Trigonometri

Pelatihan-osn.com
Konsultan Olimpiade Sains Nasional
TRIGONOMETRI
Konversi Sudut
1° = 1
π
putaran= rad = 60 menit 360 180 (60′ ) = 3600 detik (3600")
1 rad = 180°
π = 1
2π putaran
ket : yang didalam kurung merupakan cara penulisan
Perbandingan Geometri
sin t = y r
cosec t = r y
cos t = x r sec t = r x
tan t = y x
cot t = x y
Sifat-sifat dari perbandingan trigonometri
cosec t = 1
1
1 sin t cos t
sec t = cot t = tan t = cot t =
sin t cos t tan t cos t sin t
Invers Fungsi Trigonometri
Jika cos x = a, maka inversnya adalah
x = arc cos a. Begitu juga perbandingan trigonometri lainnya, inversnya dilambangkan menjadi
arc sin, arc tan, arc sec, arc cot, arc cosec.
Adapun lambang lain dari invers adalah :
cos −1 , sin −1 , tan −1 , cot −1 , sec −1 , cosec −1 {tapi hati2 dengan tanda ini, karena bisa saja berarti emang
tanda pangkat, contohnya tan −1 = 1
, jadi untuk tanda yang seperti ini mesti sesuai dengan soal,
tan
apakah itu tanda invers, atau tanda pangkat}
By : Rahmad AzHaris

Pelatihan-osn.com
Konsultan Olimpiade Sains Nasional
Nilai perbandingan geometri untuk sudut khusus
Besar sudut t
sin t
cos t
tan t
0° 30° 45° 60° 90°
0
1
0
1 1
2 2 2
1
2 3 1
2 2
1
3 3 1
1
2 3
1
2
3
1
0
-
Trigonometri di bidang kartesius
Dibidang kartesius Sudut yang dibentuk segitiga adalah sudut antara sisi miring segitiga siku-siku ke
sumbu x positif. Tinggi segitiga
merupakan ordinat y, alas
segitiga merupakan absis x, dan
panjang sisi miring segitiga
merupakan r.
Daerah yang ditandai dengan
angka romawi merupakan
daerah kuadran I,II, III, dan IV
r 2 = x 2 + y 2
Tanda positif-negatif
perbandingan trigonometri
tergantung daerah kuadrannya. Contoh sudut 120°
Merupakan daerah kuadran II, di daerah itu, nilai x negatif, y positif, dan nilai r selalu positif disemua
kuadran. Jadi nilai sin 120° = y bernilai positif, sedangkan cos 120° = x dan tan 120° = y bernilai
r r x
negatif.
By : Rahmad AzHaris

Pelatihan-osn.com
Konsultan Olimpiade Sains Nasional
Tanda di daerah kuadran (−/+)
sin t
cos t
tan t
I II III IV
+
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
Sudut-sudut yang berelasi
sin −α = − sin α cos −α = cos α tan −α = − tan α
sin(k. 360° + α) = sin α cos(k. 360° + α) = cos α tan(k. 360° + α) = tan α , untuk setiapk bilangan
bulat
sin(90° − α) = cos α cos(90° − α) = sin α tan(90° − α) = cot α cot(90° − α) = tan α
sin(180° − α) = sin α cos 180° − α = − cos α tan 180° − α = − tan α
sin(180° + α) = − sin α cos 180° + α = − cos α tan 180° + α = tan α
sin(k. 360° − α) = − sin α cos k. 360° − α = cos α tan k. 360° − α = − tan α, untuk setiap k
anggota bilangan bulat
Contoh
cos 120° = cos 180 − 60 ° = − cos 60° = − 1 2
tan 1100° = tan(3.360° + 30°) = tan 30° = 1 3 3
Identitas Trigonometri Dasar
a) sin 2 t + cos 2 t = 1
Bukti :
sin t = y r , sin2 t = y2
r 2
By : Rahmad AzHaris

Pelatihan-osn.com
Konsultan Olimpiade Sains Nasional
cos t = x r , cos2 t = x2
r 2
sin 2 t + cos 2 t = x2 + y 2
r 2
Berdasarkan dalil Phytagoras x 2 + y 2 = r 2 sehingga
sin 2 t + cos 2 t = x2 + y 2
r 2
b) 1 + tan 2 t = sec 2 t
= r2
r 2 = 1
c) 1 + cot 2 t = cosec 2 t {untuk 2 sifat lainnya silahkan dibuktikan sebagai bahan latihan}
Rumus Trigonometri
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
cos a + b = cos a cos b − sin a sin b
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a tan b
tan a − tan b
tan(a + b) =
1 + tan a tan b
{modifikasi rumus ini untuk mendapatkan nilai sudut 2a dan a untuk setiap perbandingan trigonometri}
2
cos a cos b = 1 2 cos a + b + 1 cos(a − b)
2
sin a sin b = 1 2 cos a − b − 1 cos(a + b)
2
a + b a − b
sin a + sin b = 2 sin cos
2 2
a + b a − b
sin a − sin b = 2 cos sin
2 2
a + b a − b
cos a + cos b = 2 cos cos
2 2
a + b a − b
cos a − cos b = − 2 sin sin
2 2
2 sin(a + b)
tan a + tan b =
cos a + b + cos(a − b)
sin a cos b = 1 2 sin a + b + 1 sin(a − b)
2
By : Rahmad AzHaris

Pelatihan-osn.com
Konsultan Olimpiade Sains Nasional
2 sin(a − b)
tan a + tan b =
cos a + b + cos(a − b)
{buktikan kedelapan rumus diatas dari rumus jumlah dan selisih sudut trigonometri sebelumnya}
Contoh : Tentukan nilai sin 15°
sin 15° = sin 45° − 30° = sin 45° cos 30° − sin 30° cos 45° = 1 2 2 . 1 2 3 − 1 2 . 1 2 2 = 1 2 ( 6 − 2)
Basic Problems
1. Tentukan nilai (cos, sin, tan, cot, sec, cosec) untuk nilai sudut 435°
2. Buktikan identitas trigonometri berikut
a. 4 sin 2x cos 2x cos x = sin 5x + sin 3x
b.
sin 2x
sin x
(1+cos 2x)
=
cos x
c.
sin a+b
sin a−b
=
tan a+tan b
tan a−tan b
3. Tentukan nilai dari cos π 2 cos − 7π 2 + sin − 7π 2 sin π 2
4. Jika tan x tan y = 25 dan cot x + cot y = 30, maka nilai tan(x + y) adalah.
Advanced Problems
1. Buktikan a cos x + b sin x = k cos(x − α), dimana k = a 2 + b 2 dan α = arc tan b a
2. Nilai x yang memenuhi 0 ≤ x ≤ π dan dan
1
sin 2 x
2010
= 2 2010 2 cos π 2 cos π 4
… cos
π
2010
3. Jika x 1 , x 2 , … , x 2011 bilangan real, maka nilai terkecil dari
cos x 1 sin x 2 + cosx 2 sinx 3 + ⋯ + cosx 2011 sin x 1
adalah…
4. Misalkan f y = 3 + 1 sin y + ( 3 − 1 cos y. Nilai maksimum untuk f y 2 dimana y
adalah bilangan real adalah…
By : Rahmad AzHaris