Variansi dari Data Uji Hidup Berdistribusi Eksponensial Tersensor ...

Konferensi Nasional Sains dan Aplikasinya, Unisba, 27-28 Juni, 2011. ISBN: 978-602-19356-0-6
Variansi dari Data Uji Hidup
Berdistribusi Eksponensial Tersensor Tipe-II
AKHMAD FAUZY
Program Studi Statistika, FMIPA Universitas Islam Indonesia
Kampus Terpadu, Jln. Kaliurang Km 14.4 Yogyakarta 55584
E-mail: afauzy@fmipa.uii.ac.id
ABSTRAK
Studi simulasi telah dilakukan untuk tujuan validasi hasil. Simulasi data sampel diulang sebanyak
200 kali untuk setiap sampel dengan ukuran kecil, sederhana dan besar. Variansi dari satu dan dua
parameter distribusi eksponensial dari metode bootstrap persentil lebih kecil daripada metode
tradisional. Hasil dari studi simulasi, metode bootstrap persentil dapat digunakan sebagai metode
alternatif untuk mencari interval konfidensi bagi data uji hidup di bawah sensor tipe-II tunggal,
double dan multiple.
Kata kunci: persentil bootstrap, distribusi eksponensial, variansi
ABSTRACT
Simulation studies were carried out to validate results that have been obtained. In these simulations,
200 repetitions were made for each sample for n small, medium and large. The variances for one and
two parameter exponential distribution obtained from bootstrap percentile method are smaller than
the traditional method. Thus from the results of the simulation studies, the bootstrap percentile
method can be used as a potential alternative to the traditional method in constructing confidence
intervals for survival data under the single, double and multiple type II censoring.
Keywords: bootstrap percentile, exponential distribution, variance
1. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Selang kepercayaan yang dapat dibangun di dalam data uji hidup berdistribusi
eksponensial adalah selang kepercayaan bagi parameter, fungsi tahan hidup dan kuantil waktu
hidup.
Penelitian yang telah dilaksanakan adalah pemanfaatan metode bootstrap persentil
dalam bidang analisis uji hidup berdistribusi eksponensial satu dan dua parameter. Penelitian
ini dilaksanakan dengan pembiayaan dari hibah IRPA (Intensification of Research in Priority
Areas) Malaysia, hibah penelitian dasar DPPM UII, hibah fundamental DP2M DIKTI, hibah
bersaing DP2M DIKTI dan hibah kompetensi DP2M DIKTI. Penelitian tersebut telah dijabarkan
ke dalam 24 subpenelitian dan secara garis besar perbandingan selang kepercayaan yang
dihasilkan oleh metode tradisional dan metode bootstrap persentil dapat dilihat dalam Fauzy
(2011).
Dari hasil penelitian di atas terlihat bahwa lebar selang yang dihasilkan oleh metode
bootstrap persentil lebih kecil daripada metode tradisional. Penelitian juga telah diperluas
dengan mencari daerah kepercayaan (confidence band) bagi fungsi tahan hidup dan kuantil
tahan hidup serta telah dipublikasikan dalam Fauzy, et. al. (2004), Fauzy (2007a dan 2007b),
Hakim dan Fauzy (2010) serta Fauzy, et. al. (2003a, 2003b dan 2007).
Telah diperoleh gambaran bahwa daerah kepercayaan bagi fungsi tahan hidup yang
dihasilkan oleh metode bootstrap persentil lebih sempit daripada yang dihasilkan oleh metode
tradisional.
Simulasi data juga telah dilakukan untuk tujuan validasi. Dari kajian simulasi telah
diperoleh hasil bahwa metode bootstrap persentil tetap menghasilkan selang yang lebih pendek
dan tingkat kepercayaan yang lebih besar (Fauzy, 2005).
1

2
Akhmad Fauzy
Penelitian perlu dilanjutkan dengan membandingkan nilai variansi dari ke-2 metode di atas.
1.2. Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari variansi dari data uji hidup
berdistribusi eksponensial tersensor tipe-II dengan metode bootstrap persentil. Selanjutnya
variansi tersebut dibandingkan dengan variansi yang dihasilkan oleh metode tradisional.
1.3. Metode
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data artificial. Data yang dibangun
dianggap sebagai data populasi. Selanjutnya dari data populasi tersebut diambil sampel kecil,
sedang dan besar. Tujuan pengambilan sampel kecil, sedang dan besar adalah untuk melihat
apakah hasilnya tetap konsisten atau tidak. Langkah selanjutnya adalah mencari nilai variansi
dengan metode bootstrap. Kemudian hasil variansi antara metode tradisional dengan metode
bootstrap persentil dibandingkan.
2. LANDASAN TEORI
2.1. Metode Bootstrap Persentil
Bootstrap adalah suatu metode analisis statistik yang berbasis komputasi. Istilah
bootstrap mengandung arti berdiri di atas kaki sendiri dan berusaha dengan sumber daya
minimum. Sumber daya minimum adalah data yang sedikit, atau data yang menyimpang dari
asumsi tertentu atau data yang tidak mempunyai asumsi tentang distribusi populasinya.
Contoh peristiwa yang datanya hanya tersedia sedikit adalah:
- kebocoran reaktor nuklir yang sampai sekarang telah terjadi 3 kali termasuk yang
terakhir di Fukushima Jepang (yang lain di Chernobyl Ukraina dan Three Mile Island
Amerika),
- Tsunami yang dalam kurun waktu 500 tahun telah terjadi 12 kali termasuk yang
terakhir di Jepang,
- gempa bumi berkekuatan di atas 8,5 skala Richter yang sejak tahun 1900 telah
terjadi 11 kali termasuk yang terakhir di Jepang (8,9 skala Richter).
Tujuan utama penggunaan metode bootstrap adalah untuk mendapatkan estimasi yang
baik dari data dengan sampel yang minimum. Penggunaan metode ini perlu bantuan komputer
karena perhitungannya yang kompleks (Efron dan Thibshirani, 1993).
Efron (1979) telah memperkenalkan suatu metode yang merupakan pengembangan dan
perluasan dari metode jackknife yang dinamakan metode bootstrap. Prinsip dari metode
bootstrap adalah sampel dengan pengembalian, yaitu pengambilan sampel buatan (artificial
samples) dari observasi X 1 , X 2, ...,
X n yang telah ada.
2.2. Algoritma Bootstrap
X1,
X 2,
... , X n
X , X , ... , X
X , X , ... , X
X , X , ... , X
.
.
1
1
1
.
.
.
.
X
, X , ... , X B
Gambar 1: Algoritma bootstrap
1
2
2
2
2
.
.
n
n
n
.
.
n
1
2
3
Metode ini berkembang dengan cepat bahkan telah dibukukan antara lain oleh Hall
(1992), Efron dan Tibshirani (1993), Shao dan Tu (1995) dan Chernick (2007). Beberapa penulis
lain yang menggunakan metode bootstrap ialah Leger et al. (1992) yang telah mengupas
teknologi bootstrap dan penggunaannya. Kebolehjadian bootstrap telah dikemukakan oleh
Davison et al. (1992). Efron (1993) telah menganalisis Bayes dan estimasi kebolehjadian dari
selang kepercayaan. Booth dan Hall (1994) telah meneliti aproksimasi Monte Carlo pada
bootstrap. Zelterman et al. (1996) telah menggunakan teknik bootstrap pada model tingkat
bahaya dengan data tersensor. Hall et al. (1999) telah menyarankan menggunakan metode

Variansi dari Data Uji Hidup 3
bootstrap untuk memprediksi selang. Menurut Helmers dan Putter (1995) metode bootstrap
persentil sering memberikan estimasi yang lebih baik dari metode tradisional.
Metode bootstrap persentil juga telah digunakan antara lain untuk mengestimasi selang
kepercayaan 1 dari garis regresi pada kasus variansi tidak homogen (Fauzy, 2000a) dan selang
kepercayaan untuk rata-rata pada sampel berdistribusi t (Fauzy, 2000b). Fauzy dan Ibrahim
(2001a dan 2001b) telah menggunakan metode bootstrap persentil untuk menghitung selang
kepercayaan bersama Bonferroni pada regresi linear sederhana.
2.3. Analisis Uji Hidup
Dalam melakukan eksperimen atau penelitian terdapat beberapa metode yang dapat
digunakan. Dari setiap metode, eksperimen atau penelitian akan menghasilkan data yang
berbeda dan akan dijumpai dua keputusan utama yaitu kejayaan/ keberhasilan atau
kegagalan/kematian. Kejayaan/keberhasilan didefinisikan sebagai individu atau komponen
yang dijumpai masih hidup atau tidak terjadi kerusakan selepas waktu eksperimen berakhir.
Kegagalan/kematian didefinisikan sebagai individu atau komponen yang mati atau rusak
dalam waktu eksperimen atau penelitian berlangsung.
Untuk meningkatkan kualitas suatu hasil industri dan meningkatkan layanan
kesehatan, maka beberapa analisis dari data yang berkaitan perlu dilakukan. Salah satu
analisis yang digunakan untuk tujuan tersebut adalah analisis uji hidup. Tujuan diadakannya
analisis uji hidup menurut Lawless (2003) adalah:
i. Untuk menentukan bentuk statistik yang sesuai dengan distribusi waktu hidup atau
proses kegagalan,
ii. Untuk mengestimasi parameter dari data waktu hidup yang berdistribusi tertentu dan
melakukan uji hipotesis terhadap parameter tersebut,
iii. Untuk meramal batas kepercayaan dari komponen waktu hidup.
Pada awalnya analisis uji hidup berfungsi sebagai salah satu alat analisis tentang waktu
hidup sehingga berlaku kematian atau kerusakan di dalam bidang kedokteran dan teknik.
Sampai saat ini analisis uji hidup telah berkembang ke bidang lain seperti ilmu asuransi,
epidemiologi, ekonomi, demografi dan sebagainya. Di antara buku teks yang menjadi bahan
referensi adalah yang ditulis oleh Elandt-Johnson dan Johnson (1980), Sinha dan Kale (1980),
Miller (1981), Lawless (2003), Cox dan Oakes (1984). Buku teks yang khusus tentang analisis
uji hidup dalam bidang kesehatan dan biologi dapat dilihat dalam Collett (2003), Kleinbaum
dan Klein (2005), Klein dan Moeschberger (2003), Therneau dan Grambsch (2000) dan
Hougaard (2000). Dalam bidang teknik dapat dilihat dalam Birolini (2004), Ushakov (1994),
Bury (1999), Wolstenholme (1999), dan Pham (2003). Beberapa contoh data tentang analisis uji
hidup antara lain:
- lamanya waktu istirahat sebuah gunung berapi (dalam tahun) dari letusan yang satu
ke letusan berikutnya,
- waktu tunggu mahasiswa sejak lulus kuliah sehingga memperoleh pekerjaan,
- waktu tunggu lamanya penyembuhan sejak pasien diobati,
- lamanya produk hasil industri dipakai sehingga mengalami kerusakan.
Yang membedakan analisis uji hidup dengan bidang statistika lainnya adalah adanya
penyensoran. Beberapa tipe penyensoran antara lain sensor lengkap, sensor tipe-I dan tipe-II.
Dalam sensor lengkap atau uji sampel lengkap ini eksperimen akan dihentikan jika semua
komponen yang diuji telah mengalami kematian atau kegagalan semua. Untuk sensor tipe-I,
eksperimen akan dihentikan apabila telah mencapai waktu penyensoran tertentu. Sedangkan
suatu sampel dikatakan tersensor tipe-II apabila eksperimen akan dihentikan setelah
kerusakan atau kegagalan ke-r telah diperoleh. Sensor tipe-II dikembangkan menjadi sensor
tipe-II tunggal, double dan multiple. Sensor tipe-II tunggal adalah penyensoran tipe-II yang
semua datanya lengkap sehingga r kematian atau kerusakan dan tidak terjadi kesalahan dalam
eksperimen. Di bawah ini adalah contoh sensor tipe-II tunggal (artificial data).
31 ; 58 ; 157 ; 185 ; 300 ; 470 ; 497 ; 673
Data 1: Waktu tunggu 8 sarjana sampai memperoleh pekerjaan (dalam bulan)
Adakalanya data waktu hidup dari penyensoran tipe-II tidak dapat digunakan karena
eksperimennya gagal atau salah. Penyensoran tipe-II double ialah penyensoran tipe-II yang
waktu hidup di awal atau diakhir atau keduanya tidak dapat digunakan. Hal ini dapat

4
Akhmad Fauzy
disebabkan oleh individu atau komponen yang digunakan cacat atau rusak atau karena
eksperimennya salah sehingga datanya tidak dapat digunakan. Distribusi eksponensial dengan
data tersensor tipe-II double telah diteliti oleh Fernandez (2000a dan 2000b). Di bawah ini
adalah contoh sensor tipe-II double (artificial data).
- ; - ; 24.4; 28.6; 43.2; 46.9; 70.7; 75.3; 95.5; - ; - ; -
Data 2: Lamanya mengungsi (dalam hari) dari penduduk yang terkena musibah meletusnya
sebuah gunung berapi
Selanjutnya Balakrishnan (1990), Balasubramanian dan Balakrishnan (1992), Fei dan
Kong (1994), Kong dan Fei (1996) dan Kong (1998) telah menguraikan data tersensor tipe-II
multiple dalam distribusi eksponensial. Penyensoran tipe-II multiple ialah penyensoran tipe-II
yang waktu hidup di awal atau diakhir atau keduanya dan di tengah tidak dapat digunakan.
Hal ini dapat disebabkan oleh individu atau komponen yang digunakan cacat atau rusak atau
karena eksperimennya salah sehingga datanya tidak dapat digunakan.
Dalam penyensoran tipe-II multiple terdapat dua kasus, yaitu kasus sederhana
(Balakrishnan, 1990) dan kasus kompleks (Balasubramanian dan Balakrishnan, 1992, Fei dan
Kong, 1994 dan Kong, 1998). Kasus sederhana adalah kasus penyensoran tipe-II yang dijumpai
ada satu blok waktu hidup saja yang tidak dapat digunakan yang berada di tengah data waktu
hidup. Di bawah ini adalah contoh sensor tipe-II multiple kasus sederhana (artificial data).
- ; 21.8; 24.4; 28.6; 43.2; 46.9; -; 75.3; 95.5; 98.1; 138.6; -
Data 3: Lamanya gempa bumi (dalam detik) berkekuatan minimum 8,5 skala Richter
Penyensoran tipe-II multiple dengan kasus kompleks adalah kasus penyensoran tipe-II
yang dijumpai ada lebih dari satu blok waktu hidup yang tidak dapat digunakan yang berada di
tengah data waktu hidup. Di bawah ini adalah contoh sensor tipe-II multiple kasus kompleks
(artificial data).
0.961; 0.990; 1.565; 2.031; 2.204; 2.340; 3.642; 6.008; 6.538; 7.145;
- ; - ; - ;11.937; 15.433;18.234; 18.307; 22.096; - ; - ;
- ; 28.799; 30.692;30.737; 33.702;34.245; - ; - ; - ; -
Data 4: Lamanya produk hasil industri dipakai sehingga mengalami kerusakan (dalam bulan)
Estimasi selang dalam analisis uji hidup yang biasa dicari adalah estimasi selang bagi
parameter, fungsi tahan hidup, fungsi hazard dan kuantil waktu hidup. Selanjutnya bisa dicari
daerah kepercayaannya (confidence band).
Fungsi tahan hidup atau S t didefinisikan sebagai probabilitas suatu individu atau komponen
akan bertahan hidup sampai waktu t (Lawless, 2003).
S
t
PrT
t1
Ft
1
f xdx
f x dx
t
0
t
(1)
Contoh penerapan fungsi tahan hidup:
- Menghitung berapa probabilitasnya manusia masih bisa bertahan hidup sampai waktu
tertentu pada peristiwa Tsunami di Jepang,
- Menghitung berapa probabilitasnya mesin industri masih bisa dipakai/berfungsi sampai
waktu tertentu,
- Menghitung berapa probabilitasnya pasien masih bisa bertahan hidup sampai waktu
tertentu.
Fungsi bahaya (hazard function) atau h t didefinisikan sebagai fungsi yang menunjukkan
tingkat kegagalan/kematian pada waktu t (Miller, 1981):

Variansi dari Data Uji Hidup 5
h
h
t
f
1
t
Ft
f
S
t
t
F
S
t
t
t
dt
Pr t
T
t dt T t
waktu habis dalam
Pr
interval
bertahan hidup
t, t dt setelah waktu t
(2)
Contoh penerapan fungsi bahaya:
- Menghitung berapa tingkat kematian manusia pada waktu tertentu pada peristiwa
Tsunami di Jepang,
- Menghitung berapa tingkat kegagalan/kerusakan mesin industri pada waktu tertentu,
- Menghitung berapa tingkat kegagalan/kematian pasien pada waktu tertentu.
Kuantil didefinisikan sebagai nilai-nilai observasi yang membagi data menjadi n bagian yang
sama.
Contoh, dengan nilai kuantil tertentu dapat dihitung:
- berapa lama waktu hidup yang masih bisa dijalani manusia pada peristiwa Tsunami di
Jepang,
- berapa lama mesin industri masih bisa berfungsi,
- berapa lama waktu hidup yang masih bisa dijalani pasien setelah menjalani proses
pengobatan.
Sebuah daerah kepercayaan (confidence band) digunakan dalam analisis statistik untuk
mewakili ketidakpastian dalam perkiraan kurva atau fungsi berdasarkan data yang terbatas.
Daerah kepercayaan sering digunakan sebagai bagian dari presentasi secara grafis dari hasil
analisis statistik dan berhubungan erat dengan selang kepercayaan.
2.4. Distribusi Eksponensial
Di antara distribusi waktu hidup yang sering digunakan adalah distribusi eksponensial.
Jumlah parameter dari distribusi eksponensial adalah satu dan dua.
Distribusi eksponensial satu parameter
1 t
f t; θ exp ; t 0, θ 0 , (3)
θ θ
dengan θ waktu hidup yang diharapkan atau rata -rata waktu hidup.
Distribusi eksponensial dua parameter
f
1 t
= , dengan waktu garansi.
(4)
θ θ
t
; , θ exp
; x ,
0,
θ 0
Beberapa penulis yang menganalisis distribusi eksponensial dalam analisis uji hidup
adalah Patel (1976) yang menguraikan selang kepercayaan pada data tersensor. Pettitt (1977)
telah melakukan uji goodness of fit pada data tersensor berdistribusi eksponensial
menggunakan statistik Cramer-von Mises. Estimasi selang untuk dua parameter distribusi
eksponensial telah dijelaskan oleh Lawless (1977). Kambo (1978) telah menguraikan estimasi
parameter lokasi dan skala bagi distribusi eksponensial dari sampel tersensor. Nagarsenker
(1980) telah mengulas uji persamaan bagi beberapa distribusi uji hidup eksponensial. Evans

6
Akhmad Fauzy
dan Nigm (1980) membicarakan estimasi Bayesian dari distribusi eksponensial terpangkas kiri.
Regal (1980) telah menguraikan uji F bagi waktu tersensor yang datanya berdistribusi
eksponensial. Brookmeyer dan Crowley (1982) telah membangun selang kepercayaan untuk
median waktu hidup. Miyamura (1982) telah mengestimasi komponen tingkat kegagalan dari
kombinasi komponen dan sistem data untuk komponen waktu hidup berdistribusi
eksponensial. Piegorsch (1987) telah mengestimasi selang berdasarkan metode kebolehjadian
pada dua parameter eksponensial dengan sampel tersensor tipe-I. Fairbanks (1988) telah
menguraikan uji hidup dua tahap untuk parameter eksponensial. Leemis dan Shih (1989) telah
mengestimasi parameter eksponensial dari set data tersensor dari kanan dan kiri. Diciccio dan
Efron (1992) telah menunjukkan keakurasian dari selang kepercayaan pada keluarga
eksponensial dengan metode bootstrap. Metz et al. (1994) telah menggunakan uji Shapiro-Wilk
dan uji Darling pada data berdistribusi eksponensial.
3. HASIL SIMULASI DAN PEMBAHASAN
Sensor Tipe-II Tunggal
Misalkan diketahui sebanyak 5000 data terobservasi dan 500 data tersensor dengan
rata-rata waktu hidup 330 (dalam jam) sebagai populasi (artificial) di bawah sensor tipe-II
tunggal. Beberapa nilai yang dapat diperoleh di bawah distribusi eksponensial antara lain nilai
= 631.346 jam, fungsi tahan hidup pada t = 100 atau S(100) = 0.854 dan kuantil waktu hidup
pada t0.20 = 140.88 jam. Seterusnya sampel diambil dengan ukuran sampel 10 (8 terobservasi
dan 2 tersensor), 25 (20 terobservasi dan 5 tersensor) dan 50 (42 terobservasi dan 8 tersensor).
Pengambilan sampel untuk masing-masing ukuran diulang 200 kali.
Sensor Tipe-II Double
Misalkan diketahui sebanyak 5000 data terobservasi, 150 (r) data waktu hidup di depan
dan 250 (s) waktu hidup di belakang tidak dapat digunakan dengan rata-rata waktu hidup 66
(dalam menit) sebagai populasi (artificial) di bawah sensor tipe-II double. Nilai yang dapat
diperoleh antara lain = 106.58 menit, S(20) = 0.826 dan t0.20 = 23.34 menit. Seterusnya
sampel diambil dengan ukuran sampel 12 (7 terobservasi, r = 2 dan s = 3), 25 (18 terobservasi,
r = 3 dan s = 4) dan 50 (38 terobservasi, r = 7 dan s = 5). Pengambilan sampel untuk masingmasing
ukuran diulang 200 kali.
Sensor Tipe-II Multiple Sederhana
Misalkan diketahui sebanyak 5000 data terobservasi, 100 (r) data waktu hidup di depan,
100 (t) data waktu hidup di tengah dan 100 (s) data waktu hidup di belakang tidak dapat
digunakan dengan rata-rata waktu hidup 330 (dalam jam) sebagai populasi (artificial) di bawah
sensor tipe-II multiple sederhana. Nilai yang dapat diperoleh antara lain = 383.308 jam, S(40)
= 0.901 dan t0.20 = 85.53 jam. Selanjutnya sampel diambil dengan ukuran sampel 14 (10
terobservasi, r = 1, t = 2 dan s = 1), 25 (20 terobservasi, r = 1, t = 2 dan s = 2) dan 50 (42
terobservasi, r = 2, t = 3 dan s = 3). Pengambilan sampel untuk masing-masing ukuran diulang
200 kali.
Sensor Tipe-II Multiple Kompleks
Misalkan diketahui sebanyak 5000 data terobservasi, 100 (r) data waktu hidup di
depan, 400 (t) di tengah dalam 2 blok dengan masing-masing blok 200 waktu hidup dan 100 (s)
data waktu hidup di belakang tidak dapat digunakan dengan rata-rata waktu hidup 10 (dalam
jam) sebagai populasi (artificial) di bawah sensor tipe-II multiple kompleks. Nilai yang dapat
diperoleh antara lain = 12.086 jam, S(10) = 0.437 dan t0.20 = 2.697 jam. Selanjutnya sampel
diambil dengan ukuran sampel 15 (10 terobservasi, r = 0, t = 3 dalam 2 blok dan s = 2), 30 (20
terobservasi, r = 0, t = 6 dalam 2 blok dan s = 4) dan 50 (35 terobservasi, r = 0, t = 10 dalam 2
blok dan s = 5). Pengambilan sampel untuk masing-masing ukuran diulang 200 kali.
Variansi
Selanjutnya dengan menggunakan data sampel yang telah diperoleh, kajian diteruskan
dengan mencari variansi bagi satu dan dua parameter distribusi eksponensial di bawah sensor

Variansi dari Data Uji Hidup 7
tipe-II tunggal, double dan multiple dengan menggunakan metode tradisional dan metode
bootstrap persentil. Variansi yang dihasilkan oleh kedua metode tersebut dapat dibandingkan.
Secara lengkap variansi yang diperoleh dapat dilihat pada tabel di bawah ini.
Tabel 1: Variansi bagi distribusi eksponensial satu dan dua parameter yang dihitung dengan
menggunakan metode tradisional (MT) dan metode bootstrap persentil (MB)
Sensor Tipe-II
Tunggal
Double
Multiple sederhana
Multiple kompleks
Ukuran
sampel
Distribusi eksponensial
satu parameter
Distribusi eksponensial
dua parameter
MT MB MT MB
10 285,444.86 271,828.03 233,554.82 216,407.60
25 391,270.52 370,117.10 366,159.08 341,490.75
50 352,907.64 334,485.60 343,010.64 324,536.90
12 19,469.32 16,467.66 15,578.71 13,513.06
25 14,192.34 11,538.24 13,176.56 10,575.18
50 10,680.04 9,161.21 10,284.17 8,700.19
14 127,642.21 113,002.40 102,838.42 101,706.84
25 162,377.97 151,518.21 148,932.70 130,922.66
50 160,213.03 143,309.72 154,252.09 136,909.99
15 208.28 141.00 145.08 83.96
30 300.65 255.57 263.77 221.90
50 176.04 137.63 159.51 123.29
Variansi dari distribusi eksponensial dua parameter lebih kecil dari variansi distribusi
eksponensial satu parameter di bawah semua sensor tipe-II tunggal, double dan multiple.
Variansi yang dihasilkan oleh metode bootstrap persentil di bawah kasus distribusi
eksponensial satu dan dua parameter pada semua ukuran sampel lebih kecil dari yang
dihasilkan oleh metode tradisional.
4. KESIMPULAN
Dalam penelitian ini dapat disimpulkan bahwa metode bootstrap persentil memberikan
nilai variansi yang lebih kecil daripada metode tradisional sehingga metode bootstrap lebih baik
daripada metode tradisional.
PERSEMBAHAN
Ucapan terima kasih disampaikan yang sebesar-besarnya kepada Direktorat Penelitian
dan Pengabdian Masyarakat (DP2M), Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (Dirjen Dikti),
Kementerian Pendidikan Nasional atas dibiayainya penelitian ini melalui skema Hibah
Kompetensi.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Balakrishnan, N. (1990). On the maximum likelihood estimation of the location and scale
parameters of the exponential distribution based on multiply type II censored samples. Journal of
Applied Statistics, 17(1), 55-61.
[2] Balasubramaniam, K. & Balakrishnan, N. (1992). Estimation for one and two parameter
exponential distributions under multiple type II censoring. Statistical Papers, 33, 203-216.
[3] Birolini, A. (2004). Reliability engineering: theory and practice (4th ed). Berlin: Springer-Verlag.
[4] Booth, J. G. & Hall, P. (1994). Monte Carlo approximation and the iterated bootstrap. Biometrika,
81(2), 331-340.

8
Akhmad Fauzy
[5] Brookmeyer, R. & Crowley, J. (1982). A confidence interval for the median survival time.
Biometrics, 38, 29-41.
[6] Bury, K. (1999). Statistical distributions in engineering. Cambridge: Cambridge University Press.
[7] Chernick, M. R. (2007). Bootstrap Methods: A Practitioners and Researchers. New York: Wiley
Interscience.
[8] Collett, D. (2003). Modeling survival data in medical research (2nd ed.). London: Chapman & Hall.
[9] Cox, D. R. & Oakes, D. (1984). Analysis of survival data. London: Chapman & Hall.
[10] Davison, A. C., Hinkley, D. V. & Worton, B. J. (1992). Bootstrap likelihoods. Biometrika, 79(1),
113-130.
[11] Diciccio, T. & Efron, B. (1992). More accurate confidence intervals in exponential families.
Biometrika, 79(2), 231-245.
[12] Efron, B. (1979). Bootstrap method: another look at the jackknife. The Annals of Statistics, 7(1), 1-
26.
[13] Efron, B. (1993). Bayes and likelihood calculations from confidence intervals. Biometrika, 80(1), 3-
26.
[14] Efron, B. & Tibshirani, R. (1993). An introduction to the bootstrap. New York: Chapman & Hall.
[15] Elandt-Johnson, R. C. & Johnson, N. L. (1980). Survival models and data analysis. New York:
John Wiley & Sons.
[16] Evans, I. G. & Nigm, A. H. M. (1980). Bayesian prediction for the left truncated exponential
distribution. Technometrics, 22(2), 201-204.
[17] Fairbanks, K. (1988). A two-stage life test for the exponential parameter. Technometrics, 30(2),
175-180.
[18] Fauzy, A. (2000a). Selang keyakinan untuk koefisien 1 dari garis regresi apabila ragam galat
tidak homogen dengan metode bootstrap persentil. MIHMI, 6(3), 46-54.
[19] Fauzy, A. (2000b). Estimasi interval konfidensi dari nilai rata-rata pada sampel berdistribusi t
dengan metode bootstrap persentil. MIHMI, 6(5), 241-245.
[20] Fauzy, A. & Ibrahim, N. A. (2001a). Interval konfidensi bersama bonferroni pada regresi linier
sederhana dengan metode bootstrap persentil. Prosiding Seminar Nasional Matematika FMIPA
UGM (pp. 15-22). Yogyakarta: FMIPA UGM.
[21] Fauzy, A. & Ibrahim, N. A. (2001b). Interval rata-rata hasil produksi padi dengan metode
bootstrap persentil. Prosiding Seminar Nasional Statistika V FMIPA ITS Surabaya (pp. 247-253).
Surabaya: Jurusan Statistika ITS.
[22] Fauzy, A., Ibrahim, N. A., Daud, I. & Abu Bakar, M. R. (2003a). Bonferroni joint confidence
intervals for parameters exponential distribution under double type-II censoring with bootstrap
percentile. Eksakta, 5(1), 60-67.
[23] Fauzy, A., Ibrahim, N. A., Daud, I. & Abu Bakar, M. R. (2003b). Bonferroni confidence interval for
two parameter exponential distribution under type-II censoring with bootstrap percentile. Berkala
Ilmiah MIPA, 13(1), 17-28.
[24] Fauzy, A., Ibrahim, N. A., Daud, I. & Abu Bakar, M. R. (2004). Confidence bands for survivor
function on exponential distribution under type-II censoring with bootstrap percentile. Forum
Statistika dan Komputasi, 9(1), 34-38.
[25] Fauzy, A. (2005). Interval estimations for exponential distributions one and two parameter under
tingle and multiple type-II censoring using bootstrap percentiles. Disertasi, Serdang: Universiti
Putra Malaysia
[26] Fauzy, A. (2007a). Confidence bands for survivor function of two parameters exponential
distribution under type-II censoring with bootstrap persentile. Prosiding Seminar Nasional
Statistika FMIPA UNISBA (pp. 15-20). Bandung: Jurusan Statistika UNISBA.
[27] Fauzy, A. (2007b). Confidence bands for survivor function of two parameters exponential
distribution under multiple type-II censoring with traditional method and bootstrap persentile
method. Jurnal Ilmiah Mat Stat, 7(2), 180-190.
[28] Fauzy, A., Supandi, E.D., Ibrahim, N. A., Daud, I. & Abu Bakar, M. R. (2007). Confidence bands
for air pollutan (carbon monoxida) under double type-II censoring with bootstrap percentile.
Proceeding of ICREM 3 (pp. 209-214). Serdang: INSPEM Universiti Putra Malaysia.
[29] Fauzy, A. (2011). Bunga rampai: pemanfaatan metode bootstrap persentil dalam bidang analisis
uji hidup (studi kasus data berdistribusi eksponensial tersensor tipe-II tunggal, double dan
multiple). Yogyakarta: Ardana Media.
[30] Fei, H. & Kong, F. (1994). Interval estimations for one and two parameters exponential
distributions under multiple type II censoring. Commun. Statist.-Theory Meth., 23(6), 1717-1733.
[31] Fernandez, A. J. (2000a). On maximum likelihood prediction based on type II double censored
exponential data. Metrika, 50, 211-220.
[32] Fernandez, A. J. (2000b). Estimation and hypothesis testing for exponential lifetime models with
double censoring and prior information. Journal of Economic and Social Research, 2(2), 1-17.
[33] Hakim, F.B. & Fauzy, A. (2010). Confidence bands for survivor function of one parameter
exponential distribution under double type-II censoring. Prosiding Seminar Nasional Penelitian,
Pendidikan dan Penerapan MIPA (pp. 105-110). Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.

Variansi dari Data Uji Hidup 9
[34] Hall, P. (1992). The bootstrap and Edgeworth expansion. New York: Springer-Verlag.
[35] Hall, P., Peng, L. & Tajvidi, N. (1999). On prediction intervals based on predictive likelihood or
bootstrap methods. Biometrika, 86(4), 871-880.
[36] Helmers, R. & Putter, H. (1995). Bootstrap resampling: a survey of research in the Netherlands.
Proceedings of the Regional Conference on Mathematical Analysis and Statistics. Yogyakarta:
Gadjah Mada University.
[37] Hougaard, P. (2000). Analysis of multivariate survival data (statistics for biology and health). New
York: Springer-Verlag.
[38] Kambo, N. S. (1978). Maximum likelihood estimators of the location and scale parameters of the
exponential distribution from a censored sample. Commun. Statist.-Theory Meth., A7(12), 1129-
1132.
[39] Klein, J. P. & Moeschberger, M. L. (2003). Techniques for censored and truncated data (statistics
for biology and health) 2nd ed. New York: Springer-Verlag.
[40] Kleinbaum, D. G. & Klein, J. P. (2005). Survival analysis: A self-learning text (statistics in the
health sciences) 2nd ed. New York: Springer-Verlag.
[41] Kong, F. (1998). Parameter estimation under multiply type II censoring. Handbook of Statistics,
17, 315-335.
[42] Kong, F. & Fei, H. (1996). Limit theorems for the maximum likelihood estimators under multiple
type II censoring. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 48, 731-755.
[43] Lawless, J. F. (1977). Prediction intervals for the two parameters exponential distribution.
Technometrics, 19(4), 469-472.
[44] Lawless, J. F. (2003). Statistical models and methods for lifetime data (2nd ed.). New York: John
Wiley & Sons.
[45] Leemis, L. & Shih, L. (1989). Exponential parameter estimation for data sets containing left and
right censored observations. Communications in Statistics-Simulation and Computation, B18(3),
1077-1086.
[46] Leger, C., Politis, D. N. & Romano, J. P. (1992). Bootstrap technology and applications.
Technometrics, 34(4), 378-396.
[47] Metz, J. A. J., Haccou, P. & Mellis, E. (1994). On the shapiro-wilk test and darling’s test for
exponentiality. Biometrics, 50, 527-530.
[48] Miller, R. G. (1981). Survival analysis. New York: John Wiley & Sons.
[49] Miyamura, T. (1982). Estimating component failure rates from combined component and systems
data: exponentially distributed component lifetimes. Technometrics, 24(4), 313-318.
[50] Nagarsenker, P. B. (1980). On a test of equality of several exponential survival distributions.
Biometrika, 67(2), 475-478.
[51] Patel, J. K. (1976). Confidence intervals using cencored data. Technometrics, 18(2), 221-225.
[52] Pettitt, A. N. (1977). Tests for the exponential distribution with censored data using Cramer-von
mises statistics. Biometrika, 64(3), 629-632.
[53] Pham, H. (2003). Handbook of reliability engineering. London: Springer-Verlag.
[54] Piegorsch, W. W. (1987). Performance of likelihood-based interval estimates for two parameter
exponential samples subject to type I censoring. Technometrics, 29(1), 41-49.
[55] Regal, R. (1980). The F test with time-censored exponential data. Biometrika, 67(2), 479-481.
[56] Shao, J. & Tu, D. (1995). The jackknife and bootstrap. New York: Springer-Verlag.
[57] Sinha, S. K. & Kale, B. K. (1980). Life testing and reliability estimation. New Delhi: Wiley Eastern
Limited.
[58] Therneau, T. M. & Grambsch, P. (2000). Modeling survival data: extending the Cox model
(statistics for biology and health). New York: Springer-Verlag.
[59] Ushakov, I. A. (1994). Handbook of reliability engineering. Toronto: John Wiley & Sons.
[60] Wolstenholme, L. C. (1999). Reliability modeling: a statistical approach. Florida: Chapman & Hall.
[61] Zelterman, D., Le, C. T. & Louis, T. A. (1996). Bootstrap techniques for proportional hazards
models with censored observations. Journal of Statistics and Computing, 6, 191-199.