurkitu ditugu zenbait eremu-teoriatan. Atal
honetan aldiz, kontestu kosmologikoetan defektuak ere ager daitezkela erakutsiko dugu.
Big-Bang delako eredu estandarrean, oinarrizko simetrien berezko simetria-apurketak sor-
tarazten dituzten fase-trantsizioak daude. Temperatura txikiko simetria-apurketak nahiko
ongi ezagutzen dira: simetria-apurketa elektroahula T ∼ 10 2 GeV eskalan gutxi gorabehe-
ra, eta confinement-deconfinement delako fase-trantsizioa T ∼ 10 2 MeV eskalan. Oinarriz-
ko elkarrekintzen teoriak beste fase trantsizio batzuk aurresaten ditu, e.g. GUT (Grand
Unification Theories) teorien simetria-apurketak T ∼ 10 16 GeV eskalan, eta supersime-
tria-apurketa eredu supersimetrikoetan.
Big-Bang delako eredu estandarraren arabera, unibertsoa oso temperatura handian sortu
da, simetria guztiak apurtzeke daude eta Higgs eremuaren oinarrizko egoera φ = 0 da.
Unibertsoa hoztuz doan neurrian, Tc “temperatura kritiko” batetara heldu eta simetria
apurtu egingo da, Higgs eremuaren balioa potentzialaren minimora jaitsiz (φ = 0).
φ eremuaren balio “berria” ez da orokorrean uniformea izango espazioan, ξ korrelazio-dis-
tantzia jakina baino urrutiago dauden puntuek ezin baitira korrelaturik egon, kausalitatea
dela-eta. Ohiko korrelazio-distantzia ξ < ∼ t da, t horizonte kausala izanik. Elkarrengandik
oso hurrun dauden zonaldeak korrelaturik ez daudenez, zonalde bakoitzean Higgs eremuak
norabide desberdina hautatuko du. Oso norabide ezberdinak dituzten zonaldeak gertu-
ratzean, oso zaila da beren konfigurazioak adostea, eta mugan defektuak sortuko dira.
Eskema orokor horri Kibble-ren mekanismo deritzo [63].
ξ korrelazio-distantzia ezagutu beharko genuke defektu-dentsitatea kalkulatzeko. Balio
zehatzak lortzea benetan lan zaila da, baina kosmologian erabiltzeko, gutxi gorabeherako
balioak ondorio garrantzitsuak eman diezazkiguke. Oso defektu gutxi sortuko diren kasuan
ere, efektu kosmologikoa izugarria izan daiteke [98].
Honen adibide domeinu-paretak dira. Domeinu-paretak sortuko dituen fase-trantsizioa
eta gero, gutxienez bolumen-horizonteko domeinu-pareta bat sortuko da. Badakigu gaur
egungo unibertsoaren energia gehiengoa ez dela domeinu-pareten energia. Domeinu-pare-
ten berezko energia, eta energia hori gaur egongo unibertsoaren gehiengoa ez izatea, ba-

1.1 Sarrera 15
tera kontsideratuz, sistema horretarako lotura gogorrak lortuko ditugu. Adibidez, eskala
elektroahularen energia-eskalan edo energia-eskala handiagoetan sortuko diren domeinu-
-paretak ez dira onargarriak, unibertsoaren energia menperatuko bailukete.
Monopolo magnetikoarekin (lokalarekin) antzeko zerbait gertatzen da. Bolumen-horizonte
bakoitzean monopolo magnetiko bat gutxienez sortzea espero dugu, eta dentsitate hori
nahikoa da GUT monopoloak energia-dentsitatea menperatzeko, eta unibertsoa ixteko.
Baina kasu horretan ez ditugu monopolo horiek aurresaten dituzten ereduak baztertuko:
elkarrekintza elektroahula eta elkarrekintza nuklear bortitza bateratu nahi dituen edozein
GUT teoriak, elkarrekintza horien artean beste elkarrekintza berririk ipini gabe, mono-
poloak aurresango ditu. Izan ere, barnean U(1) hiperkarga-taldea edukiko duen azpitalde
batetara apurtuko da GUT teoria, eta hori nahiko da monopoloak aurresateko. Meka-
nismo berriren bat behar dugu monopolo-ugaritasunaren problema konpontzeko. Inflazioa
oso irtenbide ona dela dirudi. Inflazio-denboraldian espazioa esponentzialki hazten da mo-
nopoloak asko diluituz, eta beraz, monopolo-dentsitateak kaltegarri izateari utziko dio.
Monopolo globalen kasua desberdina da. Monopolo-antimonopolo bikote baten arteko
indarra irismen luzekoa da (2. kapitulua), eta nahikoa da elkar deuseztatzeko. Horrela,
monopolo ugaritasunaren problema ez da agertuko monopolo globalen kasuan.
Testura globalen kasua berezia da. Defektu horiek ez dira topologikoak (ikus 1.1.1 atala),
ez dira inoiz huts-barietatik irtengo, eta ez-egonkorrak dira. Ez-egonkortasun hori dela-eta,
ezin dute unibertsoaren energia dentsitatea menperatu, eta printzipioz, fase-trantsizio
kosmologiko batean suertatu daitezke.
Soka kosmikoak ez dira arrisku bat ikuspuntu kosmologikotik ere. GUT eskaletan eratzen
diren sokak izan arren, beren energia-dentsitatea oso txikia da dentsitate kritikoarekin
alderatuz, eta ez dituzte esperimentuak gezurtatu. Zergatia soken eboluzioan datza.
Zenbakizko lanek eta lan analitikoek [18, 97] agertzen dute soka kosmikoek eta monopolo
globalek scaling soluzio batera jotzen dutela: eratuak izan eta gero, defektu-sarearen ebo-
luzioaren ondorioz, Hubble bolumen bakoitzean soka infinituen segmentu, edo monopolo,
gutxi batzuk daude Hubble-ren denborarekiko. Hau da, sarearen propietate estatistikoak
ez dute denborarekiko menpekotasunik Hubble-ren erradioa distantzia-eskalatzat hartuz
gero.

16 Defektu topologikoak
Soka kosmikoen beste propietate interesgarria da, korronte elektromagnetikoaren eramale
izan daitezkela [104], eta honek, beren partehartze kosmologikoa alda dezake. Soka kosmi-
ko batek osatutako eraztun itxia –bortoia– txikitu egingo da desagertu arte. Baina sokak
korronte elektromagnetikoa badarama, eraztuna txikituz doan neurrian momentu ange-
luarra handituz doa, eta momentu angeluarrak txikitzea geldiaraziko du. Orduan, bortoi
[34] horiek unibertsoaren energia-dentsitatea menperatuko lukete bortoi ugari baleude,
eta honenbestez, arrazoi kosmologikoen bidez, teoria batek aurresan ditzakeen bortoi-ko-
purua mugatua da [25, 27, 69]. Geroago ikusiko dugunez (4. kapitulua), bortoi hauek
kiralak izan daitezke eta ezaugarri interesgarriak izango dituzte [26, 33, 78, 89].
Orain arte, abiapuntu kosmologikotik hasita defektuak sortu ditzaketen partikulen fisika-
rako zenbait eredu gaitzetsi ditugu. Bestalde, defektuek beste hainbat arazo kosmologikoei
buruzko erantzunak eman diezazkigukete, adibidez, bariogenesia [24, 31], energia handiko
izpi-kosmikoak [22], gamma izpi eztandak (bursts) [19] eta jatorrizko eremu magnetikoak
[94, 96].
Defektu topologikoak, unibertsoaren egitura-eraketan partaide izan direla uste izan da
(ikus adibidez [12, 37, 41, 68, 95] eta bertako errefentziak). Duela gutxi, neurketa kosmo-
logiko oso zehatzak egin dira, egitura-eraketari buruzko datu berriak eman dituztenak.
Adibidez, Boomerang [20] eta Maxima [53] globo-aerostatikoko esperimentuek CMB-ko
(Cosmic Microwave Background edo Mikrouhineko erradiazioaren Hondo-Kosmikoa) [76]
tenperatura-fluktuazio oso txikiak neurtu ahal izan dituzte zehaztasun izugarriz. Datu ho-
riek, egitura-eraketarako garrantzi nagusia duen prozesua inflazioak sortua dela erakutsi
dute. Dirudienez, egitura-eraketaren arrazoi nagusia inflazioari esker areagotutako hase-
rako fluktuazio kuantikoak dira. Halere, defektuek bigarren mailako efektua izan dezakete
egitura-eraketan; eta bai inflazioa bai defektu topologikoak dituzten ereduak ere aintza-
kotzat hartu izan dira [23, 29]. Are gehiago, inflazio eredu errealista batzuetan, inflazioa
eta gero datorren aurre-berotze fasean, soka kosmikoak agertzen dira zuzenean [62, 90].
Ondorioz, kontestu kosmologikoetan oraindik ere defektu topologikoek badute zerresana,
eta edozein kasutan, defektu-ugaritasunak edo defektu ezak, fase-trantsizio kosmologikoak
esplikatzeko erabiltzen diren partikulen eremu-teoriak mugatzeko erabil daitezke.

1.2 Higgs eredu trukakorra 17
1.2 Higgs eredu trukakorra
Φ eremu eskalar komplexuak eta Yµ U(1) gauge-eremu batek osatzen dute, d = 3 + 1
dimentsiotan bizi den Higgs eredu trukakorra. Ereduari dagokion lagrangearra ondokoa
da
L = |DµΦ| 2 − 1
4YµνY µν
− λ Φ † Φ − η2
2 , (1.16)
2
non DµΦ = (∂µ − iqYµ)Φ, eta Yµν = ∂µYν − ∂νYµ magnitudea U(1) eremu intentsitatea
den. Teoria U(1) gauge-aldaketekiko aldaezina da; hots, ondoko transformazioek
Φ(x) → e iqχ(x) Φ(x) , Yµ(x) → Yµ(x) + ∂µχ(x) , (1.17)
ez dute (1.16) lagrangearra aldatuko.
1.2 irudia: “Mexikar Kapela” itxurako potentzialaren adierazpen grafikoa. |Φ| 2 = η 2 betetzen
duten puntu guztiak, potentzialaren minimo dira.
Sistemaren potentzialak “Mexikar Kapela” itxurakoa da (1.2 irudia); potentzial horrek
maximo lokal bakarra du, Φ = 0, eta minimo-multzo bat, |Φ| = η. Huts-barietatea (i. e.
potentzialaren minimoek osatzen duten barietatea)
M =
Φ ∈ C | |Φ| = η
√ ∼= 1
S
2
(1.18)
da eta sistemaren simetria berez apurtuko da U(1) taldetik I unitatera. Simetria-apurketa
horrek masa emango die bai eremu eskalarrari bai Yµ eremuari ere. Gauge-transformazioak
direla-eta, potentzialaren minimo guztiak baliokideak dira; hortaz, minimoetako bat au-
keratu dezakegu simetria apurtuaren hutsa aztertzeko. Gauzak errazteko, Φ erreala den

18 Defektu Topologikoak
kasua aukeratuko dugu, hots, Φ0 = η/ √ 2 izango da aukeratutako minimoa. Minimo ho-
rren inguruan Φ eremua Φ = Φ0 + α eran garatuz, ondoko adierazpena lortuko dugu
L = − 1
4 YµνY µν + (∂µα) 2 + 2λη 2 α 2 + 1
2 q2 η 2 (Yµ) 2 + Lint , (1.19)
non Lint eremu ezberdinen arteko elkarrekintzei dagozkio. Argi ikus daiteke α eremu es-
kalarrak masa irabazi duela (ms = 2λη 2 = l −1
s ) eta baita Yµ eremu bektorialak ere
(mv = qη = l −1
v ).
Egin dezagun ondorengo aldagai-aldaketa, problemaren berezko eskalak erabiltzearren:
Φ(x) → η √ Φ(x) ,
2
√
2
x →
qη x = √ 2lvx, qYµ → qη
√ Yµ =
2 Yµ
√2lv . (1.20)
Luzera fisikoa lv da orain, eta η energia-unitatea (zenbakizko faktore batzuk gorabehera).
Lagrangearra unitate berri horietan ondokoa da
eta orain DµΦ = (∂µ − iYµ)Φ eta β = m2 s
m 2 v
metro bakarra β da.
˜L = |DµΦ| 2 − 1
4YµνY µν − β † 2
Φ Φ − 1 , (1.21)
2
Lagrangian horretatik lortuko ditugun higudura-ekuazioak
= 2λ
q 2 . Aldaketa egindakoan, sistemaren para-
DµD µ Φ + β(Φ † Φ − 1)Φ = 0 ;
∂ µ Yµν + i Φ † DνΦ − (DνΦ) † Φ = 0 (1.22)
dira, eta sistemaren energia
E = d 3
x |D0Φ| 2 + |DiΦ| 2 + β
2 2 1
|Φ| − 1 + 2 2
E2 + 1
2B2
, (1.23)
non Y0i = Ei eta Yij = ǫijkB j diren, eremu elektrikoa eta magnetikoa, hurrenez hurren.
1.2.1 Nielsen-Olesen zurrunbiloa
Gure sistemaren huts-barietatea S 1 dela ikusi dugu, eta π1(S 1 ) = Z denez, eredu horrek
soka topologiko motako soluzioak eduki ditzake (ikus 1.1.1 atala). Ardatz-simetriadun
konfigurazio estatikoak bilatzen ari gara, d = 3 + 1 dimentsiotan; hots, z ardatzaren

1.2 Higgs eredu trukakorra 19
norabideko soka zuzen infinitua. (t, ρ, ϕ, z) koordenatu zilindrikoak erabiliko ditugu, eta n
biribilkapen-zenbakiko sokarako (Abrikosov)Nielsen-Olesen [1, 74] fisikariek proposaturiko
ansatz-a:
Φ = f(ρ)e inϕ , Yϕ = nv(ρ) , Yt = Yρ = Yz = 0 . (1.24)
(1.22) higidura-ekuazioetan aurreko ansatz-a ordezkatzerakoan bi ekuazio mihiztatu lor-
tuko dira
f ′′ (ρ) + f ′ (ρ)
ρ − n2f(ρ) ρ2 v ′′ (ρ) − v′ (ρ)
ρ + 2f2 (ρ)
non primatuak ρ-rekiko deribatuei dagozkien.
2
1 − v(ρ) +β 1 − f(ρ) 2
f(ρ) = 0 ;
1 − v(ρ) = 0 , (1.25)
Ekuazio diferentzial pare hori aztertuz, eta (1.24) definizioa erabiliz, ρ = 0 denean f(0) =
v(0) = 0 izan behar dela ondorioztatuko dugu. Baldintza horrek ρ = 0 puntuan funtzioen
erregulartasuna ziurtatuko du, eta egoera simetrikoa eta ez-simetrikoa leunki lotaraziko
ditu.
Energia finitua izatea eskatuz, muga-baldintza gehiago lortuko ditugu. (1.23) ekuazioak
ondokoa erakutsiko digu: ρ → ∞ denean DiΦ eta Yµν adierazpenek 1/ρ baina azkarra-
go joan behar dute zerorantz; eta, limite horretan, eremu eskalarraren balioak energia
potentzialaren minimo izan behar du. Hortaz, f(ρ → ∞) → 1 eta
Diφ(ρ → ∞) = 0 ⇒ (∂ϕ − iYϕ)e inϕ ⇒ v(ρ → ∞) = 1 . (1.26)
Beraz, (1.25) ekuazioen mugalde baldintzak f(0) = v(0) = 0 eta f(∞) = v(∞) = 1 dira.
(1.22) ekuazioen soluzio analitikoa ezezaguna da n orokorrerako. Hala eta guztiz ere, higi-
dura-ekuazioen analisiak informazio partziala eman diezaguke. ρ txikia denan, f ∼ ρ n eta
v ∼ ρ 2 ; eta ρ handirako, funtzioek hutseko baliorantz doaz esponentzialki. Erdialdea zen-
bakizko metodoak erabiliz aztertu behar da, eta 1.3 irudian fNO eta vNO funtzioen ohiko
profila ikus daiteke; NO azpi-indizeak Nielsen-Olesen higidura-ekuazioen (1.25) soluzio
direla gogoraraziko digu. Irudiaren arabera, f eta v funtzioak m−1 s eta m−1 v neurriko ingu-
runetan, hurrenez hurren, beren hutseko baliotik hurrun daude. Zonalde hori defektuaren
muina da, eta energia muin horren barruan metaturik dago. 1.2 taulan β parametroaren

20 Defektu Topologikoak
1.3 irudia: fNO eta vNO funtzioen profilak n = 1, λ = 0.6 kasurako, (1.25) ekuazioak zenbakizko
metodoen bidez ebatziz lortuak.
balio ezberdinetarako zenbakizko kalkuluen bidez lorturiko muinaren erradioaren balioa
eta B eremuaren balio maximoa adierazi ditugu, n = 1 kasurako. Erradioa honela de-
finitu dugu: eremu magnetikoaren balioa, Bmax balio maximoaren %25 deneko puntutik
jatorriraino dagoen distantzia.
Ohar zaitezte fluxu magnetikoa kuantizaturik dagoela. Gure ansatz-aren arabera Yt = Yz = 0
direnez eta beste gauge-eremu guztiek ez dutenez z eta t aldagaieiko menpekotasunik, on-
dokoa ondorioztatuko dugu: E eremu elektrikoa nulua da; eta, B eremu magnetikoaren
osagai bakarra z norabidean dago. xy planuan zeharreko fluxu magnetikoa hau da
d 2
xB = Yϕ · dl . (1.27)
Baina lehenago, energia finitoa izatea eskatzerakoan, DϕΦ(∞) = 0 erlazioa lortu dugu.
Ereduaren parametro guztiak berrezarriz – eskala aldatu baino lehenagoko unitateak era-
ρ=∞
biliz – eta eremu eskalarraren balioa infinitoan honela idatziz
ondoko hau lortuko dugu:
Ondorioz, fluxu magnetikoa hau da
d 2 xB =
Φ(∞) = f(∞)e iqχ(ϕ) = η √ 2 e iqχ(ϕ) , (1.28)
DϕΦ(∞) = iqη
√ 2 e iqχ(ϕ) (∂ϕχ(ϕ) − Yϕ) = 0 . (1.29)
2π
0
∂ϕχ · dl = χ(2π) − χ(0) . (1.30)

1.2 Higgs eredu trukakorra 21
β
1
2 B2 max Bmax rmax πr 2 max
0.05 0.13 0.51 2.25 15.9
0.1 0.19 0.62 2.03 12.9
0.2 0.28 0.75 1.83 10.5
0.3 0.35 0.83 1.72 9.3
0.4 0.40 0.90 1.65 8.5
0.5 0.45 0.95 1.59 7.9
0.6 0.49 0.99 1.55 7.5
0.7 0.53 1.03 1.53 7.3
0.8 0.56 1.06 1.50 7.1
0.9 0.59 1.09 1.48 6.9
1.0 0.62 1.12 1.46 6.7
1.1 0.64 1.13 1.45 6.6
1.2 0.66 1.14 1.44 6.5
1.3 0.67 1.16 1.43 6.4
1.4 0.69 1.17 1.42 6.3
1.5 0.71 1.19 1.41 6.2
1.2 taula: Eremu magnetikoaren balio maximoak, eta sokaren erradioa, β parametroaren balio
ezberdinetarako, n = 1 deneko kasuan.
χ(2π) − χ(0) = 2πn/q da Φ eremua balio-bakarrekoa izatea nahi dugulako; eta fluxu
magnetikoaren kuantizazioa lortu dugu:
dx 2 B = 2πn
. (1.31)
q
1.2.2 Nielsen-Olesen zurrunbiloaren egonkortasuna
Higidura-ekuazioen soluzio klasiko bat lortu dugu. Ikertu beharreko hurrengo propieta-
teak, orduan, soluzio horren egonkortasun propietateak dira. Soluzio hori infinitesimalki
perturbatzean datza ikerketa hori burutzeko modu bat: energia jaitsiko duen perturba-
ziorik ez dagoela frogatuz gero, soluzioa egonkorra da; ez-egonkortasunak aurkituz gero,

22 Defektu Topologikoak
aldiz, soluzioa ez-egonkorra da. Monopolo globalaren egonkortasuna aztertzerakoan era-
biliko dugu metodo hori, 2.5 atalean.
Beste era bat, Bogomol’nyi fisikariak [21] proposatu zuen. Energiaren behe-borne bat
aurkitu behar dugu. Soluzioak borne hori aseko duela frogatuz gero, egonkortasuna auto-
matikoa da; baina modo nuluak egon daitezke. Metodo hau jarraituko dugu Nielsen-Olesen
zurrunbiloen kasuan.
Gradienteak ondoko eran konbinatuko ditugu Nielsen-Olesen zurrunbiloen luzera-unita-
teko energia (1.23) berridazteko
(D1Φ) † (D1Φ) ± (D2Φ) † (D2Φ) = |(D1 ± iD2)Φ| 2 ∓ i (D1Φ) † D2Φ − (D2Φ) † D1Φ =
|(D1 ± iD2)Φ| 2 ± Φ † [D1, D2]Φ ∓ i ∂1(Φ † D2Φ) − ∂2(Φ † D1Φ) . (1.32)
Ji = −iΦ † DiΦ korrentearen errotazionala da azken gaia. ρ → ∞ kasuan, J ·d l → 0 izan
behar da, DiΦ magnitudea 1/ρ baina azkarrago zerorantz joan behar denez.
Deribatuen arteko erlazio hau erabiliz
[D1, D2]Φ = −i(∂1Y2 − ∂2Y1)Φ = −iBΦ, (1.33)
luzera-unitateko energia honela berridatzi dezakegu:
E =
d 2
x |(D1 ± D2)Φ| 2 ± B|Φ| 2 + 1
2B2 + β
2 2
|Φ| − 1 =
2
d 2
x |(D1 ± iD2)Φ| 2 + 1
2 2 1
B ± |Φ| − 1 + 2
2 (β − 1) |Φ| 2 − 1 2
± d 2 xB . (1.34)
Azken integrala fluxu totala da (1.31). Integrala positiboa izan dadin aukeratuko dugu
plus/minus zeinua. Notazioa erraztearren, demagun n > 0 dela; orduan, fluxu magnetikoa
positiboa egiteko zeinu positiboa behar dugu. Ondorioz, energia honela idatziko dugu
E = 2πn+ d 2
x |(D1 + iD2)Φ| 2 + 1
2 2 1
B + |Φ| − 1 + 2
2 (β − 1) |Φ| 2 − 1 2
. (1.35)
Erlazio honek argi erakusten digu energia behetik bornaturik dagoela: E ≥ 2πn, β ≥ 1
kasurako. β = 1 kasu berezia da: ms = mv, eta Higgs eredu trukakorra supersimetriko

1.2 Higgs eredu trukakorra 23
bihurtu dezakegu (ikus 4. kapitulua). Energiaren espresioko azken gaia nulua da; eta β = 1
kasurako, Bogomol’nyi-ren bornea aseko duten soluzioek hau beteko dute:
(D1 + iD2)Φ = 0 , B + |Φ| 2 − 1 = 0 . (1.36)
f eta v funtzioak erabiliz ondoko adierazpenak lortuko ditugu
f ′ nf(ρ) (v(ρ) − 1)
(ρ) + = 0 ;
ρ
nv ′ (ρ) + ρ f(ρ) 2 − 1 = 0 . (1.37)
Azken ekuazioak beteko dituzten soluzioak energiaren minimo dira; eta ondorioz, egon-
korrak.
β > 1 kasurako ez dago Bogomol’nyi-ren bornea aseko duen soluziorik. Bi ekuazio hauek
B + |Φ| 2 − 1 = 0 , |Φ| 2 − 1 = 0 (1.38)
bete beharrak, B = 0 izatea ondorioztatzera garamatza; eta hau ezinezkoa da (1.31)
fluxuaren kuantizazioa dela-eta. Baina honek ez du esan nahi β > 1 kasurako soka-motako
soluziorik ez dagoenik:
Eremu eskalarrak infinitoan biribilkapen ez-tribiala badu, topologiak soluzio ez-barreiakor
bat dagoela ziurtatuko du. Ekarpen honek ez du β-rekiko menpekotasunik. Ondorioz,
edozein β-rako soluzio ez-barreiakor bat dago topologiaren arabera. Halere, soluzio ez-
-barreiakorren egonkortasuna ez da derrigorrezkoa. Adibidez:
n = 1 eta β = 1 kasurako, zurrunbiloak egonkorrak dira; (1.35) energiaren beheko bornea
asetuko dutelako.
n = 1 eta edozein β-rako, zurrunbiloak egonkorrak dira baita ere. Energia potentzial eta
magnetikoaren arteko lehiak sokaren erradioa definituko du. Ez-egonkortasun angelua-
rrak ez ditugu kontuan hartu analisi honetan; baina [49] lanaren idazleen arabera, kasu
honetarako ez-egonkorasun angeluarrik ez dagoela frogatu zuten.
n > 1 eta β > 1 kasuan aldiz zurrunbiloak ez dira egonkorrak. Zurrunbilo hauek n = 1
biribilkapeneko n zurrunbilo bihurtzeko joera dute.
Zenbakizko simulazioen bidez lorturiko Nielsen-Olesen zurrunbilo-sarea ikus daiteke 1.5
irudian. Soka hauek ez dira inon amaituko: kurba itxiak osatuko dituzte; edo “infinitoak”

24 Defektu topologikoak
dira (“infinitoak” muga baldintza periodikoak erabili baititugu simulazioan). Honen arra-
zoia defektuen jatorri topologikoan datza: eremuen zeroak continuum-a osatu arazten ditu
topologiak; eta honela, sokek ezin dute “muturrik” izan.
1.3 Soka erdilokalak
Zabal dezagun Higgs eredu trukakorra: ordezka dezagun aurreko ataleko eremu eskalar
konplexua Φ T = (φ1, φ2) SU(2) bikoteaz, non φ1, φ2 ∈ C [92].
Sistema berriaren lagrangearra hau da
L =
|(∂µ − iqYµ)Φ| 2 − 1
4 YµνY µν − λ
Φ † Φ − η2
2
. (1.39)
2
Higgs trukakorraren kasuan bezala, Yµ eremua U(1) gauge-potentziala da, eta Yµν eremu-
-intentsitatea.
Honako U(1)lokal gauge-aldaketarekiko aldaezina da eredua
eta baita ere SU(2)global gauge-aldaketarekiko
Φ → e iqγ(x) Φ, Yµ → Yµ + ∂µγ(x) , (1.40)
non τ a Pauli-matrizeak diren (ikus A eranskina).
Φ → e iαaτa
Φ, Yµ → Yµ , (1.41)
Ohar zaitezte (α, γ) transformazioa eta (α + 2π, γ + π)
transformazio berbera direla,
q
non α = α2 1 + α2 2 + α2 3 ∈ [0, 4π) den. Beraz, (SU(2)globala × U(1)lokala) /Z2 da ereduaren
benetako simetria; eta bai simetria lokala bai globala dituenez, eredu erdilokala izendatu
zuten [92].
Higgs mekanismoaren bidez Φ eremuak hutsean esperotako balio (v.e.v.) ez-nulua lor-
tuko du. Beraz, simetria berez apurtuko da: (SU(2)globala × U(1)lokala)/Z2 simetriatik
U(1)globala simetriara [6]. Ereduak dituen partikulak hauek dira: Goldstone-bosoi bi, ms =
2λη2 −1 = ls masako bosoi eskalarra eta mv = qη = l−1 v masako bosoi bektoriala. β pa-
rametroa Higgs eredu trukakorrean bezela definituko dugu: β = m2 s
m 2 v
= 2λ
q 2 . Kasu honetan,

1.3 Soka erdilokalak 25
ereduko parametro bakarra da. Hau ikusteko, Higgs eredu trukakorrean egindako eskala-
-aldaketa egin dezakegu, eta lagrangearra ondoko ean idatziko dugu
L = |(∂µ − iYµ)Φ| 2 − 1
4 YµνY µν − β
2 (Φ† Φ − 1) 2 . (1.42)
Energiak berriz honako formakoa da
E = d 3
x |D0Φ| 2 + |DiΦ1| 2 + 1
2B2 + 1
2E2 + β
2 (Φ† Φ − 1) 2
, (1.43)
non F0i = Ei eta Fij = ǫijkB k diren, aurrerago ikusi dugunez.
Sistemaren huts-barietatea hau da
M = Φ ∈ C 2 Φ † Φ = 1 ∼= S 3 , (1.44)
π1(S 3 ) = I denez, ez ditu onartuko soka topologikoko motako soluzioak.
Baina higidura-ekuazioak idatziz gero; hots
DµD µ Φ + β(|Φ| 2 − 1) = 0 , ∂ µ ↔
†
Yµν = −iΦ DνΦ, (1.45)
konturatuko gara horiek eta Nielsen-Olesen zurrunbilorako lortu ditugun ekuazioak berdi-
nak direla. Desberdintasun bakarra hau da: eremu eskalarra SU(2) bikoteaz ordezkatu du-
gu; eta, komplexu konjokatuak, Φ-ren konjokatu hermitikoen bidez. (1.24) Nielsen-Olesen
zurrunbiloa eredu hontan murgiltzen saiatu gaitezke, ondoko moduan [92]:
Φ = fNO(ρ)e inϕ Φ0 , Yφ = nvNO(ρ) , (1.46)
non Φ0 eremua SU(2) bikotea den, eta Φ †
0 Φ0 = 1.
Azken ansatz hori, (1.45) higidura-ekuazioetan ordezkatzerakoan honako ondoriora iris-
tsiko gara: Nielsen-Olesen ereduaren soluzioak badira fNO eta vNO funtzioak (ikus 1.3
irudia), orduan n biribilkapen-zenbakidun eredu erdilokalaren soluzioak dira.
n “biribilkapen-zenbakia” ez da topologikoki kontserbatuko den magnitudea aurreko ata-
lean ikusitako zentzuan, π1(S 3 ) = I baita. Izan ere, edozein zirkulu maximala puntu bat
izateraino uzkur daiteke jarraiki S 3 esferan. Baina energia finitoko konfigurazioak sailka-
tuko dituen espazioa ez da huts-barietatea. Aldiz, Φ0 ∈ M edozein erreferentzia punturi
dagokion gauge-orbitak sailkatuko ditu energia finituko konfigurazioak; eta espazio hau

26 Defektu topologikoak
ez da sinpleki konexua: π1(Glokala/Hlokala) = Z da. Zirkulu maximala S 3 esferan puntu bat
izatera jarraiki uzkurtzerarte, erdian dauden konfigurazio guztiek energia infinitua du-
te. “Biribilkapen-zenbakia” kontserbatu egiten da beraz, biribilkapen-zenbaki ezberdina
duten edozein bi konfigurazioen arteko energia-langa infinitua delako.
Baina honek ez du esan nahi biribilkapena duten konfigurazioek ez-barreiakorrak direnik:
Higgs eredu trukakorrean ez bezala, topologiak ez du ziurtatuko eremu eskalarra puntu
batetan gutxienez zero izan behar duenik. Infinituan biribilkapena duen edozein konfigu-
razio barrurantz jarraitu daiteke huts-barietatik atera gabe.
Hurrengo atalean soka erdilokalen egonkortasun propietateak berrikusiko ditugu; eta, sis-
temaren parametroaren balio batzuetarako, egonkorrak direla erakutsiko dugu. Sistemaren
energia-propietateen menpekoak izango dira egonkortasuna emango duten parametroaren
balioak.
1.3.1 Soka erdilokalen egonkortasuna
Nielsen-Olesen ereduaren kasuan (ikus 1.2.2 atala) erabili dugun bide berdina jarraituko
dugu soka erdilokalen egonkortasuna aztertzeko: Bogomol’nyi-ren metodoa erabiliko dugu
[6]. Higgs eredu trukakorreko eremu eskalarra SU(2) bikoteaz ordezkatuz, eta n > 0
suposatuz, honela idatziko dugu energia
E = 2πn + d 2 x |(D1 + iD2) Φ| 2 + 1
2 (B + (|Φ| − 1))2 + 1
2 (β − 1) |Φ| 2 − 1 . (1.47)
Argi dago, β = 1 kasurako gutxienez, Bogomol’nyi-ren ekuazioak, hots,
(D1 + iD2)Φ = 0 , B + |Φ| 2 − 1 = 0 , (1.48)
beteko dituzten konfigurazioak energiaren minimo lokalak direla; eta ondorioz, konfigu-
razio horiek egonkorrak dira klasikoki. Baina eredu honetako Bogomol’nyi-ren ekuazioak
eta (1.36) Higgs eredu trukakorrekoak berdinak dira Ondorioz, (1.46) ekuazioek definituko
dituzten soka erdilokalak klasikoki egonkorrak dira β = 1 kasurako, edozein Φ0 emanik.
ρ = ∞ puntuetan konfigurazioak biribilkapena badu, infinitutik barrurantz hedatuko
den heinean, posibilitate bi ditu: konfigurazioa desbiribilkatu daiteke (gradiente-energia

1.3 Soka erdilokalak 27
irabaziz) ala soka erdilokala eratu (potentzial energia irabaziz). Bietatik zein gertatuko
den, energia-integralean gai bakoitzaren garrantziaren araberakoa izango da; eta hau β
parametroaren araberakoa izango da.
β handia denean, energia potentzialaren garrantzia gradiente-energiarena baina handiagoa
da: sistema desbiribilkatuko da, energetikoki errexago baita. Bestalde, β txikia den kasuan,
soka erdilokalak eratuko dira, energia potentzialaren irabazia gradiente-energiarena baino
txikiagoa delako.
Hindmarsh-ek [55] (1.46) soka erdilokala ez-egonkorra zela erakutsi zuen β > 1 kasurako:
Φ0-rekiko ortogonalak diren perturbazioek soka erdilokala ez-egonkortzen dute. Perturba-
zio hauek fluxu magnetikoa infinitoraino hedatzen dute, nahiz eta, harrigarria badirudi
ere, fluxua kuantizaturik dirauen [81].
Demagun ondorengo ardatz-simetriako ansatz-a dugula
Φ = f(ρ)e iϕ Φ0 + g(ρ)e i∆ Φ⊥ , Yϕ = v , (1.49)
non ∆ konstantea den; Φ †
0Φ⊥ = 0 eta |Φ0| = |Φ⊥| = 1 dira. Energia finitua izatea eskatuz
gero, f(0) = g ′ (0) = v(0) = 0 behar dugu, baita ere f(∞) = v(∞) = 1, g(∞) = 0.
Nielsen-Olesen eredua berreskuratuko dugu g = 0 kasuan. Baina Hindmarsh-ek [55],
g(0) = 0 kasuak energia jaitsiko duela erakutsi zuen; hortaz, (1.46) soka erdilokalen ez-
-egonkortasuna frogatu zuen.
Bestalde, β < 1 kasurako, zenbakizko simulazioen arabera [55], energia jaitsiko duen
perturbaziorik ez dago (perturbazio angeluarrak barne). Soluzioak simulatzeko erabilitako
zenbakizko kalkuluek erakutsi zuten egonkorrak direla z aldagaiaren menpekotasunik ez
duten perturbazioekiko [2, 3].
β = 1 kasua, bi jokaera horien muga da. (1.49) ansatz-a Bogomol’nyi-ren ekuazioetan
ordezkatuz ondoko adierazpenak lortuko ditugu
f ′ v(ρ) − 1
(ρ) + f(ρ) = 0 ;
ρ
g ′ (ρ) + v(ρ)
g(ρ) = 0 ;
ρ
v ′ (ρ) + ρ f 2 (ρ) + g 2 (ρ) − 1 = 0 . (1.50)

28 Defektu topologikoak
Bogomol’nyi-ren bornea dela-eta, badakigu (1.46) ansatz-a –edo g=0 kasua (1.50) ekuazioetan–
egonkorrak direla. Halere, modu nuluak egon daitezke; hau da, soka erdilokalen energia
berebereko soluzio beriak.
(1.50) ekuazioak ez dira independenteak:
espresioa bigarren ekuazioaren soluzio baita,
g ′ + v q0
g =
ρ ρ
g(ρ)=q0f(ρ)/ρ (1.51)
f ′ v − 1
+
ρ f
= 0 . (1.52)
q0 hautazko konstantea da (ikus 1.4 irudia). Beraz, honako hau ondorioztatu dezakegu:
parametro bakarraren menpekotasuna duten soka konfigurazio multzoa dago. Soka guz-
tiak Bogomol’nyi-ren bornea aseko dute; eta beraz, denak energia endekatua dute. q0
zenbakiak, sokaren erradioaren neurria ematen digu: q0=0 baliotik (Nielsen-Olesen soka)
hasi eta q0 → ∞ balioraino hel daiteke. q0 → ∞ kasuan, sokaren muina hedatu egingo da;
eta soluzioa hutsetik nahi bezain gertu egon daiteke espazio osoan zehar. g funtzioak ez
du biribilkapenik; eta muinean kondentsatu eskalarra sortuko da q0 = 0 kasurako. Baina
edozein q0 baliorako, fluxua kuantizatua egongo da soluzio guztietarako.
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.4 irudia: g(ρ) funtzioaren profila q0 konstantearen balio desberdinetarako.
Halere, sistemak q0 → ∞ kausa aukeratuko du posibilitate guztien artetik [66]; hots,
fluxua ez dago konfinatuta; eta, erradio geroz eta handiagoko fluxu-hodietara hedatuko
da, soka hutseraino iritsiko den arte.
g’(ρ)
ρ
0.1
0.5
1.0
2.0

1.3 Soka erdilokalak 29
1.5 irudia: Nielsen-Olesen soken sarearen (ezkerrean), eta soka erdilokalen sarearen (eskubian)
arteko konparaketa. Higgs eredu trukakorraren kasuan, soka itxiak edo soka infinituak eratuko
dira (soka infinituak, muga baldintza periodikoak direla-eta). Baina soka-segmentu finituak aurki
daitezke eredu erdilokalaren kasuan.
Nielsen-Olesen zurrunbiloen kasuan ez bezela, soka erdilokalak ez dute zertan infinituak
edo itxiak izan; beraien jatorria ez baita topologikoa. Hortaz, soka erdilokaleko segmen-
tuak aurki ditzakegu; eta sokak, monopolo/antimonopolo globalen antzeko energia-lainoe-
tan bukatuko dira (ikus 2 kapitulua). 1.5 irudian Nielsen-Olesen soken eta soka erdilokalen
simulazioen arteko alderaketa ikus daiteke. Zenbakizko simulazioak sare kubikoan egin di-
tugu, muga baldintza periodikoak erabiliz. Argi ikus daiteke Nielsen-Olesen kasuan sokek
muturrik ez dutela; soka erdilokalen sarea, aldiz, soka-segmentuez osatuta dago gehienbat.
Soka erdilokalen segmentuak beren tentsioaren ondorioz txikitu egingo dira. Baina soka
muturretan dauden monopolo/antimonopolo globalek luzera handiko elkarrekintzak di-
tuzte elkarren artean; eta inguruko monopolo/antimonopoloak nabarituko dituzte, elkar
deuseztatuko dutelarik. Deuseztatu diren monopolo/antimonopolo parea soka segmentu
biri badagozkio, segmentu bi horiek bat egingo dute segmentu luzeagoa eratuz. Monopo-
lo/antimonopolo parea soke segmentu berberan badaude, soka itxi bat eratuko dute [5].
Soken muturren jokaera hori dela-eta, Nielsen-Olesen soken dinamika baino askoz korapi-
latsuagoa da soka erdilokalen dinamika. Hala eta guztiz ere, denborak aurrera egiten duen
heinean, segmentuak desegingo dira; edo elkar lotuko dira soka itxiak edo soka infinituak
eratzeko: Nielsen-Olesen soka-sarearen itxura hartuko du soka erdilokalen sareak.

30 Defektu topologikoak
Soka erdilokalen sarea eta soka elektroahulen sarea aldaratzea interesgarria da (ikus 3.
kapitulua). Eredu elektroahulean, (anti)monopolo magnetikoak daude soka muturretan;
eta, monopolo magnetikoen arteko elkarrekintza ez da monopolo globalen elkarrekintza
bezain eraginkorra. Hala ere, ikusiko dugunez, soka-segmentuak elkar lotuko dute para-
metro-espazioko zenbait eremuetan [91].

2. KAPITULUA
Monopolo globalak
2.1 Sarrera
Aurreko kapituluan deskribatu ditugun defektu topologietako bat, O(3) monopolo globa-
la da. O(3) simetria globalak berez apurtzerakoan [16] agertuko zaizkigu defektu horiek,
geroxeago azterteku dugun legez. Sistemaren huts-barietata S 2 esfera da, eta Π2(S 2 ) = I
denez, monopolo topologikoak espero ditugu. Are gehiago, sistemak simetria globala due-
nez (eta ez gauge-simetria), lortutako defektua globala izango da.
Denbora luzez aztertu izan da monopolo globala, unibertsoko egitura-eraketaren hazi izan
litezkeelako [68, 98]. Baina azken datu kosmologikoen arabera, defektuak ezin dira izan
egitura-eraketara azalpen bakarra [12, 37, 41]. Halere, defektuak inflazioarekin batera
emango dira eredu batzuen arabera. Gainera, materia kondentsatuan –eta beste sistema
batzuetan– monopolo globalak daudenez, eta dituzten berezko propietate bereziengatik,
defektu horien azterketa oso interesgarria da.
Monopolo isolatuaren energia dibergentea da, eremuaren gradiente angeluarrak zerorantz
polikiegi doazelako; baina egoera fisikoetan dibergentzia moztuko da, gertuen dagoen
defektuarekiko R distantzia, cut-off delakoa, erabiliz. Ondorio garrantzitsua ondorioztatu
dezakegu: monopolo globalen sarearen bilakaera eta monopolo magnetikoen sarearena
oso desberdinak dira. Monopolo globalen arteko elkarrekintza luzera handikoa izanik,
monopolo globalak behar beste deuseztatuko dute elkar, eta monopolo ugaritasuneran
31

32 Monopolo globalak
problema saiestuko dute [98] (ikus 1.1.2 atala). Bestalde, grabitate-propietate bereziak
dituzte; adibidez, angelu-solido mentsa (deficit) [16].
Hurrengo atalean, monopolo globalak agertzen diren eredua aurkeztuko dugu, eta mo-
nopolo globalaren zenbait propietate aztertuko dugu. 2.3 ataletik 2.5 ataleraino, O(3)
monopolo globalen egonkortasuna aztertuko dugu, literaturan eztabaidak sortu izan di-
tuena [47, 77, 83]. Eztabaida argitzen saiatuko gara; horretarako:
• Perturbazio erradialekiko monopoloa egonkorra dela erakutsiko dugu [77] (2.3 atala).
• Monopolo esferikoaren egonkortasuna aztertuko dugu ardatz-simetriako deformazio
finituekiko (2.4 atala). Monopoloa eta hutsaren arteko energia-diferentzia finitua
dela erakutsiko dugu; hau da, monopolo esferikotik hasita, hutsera ebainduko den
konfigurazioa lortzeko behar den energia, finitua da. Lehenengo, erradio finkodun ge-
ruza esferikoaren egonkortasuna aztertuko dugu, Belavin-Polyakov monopolora [17]
eramango gaituena; eta, orduan, erradioa aldatu daitekeen kasua landuko dugu.
Azkenik, purturbatu gabeko monopolotik hutsera ebainduko den monopolo-konfi-
gurazioa lortzeko beharrezkoa den energia kalkulatuko dugu. Harrigarria da karga
topologiko ezberdineko sektoreak energia finituko langaren bidez banandurik ego-
tea. Kasu honetan, r konstanteko bi-dimentsioko gainazaletan gradiente-energiaren
eskala-aldaezintasunaren ondorio da.
• Ardatz-simetriako perturbazio-ekuazioak aztertuko ditugu, R cut-off parametroa
infinitura doan limitean (2.5 atala). Frogatuko dugu ardatz-simetriako perturbazio
infinitesimalekiko egonkorra dela O(3) monopolo globala.
Emaitza horiek orokortuko ditugu 2.6 atalean, monopoloaren egonkortasunerako poten-
tzial eskalarraren xehetasunak garrantzitsuak ez direla erakutsiz. Azkenik, 2.7 atalean
kapitulu honetako emaitza garrantzitsuenak laburbilduko ditugu.

2.2 Eredua 33
2.2 Eredua
O(3) monopolo globalak ager daitezkeen eredurik simpleena ondorengo lagrangearrak des-
kribaturikoa da
L = 1
2 ∂µΦ a ∂ µ Φ a − 1
4 λ(|Φ|2 − η 2 ) 2 , (2.1)
non Φ a , a = 1, 2, 3 hirukote eskalarra den, |Φ| eremuaren modulua (|Φ| ≡ √ Φ a Φ a ), eta µ =
0, 1, 2, 3 indize espazio-denboralak. Eredu horrek O(3) simetria du, berez O(2) simetriara
apurtuko dena. Sistemaren (2.1) lagrangearraren energia potentzialak “Mexikar Kapela”-
ren itxurakoa da (1.2 irudia); eta, honenbestez, hutsaren endekapena gertatuko da, i. e.,
|Φ| = η betetzen duten eremuen konfigurazio guztiak izango dira sistemaren oinarrizko
egoerak. Oinarrizko egoera guztiak baliokideak dira; bada, horietako bat aukera dezakegu,
adibidez Φ = (0, 0, η), teoriaren benetako espektroa lortzearren. Beraz, argi dago hutseko
egoerek O(2) simetria dutela (eginiko aukerarako, O(2) simetria goiki bi gaien errotazioei
dagokie); horregatik diogu simetria berez apurtu dela. Φ a eremuak, (0, 0, η) oinarrizko
egoeraren (α, β, ν) perturbazio moduan idatziko ditugu:
Φ =
eta (2.1) lagrangearra garatuko dugu:
⎛
⎜
⎝
α
β
(η + ν)
⎞
⎟
⎠ , (2.2)
L = 1
2 (∂µα∂ µ α + ∂µβ∂ µ β + ∂µν∂ µ ν) − λη 2 ν 2 + Lint , (2.3)
non Lint eremuen arteko elkarrekintzak deskribatuko dituen. Lagrangearra aurreko (2.3)
moduan idatzita dagoela, zenbat partikula dugun irakur dezakegu: Goldstone-ren 2 bosoi
(α eta β eremuei dagozkienak), eta ms = 2λη 2 masadun eremu eskalarra (ν eremuari
dagokiona).
Hasierako (2.1) lagrangearrean dauden λ eta η parametroak desagertarazi ditzakegu, bai
eremuak bai koordenatuak ondoko eran berdefinituz:
Φ a → ˜ Φ a = Φa
η ;
x µ → ˜x µ = λη 2 x µ . (2.4)

34 Monopolo globalak
Ondokoa da benetan egin duguna: η energia-unitatetzat hartu, eta m −1
s eremu eskalarra-
ren masaren alderantzizkoa luzera-unitatetzat, zenbakizko zenbait faktore gora-behera.
Eskala-aldaketa hori egin eta gero, lagrangearra
L = 1
2 ∂µΦ a ∂ µ Φ a − 1
4 (|Φ|2 − 1) 2
moduan idatz daiteke, tildeak kendu eta gero. Sistemaren higidura-ekuazioak
dira, eta sistemaren energia
E =
(2.5)
✷Φ a + (|Φ| 2 − 1)Φ a = 0 (2.6)
d 3 x 1
2 ∂µΦ a ∂ µ Φ a + 1
4 (|Φ|2 − 1) 2 . (2.7)
Huts-barietatea S 2 denez, π2(S 2 ) = Z da, eta karga topologiko ez-tribialeko konfigurazioak
eduki ditzakegu. Horietako soluzio bat, simetria esferikoa eta unitate “biribilkapen-zen-
bakia” duena da; hots,
Φ a = f(r) xa
r
, (2.8)
non r koordenatu esferikoetako koordenatu erradiala den, eta muga-baldintzak f(0) = 0
eta f(r → ∞) = 1.
2.1 irudia: f(r) funtzioaren profila, (2.10) energia zenbakizko metodoen bidez minimizatuz lortua.
Sistemaren energia (2.8) ansatz-a erabiliz ondokoa da
E∞ =
2π
0
dϕ
π
0
∞
dθ
0
dr 1
2 r2 (∂rf) 2 + f 2 + 1
4 r2 (f 2 − 1) 2 . (2.9)

2.2 Eredua 35
Esan beharra dago sistemaren energia erradioarekiko linealki dibergentea dela, gradiente
angularrak ez direlako behar bezain azkar deuseztatzen. Baina, egoera fisikoetan, integrala
ez da infinituraino hedatuko; baizik eta gertuen duen defekturaino bakarrik. Gertuen
dagoen defektua r = R (cut-off) distantziara dagoela emanik, energia finitoa da; hau da,
ER =
2π
0
dϕ
π
0
R
dθ dr
0
1
2r2 (∂rf) 2 + f 2 + 1
4r2 (f 2 − 1) 2 . (2.10)
η eta λ parametroak ez bezala, R parametroa garrantzitsua da, eta topologia ez-tribialeko
soluzioen dinamika alda dezake.
(2.8) ansatz-a erabiliz, (2.6) Euler-Lagrangeren ekuazioak
frr(r) + 2
r fr(r) − 2
r 2 f(r) − f(r)(f(r)2 − 1) = 0 (2.11)
moduan idatziko ditugu, non fr = ∂rf ...Ekuazio horren ebazpen analitikorik ez da
ezagutzen; baina f(r) funtzioaren hurbilketa lor daiteke zenbakizko kalkuluaren bidez
(2.1 irudia).
f(r) funtzioaren jokaera aztertzeko r → ∞ ingurunean, (2.11) ekuazioan t = 1
r aldagai-
-aldaketa egingo dugu:
t 4 ftt(t) − 2t 2 f(t) − f(t)(f(t) 2 − 1) = 0 . (2.12)
ft(0) ≈ 0 izan behar duela ikus dezakegu t ≈ 0 limitean. f(t) funtzioa Taylor-en seriearen
bidez garatuz, eta t = 1
r
deseginez, ondokoa izango dugu
f(r → ∞) ≈ 1 − 1 3 1
− . . . (2.13)
r2 2 r4 2.1 irudiaren arabera, f(r = 0) ≈ 1r
da; eta r = 0 inguruan, eremuaren balioa ez dago
2
potentzialaren minimoan; beraz, energia potentziala zonalde hortan, muinean hain zuzen
ere, metaturik dago. Muinetik hurrun, f(r) ≈ 1 denez, eremu eskalarraren dinamika
ikertzearren sistemaren gain beste lotura bat imposatu ohi da: Φ a hirukotea Φ a Φ a = 1
esferan egon behar duela da lotura berria. Hau da, monopolo globalak muinik izango ez
balu bezela ikertu izan da askotan (σ eredu ez-lineala). Kapitulu honetan, O(3) monopolo
globalen dinamika eta egonkortasuna aztertuko ditugu, askatasun-gradu guztiak erabiliz.

36 Monopolo globalak
2.3 Egonkortasun erradiala
Monopolo globalaren egonkortasun erradiala aztertzearren, lehen pausoa Derrick-en teo-
rema [36] erabiltzea da:
Demagun Ψ eremu eskalarra dugula denbora dimentsio bakarrean eta D dimentsio espa-
zialetan, eta bere lagrangearra ondokoa dela
L = 1
2 ∂µΨ∂ µ Ψ − U(Ψ) . (2.14)
U(Ψ) erdi-definitu positiboa da, eta teoriaren oinarrizko egoeretarako nulua. Derrick-ek,
D ≥ 2 dimentsioetarako, energia finitodun eta denborarekiko independentea diren soluzio
ez-singular bakarrak oinarrizko egoerak direla frogatu zuen:
Lehenik eta behin, ˜ V1 eta ˜ V2 magnitudeak definituko ditugu
˜V1[Ψ] =
˜V2[Ψ] =
d D x 1
2 (∇Ψ)2 ;
d D xU(Ψ) , (2.15)
non ˜ V1 eta ˜ V2 erdi-definitu positiboak diren; eta oinarrizko egoeretarako bakarrik biak
batera nuluak dira. Demagun Ψ(x) denborarekiko menpekotasunik ez duen soluzioa dela.
Izan bedi
Ψα(x) ≡ Ψ(αx) (2.16)
eremuaren parametro-bakarreko familia, non α zenbaki positiboa den. Familia horren
energia honako hau da
E[Ψα] = ˜ V1(Ψα) + ˜ V2(Ψα) = α 2−D ˜ V1(Ψ) + α −D ˜ V2(Ψ) . (2.17)
α parametroarekiko energiaren aldakuntza eginez, ondokoa lortuko dugu
eta α = 1 finkatuz beste hau
δE
δα = (2 − D)˜ V1(Ψ)α 1−D − Dα −(D+1) ˜ V2(Ψ) = 0 , (2.18)
(D − 2) ˜ V1(Ψ) + D ˜ V2(Ψ) = 0 . (2.19)

2.3 Egonkortasun erradiala 37
D ≥ 2 kasurako, bi funtzioek nuluak izan behar dute; eta, ondorioz, teorema frogatu dugu
(D = 2, ˜ V2 ≡ 0 kasu berezia neutroki egonkorra da; beranduago erabiliko dugu 2.4.3
atalean).
Monopolo globalaren energia ez da finitua; eta, ondorioz, Derrick-en teorema ezin da apli-
katu. Horrek ez du zuzenean esan nahi monopoloa eskala-aldaketekiko egonkorra denik;
baizik eta Derrick-en teorema nolabait aldatu behar dugula kasu honetarako:
[77] lanean eginikoaren arabera, monopolo globalaren (2.10) energian x → αx aldagai-
-aldaketa eginez idatziko dugu
Eα = 1
α
non I1, I2 eta I3 honela definiturik dauden:
I1(αR) + I2(αR) + 1
4α2I3(αR)
, (2.20)
I1(αR) =
I2(αR) =
I3(αR) =
αR
0
αR
dr 1
2 r2 (∂rf(r)) 2 ;
drf(r) 2 ;
0
αR
drr
0
2 (f(r) 2 − 1) 2 . (2.21)
Sistema egonkorra bada, f(αr) eremuaren energiak α parametroarekiko minimoa izan
behar du; hau da,
(2.22) ekuaziotik
δEα
δα
δ 2 Eα
δα 2
α=1
α=1
= 0 ; (2.22)
≥ 0 . (2.23)
I1(R) + I2(R) + 3
4 I3(R) = 1
4 R3 (f(R) 2 − 1) 2 + Rf(R) 2 + 1
2 R3 fr(R) 2
(2.24)
erlazioa ondorioztatu dezakegu, eta f(r) funtzioaren (2.13) eite asintotikoa erabiliz ondo-
koa lortuko dugu
I1(R) + I2(R) + 3
4 I3(R) = R , (2.25)
O(1/R) ordenako gaiak arbuiatuz. Ekuazio hori birialen teorema da, monopoloaren gra-
diente-energia eta energia potentziala erlazionatzen baititu.

38 Monopolo globalak
2.2 irudia: (2.25) birialen teoremaren zenbakizko simulazioa Perivolaropoulos-en arabera [77].
(2.25) ekuazioaren ezkerraldeko integralen zenbakizko hurbilketei dagozkie puntuak, eta (2.25)
ekuazioak aurresaten duen unitate maldari dagokio lerro zuzena.
Era berean, (2.23) ekuaziotik abiatuta
I1(R) + I2(R) + 3
2 I3(R) − R ≥ 0 (2.26)
lor dezakegu (2.13) ekuazioa erabiliz; eta, (2.25) kontuan hartuz ondoko hau ere bai
3
4 I3(R) ≥ 0 . (2.27)
I3 integralaren integrakizuna positiboa denez, azken inekuazioa egia da.
Aurreko atalean lortutako f(r) funtzioa erabiliz (ikus 2.1 irudia), monopolo globalen bi-
rialen teorema bete egiten da, 2.2 irudian ikus daitekeenez,
Ondorioz, monopolo globalak eskala-aldaketekiko egonkorrak dira.
2.4 Egonkortasun angeluarra
2.4.1 r finkoko perturbazioak
Ardatz-simetriako perturbazio angeluarrei dagokienez, hainbat desadostasun egon da li-
teraturan [47, 77, 83]; eta, lan honen bidez, perturbazio horiekiko monopolo globalaren

2.4 Egonkortasun angeluarra 39
egonkortasuna argitzen saiatuko gara [7].
Perturbazio angeluarren eragina argitzeko, ondorengo ardatz-simetriako ansatz-a plaza-
ratu zuen Goldhaber-ek [47]
Φ 1 = F(r, θ) sin ¯ θ(r, θ) cosϕ;
Φ 2 = F(r, θ) sin ¯ θ(r, θ) sin ϕ ;
Φ 3 = F(r, θ) cos ¯ θ(r, θ) . (2.28)
y = ln tan( θ
2 ) aldagai-aldaketa eginez, monopoloaren energia ondoko eran idatz daiteke
non
E =
2π
0
∞
dϕ dy
−∞
R
0
dr 1
2
ρ1 + r 2 sech 2
yρ2 , (2.29)
ρ1 = (∂yF) 2 + F 2 sin 2¯ θ + (∂y ¯ θ) 2 ; (2.30)
ρ2 = (∂rF) 2 + F 2 (∂r ¯ θ) 2 + 1
2 (F 2 − 1) 2
(2.31)
diren. (2.30) ekuazioan parentesi artean dagoen batugaiak sine-Gordon solitoiaren energia
berbera du (ikus B eranskina). Ondorioz,
tan
¯θ
2
F(r, y) = f(r) ;
= eξ+y = tan
θ ξ e , ξ = const , (2.32)
2
moduko konfigurazioak, (2.8) konfigurazioaren energia berbera du, sine-Gordon ereduaren
soluzio estatikoa dela-eta. ξ konstantea hautazkoa da, sine-Gordon ereduaren aldaezinta-
sun translazionalaren konstantearen analogoa. ξ ≫ 1 egitean, sistemaren gradiente-ener-
gia nahi bezain txikia den ipar poloaren ingurune batean meta dezakegu, energiarik erabili
gabe! (ikus 2.3 irudia).
Gradiente-energia nahi bezain txikia den ingurune batean meta ahal izateak ondokoa
esan nahi du: sistemak energia-dentsitate altuak lor ditzakeela. Eta energia-dentsitatea
behar bezain handia denean, sistemak eremuaren modulua jaitsi nahi izango du, poten-
tzial-langaren gainetik salto eginez, eta biribilkapena deseginez. Beste era batera esanda,
gradiente-energiaren kontzentrazio handia dagoenez, energia potentzial bihurtuko da gra-
diente-energia, eta biribilkapen-zenbaki nuluko hutsera ebainduko da.

40 Monopolo globalak
2.3 irudia: Φ eremua ϕ = 0,π planoan r finkorako; a) ξ = 0, b) ξ = 0.7, c) ξ = 1.4. Bektore
horizontala (Φ 3 = 0) azpimarratuta dago gradiente-kontzentrazioa hobeto ikus ahal izateko.
Monopolo globalaren propietate horrek sortu du literaturan dagoen eztabaida. 2.4 a) iru-
dian perturbatu gabeko monopolo global esferikoa ikus daiteke; eta, 2.4 b) irudian, aldiz,
ξ konstanteko monopolo globala. 2.4 b) itxurako konfigurazioko monopoloak potentzial-
-langa salto egin lezakela arrazoitu zuen Goldhaber-ek [47]; horrela hutsera ebainduz.
Beste alde batetik, konfigurazio hori duten monopoloak goranzko bultzada nabarituko
dela diote [83] artikuluan; eta, hortaz, monopoloa gorantz higituko dela. Hirugarren ikus-
puntu bat ere badago [77], aurreko bi fenomenoak gertatu daitezkeela argudiatzen duena:
monopoloa potenzial-langaren gainetik salto egingo du, baina, aldi berean, gorantz higi-
tuko da. 2.4 b) irudiaren arabera, θ konstanteko kono batean metatuko ditu gradienteak
ξ =konstanteko (2.32) konfigurazioak. Muinetik gertu gradiente-dentsitatea handiagoa
denez, barruko geruzetan gertatuko da gradiente-energiaren transformazioa energia po-
tentzialera; eta, gero, konpoaldera joango da. Horrela, bada, monopoloaren translazioa
eta desbiribilkapena gauza berbera dira.
Sistemak biribilkapena deuseztatzeko behar duen gradiente-energiaren estimazioa egiteko
asmoz, kalkulu semianalitikoa egin dezakegu. Sistemak simetria berrezartzeko behar duen
azalera-unitateko energia potentziala honako hau da
Epot
A ≈ η4λ . (2.33)
4
Eskala aldatu gabe erabili ditugu eremu eta koordenatuak, λ eta η parametroak esplizituki

2.4 Egonkortasun angeluarra 41
2.4 irudia: Monopolo globalaren adierazpide eskematikoa kasu ezberdinetarako: a) ξ = 0, b)
ξ =konst, c) ξ = konst + ln(r).
ager daitezen nahi baitugu. Ipar poloaren inguruko geruza esferikoak (ikus 2.5 irudia)
energia potentzialaren maximora “igotzeko” behar duen energia (θ txikia denean) ondokoa
da:
A ≈ πr 2 θ 2 , Epot ≈ η4 λ
4 πr2 θ 2 , (2.34)
r eta θ koordenatuak, jatorria monopoloaren muinean duten ohizko koordenatu esferikoak
izanik.
r erradioko esferaren energia osoa ondokoa izango da
Egrad ≈ 4πη 2 , (2.35)
eta energia horren zati bat, ipar poloaren inguruan dugun geruza esferikoan egongo da
metaturik. Orduan, r jakin baterako, badakigu zein θ0 angeluaren barruan egon behar
duten gradienteek metaturik (2.5 irudia)
γ4πη 2 ≈ η4λ 4 πr2θ 2 0 ⇒ θ 2 16γ
0 ≈
r2η2 , (2.36)
λ
non γ parametroa geruza esferikoan dagoen gradiente-energiaren proportzioa den (γ ≈ 1
2 ).
Φ 3 (θ0) = 0 dela badakigu, θ0 angeluaren definizioagatik; eta, hortaz, (2.32) konfigurazioa

42 Monopolo globalak
2.5 irudia: Bektore horizontalaren Φ 3 = 0 (ikus 2.3 irudia) aplikazio puntua θ0 angelua osatzen
du z ardatzarekiko. Angelua behar bezain txikia bada, ipar poloaren inguruko gradiente-kon-
tzentrazioa nahikoa izango da biribilkapena desegiteko. Gradienteak A ∼ πx 2 0 ∼ πr2 θ 2 azaleran
egongo dira metaturik.
erabiliz ondokoa lortuko dugu
Φ3 (θ0) = cos ¯ θ0 = 0 ⇒ θ0
¯ = π
2
¯θ0
= tan 2
θ0
2
⇒ tan
⇒
e ξ = 1 ⇒ θ0 ≈ 2e −ξ . (2.37)
Emaitza hori eta (2.36) ekuazioa erabiliz, ξ parametroa –monopoloa desegiteko sistemak
behar duen gradiente-kontzentrazioa– kalkulatu dezakegu; honela:
ξ ≈ 1
2 ln
2 η λ
+ ln(r)
4γ
⇒ ξ ≈ const + ln(r) . (2.38)
2.4 c) irudian horrelako konfigurazioaren adierazpidea ikus daiteke.
2.4.2 r finkoko zenbakizko simulazioa
Aurreko ataleko kalkulu semianalitikoa egiaztatzearren, zenbait zenbakizko simulazio egin-
go dugu. Orain arte, monopolo globalaren egonkortasuna aztertu dugu; baina, r finkoa
denean; hots, geruza ezberdinen arteko elkarrekintza arbuiatuz. Honenbestez, r finkoko
kasuan, eta deribatu erradialak kontuan hartu gabe, (2.5) lagrangearraren aldakuntza
eginez lorturiko ekuazioen analisia burutuko dugu zenbakizko metodoak erabiliz:
¨Φ a = 1
r 2 sin θ ∂θ(sin θΦ a θ) +
1
r 2 sin 2 θ Φa ϕϕ − Φ a (|Φ| 2 − 1) . (2.39)

2.4 Egonkortasun angeluarra 43
Ardatz-simetriako sistemak soilik kontuan hartu ditugunez, ondorengo ansatz-a erabiliko
dugu:
Φ 1 = h(r, θ, t)cos ϕ ;
Φ 2 = h(r, θ, t)sin ϕ ;
Φ 3 = g(r, θ, t) , (2.40)
non r aldagai dinamikoa ez den; baizik eta parametroa. Bada, h eta g funtzioek beteko
dituzten
¨h = 1
r2
hθθ + 1
tanθ hθ − h
¨g = 1
r 2
gθθ − g
sin 2 θ
sin 2 θ
− h(h 2 + g 2 − 1) − β ˙ h;
− g(h 2 + g 2 − 1) − β ˙g (2.41)
ekuazioen denbora-eboluzioaren kalkuluan datza gure problema; zenbakizko simulazioak
erabiliz. β biskositate-gaia sartu dugu ekuazioetan, zenbakizko integrazioa azkartzeko.
Zenbait simulazio egin dugu β desberdinetarako: β = 0 baliotik β = 0.5 balioraino. Ez da
aldaketa nabarmenenik ageri β desberdinetarako; diferentzia bakarra izanik simulazioak
behar duen denbora sistemaren bilakaerarako. Atal honetako simulazioetan β = 0.1 erabili
dugu; balio horrekin sistemaren dinamika ez da ez azkarregia ez motelegia.
Kontuan hartu behar da θ = 0 eta θ = π puntuetan, ekuazioak ez daudela ongi definituta:
hθθ + hθ h − tanθ sin2
= − θ θ∼0 h(0)
θ2
+ − h(0) 3 + 3 2hθθ(0)
+ O(θ) ;
hθθ + hθ h − tanθ sin2
= − θ θ∼π h(π)
(θ−π) 2
+ − h(π) 3 + 3 2hθθ(π)
+ O(θ − π) ;
gθθ + gθ
= tanθ θ∼0 gθ(0)
θ + 2gθθ(0) + O(θ) ;
gθθ + gθ
= tanθ θ∼π gθ(π)
(θ−π) + 2gθθ(π) + O(θ − π) , (2.42)
non hθ = ∂θh...Ekuazioak ongi definituak egon daitezen, h(θ = 0) = h(θ = π) = 0 eta
gθ(θ = 0) = gθ(θ = π) = 0 muga-baldintzak erabiliko ditugu. Ohar zaitezte h funtzioaren
muga-baldintza lehenago ere behar genuela, (2.40) ansatz-a ongi definitua egon zedin.
(2.41) ekuazioak ebatziko ditugu, ondoko ekuazio-sorta
h = f(r) sin ¯ θ ;
g = f(r) cos ¯ θ ;
tan ¯ θ = tan θ e ξ0 , (2.43)

44 Monopolo globalak
hasierako konfigurazio gisa erabiliz, r eta ξ0 parametroen balioa finkatu ostean. Horreta-
rako, pauso-anitzeko Runge-Kutta metodoa erabili dugu 1 .
2.6 irudia: (2.43) konfigurazioa hasierako baldintza erabiliz (2.41) ekuazioen zenbakizko simu-
lazioen irudia, denbora desberdinetarako: a) ξ0 = 0.2 denenan, b) ξ0 = 1 denean. Bi kasuetan
bektore horizontala azpimarratu dugu, irudien arteko ezberdintasuna argiago ikusteko.
r eta ξ0 parametroen balio batzuetarako biribilkapena desegin daitekeela erakutsi dute
simulazioek. 2.6 irudian, denbora ezberdinetarako simulazioen emaitzak ikus daitezke,
non r = 8, β = 0.1 diren. a) irudian, ξ0 = 0.2 kasua adierazi dugu; eta b) irudian, aldiz,
ξ0 = 1.0 kasua.
Monopoloak ipar poloaren inguruan astiro kontzentratzen dituela gradienteak ikus daiteke
a) irudian. b) irudian, aldiz, gradienteen kontzentrazioa oso argi dakusagu; eta, gainera,
t = 23.6 aldiunean, monopoloaren biribilkapena deuseztatu egin da.
Hurrengo urratsa izango da edozein r-ren baliotarako biribilkapena deuseztatzeko behar
den ξ0 minimoa kalkulatzen duen programa erabiltzea. r finkoko prozesua, behin eta
berriz errepikatu dugu r parametroaren balio ezberdinetarako; eta, balio bakoitzerako,
1 Dormand&Price-en [52] dopri5 kodean oinarritu dugu gure kodea.

2.4 Egonkortasun angeluarra 45
ξ0 aldatuz joan gara, biribilkapena deuseztatu dezakeen ξ0 minimoa lortu arte. Sistema
hutsera noiz ebaindu den programak jakin dezan, irizpide bat aukeratu behar dugu: 2.6
irudian ikus daitekeenez, hutsean ez dauden konfigurazioetan bektore horizontala dago;
eta hutsean daudenetan, ez. Bektore horizontalik ez egotea eta g funtzioak inon nulua ez
izatea, gauza berbera da. Ondorioz, g funtzioak zerorik ez duenean, konfigurazioa hutsean
dagoela erabakiko du programak.
Hori egin eta gero, adierazpen analitiko bakuneko kurba baten bidez hurbildu ditugu
lorturiko datuak. 2.7 irudian ikus daitekeenez,
ξ0(r) = a0 + b0lnr ,
funtzioaren bidez, oso hurbilketa ona lortu dugu.
⎧
⎨
⎩
a0 = −1.12
b0 = 1.07
(2.44)
2.7 irudia: Puntuak, zenbakizko kalkuluaren bidez lorturiko balioak dira, eta lerro jarraitua,
(2.44) ekuazioaren adierazpide-grafikoa da.
Kalkulu semianalitikoen bidez lorturiko (2.38) ekuazioarekin bat dator (2.44) ekuazioa-
ren forma funtzionala. Ondorioz, ξ-ren ξ0 balio kritiko batetik aurrera desbiribilkapena
gertatuko dela uste dugu; eta, gainera, ξ-ren r-rekiko menpekotasuna logaritmikoa da
(ξ ∼ ln r+konst). Kontuan hartu behar da, halere, zenbakizko simulazio horiek ez direla
gai monopoloaren muinaren translazioa eta monopoloaren desbiribilkapena desberdintze-
ko; eta, ondorioz, ezin izango dute literaturan dagoen eztabaida argitu [47, 77, 83].

46 Monopolo globalak
2.4.3 Belavin-Polyakov monopoloa
Elkarrekintza erradialak arbuiatuz, biribilkapenaren desegitea ulertzeko, r konstanteko
esferak aztertzeaz gain, z konstanteko planoak azter genitzake. Ikuspuntu honek Belavin-
Polyakov monopolora [17] garamatza.
Belavin-Polyakov monopoloaren eredua da, unitate moduluko hiru osagaiko eremu-teoria,
bi dimentsiotan. Ereduaren lagrangearra honako hau da
L = 1
2 ∂µΦ a ∂ µ Φ a , (2.45)
non |Φ| 2 = 1 den. Φ a eremuaren muga-baldintzak ondoko hauek dira (ikus 2.8 irudia)
Φ a (r = 0) = (0, 0, 1) ;
Φ a (r → ∞) = (0, 0, −1) . (2.46)
Azken propietate horrengatik, z konstanteko planoa eta S 2 esfera topologikoki baliokideak
dira; r → ∞ puntua eta S 2 esferaren hego poloa identifikatuz gero. Hortaz, Φ a eremua
S 2 → S 2 aplikazioa da, eta topologikoki baliokide ez diren konfigurazioak eduki ditzakegu.
Gure kasuan (ikus 2.8 irudia) karga topologikoa unitatea izango da.
Bi dimentsiotan dagoen testura da Belavin-Polyakov monopoloa. Aurreko kapituluan ikusi
degunez (1.1.1 atalean), testuren sailkapen eta beste defektu topologikoena ez da berdina.
Topologiak ez du ziurtatuko espazioko punturen bat huts-barietatik kanpo egongo denik;
eta karga topologiko ezberdineko konfigurazioen artean ez dago energia infinituko langarik.
y = ln(r) aldagai-aldaketa eginez, eta
Φ 1 = sin ¯ θ(y) cosϕ ;
Φ 2 = sin ¯ θ(y) sinϕ;
ansatz-a erabiliz, lagrangearra honela idatz dezakegu:
Φ 3 = cos ¯ θ(y) , (2.47)
L = 1
2 e−2y ¯ θ 2 y + sin 2¯ θ . (2.48)

2.4 Egonkortasun angeluarra 47
2.8 irudia: Belavin-Polyakov monopoloaren Φ eremuaren adierazpide-grafikoa. (2.32) konfigura-
zioak z konstanteko ebakidura plano batetan duen itxurarekin antz handia du (ikus 2.4 irudia).
Bektoreak goranzko norantza du r = 0 puntuan, eta beheranzkoa r → ∞ denean.
Ikus daitekeenez, sine-Gordon ereduarekin egin dugu topo berriro ere (ikus B eranskina);
bada, badakigu problemaren ebazpena ondokoa dela:
¯θ
tan = e
2
y−y0 . (2.49)
Arestian ikusi dugunez, horrelako sistema baten egonkortasun erradiala Derrick-en teore-
maren bidez azter daiteke. Derrick-en teoremaren D = 2 eta ˜ V2 = 0 kasu bereziari dagokio
Belavin-Polyakov eredua, eta eskala-aldaketekiko egonkorra da.
Baina monopolo globalaren z konstanteko planoaren bidezko ebakidura ez da Belavin-
Polyakov monopoloaren guztiz baliokide: monopolo globalaren moduluak ez du unitatea
izan behar (ez gaude σ eredu ez-linealean); eta, gainera, energia potentziala du. Planoan
dugun lagrangearra ondokoa da
L = 1
2 ∂µΦ a ∂ µ Φ a − 1
4 (|Φ|2 − 1) 2 . (2.50)
Kasu horretan, Derrick-en teoremaren arabera, konfigurazio hori ez-egonkorra da eskala-
-aldaketekiko. Egiaztatu dezagun, sistemaren dinamikaren zenbakizko simulazioa eginez.
Simetria erradiala denez (bi dimentsiotan), ondorengo ansatz-a erabil dezakegu
Φ 1 = ψ 1 (r, t)cos ϕ ;
Φ 2 = ψ 1 (r, t)sin ϕ ;
Φ 3 = ψ 2 (r, t) , (2.51)

48 Monopolo globalak
eta Belavin-Polyakov monopoloaren soluzioa izango da hasierako konfigurazioa. y = ln(r)
aldagai-aldaketa deseginez eta α = e y0 definituz, ondokoa idatzi ahal izango dugu:
ψ 1 =
2 r α
1 + r2 ;
α2 ψ 2 = 1 − r2α2 1 + r2 . (2.52)
α2 Zenbakizko metodoen bidez ebatzi ditugun ekuazioak honako hauek dira
ψ 1 tt − ψ 1 rr − ψ1 r
r
+ ψ1
r 2 + ψ 1 (|ψ| 2 − 1) = 0 ;
ψ 2 tt − ψ2 rr − ψ2 r
r + ψ2 (|ψ| 2 − 1) = 0 . (2.53)
r = 0 puntuko dibergentziak desagertarazteko, ψ 1 (0) = 0 eta ψ 2 r(0) = 0 erabiliko dugu,
arestian egin dugun moduan (2.42). Aurreko kasuan erabili dugun zenbakizko metodoa
erabili dugu kasu honetan ere.
Simulazioetan ikus daiteke sistema ez dela eskala-aldaketekiko egonkorra (ikus 2.9, 2.10,
2.11 irudiak); eta sistemaren dinamikak berez desegingo duela biribilkapena. α = 1 kasuko
simulazioaren adierazpide-grafikoa 2.9 irudian ikus daiteke. Monopoloa desbiribilkatu dela
dakusagu, uzkurtzeko denborarik eduki gabe. Orduan, energia igorriko du hutsera iritsiko
den arte. 2.10 eta 2.11 irudietan, α = 0.5 eta α = 0.2 kasuetako emaitzak ikus daitez-
ke, hurrenez hurren. Kasu horietan, desbiribilkapena gertatu baino lehen, monopoloaren
uzkurketa dakusagu. Eremua puntu guztietan beheranzko noranzkoa denean, sistemak
energia igorriko du hutsera helduko den arte (ez dugu igorpena irudietan adierazi, 2.9
irudiaren azken irudien berdina baita prozesua).
Ondorioz, nahiz eta Belavin-Polyakov monopoloa egonkorra den |Φ| 2 = 1 loturarekin
(σ eredu ez-lineala), ez da sistema osoaren zela-puntua ere. Are gehiago, ikuspuntu hori
harturik, monopolo globala sistemaren hutsera ebaindu edo muina higituko dela ikusi
dugu, deribatu erradialak arbuiatuz gero.
2.4.4 r guztietarako simulazioa
Ikusi dugunez, r bakoitzari dagokion ξ konstantea aukeratuz, monopoloaren biribilkapena
deuseztatu daiteke. (2.28) ansatz-a orokortzeko bidea, ξ parametroa funtzio bihurtzea da;

2.4 Egonkortasun angeluarra 49
2.9 irudia: (2.53) higidura-ekuazioen zenbakizko simulazioen adierazpide-grafikoa, α = 1 kasura-
ko. Φ a eremua dago adierazita aldiuna desberdinetan, bektoreen osagaiak (ψ 1 ,ψ 2 ) izanik, hau da,
z=konstanteko planoa dago adierazita ϕ = 0 eginez. Ordenatuetan simulazioari dagokion aldiu-
nea irakur daiteke. t = 0.8 denean, monopoloaren biribilkapena deuseztatu egin da, eta ondoren,
hutseko konfiguraziora heldu gara.

50 Monopolo globalak
2.10 irudia: (2.53) higidura-ekuazioen zenbakizko simulazioen adierazpide-grafikoa, α = 0.5 ka-
surako. Φ a eremua dago adierazita, 2.9 irudian bezala. Monopoloa uzkurtu egin da t = 1.5
aldiunerarte. Orduan, desbiribilkatu egin da eta energia igorri du hutsera heltzeraino, α = 1
kasuan bezala.

2.4 Egonkortasun angeluarra 51
2.11 irudia: (2.53) higidura-ekuazioen zenbakizko simulazioen adierazpide-grafikoa, α = 0.2 ka-
surako. Adierazpide hau, α = 1 eta α = 0.5 kasuen analogoa da (ikus 2.9 , 2.10 irudiak). Kasu
honetan, sistemak denbora gehiago behar du uzkurtzeko, baina azkenean, t = 3.9 aldiunean,
desegin egin da monopoloa eta hutsera ebaindu da energia igorriz.

52 Monopolo globalak
r aldagaiarekiko menpekotasuna duen funtzio hain zuzen ere, hots, ξ = ξ(r):
¯θ
tan = tan
2
θ
e
2
ξ(r) . (2.54)
Berori ansatz orokortzat erabiliz, ξ(r) > ξ0(r) kasuetarako biribilkapena deuseztatzea
espero dugu; non r bakoitzerako ξ0 balioa (2.44) ekuazioak emanikoa da.
Arestian ikusi dugunez, muinaren translazioaren ondorio izan daiteke monopoloaren itxu-
razko desbiribilkapena. Problema horri aurre egiteko, konfigurazio nahasi bat erabiliko
dugu: perturbatu gabeko monopoloa r < r1 zonaldean (ikus 2.4 a) irudia); soka motako
konfigurazioa r < r2 zonaldean (2.4 b) irudia); eta, interpolazio jarraitua bi zonaldeen
artean:
ˆF(r, y) = f(r) ;
⎧
⎪⎨
0 r < r1
ˆξ(r) = c
⎪⎩
1 − r1
r1 < r < r2
r
a + b ln(r) r2 < r
, (2.55)
non a, b eta c aukeratuko ditugun ˆ ξ(r) funtzioa jarraitua izan dadin (hasierako konfi-
gurazioaren adierazpide da, adibidez, irudiko t = 0.0 aldiunea). Konfigurazio horretatik
abiatuz, zenbakizko simulazioak egin ditugu ondoko higidura-ekuazioak askatzeko
✷Φ a + Φ a (|Φ| 2 − 1) − β ˙ Φ a = 0 . (2.56)
Integrazioa azkarrago gerta dadin, biskositate-gaia batu dugu. 2.4 atalean bezala, β pa-
rametroaren balio ezberdinetarako eginiko simulazioen arabera ez ditugu aldaketa nabar-
menak ikusi, sistemaren bilakaerarako behar den denbora izan ezik.
Gure sistemak ardatz-simetria duenez, eremuaren Φ 1 osagaiaren ekuazioa eta Φ 2 osagaia-
ren ekuazioa, ekuazio berbera da. Koordenatu zilindrikoak (ρ,ϕ,z) erabiliz, eremuaren ϕ
aldagaiarekiko menpekotasuna ezaguna da simetriagatik. Ondorioz, askatu behar ditugun
ekuazioak Φ 1 eta Φ 3 osagaien ekuazioak dira (adibidez); eta eremuaren osagai bakoitzak ρ
eta z aldagaiekiko menpekotasuna izango du. Aurreko metodo bera erabili dugu ekuazioak
askatzeko: pauso anitzeko Runge-Kutta metodoa.

2.4 Egonkortasun angeluarra 53
2.12 irudia: Zenbakizko simulazioak egiteko erabili ditugun (2.55) hasierako konfigurazio desber-
dinen ξ funtzioaak eta (2.44) kurba (lerro jarraitua), r > r2 puntuetarako.
Zenbakizko simulazioen emaitzak 2.13–2.17 irudietan ikus daitezke. (2.55) hasierako kon-
figurazioaren zenbait parametroren balio ezberdineko simulazioak adierazi ditugu. Guz-
tietan, b = 1, r1 = 3, r2 = 6 eta β = 0.5 dira; baina a, aldatu egin dugu guztietan (eta
ondorioz c ere bai, konfigurazioaren jarraitasuna mantentzeko).
Lehengo a = −1.3 kasua simulatu dugu (ikus 2.13 irudia); gero, a = −0.54 kasua (2.14,2.15
irudiak); eta azkenik, a = 0.9 kasua (2.16,2.17 irudiak). 2.12 irudian, hasierako konfigu-
razio horiek eta aurreko atalean lortutako (2.44) kurbaren arteko alderaketa ikus daiteke.
Kasu guztietan, ϕ = 0, π planoan adierazi ditugu bektoreak; eta, ondoan, energia poten-
tziala puntu grisen bidez; puntua geroz eta argiagoa izan orduan eta handiagoa izango
da energia potentziala. Monopolo global esferikoaren deformazio angeluarra baino ez da
hasierako konfigurazioa; eta beraz, monopolo esferiko perturbatu gabearen berdina da
hasierako konfigurazioen energia potentziala (ikus t = 0 aldiunea irudietan). t aldiune
desberdinei dagozkie ondorengo irudiak, irudi bakoitzaren beheko aldean irakur daitekee-
nez.
Lehenengo kasuan (a = −1.3; 2.13 irudia), biribilkapena deuseztatzeko beharrezko direla
aurresan ditugunak baino txikiagoak dira deformazio parametroak (ikus 2.12 irudia). z
ardatzean zehar metaturik dagoen gradiente-energiak monopoloaren muina gorantz bul-
tzatzen du, monopoloa higiaraziz.
Beste bi kasuetan, ξ funtzioaren balioak monopoloaren biribilkapena deuseztatzeko haina
handiak dira, printzipioz. Muinaren iparraldean gradiente-metaketa dagoela ikus dezake-

54 Monopolo globalak
2.13 irudia: Aldiune desberdinetarako eremuen eta energia potentzialaren adierazpide-grafikoa;
non a = −1.3, b = 1, c = 1, r1 = 3, r2 = 6, β = 0.5 diren.

2.4 Egonkortasun angeluarra 55
2.14 irudia: Aldiune desberdinetarako eremuen eta energia potentzialaren adierazpide-grafikoa;
non a = −0.54, b = 1., c = 2.51, r1 = 3, r2 = 6, β = 0.5 diren.

56 Monopolo globalak
2.15 irudia: 2.14 irudiaren jarraipena.

2.4 Egonkortasun angeluarra 57
2.16 irudia: Aldiune desberdinetarako eremuen eta energia potentzialaren adierazpide-grafikoa;
non a = 0.9, b = 1, c = 5.38, r1 = 3, r2 = 6, β = 0.5 diren.

58 Monopolo globalak
2.17 irudia: 2.16 irudiaren jarraipena.

2.4 Egonkortasun angeluarra 59
gu; eta gradiente-energiaren dentsitatea behar bezain handia bada, infiniturainoko (edo
R-rainoko) soka bat sortuko dela ikus dezakegu 2.14 t = 1.5 eta 2.16 t = 0.7 irudietan.
Hori ez da hain harrigarria; z konstanteko plano bakoitzean, Belavin-Polyakov monopoloa-
ren baliokidea den sistema baitugu, eta biribilkapena berez desegingo baituelako sistema
horrek, energia potentziala duen kasuan.
Nahiz eta b) eta c) kasuetan monopoloek biribilkapena desegitea espero genezakeen, joka-
molde ezberdinak dituzte. r2-ren barnean dagoen masaren arabera, bi bilakaera desberdin
ikusi ditugu. Sortu den sokak masa horretatik tira egin behar du. Sokak muina higiarazi
dezake masa hori behar bezain handia ez bada (a = −0.54) ; eta, monopoloa higituz
doan heinean biribilkapena desegingo da. Ezin dugu biribilkapenaren deuseztatzea eta
translazioa distingitu (2.14, 2.15 irudiak, t = 3.0 aldiunetik aurrera).
Baina masa behar bezain handia bada (a = 0.9), monopoloaren muina ez da higituko
(2.16, 2.17 irudiak). Kasu horretan, soka desegingo da, monopolo/antimonopolo bikote bat
sortuz: antimonopoloa, r ≈ r2 puntuan (2.16 irudia, t = 1.4 aldiunean); eta monopoloa,
infinituan (edo r = R puntuan). Antimonopoloa monopolorantz doa (2.16 irudia, t = 2.1
aldiunean); eta elkar deuseztatuko dute, (2.17 irudia, t = 2.8 aldiunean). Deuseztatu
ondoren, askatutako energia igorri egingo du sistemak (2.17 irudia, t = 3.5 eta t = 4.1
aldiunetan), hutsera ebaindu arte (2.17 irudia, t = 4.8 aldiunean).
Bada, parametroen balio desberdinetarako, jokamolde ezberdinak ditugu: a = −1.3 de-
nean, translazio soila; a = −0.54 denenan, monopoloa higiarazi duen sokaren sorrera; eta
a = 0.9 denean, berez hutsera ebainduko den konfigurazioa, nahiz eta, printzipioz, karga
topologikoa kontserbatu behar den.
2.4.5 Energia-langaren kalkulua
Aurreko atalean, (2.55) hasierako konfiguraziotik hasita, monopoloa hutsera ebainduko
dela ikusi dugu. Propietate hori are harrigarriagoa da oraindik ere: (2.8) monopolo esferi-
kotik (2.55) konfiguraziora heltzeko behar den energia finitua dela froga baitaiteke; baita
R → ∞ kasuan ere.

60 Monopolo globalak
(2.55) konfigurazioaren energia ondokoa da
E[ξ] =
2π
0
∞ ∞
dϕ dy
−∞
0
dr 1
2
eta (2.54) konfigurazioa erabiliz honako hau idatz daiteke
R
2
f sin 2¯
θ + θ¯ 2
y +
r 2 sech 2 y f 2 r + f 2 ¯ θ 2 r + 1
2 (f2 − 1) 2 , (2.57)
E[ξ] = 4π dr
0
1
2 r2f 2 r + f2 + 1
4 (f2 − 1) 2 +
∞ R
2π dy
−∞
0
dr r2
2 f2 (∂rξ(r)) 2 sech 2 (y) sech 2 (y + ξ(r)) . (2.58)
2.18 irudia: Zenbakizko metodoen bidez kalkulatutako (2.60) ekuazioko I(ξ) funtzioaren profila:
I(0) = 4
3
eta I(ξ ≥ 5) ≈ 0.
Perturbatu gabeko monopolo globalaren (2.10) energia da lehenengo integrala; hortaz,
non
E[ξ] − E[0] = 2π
I(ξ) =
R
0
dr r2
2 f2 (r)(∂rξ(r)) 2 I[ξ] , (2.59)
+∞
dy sech
−∞
2 (y) sech 2 (y + ξ(r)) (2.60)
den. I(ξ) integrala alderantzizko kanpaiaren itxurakoa da (ikus 2.18 irudia): I(0) = 4/3
puntuan hasi eta zerorantz doa, oso azkar:
I(ξ) ∼ 16 (|ξ| − 1) e −2|ξ|
|ξ| > ξ∗ ≈ 5 denean . (2.61)

2.5 Perturbazio txikiak 61
Bana dezagun integrala bi zatitan propietate hau erabiltzearren
r∗ R
E[ξ] − E[0] = 2π +
r1
r∗
dr r2
2 f2 ξ 2 r I(ξ)
, (2.62)
non r∗ balioa, ξ(r∗) = ξ∗ betetzen duen erradioa den (r = 0 eta r = r1 tarteko integrala
nulua da, ξ(r) = 0 baita tarte horretan). Lehenengo integrala finitua da, argi ikus dai-
tekeenez. Bigarren integralaren balioa I(ξ) funtzioaren (2.61) forma asintotikoa erabiliz
hurbildu daiteke; eta, ξ = a + ln(r) formako funtzioetarako arbuigarria dela ikus dai-
teke. R → ∞ kasuan, integralaren balioa arbuiagarria da baita ere; integralaren balioa
∼ e −a ξ∗ e −ξ∗ baita.
Are gehiago, konfigurazio-espazioan (2.8) konfigurazioa eta (2.55) konfigurazioa lotu dai-
tezke, E[ξ] − E[0] energia-diferentzia finitua mantenduz: lehenengo, ξ funtzioaren balioa
handitu behar dugu, r > r∗ kanpoko geruzetan (ξr = 0) Goldhaber-en deformazioa erabi-
liz, ξ funtzioak ξ∗ balioa lortuko duen arte. Orduan, menpekotasun erradiala doitu (2.55)
konfigurazioarekin bat egin arte.
Ondorioz, (2.54) konfiguraziotik abiatuta, monopoloak potentzial langa gainditu eta hu-
tsera ebaintzeko behar duen energia, finitua da; gainera,
E[ξ] − E[0]
E[0]
→ 0 R → ∞ denean . (2.63)
R handituz doan heinean, monopolo globalaren E[0] ohiko energiaren zatiki geroz eta
txikiago da energia-diferentzia.
2.5 Perturbazio txikiak
2.5.1 Ekuazioen lorpena
Monopolo globalaren ardatz-simetriako perturbazioak ikertuko ditugu atal honetan. Gold-
haber-ek plazaratutako (2.28) eran idatziko dugu Φ a eremua; eta perturbazioak ondorengo
eran parametrizatuko ditugu:
F(t, r, y) = f(r) + δ(t, r, y) ; (2.64)
¯θ
tan = (1 + ξ(t, r, y))e
2
y , (2.65)

62 Monopolo globalak
non f(r) funtzioa (2.8) ekuaziokoa den, eta e y = tan(θ/2). Perturbazio txikiak soilik
kontuan hartuko ditugunez, δ eta ξ funtzioen atal linealak soilik kontuan hartuko ditugu.
Orduan, sin ¯ θ eta cos ¯ θ adierazpenak ondoko moduan idatzi ahal izango ditugu
sin ¯ θ =
¯θ
2tan 2
1 + tan2 ∼ sin θ(1 + ξ cosθ) + O(ξ
¯θ
2
2 cos
) ; (2.66)
¯ θ =
1 − tan2
¯θ
2
2
1 + tan2 2 ∼ cos θ − ξ sin 2 θ + O(ξ 2 ) , (2.67)
¯θ
2
eta Φ a eremuaren osagaiak, berriz, ondoko era honetan
Φ 1 ∼ (f + δ + f ξ cosθ)sin θ cos ϕ ;
Φ 2 ∼ (f + δ + f ξ cosθ)sin θ sin ϕ ;
Φ 3 ∼ (fcosθ + δ cos θ − f ξ sin 2 θ) . (2.68)
Horregatik, sinθ(δ+fξcosθ) espresioa z ardatzean nulua izatea da muga-baldintza zuzena.
δ(θ = 0) eta ξ(θ = 0) finituak izan behar dira; ez dute zertan nuluak izan. Perturbazioen
higidura-ekuazioak lortzeko, (2.5) lagrangearraren F eta ¯ θ-rekiko aldakuntza egin behar
dugu; horretarako, ondorengo deribatuak beharko ditugu:
Aldagaiak bananduz
¯θ
∂ytan
2
¯θ
∂ttan
2
¯θ
∂rtan
2
=
=
=
1
2 cos 2
1
2 cos 2
1
2 cos 2
θy ¯ = e
¯θ
2
y (1 + ξ + ξy) ;
θt ¯ = e
¯θ
2
y ξt ;
θr ¯ = e
¯θ
2
y ξr . (2.69)
¯θy = sin ¯
1 + ξy
θ ;
1 + ξ
¯θt = sin ¯
ξt
θ ;
1 + ξ
¯θr = sin ¯
ξr
θ
1 + ξ
(2.70)

2.5 Perturbazio txikiak 63
espresioak lortuko ditugu. Berriro deribatuz, eta batugai linealak soilik kontuan hartuz,
ondoko espresioak lortuko ditugu
¯θyy ∼ sin θ(cosθ + ξ cos(2θ) + ξy sin θ + 2ξy cosθξyy + O(ξ 2 ) ;
¯θtt ∼ sin θ ξtt + O(ξ 2 ) ;
¯θrr ∼ sin θ ξrr + O(ξ 2 ) . (2.71)
Orain, lagrangearraren aldakuntza egin dezakegu zuzenean. ξ funtzioa ondoko eran ber-
definituz
lortutako ekuazioak hauek dira:
0 = r 2 ✷δ + 2δ + r 2 (3f 2 − 1)δ + 2Xy − 4Xtanhy ;
X = fξ , (2.72)
0 = r 2 sech 2 y✷X + sech 2 y r 2 (f 2 − 1) + 2 X + 2tanhyXy − 2δy . (2.73)
δ = e iωtˆ δ(r, y) eta X = e iωt ˆ X(r, y) eran idatziz gero, (2.73) ekuazioak ω 2 balio propioen
sistema bilakatu daitezke. ˆ δ eta ˆ X funtzio propioei dagokien ω 2 negatiboa denean, ez-
-egonkortasunak daude. Txapel-ikurra kenduz, eta u = tanhy aldagai-aldaketa eginez,
ondoko ekuazioak lortuko ditugu
r 2 ω 2 δ = −∂r(r 2 δr) − (1 − u 2 )δuu + 2uδu +
(2 + r 2 (3f 2 − 1))δ + 2(1 − u 2 )Xu − 4u X ;
r 2 ω 2 X = −∂r(r 2 Xr) − (1 − u 2 )Xuu + 4uXu +
(2 + r 2 (f 2 − 1))X − 2δu . (2.74)
Gaiak berridatziz, adierazpen horiek ondoko eran idatzi daitezke
non
R1δ + ∂u[(u 2 − 1)δu] − 2∂u[(u 2 − 1)X] = ω 2 r 2 δ ; (2.75)
R2X + ∂ 2 u [(u2 − 1)X] − 2δu = ω 2 r 2 X (2.76)
Ri = −∂r(r 2 ∂r) + Vi(r) , i = 1, 2 ;
V1(r) = r 2 (3f 2 (r) − 1) + 2 ;
V2(r) = r 2 (f 2 (r) − 1) (2.77)

64 Monopolo globalak
2.19 irudia: a) V1(r) potentziala r = 0 eta r = 8 balioen artean. b) V1(r) potentziala r = 0 eta
r = 1.5 balioen artean. Minimoa rmin ≈ 0.9 puntuan dago, eta V1(rmin) ≈ 1.63.
2.20 irudia: V2(r) potentziala. Minimoa rmin ≈ 3.52 puntuan dago, eta V2(rmin) ≈ −2.17.
diren (2.19, 2.20 irudietan V1 eta V2 funtzioen profila adierazi da).
Ekuazio horiei begiratuz, ondorengo aldagai-aldaketa egitea otu dakiguke
χ ≡ ∂u[(1 − u 2 )X] , (2.78)
eta funtzioak Pl(u) Legendre-ren polinomioen oinarrian idatziz:
χ = χl(r)Pl(u) ;
δ = δl(r)Pl(u) . (2.79)
Aldaketa horien ondoren, (2.75) ekuazioa ondoko hau bilakatuko da
R1δl(r)Pl(u) + ∂u[(u 2 − 1)∂uPl(u)]δl(r) + 2χl(r)Pl(u) = ω 2 r 2 δl(r)Pl(u) , (2.80)

2.5 Perturbazio txikiak 65
eta Legendre-ren polinomioak betetzen duten propietatea erabiliz
∂u[(1 − u 2 )∂uPl(u)] + l(l + 1)Pl(u) = 0 , (2.81)
(2.75) ekuazioa Pl(u) desberdineko zatitan banatu dezakegu, ondoko eran:
R1δl + l(l + 1)δl + 2χl = ω 2 r 2 δl . (2.82)
(2.76) ekuazioa, Pl(u) desberdina duten zatitan banatu ahal izateko, (1 − u 2 ) binomioaz
biderkatu behar da; eta gero, u-rekiko deribatu. Eragiketa horien ondoren, (2.76) ekuazioa
ondokoa bilakatuko da
ω 2 r 2 χl(r)Pl(u) = R2 χl(r) Pl(u) + ∂u [(1 − u 2 )∂uPl(u)] χl(r) −
2 ∂u [(1 − u 2 )∂uPl(u)] δl(r) , (2.83)
eta (2.81) propietatea berriro erabili eta gero, ekuazioa ondorengo eran idatz daiteke
R2χl(r) + l(l + 1)χl(r) + 2l(l + 1)δl(r) = r 2 ω 2 χl(r) . (2.84)
Azken notazio-aldaketa eginez, x = l(l + 1) eta ∆l = xδl, l bakoitzerako perturbazioen
ekuazioak era errazagoan idatziko ditugu:
R1∆l + x 2 ∆l + 2xχl = ω 2 r 2 ∆l ; (2.85)
R2χl + x 2 χl + 2x∆l = ω 2 r 2 χl . (2.86)
(2.86) ekuazioa lortu ahal izateko, u-rekiko deribatu behar izan dugunez, (2.85,2.86) sis-
temak jatorrizko problemaren ebazpen ez diren soluzioak izan ditzake. Adibidez, l = 0
kasua z ardatzean singularrak diren perturbazioei dagokie; eta fisikoak ez direnez, ez di-
tugu kontuan hartuko. Aldiz, ekuazio horiek ez badute ω 2 < 0 baldintza beteko duen
ebazpenik, jatorrizko problemak ere ez ditu edukiko.
(2.85, 2.86) ekuazioak, ondorengo funtzionalaren aldakuntza eginez lor daitezkeela ikus
daiteke
El ≡
= ω 2
dr[r 2 (∆ 2 r + χ 2 r) + (V1 + x 2 )∆ 2 + (V2 + x 2 )χ 2 + 4x∆χ]
r 2 [∆ 2 + χ 2 ] , (2.87)

66 Monopolo globalak
non −r 2 ∆ ∆r| ∞
0 eta −r2 χ χr| ∞
0 muga-gaiak arbuiatu ditugun. Bada, infinituan 1/√ r
baino azkarrago doazen soluzioak soilik onartuko ditugu. ∆ eta χ funtzio guztiekiko alde
batetik, eta bestetik l ≥ 1 balioetarako, El funtzionala minimizatuz, ω 2 balio propioaren
balio minimoa lortuko dugu.
2.5.2 Ekuazioen analisia
Aurreko atalean, perturbazioen ekuazioak lortu ditugu; eta baita ere ez-egonkortasun
klasikoak lortu ahal izateko minimizatu beharreko funtzionala.
Lehenik, l = 1 sektorea energia minimokoa dela erakutsiko dugu. ∆ eta χ jakinen kasu-
rako, El − E1 enegia-diferentzia ondoko moduan idatz daiteke
El − E1 =
=
dr[x 2 (∆ 2 + χ 2 ) + 4x∆χ − 2(∆ 2 + χ 2 ) − 4 √ 2∆χ]
dr[Al,+(∆ + χ) 2 + Al,−(∆ − χ) 2 ] , (2.88)
non Al,± ≡ [x 2 − 2 ± 2(x − √ 2)]/2 den. l > 1 (x > √ 2) kasurako, Al,± > 0 izango da; eta
orduan, funtzionalaren minimoa l = 1 sektorean dagoela frogatu dugu.
Are gehiago, l > 1 kasuetarako funtzionala positiboa dela frogatu dezakegu funtzionalaren
gai guztiak behetik bornatuz. 2.19 irudian ikus daitekeenez, V1(r) potentziala positibo
definitua da; eta behetik zenbaki positibo batez bornatua (V1(r) > v1 = 1.5). Bestalde,
V2(r) potentziala tarte batean negatiboa da (2.20 irudian ikus daiteke); baina, azpitik
bornatua dago, V2(r) > v2 = −2.17 baita r guztietarako.
(2.87) ekuazioko ∆χ gai gurutzatua bornatu daiteke baita ere, ondoko garapenaren bidez:
∆(r)χ(r) = 1
2 ∆(r)
+ χ(r)K(r) − 2 K(r) ∆(r)2
K(r) 2 − χ(r) 2K(r) 2
⇒ ∆(r)χ(r) ≥ −
⇒ (2.89)
1
∆(r) 2
2 K(r) 2 + χ(r) 2K(r) 2
⇒
⇒
dr ∆(r)χ(r) ≥ −1
∆(r) 2
dr 2 K(r) 2 + χ(r) 2K(r) 2
, (2.90)
non K(r) zerorik gabeko funtzioa den.
Deribatuak dituzten gaiak bornatzeko, Hardy-ren desberdintza [54]
∞ ∞
dr h 2 (r) (2.91)
0
dr r 2 h 2 1
r (r) ≥ 4
0

2.5 Perturbazio txikiak 67
erabil daiteke. Hardy-ren desberdintza ondoko arrazonamenduari jarraituz lor dezakegu:
∞
dr rhr + 1
2h ∞
2
= dr r 2 h 2 r + rhhr + 1
4h2 ≥ 0 , (2.92)
0
0
eta gai gurutzatua zatika integratuz, ondoko adierazpena lortuko dugu
∞
dr r 2 h 2 1
r − 4h2 + 1
2rh2 ∞
∞
≥ 0 ⇒ dr r 0 2 h 2 ∞
1
r ≥ dr h 4
2 . (2.93)
0
Lortu ditugun adierazpenak (2.87) ekuazioan ordezkatuz, funtzionala ondoko eran berri-
datziko dugu
El ≥
0
1 dr 4 + v1 + x 2 − 2x
K2
∆ 2 + 1
4 + v2 + x 2 − 2 xK 2 χ 2
. (2.94)
χ 2 funtzioaren koefizientea zero izan dadin aukeratuko dugu K 2 funtzioa; hots,
K 2 (r) =
0
1
4 + v2 + x2 . (2.95)
2x
K 2 konstante positiboa da x ≥ √ 2 kasurako: 1
4 + x2 > |v2| = 2.17 baita. K 2 horretarako,
∆ 2 funtzioaren koefizientea positiboa da; hau da,
1
4 + v1 + x 2 −
4x 2
1
4 + v2
, (2.96)
+ x2 adierazpena positiboa dela dakusagu x > ∼ 2.21 kasurako; honenbestez, l > 1 denean, (2.87)
funtzionala positiboa da.
Ondorioz, funtzionalaren minimoa l = 1 sektorean dago; eta gainera, ez-egonkortasuna
egotekotan, l = 1 sektorean baino ezin daiteke egon.
(2.85, 2.86) perturbazio-ekuazioen soluzio bat ezaguna da l = 1 sektorean eta ω 2 = 0
duena: translazio-modu nulua (ikus C eranskina).
˜∆1 = √ 2fr(r) ;
˜χ1 = −2f(r)/r . (2.97)
Funtzio horien profilaren adierazpide-grafikoa da 2.21 irudia. Higidura-ekuazioen soluzioa
denez, (2.87) funtzionalaren ordezkatzean, integrakizuna nulua da puntu guztietan; eta
ω 2 = 0 da edozein R-tarako.

68 Monopolo globalak
2.21 irudia: Zero modu translazionalean agertzen diren ˜ ∆1 eta ˜χ1 funtzioan profilak.
Problemak funtzio bakar baten menpekotasuna balu, problema ebatzita legoke, Sturm-
Liouville problema bat izango bailitzateke. Sturm-Liouville teorian, oinarrizko egoerak
zerorik ez duela ezaguna da [101]. ˜ ∆1 eta ˜χ1 funtzioek zerorik ez dutenez, oinarrizko
egoera izango lirateke; eta, ω 2 = 0 balioari dagozkionez, monopoloa egonkorra izango
litzateke.
Baina Sturm-Liouville teoriaren emaitza hori ezin da dimentsio bat baino gehiagorako oro-
kortu; kontradibideak ere badaude. Ondorioz, funtzionalaren analisi matematiko zehatza-
goa egin behar da. Horretarako, Hardy-ren desberdintza orokortuko dugu, G(r) hautazko
funtzioaren bidez:
∞
0
0
dr rhr + G
r h
2 =
0
∞
0
dr
r 2 h 2 r + 2Ghhr + G2
h2
r2
. (2.98)
Gai gurutzatua integratuz ondoko hau izango dugu
∞
dr r
0
2 h 2 G2
r +
r2 h2 − Grh 2
+ Gh 2 ∞
0 =
∞
dr rhr +
0
G
r h
2 ⇒
∞
dr r 2 h 2
∞
r = dr rhr + G
r h
2 + h 2
Gr − G2
r2 − Gh 2 ∞
. (2.99)
0
Erlazio hori eta (2.89) erabiliz, (2.87) funtzionala berridatziko dugu:
E1[∆1, χ1] =
∞
dr r∂r∆1 +
0
G
r ∆1
2
+ r∂rχ1 + H
r χ1
2 + 2 √ 2 ∆1
2 + Kχ1 +
K
∆ 2
1 +
χ 2
1 −
V1 + 4 − 2√2 K2 + Gr − G2
r2 V2 + 2 − 2 √ 2K 2 + Hr − H2
r 2

2.5 Perturbazio txikiak 69
2.22 irudia: ˜ G, ˜ H eta ˜ K 2 funtzioen adierazpen grafikoa.
2
G∆1 + Hχ 2
1
∞
. (2.100)
0
Hautatu ditzagun G(r), H(r) eta K(r) funtzioak ondoko eran
˜G(r) = −r 2∂r ˜ ∆1
˜∆1
˜H(r) = −r 2∂r ˜χ1
˜K 2 (r) = − ˜ ∆1
˜χ1
˜χ1
= −r 2frr(r)
fr(r) ;
= r
f(r) − rfr(r)
f(r)
;
= 1 rfr(r)
√ , (2.101)
2 f(r)
non ˜ ∆1 eta ˜χ1 funtzioak, (2.97) translazio-modu nulua diren. ˜ G, ˜ H eta ˜ K 2 funtzioak
r ∈ [0, ∞) tartean portaera onekoak direla ikus daiteke 2.22 irudian.
Ez-egonkortasunak sor ditzaketen gai bakarrak hauek dira: funtzionalean zuzenean positi-
bo ez diren gaiak; hau da, ∆ 2 1 eta χ 2 1 funtzioei dagozkien gaiak. Azter ditzagun gai horiek,
aukeratu ditugun ˜ G, ˜ H eta ˜ K funtzioak erabiliz:
χ 2 1 funtzioaren koefizientea nulua dela ikus daiteke, ondoko eran
V2 + 2 − 2 √ 2 ˜ K 2 + ˜ Hr − ˜ H 2
= −r2
r2 f
frr + 2fr
r
2f
−
r2 − f(f2
− 1)
giltza artean dagoen adierazpena f funtzioaren (2.11) higidura-ekuazioa baita.
Bestalde, ∆ 2 1 funtzioaren koefizientea hau da:
V1 + 4 − 2√ 2
˜K 2 + ˜ Gr − ˜ G 2
= −r2
r2 fr
frrr + 2frr
r
= 0 , (2.102)
4fr 4f
− +
r2 r3 − (3f2
− 1)fr . (2.103)

70 Monopolo globalak
f funtzioaren (2.11) higidura-ekuazioaren deribatua erabiltzera garamatza frrr gaiak. Hi-
gidura-ekuazioa deribatuz ondoko adierazpena lortuko dugu:
frrr + 2frr
r
hots, (2.103) ekuazioan giltza artean dagoenaren berdina.
Hortaz, (2.100) funtzionala honako era honetan idatz daiteke
E1[∆1, χ1] =
4fr 4f
− +
r2 r3 − (3f2 − 1)fr = 0 , (2.104)
⎡
∞
⎣ r∂r∆1 +
0
˜ G
r ∆1
2
+ r∂rχ1 + ˜ H
r χ1
2 + 2 √
∆1
2
˜K + ˜ ⎤
2 Kχ1 ⎦ −
˜G∆ 2
1 + ˜ Hχ 2
1 . (2.105)
∞
0
Bai ˜ H funtzioak zein ˜ G funtzioak r aldagaiarekiko menpekotasun lineala dute infinitoan;
ondorioz, funtzionala erdi-definitu positiboa da, infinituan 1/ √ r baino azkarrago doazen
edozein ∆1 eta χ1 funtziotarako, muga-gaiak zero baitira.
Goldhaber-en modua (χ1 = f(r)) analisi horretatik kanpo dago, infinituan konstanterantz
baitoa. Nahiz eta modu hori arbuiatu egin dugun normalizagarria ez delako, perturbazio-
-ekuazioetan zer gertatuko den ikus dezakegu. Demagun
∆1 = c1 r m ;
χ1 = c2 (2.106)
direla. f(r) funtzioaren (2.13) forma asintotikoa eta (2.85,2.86) ekuazioak erabiliz, ondo-
koa lortuko dugu:
c1 ω 2 r m+2 = −c1 m(m + 1) r m + c1 2 r m+2 + c2 2 √ 2;
c2 ω 2 r 2 = −c2 2 r −2 + c1 2 √ 2r m . (2.107)
Ekuazio horiek bateraezinak dira ω 2 = 0 kasurako; eta Goldhaber-en modua ez da ez-egon-
kortasun posibleetako bat. Edozein kasutan, modu nulu posibletako bat izan zitekeen.
Horrekin guztiarekin monopolo globalaren egonkortasun klasikoaren analisia amaitu dugu,
monopoloa ardatz-simetriako perturbazioekiko egonkorra dela erakutsiz.

2.6 Potentzial orokorragoak 71
2.6 Potentzial orokorragoak
Arestian,
V (Φ) = 1
4 (|Φ|2 − 1) 2
(2.108)
“mexikar kapela” motako potentzialeko sistemaren propietateak aztertu ditugu; baina
ondorioak potentzial orokorragoetara hedatu ditzakegu, potentzialaren zehaztasunak ga-
rrantzitsuak ez direla erakutsiz. Lagrangear orokorra ondokoa da
L = 1
2 ∂µΦ a ∂ µ Φ a − ˜ V (|Φ|) , (2.109)
non ˜ V O(3) simetriako hautazko potentziala den. Potentzial hori maximoa da |Φ| = 0
puntuan; eta minimo bakarra |Φ|min punturen batetan. Orokortasuna galdu gabe mini-
moa |Φ|min = 1 puntuan aukeratuko dugu. |Φ| balio guztietarako potentziala positiboa
dela ( ˜ V (|Φ|) > 0) suposatuko dugu; potentzialari konstante bat batuz beti lor daiteke
potentziala positiboa izatea.
Ardatz-simetriako soluzioa idatzi dezakegu ((2.8) ekuazioaren analogoa)
Φ a = ˜ f(r) xa
r
˜f funtzioaren higidura-ekuazioak ondokoak dira:
. (2.110)
˜frr + 2
r ˜ fr − 2
r 2 ˜ f − ˜ V ′ ( ˜ f) = 0 , (2.111)
eta ˜ f(0) = 0 da, (2.110) konfigurazioa ongi definituta egotea nahi badugu. (2.111) ekuazioa
aztertuz erlazio bera lor daiteke. Kontuan hartu behar da
izan behar dela, bestela ˜ f(r) = 0 izango litzateke.
Energia berria honela idatzi dezakegu:
2π π ∞
E = dϕ dθ dr
eta hortik, energia finitua izatea eskatuz,
0
0
0
˜fr(0) = 0 (2.112)
1
2r2f˜ 2
r + ˜ f 2 + r 2
V ˜( f) ˜ , (2.113)
˜V ( ˜ f) → 0 , r → ∞ denean (2.114)

72 Monopolo globalak
erlazioa lor daiteke. Beraz, ˜ f(r → ∞) = 1 da. r aldagaiaren balio handietarako ˜ f fun-
tzioaren portaerari buruzko informazioa lortzearren, r = 1
aldagai-aldaketa erabiliko dugu
s
(2.111) ekuazioan:
s 4 ˜ fss − 2s 2 ˜ fs − ˜ V ′ ( ˜ f) = 0 . (2.115)
˜f(r → ∞) potentzialaren minimoa denez, ˜ V ′′ ( ˜ f(r → ∞)) = 0 izango da; eta ondorioz,
˜f ′ (r → ∞) → 0.
Kasu horretan, energia R-rekiko dibergentea da baita ere era linealean. Baina 2.3 atalean
lortutako emaitzak errez orokortu daitezke kasu honetarako. Aldaketa bakarra hau da:
r → αr eskala aldatzean, I3 integrala aldatu egingo da ondoko eran:
I3(αR) =
αR
0
dr r 2 ˜ V ( ˜ f) , (2.116)
eta beste integraletan, f(αr) funtzioaren ordez ˜ f(αr) funtzioa agertuko da. 2.3 atalean
erabilitako arrazonamendu berberari jarraituz, eta (2.111) higidura-ekuazio erabiliz, bi-
rialen teorema berdina lortuko dugu.
Kasu honetan egonkortasun-baldintzak aurreko kasuko berberak dira:
δEα
δα
= 0 ,
δ2Eα δα2
≥ 0 . (2.117)
Lehen ekuazioa garatuz,
α=1
α=1
I1(R) + I2(R) + 3
4 I3(R) = R , (2.118)
erlazioa lortuko dugu, O(1/R) ordenako gaiak arbuiatuz. Bigarren ekuazioa garatuz, be-
rriz,
3
4 I3(R) ≥ 0 (2.119)
erlazioa. ˜ fr(R) ∼ 0 erlazioa erabiliz eta O(1/R) ordenako gaiak arbuiatuz, hautazko
potentzialaren kasurako egonkortasun erradiala frogatu daiteke.
Ezin dugu monopolo orokortu horretarako zenbakizko analisirik egin; dinamikoki mono-
polora hutsera ebainduko den ala ez aztertzeko, potentzialaren xehetasunak behar geni-
tuzkeelako. Halere, monopoloa hutsera ebaindu daitekeela espero genezake (2.28) ekua-
zioko ξ(r) funtzioa lehen bezela aukeratuz gero, honela: muinaren inguruan monopoloa
perturbatu gabe uzten badugu, eta muinetik hurrun, gradienteak m −1
s
masa eskalarren

2.6 Potentzial orokorragoak 73
alderantzizkoa baino
txikiagoa den zonalde batean metatutzen baditugu (masa eskalarra
kasu honetan ms = ˜V ′′ (1) da).
Hala eta guztiz ere, kasu orokorrerako E[ξ(r)] − E[ξ(r) = 0] energia-diferentzia kalkulatu
dezakegu; hau da, monopolo deformatuaren eta monopolo deformatu gabearen arteko
energia-diferentzia:
∞
E[ξ(r)] − E[ξ(r) = 0] = 2π
non I[ξ] funtzionala 2.18 irudian adierazitakoa den.
0
dr r2
2 ˜ f 2 (r) (∂rξ(r)) 2 I[ξ] , (2.120)
Energia-diferentzia horrek ez du potentzialarekiko menpekotasunik; eta hortaz, energia-
-diferentzia finitua dela ziurta dezakegu potentzial orokorrerako.
Are gehiago, ardatz-simetriako perturbazio txikietarako egonkortasun angeluarra azter
dezakegu potentzial orokorrerako, Goldhaber-en (2.28) ansatz-a erabiliz.
Ardatz-simetriako perturbazio txikiak, lehengo moduan idatziko ditugu
F(t, r, θ) = ˜
¯θ
θ
f(r) + δ(t, r, θ) , tan = tan (1 + ξ(t, r, θ)) , (2.121)
2 2
eta 2.5 atalean eginiko analisiari zehazki jarraituz, banandutako ekuazio-bikote honako
hau lortuko dugu:
non
R1∆l + x 2 ∆l + 2xχl = ω 2 r 2 ∆l ;
R2χl + x 2 χl + 2x∆l = ω 2 r 2 χl , (2.122)
Ri = −∂r(r 2 ∂r) + ˜ Vi(r) , i = 1, 2 ;
˜V1(r) = r 2 ˜ V ′′ ( ˜ f) + 2 ;
˜V2(r) = r2 ˜ V ′ ( ˜ f)
˜f
. (2.123)
˜V2 funtzioa ez da infinitua r = 0 puntuan, ˜ fr(0) = 0 baita (ikus 2.112).
(2.122) ekuazioak funtzional baten aldakuntza egitetik datozela suposatu dezakegu kasu
honetan ere; aipatutako funtzionala ondokoa izanik:
∞
El ≡ dr r 2 (∆ 2 r + χ2r ) + (˜ V1 + x 2 )∆ 2 + ( ˜ V2 + x 2 )χ 2
+ 4x∆χ = ω 2
∞
dr r 2 ∆ 2 + χ 2 .
0
0
(2.124)

74 Monopolo globalak
Kasu orokorrean ere ondorioztatu dezakegu l = 1 sektorean egongo direla bai funtzionala-
ren minimoa zein ez-egonkortasun klasikoak lortzeko aukera bakarra. Lehen bezela G(r),
H(r) eta K(r) funtzioak erabiliz berridatziko dugu funtzionala
∞
E = dr r∆r +
0
G
r ∆
2
+ rχr + H
r χ
2 + 2 √ 2 ∆
2 + Kχ
K
+
∆ 2
+
˜V1 + 2 − 2√2 K2 + Gr − G2
r2 ˜V2 + 2 − 2 √ 2K 2 + Hr − H2
r 2
χ 2
− G(r)∆(r) 2 ∞
0 − H(r)χ 2 (r) ∞
0 . (2.125)
Translazio-modu nulua, kasu horretan, ˜ ∆1 = √ 2 ˜ fr, ˜χ1 = −2 ˜ f
r da; eta ˜ G, ˜ H, ˜ K funtzioak
aukeratzeko erabil dezakegu:
˜G(r) = −r2∂r ˜ ∆1
,
˜∆1
H(r) ˜
−r
= 2∂r ˜χ1
,
˜χ1
Aukeratu ditugun G, H, K funtzioak erabiliz, ∆ 2 1 eta χ2 1
direla ikus daiteke:
˜V2 + 2 − 2 √ 2 ˜ K 2 + ˜ Hr − ˜ H 2
˜V1 + 4 − 2√ 2
˜K 2 + ˜ Gr − ˜ G 2
= −r2
r2 ˜f
= −r2
r2 ˜fr
˜ K 2 (r) = − ˜ ∆1
˜χ1
. (2.126)
funtzioen koefizienteak nuluak
˜frr + 2 ˜ fr
r − 2 ˜ f
r2 − ˜ V ′
= 0 ; (2.127)
˜frrr + 2 ˜ frr
r − 4 ˜ fr
r 2 − 4 ˜ f
r 2 − ˜ V ′′ ˜ fr
= 0 ,
giltzen arteko adierazpenak (2.111) higidura-ekuazioa eta berorren deribatua baitira.
Aztertzeko dagoen gai bakarra muga-gaia da: ˜ G eta ˜ H funtzioak infinituan r aldagaia-
rekiko linealak direla ikus daiteke. Hortaz, O(3) monopolo globalak egonkorrak direla
ondorioztatuko dugu; infinituan 1 √ r baino azkarrago doazen ardatz-simetriako perturba-
zio txikiekiko eta sistemaren potentzialaren eite orokorturako.
2.7 Ondorioak
Kapitulu honetan O(3) monopolo globalen egonkortasuna aztertu dugu. Horiek objektu
interesgarriak dira: berezko propietateez gain, testuinguru kosmologikoetarako eta materia
kondentsaturako.

2.7 Ondorioak 75
Literaturan zegoen sistemaren ez-egonkortasun posibleei buruzko eztabaida argitzen la-
gundu dute lortu ditugun emaitzek. Alde batetik, gure analisian ardatz-simetriako per-
turbazio infinitsimalen ekuazioak lortu ditugu; eta perturbazio horiekiko O(3) monopo-
lo globala egonkorra dela ondioroztatu dugu, cut-off delakoa infinitura doan limiterako.
Emaitza horrek ez du potentzialaren xehetasunekiko menpekotasunik. Beste alde batetik,
monopolo esferikoaren deformazio bat dinamikoki hutsera ebainduko dela erakutsi dugu.
Hasierako konfigurazioan parametroak aldatuz, bilakaera desberdinak ikusi ditugu:
• Muinaren translazioa
• Eremua potentzialaren minimotik at dagoen soka itxurako objektuaren sorrera. Soka
horrek monopoloaren muinetik tira egiten du, muina trasladatuz
• Soka baten sorrera, hutsera ebaindu ondoren antimonopolo bat sortuz (eta mono-
polo bat infinituan). Antimonopolo berri horren eta genuen monopoloaren arteko
elkarrekintzaren bidez, monopoloa hutsera ebainduko da
Azken kasu hori egoera berezia da: sektore topologiko batetik beste batera doa sistema,
nahiz eta karga “kontserbatu” bat eduki. Are harrigarriagoa da egoera hau, monopolo es-
ferikoaren eta monopolo deformatuaren arteko energia-diferentzia finitua baita; cut-off de-
lakoa infinitura doanean ere bai. Energia-diferentzia finitua izanik, badirudi temperatura
dugun egoeretan monopoloa hutsera ebaintzeko bide berri bat dagoela; K T ∼ E[ξ]−E[0]
betetzen duten temperaturaren balioetarako.
Are gehiago, monopolo-antimonopolo bikotea lotu dituen zuzenarekiko plano perpendiku-
larra hartuz gero, Belavin-Polyakov monopoloaren egoeraren berdintsua dugu. Eskala-al-
daezintasuna duen soluzioa aurresaten du eredu horren σ ereduaren bidezko hurbilketak.
Aldiz, eremu-teoria osoa kontuan hartuz, σ ereduaren bidez lorturiko soluzioa ez da ere-
duaren zela-puntua ere; eta sektore topologiko berri batera ebainduko da sistema.
Azken urteotan O(3) monopolo globalak egitura-eraketaren hazi bakarrak ez direla era-
kutsi du CMB-aren analisiak [12, 37, 41, 68]. Orokorrean, defektu topologikoak ez dira
egitura-eraketaren oinarrizko iturria; nahiz eta, agian, bigarren mailako garrantzia eduki
dezaketen. Emaitza hauek lortzeko, defektu topologikoen simulazioak egin dira kontestu

76 Monopolo globalak
kosmologikoetan, σ eredu ez-linealak erabiliz. Adibidez, lan honetan lorturiko ebaintze-
-bide berria ezin da simulazio horietan gertatu. Horregatik, simulazioen baliotasuna za-
lantzan jarri genezake; eta, eremu-teoria osoa erabiliz, emaitzak aldatuko ote diren ikertu
beharko litzateke.
Eredu kosmologikoetan erabili ohi den beste hurbilketa da, tenperatura efektuak kontuan
ez hartzea. [13] laneko autoreek, tenperatura erabiliz lortutako emaitzak koalitatiboki
desberdinak direla erakutsi dute. Lan honek, tenperaturea-efektuak kontutan hartu behar
direla bermatu du.

3. KAPITULUA
Dumbbell-ak
3.1 Sarrera
Simetria apurtuaren huts-barietatean orden txikiko homotopia-talde ez-tribialen menpe
dago defektu topologikoen eraketa [63, 98] (ikus 1.1.1 atala). Hala ere, homotopia-talde ez-
-tribialak egon ez arren, dinamikoki egonkorrak diren defektu ez-topologikoak sor daitezke
batzuetan; baina orokorrean, egonkortasuna ahulegia dela suposatu ohi da defektu-sarea
veratzeko. Eredu erdilokala (ikus 1.3 atala) salbuespena da, espazio osoan hedaturik da-
goen soka-sarea sor baitaiteke: fase-trantsizioan agertutako soka-segmentu motzak hazi
eta elkar lotzean. Soka elektroahulen kasu berezia dira [6, 72, 93] soka erdilokalak.
Soka elektroahulen egonkortasuna Glashow-Salam-Weinberg (GSW) eredurako [46, 84, 99]
aztertu izan da. Hurrengo atalean, fermioiak arbuiatuz gero, bi parametroen menpeko
teoria dela ikusiko dugu (eskala-aldaketak salbu): θW weak-mixing 1 angelua eta β para-
metroa, hots, Higgs eta Z-bosoiaren masen arteko zatiduraren karratua. Benetako teoria
elektroahulean neurtutako θW parametroaren balioa sin 2 θW ≃ 0.23 da. β parametroaren
balio zehatza ez da ezaguna zehazki; baina, ziurrenik, unitatea baino handiagoa da.
Eskuartean dugun kasurako, huts-barietatearen topologia S 3 esfera da; eta, ondorioz, ez
ditugu defektu topologikoak espero 3+1 dimentsioko ezpazio-denboran. Baina defektu
1 elkarrekintza elektroahularen teorian parikula desberdinen arteko nahastea azaltzen duen angelua
77

78 Dumbbell-ak
ez-topologikoak egongo direla susma dezakegu. θW = π/2 limitean, eredu erdilokala be-
rreskuratuko dugu. Eredu hori 1.3 atalean aurkeztu dugu; eta, nahiz eta eredu honen
huts-barietatea S 3 den baita ere, soka ez-topologiko egonkorrak onar ditzakeela ikusi du-
gu, bai lan analitiko zein zenbakizko simulazioak erabiliz. Soka erdilokal zuzen infinitua
beste era batera deskribatu dezakegu: hain zuzen ere, SU(2)global ×U(1)lokal simetria-talde
zabalago bateko teorian murgildutako Nielsen-Olesen U(1) zurrunbiloa. Hala ere, soka er-
dilokalaren kasurako biribilkapen-zenbakia definitu genuen; eta, nahiz eta ohiko zentzuan
aldaezin topologikoa ez izan, nolabait “topologikoki” kontserbatuko da.
Teoria elektroahuleko SU(2)L × U(1) Y simetria-talde osoan Nielsen-Olesen zurrunbiloak
murgilduz, Z-sokak eta W-sokak lortuko ditugu (ikus [6] erreferentzia). W-sokak ez-egon-
korrak dira [64]. Baina, [61, 93] lanen arabera, parametroen balioen tarte batean ardatz-
-simetriako Z-soka infinituak perturbazioekiko egonkorrak dira. Z-sokak defektu erabat
ez-topologikoak dira; ez dago topologikoki kontserbatutako magnituderik.
Kapitulu honetan, defektu erabat ez-topologiko horien bilakera eta iraunkortasuna zen-
bakizko metodoen bidez aztertuko dugu GSW modelu orokortuan; β eta θW parametroen
balio guztiak kontuan hartuz. Ardatz-simetriako Z-soka infinitu isolatuko konfigurazioak
ez dira sortuko benetako sistema batean. Eratuko den ohiko konfigurazioa Z-soken seg-
mentu-sarea izango da; eta, soka erdilokal sarearen antzekoa izango da (ikus 1.5 irudia).
Segmentu horien muturretan monopolo-antimonopolo bikoteak egongo dira, eta Nambu-k
[72] dumbbell 2 izena eman zien. Sokaren tentsioa dela-eta, dumbbell isolatuak uzkurtze-
ko joera izango dute; eremu magnetikoak, errotazioa eta jittering 3 arbuiatzean gutxienez
[44, 72, 85]. Parametro-espazioko tarteren batean dumbbell-dentsitatea handia denentz
aztertzea interesgarria izan daiteke. Horrela bada, dumbbell-en muturretako monopoloen
arteko elkarrekintzaren bidez dumbbell-ek bat egingo dute; eta soka-sare iraunkor bat osa-
tu, hain zuzen ere, kasu erdilokalaren antzera [5]. Hala ere, soka erdilokaleko muturretan
monopolo globalak daude, eta Z-soken kasuan monopolo magnetikoak. Eta monopolo
magnetikoak ez dira globalak bezain eraginkorrak inguruneko monopoloak nabaritu eta
elkar deuseztatzeko.
Segmentuen arteko bat egiteak gertatzekotan, θW eta β parametroen balio-tarteren ba-
2 halterofilian erabiltzen diren pisuen antza dutela-eta deitzen dira dumbbell
3 Ingelerako jittering hitza dardara esan nahi du, gutxi gora behera

3.2 Eredua 79
terako baino ez litzateke emango; eta tarte hori, neurturiko balioetatik hurrun egongo
da. Baina tarte hori balego (eta ikusiko dugunez, egon badago), oso harrigarria izango
litzateke. Erakutsiko dugunez, eredu fisikoetatik gertu dauden ereduetan, defektu erabat
ez-topologikoen sareak eratu daitezke; eta iraun. Hortaz, defektu ez-topologikoak ezin
dira zuzenean arbuiatu ondoko egoeratan: (i) GSW ereduaren hedaduretan (simetria-tal-
de zabalagoetara edo eremu gehiagoko teorietara); (ii) hondoan eremu-magnetikoa duten
ereduetan [44]; (iii) limiteren batean soka topologikoak (edo erdilokalak) ager daitezkeen
ereduetan.
Are gehiago, unibertso gaztearen beste ezaugarri batzuk ulertzeko erabil daiteke dumbbell-
en dinamikaren azterketa, adibidez, jatorrizko eremu magnetikoaren helizitatearen azter-
ketan [94, 96].
3.2 Eredua
Kapitulu honetan, GSW eredu elektroahularen sektore bosonikoa soilik erabiliko dugu.
Sektore bosonikoan Φ eremua daukagu, SU(2)L taldeko oinarrizko errepresentazioan; eta
teoriak SU(2)L × U(1) Y aldaezintasuna du:
L = |DµΦ| 2 − 1
4W a µνW aµν − 1
4YµνY µν
− λ ΦΦ † − η2
2 2
Deribatu kobariantea honela definitu dugu:
. (3.1)
Dµ ≡ ∂µ − ig W
2 τa W a µ − ig Y
2 Yµ , a = 1, 2, 3 , (3.2)
non Φ eremua bikote konplexua den, τ a matrizeak Pauli-matrizeak (A.1), W a µ eremua
SU(2) gauge-eremua eta Yµ eremua U(1) gauge-eremua. Gauge-eremu hauei dagozkien
eremu-intentsirateak
W a µν = ∂µW a ν − ∂νW a µ + g Wǫ abc W b µW c ν ;
Yµν = ∂µYν − ∂νYµ , (3.3)
dira, hurrenez hurren; eta ez dago goiko eta beheko talde-indizeen arteko desberdintasunik
(ǫ 123 = 1).

80 Dumbbell-ak
Potentzialaren minimo multzoak ez du SU(2) × U(1) simetria; baizik eta U(1) simetria.
Hortaz, SU(2)L ×U(1) Y simetriatik U(1)e.m. simetriarako berezko simetria-apurketa dago.
Teoria horren benetako espektroa lortzearren, potentzialaren minimoetako bat aukeratu
dezakegu; esaterako Φ † = (0, 1); eta beraren inguruan garatu. Honela, mH = √ 2λη ma-
sako eremu-eskalarra, Aµ masagabeko fotoi neutrala, mz = gzη/2 ≡ l −1
v
masako Z-bosoi
neutrala (Zµ) eta mW = g Wη/2 masako bi W-bosoi kargatuak (W ± µ ) lortuko ditugu, non
gz = g 2 Y + g2 W den.
Lagrangear honi dagozkion higidura-ekuazioak ondoko hauek dira:
D µ DµΦ + 2λ Φ † Φ − η 2 Φ = 0 ;
∂νW µνa + g Wǫ abc W b ν W µνc = i
∂νY µν = i
2 g Y
Φ † D µ Φ − (D µ Φ) † Φ
2 g
W Φ † τ a D µ Φ − (D µ Φ) † τ a
Φ ;
. (3.4)
Partikulen fisikan, ohikoa da gauge unitarioa erabiltzea, Higgs eremuaren hutseko itxarota-
ko balioa (v.e.v) < Φ † >= (0, 1) aukeratzea eta Z-eremua eta A-eremua honela definitzea:
Zµ ≡ cosθWW 3 µ − sin θWYµ , Aµ ≡ sin θWW 3 µ + cosθWYµ , (3.5)
non θW mixing-angelua, tan θW ≡ g Y/gz den. Baina, gauge unitarioa ez da egokiena de-
fektuekin gabiltzanean. Gauge horren ordez, |Φ| = 1 betetzen duten espazio-denborako
puntuak daudenean, A-eremuaren eta Z-eremuaren definizio orokorrago bat erabiliko du-
gu, puntu bakoitzen Higgs eremuaren menpekoan dena [72]:
Zµ ≡ cos θW n a (x) W a µ − sin θW Yµ ;
Aµ ≡ sin θW n a (x) W a µ + cosθWYµ . (3.6)
Fierz-en identitatea, hots,
† a 2
† 2,
a Φ τ Φ = Φ Φ erabiliz, honako espresioa
n a (x) ≡ − Φ† (x)τ a Φ(x)
Φ † (x)Φ(x)
(3.7)
unitate bektorea da. Eremu intentsitatea definitzeko aukera desberdinak daude (ikus adi-
bidez [57] erreferentziako puntu horren inguruko eztabaida); gure simulazioetarako ondo-
koa da egin dugun aukera:
Zµν = cos θW n a (x) W a µν − sin θW Yµν ;
Aµν = sin θW n a (x) W a µν + cosθW Yµν . (3.8)

3.3 Soka elektroahulak eta dumbbell-ak 81
Ohar zaitezte defektuen muinetik kanpo (3.6-3.8) ekuazioak ohiko definizioarekin bat
datozela.
Eskala aldatuko dugu (1.20) Nielsen-Olesen kasuan bezala:
Φ → η √ 2 Φ, xµ →
√ 2
gzη xµ , g YYµ → gzη
√2 Yµ , g WW a µ
gzη
→ √2W a µ , (3.9)
eta, era honetan, η-rekiko menpekotasuna desagertarazi. lv luzera-unitate, η energia-uni-
tate eta eskalar eremuaren Z-karga (gz) karga-unitatea aukeratzea baino ez da eskala-alda-
keta hau (zenbakizko faktoreak gora behera). Eskala-aldaketa hori egin eta gero, eremuen
ekuazio-klasikoak honela berridatz ditzakegu:
Φ † Φ − 1 Φ = 0 ;
D µ DµΦ + 2λ
g2 z
∂νW µνa + ǫ abc W b νW µνc = i
∂νY µν = i
2 sin2 θW
2 cos2 θW
Φ † D µ Φ − (D µ Φ) † Φ
;
, (3.10)
Φ † τ a D µ Φ − (D µ Φ) † τ a Φ
eta, orain, g W eta g Y kargekiko menpekotasuna desagertarazi dugu:
W a µν ≡ ∂µW a ν − ∂νW a µ + ǫabc W b µ W c ν ;
Dµ ≡ ∂µ − i
2 τa W a µ − i
2 Yµ . (3.11)
Ekuazio horiek aztertuz, modeloak bi parametroen menpekotasuna baino ez duela ikus
daiteke (θW mixing-angelua eta β = 2λ/g2 z = m2H /m2z ); parametro bakarrarekiko menpe-
kotasuna duten Nielesen-Olesen eredua eta eredu erdilokalean ez bezela.
3.3 Soka elektroahulak eta dumbbell-ak
Sistemaren huts-barietatea S 3 esfera da, simpleki konexua dena (π1(S 3 ) = I). Hortaz,
ez dago soka topologiko soluziorik (ikus 1.1.1 atala). Edozein kasutan, Nielsen-Olesen
zurrunbiloak teoria honetan murgiltzen saia gaitezke, eredu erdilokalean egin dugun legez
(1.3 atalean).

82 Dumbbell-ak
(t, ρ, ϕ, z) koordinatu zilindrikoak erabiliz, ondoko era honetan idatz ditzakegu eremuak
Φ = f(ρ)e iϕ
0
;
1
Z = − 2
v(ρ)dϕ ;
gz
Aµ = W ± µ
= 0 . (3.12)
z ardatzean zeharreko Z-soka zuzen infinitua deskribatuko digu horrek [93]. Soluzio hori
biribilkapen-zenbakiko unitateari dagokion arren, biribilkapen-zenbaki handietarako oro-
kortzea zuzena da.
Hala eta guztiz ere, kasu honetan biribilkapen-zenbakiak ez du esanahi topologikorik:
sokak desbiribilkatu daitezke eta hutsera ebaindu. Eredu erdilokalean ez bezela, biribilka-
pen-zenbakia ez da Z-soka elektroahul batentzat “kontserbatuko” (ikus 1.3 atala). Kasu
elektroahulean, gauge-orbita simpleki-konexua da baita ere π1(Glokal/Hlokal) = I. Honen-
bestez, soka elektroahulak objektu erabat ez-topologikoak dira.
(3.12) ansatz-a (3.10) ekuazioan ordezkatuz lortuko ditugun f(ρ) eta v(ρ) funtzioen higi-
dura-ekuazioak, (1.25) Nielsen-Olesen ekuazioak dira. Hortaz, gure ansatz-a honela berri-
datz dezakegu
Φ = fNO(ρ)e iϕ
0
;
1
Z = − 2
vNO(ρ)dϕ ;
gz
Aµ = W ± µ = 0 . (3.13)
Egiaztatu daiteke baita ere (3.12) ansatz-a energiaren minimo dela [93].
Era berean, W ± eremuetarako soka motako soluzioak aurkitu ditzakegu; baina, soka horiek
ez-egonkorrak dira [64], eta ez ditugu aurrerantzean kontuan hartuko.
Bestalde, Z-sokek egonkortasun propietate harrigarriak dituzte. θW → π/2 denean eredu
erdilokala berreskuratuko dugu; eta Z-soka, soka erdilokal bihurtuko da (1.3.1 atalean
ikusi dugun bezela, β < 1 balioetarako egonkorra dena). Hortaz, jarraitasuna dela-eta,
eredu erdilokaletik gertu eta β < 1 balioetarako, Z-soka egonkorra izatea espero dugu.

3.3 Soka elektroahulak eta dumbbell-ak 83
[61] erreferentzian eginiko analisi luze eta korapilatsuaren arabera, Z-sokak parametro-
-espazioko tarte (estu xamar) batean klasikoki egonkorrak dira (ikus 3.1 irudia 4 ).
m
H / m
Z
1
Experiment
Scaling instability
Stable
0 0.23 0.5
0.9 1
sin
w
2θ
Semilocal
3.1 irudia: Z-soka egonkorra da, marraztutako hiruki itxurako parametro-espazioko tartean, [6]
lanaren arabera. Parametroen balio esperimentalak tarte honetatik kanpo daude. sinθW = 0.5
puntuan, sokak eskala-aldaketekiko ez-egonkorra da.
Z-sokek ez dira arrazoi topologikoetan oinarritzen, eta muturrak eduki ditzakete [6] lanean
diotenez. Y eta W eremuen arteko konbinazio da Z-eremua; bada, sokaren barnean bi
eremu horien fluxua dago. Y eremuaren dibergentzia nulua denez ezin da inon bukatu; eta
sokaren muturra eta gero, nolabait jarraitu beharko du. Baina eremu eskalarra masaduna
da sokatik kanpo, eta baita Y eremua ere. Beraz, Y eremua infinitoraino iristeak energia
infinitua eskatuko luke. Alabaina, W eta Y eremuek, A eremu masagabea eratuko dute;
eta A eremuaren bidez Y eremuak jarraitzeko aukera lortuko du. Ondorioz, Z-sokaren
muturra A eremuaren iturri da, i. e., eremu elektromagnetikoaren iturri; (anti)monopoloa,
hain zuzen.
Eta honela, dumbbell-ak lortu ditugu; hau da, monopolo/antimonopolo bikotea, Z-soka
segmentu batez loturik. Objektu horiek Nambu-k [72] aztertu zituen lehendabiziko aldiz:
GSW ereduan era horretako objektuak egon zitezkeela aurresan zuen. Eredu elektroahu-
lean soka infinituak ez dira agertuko; baina, dumbbell-sarea eratuko da. Dumbbell isola-
tuak uzkurtu eta desagertuko diren arren, sare batean denbora gehiago iraun dezakete,
dumbbell-en muturretako (anti)monopoloen arteko elkarrekintza dela-eta.
4 Irudia, [6] artikulutik hartu dugu

84 Dumbbell-ak
3.4 Zenbakizko simulazioak
Espazio lauean egingo dugu lan; eta gauge denborala aukeratuko dugu (W a 0 = Y0 ere-
muak nuluak dira a = 1, 2, 3 balioetarako); hortaz, D0Φ = ∂0Φ. (3.10) higidura-ekuazioak
sare kubikoan diskretizatuko ditugu, muga-baldintza periodikoak erabiliz. Bai eremu es-
kalarrak eta baita guage eremuak sareko puntuei dagozkie. Denbora diskretizatu dugu
staggered leapfrog delako ereduaren bidez; hau da, eremuak denbora-pauso osoetan kalku-
latuko ditugu; eta eremuen deribatuak denbora-pauso erdietan (ikus D eranskina).
Aukeratu dugun prozedura honek, [5] artikuluan aurkeztutako soka erdilokalen emaitze-
kiko konparaketa erreztuko digu; eta interesgarri suerta dakizkigun eskaletarako doitasun
ona espero dugu. Lotura-aldagaiak (link variables) erabiliz, diskretizazioa egiteko beste
prozedura lor daiteke [65, 70]. (3.10) ekuazioak eredu erdilokalaren kasurako (θW = π/2)
aztertu dugu prozedura biak erabiliz, eta errorea baino txikiagoak dira emaitzen arteko
desberdintasunak; E eranskinean prozeduren arteko alderaketa deskribatu dugu.
Simulazioetan, denbora-pausoa 0.2 aldiz espazio-pausoa izatea aukeratu dugu; hots, ∆t =
0.2∆x (c = 1, ∆x = 1). Biskositate numerikoa gehitu dugu ad hoc ekuazio bakoitzean
(γ ˙ Φ, γ ˙ Y eta γ ˙ W a , hurrenez hurren) sistemaren indargetze-denbora txikitzeko. Uniber-
tsoaren espantsio-tasa magnitudea da biskositate numerikoaren aitzindari; baina espan-
tsioaren kasuan γ(t) denboraren menpekoa izango da; orokorrean 1/t dependentzia du.
Simulazioen arabera γ desberdinetarako jokamoldea antzekoa da. Lan honetan, γ = 0.5
balioa aukeratuko dugu.
Prozedura honetan Gauss-en legea ez da automatikoki beteko, lotura-aldagaien proze-
duraren kasuan ez bezela (ikus E eranskina). Hori dela eta, Gauss-en legea kodearen
egonkortasuna frogatzeko erabiliko dugu. Honela idatz daiteke Gauss-en legea:
non j = 1, 2, 3 den.
−∂j(∂0W a j ) − ǫabc W b j ∂0W c j
−∂j(∂0Yj) = i
2 sin2
†
θW Φ ∂0Φ − (∂0Φ) † Φ ;
= i
2 cos2 θW
Φ † τ a ∂0Φ − (∂0Φ) † τ a Φ , (3.14)
Hasierako baldintzak aukeratzeko bi estrategia desberdin erabili ditugu:

3.4 Zenbakizko simulazioak 85
a/ Eremu guztien abiadurei zero balioa atxeki (| ˙ φ| = | ˙ W a
i | = | ˙ Yi| = 0), eta sareko
puntu bakoitzeko eremu eskalarrei zorizko balio esleitu. Orduan, puntu bakoitzeko
eremuaren eta inguruko 6 puntuetako eremuen batazbesteko normalizatua egingo
dugu, iteratiboki (50 aldiz), konfigurazio leuna lortzearren. Eremu eskalarraren balio
horiek erabiliz, gauge-eremuen balioak honela aukeratuko ditugu:
Yµ = 0
W 1 µ = 2 (ψ1∇jψ4 − ψ4∇jψ1 + ψ3∇jψ2 − ψ2∇jψ3)
W 2 µ = 2 (ψ3∇jψ1 − ψ1∇jψ3 + ψ4∇jψ2 − ψ2∇jψ4)
W 3 µ = 2 (ψ1∇jψ2 − ψ2∇jψ1 + ψ4∇jψ3 − ψ3∇jψ4) (3.15)
non Φ T = (ψ1 + i ψ2, ψ3 + i ψ4) den. Gauge-eremu aukeraketa horren bidez energia
pseudo-minimizatuko dugu, [3] erreferentzian bezala:
Sistemaren energia-dentsitatea (gauge denboralean) hau da:
E = | ˙ Φ| 2 + 1
2 | ˙ W a
i | 2 + 1
2 | ˙ Yi| 2 + |DiΦ| 2 + 1
4
W a
ijW aij + 1
4 YijY ij + λ ΦΦ † − 1 2 . (3.16)
Deskribatutako hasierako-baldintzak erabiliz (|Φ| = 1, | ˙ φ| = | ˙ W a
i | = | ˙ Yi| = 0 eta
(3.15) ekuazioak), honela geldituko da energia-dentsitatea
E = 1 a
W 4 ijW aij . (3.17)
b/ Eremu guztiei zero balioa atxeki, eta baita ere gauge-eremuen abiadurei (Φ = W a µ =
˙W a µ = Yµ = ˙ Yµ = 0). Orduan, eremu eskalarrei zorizko hasierako abiadura esleitu
( ˙ Φ = 0), eta iteratiboki leundu, aurreko kasuan bezela. Hasierako baldintza horiekin,
energia honela idatziko dugu
E = | ˙ Φ| 2 . (3.18)
Gure simulazioen emaitzen arabera, bi kasu horien artean ez dago desberdintasun nabar-
menik. Gainera, lehen kasuan, energiaren pseudo-minimizazio oso eraginkorra ez dela-eta,
eremu eskalarra energia potentzialaren maximora igo daiteke simulazioaren lehen pausoe-
tan, fase simetrikoa berreskuratuz; eta, beranduago, potentzialaren minimoetara berriro
jaitsiz. Baita ere, soka erdilokalekin eginiko simulazioen emaitzek, hasierako baldintzekiko

86 Dumbbell-ak
menpekotasun txikia dutela erakutsi zuten [5]. Gure azterketarako (b) motako hasierako
baldintzak aukeratuko ditugu.
U(1) soka kosmikoen kasuan baino zailzagoa da soka elektorahuleko simulazioen emaitzen
azterketa. Soka elektroahulak ez-topologikoak dira; eta ez dago biribilkapen-zenbakia de-
finitzerik. Horregatik, sokak identifikatzea ez da zuzena. [3] artikuluan proposatutako
bidea erabiliko dugu soken eraketa aztertzeko. Sistemaren bilakaera simulatuko dugu eta
gauge-aldaezinak diren magnitudeak kalkulatuko ditugu denbora-pauso bakoitzean: Z-
eremuaren eta A-eremuaren intentsitateak eta |Φ| eremu eskalarren modulua.
1ZijZ
ij
2
Z-eremuaren intentsitatea eta eremu eskalarren moduluaren sestra-gainazalak marraztuko
ditugu soken eraketa ikuste arren.
Arestian esan dugunez, gure ereduaren parametro aske bakarrak β eta θW dira; eta so-
ka elektroahulak iraun dezaten parametro-balioen tartea aurresan dezakegu. Lehenik,
θW = π/2 eta β < 1 direnean, soka erdilokalak egonkor diren tartean gaude, eta
soka-segmentuek bat egingo dute segmentu luzeagoak osatuz. Baita ere, sin 2 θW < ∼ 1 eta
β < 1 direnean, soka infinituak perturbazioekiko egonkor diren tartean gaude [61, 93].
Emaitza horiek kontuan hartuz, simulazioen bidez aztertuko ditugun parametro-tarteak
0.9 ≤ sin 2 θW ≤ 1 eta 0.05 ≤ β ≤ 1.5 dira. Simulazioak eta adierazpide grafikoak 64 3 , 128 3
eta 256 3 dimentsioko sareetan egingo ditugu, nahiz eta kapitulu honetan deskribaturiko
emaitza gehienak 256 3 dimentsiotako kuboan lorturikoak izan.
3.5 Emaitzak
Lehenik eta behin, kodearen egonkortasuna egiaztatuko dugu. Arestian esan dugunez,
sin 2 θW = 1 kasua eredu erdilokalari dagokio, non guztiz egonkorrak diren defektuak dau-
den (ikus 1.3 atala). Gainera, Higgs eremu-bikote bati nulua balioa atxekiz, Higgs-en
eredu trukakorra lortuko dugu (ikus 1.2 atala). Bi sistema horiei buruz dakiguna erabiliz,
gure kodearen egokitasuna frogatu dezakegu. Ardatz-simetriako Z-soka infinituak erabil
ditzakegu baita ere (soka “infinituak” lor ditzakegu muga-baldintza periodikoak baititugu:
soka-bikoteak erabiliko ditugu, fluxu neto totala zero izaten jarraitu dezan). Parametro-
-espazioko hainbat puntutan behatu ditugu Z-sokak: tarte egonkor eta ez-egonkorrean;

3.5 Emaitzak 87
eta tarte ez-egonkorrean Z-soken desagerketa egiaztatu dugu. Kodea egiaztatu ondoren,
θW eta β parametroen zenbait baliotarako exekutatu dugu simulazioa, parametro-balio
bakoitzerako hasierako konfigurazio berbera erabiliz. Simulazio txiki asko egin beharrean,
simulazio handi bakarra egitea aukeratu dugu, bilakaera dinamiko aberatsagoa behatzeko
asmoz. Simulazioetan (3.14) Gauss-en legea konprobatu dugu, kodearen egonkortasuna
berriro ere egiaztatzeko.
Espero genuenez, erantzun iragankorraren ondoren, dumbbell-ak dira ohiko konfigurazioa;,
hots, monopolo/antimponopolo bikotean bukatuko den soka-segmentua. Soka erdilokalak
egonkorrak diren tartearen inguruko parametroen balioetarako, Z-soken muturreko mo-
nopoloen arteko elkarrekintzak sokak bat eginaraziko dituela espero dugu, jarraitasuna
dela-eta.
Simulazioetan ikus daitekeenez, Z-soka segmentuek bat egiten dute, espero bezela. Hale-
re, eredu erdilokalean baino elkar-lotze gutxiago ikus ditzakegu; eta, are gutxiago sin 2 θW
parametroaren balioa jaitsitakoan edo β parametroarena hazitakoan. Honenbestez, eredu
erdilokalean bat egingo luketen segmentuak uzkurtu eta desagertu dira eredu elektroahu-
lean, sokaren tentsioagatik. Hori ez da harrigarria: eredu erdilokalean, soken muturretan
monopolo globalak daude (ikus 2. kapitulua) – gradiente-energia dibergentekoak – eta ho-
riek, inguruko monopoloak bilatzen oso eraginkor dira. Kasu elektroahulean, aldiz, soken
muturretan monopolo magnetikoak daude; eta gauge-eremuek gradiente eskalarrak ezez-
tatu ditzakete. sin 2 θW → 1 denean, monopoloaren muina handiagoa da, eta segmentuek
bat egingo dute monopoloek elkar estaliko dutenean. Baina eredu erdilokaletik hurrun,
muinak txikiagoak dira; eta sokek bat egitea zailagoa dute.
Ohiko bi simulazioren emaitza adierazi dugu 3.2 irudian; eta A-eremuaren eta Z-eremuaren
intentsitateei kolore desberdinak dagozkie. Z-eremuak soka itxurako eitea du; eta, aldiz,
soken muturreko A-eremuak (monopolo magnetikoei dagokiena) eite esferikoa. A-eremua-
ren morfologia hodi-eitekoa izan daiteke baita ere, aztertzen ari garen dinamikaren zailta-
sunaren seinale. Sokaren tentsioaren eta monopolo-antimonopolo elkarrekintzaren arteko
lehia dago; bada, soka batzuk uzkurtu eta desagertuko dira; bete batzuek bat egingo dute
eta soka luzeagoak eratuko.
Hasierako denbora-pausoetan, simulazioetako konfigurazioak berdintsuak dira. Simetria-

88 Dumbbell-ak
3.2 irudia: Z-eremuaren (horia) eta A-eremuaren (urdina) intentsitatearen sestra-gainaza-
lak bi simulazio desberdinetarako. Goiko lerroan simulazioaren lehen denbora-pausoak adiera-
zi ditugu (t = 50), eta behekoan simulazioaren bukaerako egoera (t = 200). Ezker zutabean
β = 0.1, sin 2 θW = 0.994 kasua adierazi dugu (kasu iraunkorra), eta eskubikoen β = 0.5,
sin 2 θW = 0.995 (kasu ez-iraunkorra). Lehen kasuan, simulazioaren bukaeran zenbait soka lu-
ze daude eta dumbbell-en arteko bat egiteak gerta daitezke oraindik. Bigarrenean, defektu guztiak
desagertzear daude.

3.5 Emaitzak 89
-apurketa gertatu den fase irangankorrean (lehenengo denbora-pausoak) ez dago defektu-
rik. Eremu eskalarrak balio ez-nulua izaten hasten denez, soka oso motz ugari sortuko da;
eta gero, soken muturretan monopoloak agertuko dira, inguruko A fluxu magnetikoa meta-
tutakoan. 3.2 adierazpide grafikoko goiko irudietan t = 50 aldiuneko Z-eremu magnetikoa
eta A-eremu magnetikoa ikus ditzakegu, bi simulaziorako. Lehen denbora pauso horietan
konfigurazioak berdintsuak dira, eta hasierako baldintza desberdinak erabiltzean emaitza
berdintsuak lortu ditugu. Beraz, hasierako baldintzak baino, beranduagoko eremu eskalar
eta gauge-eremuen arteko elkarrekintza garrantziatsuagoa dela ondoriozta dezakegu.
Sistema aurrera doan neurrian, adierazitako bi kasuetatik batean bakarrik ikus ditzakegu
segmentu txikiak hazten eta inguruko defektuekin bat egiten, defektu-sarea mantenduz.
Beheko irudietan t = 200 aldiuneko konfigurazioa adierazi dugu. Ezkerrekoan soka luzeak
daude; eta bat egiteak gerta daitezke oraindik. Bestean, defektu guztiak desagertzear
daude.
Zehaztu nahi duguna hau da: parametro-espazioko zein balioetarako izango diren de-
fektuak iraunkorrak. Parametroen balio berbereko Z-soka infinitua egonkorra izatea da
iraunkortasunerako beharrezko baldintzetako bat. Baina ez da baldintza nahikoa; soka in-
finitua eratu lezaketen soka segmentuak ez baitira agian bat egiteko gai izango. Ondorioz,
iraunkortasun-zonaldea egonkortasun-zonaldearen barruan egongo da.
Z-sokak iraunkorrak diren ala ez neurtzeko, irizpideren bat aukeratu behar dugu. Ez dago
irizpidea aukeratzeko era bakarra; eta, parametroen balio ezberdinetarako eginiko simu-
lazioak behatuz, ondoko irizpidea aukeratu genuen [91] artikulan: simetria hedatuagoko
teoria batean murgildutako Nielsen-Olesen zurrunbilotzat kontsidera ditzakegu Z-sokak.
Horregatik, parametro-espazioan iraunkortasun-zonaldea definitzeko irizpidea hautatzeko
Nielsen-Olesen soken propietateak erabiliko ditugu. β jakinari dagokion Nielsen-Olesen
sokaren BNO eremu magnetiko maximoa kalkulatu dugu (ikus 1.2 taula). 256 3 kuboetan
simulatu dugu sistema, muga-baldintza periodikoak erabiliz. Z-eremu magnetikoa BNO
balioaren laurdena baino handiagoa duten sareko puntuak 1000 baino gehiago badira
t = 200 aldiunean, sistema iraunkorra dela esango dugu. Adibidez: irizpide honen arabe-
ra, β = 0.3 kasurako, sistema iraunkorra izango da sin 2 θW > 0.995 denean; 3.3 irudian ikus
dezakegunez. Bai sin 2 θW txikiagotzean, bai β haztean, Z-eremu magnetiko altua duten

90 Dumbbell-ak
puntu-kopurua
1e+06
100000
10000
1000
β=0.3
1.000
0.999
0.997
0.995
0.994
0.993
0.990
0.980
0 50 100
denbora
150 200
1 3.3 irudia: ( 2ZijZ ij ) Z-eremuaren intentsitatea, BNO maximoaren %25-a baino handiago du-
ten sareko puntu kopurua; non BNO, Nielsen-Olensen kasuko muineko eremu intentsitatea den.
Simulazioak 256 3 sarean egin ditugu, β = 0.3 baliora Lerro desberdinak θW parametroaren balio
desberdinei dagozkio (adierazi ditugun balioak sin 2 θW dira). β parametroaren balio honetarako,
testuan aukeratutako iraunkortsun-irizpidearen arabera, sin2θW > ∼ 0.995 baliorako dira iraunkor
defektuak.
sare-puntuen kopurua txikiagoa da.
Erraz automatizatu daitekeen iraunkortasuna neurtzeko beste irizpidea honako hau da:
β parametroaren balio jakin baterako, Nielsen-Olesen zurrunbiloaren BNO eremu mag-
netikoa kalkulatuko dugu (ikus 1.2 taula). Nielsen-Olesen zurrunbiloaren rNO “erradioa”
kalkulatuko dugu baita ere; zentrotik eremu magnetiko maximoaren %25 den puntura-
ko distantzia hartuko dugu erradiotzat. Z-soka bakoitzaren bolumena neurtuko dugu,
Z-eremu magnetikoa BNO balioaren %25 baino handiagoa duten puntu konexuak zenba-
tuz. Gero, bolumena zatituko dugu Nielsen-Olesen zurrunbiloaren zeharkako sekzioaren
gainazalaren balioaz (πr2 NO ). Azkenik, Nielsen-Olesen zurrunbiloaren diametroaren balioa
(2rNO) erabiliko dugu, zabalera-unitateko luzera lortzeko. Simulazioaren bukaeraldera be-
ren zabalerarekiko luzeak diren sokak badaude, konfigurazioa iraunkortzat hartuko dugu.
Aukeratu dugun irizpide zehatza hau da: konfigurazioa orokorra da, zabalera baino bost
aldiz luzeago diren sokak badaude t = 200 aldiunean.
3.4 irudian bi kasu ezberdin ikus ditzakegu. Goiko irudietan, x ardatza soka-luzerari dago-

3.5 Emaitzak 91
Luzera
"Energia"
300
250
200
150
100
50
β=0.1 sin 2 θ w =0.994
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
β=0.1 sin 2 θ w =0.994
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
Luzera
"Energia"
300
250
200
150
100
50
β=0.5 sin 2 θ w =0.995
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
β=0.5 sin 2 θ w =0.995
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
3.4 irudia: Denbora pauso desberdinetarako, luzera desberdinetako sokak adierazten duten histo-
gramak. Ezkerreko irudietan β = 0.1, sin 2 θW = 0.994 parametroei dagozkien irudiak daude, eta
eskubikoetan β = 0.5, sin 2 θW = 0.995 parametroei dagozkienak. Lau irudietan bi aldiune des-
berdin aukeratu ditugu, hots, t = 50 (lauki txuriak) eta t = 200 (lauki beltzak). Goiko irudietan
soken luzera totala (zabalera unitateko) ikus daiteke, eta behekoetan soka luzera desberdinetarako
“energia” (ikus testua).
kio (2rNO unitatetan); eta y ardatza x balio horretako soka-luzeraren baturari. Adibidez:
x = 10 kasurako, 10 eta 11 aldiz zabalagoak baino luzeagoak diren soka guztien luze-
ra batu egin dugu, eta hori da y balioari dagokiona. Goiko ezkerreko irudian (β = 0.1,
sin 2 θW = 0.994) t = 200 aldiunean oraindik soka luzeak daude (bereziki, x = 40 pun-
tuan). Eskuinaldekoan, aldiz, (β = 0.5, sin 2 θW = 0.995) ikusi ditzakegun estrukturak,
beraien zabalera baino bost aldiz luzeagoak dira, asko jota. Beheko bi irudietan, soken
artean banandutako “energia” adierazi nahi izan dugu. “Energia” hitzaz, energia magne-
tikoari buruz soilik ari gara: soketan metaturiko energia magnetiko guztia kalkulatu dugu,

92 Dumbbell-ak
eta energia hori soken artean nola dagoen antolatuta marraztu dugu. Beheko ezkerreko
irudian, soka luzeek energiaren zati haundia dutela ikus daiteke; beheko eskubiko irudia
behatuz, aldiz, parametro-espazioko puntu horretan soka luze eza azpimarra daiteke.
Irizpide biak erabiliz, “iraunkortasun-limitea” lortu dugu simulazioen bidez, 3.5 irudian
adierazi duguna. Espero genuenez, iraunkortasun-zonaldea egonkortasun-zonaldearen za-
tikia baino ez da; eta sin 2 θW balioa unitatetik oso gertu dagoenean bakarrik lor dezake
iraunkortasuna sistemak. Irizpide bietatik abiatuz, antzerako kurbak lortu ditugu.
β
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
θ w 2/π
3.5 irudia: Lerro jarraitua, ardatz-simetriadun Z-soka infinituen egonkortasun-zonaldeari [61]
dagokio, eta puntuak, testuan deskribituriko bi irizpideak erabiliz lortu dugun iraunkortasun-
-zonaldearen mugari. Espero genuenez, iraunkortasun-zonaldea egonkortasun-zonaldearen zatikia
baino ez da. Karratuak, t = 200 aldiunean eremu magnetikoaren 25% baino altuagoa duten puntu
kopurua 1000 deneko irizpidea erabiliz lortu ditugu; hirukiak, t = 200 aldiunean, beraien zabalera
baino bost aldiz luzeago diren sokak daudeneko irizpidearen bidez.
3.6 Ondorioak
Fase-trantsizio elektroahul baterako, GSW eredu orokorrean, defektu ez-topologikoko sa-
rea sor daitekeela erakutsi dute kapitulu honetan deskribatutako zenbakizko simulazioek.
Sarearen dinamika oso korapilatsua da: soka-segmentu batzuek uzkurtu, eta beste ba-
tzuek ingurukoekin bat egiten dute. Bi parametroekiko (θW eta β) menpekotasun handia
du ereduak. Ondokoa da lan honen ondorio nagusia: parametro-espazioko zonalde batean,

3.6 Ondorioak 93
iraunkorrak diren defektu erabat ez-topologikoen sarea ager daiteke. Hautatutako iraun-
kortasun-kriterioaren menpekoa da lorturiko zonaldea; baina, nahiz eta koantitatiboki
eztabaidagarria izan, koalitatiboki zonaldea egon badagoela argi dago.
Nahiz eta gure unibertsoko benetazko teoria elektroahula parametro-zonalde horretatik
kanpo egon, emaitza horien arabera hau ondorioztatu dezakegu: limiteren batetan defektu
topologikoak edo erdilokalak posible diren ereduetarako, defektu ez-topologikoen sareak
sor daitezke limite horretatik gertu. Literaturan aurkitu daitezkeenez [14, 61, 93], defektu
topologikoak (edo erdilokalak) dauzkaten ereduetan, defektu ez-topologikoak egonkorrak
diren zonaldeak daude. Gure lanaren bidez emaitza hori bermatu dugu; eta, zonalde es-
tuago batean bada ere, fase-trantsizio horietan nahikoa iraunkorra den defektu-sarea ager
daitekeela erakutsi dugu.
Soka-segmentuen sorrera guztiz dinamikoa da, eta ezin da hasierako baldintzei buruzko
analisien bidez aztertu. Zehazkiago, gure emaitzak eta [73] laneko emaitzak bateragarriak
dira. Hemen, sare baten eboluzio tenporala kontuan hartu dugu, eta ez bakarrik hasiera-
ko baldintza. Gainera, fase-trantsizio bati baino, tarte-iragankor bati dagozkio hasierako
baldintzak gure simulazioetan. Tarte-iragankorraren ondoren, fisikoki arrazonagarriak di-
ren hasierako baldintzak sortuko ditu sistemak berak. Tarte-iragankorra pasa eta gero
har dezakegu aintzakotzat eboluzioa; tartea pasa ondoren lortutako konfigurazioa da de-
fektuak iraun edo desagertu diren erabakiko duena. Defektuen eraketan gauge-eremuak
garrantzitsuak dira, beraz, eta lortutako ondorioak beste eredu ez-topologikoetara orokor
daitezkeen jakitea interesgarria da. Adibidez: bi-Higgs eremuko eredu estandarra [14, 38].
Kapitulu honetan erabili dugun diskretizazio-metodoa, lotura-aldagaiak erabiltzen dituen
metodoarekin alderatu dugu E eranskinean. Erabilitako diskretizazioa ez bezela, lotura-al-
dagaiak erabiltzean gauge-aldaezintasuna ziurtatuta dago. Eredu erdilokalaren kasurako,
bi diskretizazio metodoak erabiliz lortutako eboluzioak puntuz-puntu bateragarriak di-
ra; lotura-aldagaien kasuan noizbehinka soka luzexeagoak lortu arren. Hala eta guztiz
ere, emaitza estatistikoen ziurgabetasuna, errore estatistikoa baino txikiagoa da. Azter-
keta horretan soka erdilokalak baino ez ditugu simulatu, ez eredu elektroahul osoa; baina
lotura-aldagaiak erabiliz lan honetako emaitzak nabarmen aldatuko ez direla ziur gaude.

4. KAPITULUA
Defektuak eredu supersimetrikoetan
4.1 Sarrera
Arestian, gauge-simetriadun teorietan ager daitezkeen defektuak deskribatu ditugu. Gau-
ge-teorien ezaugarri garrantzitsua ondokoa da: elkarrekintza desberdinak teoria bakun eta
naturalaren bidez argitu ditzakete. Adibidez: elkarrekintza elektromagnetiko eta nuklear
ahula batera azaldu daitezke, SU(2)×U(1) gauge-simetriaren bidez; eta nuklear bortitza,
bestalde, SU(3) simetriako teoria baten bidez azaldu daiteke. Hiru elkarrekintza horiek
gauge-teorien bidez deskribatu daitekeenez, hirurak teoria bakar baten bidez bateratze-
ko ahaleginak izan dira: GUT (Grand Unification Theory) teoria. Baina, elkarrekintza
grabitatorioa ez da modu horretakoa. Elkarrekintza grabitatorioa beste elkarrekintzekin
bateratzeko aukeretako bat supersimetriak emango digu.
Supersimetria (ikus [15, 88, 102] adibidez) fermioien eta bosoien arteko simetria da. Gau-
ge-simetria, aldiz, bosoiak bosoiekin erlazionatzen ditu; eta fermioiak fermioiekin. Super-
simetriari tokian tokiko simetria izaten utziz gero, translazioak espazio-denborako puntuz
puntu aldatuko dira; eta, ondorioz, grabitatea teoriaren osagaietako bat da. Eredu horiei
deritze eredu supergrabitatorio.
Zientzia fisikoetan, esperimentuek esan beharko digute teoria bat baztertu behar denentz.
Supersimetriaren arabera, fermioiek (bosoiek) masa berbereko eta kontrako estatistikako
95

96 Defektuak eredu supersimetrikoetan
bosoi (fermioi) superkide bana dute. Oraindik kide supersimetrikorik ez da aurkitu esperi-
mentalki; eta, beraz, supersimetria egotekotan, gaur egungo azeleragailuak lor ditzaketen
energia (∼ 10 3 GeV) baino energia handiagoetara apurtuta dago.
Nahiz eta supersimetriaren ebidentzia esperimentalik egon ez, oso ideia interesgarria da.
Arestian esan bezala, elkarrekintza grabitatorioa beste elkarrekintzekin bateratzeko auke-
ra ona da. Bestalde, grabitate kuantikoaren ez-errenormalizazio arazoa konpondu dezake.
Hain zuzen ere, teoria supersimetrikoek dibergentzia kuantiko koadratikoekiko jokaera
ona dute; ekarpen desberdinen arteko doitze-zehatz fine-tuning lortzen baitute gai diber-
genteak ezetatuz.
Teoria supersimetrikoek dibergentziekiko duten portaera dela eta, technical hierarchy pro-
blem delako problema konpondu dezakete: (10 16 GeV) ohiko GUT masaren eta (10 2 GeV)
W bosoiaren masaren arteko aldea izugarria da. Garapen perturbatiboekiko ezengonkorra
da orokorrean alde hori, doitze-zehatza eman ezean behintzat. Baina doitze-zehatza berez
emango da teoria supersimetrikoetan.
Eredu supersimetrikoetan ager daitezkeen zenbait defektu aztertuko ditugu kapitulu ho-
netan. Hurrengo atalean supersimetria ezagutaraziko dugu; eta defektu horiek aztertzeko
beharrezko diren zenbait kontzeptu azalduko dugu. Testuingurua finkatu eta gero, horieta-
ko zenbait eredutan sokak ager daitezkeela ikusiko dugu. Hain zuzen ere, Fayet-Iliopoulos
D-gaidun eredu simetrikoen ohiko ondorioa sokak eratzea da [32, 75]. Halere, soka-soluzio
hauek ohiko Nielsen-Olesen zurrunbiloa [1, 74] baino aberatsagoak dira. Horretarako bi
arrazio nagusi dago:
Lehenik, eredu supersimetrikoetako klase zabal batek norabide lauak ditu potentzial eska-
larrean zehar. Horregatik, huts endekatuen modulua dugu; eta ezin dugu zuzenean jakin
zein huts-egoerak sortu ditzakeen soka-erako soluzioak. Azken urteetan, norabide lauen in-
guruan asko ikertu da; batez ere, gauge-eredu ez-trukakor supersimetrikoen akzio efektibo
eta konfinamendua aztertu direnean (ikus adibidez [11, 35, 40, 86, 87, 105, 106]).
Bigarrenik, supersimetria dagoenez, sokaren muinean modu nulu fermioidarrak agertuko
zaizkigu era naturalean [32]; eta horrek, supereroale bihurtuko du soka. Orokorrean, soka-
-begizta supereroaleak –bortoiak– agertuko dira. Bortoiak sortuko dira barneko korronteak

4.1 Sarrera 97
soka-begiztaren uzkurketa galeraztean. Zenbait eredu supersimetrikotan begizten zeharre-
ko korrontea kirala izango da; eta honela, bortoiek propietate berri interesgarriak edukiko
dituzte [26, 33, 78, 89]. Bortoien edukiko lituzketen behaketa propietateek, partikulen
fisikarako ereduak lotu ditzakete; eta, batzuetan, ereduak baztertu ditzakete [25, 27, 69].
[75] erreferentzian, N =1 eredu supersimetriko baten sektore bosoidarrean ager zitezkeen
soka topologikoak aztertu zituzten [75] erreferentzian ; nahiz eta modulu-eremuak hutsa
aukera dezakeen huts-multzo uniparametrikoaren artean, aukera zehatz batek soilik eman
ditzake soka topologikoak. Emaitza hori modulu-eremuak zurrunbiloaren muinetik hurrun
duen jokaeran datza. Huts-aukeratzearen efektu hori orokorra da norabide lauak dituzten
teoria trukakorretarako; zeren eta, ikusiko dugunez, zurrunbiloaren muinean bektorearen
masa minimizatzearren gertatuko da [8]. Bada, bai soka topologikoetan bai ez-topologi-
koetan ere gertatzea espero dugu; eta, agian, beren egonkortasuna hobetu lezakete.
4.3.1 atalean, lortu dugun soka kosmikoak Bogomol’nyi-ren bornea beteko duela erakutsi-
ko dugu era esplizituan (hau da, BPS-soka izango da); ondorioz, guztiz egonkorra da. Baita
ere azalduko dugu zergaitik aukeratutako hutsak bektorearen masa minimizatuko duen.
Horrela, zein huts aukeratuko diren jakiteko irizpidea eraikiko dugu teoria jakin bateta-
rako; karga guztiak berberak direnean balio absolutoan. Gero, Bogomol’nyi-ren bornetik
kanpoko huts-aukeratzearen efektua aztertuko dugu 4.3.2 atalean. Zenbakizko analisia de-
rrigorrezkoa izango da kasu horretan. Soka ez-BPS horietarako huts-aukeratzearen efektua
aldatuko ez dela ikusiko dugu. 4.3 atala amaitzeko, supersimetria apurtuko dugu masa-gai
bigunen bidez, eta defetuen gaineko ondorioa aztertuko dugu ( 4.3.3 atala).
Aurreko N = 1 eredua mailaz igoko dugu, kontrako kargako hipermultiplete bi dituen
N =2 QED eremu supersimetrikora (4.4 atala). Eredu hori II motako supersoken Calabi–
Yau kompaktifikazioaren energia-txikietarako akzio efektiboa ikertzeko erabili zuten [50]
erreferentzian, non karga magnetikoen konfinamenduarekin erlazionatu zituzten zurrunbi-
loak. Frogatuko dugunez, huts-aukeratzearen efektua dela-eta, BPS zurrunbiloen egitura
soka erdilokalen egitura berbera izango da [92] (1.3 atala).
Garrantzi fisikoaz gain, eredu horrek abaintaila bat du: kalkulu guztiak era esplizituan egin
daitezke. Eta oso garrantzi handikoa da kalkuluak era esplizituan egin ahal izatea, soka
erdilokalen egonkortasuna intuizoaren kontrakoa baita. Huts-barietatea sinpleki-konexua

98 Defektuak eredu supersimetrikoetan
izan arren ondokoa azpimarragarria da: gauge-bosoia masaduna da; eta, fluxu magneti-
koa “topologikoki” kuantizatuta dago eta kontserbatuko da. Fluxu magnetiko unitatea
daramaten zinezko BPS egoerak dira aztertu ditugun sokak.
Eta hala eta guztiz ere, praktikan, ez dago zurrunbilo egonkorrik eredu horretan; zeha-
tzago esatearren: zurrunbiloak egonkortasun neutrokoak dira soilik (BPS baldintzarekin
bateragarria dena); eta nahi bezain zabalak diren BPS “fluxu-hodi magnetiko” familia oso
batekin endekatuak dira [6, 55]. Perturbaziorik txikienak ere modu nulua kitzikatuko du;
eta zurrunbiloa hedatu egingo da [66]. huts-aukeratzearen efektuak ez du (estuena den)
Nielsen-Olesen zurrunbiloa aukeratuko beste BPS fluxu-hodi lodiagoen artean. Horrek
bortoi sorrera ezabatuko du testuinguru kosmologikoan. Supersoken konpaktifikazioaren
testuinguruan, aldiz, [50] erreferentzian proposaturiko karga-magnetikoa konfinatzeko me-
kanismoa zalantzan jarriko du huts-aukeratzearen efektuak.
Ondoren, 4.4.2 atalean, supersimetria apurtuko duten masa-gaiak gehituko ditugu, N =1
kasuan bezela. Masa-gai horiek potentzialaren endekapena desegingo dute; eta benetako
Nielsen-Olesen sokak eratuko zaizkigu.
4.4 atala modu nulu fermioidar posibleen azterketarekin amaituko dugu; huts-aukeratzea-
ren efektua areagotu eta soka egonkortu al dezaketen ikertzeko. Horrela izango balitz,
soka erdilokalak soka kiral bihurtuko lirateke [26]. Hau da, fermioiak noranzko bakarrean
higitzen diren bortoi bihurtuko lirateke. Baina, ikusiko dugunez, ez da hori gertatuko; bi
arrazoi dela medio: lehena, fermioiek beteko duten huts-aukeratzea bosoiek beteko du-
tenaren berbera da; eta beraz, sokak erdilokal izaten jarraituko dute. Bestea, fermioiak
bi noranzkotan higituko direla sokan zehar. Hainbat testuingurutan, hondoko sokaren
egonkortasuna aldatu egiten da fermioien erreakzioaren ondorioz [71, 67, 51]. Eskuartean
dugun testuinguruan hori ez da gertatuko [9], ondoko arrazoiengatik: [71, 67, 51] lanetan
ikertutako sistemetan ez bezela, apurtu gabeko supersimetriak Bogomol’nyi-ren bornean
babestuko du. “Karga topologikoa” berbera da familiako zurrunbilo guztietarako; eta, ez
da familiako kide bereziren bat aukeratuko fermioien erreakzioaren ondorioz.
Halere, soka erdilokalaren modu nulu bosoidarra dela-eta, zenbait fermioi sokaren muinean
nulua ez den eremuarekin mihiztatuta dagoela aurkituko dugu; eta literaturan esan izan
denaren arabera, ez genukeen horrelakorik espero behar izango. Gure ustez, eremu eskalar

4.1 Sarrera 99
kargatu eta biribilkapen gabeak modu nulu fermioidarretan duten efektua ikertu den lehen
aldia da. Aztertutako eredua, hondoan zurrunbilodun eskalarrez eta fermioiez osatutako
sistemei buruzko zenbait indize-teoremetik at dagoela azpimarratu nahiko genuke [30, 42].
Bukatzeko, kapitulu honen konklusioen laburpena eskainiko dugu.
4.2 Superaljebra eta (super)multipleteak
Atal honetan, aurrerago behar izango ditugun supersimetriaren ezaugarri orokorrak aur-
keztuko ditugu. Azalpen zehatzagoak aurkitu daitezke [15, 88, 102] erreferentzietan.
Talde-teoriaren ikuspuntutik supersimetria Poincaré taldearen zabalkuntza da, Lie alje-
bra graduatua erabiliz; zenbait sortzaile, Qα supersimetriaren sortzaileak, fermioidarrak
direlarik. Beraz, supersimetriak erdiaz aldatuko du egoera baten espina; fermioiak bosoi
bihurtuz, eta alderantziz. Fermioi baten superkidea sfermioi deitu ohi da, eta bosoiarena
bosino. Sortzaile independente bat baino gehiago egon daiteke: Qiα (i = 1, ...N) eta N
zenbakiaren balio bakoitzerako teoria desberdina dugu. Kapitulu honetan N =1 eta N =2
kasuen inguruan arituko gara.
Aljebra supersimetrikoaren sortzaile bosoidarrek Poincaré taldearen aljebra beteko dute;
sortzaile fermiodarrek ostera (ikus A eranskina hitzarmenak ezagutzeko):
[Qαi, Pµ] = [ ¯ Q i ˙α , Pµ] = 0 ;
[Qαi, Mµν] = 1 β
(σµν)
2 α Qβi ;
[ ¯ Q i ˙α, Mµν] = − 1
2 ¯ Q i ˙ β (¯σµν) ˙ β
˙α ;
{Qαi, ¯ Q j
˙β
} = 2δj i (σµ ) αβ˙ Pµ ;
{Qαi, Qβj} = 2εαβZij ;
{ ¯ Q i ˙α , ¯ Q j
˙β } = −2ε ˙α ˙ β Zij , (4.1)
non Pµ eta Mµν espazio-denborako translazioak eta Lorentz transformazioak diren hurre-
nez hurren; eta Zij karga zentralak dira (Zij = −Zji).
Transformazio supersimetriko infinitesimalaren parametroak ǫα eta ¯ǫ ˙α Grassman-en zen-
bakiak dira. Parametro horien laguntzaz, φ eremuaren transformazio supersimetriko infi-

100 Defektuak eredu supersimetrikoetan
nitesimala definituko dugu:
δφ ≡ −i[φ, ǫQ + ¯ Q¯ǫ] . (4.2)
Teoria supersimetrikoetan, Lie aljebra graduatuaren errepresentazio jakin bateko eremu-
edo egoera-”multzoak agertuko dira. Errepresentazio laburtezinen, hots, (super)multipleteen,
zenbait ezaugarri orokor lortu daitezke aljebra bera aztertuz:
• supersimetriadun teorietako energia ez da negatiboa
• multiplete bakoitzean, gutxienez bosoi bat eta fermioi bat dago, beren espin-dife-
rentzia 1
2 izanik
• multiplete baten egoera guztiek masa berekoak dira
• multiplete batean fermioi- eta bosoi-kopuru bera dago
• supersimetria berez apurtuko da baldin eta soilik baldin hutseko energia zehazki
nulua ez bada
Supersimetriaren arabera, multiplete bakoitzean masa berberko bosoi/fermioi bikoteak
daude. Ondorioz, apurtu gabeko supersimetriaren espektroa ez da errealista; naturan ez
dago bosoien eta fermioien arteko masa endekapenik. Hotaz, supersimetriak apurtuta egon
behar du; baina, ez dugu edonola apurtu nahi: teoriaren dibergentzia koadratikoekiko por-
taera ona mantendu nahi dugu. Poertaera ona mantenduko duten gaiak dira gai bigunak.
N = 1 eta N = 2 teoria supersimetrikoetan gai bigun mota bat –eskalarren masa-gaiak–
gehitzean gertatutako zenbait ezaugarri ikertuko dugu 4.3.3 eta 4.4.2 ataletan.
Kapitulu honetan 3 + 1 dimentsiotako ereduak ikertuko ditugu; eta, honako multiplete
hauek erabiliko ditugu:
1. Multiplete kirala
φ eremu eskalar konplexuak eta ψ Weyl-espinoreak osatuko dute Φ (N =1) multi-
plete kirala. Transformazio supersimetrikoa egitean, eremu horiek beren higidura-
-ekuazioa betetzea beharrezkoa da superaljebra ixteko. Baina aljebra ixteko beste

4.1 Sarrera 101
aukera bat F eremu laguntzaile konplexua gehitzea da. Eremu hori ez da fisikoa;
eta, bere higidura-ekuazio (aljebraikoa) erabiliz, eliminatu ahal izango dugu.
Φ(φ, ψ, F) multiplete kiralaren lagrangearra ondoko hau da
L = ∂ µ φ † ∂µφ + iψσ µ ∂µ ¯ ψ + F † F , (4.3)
eta honako eremuen transformazio supersimetriko hauekiko aldaezina da:
δφ = 2ǫψ ;
δψ = −ǫF − i∂µφσ µ ¯ǫ ;
δF = −2i∂µψσ µ ¯ǫ . (4.4)
Transformazio horiek behatuz ondokoa egiaztatu dezakegu: Bosoiak fermioi bihurtu
dira, eta fermioiak bosoi (bosoien deribatuak). Eremu laguntzailea deribatu oso
bihurtu da. F eremu laguntzailearen higidura-ekuazioa tribiala da lagrangear aske
horren kasurako (F = 0); eta, dinakimatik at geratuko da. Baina elkarrekintza
dagoen teorietan, eremu laguntzaileen higidura-ekuazioak aljebraikoak izango dira
baita ere; eta, higidura-ekuazio horiek erabiliz, eremu laguntzaileak desagertaraziko
ditugu.
Era berean, ¯ Φ multiplete antikirala definitu dezakegu. Φ multipletearen konjokatu
hermitikoa erabiliz lortu dezakegu ¯ Φ = (φ † , ¯ ψ, F † ) multiplete antikirala; eta, multi-
pleteare osagaien transformazio supersimetrikoak honako hauek dira:
δφ † = 2 ¯ ψ¯ǫ ;
2. N =1 mutiplete bektorial trukakorra
δ ¯ ψ = −F † ¯ǫ + iǫσ µ ∂µ ¯ φ ;
δF † = 2iǫσ µ ∂µ ¯ ψ . (4.5)
Wess-Zumino gauge-a erabiliz, ondoko eremuek osatuko dute multipletea: Aµ gau-
ge-eremu trukakorra, λ Weyl-espinorea eta D eremu laguntzailea. V (Aµ, λ, D) mul-
tipletearen lagrangearra honako hau da
L = − 1
4 F µν Fµν + i
2 ¯ λσ µ ∂µλ + 1
2 D2 + κD . (4.6)

102 Defektuak eredu supersimetrikoetan
Azkeneko gaiari –κD– Fayet-Iliopoulos gaia deritzo. Gai hori gauge-teoria trukako-
rretan bakarrik gehitu daiteke; U(1) taldearekiko aldaezina baita eta transformzio
supersimetrikoekiko deribatu oso bihurtuko baita. Fayet-Iliopoulos gaia izango da
aztertuko ditugun ereduetan berezko simetria-apurketaren arrazoia.
3. Hipermultipletea
Hipermultipleteak N =2 supersimetriako materia-multipleteak dira. Multiplete ki-
ral bate eta multiplete antikiral baten gainezarmen bezala uler daitezke. Hipermul-
tipletean h1 eremu eskalar konplexu bi, ψ Dirac-fermioia eta Fi eremu konplexu
laguntzaile bi daude, non i = 1, 2. 4.5 atalean h i = h ∗ i
4. N =2 multiplete bektorial trukakorra
izango da.
Multiplete kiral baten eta N =1 multiplete bektorial trukakor baten gainezarmena
da N = 2 multiplete bektorial trukakorra. Ondoko eremuek osatzen dute: M eta
N eremu eskalarrek, Weyl-fermioi bi (N =1 mutiplete bektorial trukakorreko λ eta
multiplete kiraleko ψ), Aµ gauge-eremu trukakorrak, eta hiru eremu laguntzailek ( D
3-bektorearea erabiliz adieraziko ditugunak).
4.5 atalean, multiplete horretako fermioiak beste era batera idatziko ditugu, espinore
SU(2)-kobarianteak erabiliz: Majorana-espinore simplektikoak hain zuzen ere (ikus
A eranskina).
Ohartu zaitezte multiplete honi dagokion Lagrangearreari Fayet-Iliopoulos gaia gehi-
tu diezaiokegula baita ere.
4.2.1 Superaljebra eta karga topologikoa
Aljebra supersimetrikoa aldatu egingo da gure sisteman defektuak daudenean. Aljebra
supersimetrikoaren zabalkuntza zentralarekin erlazionatuta dago soluzioen karga topolo-
gikoa. Defeftu motako soluzioa BPS egoera bada, supersimetriaren erdia babestuta dago;
eta, soluzioa, 1
2 -BPS asetua dagoela esan ohi da. Kink-aren kasurako (ikus 1.1.1 atala)
frogatu zen erlazio hori [103]:

4.1 Sarrera 103
1+1 dimentsioko sistema honetan, supersimetriaren sortzaileak Q± osagai kiralak erabiliz
idatzi zituzten [103] laneko ikertzaileek. Notazio hori erabiliz, kink-arik gabeko aljebra
supersimetrikoa honako era honetan idatzi daiteke
Q 2 ± = P± , {Q+, Q−} = 0 , (4.7)
non P± ≡ 1
2 (P0 ± P1) . Beraz (Q+ + Q−) 2 = (Q + −Q−) 2 = H da. Hamiltondarraren
edozein |χ > egoera propioak ondoko erlazioa beteko du
H|χ >= E|χ >= (Q− + Q−) 2 |χ >= (Q+ − Q−) 2 |χ > . (4.8)
Egoerak aldaezinak dira supersimetria guztiekiko (eta beraz E = 0 energia nulua dute),
edo ez dira aldaezinak edozein supersimetriarekiko. Supersimetria guztiz apurtuta edo
apurtu gabe egongo da.
Baina kink-a dugunean, (4.7) erlazioak aldatu egingo dira. Hain zuzen ere, [103] lanean
frogatu zutenez, kink-aren karga topologikoa aljebra supersimetrikoaren karga zentrala
da; eta, beraz, ondokoa beteko da
Q 2 ± = P± , {Q+, Q−} = T , (4.9)
non T karga topologikoa den. Ekuazio horiek ondorio garrantzitsua dute:
(Q+ + Q−) 2 = H + T , (Q+ − Q−) 2 = H − T . (4.10)
|χ > BPS egoera badugu, i.e., E = T baldintza betetzen badu |χ > egoerak, orduan
honako hau dugu
eta (4.10) ekuazioa erabiliz
(H − T)|χ >= 0 , (H + T)|χ >= 0 , (4.11)
(Q+ − Q−)|χ >= 0 , (Q+ + Q−)|χ >= 0 . (4.12)
Ondorioz, Q+ + Q− apurtu egin da eta modu nulu fermioidarrak sortuko ditu; bestalde,
Q+ − Q− ez da apurtu. Sortzaile supersimetrikoen erdia bakarrik apurtu da; eta, beste
ez-BPS egoeretan sortuko diren modu nulu fermioidarren erdia sortuko da. Egoeraren
energia korrekzio kuantikoetatik babestu egingo du apurtzeke geratu den supersimetriak.

104 Defektuak eredu supersimetrikoetan
Beste defektuetara zabaldu daiteke idea hori [10]; eta, ondorioak analogoak dira: defektu
batek Bogomol’nyi-ren bornea beteko badu, supersimetria erdi-apurtuta egongo da. Apur-
tutako sortzaile supersimetrikoek modu nulu fermiodarrak sortuko dituzte; eta multiple-
teak sortuko dituzte apurtu gabeko sortzaileek. Apurtzeke dagoen supersimetria horrek
masaren balioa babestuko du; eta, beraz, BPS baldintza.
4.3 N =1 Higgs motako eredu supersimetrikoa
Atal honetan V (Aµ, λ, D) multiplete bektorial trukakorrak eta berarekin mihiztatutako
bi Φ±(φ±, ψ±, F±) N =1 multiplete kiralek osatuko duten 4-dimentsioko eredua aztertuko
dugu. Multiplete kiralek elkarren kontrako karga dute. Simetria berez apurtuko den kasua
ikertu nahi dugunez, κ D Fayet-Iliopoulos D-gaia gehituko dugu, aurreko atalean esan
dugun eran.
Gure ereduari dagokion lagrangearra ondokoa da
non
L = Lgauge + Lmatter + Linteraction , (4.13)
Lgauge = − 1
4 FµνF µν + i
2 ¯ λσ µ ∂µλ + κD + 1
2 D2 ; (4.14)
Lmatter = |Dµφ+| 2 + |Dµφ−| 2 + i ¯ ψ+σ µ Dµψ+ + i ¯ ψ−σ µ Dµψ− + |F+| 2 + |F−| 2 ;
Linteraction = i √ 2q ¯ λ(φ †
+ψ+ − φ †
−ψ−) + i √ 2q(φ− ¯ ψ− − φ+ ¯ ψ+)λ + q(|φ+| 2 − |φ−| 2 )D .
φ± eremu eskalarrak ±q aurkako karga dute, eta baita F± eremu laguntzaileek ere. D ere-
mu laguntzailea erreala da; eta, Aµ eremua U(1) gauge-eremua da. Deribatu kobarianteak
honela definitu ditugu: Dµφ± = (∂µ ± iqAµ)φ±. Gainera, Fµν = ∂µAν − ∂νAµ da. Fermio
guztiak Weyl-fermioiak dira.
Eremu laguntzaileak, beren higidura-ekuazioak erabiliz desagertarazi ditzakegu (ikus 4.2 ata-
la)
F+ = F− = 0 , D + κ + q(|φ+| 2 − |φ−| 2 ) = 0. (4.15)

4.3 N =1 Higss motako eredu supersimetrikoa 105
D eremu laguntzailea duten gaiak, honela idatz ditzakegu
1
2D2 + κD + q |φ+| 2 − |φ−| 2 D = − κ2
2 − κq |φ+| 2 − |φ −| 2 − 1
2q2 |φ+| 2 − |φ−| 22
q|φ+| 2 − q|φ−| 2 + κ 2 (4.16)
= − 1
2
eta ondoko lagrangearra lortu
L = |Dµφ+| 2 + |Dµφ−| 2 − 1
4 FµνF µν + iλσ µ ∂µ ¯ λ + iψ+σ µ Dµ ¯ ψ+ + iψ−σ µ Dµ ¯ ψ−
+i √ 2q(φ †
+ψ+ − φ †
− 1
2
−ψ−)λ + i √ 2q(φ− ¯ ψ− − φ+ ¯ ψ+) ¯ λ
q|φ+| 2 − q|φ−| 2 + κ 2 . (4.17)
Lagrangear honen sektore bosoidarra izango da datozen bi atalen abiapuntua. Bertan
huts-aukeratzearen efektua ikertuko dugu; eta, baita ere supersimetria masa-gai bigunen
bidez apurtzean sortutako zenbait ezaugarri.
4.3.1 N =1 kasurako huts-aukeratzearen efektua
Ondorengo lagrangearra erabiliko dugu atal honetan
L = |Dµφ+| 2 + |Dµφ−| 2 − 1
4 FµνF µν − V (φ+, φ−)
V (φ+, φ−) = ˜ β
2 (|φ+| 2 − |φ−| 2 − η 2 ) 2 . (4.18)
Lagrangear hori (4.17) lagrangearraren orokorpena da, ˜ β = q 2 limitea aukeratuz gero;
hots, Bogomol’nyi-ren limitea. (4.17) berreskuratuko dugu κ ≡ −qη 2 kasurako. κ parame-
troaren zeinu-hautaketa orokorra da; kontrako zeinua aukeratuko bagenu emaitza berbera
lortuko genuke baina φ+ eta φ− eremuen zeregina trukatuta.
Huts-barietatea ondokoa da
eta horren soluzioak
|φ+| 2 − |φ−| 2 − η 2 = 0 , (4.19)
|φ+| = ηcoshu ≡ v+ , |φ−| = η sinh u ≡ v− , (4.20)

106 Defektuak eredu supersimetrikoetan
non u parametroak modulu-espazioa (baliokide ez diren huts-espazioa) parametrizatuko
duen. Potentzial horrek norabide lauak ditu; hau da, u norabidean zehar higitu gaitezke
energia potentzialeko kosturik gabe. D-gaia gehitzean simetria berez apurtuko da; eta de-
fektuak eratu daitezke. Are gehiago: printzipioz, u guztietarako lor genitzazke defektuak.
Simetria apurtu eta gero, espektro fisikoa ondokoa da: masa gabeko bi eremu eskalar
(Goldstone-n bosoia eta modulu-eremua), m 2 s = 2 ˜ βη 2 cosh2u masadun partikula eskalarra
eta m 2
v = 2q2 η 2 cosh2u masadun partikula bektoriala. ¯ms eta ¯mv balioen minimoa u = 0
balioari dagokio; hau da, φ− = 0 kasuari. Kasu horretan Higgs eredu trukakorra berres-
kuratuko dugu. Arestian ikusi dugunez, eredu horrek zurunbilo estatikoak eduki ditzake
(ikus 1.2.1 atala): Nielsen-Olesen zurrunbiloak [74] hain zuzen ere.
Soka zuzen estatiko infinitoak nahi ditugu z-norabidean; bada, t-rekiko eta z-rekiko men-
pekotasuna kenduko dugu; eta At = Az = 0 ipini. Eskalak aldatuz zenbait parametro
desagertarazi ditzakegu (4.18) lagrangearrean
φ± → ηφ± , xµ → xµ
ηq , Aµ → ηAµ , (4.21)
eta B = ∂1A2 − ∂2A1 dela emanik, energia honela idatziko dugu
˜E =
d 2
x |(∂µ + iAµ) φ+| 2 + |(∂µ − iAµ)φ−| 2 + 1
2B2 + β
|φ+|
2
2 − |φ−| 2 − 1 2 (4.22)
non ˜ E = E/η 2 den. Masa eskalarraren eta masa bektorialen karratuen zatidura da β
parametroa: β = m 2 s/m 2 v = ˜ β/q 2 .
Energia finitua izan dadin, Dµφ± → 0, B → 0 izan behar dute 1/r baino azkarrago,
r → ∞ denean. Energia potentzialetik behatuz, φ± eremuek huts-barietaterantz jo behar
dutela ikus dezakegu, r → ∞ denean:
φ± ∼ v± e in±θ . (4.23)
Baldintza hori gradienteetan ordezkatuz ondokoa lortuko dugu
⎫
Dθφ+ → 0 ⇒ in+ + iAθ → 0 ⇒ Aθ → ⎬ −n+
Dθφ− → 0 ⇒ in− − iAθ → 0 ⇒ Aθ → n−
⎭ ⇒ n+ = −n− = n . (4.24)

4.3 N =1 Higss motako eredu supersimetrikoa 107
qa kargadun eremuek e inqaθ moduan biribilkatu behar direla ondorioztatuko dugu. Gau-
ge-eremua balio konstante baterantz doanez, eremu magnetikoaren (1.31) kuantizazioa
berreskuratu dugu:
d 2
xB =
ρ=∞
Aθ · dl = −2πn . (4.25)
Printzipioz, r → ∞ puntuan edozein (4.20) huts-barietatearen baliorantz doazen zu-
rrunbiloak sortzea esperoko genuke. Halere, [75] erreferentzian erakutsi zutenez, β = 1
limitean, i. e. Bogomol’nyi-ren limitean, u = 0 baliorako bakarrik lor daitezke soluzio
estatikoak. Beste edozein muga-baldintzek sortutako zurrunbiloak ez-egonkorrak dira, eta
u = 0 kasuko zurrunbilorako joera dute. Egonkortasuna oso makala da, eta geratuko den
zurrunbiloa Nielsen-Olesen zurrunbiloa izango da. Frogatu dezagun Soka egonkorra dela.
Datorren guztirako, ardatz-simetriako konfigurazioak erabiliko ditugu, n = 1 kasurako:
φ+ = f+(r)e iθ ;
φ− = f−(r)e −iθ e i∆ ;
Aθdθ = a(r)dθ . (4.26)
f±(r) funtzio errealak dira; gainera, f+(0) = f−(0) = a(0) = 0 eta f±(∞) = v±,
a(∞) = −1 dira. φ± funtzioek r-rekiko menpekotasuna duten e iψ±(r) faseak eduki di-
tzakete. Baina, energia minimorako ∂rψ± = 0 bete behar da; beraz, ez ditugu kontuan
hartuko. ∆ konstante erreala da.
Egonkortasuna frogatzearren, (1.35) Bogomol’nyi-ren erako argudioa erabiliko dugu. (4.22)
energia ondoko eran idatziko dugu
˜E = d 2
x |(D1 ± iD2) φ+| 2 + |(D1 ± iD2) φ−| 2 + 1
B ∓ |φ+| 2
2 − |φ−| 2 − 1 2 + β − 1
φ+|
2
2 − |φ−| 2 − 1
2
∓ d 2 xB , (4.27)
zenbait gainazal-gai gorabehera (energia finituko konfigurazioetarako nuluak direnak).
Erabili ditugun (4.26) konfigurazioetarako, goiko zeinuak hautatu behar ditugu; eta (4.25)
erabiliz, ˜ E ≥ 2π dela ikusiko dugu β = 1 Bogomol’nyi-ren limitean. Atal honetan, Bogo-
mol’nyi-ren limitean lan egingo dugu soilik.

108 Defektuak eredu supersimetrikoetan
˜E energiaren minimoak Bogomol’nyi-ren ekuazioak bete behar ditu
hau da,
(D1 + iD2)φ± = 0 , B − (|φ+| 2 − |φ−| 2 − 1) = 0 , (4.28)
f ′ + − a+1
r f+ = 0 ; f ′ − + a+1
r f− = 0 ;
a ′
r − (f2 + − f2 − − 1) = 0 . (4.29)
f−(r) = 0 bada, (4.29) ekuazioak Higgs eredu trukakorraren ohiko (1.36) Bogomol’nyi-ren
ekuazioak dira.
Muineko muga-baldintza bete dezakeen f− funtzioaren soluzio bakarra f−(r) = 0 dela ikus
daiteke; honenbestez, Nielsen-Olesen soluzioak Bogomol’nyi-ren bornea beteko du auto-
matikoki. Horrela, zurrunbiloa egonkorra dela frogatu dugu; energiaren minimo globala
baita, eta ez dago ardatz-simetriako modu nuluak agertzeko aukerarik.
Hain zuzen ere, ez dugu zertan ardatz-simetriara murriztu [10]: φ−φ+ biderkadura azter
dezagun. (4.29) ekuazioen arabera, ondokoa beteko du biderkardura horrek
(∂1 + i∂2)(φ+φ−) = 0 , (4.30)
edo, z = x + iy eta ¯z = x − iy aldagai konplexuak erabiliz ondokoa
∂¯z(φ+φ−) = 0 . (4.31)
Beraz, φ+φ− biderkadura z aldagaiaren hautazko funtzioa da. φ+ eta φ− funtzioek ez
dute singularitaterak planoan, eta bornaturik daude. Ondorioz, φ+φ− analitikoa da; eta
bornaturik dago. Hortaz, φ+φ− =konst. da. Baina φ+(r → 0) = 0 denez, konstanteak zero
izan behar du; eta φ− ≡ 0 ondorioztatuko dugu. Geratuko zaizkigun ekuazioak Nielsen-
Olesen zurrunbiloen ekuazio berberak dira.
[75] erreferentzian azaldu den bezela, huts-aukeratzearen efektua ulertzeko gakoa ondoko
hau da: muin magnetikoaren barneko dinamika eta muinaren kanpoko modulu-eremuaren
dinamika bananduta daude. Eremu magnetikoa nulua da muinetik hurrun; eremu eskala-
rrak huts-barietatean daudenez ez dago energia potentzialik; eta (behar bezala normali-
zatutako) modulu-eremua masagabea da. Ekuazio aske masagabeen soluzioa r aldagaia-
rekiko logaritmikoki hazten da bi dimentsiotan; ondorioz, modulu-eremua infinitoraino

4.3 N =1 Higss motako eredu supersimetrikoa 109
haziz joango da, bere huts-balioarantz jo ordez. Joera hori gertatuko ez den kasu berezia
u = 0 kasua da. Beraz, u = 0 balioa aukeratua izango da. Emaitza hori zurrunbiloetarako
bakarrik beteko da, masagabeko eremuen propietatea baita; baina, bi dimentsiotan soilik;
hots, zurrunbiloaren zeharkako dimentsioetan.
Beste ere batera ikus dezakegu emaitza hori: muinaren kanpoan eremu eskalarrak modulu-
-espazioan zehar higi daitezke, u = 0 baliotik beste edozein balio asintotikorantz, energia-
-koste hautemangarririk gabe. Izan ere, muinetik kanpo eremu magnetikoa oso txikia
da; eta eremu eskalarrak huts-barietatean daude. Orduna, energia ondoko hau da, gutxi
gorabehera
E ∼
d 2 x (Dµφ+) 2 + (Dµφ−) 2
∼ 2π dr r(∂ru) 2 cosh2u . (4.32)
Kalkulatu dezagun bi huts desberdinen artean interpolatuko duen energia minimoko u(r)
konfigurazioa. Demagun u(R1) = u1 eta u(R2) = u2 direla, R1, R2 >> rmuina balioetarako.
Ondoko aldagai-aldaketa eginez
(4.32) energia honako era honetan idatziko duu
z ′ (r) = u ′ (r) cosh(2u(r)) (4.33)
2π dr r(∂ru) 2 cosh2u = 2π
eta funtzional horren muturra ondokoa da
R2
R1
0 = [2rz ′ (r)] ′ ⇒ z ′ (r) = z0
r
z0 zehaztu behar dugun konstantea da. (4.33) ekuazioa integratuz
u2
u1
lortuko dugu, eta hemendik z0:
du cosh(2u) =
Hortaz, (4.32) energiaren minimoa
E ∼ 2π
z0 =
R2
R1
dr r (∂rz(r)) 2 , (4.34)
. (4.35)
dr z0
r = z0 (lnR2 − lnR1) (4.36)
u2
u1 du cosh(2u)
lnR2 − lnR1
. (4.37)
R2
dr r
R1
z2 0
r2 = 2π z2 0 (lnR2 − lnR1) ⇒ E ∼ I(u1, u2)
lnR2 − lnR1
(4.38)

110 Defektuak eredu supersimetrikoetan
da, non
I(u1, u2)
u2
2π = u1 du√cosh2u 2
(4.39)
den. ˜ E energia nahi bezain txikia izan daiteke R2 → ∞ eginez. Beraz, muineko dinamikak
ez du zerikusirik modulu-eremuen portaerarekin; zurrunbiloaren muinak berak energia txi-
kitzeko behar duen muga-baldintza aukera dezake. Muinean, eremu magnetikoa nulua ez
den zonaldean, φ− eremua nulua da; eta muina Nielsen-Olesen zurrunbiloaren muinoaren
berbera da. Baina, aurreko argudioaren arabera, energiaren minimoa ezin da lortu I = 0
(u1 = u2) izan ezean. Ondorioz, huts-aukeratzearen efektua muinean gertatuko da.
φ− = 0 aukeratzeko arrazoia gauge-eremuaren masa minimizazioan datza (gogora deza-
gun m 2 v
= 2cosh 2u dela eskala-aldatutako unitateak erabiliz). Zurrunbiloaren muinean
eremu magnetikoa dago, m −1
v
mailako zonaldean metatuta. Eremu magnetikoko lerroek
elkar aldaratzen dute; beraz, mv balio txikiak muin magnetiko zabalagoa sorraraziko du.
Ondorioz, fluxu magnetiko osoa kuantizaturik dagoenez, huts-aukeraketa horrek muinaren
energia txikituko du.
4.3.2 Huts-aukeratzearen efektua Bogomol’nyi-ren bornetik at
Orain arte, Bogomol’nyi-ren limitean egin dugu analisia; baina, huts-aukeratzearen efek-
tua β parametroaren beste balioetarako emango den galdetu genezake. Bogomol’nyi-ren
bornetik kanpo ezin dugu ikuspuntu analitikoa erabili; horregatik, eremuen zenbakizko si-
mulazioak egin ditugu huts-aukeratzearen aztarnik dagoen ikusteko [79]. Izan ere, arestian
esan bezala, muin magnetikoaren dinamika eta eremu eskalarren dinamika muinetik kanpo
banandurik daude. Muinetik hurrun, eremu magnetikoa oso txikia da eta eremu eskalarrak
huts-barietatean daude. Hortaz, eremu eskalarrak mudulu-espazioan zehar higi daitezke
energiarik erabili gabe; orduan, φ− eremuaren konkorrak agertzea espero genezake soka-
ren muinetik hurrun, eta horrek ondorio kosmologikoak izan litzake. Baina simulazioen
arabera, erabili ditugun parametro-tartean behintzat, norabide laueko minimo posible
guztietatik bakarra aukeratuko du sistemak; eta Nielsen-Olesen sokak eratu.
Abiapuntua, aurreko ataleko berbera izango da: (4.18) Lagrangearra; baina, orain, β pa-
rametroak ez du zertan β = 1 izan. Sistemaren huts-barietatea bera da oraindik, (4.20)

4.3 N =1 Higss motako eredu supersimetrikoa 111
emandakoa; bada, sistemak norabide lauak ditu.
Sistema zenbakizko metodoen bidez simulatzeko, (4.18) lagrangearraren bertsio diskre-
tizatua erabili dugu. Lehenengo, eremuetan eta koordenatu espazio-denboraletan (4.21)
eskala-aldaketa erabiliz, η = q = 1 kasura helduko gara. Orduan, sarean definituriko
hamiltondar gauge-teorietako zenbait teknika (ikus E eranskina) erabiliko ditugu simula-
zioak egiteko.
Sare-loturako eta plaquette eragileak
Ui(x) = e −ilAi(x) ; (4.40)
Qij = Uj(x)Ui(x + xj)U †
j
†
(x + xi)U i (x) (4.41)
dira, hurrenez hurren. l sare-tartea da; hiru dimentsio espazialei dagokion indizea i da
(1, 2, 3 balioak hartuko dituena); eta Ai gauge-eremuak dira. x + xi espresioa, x puntutik
abiatuta i norabidean dagoen hurrengo puntuari dagokio. Plaquette eragileak gauge-ere-
muen balioei dagokie. Aldez, sare-loturako eragilea, aldiz, deribatu kobariante diskretuak
definitzeko erabiliko dugu:
Diφ+(x) = 1
l
U †
i (x)φ+(x
+ xi) − φ+(x) ;
Diφ−(x) = 1
l (Ui(x)φ−(x + xi) − φ−(x)) . (4.42)
Ondokoa da (4.18) lagrangearrari dagokion dentsitate hamiltondarra
H = |Π+| 2 + |Π−| 2 + 1
2 EiEi + β
+|Diφ+| 2 + |Diφ−| 2 + 1
2l 4
|φ+|
2
2 − |φ−| 2 − 1 2
(1 − Re(Qij)) , (4.43)
non φ± eta Ai eremuen momentu konjokatuak Π± eta Ei diren, hurrenez hurren. l → 0
doan limitean, continuum-eko hamiltondarra berreskuratuko dugu.
Gauge-aldaezina da (4.43) hamiltondarra: Λ(x) funtzioak emaniko U(1) transformazio
orokor baten ondorioz, honela aldatuko dira eremuak
φ+(x) → Λ(x) † φ+(x) ;
φ−(x) → Λ(x)φ−(x) ;
i=j
Ui(x) → Λ(x)Ui(x)Λ † (x + xi) , (4.44)

112 Defektuak eredu supersimetrikoetan
eta hamiltondarra aldaketa horiekiko aldaezina da.
Gauge-aukeraketa bat egin dugu (4.43) moduko hamiltondarra lortzeko, hots, A0 = 0.
Ondoko hau da A0 eremuari dagokion higidura-ekuazioa
φ †
+(x)Π+ −Π †
+φ+(x)+Π †
−(x)φ−(x) −φ †
−(x)Π−(x) = i
l
eta Gauss-en legearen baliokide da testuinguru horretan.
(Ek(x) − Ek(x − xk)) , (4.45)
Sistemak Gauss-en legea bete behar du derrigorrean, arrazoi geometrikoak direla-eta;
hasierako baldintzak (4.45) erlazioa beteko badute, (4.43) ekuazioen bidezko eboluzioak
(4.45) erlazioa beteko ditu baita ere.
φ± eta Ai eremuei dagozkien higidura-ekuazio hamiltondarretan, γΠ± eta γEi gai ba-
rreiakor gauge-aldaezinak gehitu ditugu, hurrenez hurren. Gai berri horiek Gauss-en legea
betetzen dutenez, sistema osoak Gauss-en legea betetzen darrai. γ parametroa ereduaren
parametro askea da; baina, simulazioetan γ parametroaren balio desberdinak erabiliz,
bilakaera koalitatiboki berdina lortu dugu.
(4.43) hamiltondarretik lortutako higidura-ekuazioak 64 3 neurriko sarean simulatu geni-
tuen. Sistemaren dinamikak φ− eremuarekiko duen menpekotasuna aztertu nahi dugu,
ez fase-trantsizio beraren xehetasunetan. Are gehiago, defektuei buruz zenbakizko simu-
lazioetan [3, 91] erreferentzietan ikusi zutenez (eta baita 3.4 atalean), defektuen eraketa
eremu eskalarren eta gauge-eremuen arteko elkarrekintzaren menpekoa da; eta ez du era-
bilitako hasierako baldintzaren menpekotasun haundirik. Halere, lortutako emaitzak sis-
temaren hasierako baldintzaren menpekoa ez zirela ikusteko, zenbait hasierako baldintza
desberdin erabili genituen; eta emaitza koalitatibo berdinak lor genituen erabilitako bal-
dintza guztiekin. Lehenengo denbora-tarteak erantzun irangankorra dira; sistemak energia
oso azkar galduko du. Orduan, gauge-eremu eta eremu eskalarren arteko elkarrekintzak
defektuak eratuko ditu.
Atal honetan adierazitako emaitza guztiak ondoko hasierako baldintzak erabiliz lortu
ditugu: φ± = 0, Aµ = 0 eta ˙ Ei = 0; eta eremu eskalarrek zorizko abiadura dute. Aukera
horrek Gauss-en legea betetzen du; eta simulazioan Gauss-en legea beteko dela ziurtatu
dugu. Hasierako baldintza ezberdinei dagozkien eboluzioetarako Gauss-en legea behatuz,
kodearen egonkortasuna bermatuko dugu.
k

4.3 N =1 Higss motako eredu supersimetrikoa 113
4.1 irudia: β = 0.3 eta γ = 0.5 erabiliz, 64 3 neurritako kubo batean eginiko simulazioaren
adierazpide grafikoa. a) irudian, |φ+| < 0.75 eta |φ−| > 0.1 duten sare-puntuen kopurua adierazi
ditugu, lerro marradun eta jarraituaren bidez, hurrenez hurren. b) irudian aldiz, sare-puntu
bakoitzean eremu bakoitzaren moduluaren batura adierazi dugu, sare-puntu kopuru totalarekiko:
x |φ+| (marradun lerroa),
x |φ−| (lerro jarraitua). Baitaere, 1 −
x V (x)/Vmax espresioaren
balioak adierazi ditugu (puntudun lerroa), non V (x) energia potentziala den.
4.1 irudian simulazioen emaitzak adierazi ditugu. Hasierako denbora-tarteetan erantzun
iragankorra dagoela ikus daiteke; sistemak energia barreiatuko du. Eremu eskalar biek
balio ez-nuluak dituzte; zehazki, φ− = 0. Hasierako energia kinetikoaren zati bat energia
potentzial bihurtu da; baina, ez da inolako egiturarik ikusi. Tarte iragankorra amaituta-
koan, φ− txikituz doa, oso azkar, |φ−| ∼ 0 izan arte.
Ikus daitekeenez, a) irudian, |φ+| < 0.75 eta |φ−| > 0.1 betetzen duten sare-puntuen
kopurua adierazi dugu, sare-puntu osoarekiko. Tarte iragankorra eta gero (t ∼ 15), ez dago
punturik sarean |φ−| > 0.1 betetzen duenik; bestalde, |φ+| eremuaren modulua 0.75 balioa
baino handiagoa da ia edonon. Eremu eskalarrek energia potentziala minimizatzen saiatu
beharko luteke, eta emaitza horren arabera, φ+ eremua da minimizazioa lortzen saiatzen
den bakarra. Honela, dirudienez, sistemak u = 0 balioa aukeratu du (4.20) norabide
lauetako balio guztien artean.
Aldiz, 4.1 b) irudian, 1 − V (x)
x Vmax
espresioaren balioa adierazi dugu, non V (x) funtzioa x
puntuko energia potentziala adierazi duen; eta Vmax balioa hau da: puntu guztietan φ± = 0
dela emanik lortutako energia potentzialaren balioa.
x |φ+(x)| eta
x |φ−(x)| adierazi
ditugu baita ere, sare-puntuen kopuru totalarekiko. a) irudian ezezik, irudi horretan ere

114 Defektuak eredu supersimetrikoetan
ikus daiteke tarte iragankorra eta gero φ− zerorantz oso azkar doala; eta |φ+| ∼ 1 da ia
edonon. Energia potentzialak φ+ eremuaren jokaera jarraituko du zehatz mehatz; eta ez
du φ− funtziaren jokaerarekiko menpekotasunik. Horren arabera, energia potentzialaren
minimizazioa φ+ eremuak bakarrik lortuko du.
4.2 irudia: β = 0.3 eta γ = 0.5 balioetarako 64 3 neurriko simulazioaren emaitza t = 40 aldiunean.
Ezkerreko irudian φ+ eremuaren moduluaren sestra gainazalak adierazi ditugu, |φ+| ∼ 0.75
baliorako. Eskubian aldiz,
%25 balioari dagokion sestra gainazalen bidez.
1
2 FijF ij eremu magnetikoa adierazi dugu, neurtutako maximoaren
Sistema ez dago puntu guztietan potentzialaren minimoan, sarean |φ+| < 0.75 betetzen
duten puntuak baitaude. Horren arabera, φ+ = φ− = 0 duten puntuak daude; eta, agian,
sokak eratuko zaizkigu sisteman. 4.2 irudian, φ+ eremuaren moduluaren eta eremu mag-
netikoaren adierazpide grafikoak ikus daitezke, t = 40 aldiunerako, tarte iragankorra eta
gero. Argi dago, |φ+| < 0.75 duten puntuek egiturak eratzen dituztela; sokak, hain zuzen
ere. Eremu magnetikoaren metatzeak eremu eskalarren moduluaren jokaerari jarriatu dio
zehatz-mehatz. |φ−| erabiliz lortutako irudiak puntu guztietan |φ−| ∼ 0 dela erakutsiko
luke. Eremu magnetikoaren eta |φ+| moduluaren arteko adostasuna kodearen egonkor-
tasunaren seinale da. β parametroaren zenbait baliotarako eginiko simulazioek (β = 0.1
baliotik β = 2.0 balioara) jokaera berbera erakutsi dute.
Emaitza horien arabera, hasierako tarte iragankorraren ondoren, eremu eskalar bakarra
da dinamikoa ((φ+) eremua); eta bestea ((φ−) eremua) zerorantz doa oso azkar, puntu
guztietan. Beraz, β = 1 baliorako lortutako emaitza analitikoa β = 1 kasuetarako beteko
dela ikusi dugu. Kasu guztietarako, sitemak u = 0 hutsa aukeratuko du. Dinamikatik

4.3 N =1 Higss motako eredu supersimetrikoa 115
at geratuko da φ− eremua; eta funtsean, Higgs eremu trukakorra dugu. Beraz, sistemak
Nielsen-Olesen zurrunbiloak eduki ditzake, gauge-eremua eta φ+ eremuaren arteko elka-
rrekintzaren ondorioz sortuak.
4.3.3 N =1 Supersimetria-apurketa biguneko masa-gaiak
4.2 atalean esan dugunez, supersimetria apurtuta egon behar da eskalaren batean, energia
txikietan supersimetriarik ez baitago. Supersimetria apurtzeko aukeretako bat lagrangea-
rrari supersimetria-apurketako masa-gai bigunak gehitzea da. Aukera hori komenigarria
da, simetria-apurketa nola gertatuko den zehaztasunak behar ez ditugulako. Higgs ere-
muak masa hartuko du esplizituki; bestalde, higgsinoek masagabe izaten jarraituko dute.
Horrela, supersimetria apurtuko dugu: multiplete bereko bi kideek masa desberdina bai-
tute. Arestian jorratutako N =1 ereduan sortutako Nielsen-Olesen zurrunbiloei masa-gai
berri horien eraginez gertatukoa aztertuko dugu.
Ondoko Lagrangearra lortuko dugu (4.18) lagrangerarrari gai berriak gehituz:
˜L = |Dµφ+| 2 +|Dµφ−| 2 − 1
4FµνF µν − λ
|φ+|
2
2 − |φ−| 2 − η 22 2
−m+|φ+| 2 −m 2 −|φ−| 2 . (4.46)
Orain, sistemaren potentziala honako hau da
eta potentzialaren bi muturrak
eta
V = λ
|φ+|
2
2 − |φ−| 2 − η 22 2
+ m+ |φ+| 2 + m 2 − |φ−| 2 , (4.47)
φ+ = 0 , φ− = 0 (4.48)
|φ+| 2 = η 2 − m2 +
λ , φ− = 0 (4.49)
puntuetan gertatuko dira. λη 2 < m 2 + denean, bigarren soluzioa ezin da gertatu; eta
φ+ = φ− = 0 aukera bakarrik dugu. Berorie da kasu horretan sistemaren minimo
bakarra. Ez dago berezko simetria-apurketarik, eta ez dira sokak eratuko. Oraingo ho-
netan aurreko ataleko Nielsen-Olesen zurrunbiloa ez da aukeretako bat. Emaitza hori
naturala da: Higgs eremua oso astuna bada, energiaren ikuspuntutik hobea baita Higgs
eremu guztiak zero izatea.

116 Defektuak eredu supersimetrikoetan
Beste alde batetik, λη 2 > m 2 +
horretan:
kasurako egoera desberdina da. Bi mutur ditugu kasu
V (φ+ = 0, φ− = 0) = 1
2η4λ ;
V (|φ+| =
η 2 − m2 +
λ , φ− = 0) = m 2 +
η 2 − 1
2
m2
+
. (4.50)
λ
Potentzialaren bigarren deribatuak {φ+ = 0 , φ− = 0} puntuan ondokoak dira:
V++ = 2(m 2 + − η 2 λ) < 0 , V+− = 0 , V−− = 2(η 2 λ + m 2 −) > 0 , (4.51)
non ± azpi-indizeek φ± aldagaiekiko deribatuei dagozkien, hurrenez hurren. Bestalde,
{|φ+| = η2 − m2 +
λ , φ− = 0} puntuan honako hau lortuko dugu
V++ = 4(η 2 λ − m 2 + ) > 0 , V+− = 0 , V−− = 2(m 2 + + m2
− ) > 0 . (4.52)
Beraz, potentzialaren minimoa {|φ+| = η2 − m2 +
λ , φ− = 0} puntuan dago. Potentzialaren
minimoen endekapena desagertu egin da: ez dugu norabide lauik, eta sokak φ+ eremuan
bakarrik agertu daitezke. Sistema eraldatu horrek u = 0 balioa aukeratuko du baita ere
(4.20) huts-balio guztien artean; eta benetako Nielsen-Olesen zurrunbiloa dugu. Aurreko
kasuan bezela, eremuak ez du zeresanik defektuak eratzerako orduan, eta m− masaren
balioa hutsala da sokarik eratuko den jakiteko.
4.4 N =2 QED supersimetrikoa – Bosoiak
4.3 atalean deskribaturiko N =1 eredua, mailaz igoko dugu N =2 QED (Quantum Elec-
troDynamics) eredu supersimetrokora. N = 2 multiplete bektorial trukakorrari lotutako
hipermultiplete bik osatuko dute eredu hori (ikus 4.2 atala).
Greene, Morrison eta Vafa ikertzaileak aztertu zuten eredu hau [50]: II motako supersoken
Calabi–Yau kompaktifikazioaren energia-txikietarako akzio efektiborako eredu erraztzat
hartu zuten. Konfigurazio magnetikoak aurkitu zituzten, zikloetan bildutako D–branei
esker. Energia txikirako teorian, zurrunbilo-magnetiko ez-topologiko baten bidez lotuta-
ko monopolo/antimonopolo bikote itxura hartuko dute konfigurazio magnetiko horiek;
honela, konfinamendu magnetikoa lortuz.

4.4 N =2 QED supersimetrikoa – Sektore Bosoidarra 117
Baina [4] erreferentzian erakutsi zutenez, Fayet-Iliopoulos gairik gabe zurrunbilo horiek ez
dira egonkorrak; eta, beraz, ezin dute konfinatu. Zurrunbiloak egonkortzeko nahian, Fayet-
Iliopoulos D-gaia gehituko diogu sistemari. Akzio efektiboaren N =2 supersimetriarekin
bateragarri den aldaketa bakarra da hori. Frogatuko dugunez, ez-egonkortasuna modu
nulu bihurtuko da kasu honetan, baina ez da nahikoa izango konfinamendua lortzeko.
Wess-Zumino gaugean, eredu honen lagrangearra ondokoa da [88]
non
L = Lgauge + Lmatter + Linteraction , (4.53)
Lgauge = 1
2 (∂µM) 2 + 1
2 (∂µN) 2 + i
2 ¯ λi γ µ ∂µλ i − 1
4 F µν Fµν + 1
2 D 2 ;
Lmatter = 1
2 Dµ h i
a Dµhai + i ¯ ψa γ µ Dµ ψa + F i
a Fai ;
Linteraction = i qa h i
a ¯ λi ψa − i qa ¯ ψa λ i hai − qa ¯ ψa (M − γ 5 N) ψa −
1 i
ha 2 (M2 + N 2 ) hai + 1
2 qa h i
a
τ j
i D haj . (4.54)
Hipermultiplete ezberdinak izendatu ditu a indizeak; eta qa dagozkien kargak dira (qa =
+q, −q). h i a = h∗ ai
moduan definitu dugu. Deribatu kobarianteak honako hauek dira:
Dµhai = (∂µ + i qa Aµ) hai . (4.55)
Eredua aldaezina da multiplete bakoitzean hia eremu eskalarrak bata bestean biratuko di-
tuen SU(2) simetria globalarekiko. (4.54) lagrangearrean Fayet-Iliopoulos D-gai hirukotea
gehitu dugu baita ere, hots, k · D. Orokortasuna galdu gabe, k = (0, 0, 1
2 |q|ω2 ) aukeratu
dezakegu: horrek SU(2) simetria apurtuko du. Halere, beste SU(2) simetria dago siste-
man, (h11 eta h∗ 22 ) eta (h12 eta h∗ 21 ) bikoteen artekoa; eta D-gaia gehitutakon simetria hori
ez da apurtuko.
Eremu laguntzaileak ordezkatu ondoren, eta hutsean itxarotako balioa nulua duten ere-
muak arbuiatu ondoren, eredua nahiko samurtuko dugu. Eremuen eta aldagaien eskala
aldatuz, hau da, hij → ωhij, xµ → xµ/ωq eta Aµ → ωAµ definituz, (4.54) lagrangearra
ondoko eran idatzi dezakegu:
L = 1
2 Dµ h i aDµhai + i ¯ ψaγ µ Dµψa + i
2 ¯ λiγ µ ∂µλ i
− 1
− 1
2
4 F µν Fµν + iˆqah i a ¯ λiψa − iˆqa ¯ ψaλ i hai
1
H1 − H 2
2
+ 1
2
2 − 1
2
1
H2 − H 2
1
2 + 1
2
1
iH2 − iH 22
1
(4.56)

118 Defektuak eredu supersimetrikoetan
non ˆqa = qa/q, Dµ = ∂µ + iˆqaAµ eta H i
j = −(ˆqa/2)h i a haj.
4.4.1 N =2 kasurako huts-aukeratzearen efektua
Atal honetan, (4.56) ereduko zurrunbiloen huts-aukeratzearen efektua aztertuko dugu.
Zurrunbilo zuzen eta estatikoaren energia ondoko hau da
2E
ω2 = ˜
E = d 2
x
|Dµh11| 2 + |Dµh12| 2 + |Dµh21| 2 + |Dµh22| 2 + 1
2 B2
+(H 1
1 − H 2
2 + 1/2) 2 + (H 1
2 + H 2
1 ) 2 + (i H 1
2 − i H 2
1 ) 2 . (4.57)
r → ∞ denean energia finitua izan dadin, Dµhai = 0 izan behar dela ikusiko dugu. Horrek
espazioko infinituan multipleteen faseak korrelazioan jarriko ditu; hau da, ha ∼ e inqaθ
erlazioa bete beharko da. Gainera,
Aθdθ ∼ −ndθ (4.58)
erlaziotik eremu magnetikoaren fluxuaren kuantizazioa lortuko dugu. Kontuan hartu gure
konfigurazioaren kasuan, B < 0 dugula n = 1 denean. Energia finitu izatearen baldintza
erabiliz, eskalarrak huts-barietatean egon behar direla ikusiko dugu baita ere; hau da,
H 1
2
= H 2
1
= 0 eta H 2
2
− H 1
1
= 1
2 .
Eremu eskalarrak hai = rai e i χai eran idatziz gero,
moduan idatziko dugu lagrangearra.
Gauge-eremuaren masa r 2 11 + r2 12 + r2 21 + r2 22
χ11 − χ12 = χ21 − χ22 + 2mπ , (4.59)
r11 r12 − r21 r22 = 0 , (4.60)
(r11) 2 + (r22) 2 − (r12) 2 − (r21) 2 = 1 (4.61)
da. huts-aukeratzearen efektua kasu honetan
ere gertatzen bada, orduan, (4.60,4.61) ekuazioak kontutan hartuz, masa horren minimi-
zazioak h12 = h21 = 0 emaitza aurresango du. Berau benetan gertatuko dela frogatzeko,
berridatzi dezagun energia ondoko eran
E = d 2 B 1
x + (H1 − H 2 1
2 + 2 ) 2 1
+ (H2 + H 2
1 )2 + (i H 1 2
2 − i H1 )2 +

4.4 N =2 QED supersimetrikoa – Sektore Bosoidarra 119
|(D1 + iD2)h11| 2 + |(D1 − iD2)h12| 2 + |(D1 + iD2)h21| 2 + |(D1 − iD2)h22| 2
d 2 xB , (4.62)
− 1
2
eta lortu ditzagun hortik Bogomol’nyi-ren ekuazioak:
(D1 + iD2)h11 = 0 , (D1 − iD2)h22 = 0 ; (4.63)
(D1 − iD2)h12 = 0 , (D1 + iD2)h21 = 0 ; (4.64)
B + [H 1
1
H 2
1 = H 1
2 = 0 ; (4.65)
− H 2
2
+ 1/2] = 0 . (4.66)
Oharra: H 2
1 = 0 dela kontuan hartuz, D+H 2
1 = 0 izan behar da; eta hori betetzeko,
D+h11 = D+h ∗ 12 = D+h21 = D+h ∗ 22
zeinuen aukera ez da hautazkoa.
= 0 gertatu behar da; beraz, gradiente-gaietako ±
Hipermultiplete eskalarren ardatz-simetriako konfigurazio orokorrena ondokoa da [4]
h1 ≡
h11(r)
h12(r)
e iθ , h2 ≡
h21(r)
h22(r)
e i ∆ e −iθ ;
Aθ = a(r) , Ar = 0 . (4.67)
Bogomol’nyi-ren ekuazioen analisia egiteko, (h11, h21) eta (h∗ 22 , h∗12 ) bikoteak aurreko atale-
ko N =1 ereduko (h11, h21) eremu bikoteen joera berbera dutela konturatzearekin nahikoa
da: beren karga ±1 da, eta (4.66) ekuazioko kortxetean +1, -1 zeinuarekin daude. Beraz,
(4.64) betetzeko aukera bakarra honako hau da
h12 = h21 = 0 . (4.68)
Emaitza honek (4.65) ekuazioa zuzenean beteteko du. Konfigurazio horiek bektorearen
masa minimizatuko dute; eta, kasu horretan, huts-aukeratzea gertatuko dela ondorioz-
tatuko dugu (ohar gaitezen bigarren hipermultipletea kenduz gero, huts-aukeratzearen
efektuak zurrunbilo topologikoa emango duela h11 eremuan [39, 43, 59]).
Horrela, (4.63), (4.66) ekuazioak geratuko zaizkigu, eta horiek eredu erdilokalaren Bogo-
mol’nyi-ren ekuazioak dira [92] hain zuzen ere, (h11, h∗ 22 ) eremu-bikoterako. Soka horiek

120 Defektuak eredu supersimetrikoetan
[45, 49, 55] lanetan aztertu dituzte; eta 1.3 atalean deskribatu ditugunez, hemen emaitzak
baino ez ditugu aipatuko. n = 1 kasurako, (4.67) ansatz-aren osagai ez-nulu bakarrak
h11
h ∗ 22
=
iθ f(r)e
g(r)e i∆
(4.69)
dira (SU(2) biraketak salbu), non ∆, f(r) eta g(r) funtzio errealak diren: f(0) = 0,
f(∞) = 1 eta g(0) = 0, g(∞) = 0 muga baldintzak beteko dituztenak. Funtzio hauek 1.3.1
atalean lortutako eredu erdilokaleko profilak dituzte. Bi funtzioak erlazionatuta daudela
ikus genuen atal horretan:
f(r)
g(r) = q0 , (4.70)
r
non q0 soluzio ezberdinak izendatuko dituen parametroa den. q0 bakoitzerako, a(r) gauge-
-eremua (D1 + iD2)h11 = 0 baldintzatik askatuz lor daiteke.
g funtzioak biribilkapenik ez duenez, muinean kondentsatu eskalarra dugu; hots, g(0) = 0.
Ohartu gaitezen baita ere h11 eta h ∗ 22 eremuen arteko SU(2) transformazioak ez direla
N = 2 supersimetriak emandakoak, hipermultiplete desberdineko osagaiak erlazionatuko
baititu. Modu nuluak ez du simetria global bi horiekiko menpekotasunik, infinituko muga-
-baldintzak ez baititu aldatuko.
1.3.1 atalean ikusi dugunez, zabalera desberdineko “zurrunbilo” magnetikoko multzo uni-
parametrikoa dago: Nielsen-Olesen zurrunbilotik hasi (q0 = 0 kasua) eta zurrunbiloaren
muinaren zabalkuntza mugagabea izateraino (q0 → ∞ kasua).
Azkenik, potentzialaren norabide lau bati dagokio modu nulua: bektorearen masa beti mi-
nimoa den norabideari. Hortaz, huts-aukeratzearen efektuak ez du Nielsen-Olesen soluzioa
aukeratuko beste zurrunbilo “zabalagoen” artean. Izan ere, erradio geroz eta handiagoko
fluxu-hodietarantz joko du sistemak [66]. Ondorioz, eredu horretan fluxu magnetikoa ez
da konfinatuko neurri zehatzeko hodietan. Ikuspuntu kosmologikorako, zabalera infinituko
hodiranzko erlajazioaren denbora-eskala oso garrantzitsua da, baina lan honetatik kanpo
dago analisi hori; halere, argi dago bortoien eraketa ez dela emango.

4.4 N =2 QED supersimetrikoa – Sektore Bosoidarra 121
4.4.2 N =2 Supersimetria-apurketa bigunerako masa-gaiak
Atal honetan, aurreko atalean ikertutako ereduaren Higgs eskalarrei supersimetria apur-
tzen duten masa-gai bigunak gehituko dizkiegu, eta lortutako zurrunbiloak aztertu (ikus
4.3.3 atala).
Sistemaren energia (eskala aldaketarik gabe) ondoko hau da
E = d 2 x1
|Dµh11|
2
2 + |Dµh12| 2 + |Dµh21| 2 + |Dµh22| 2 + 1
2 B2
+(H 1
1 − H 2
2 + η2
2 )2 + (H 1
2 + H 2
1 ) 2 + (i H 1
2 − i H 2
1 ) 2
+m 2 11 |h11| 2 + m 2 12 |h12| 2 + m 2 21 |h21| 2 + m 2 2
22 |h22|
⎤
⎦ , (4.71)
non, (4.56) lagrangearraren moduan, Dµ = ∂µ + i(qa)Aµ den ( qa = +q, −q) eta H i
j =
−(qa/2) h ∗ ai haj. Notazioa erraztearren η 2 = |q|ω 2 definitu dugu.
Jatorrizko ereduak, SU(2) simetria du U(1) gauge-simetriaz gain, (h11 eta h ∗ 22 ) eta (h12 eta
h∗ 21 ) beren artean erlazionatuko dituena. Soka erdilokalak lortzearen arrazoia zen simetria
hori. Beraz, m11 = m22 masa desberdinak gehitzean Nielsen-Olesen zurrunbiloak lortzea
espero dugu, masa desberdinek SU(2) simetria apurtuko baitute.
Eremu eskalarrak hai = raie iχai moduan idatziz, potentziala honela idatzi daiteke
V = 1
−r2 11 + r
8
2 21 + r2 12 − r2 22 + η2 2 2
+ 4r11r 2 12 + 4r2 21r2 22
− 8 (r11r12r21r22cos(χ11 + χ22 − χ12 − χ21) ) )
2
m11r 2 11 + m212 r2 12 + m221 r2 21 + m222 r2
22 . (4.72)
+ 1
2
Potentzialaren minimoa lortzeko, cos(χ11+χ22 −χ12 −χ21) maximizatu behar dugu; bada,
χ11+χ22−χ12 −χ21 = 0 mod 2π izan behar da. Huts-barietatea kalkulatzeko, (4.72) V -ren
δV
bariazioa egin behar dugu eremu guztiekiko; hau da, δrai
lortuko ditugu:
= 0, eta ondoko mutur hauek
r 2 11 = η2 − 2m 2 11 , r12 = r21 = r22 = 0 ; (4.73)
r 2 12 = −η2 − 2m 2 12 , r11 = r21 = r22 = 0 ; (4.74)

122 Defektuak eredu supersimetrikoetan
r 2 21 = −η2 − 2m 2 21 , r11 = r12 = r22 = 0 ; (4.75)
r 2 22 = η2 − 2m 2 22 , r11 = r12 = r21 = 0 ; (4.76)
r11 = r12 = r21 = r22 = 0 , (4.77)
masa guztiak desberdinak direnean. r12 = 0 eta r21 = 0 dituzten soluzioek balio ez dutela
ikus dezakegu; hortaz, bakarrik hiru minimo izan ditzakegu.
Potentzialaren bigarren deribatuak aztertuz, minimoa gertatu daitekeen hiru egoera aur-
kituko ditugu:
Eremuen masak η2 baino handiagoak badira (η2 < 2m2 11 , 2m222 ), potentzialaren minimoa
rij = 0 puntuan emango da; eta, beraz, ez dugu zurrunbilo posiblerik izango. Beste bi
minimoak r11 edo r22 eremuetarako Nielsen-Olesen zurrunbiloei dagozkie; eta, m11 eta
m12 masen balioen arabera, batean ala bestean eratuko dira. m2 11 < m2 η2
22 , 2 kasurako
Nielsen-Olesen zurrunbiloa h11 eremuan eratuko da. Bestalde, m2 22 < m2 η2
11 , kasuan, h22
2
eremuan.
m11 = m22 < η 2 /2 kasu berezia da, h11 eta h ∗ 22
eremuen arteko SU(2) simetria ez bai-
ta apurtu, eta aurreko ataleko soka erdilokalak berreskuratuko ditugu. Kasu horretan,
minimoak
r 2 11 + r 2 22 = η 2 − 2m 2 11
dira, soluzio-familia osoa dugu [55]; horietako bat Nielsen-Olesen soka da.
(4.78)
Hortaz, m11 m22 masen balioen arabera kasu desberdinak ditugula ondoriozta dezake-
gu: sokarik eratuko ez direla; soka erdilokalak eratuko direla; eta sistemak h11 edo h22
eremuetan Nielsen-Olesen zurrunbilo egonkorrak eratu ditzakela.
4.5 N =2 QED supersimetrikoa – Fermioiak
4.4.1 atalean aztertutako N =2 QED eredu supersimetrikoari dagozkion modu nulu fer-
mioidar erako soluzioak ikertuko ditugu. Ikusi dugunez, sektore bosoidarrean, huts-au-
keratzearen efektuaren bidez zenbait huts aukeratuko dira huts poible guztien artean;
baina, efektua ez da nahikoa konfinamendu magnetikoa lortzeko. Sektore fermioidarrak

4.5 N =2 QED supersimetrikoa – Sektore Fermioidarra 123
huts-aukeratzea aldatu dezakeen ikusi nahi dugu; eta, agian, konfinamendua lortu. Soluzio
horiek higidura-ekuazio fermioidarrak askatzen lor daitezke; orokorrean, zailtasun handiko
lana dena. Baina gure eredua supersimetrikoa denez, soluzio bosoidarren transformazio
supersimetrikoak emango dizkigu hainbat modu nulu fermiodar zuzenean [32]. Prozedura
honek sokaren zeharreko planoan estatiko diren soluzioak emango dizkigu, eta gero t eta
z aldagaiekiko menpekotasuna ezarriko dugu.
Modu nulu erako soluzioei buruz hitz egitean zera esan nahi dugu: akzioa aldaezin utziko
duten soluzioak –edo konfigurazio estatikoetan, energia aldaezin utziko dutenak, gauza
berbera baita– eta beren higidura-ekuazioak beteko dituztenak. Konfigurazio jakin baten
transformazio supersimetrikoak energia aldaezin utziko du. Are gehiago, transformatuko
dugun konfigurazioa higidura-ekuazio bosoidarren soluzio da; eta, beraz, transformazio
horren bidez lortutako fermioiek beren higidura-ekuazioak automatiokoki beteko dituzte.
Hortaz, higidura-ekuazio bosoidarrak betetzen dituzten konfigurazio bosoidar estatikoen
supersimetria-transformazioen bidezko modu-fermiodarrak modu nulua dira zuzenean.
Hurrengo atalean, arestian aipatutako transformazio-supersimetrikoa erabiliko dugu modu
nulu fermioidarrak esplizituki lortzearren. Huts-aukeratzearen efektua ez dutela aldatuko
ikusiko dugu; baina, halere, defektuaren muinean nuluak ez diren eskalar eremuei lotutako
fermioiak lortuko ditugu, harrigarria dena. 4.5.2 atalean modu nulu fermioidarrei dagoz-
kien higidura-ekuazioak aztertuko ditugu, eta kondentsatu eskalarrei lotutako moduak
ulertzen saiatuko gara.
4.5.1 Modu nulu fermioidarrak
Gure sistemaren fermioi-edukia 1 honako hau da: hipermultipleteetatik datozen bi higgsino
(ψ1 eta ψ2 bi Dirac-fermioi), eta multiplete bektorialetik datozen bi gaugino (λ 1 eta λ 2 bi
Majorana-fermioi sinplektikoak).
N =1 supersimetriaren hizkuntza erabiliz, ondoko hauek dira gauginoak: N =1 multiple-
te bektorialaren gauginoa eta multiplete kiral neutroaren higgsinoa (neutroa multiplete
bektorialarekiko). Supersimetria-sortazile biak (ξα(1), ξα(2)) nahastatu egingo ditugu ǫ 1 , ǫ 2
1 Ikus A eranskina hitzarmenak jakiteko.

124 Defektuak eredu supersimetrikoetan
Majorana-fermioi sinplektikoak lortzeko:
ǫ 1
−i ξα(2)
=
¯ξ ˙α(1)
, ǫ 2
i ξα(1)
=
¯ξ ˙α(2)
. (4.79)
Aztertu nahi dugun ereduaren lagrangearra (4.56) ekuazioak emandakoa da, ondoko su-
persimetria-transformazioekiko aldaezina dena [4, 88]
δhai = 2 ¯ǫi ψa ;
δψa = −i ǫ i Fai − (i γ µ Dµ + M + γ 5 N) ǫ i hai ;
δFai= 2 ¯ǫi (γ µ Dµ + i M − i γ5 N)ψa − 2¯ǫj λ j hai ;
δAµ = i ¯ǫi γµ λ i ;
δM = i ¯ǫi λ i ;
δN = i ¯ǫi γ 5 λ i ;
δλ i = − i
2 σµν ǫ i Fµν − γ µ ∂µ (M + γ 5 N) ǫ i − i ǫ j τ i
j D ;
δ D = ǫi τ i
j γ µ ∂µλ j . (4.80)
Erabil ditzagun (4.80) ekuazioak hondoan 4.4.1 ataleko soka bosoidar erdilokala duen sis-
temaren transformazio supersimetrikoa kalkulatzeko. Transformazio ez-nulua duten eremu
bakarrak fermioiak dira, bosoiak fermioi bihurtuko baitira; eta horiek, nuluak dira hon-
doko konfigurazioan.
Gure hitzarmenen arabera (A eranskina)
γ µ
0
=
¯σ
µ σ µ
,
0
(4.81)
non σ µ = (1, σ), ¯σ µ = (1, −σ) eta σ i Pauli-matrizeak diren.
Higgisnoak eta gauginoak era esplizituagoan idatz daitezke, honela hain zuzen:
δψ(1) = − i 1 2
(D1 − iD2)h11 γ + iγ
2
ǫ (1) 1 2
+ (D1 + iD2) h12 γ − iγ ǫ (2) ;
δψ(2) = − i 1 2
(D1 + iD2) h22 γ − iγ ǫ (2) 1 2
+ (D1 − iD2)h21 γ + iγ ǫ (1) ;
2
δλ (1) = γ 1 γ 2 ǫ (1) B − i H 1
1
δλ (2) = γ 1 γ 2 ǫ (2) B + i H 1
1
− H 2
2
− H 2
2
1 (1)
+ ǫ ; 2
(2)
ǫ , (4.82)
+ 1
2

4.5 N =2 QED supersimetrikoa – Sektore Fermioidarra 125
non (4.63,4.64,4.65,4.66) Bogomol’nyi-ren ekuazioak erabili ditugun; hau da,
(D1 + iD2)h11 = 0 , (D1 − iD2)h22 = 0 ;
(D1 − iD2)h12 = 0 , (D1 + iD2)h21 = 0 ;
H 2
1
B + [H 1
1
= H 1
2
− H 2
2
= 0 ;
Ondoko ekuazioen arabera definitu ditugu Di eragileak:
Dj = ∂j + iAj on h11 , h12 ;
+ 1/2] = 0 . (4.83)
Dj = ∂j − iAj on h21 , h22 . (4.84)
Sokak 1-BPS
asetuak izatea espero dugu [103] (ikus 4.2.1 atala); beraz, saia gaitezen
2
supersimetria-transformazioaren zati apurtua eta ez-apurtua lortzen, i.e., lor ditzagun
modu nulu fermioidarrak. Ondoko proiektoreak erabili ditzakegu horretarako
P± ≡ 1
1 2
1 ± iγ γ 2
, (4.85)
eta gure hitzarmenen arabera,
Proiektore horiek, P 2 ±
propietateak beteko dituzte:
P+ ≡ diag(1, 0, 1, 0) , P− ≡ diag(0, 1, 0, 1) . (4.86)
= P †
± = P± eta P±P∓ = 0 propietateak betetzeaz gain, ondoko
γ 1 P± = P∓γ 1 ;
γ 2 P± = P∓γ 2 ;
P±γ 1 = ±iP±γ 2 . (4.87)
Funtsean, γ 5 matrizearen bertsio bi-dimentsionala da iγ 1 γ 2 konbinazioa, , sokaren zehar-
kako planoan jardungo duena. Fermioiei proiektore horien bidez eraginez ondoko adieraz-
penak lortuko ditugu:
P+δψ(1) ≡ δψ(1)+ = −i (D1 − iD2) h11γ 1 P−ǫ (1) = −2iD1h11γ 1 P−ǫ (1) ;
P−δψ(1) ≡ δψ(1)− = −i (D1 + iD2)h12γ 1 P+ǫ (2) = 0 ;
P+δψ(2) ≡ δψ(2)+ = −i (D1 − iD2) h21γ 1 P−ǫ (1) = 0 ;
P−δψ(2) ≡ δψ(2)− = −i (D1 + iD2)h22γ 1 P+ǫ (2) = −2iD1h22γ 1 P+ǫ (2) , (4.88)

126 Defektuak eredu supersimetrikoetan
eta
P+δλ (1) ≡ δλ (1)
+ = −i B + H 1 2
1 − H2 + 1P+ǫ (1) = 0 ;
P−δλ (1) ≡ δλ (1)
− = i B − H 1 2
1 + H2 − 1P−ǫ (1) = 2iBP−ǫ (1) ;
P+δλ (2) ≡ δλ (2)
+ = −i B − H 1 2
1 + H2 − 1P+ǫ (2) = −2iBP+ǫ (2) ;
P−δλ (2) ≡ δλ (2)
− = i B + H 1
1 − H 2
2 + 1 P−ǫ (2) = 0 . (4.89)
δψ(1)− eta δψ(2)+ fermioiak BPS egoeretarako nuluak izatearen arrazoia, (4.68) huts-au-
keratzearen efektuan datza.
h12 = h21 = 0 . (4.90)
Argi ikus daitekeenez, P−ǫ (1) eta P+ǫ (2) sortzaileek modu nulu fermioidarrak sortuko dituz-
te; bestalde P+ǫ (1) eta P−ǫ (2) apurtu gabeko supersimetrien sortzaile dira. Ohartu gaitezen
bi kiralitateko modu nulu fermioidarrak ditugula, N =2 supersimetria ez-kirala baita.
4.5.2 Higidura-ekuazio fermioidarrak
Atal honetan, modu nulu fermioidarren egitura aztertuko dugu, beren higidura-ekuazioak
zuzenean aztertuz, supersimetriarik erabili gabe. Bi-espinore notazioa erabiliko dugu:
δψ(1) ≡
φα(1)
¯χ ˙α (1)
, δψ(2) ≡
φα(2)
¯χ ˙α (2)
, δλ (1) ≡
−iΛα(2)
¯Λ ˙α(1)
, δλ (2) ≡
iΛα(1)
¯Λ ˙α(2)
.
(4.91)
Ondoko eran definitu daitezke proiektoreak i-espinore notazioan
1 0
0 0
σ+ = , σ− = . (4.92)
0 0
0 1
Notazio horretan, arestian aurkitutako modu nuluak ondoko hauek dira
φα(1) = −2iD1h11σ 1 σ− ¯ ξ ˙α(1) ;
¯χ ˙α(1) = −2D1h11¯σ 1 σ−ξα(2) ;
φα(2) = −2iD1h22σ 1 σ+ ¯ ξ ˙α(2) ;
¯χ ˙α(2) = 2D1h22¯σ 1 σ+ξα(1) ;
Λα(1) = −2iBσ+ξα(1) ;
Λα(2) = 2iBσ−ξα(2) , (4.93)

4.5 N =2 QED supersimetrikoa – Sektore Fermioidarra 127
non h11, h22 eta B eremuek (4.83) ekuazioak beteko dituzten.
Egin dezagun (4.56) lagrangearraren bariazioa higidura-ekuazio fermioidarrak lortzeko,
zurrunbilo bosoidarraren hondoa erabiliz. Gogoratu hondoko zurrunbilorako Bogomol’nyi-
ren ekuazioak (4.83) direla; eta huts-aukeratzearen efektuak h12 = h21 = 0 aukertu
duela. Eremu bosoidar guztiek ez dute t edo z aldagaiekiko menpekotasunik. Orduan,
higidura-ekuazio fermioidarrak ondoko hauek dira:
(¯σ µ ) Dµφ(1) − ¯ Λ (1) h11 = 0 ;
(σ µ ) Dµ¯χ(1) + iΛ(2)h11 = 0 ;
(¯σ µ )Dµφ(2) + ¯ Λ (2) h22 = 0 ;
(σ µ ) Dµ¯χ(2) + iΛ(1)h22 = 0 ;
(σ µ ) ∂µ ¯ Λ (1) + h ∗ 11 φ(1) + iχ(2)h22 = 0 ;
(σ µ )∂µ ¯ Λ (2) − h ∗ 22φ(2) + iχ(1)h11 = 0 . (4.94)
z aldagaiarekiko menpekotasunik ez duten (4.93) konfigurazio estatikoek ekuazio horiek
betetzen dituztela froga daiteke. Aztertu dezagun φ(1) eremuaren (4.94) higidura-ekuazioa
˙α = 1 kasurako (t, z) aldagaiekiko menpekotasuna lortzeko asmoz:
(¯σ µ ) ˙1α Dµφα(1) − ¯ Λ ˙1(1) h11 = 0 ⇒ (¯σ µ ) ˙1α Dµφα(1) = 0 ⇒
(¯σ 0 ) ˙11 D0φ1(1) + (¯σ 3 ) ˙11 D3φ1(1) = (∂0 − ∂3)φ1(1) = 0 ⇒ φ(1) ∝ t + z . (4.95)
Gainontzeko (4.94) ekuazioen analisia burutuz, hiru fermioi (t−z) konbinazioaren funtzio
direla ikusiko dugu; eta horrenbestez, z norabide positiboan higituko dira. Beste hirurak
z norabide negatiboan higituko dira, (t + z) konbinazioaren funtzio baitira:
φα(1), χα(2), Λα(1) → t + z ;
φα(2), χα(1), Λα(2) → t − z . (4.96)
Fermioiak aurkako norazkotan higitzea ez da harrigarria, N = 2 supersimetria berez ez-
-kirala baita; eta eredu honetan ez baitugu apurtu. Izan ere, t + z menpekotasuna du-
ten fermioiak ξ(1) sortzailearekiko proportzionalak dira; eta besteak ξ(2) sortzailearekiko.

128 Defektuak eredu supersimetrikoetan
(t, z) aldagaiekiko menpekotasuna dakigunez, modu nuluen (r, θ) menpekotasuna kalku-
latu behar dugu.
Hondoko soka konfigurazioak, (4.69) familiak osatutakoa da; hots,
iθ
h11 f(r)e
=
g(r)ei∆
, (4.97)
eta
h ∗ 22
f(r)
g(r) = q0 . (4.98)
r
Familia osoaren artean Nielsen-Olesen soka aukera dezakegu h22=0 eginez; horrek, (4.94)
ekuazioetako sei Weyl-fermioietatik bi ezereztatuko ditu: φ(2) = ¯χ(2) =0. Egoera hori [59]
erreferentzian aztertu zuten, eta guk emaitza berdinak lortu ditugu. Are gehiago, supersi-
metria-sortzaile bietatik bat kenduz gero, Nielsen-Olesen soka berreskuratuko dugu, baina
fermioiak kiralak izango dira; eta noranzko batean bakarrik higituko dira [32]. Horiek gure
emaitzen egiaztapenak dira.
Egoera aldatu egingo da h22=0 denean. φ(2) eta χ(2) fermioiak h22 eremuari lotuta daude;
eta h22 eremua ez da nulua r = 0 puntuan (gogora dezagun orokorrean g ez dela nulua
izango sokaren muinean). Hori harrigarria iruditu dakiguke: askotan esan ohi denez, soken
muineko modu nulu fermioidarren zergatia da fermioiei dagozkien bosoiak muinean nuluak
direla. (4.97) ansatz-a erabili nahi dugu fermioi horiek idazterakoan. Koordenatu polarrak
erabili ditugunez, σ 1 eta σ 2 matrizeen eginkizuna σ r eta σ θ matrizeek beteko dute (ikus
A eranskina):
φ(2) = −2i ∂rg(r) e iθ
0
¯ξ ˙1(2)
;
χ(2) = −2 ∂rg(r) e −iθ
¯ξ ˙2(1)
, (4.99)
0
non ∆ = 0 aukeratu dugun. 4.3 irudian ikus daitekeenez, biak zerorantz doaz r = 0
puntuan. Bi fermioi hauek biribilkapena duten bakarrak dira, beste higssinoak honela
idatziko baititugu:
˙2(1) ¯ǫ
φα(1) = −2i ∂rf(r) ;
0

4.5 N =2 QED supersimetrikoa – Sektore Fermioidarra 129
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
f’(r)
χα(1) = 2 ∂rf(r)
0
0 1 2 3 4 5 6 7
r
0.1
0.5
1.0
2.0
ǫ2(2)
0
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
. (4.100)
g’(r)
-0.1
-0.12
-0.14
0.1
0.5
1.0
2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4.3 irudia: (4.97) eta (4.98) ekuazioek emaniko f(r) eta g(r) funtzioen deribatuen profilak, q0
parametroaren balio ezberdinetarako.
Higidura-ekuazio fermioidarrak aztertzearren; eta kondentsatu eskalarraren eta fermioien
arteko lotura ulertzearren, (4.94) Dirac-en ekuazioak bigarren ordenako ekuazio bihurtuko
ditugu. Horretarako σ · D eta ¯σ · D eragileak erabiliko ditugu, non σ · D = σ 1 D1 + σ 2 D2
eta ¯σ 1,2 = −σ 1,2 diren, ondokoa ekuazioak lortuz:
(✷ + σ 3 B + |h11| 2 )φ(1) + ih11h22χ(2) − (σ · D)h11 ¯ Λ (1) = 0 ;
(✷ + σ 3 B + |h22| 2 )χ(2) − ih ∗ 11 h∗ 22 φ(1) + i(σ · D)h ∗ 22 ¯ Λ (1) = 0 ;
(✷ + |h11| 2 + |h22| 2 ) ¯ Λ (1) + (¯σ · D)h ∗ 11 φ(1) + i(¯σ · D)h22χ(2) = 0 ;
(✷ − σ 3 B + |h22| 2 )φ(2) − ih11h22χ(1) + (σ · D)h22 ¯ Λ (2) = 0 ;
(✷ − σ 3 B + |h11| 2 )χ(1) + ih ∗ 11 h∗ 22 φ(2) + i(σ · D)h ∗ 11 ¯ Λ (2) = 0 ;
(✷ + |h11| 2 + |h22| 2 ) ¯ Λ (2) − (¯σ · D)h ∗ 22φ(2) + i(¯σ · D)h11χ(1) = 0 . (4.101)
Lau-fermioi notzioan bezela (4.5.1 atala), bi-proiekzio eragileak erabiliko ditugu kasu ho-
netan. Edozein Ψ bi-espinoretarako, Ψ± proiektatutako bi-espinoreak Ψ± ≡ σ±Ψ moduan
definituko ditugu, non σ± (4.92) ekuazioan definitu ditugun.
Apurtu gabeko supersimetriari dagozkion fermioiak dira (4.101) ekuazioen erdia; hots,
ondoko hauek:
(✷ − B + |h11| 2 )φ(1)− + ih11h22χ(2)− = 0 ;
r

130 Defektuak eredu supersimetrikoetan
(✷ − B + |h22| 2 )χ(2)− − ih ∗ 11 h∗ 22 φ(1)− = 0 ;
(✷ + |h11| 2 + |h22| 2 ) ¯ Λ (1)
+ = 0 ;
(✷ − B + |h22| 2 )φ(2)+ − ih11h22χ(1)+ = 0 ;
(✷ − B + |h11| 2 )χ(1)+ + ih ∗ 11 h∗ 22 φ(2)+ = 0 ;
(✷ + |h11| 2 + |h22| 2 ) ¯ Λ (2)
− = 0 . (4.102)
Ekuazio horiek modu honetara uler ditzakegu: fermioiek posizioaren menpekotasuna duten
masa (karratua) dute; zeren eta diagonalizatu eta gero, sei ekuazio horiek ✷Ψ+M 2 Ψ = 0
eran idatziko ditugu, non
M 2 = diag(−B + |h| 2 , −B, |h| 2 , −B + |h| 2 , −B, |h| 2 ) , (4.103)
eta |h| 2 = |h 2 11 | + |h22| 2 diren. Ohar gaitezen M 2 matrizea ez dela fermioien masa-matri-
zearen karratuaren berdina, deribatuak dituzten gaiak daudelako (bereziki, M 2 matrizean
eremu magnetikoa agertuko zaigu; eta gauge-aldaezina da). Matrize biak berbera dira, nos-
ki, hondo bosoidar konstantetarako. Egiaztapen gisa, muinetik hurrun fermioien masak
berreskuratuko ditugu. Hain zuzen ere, B → 0, h11 → 1 eta h22 → 0 dira r → ∞ doa-
nean; eta diagonaleko gaiak (1, 0, 1, 1, 0, 1) izango dira, kiralitate bakoitzeko higgsinoari,
goldstinoari eta gauginoari dagozkienez.
Gogra dezagun erabiltzen ari garen signatura (+, −, −, −) dela. Sokaren zeharreko planoko
laplacearra ✷ = −∇ 2 da. Beraz, denborarekiko independente diren Schrödinger-en ekuazio
dira (4.102) ekuazioak, (r, θ) aldagaietan; eta, enegia nuluko egoeren bila gabiltza. Nabaria
denez, “potentziala” positiboa bada puntu guztietarako, ez dago energia nuluko egoera
propiorik. (4.103) ekuazioetako M 2 funtzioak positiboak dira puntu guztietarako; eta,
beraz, ez dago (4.102) ekuazioen soluzio normalizagarririk. Ekuazio horiek Ψ ∗ eremuaz
biderkatuz eta zatikako integrazioa eginez ikusiko dugu:
−Ψ (∇Ψ)
∗ 2 2 ∗ 2 2 2
∇ Ψ + M Ψ Ψ = 0 ⇒ + M |Ψ| = 0 . (4.104)
Beraz, fermioien osagai horiek guztiak zuzenean nuluak dira beren higidura-ekuazioak di-
rela eta. Emaitza hori supersimetria-transformazioak erabiliz lortutako (4.94) soluzioekin
bat dator.

4.5 N =2 QED supersimetrikoa – Sektore Fermioidarra 131
Ekuazioen beste erdia ondoko hauek dira:
(✷ + B + |h11| 2 )φ(1)+ + ih11h22χ(2)+ − 2σ 2¯ Λ (1)
− D2h11 = 0 ;
(✷ + B + |h22| 2 )χ(2)+ − ih ∗ 11h ∗ 22φ(1)+ + 2iσ 2¯ Λ (1)
− D2h ∗ 22 = 0 ;
(✷ + |h11| 2 + |h22| 2 )σ 2¯ Λ (1)
− − 2φ(1)+D2h ∗ 11 − 2iχ(2)+D2h22 = 0 ;
(✷ + B + |h22| 2 )φ(2)− − ih11h22χ(1)− + 2σ 2¯ Λ (2)
+ D2h22 = 0 ;
(✷ + B + |h11| 2 )χ(1)− + ih ∗ 11h∗22 φ(2)− + 2iσ 2¯ (2)
Λ + D2h ∗ 11 = 0 ;
(✷ + |h11| 2 + |h22| 2 )σ 2¯ Λ (2)
+ + 2φ(2)−D2h ∗ 22 − 2iχ(1)−D2h11 = 0 , (4.105)
non, berriro ere, (4.83) Bogomol’nyi-ren ekuazioak erabili ditugun.
Ekuazio horiek mihiztatutako hiru ekuazioz osotutako multzo bi dira 2 ; eta lortutako masa-
-matrizeak diagonalizatu nahi ditugu:
⎛ ⎞ ⎛
φ(1)+ B + |h11|
⎜ ⎟ ⎜
✷⎝
χ(2)+ ⎠ + ⎝
2 ih11h22 −2D2h11
⎛
⎜
✷⎝
σ 2¯ Λ (1)
−
φ(2)−
χ(1)−
σ 2¯ Λ (2)+
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ + ⎝
−ih ∗ 11h ∗ 22 B + |h22| 2 2iD2h ∗ 22
−2D2h ∗ 11 −2iD2h22 |h11| 2 + |h22| 2
B + |h22| 2 −ih11h22 2D2h22
ih ∗ 11h ∗ 22 B + |h11| 2 2iD2h ∗ 11
2D2h ∗ 22 −2iD2h11 |h11| 2 + |h22| 2
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ ⎝
φ(1)+
χ(2)+
σ 2¯ Λ (1)
−
φ(2)−
χ(1)−
σ 2¯ Λ (2)+
⎞
⎟
⎠ = 0 (4.106)
⎞
⎟
⎠ = 0 (4.107)
Kalkulua errazteko, lehenengo multzoa soilik aztertuko dugu. Ekuazioen analisi osoa ko-
rapilatsua da; eta lehenengo, familia erdilokalaren kide bat, Nielsen-Olesen soka, ikertuko
dugu. Kasu honetan q0 = 0 da; beraz, h22 = 0. χ(2)+ eta φ(2)− espinoreak ez daude beste
espinoreekin lotuta; eta beren masa karratua B da, sokaren muinean negatiboa dena eta
infinituan nulua. Hortaz, h22 eremuarekin lotuta dagoen fermioia ez du “masa” nulua
muinean, baizik eta “masa” negatiboa.
Diagonalizatu eta gero, beste masa (karratu) gaiak hauek dira:
s± = 1
B + 2|h11| 2
2 ± B2 + 16D2h11D2h∗
11 , (4.108)
eta φ(1)+ eta σ 2¯ Λ (1)
− eremuen konbinaketa linealei dagozkie. r =0 puntuan, masa horienn
zeinuak +, − dira, hurrenez hurren. Infinitoan, masak 1, 1 dira; eta masa egoera-propioak
2 Ohar gaitezen ekuazio-multzo bakoitza kiralitate jakin bateko eta supersimetria-sortziale bakarrak
emandako fermioiei dagozkiola.

132 Defektuak eredu supersimetrikoetan
espinore hutsak dira (elkarrekin konbinatu gabekoak). Hortaz, hiru balio-propioen zeinuak
honela adieraz ditzakegu:
zeinua r → 0 r → ∞
B − 0
s+ + +
s− − 0
(4.109)
Aurreko argudio berbera erabiliz, (s+) balioari dagokion fermioi-konbinaketa nulua da
puntu guztietarako, bere masa karratua positiboa baita puntu guztietan. Beraz, bi fermioi
ditugu soilik: bata h22 eremuari lotuta dagoen higgsinoa; eta, bestea, higgsinoaren eta
gauginoaren konbinaketa.
q0 = 0 kasu orokorrerako, 3 × 3 matrize bi diagonalizatu behar ditugu. M 2 matrizeen
(s1, s2, s3) “balio-propioen” zeinuak +, −, − dira, r = 0 puntuan; eta +, 0, + infinitoan.
“Bektore-propioak” hiru fermioien konbinaketa dira.
zeinua r → 0 r → ∞
s1 + +
s2 − 0
s3 − +
(4.110)
Berriro ere, nulua da masa-karratua edonon positiboa duen “bektore-propioa”; eta, ho-
rrenbestez, “bektore-propio” ez-nulu bi soilik dago. Kasu guztietarako, fermioien masak
infinitoan 1, 0, 1, 1, 0, 1 dira; eta hori, h11, h12, Aµ, h22, h21, M + iN eremuen masekin bat
dator. Horrela izan beharko litzateke, supersimetria ez baitago apurtuta infinituan.
4.6 Ondorioak
Kapitulu honetan, norabide lauak dituzten QED eredu supersimetrikoetako soka kosmo-
logikoak aztertu ditugu, U(1) gauge-simetria Fayet-Iliopoulos D-gaiaren bidez apurtuta
dagoenean. Materia-eremu guztiek karga-balio absolutu berbera duten kasuan, huts-au-
keratzearen efektuak bosoi bektorialaren masa minimizatuko duela frogatu dugu. Eredu
hauen artean, honako hauek aurkitu ditzakegu: [75] erreferentzian aztertutako eredua, aur-
kako kargadun eremu kiral bi dituen N =1 QED eredu supersimetrikoa, eta horren N =2

4.6 Ondorioak 133
supersimetriarako luzapen zuzena den hipermultiplete bakarreko eredua ([59] erreferen-
tzian ikertutakoa). Kasu horietan, huts-aukeratzearen efektuak zurrunbilo topologikoak
emango dizkigu; soluzio horiek Bogomol’nyi-ren bornea beteko dutela frogatu dugu, eta
ondorioz egonkorrak dira.
Potentzialean norabide lauak dituzten eremu eskalarreko zenbait klase orokorragoetan,
i.e., Bogomol’nyi-ren bornetik at dauden zenbait kasutan, huts-aukeratzearen efektua ger-
tatuko dela ikusi dugu. Are gehiago, aukeratutako hutsaren balioa sistemaren Bogomol’nyi-
ren limiteko huts berbera da, parametroaren edozein baliotarako. Gauge-simetria apur-
tuta dagoenez, simulazioetan soka kosmikoak eratuko direla ikusi dugu, eremu bakarrean
sortuko diren Nielsen-Olesen sokak direnak. Beste eremua sistemaren dinamikatik kanpo
geratuko da, huts-aukeratzearen efektua dela eta.
Bestalde, norabide lauak dituzten N = 1 eredu supersimetrikoei supersimetria-apurketa-
rako masa-gaiak gehituz gero, Nielsen-Olesen sokak eratuko dira baita ere, huts-aukera-
tzearen efektuak aukeratutako huts-balio berbera aukeratuz.
Ondoren, |qa| karga berdineko hipermultiplete batzuk dituzten N =2 QED eredu supersi-
metrikorako hedapena ikertu dugu. Kontrako karga duten hipermultiplete biren kasua era
esplizituan ebatzi dugu; eta huts-aukeratzearen efektua emango dela ikusi dugu. Baina
kasu horretan soka erdilokalak sortuko dira. Berriro ere, soka-soluzioak Bogomol’nyi-ren
bornea beteko du, baina modu nulu bat dagoenez (SU(2) errotazioa ez dena), egonkorta-
sun neutrokoa izango da soilik. Barneko askatasun gradu bat edo batzuek parametrizatuko
dute Bogomol’nyi-ren bornea aseko duten soluzio hauek, eta soka-soluzioaren ezberdinak
dira; bereziki, muinaren zabalera nahi bezain handiak izan daiteke.
N =2 kasuarako lortutako emaitzak M hipermultipletedun teoria trukakorretara orokor-
tu daitezke, hipermultipleteek |qa| karga berbera badute. Soka erdilokalak agertuko dira
berriro ere; baina, barne-simetria SU(M) izango da SU(2) izan beharrean [56]. Fluxu
magnetiko kuantizatuta egongo da oraindik ere. Zenbait gauge-eremu dauden kasuan ere
aplikatu daitezke emaitza horiek. Adibidez, II motako supersokak Calabi–Yau barieta-
tean konpaktifatuko den kasuan, non kapitulu honetan aztertutako ereduaren 15 kopia
agertuko diren [50].
Karga desberdina duten hipermultipleteak kontuan hartuz gero, egoera aldatu egingo

134 Defektuak eredu supersimetrikoetan
da. Kasu horretan huts-aukeratzearen efektua zapuztu daiteke; eta aukeratutako huts-
-balioa edo balioak ez dira izango bektorearen masa minimizatuko dutenak. Agertuko
diren zurrunbiloen egitura eta hemen deskribatuak guztiz ezberdinak izan daitezke; muin
bitar edo muin anitzak eta hainbat efektu bitxi ager daitezke; eta oraindik erantzunik
gabeko galdera interesgarri da.
Nahiz eta apurtzeke dagoen teorian soka egonkorrak ager ezin daitezkeen, deskribatu-
tako N = 2 ereduari masa-gaiak gehitutakoan, sistemak Nielsen-Olesen soka egonkorra
aukeratuko du, masa-gai gabeko ereduko soluzio guztien artetik.
Supersimetria dela-eta, sokaren muinean modu nulu fermioidarrak agertuko dira. Super-
simetria-transformazioak erabiliz, modu nuluak aurkitu ditugu era esplizituan. N = 1
ereduetan bortoiak agertzen diren arren [32], ikertutako N = 2 ereduan bortoiak ez dira
agertuko. Modu nulu fermioidarrak ez dute zurrunbiloen egonkortasuna hobetuko; zu-
rrunbiloak ez dira bortoi kiralak bihurtuko. Arrazoia ondokoa da: fermioiek beteko duten
huts-aukeratzearen efektua eta bosoiek beteko dutena, efektu berebera dira. Bestalde,
N = 2 ez-kirala izanik, korronte fermioidarra ez da kirala izango, ez da noranzko baka-
rrean higituko, eta fermioiak bata bestearekin nahastatuko dira.
Egonkortasuna ez da aldatuko fermioien erreakzioaren ondorioz: familiako zurrunbilo guz-
tiek karga topologiko berbera dute; eta, denek beteko dute Bogomol’nyi-ren bornea. Be-
raz, familiako kide guztietarako egongo da supersimetria erdi apurtua. Kasu guztietarako
babestuko du Bogomol’nyi-ren bornea apurtu gabeko supersimetriak; multipleteak labur-
tu egingo baitira (kink supersimetrikoen zuzenketa kuantikoen inguruko analisi zehatzak
erakutsi zuen Bogomol’nyi-ren bornea babesturik dagoela [48, 82]). Beraz, BPS baldintza
familiako kide guztietarako mantenduko da; eta kide guztiek karga topologiko berbera
dutenez, guztien energia berbera izango da. Ondorioz, fermioien erreakzioaren ondorioz
ez da familiako kiderik aukeratuko.
Sistema honetako zenbait fermioi beste arrazoi bategatik dira interesgarriak baita ere: zu-
rrunbiloaren muinean ez-nuluak diren eremu eskalarrei lotuta daude. Zurrunbiloak mui-
nean modu nulu fermioidarrak izatearen arrazoia hau dela aipatu izan da hainbatetan
literaturan: fermioien masak (eskalarrarekin dituzten loturarengatik sortuak) muinean
nuluak dira. Argudio heuristiko hori oker dagoela erakutsi dugu, muinean nulua ez den

4.6 Ondorioak 135
eremu eskalarrarekin, hau da, muinean nulua ez den eremuarekin (h22, soka h11 eremuan
eratu bada) lotutako modu-zeroak era esplizituan kalkulatuz.
Supersimetria erabiliz lorturiko modu nuluak eta higidura-ekuazioen bidez lorturikoak
erlazionatzea interesgarria da. Supersimetriaren bidez lorturiko modu nuluak, sektore bo-
soidarreko modu nulu translazionalekin erlazionaturik daude. Bigarren ordenako higidu-
ra-ekuazioak erabiliz, beste bi modu nulu fermioidar daudela ikus daiteke: sektore bosoi-
darrean, soka erdilokalaren muina hedatuko duen q0 parametroaren aldaketei dagozkien
modu nuluak daude. Modu nulu bosoidar hori muinean masa negatiboa eta infinituan ma-
sagabeak diren modu nulu fermioidarrei dagozkie. Horrela dela ikusteko era bat (hi, ψ, Fi)
mutiplete bakarra dagoen kasua ikertzea da. Kasu horretan, Nielsen-Olesen soka arrunta
eratuko da; eta ez du modu nulu bosoidarrik edukiko. Are gehiago, φ2 eta χ2 espinoreak ez
dira agertuko. Geratuko diren egoera propioen masen karratuak +, −, +, − zeinuak edu-
kiko dituzte r = 0 puntuan; eta +, +, +, + infinitoan. Hortaz, bi egoera propio bakarrik
izango dira ez nuluak. Bigarren hipermultipletea berrezartzerakoan, modu nulu fermioi-
dar berria agertuko da; h22 eremuari dagokion modu nulu bosoidarrarekin erlazionaturik
agoena.
Modu nulu bosoidarraren supersimetria-transformazioa egin genezake baita ere modu
nulu fermioidarra lortzearren. h22 perturbatuko dugu; eta beste eremuak adostu (4.83)
Bogomol’nyi-ren ekuazioak bete ditzaten. Honela, energia berdin mantenduko dugu. q0 =
0 den limitean soka erdilokalak h22 = 0 beteko du; eta h22 ermeuaren perturbazio txiki
batek (δh22 = q0h11(hondo)/r erakoak) ez ditu beste eremuak aldatuko. Horrenbestez, mo-
du nulu horren transformazio-supersimetrikoaren bidez lorturiko modu nulua φ(2) eta χ(2)
espinoreak bakarrik erabiliko ditu.
Infinituan, sokaren zabalera aldatuko duen modu nulua Goldstone-en bosoia da, eta hori
higidura-ekuazio fermioidarren azterketa eginez jabetutakoarekin bat dator: infinituan
masagabeak diren egoera propioak φ(2) edo χ(2) dira, q0 = 0 kasurako.
Soka erdilokal orokorraren kasuan (q0 = 0 kasuan) eremu bosoidar guztiak aldatuko di-
tu sokaren zabalera aldatuko duen perturbazioak; orduan, horiei dagozkien modu nulu
fermioidarrak multzo bakoitzeko hiru espinoreen konbinaketa dira.
Davis, Davis eta Perkins [30] ikertzaileak plazaratutako modu nuluak zenbatzen dituen

136 Defektuak eredu supersimetrikoetan
teorema ez da aplikagarria soka erdilokalen kasuan: eremuetako batek biribilkapenik ez du
muinean; eta teorema eraikitzerakoan hipotesi hori erabili zuten. Hori dela-eta, ezin dugu
teorema erabili kasu honetan lortutako modu nulu fermioidar kopurua jakiteko. Teorema
aplikagarria den kasuan (Nielsen-Olesen sokaren kasuan, i.e., hipermultiplete bakarra), gu-
re emaitzak teoremarekin bat datoz. Soka erdilokalaren kasuan beste modu nulu bi dago,
sokaren zabaleraren aldaketei dagozkienak: modu nulu fermioidarrak modu nulu bosoida-
rrei dagozkienak dira. Soka erdilokalaren Nielsen-Olesen limiterako era esplizituan lortu
ditugu modu nulu horiek. Eredua, Ganoulis eta Lazarides [42] ikerltzaileen modu nuluak
zenbatzen dituen teorematik kanpo geratuko da baita ere: h22 eremua U(1) taldearekiko
karga eduki arren, infinituan zerorantz baitoa. Gure emaitzak Weiberg-en indize-teore-
marekin bat datoz [100] (ikus baita ere [60]): modu nulu berriek kontrako kiralitatekoak
direnez, modu nulu fermioidarren zenbaketa netoan (ezkerrerantz doazen fermioiak ken
eskuinera doazenak) ez dute eraginik izango. Adostasun hori, infinituan neurturiko fluxu
magnetikoa soka erdilokal guztietarako (Nielsen-Olesen soka barne) berbera izatearekin
bat dator.

BIBLIOGRAFIA
[1] A.A. Abrikosov, Sov. Phys. JETP 5, 1174 (1957)
[2] A. Achúcarro, K. Kuijken, L. Perivolaropoulos, T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 72,
3646 (1994)
[3] A. Achúcarro, J. Borrill, A.R. Liddle, Phys. Rev. D 57, 3742 (1998)
[4] A. Achúcarro, M. de Roo, L. Huiszoon, Phys. Lett. B 424, 288 (1998)
[5] A. Achúcarro, J. Borrill, A. R. Liddle, Phys. Rev. Lett. 82, 3742 (1999)
[6] A. Achúcarro, T. Vachaspati, Phys. Rep. 327, 347 (2000)
[7] A. Achúcarro, J. Urrestilla, Phys. Rev. Lett. 85, 3091 (2000)
[8] A. Achúcarro, A.C. Davis, M. Pickles, J. Urrestilla, Phys. Rev. D 66, 105013 (2002)
[9] A. Achúcarro, A.C. Davis, M. Pickles, J. Urrestilla, hep-th/0212125
[10] A. Achúcarro, ondoko liburuan agertuko da: Patterns of symmetry breaking, NATO-
ASI, Ed. J. Dziarmaga, Kluwer Scientific
[11] O. Aharony, A. Hanany, K.A. Intriligator, N. Seiberg, M.J. Strassler,
Nucl. Phys. B499, 67 (1997)
[12] A. Albrecht, ondoko liburuan: Proceedings of 35th Rencontres de Moriond: Energy
Densities in the Universe, Les Arcs, Savoie, France (2000); astrp-ph/0009129
[13] N.D. Antunes, L.M.A. Bettencourt, A. Yates, Phys. Rev. D 64, 065020 (2001)
137

138 Bibliografia
[14] C. Bachas, B. Rai, T.N. Tomaras, Phys. Rev. Lett. 82, 2443 (1999)
[15] D. Bailin, A. Love, Supersymmetric gauge field theory and string theory, Institute of
Physics Publishing, Bristol and Philadelphia (1994)
[16] M. Barriola, A. Vilenkin, Phys. Rev. Lett. 63, 341 (1989)
[17] A.A. Belavin, A.M. Polyakov, JETP Lett. 22, 245 (1975)
[18] D.P. Bennet, S.H. Rhie, Phys. Rev. Lett. 65, 1709 (1990)
[19] V. Berezinsky, B. Hnatyk, A. Vilenkin, Phys. Rev. D 64, 043004 (2001)
[20] P. de Bernardis et al, Nature 404, 955 (2000)
[21] E.B. Bogomol’nyi, Sov. J. Nucl. Phys. 24, 449 (1976)
[22] S. Bonazzola, P. Peter, Astroparticle Phys. 7, 161 (1997)
[23] F.R. Bouchet, P. Peter, A. Riazuelo, M. Sakellariodou, Phys. Rev. D 65, 021301(R)
(2001)
[24] R. Brandenberger, A.C. Davis, M. Hindmarsh, Phys. Lett. B 263, 239 (1991)
[25] R. Brandenberger, B. Carter, A.C. Davis, M. Trodden, Phys. Rev. D 54, 6059 (1996)
[26] B. Carter, P. Peter, Phys. Lett. B 466, 41 (1999)
[27] B. Carter, A.C. Davis, Phys. Rev. D 61, 123501 (2000)
[28] S. Coleman, Aspects of Symmetry, Selected Erice Lectures, Cambridge University
Press (1985)
[29] C. Contaldi, M. Hindmarsh, J. Magueijo, Phys. Rev. Lett. 82, 2034 (1999)
[30] S.C. Davis, A.C. Davis, W.B. Perkins, Phys. Lett. B 408, 81 (1997)
[31] A.C. Davis, W.B. Perkins, Phys. Lett. B 393, 46 (1997)
[32] S.C. Davis, A.C. Davis, M. Trodden, Phys. Lett. B 405, 257 (1997)

4.6 Bibliografia 139
[33] A.C. Davis, T.W.B. Kibble, M. Pickles, D.A. Steer, Phys. Rev. D 62, 083516 (2000)
[34] R.L. Davis, E.P.S. Shellard, Nucl. Phys. B323, 209 (1989)
[35] M.R. Douglas, S.H. Shenker, Nucl. Phys. B447, 271 (1995)
[36] G.H. Derrick, J. Math. Phys. 5, 1252 (1964)
[37] R. Durrer, M. Kunz, A. Melchiorri, Phys. Rept. 364, 1 (2002)
[38] M.A. Earnshaw, M. James, Phys. Rev. D 48, 5818 (1993)
[39] J. D. Edelstein, C. Nuñez, F. Schaposnik, Phys. Lett. B 329, 39 (1994)
[40] J.D. Edelstein, W. García Fuertes, J. Mas, J. Mateos Guilarte, Phys. Rev. D 62,
065008 (2000)
[41] A. Gangui, astro-ph/0110285
[42] N. Ganoulis, G. Lazarides, Phys. Rev. D 38, 547 (1988)
[43] W. García Fuertes, J. Mateos Guilarte, Phys. Lett. B 437, 82 (1998)
[44] J. Garriga, X.Montes, Phys. Rev. Lett. 75, 2268 (1995)
[45] G.W. Gibbons, M.E. Ortiz, F. Ruiz-Ruiz, T.M. Samols, Nucl. Phys. B385, 127 (1992)
[46] G. Glashow, Nucl. Phys 22, 579 (1961)
[47] A.S. Goldhaber, Phys. Rev. Lett. 63, 2158 (1989)
[48] A.S. Goldhaber, A. Rebham, P. van Nieuwenhuizen, R. Wimmer hep-th/0211087
[49] M. Goodband, M. Hindmarsh, Phys. Rev. D 52, 4621 (1995)
[50] B. R. Greene, D. R. Morrison, C. Vafa, Nucl. Phys. B481, 513 (1996)
[51] M. Grooves, W.B. Perkins, Nucl. Phys. B573, 449 (2000)
[52] E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I, nonstiff
problems, Springer Series in Computational Mathematics, Springer-Verlag (1993)

140 Bibliografia
[53] S. Hanany et al., Astrophys. J. 545, L5 (2000)
[54] G. Hardy, J.E. Littlewood, G.Pólya, Inequalities, 2 nd edition, Cambridge University
Press (1973)
[55] M. Hindmarsh, Phys. Rev. Lett.68, 1263 (1992)
[56] M. Hindmarsh, Nucl. Phys. B392, 461 (1993)
[57] M. Hindmarsh, ondoko liburuan: Proceedings of the NATO Workshop on “Electro-
weak Physics and the Early Universe”, eds. J. C. Romão, F. Freire, Sintra, Portugal,
1994; Series B: Physics Vol. 338, Plenum Press, New York, (1994)
[58] M.B. Hindmarsh, T.W.B. Kibble, Rept. Prog. Phys. 58, 477 (1995)
[59] X. Hou, Phys. Rev. D 63, 045015 (2001)
[60] R. Jackiw, P. Rossi, Nucl. Phys B190, 681 (1981)
[61] M. James, L. Perivolaropoulos, T. Vachaspati, Nucl. Phys. B395, 534 (1993)
[62] S. Kasuya, M. Kawasaki, Phys. Rev. D 58, 083516 (1998)
[63] T.W.B. Kibble, J. Phys. A9, 1387 (1976)
[64] F.R. Klinkhamer, P. Olesen, Nucl. Phys. B422, 227 (1994)
[65] J. Kogut, L. Susskind, Phys. Rev. D 11, 395 (1975)
[66] R.A. Leese, Phys. Rev. D 46, 4677 (1992)
[67] H. Liu, T. Vachaspati, Nucl. Phys. B470, 176 (1996)
[68] J. Magueijo, R.H. Brandenberger, ondoko liburuan: Large Scale Structure Formation,
Kluwer, Dordrecht (2000); astro-ph/0002030
[69] C.J.A.P. Martins, E.P.S. Shellard, Phys. Lett. B 445, 43 (1998)
[70] K.J.M. Moriarty, E. Myers, C. Rebbi, Phys. Lett. B 207, 411 (1988)
[71] S.G. Naculich, Phys. Rev. Lett. 75, 998 (1995)

4.6 Bibliografia 141
[72] Y. Nambu, Nucl. Phys. B130, 505 (1977)
[73] M. Nagasawa, J. Yokoyama, Phys. Rev. Lett. 77, 2166 (1996)
[74] H. B. Nielsen, P. Olesen, Nucl. Phys. B61, 45 (1973)
[75] A.A. Penin, V.A. Rubakov, P.G. Tinyakov, S.V. Troitsky, Phys. Lett. B 389, 13
(1996)
[76] A.A. Penzias, R.W. Wilson, Astrophys. J. 142, 419 (1965)
[77] L. Perivolaropoulos, Nucl. Phys. B375, 664 (1992)
[78] M. Pickles, A.C. Davis, Phys. Lett. B 520, 345 (2001)
[79] M. Pickles, J. Urrestilla, JHEP 0301, 052 (2003)
[80] J. Preskill, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 34, 461 (1984)
[81] J. Preskill, Phys. Rev. D 46, 4218 (1992)
[82] A. Rebham, P. van Nieuwenhuizen, R. Wimmer, Nucl. Phys. B648, 174 (2003)
[83] S.H. Rhie, D.P. Bennett, Phys. Rev. Lett. 67, 1173 (1991)
[84] A. Salam, Elementary particle physics (Nobel Symp. no. 8), ed. N. Svartholm, Almq-
vist y Wilsell, Stocholm (1968)
[85] M. Salem, T. Vachaspati, Phys. Rev. D 66, 025003 (2002)
[86] N. Seiberg, E. Witten, Nucl. Phys. B431, 484 (1994)
[87] M. Shifman, A. Yung, Phys. Rev. D 66, 045012 (2002)
[88] M.F. Sohnius, Phys. Rept. 128, 39 (1985)
[89] D.A. Steer, Phys. Rev. D 61, 123501 (2000)
[90] I. Tkachev, S. Khlebnikov, L. Kofman, A. Linde, Phys. Lett. B 440, 262 (1998)
[91] J. Urrestilla, A. Achúcarro, J. Borrill, A.R. Liddle, JHEP 08, 033 (2002)

142 Bibliografia
[92] T. Vachaspati, A. Achúcarro, Phys. Rev. D 44, 3067 (1991)
[93] T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 68, 1977 (1992); erratum 69, 216 (1992)
[94] T. Vachaspati, G.B. Field, Phys. Rev. Lett. 73, 373 (1994); erratum 74, 1258 (1995)
[95] T. Vachaspati, ondoko liburuan: Topological defects and the non-equilibrium dynamics
of symmetry breaking phase transitions, Les Houches (1999); astro-ph/9903362
[96] T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 87, 251302 (2001)
[97] A. Vilenkin, Phys. Rep. 121, 263 (1985)
[98] A. Vilenkin, E.P.S. Shellard, Cosmic Strings and Other Topological Defects, Cam-
bridge University Press, Cambridge (1994)
[99] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19, 1264 (1967)
[100] E.J. Weinberg, Phys. Rev. D 24, 2669 (1981)
[101] H.F. Weinberger, A first course in Partial Differential Equations with Complex Va-
riables and Transform Methods, Blaisdell (1965)
[102] J. Wess, J. Bagger, Supersymmetry and supergravity, Princeton University Press
(1992)
[103] E. Witten, D.I. Olive, Phys. Lett. B405, 256 (1997)
[104] E. Witten, Nucl. Phys. B405, 257 (1997)
[105] E. Witten, Nucl. Phys. B403, 159 (1993)
[106] A. Yung, Nucl. Phys. B562, 191 (1999)

A ERANSKINA
Hitzarmenak
Eranskin honek lan honen zehar erabilitako hitzermenen laburpena dakarkigu, testuan
kontrakoa esan ezean.
Erabilitako unitateak c = = kBoltzmann = 1 dira; eta oinarrizko unitatea energia edo
luzera. Ondokoa da hautatu dugun metrikaren signatura: (+, −, −, −).
Espazio-denboraren osagaiak µ, ν, . . . indize grekoen bidez adierazi ditugu; orokorrean,
beren balioa 0−3 tartekoa izango da. 3 dimentsioko espazioaren osagaien indizeak, latindar
alfabetoko erdialdeko hizkien bidez adierazi ditugu; hots, i, j, . . . , eta latindar alfabetoko
haserako hizkiak, a, b, . . . , barne-taldeko indizeei dagozkie.
Erabilitako Pauli-matrizeen adierazpena ondoko hau da
τ 1
0 1
= ,
1 0
τ 2
0 − i
= ,
i 0
τ 3
1 0
= .
0 − 1
(A.1)
A.1 Hitzarmenak supersimetrian
Kortxeteen bidez trukatzaileak adierazi ditugu
eta giltzen bidez antitrukatzaileak
[A, B] = AB − BA , (A.2)
{A, B} = AB + BA . (A.3)
143

144 A eranskina
Espinorei dagozkien hitzermenak [88] erreferentzian emandakoak dira:
1. bi-espinoreren idazkera
Espinoreen beheratzea tentsore antisimetrikoen bidez egin dugu
ψ α ≡ ε αβ ψβ , ¯ ψ ˙α ≡ ¯ ψ ˙ β ε ˙ β ˙α , (A.4)
non tentsore antisimetrikoak ondoko eran normalizatu ditugun
Espinoreak uzkurtzeko bidea ondoko hau da
ε12 = ε 12 = −ε˙1˙2 = −ε ˙1˙2 = +1 . (A.5)
ξψ ≡ ξ α ψα = −ξαψ α = ψ α ξα ≡ ψξ
¯ψ ¯ ξ ≡ ¯ ψ ˙α ¯ ξ ˙α = − ¯ ψ ˙α¯ ξ ˙α = ¯ ξ ˙α ¯ ψ ˙α ≡ ¯ ξ ¯ ψ . (A.6)
Espinoreen ordena aldaketa kontuan har dezan definitu dugu konplexu-konjokatua
(ξψ) ∗ = (ξ α ψα) ∗ = (ψα) ∗ (ξ α ) ∗ = ¯ ψ ˙α ¯ ξ ˙α = ¯ ψ ¯ ξ . (A.7)
Erabilitako σ matrizeak ondoko hauek dira
non σ i (A.1) Pauli-matrizeak diren.
Baita ere σ r eta σ θ matrizeak erabili ditugu
σ µ = (I, σ) , ¯σ µ = (I, −σ) , (A.8)
σ r
−iθ 0 e
=
eiθ
, σ
0
θ
−iθ 0 −ie
=
ieiθ
. (A.9)
0
Horiek, σ 1 eta σ 2 matrizeen lana beteko dute koordenatu polarretan.
2. lau-espinore idazkera
Dirac-matrizeak 2 × 2 bloketan agertuko diren adierazpena aukeratu dugu
γ µ
0
≡
¯σ
µ σ µ
.
0
(A.10)

1.0 Hitzarmenak 145
γ5 matrizea honela definituko dugu
γ5 ≡ γ0γ1γ2γ3 , ⇒
−i 0
γ5 = ,
0 i
(A.11)
eta beraz
(γ5) 2 = −1 . (A.12)
Oinarri honetan, lau osagaieko ψ Dirac-espinorea ondoko elementuak erabiliz ida-
tziko dugu: bi-osagaieko objektu konplexu anti-trukakor bi, χα and ¯ φ ˙α , non α = 1, 2
den eta ˙α = ˙1, ˙2. Dirac-matrizeak ondoko eran adieraziko dira:
ψ ≡
χα
¯φ ˙α
, ¯ ψ ≡ (φ α , ¯χ ˙α) . (A.13)
χ eremua Weyl-espinore kirala da, eta ¯ φ Weyl-espinore anti-kiral. ψ Dirac espino-
rearen χα eta ¯ φ ˙α espinoreak proiektatu ditzakegu 1
2 (I ± γ5) proiektorea erabiliz:
(I + γ5)ψ = χ , (I − γ5)ψ = ¯ φ . (A.14)
Orokorrean Dirac-espinorearen bi osagai kiralak ez daude erlazionaturik, baina Ma-
jorana baldintza beteko badute, hots,
¯φ ˙α = (χα) †
beteko bada, orduan Majorana-espinoreak izango ditugu eskuartean:
ψ =
χα
¯χ ˙α
(A.15)
. (A.16)
Bi-espinoreen bidez (λαi, ¯ λi ˙α ) definituriko lau-espinore SU(2)-kobarianteak dira Ma-
jorana-espinore sinplektikoak:
non
λ i ≡
−iε ij λαj
¯λ ˙αi
;
λi
¯ = λ α i , iεij ¯ λ j
˙α , (A.17)
¯λ i ˙α ≡ (λαi) † . (A.18)

B ERANSKINA
Sine-Gordon eredua
Sine-Gordon eredua, ondoko lagrangearrak deskribaturikoa da [28]:
L = 1
2 (∂µΦ)(∂ µ Φ) − α
eta eredu honen energia honako hau da
E = dt dx 1
2 (∂tΦ) 2 + 1
[1 − cosβ Φ] , (B.1)
β2 β
2 (∂xΦ) 2 + α
2(1
− cosβ Φ)
B.1 a) irudiak potentzialaren profilaren adierazpide grafikoa da.
(B.2)
Sistemaren oinarrizko egoerak Φ ∝ 2 π/β betetzen dutenak dira,
2 π n
1 − cos β = 0 (B.3)
β
baita. Minimo hauetako baten inguruan (adibidez Φ = 0 minimoaren inguruan) garatuz,
honela berridatzi dezakegu lagrangearra
L = 1
2∂µΦ∂ µ Φ + α
2 Φ2 α β2
−
4! Φ4 + . . . (B.4)
edo parametroak α ∼ λ η 2 eta α β 2 ∼ λ eran berdefinituz
L = 1
2∂µΦ∂ µ λ η2
Φ +
2 Φ2 − λ
4 Φ4 + . . . (B.5)
α = β = 1 aukeratuko ditugu, monopolo globala aztertzean lortutako lagrangearrekin
aldaratzeko.
147

148 B eranskina
B.1 irudia: a) Sine-Gordon ereduaren potentziala (1 − cos(Φ)). b) Sine-Gordon ereduaren solu-
zioetako bat (Φ = 2tan −1 e x−2 ).
Energia finitua izatea eskatzean, x → ±∞ puntuetan eremua potentzialaren zero batera
joan behar dela ondoriozta dezakegu. Propietate hau betetzen duen egoera tribiala badago:
eremua potentzialaren minimo batean dago, eta bertan jarraituko du. Baina badaude kasu
korapilatsuagoak; adibidez, eremua x → −∞ puntuan minimo batean dagoenean, eta
x → ∞ puntuan aldameneko beste minimo ezberdin batean.
Honelako soluzio estatikoak lortzeko, energia berridatzi behar dugu, ondorengo erlazio
trigonometrikoa erabiliz
cosΦ = 1 − 2sin 2Φ
. (B.6)
2
Φ = 2˜ Φ aldagai aldaketa eginez, energia honela idatzi daiteke:
∞
E = dx 2 (∂x ˜ Φ) 2 + sin 2˜
Φ . (B.7)
−∞
Berridazketa honen bidez lortutako energia, (2.30) ekuazioan parentesi artean dagoenaren
berbera da. Berriro ere energia berridatziz:
∞
E = dx 2 ( ˜ Φx ± sin˜ Φ) 2 ∓ 2 ˜ Φx sin˜
Φ , (B.8)
eta zatikako integrazioa eginez
−∞
∞
E = dx 2 ( ˜ Φx ± sin˜ Φ) 2
−∞
± 4cos˜
Φ
∞
−∞
. (B.9)

2.0 Sine-Gordon eredua 149
Muga-gaia karga topologikoa da, eta x → ±∞ puntuetan eremuak aukeratu duen mini-
moaren araberakoa da.
Karga topologiko bakoitzerako, energia minimodun soluzioek ondoko erlazioa bete behar
dute:
eta ebazpena hauxe da:
˜Φx = ∓sin ˜ Φ, (B.10)
˜Φ
tan = e
2
∓x−x0 , (B.11)
non x0 integrazio-konstantea den, problemaren espazio-aldaezintasunari dagokiona. B.1
irudian soluzio hauetako baten adierazpide grafikoa ikus daiteke.

C ERANSKINA
Translazio-modu nulua
O(3) monopoloaren zero modu translazionala lortzearren, simetria esferikoa erabiliz ida-
tziko ditugu eremuak:
eta z ardatzean zehar transladatuz
Φ 1 (r, θ, ϕ) = f(r) sinθ cosϕ;
Φ 2 (r, θ, ϕ) = f(r) sinθ sin ϕ ;
koordenatu esferikoetan idatziko dugu ∂z deribatua
Φ 3 (r, θ, ϕ) = f(r) cosθ , (C.1)
Φ a (z − z0) = Φ a − z0 ∂zΦ a | z + . . . (C.2)
∂z = cos θ ∂r −
ekuazioak ondoko eran idatz ahal izateko
sin θ
r ∂θ , (C.3)
Φ 1
(z − z0) = f − z0 fr cosθ + z0
f
cos θ sin θ cosϕ;
r
Φ 2
(z − z0) = f − z0 fr cosθ + z0
f
cos θ sin θ sin ϕ ;
r
Φ 1 (z − z0) = f cosθ − z0 fr cos 2 θ − z0 f
r sin2 θ . (C.4)
151

152 C eranskina
Ardatz-simetriadun perturbazioak (2.65) ekuazioa erabiliz idazterakoan, (2.28) Goldhaber-
en ansatz-ak ondoko itxura hartuko du:
hau da, (2.68) ekuazioak.
Bi azken ekarpenak alderatuz,
erlazioak lortuko genituzke.
Φ 1 ∼ (f + δ + f ξ cosθ)sin θ sin ϕ ;
Φ 2 ∼ (f + δ + f ξ cosθ)sin θ cos ϕ ;
Φ 3 ∼ (fcosθ + δ cos θ − f ξ sin 2 θ) . (C.5)
δ = −z0 fr cosθ ;
ξ = z0
r
(C.6)
2.5 atalean, perturbazioen ekuazioak aztertzean, aldagaien berdefinizio anitz erabili ditu-
gu:
e y ≡ tan
θ
2
eta baita ere δ eta ξ funtzioak berdefinitu ditugu:
δ ≡
δl(r) Pl(u) ⇒ ∆l ≡ l(l + 1)δl ;
l
ξ ≡ X
f
2
⇒ χ ≡ ∂u (1 − u )X
⇒ u ≡ tanh y , (C.7)
⇒ χ ≡
χl(r) Pl(u) . (C.8)
Lortu dugun modu nuluan aldaketa hauek ordezkatuz, eta z0 = 1 aukeratuz ondokoa
lortuko dugu:
˜∆1 = √ 2 fr(r) ;
˜χ1 = −2 f(r)
,
r
(C.9)
non tiletak, ∆ eta χ funtzioak translazio-modu nuluak direlako erabili ditugun. 2.21 iru-
dian funtzio hauen profilak ikus daitezke.
l

D ERANSKINA
Eredu elektroahularen
higidura-ekuazioen diskretizazioa
3. kapituluan ikusi dugunez, ondokoak dira teoria elektroahularen (3.4) higidura-ekuazioak
D µ DµΦ + 2λ Φ † Φ − η 2 Φ = 0 ;
∂νW µνa + g Wǫ abc W b ν W µνc = i
∂νY µν = i
2 g Y
Φ † D µ Φ − (D µ Φ) † Φ
2 g
W Φ † τ a D µ Φ − (D µ Φ) † τ a
Φ ;
. (D.1)
l sare-tarteko eta mugalde-baldintza periodikoko sare kubikoan diskretizatuko ditugu.
Aukeratu dugun diskretizazio-metodoaren arabera, eremu eskalar eta gauge-eremuen ba-
lioak sare-puntuei dagozkie. Jakina da metodo horrek ez duela gauge-aldaezintasuna ziur-
tatuko. Hala eta guztiz ere, gure ekuazioak jokaera oneko higidura-ekuazio klasikoak dira,
gauge jakin batean; eta gauge-aldaezintasuna ez ziurtatzeak ez luke garrantzitsua izan
behar. Gainera, Gauss-en legea automatikoki beteko ez denez, eboluzioan zehar behatuko
dugu lege hori, diskretizazioa behar bezain zehatza dela egiaztatzeko. Diskretizazio-me-
todo honek, aurreko lanetan [3] lortutako emaitzekiko aldaraketa erreztuko digu. Sare-lo-
turaren aldagaiak erabiliko dituen beste metodo bat deskribatuko dugu E eranskinean; bi
diskretizazioen arteko alderaketarekin batera.
Diskretizatutako higidura-ekuazioak lortzeko lehen pausoa, ψα lau eremu eskalar definitzea
da, non α = 1, 2, 3, 4; beren balioa sare-puntuetan egongo da. Eremu eskalar horiek SU(2)
153

154 D eranskina
bikote konplexuarekin duten erlazioa ondoko hau da: Φ T = (ψ1 + iψ2, ψ3 + iψ4). Gauge-
-eremuek ere sare-puntuetan hartuko dituzte balioak. Gauge denborala aukeratu dugunez;
hots, Y0 = 0 eta W a 0
= 0 a = 1, 2, 3 balioetarako, 12 zenbaki gorde behar ditugu gauge-
-eremuetarako: Yi eta W a
i , non i = 1, 2, 3 espazio-norabideak diren, eta a = 1, 2, 3 SU(2)
gauge-taldeko indizea.
Zenbakizko ebazpena burutuko duen kodea lortzeko onuragarria da (D.1) ekuazioak modu
zehatzago batean idaztea:
W 0
i ≡ Yi definituko dugu, eta baita ondorengo matrizeak ere (indizeek 0-tik 3-rako balioa
hartuko dute)
s i j ≡
⎛
⎞
+1 − 1 + 1 − 1
⎜
⎟
⎜ +1 − 1 + 1 − 1⎟
⎜
⎟
⎜
⎝ −1 − 1 + 1 + 1
⎟
+1 − 1 − 1 + 1
⎠ , ci j ≡
⎛ ⎞
4 3 2 1
⎜ ⎟
⎜4
3 2 1⎟
⎜ ⎟
⎜
⎝3
4 1 2
⎟
⎠ , gi ⎛ ⎞
gY ⎜ ⎟
⎜gW
⎟
≡ ⎜ ⎟
⎜
⎝g
⎟ . (D.2)
W ⎠
2 1 4 3
Horiek erabiliz, eremu eskalarren higidura-ekuazioak honela idatz daitezke:
∂ 2 0 ψα =
3
3
i=1 n=0
− 1
2
3
i=0
∂i∂iψα + s n αgnW n
i ∂iψcn 1 + α 2snα gn∂iW n
i ψcn 1 − α 4gnW n
i gnW n
i ψα
−
g 0 W 0
1 1
i g Wi ψc2 + s α 3 αg2W 2
i ψc1 α − s2α g3W 3
i ψα
4
−β (ψnψn) − 1 ψα . (D.3)
n=1
Bestalde, gauge-eremuetarako ekuazioak hauek dira:
∂ 2 0 Yj =
∂ 2 0 W 1 j =
3
[∂i∂iYj − ∂j∂iYi] + gY (ψ1∂jψ2 − ψ2∂jψ1 + ψ3∂jψ4 − ψ4∂jψ3)
i=1
−g Wg Y
− 1
2 g2 Y Yj
g 2 W
W 1 j (ψ1ψ3 + ψ2ψ4) + W 2 j (ψ1ψ4 − ψ2ψ3) + 1
2 W 3 j
4
ψnψn ;
n=1
3
∂i∂iW 1 j
i=1
W 2
i W 2
i W 1 j
− ∂j∂iW 1
i −
3 3
+ Wi Wi W 1 j
1 2
− Wi Wi W 2 j
1 3
− Wi Wi W 3 j
g W
2
ψ1 + ψ 2 2 − ψ2 3 − ψ2
4

4.0 Eredu elektroahularen higidura-ekuazioak diskretizatzen 155
∂ 2 0W 2 j =
−g W
2
Wj ∂iW 3
i − W 3 2 2
j ∂iWi − Wi ∂iW 3 j
+ W 3
i ∂iW 2 j
2 3
+ Wi ∂jWi − W 3
i
+gW (ψ1∂jψ4 − ψ4∂jψ1 + ψ3∂jψ2 − ψ2∂jψ3) − gWgY (ψ1ψ3 + ψ2ψ4)Yj
4
ψnψn ;
− 1
2 g2 WW 1 j
g 2 W
∂ 2 0 W 3 j =
3
i=1
−g W
n=1
∂i∂iW 2 j − ∂j∂iW 2
i −
W 3
i W 3
i W 2 j
1 1
+ Wi Wi W 2 j
2 3
− Wi Wi W 3 j
3
Wj ∂iW 1
i − W 1 3 3
j ∂iWi − Wi ∂iW 1 j
2 1
− Wi Wi W 1
j
+ W 1
i ∂iW 3 j
3 1
+ Wi ∂jWi − W 1
i
+gW (ψ3∂jψ1 − ψ1∂jψ3 + ψ4∂jψ2 − ψ2∂jψ4) − gWgY (ψ1ψ4 − ψ2ψ3) Yj
4
ψnψn ;
− 1
2 g2 W W 2 j
g 2 W
n=1
3
∂i∂iW 3 j
i=1
−g W
W 1
i W 1
i W 3 j
− ∂j∂iW 3
i −
2 2
+ Wi Wi W 3 j
3 1
− Wi Wi W 1 j
1
Wj ∂iW 2
i − W 2 1 1
j ∂iWi − Wi ∂iW 2 j
3 2
− Wi Wi W 2 j
+ W 2
i ∂iW 1 j
1 2
+ Wi ∂jWi − W 2
i
2
∂jWi 3
∂jWi
1
∂jWi +gW (ψ1∂jψ2 − ψ2∂jψ1 + ψ4∂jψ3 − ψ3∂jψ4)
− 1
2g
2
WgY ψ1 + ψ 2 2 − ψ 2 3 − ψ 2
4 Yj − 1
2g2 WW 3 4
j ψnψn . (D.4)
(D.3, D.4) higidura-ekuazioetako deribatu espazial desberdinak diskretizatu behar ditugu.
Edozein f emanik, non f funtzioa ψα, Yi edo W a
i eremua izan daitekeen,
eta
n=1
∂if(x) ≡ 1
2l (f(x + xi) − f(x − xi)) , (D.5)
∂i∂if(x) ≡ 1
l 2 (f(x + xi) − 2f(x) + 2f(x − xi)) , (D.6)
non xk = l ˆ k, eta ˆ k espazio-norabideei dagokion.
Diskretizatzeke dagoen adierazpen bakarra, ∂j∂iYi, honela garatuko dugu
∂j∂iYi ≡ 1
2l ∂j [Yi(x + xi) − Yi(x − xi)] ≡ (D.7)
1
4l 2 [Yi(x + xi + xj) − Yi(x + xi − xj) − Yi(x − xi + xj) + Yi(x − xi − xj)] .

156 D eranskina
Ohiko staggered leapfrog delako metodoa erabiliz diskretizatu dugu denbora. Hots, eremu
eskalarra eta gauge-eremua denbora-tarte osoetan bizi dira, eta eremuen denbora-deriba-
tuak denbora-tarte erdietan:
f(t ˙ + 1 1
δt) = (f(t + δt) − f(t)) ;
2 δt
¨f(t + δt) = 1
f(t ˙ +
δt
3
δt) − f(t ˙ +
2 1
2 δt)
, (D.8)
non δt denbora-tartea den. Eguneratze-prozedura honela geratuko zaigu:
f(t + δt) = f(t) + δt ˙ f(t + 1
δt) ; (D.9)
2
f(t ˙ + 3
δt) = f(t ˙ +
2 1
δt) + δt [esk] , (D.10)
2
non esk (D.3, D.4) ekuazioaren eskuineko atalari dagokion.
Honela, f(0) eta ˙ f( 1δt)
ezagunak bazaizkigu, (D.9) ekuazioa erabiliz f funtzioa eguneratu
2
dezakegu, f(δt) lortuz. Orduan, f( ˙ 1
δt) eta f(δt) ezagunak direnez, eta esk kalkulatzeko
2
bi balio horiek baino behar ez ditugunez, f˙ eguneratu dezakegu, eta f(t ˙ 3 + δt) kalkulatu.
Prozedura honi jarraituz, sistemaren bilakaera kalkulatu dezakegu.
3.4 atalean esan dugunez, γ ˙
f(t) erako gai barreiakorrak gehitu ditugu. Erabilitako diskre-
tizazioan denbora-deribatuak denbora-tarte erdietan bizi direnez, gai disipakorra ondoko
moduan berridatziko dugu
γ
( f(t ˙ +
2 1
δt) + f(t ˙ +
2 3
δt) ,
2
(D.11)
eta ˙ f funtzioaren eguneraketa aldatu egingo da:
f(t ˙ + 3
δt) = f(t ˙ +
2 1
γ
δt) + f(t ˙ +
2 2
1
δt) + f(t ˙ +
2 3
2 δt)
+ δt [rhs] ⇒
f(t ˙ + 3
−1
δt) = (Γ−) Γ+
2 ˙ f(t + 1
δt) + δt [rhs] ,
2
(D.12)
non
Γ− = 1 − γ
2 , Γ+ = 1 + γ
,
2
(D.13)
diren. Gauss-en legearen jokaera jarraitu dugu eboluzioan zehar, kodearen egonkortasuna
bermatzeko. (3.14) Gauss-en legea era esplizituan honela idatzi dezakegu
3
i=1
∂i ˙ Yi
= gY ψ1 ˙ ψ2 − ψ2 ˙ ψ1 + ψ3 ˙ ψ4 − ψ4 ˙
ψ3 ; (D.14)
2

4.0 Eredu elektroahularen higidura-ekuazioak diskretizatzen 157
3
∂i ˙ W 1
i + gW W 2
i
i=1
3
∂i ˙ W 2
i + g
W W 3
i
i=1
3
∂i ˙ W 3
i + g
W W 1
i
i=1
˙W 3
i − W 3
i
˙W 1
i
˙W 2
i
− W 1
i
− W 2
i
˙W 2
i = gW ψ1 ˙ ψ4 − ψ4 ˙ ψ1 + ψ3 ˙ ψ2 − ψ2 ˙
ψ3 ;
˙W 3
i = gW ψ3 ˙ ψ1 − ψ1 ˙ ψ3 + ψ4 ˙ ψ2 − ψ2 ˙
ψ4 ;
˙W 1
i = gW ψ1 ˙ ψ2 − ψ2 ˙ ψ1 + ψ4 ˙ ψ3 − ψ3 ˙
ψ4 (D.15) .
Puntudun eremuak denbora-tarte erdietan bizi dira, eta punturik gabekoak denbora-tarte
osoetan. Ekuazio horiek denbora-tarte berdinetan idaztearren, f funtzioak denbora-tarte
erdian hartuko duen balioa interpolatu egingo dugu ondoko moduan
f(t ˙ + 1
2
δt) = f(t +
2 δt
1
δt) − f(t) ⇒ f(t +
2 1 1
δt) = f(t) + δtf(t ˙ +
2 2 1
δt) . (D.16)
2
(D.15) ekuazioan “puntudun” eremuen balioa (D.16) balioarekin ordezkatuko dugu.

E ERANSKINA
Sare-loturaren aldagaien metodoa
E.1 Lotura-aldagaien bidezko hamiltondarraren dis-
kretizazioa
3. kapituluan (3.10) higidura-ekuazioak diskretizatzeko aukeratutako metodoaren arabera,
eremu guztiak sare-puntuetan dituzte balioak; hots, eremu eskalarren eta gauge-eremuen
balioak sare-puntuetan daude (ikus D eranskina). Honek ez du gauge-aldaezintasuna ziur-
tatuko.
Badago beste metodo bat ekuazioak diskretizatzeko: sare-loturaren aldagaien (Lattice Link
variables) metodoa [65, 70]. Metodo horrek gauge-aldaezintasuna ziurtatuko du; eta sare-
-tartea zerorantz doanean, jatorrizko higidura-ekuazioak berreskuratuko ditu. Sare-lotura-
ren aldagaiak erabiliz, soka erdilokaletarako simulazio multzoa egingo dugu, 3. kapituluko
ondorioak bermatzearren.
Sare-loturaren aldagaien metodoak sistemaren formulazio hamiltondarra behar du; ondo-
rioz, soka erdilokalen (ikus 1.3 atala) dentsitate hamiltondarra kalkulatuko dugu
H = Π † Π + 1
2 Ei E i + 1
4 YijY ij + (DiΦ) † (DiΦ) +
β
2
Φ † Φ − 1 2 + E i (∂iY0) + iY0
159
Π † Φ − Φ † Π , (E.1)

160 E eranskina
non momentu-konjokatuak honela definitu ditugun
Π =
E i =
∂L
∂(∂ 0 Φ † ) = D0Φ ;
∂L
∂(∂ 0 Yi) = Y0i . (E.2)
Hamiltondar horretatik higidura-ekuazioak lortu eta ondoren diskretizatu beharren, alde-
rantzizkoa egingo dugu prozedura honetan: (E.1) hamiltondarra diskretizatu; eta bertatik
higidura-ekuazioak lortu. Hamiltondarra l sare-tarteko sare kubikoan definitzearren, sa-
re-loturaren eragilea definituko dugu:
Uk(x) = e −ilYk(x) . (E.3)
Eragile horrek gauge-eremuaren lana beteko du; baina, gauge-eremua konexio afina dela
literalki onartuz; hots, eremu eskalarraren garraio paraleloaren egilea (parallel transporter)
da gauge-eremua. Eremu eskalarren balioak sare-puntuetan egongo dira; eta sare-lotura-
ren eragileenak sare-loturetan. Horrela, deribatu kobariante (berri) honen bidez puntu
desberdinetako eremu eskalarrak erlazionatuko ditugu:
DkΦ = Uk(x)Φ(x + xk) − Φ(x)
l
non xk = l ˆ k, eta ˆ k espazio-norabideei dagokion.
(E.4)
Definizio horrek bi propietate garrantzitsu ditu: alde batetik, l → 0 limitean continuum-
eko deribatu kobariantea da
1
lim DkΦ = lim
l→0 l→0
1 − ilYk(x) + O(l
l
2 )
Φ(x + lî) − Φ(x)
∂kΦ(x) − iYk(x)Φ(x) = (DkΦ(x)) continuum . (E.5)
Bestetik, hamiltondarraren (|DkΦ(x)| 2 ) gradienteen gaia, ondorengo aldaketekiko gauge-
-aldaezina da
hain zuzen ere,
Φ → A(x)Φ(x) , Uk(x) → A(x)Uk(x)A † (x + xk) , (E.6)
(DkΦ(x)) † DkΦ(x) →
1
l2
A(x)Uk(x)A † (x + xk)A(x + xk)Φ(x + xk) − A(x)Φ(x) =
(DkΦ(x)) † A † (x)A(x)DkΦ(x) = (DkΦ(x)) † DkΦ(x) . (E.7)

5.0 Sare-loturaren aldagaien metodoa 161
Sare-loturaren eragile horiek beste ezaugarri garrantzitsua dutela ikus daiteke plaquette
eragilea definitzean
Horiek ere gauge-aldaezinak dira
Qij(x) →
Qij(x) ≡ Uj(x)Ui(x + xj)U †
j
†
(x + xi)U i (x) . (E.8)
A(x)Uj(x)A † (x + xj) · A(x + xj)Ui(x + xj)A †
i (x + xj + xi) ·
A(x + xj + xi)U †
j (x + xi)A † (x + xi) · A(x + xi)U †
i (x)A† (x) =
A(x)Qij(x)A † (x) = Qij(x) , (E.9)
matrize horiek trukakorrak baitira.
Plaquette eragilea l sare-tarte txikietarako garatuz ondokoa lortuko dugu
ReQij(x) = cos [−l (Yj(x) + Yi(x + xj) − Yj(x + xi) − Yi(x))] ≈
1 − l2
2 (Yj(x + xi) − Yj(x) − Yi(x + xj) − Yi(x)) 2 + O(l 4 ) . (E.10)
Adierazpen hori YijYij gaiarekin erlazionatu dezakegu, zeren eta
Yij = ∂iYj(x) − ∂jYi(x) ∼ 1
l [Yj(x + xi) − Yj(x) − (Yi(x + xj) − Yi(x))] (E.11)
da; eta, ondorioz,
YijYij ∼ 2
l 4 (1 − ReQij(x)) . (E.12)
Orain dentsitate hamiltondarra diskretizatu dezakegu. Oraingoz, denbora diskretizatzeke
utziko dugu; baina, geroago, δt ≪ l denbora-tartea erabiliz diskretizatuko dugu. Diskre-
tizatutako hamiltondarra ondoko hau da
H = Π † Π + 1
2EiE i + β † 2
Φ Φ − 1
2
+ (DiΦ) † (DiΦ) + 1
2l4
(1 − ReQij)
+iY0
i=j
† † i
Π Φ − Φ Π + E (∂iY0) . (E.13)
Gure gauge-aukeraketa Y0 = 0 da; eta, ondorioz, eremu honi dagokion higidura-ekuazioa
eboluzioaren lotura bat izango da:
Π(x) † Φ(x) − Φ † (x)Π(x) = −i∂kE k = −i
l
k k
E (x) − E (x − xk) . (E.14)
k

162 E eranskina
Ekuazio hori, sarean eginiko Gauss-en legearen itzulpena da. Hasierako konfigurazioak
(E.14) ekuazioa beteko badu, baita ere (E.15) ekuazioen bidezko sistemaren garapenak.
Eremu dinamikoetarako higidura-ekuazioak ondoko hauek dira:
˙Φ(x) = Π(x)
˙Π(x) = −β Φ † (x)Φ(x) − 1 Φ(x) − 6
l2Φ(s) + 1
l2
j
Uj(x)Φ(x + xj) + U †
j (x − xj)Φ(x − xj)
˙Yi(x) = E i (x)
˙E i (x) = − i
Φ
l
† (x)Ui(x)Φ(x + xi) − Φ † (x + xi)U †
i (x)Φ(x)
1
l3
(ImQij(x) − ImQij(x − xj)) . (E.15)
j=i
Staggered leapfrog delako metodoaren bidez diskretizatu dugu denbora (ikus (D.8) ekua-
zioa). Eremuak denbora-tarte osoetan bizi dira; eta, momentuak, denbora-tarte erdietan.
Higidura-ekuazioak ondoko eran idatziko ditugu
Φ(x, t + δt) = Φ(x, t) + δt Π(x, t + δt)
Yi(x, t + δt) = Yi(x, t) + δt E i (x, t + 1
2 δt)
Π(x + 3
2 δt) = (Γ−) −1 Γ+ Π(x, 1
+ 1
l 2
j
2 δt) + (Γ−) −1 δt
Uj(x)Φ(x + xj) + U †
j (x − xj)Φ(x − xj)
E i (x, 3
2 δt) = (Γ−) −1 Γ+ E i (x, 1
2 δt) + (Γ−) −1 δt
−β Φ † (x)Φ(x) − 1 Φ(x) − 6
l2Φ(x)
1
l 3
(ImQij(x) − ImQij(x − xj))
j=i
− i
Φ
l
† (x)Ui(x)Φ(x + xi) − Φ † (x + xi)U †
i (x)Φ(x)
, (E.16)
gauge-aldaezin diren γΠ(x) eta γE i (x) gai barreiakorrak gehitu ondoren. Γ+ eta Γ− fak-
toreak (D.13) ekuazioan definitutakoak dira; eta gai barreiakorrei dagozkie. Batutako gai
barreiakorrak gauge-aldaezinak direnez, Gauss-en legea automatikoki beteko dela ziur
dakigu oraindik ere.

5.0 Sare-loturaren aldagaien metodoa 163
E.1 irudia: Eredu erdilokaleko eremu magnetikoaren balioa; t = 40 aldiunean (goiko irudiak) eta
t = 56 aldiunean (beheko irudiak). Hasierako baldintza berbera izanik, 3. kapituluko diskretizazioa
erabiliz lortutako eboluzioa adierazi dugu ezkerreko irudietan; eskuinekoetan, aldiz, sare-lotura-
ren aldagaien bidezko diskretizazioaren araberako eboluzioa, eranskinean deskribatu dugunez. Bi
simulazioek antzeko erantzuna jalgi zuten, sare-loturaren aldagaien kasuan soka zertxobait luzea-
goak lortu arren.
E.2 Eredu erdilokaleko simulazioak
Sare-loturaren aldagaiak erabiliz 3. kapituluan lortutako emaitzak egia izaten jarraituko
duten ikustearren, eredu erdilokalerako simulazio multzoa egingo dugu; eta eboluzioa ba-
teragarria den ikusi. Hasierako baldintza berberetik abiatuz, bi diskretizazio metodoak
erabiliz (D eranskineko metodo naïve-a eta sare-loturaren aldagaien metodoa) sistemaren
bilakaera eragingo dugu. Simulazioetan ikusi dugunez, metodo bien emaitzak oso antze-
koak dira puntuz puntu, E.1 irudian adierazi dugunez. Halere, ezberdinatasun xumeak
ageri dira: soka zertxobait luzeagoak daude sare-loturaren aldagaien kasuan; eta soken
arteko lotura berriak gertatu daitezke aldizka.
Desberdintasun txiki horiek zenbaitetarainoko garrantzia duten ikusteko, eta gure emaitza
estatistikoak aldatuko ote diren jakiteko, beste 120 simulazio burutuko ditugu metodo biak

164 E eranskina
E.2 irudia: Soka-zabalera unitatetzat hartuz, soka-luzeren adierazpena (ikus testua). Laukiak me-
todo naïve-ari dagozkio; eta borobilak sare-loturaren aldagaiei. Datuak t = 56 aldiunean neurtu
ditugu. Errore-barrak 10 simulazioen 1 σ-ko erroreari dagozkio.
erabiliz. Kalkulu-ahalmena aurreztuko dugu eredu erdilokalean simulatuz sistema; hots,
sin 2 θW = 1 kasua simulatuko dugu. Simulazioak 64 3 kuboetan burutuko ditugu β parame-
troaren balio ezberdinetarako. Hasierako baldintza desberdinak erabiliko ditugu; baina,
hasierako baldintza jakin bakoitzerako, metodo biak erabiliko ditugu: (D.3, D.4) higidu-
ra-ekuazio lagrangearrak g W = 0 kasuan diskretizatzeko D eranskinean deskribatutako
metodo naïve-a; eta (E.15) higidura-ekuazioa hamiltondarrak diskretizatzeko sare-lotura-
ren aldagaiak erabiliz. Hasierako baldintzak kalkulatzeko, 3.4 atalean deskribaturiko b)
metodoa erabiliko dugu. Simulazio elektroahulen kasuan bezala, gai barreiakorra gehituko
dugu ad hoc; kasu honetan, γ = 0.5 da. Soka-sarearen tarte iraunkorreko portaera aztertu
nahi dugunez, eta sarearen neurriaren arabera denbora t < ∼ 64 izan behar denez, soken
luzera t = 56 aldiunean kalkulatzea hautatuko dugu.
Emaitzak E.2 irudian ikus daitezke. 3.5 atalean deskribatu dugun eran kalkulatu ditugu
soken luzerak; eta, gero, beren zabalera baino 5 aldiz luzeago diren soken luzerak ba-
tu ditugu. Neurri hori da E.2 irudian adierazitakoa. Argi ikus daiteke desberdintasuna
ziurgabetasuna baino txikiagoa dela. 64 3 kubotan kalkulatu dugun arren, emaitzak kubo
handiagoetarako ere iraun beharko lukete.