Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak ... - Euskara

2.2 Eredua 35
Esan beharra dago sistemaren energia erradioarekiko linealki dibergentea dela, gradiente
angularrak ez direlako behar bezain azkar deuseztatzen. Baina, egoera fisikoetan, integrala
ez da infinituraino hedatuko; baizik eta gertuen duen defekturaino bakarrik. Gertuen
dagoen defektua r = R (cut-off) distantziara dagoela emanik, energia finitoa da; hau da,
ER =
2π
0
dϕ
π
0
R
dθ dr
0
1
2r2 (∂rf) 2 + f 2 + 1
4r2 (f 2 − 1) 2 . (2.10)
η eta λ parametroak ez bezala, R parametroa garrantzitsua da, eta topologia ez-tribialeko
soluzioen dinamika alda dezake.
(2.8) ansatz-a erabiliz, (2.6) Euler-Lagrangeren ekuazioak
frr(r) + 2
r fr(r) − 2
r 2 f(r) − f(r)(f(r)2 − 1) = 0 (2.11)
moduan idatziko ditugu, non fr = ∂rf ...Ekuazio horren ebazpen analitikorik ez da
ezagutzen; baina f(r) funtzioaren hurbilketa lor daiteke zenbakizko kalkuluaren bidez
(2.1 irudia).
f(r) funtzioaren jokaera aztertzeko r → ∞ ingurunean, (2.11) ekuazioan t = 1
r aldagai-
-aldaketa egingo dugu:
t 4 ftt(t) − 2t 2 f(t) − f(t)(f(t) 2 − 1) = 0 . (2.12)
ft(0) ≈ 0 izan behar duela ikus dezakegu t ≈ 0 limitean. f(t) funtzioa Taylor-en seriearen
bidez garatuz, eta t = 1
r
deseginez, ondokoa izango dugu
f(r → ∞) ≈ 1 − 1 3 1
− . . . (2.13)
r2 2 r4 2.1 irudiaren arabera, f(r = 0) ≈ 1r
da; eta r = 0 inguruan, eremuaren balioa ez dago
2
potentzialaren minimoan; beraz, energia potentziala zonalde hortan, muinean hain zuzen
ere, metaturik dago. Muinetik hurrun, f(r) ≈ 1 denez, eremu eskalarraren dinamika
ikertzearren sistemaren gain beste lotura bat imposatu ohi da: Φ a hirukotea Φ a Φ a = 1
esferan egon behar duela da lotura berria. Hau da, monopolo globalak muinik izango ez
balu bezela ikertu izan da askotan (σ eredu ez-lineala). Kapitulu honetan, O(3) monopolo
globalen dinamika eta egonkortasuna aztertuko ditugu, askatasun-gradu guztiak erabiliz.