Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak ... - Euskara

2.2 Eredua 33
2.2 Eredua
O(3) monopolo globalak ager daitezkeen eredurik simpleena ondorengo lagrangearrak des-
kribaturikoa da
L = 1
2 ∂µΦ a ∂ µ Φ a − 1
4 λ(|Φ|2 − η 2 ) 2 , (2.1)
non Φ a , a = 1, 2, 3 hirukote eskalarra den, |Φ| eremuaren modulua (|Φ| ≡ √ Φ a Φ a ), eta µ =
0, 1, 2, 3 indize espazio-denboralak. Eredu horrek O(3) simetria du, berez O(2) simetriara
apurtuko dena. Sistemaren (2.1) lagrangearraren energia potentzialak “Mexikar Kapela”-
ren itxurakoa da (1.2 irudia); eta, honenbestez, hutsaren endekapena gertatuko da, i. e.,
|Φ| = η betetzen duten eremuen konfigurazio guztiak izango dira sistemaren oinarrizko
egoerak. Oinarrizko egoera guztiak baliokideak dira; bada, horietako bat aukera dezakegu,
adibidez Φ = (0, 0, η), teoriaren benetako espektroa lortzearren. Beraz, argi dago hutseko
egoerek O(2) simetria dutela (eginiko aukerarako, O(2) simetria goiki bi gaien errotazioei
dagokie); horregatik diogu simetria berez apurtu dela. Φ a eremuak, (0, 0, η) oinarrizko
egoeraren (α, β, ν) perturbazio moduan idatziko ditugu:
Φ =
eta (2.1) lagrangearra garatuko dugu:
⎛
⎜
⎝
α
β
(η + ν)
⎞
⎟
⎠ , (2.2)
L = 1
2 (∂µα∂ µ α + ∂µβ∂ µ β + ∂µν∂ µ ν) − λη 2 ν 2 + Lint , (2.3)
non Lint eremuen arteko elkarrekintzak deskribatuko dituen. Lagrangearra aurreko (2.3)
moduan idatzita dagoela, zenbat partikula dugun irakur dezakegu: Goldstone-ren 2 bosoi
(α eta β eremuei dagozkienak), eta ms = 2λη 2 masadun eremu eskalarra (ν eremuari
dagokiona).
Hasierako (2.1) lagrangearrean dauden λ eta η parametroak desagertarazi ditzakegu, bai
eremuak bai koordenatuak ondoko eran berdefinituz:
Φ a → ˜ Φ a = Φa
η ;
x µ → ˜x µ = λη 2 x µ . (2.4)