Ariketak

EKONOMETRIA 

IRAKASGAIAREN 

AZTERKETEN 

BILDUMA 

c○ UPV/EHU 2012ko urtarrila

Bilduma honen erreprodukzioa eta baita bere kopien banaketa egitea baimenik gabe, debekaturik dago. 

Halaber beste eskubide infrakzioak egitea ere. Publikatze eskubide guztiak UPV/EHUko Ekonomia eta 

Enpresa Zientzia Fakultateko Ekonometria eta Estatistikaren Sailak ditu. 

c○UPV/EHU 2012 

Egileak: 

Alonso Aurora 

Arteche Josu 

Díaz-Emparanza Ignacio 

Esteban M. Victoria 

Fernández Ana 

Goitisolo Beatriz 

Gallastegui Inmaculada 

Mariel Petr 

Modroño Juan I 

Moral M.Paz 

Murillo Iñaki 

Oguiza Ainhoa 

Orbe Susan 

Orbe Jesus 

Regúlez Marta 

Virto Jorge 

Zubia Marian

Edukia 

ARIKETA PZ-O.1 (93ko otsaila) 1 


ARIKETA PZ-O.3 (93ko ekaina) 1 


ARIKETA PZ-O.6 (93ko iraila) 2 






















ARIKETA PZ-E.1 (93ko otsaila) 14 




ARIKETA PZ-E.6 (93ko ekaina) 16 


ARIKETA PZ-E.8 (93ko iraila) 17 







ARIKETA PZ-E.18 (95eko otsaila) 20 



ARIKETA PZ-E.21 (95eko ekaina) 22 




ARIKETA PZ-E.26 (95eko iraila) 24 

ARIKETA PZ-E.27 (95eko iraila) 24 

ARIKETA PZ-E.30 (96ko otsaila) 24





















ARIKETA EL-1997.1 (97ko ekaina) 38 



ARIKETA EL-1997.4 (97ko iraila) 39 



ARIKETA EAZL 1997.1 (97ko ekaina) 40 


ARIKETA EAZL 1997.3 (97ko iraila) 41 



ARIKETA EL 1998.1 (98ko ekaina) 43 




ARIKETA EL 1998.5 (98ko iraila) 45 














ARIKETA EAZL 1999.3 (99ko ekaina) 55

ARIKETA LE/LADE-1999.1 (99ko iraila) 56 




















ARIKETA EL 2001.1 (01eko ekaina) 70 



ARIKETA EL 2001.4 (01eko iraila) 72 




ARIKETA EAZL 2001.1 (01eko ekaina) 74 



ARIKETA EAZL 2001.4 (01eko iraila) 78 


















ARIKETA EAZL 2002.8 (02ko abendua) 93 

ARIKETA EAZL 2002.9 (02ko abendua) 93





ARIKETA EL 2003.1 (03eko urtarrila) 95 








GALDEKETA EAZL-2003 (Ekai-2003) 102 

GALDEKETA EAZL-2003 (Irai-2003) 117 

ARIKETA EAZL-2004.1 (Ekaina-2004) 131 




ARIKETA EAZL-2004.5 (Iraila-2004) 133 































ARIKETA EAZL-2008.7 (Iraila-2008) 155

















ARIKETA EAZL-2011.6 (Iraila-2011) 172

PLANGINTZA ZAHARREKO 

ARIKETAK

ARIKETA PZ-O.1 (93ko otsaila) 

Enpresa baten inbertsioa (Yi) eta mozkinen (Zi) arteko erlazioa ezaguna da: 

Yi = α +βZi +ui 

nonui perturbazio aleatoria den. 100 enpsesetako aldagaien datuak izanik, eredukoαetaβ parametroak 

Karratu Txikienen Arrunten bitartez estimatu nahi dira. 

a) Mozkin handia duten enpresen inbertsioa, mozkin txikia duten enpresena baino aldakorragoa dela 

susmatzen da, hau da bar(Yi|Zi), Zi-ren funtzio gorakor bat dela. 

I) Erregresio lineal ereduaren zein hipotesi ez da betetzen? 

II) Zeintzu ondorio dauzka honekαetaβren KTAko estimazioetan? 

III) Zeintzu ondorio dauzka ˆαKTA eta ˆ βKTA-ren bariantzen estimatzaileen gain, hau da ˆσ 2 (X ′ X) −1 

ren gain? 

b) Eredu linealeko erregresioan oinarrizko hipotesi guztiak betetzen direlarik eta perturbazioak banaketazko 

funtzio normal baten bitartez banatzen ez direlarik: 

I) Zer gertatzen da ˆαKTA eta ˆ βKTA ren propietateekin ? 

II) Ohiturazko t-estatistikoa erabiliz H0 : β = 0 hipotesiaren kontrastean, zer esan dezakezu 

bere baliogarritasunari buruz? Asintotikoki baliagarria da? Zergatik? 


Esan ezazu, zergatia azalduz, ea hurrengo baieztapena egiazkoa edo faltsua den: 

Yt = a +bYt−1 +cXt +ut 

ut = 0, 5ut−1 +ǫt 

ǫt ∼ NI(0,σ 2 ) 

ereduan Karratu Txikien Arrunten metodoaren bitarteza,beta c-ren estimatzaile tinkoak lortzen dira. 

ARIKETA PZ-O.3 (93ko ekaina) 

Kontsidera ezazu ondorengo eredua: 

Yt = α +βXt +ut 

nonXt erregresore ez estokastikoa den etaut ∼ N(0,σ 2 t )∀t. 

1

a) Zeintzuk diraαeta βren KTAko estimatzaileen propietateak? Deriba ezazu bere banaketa. 

b) Azal ezazu nola lortuko zenukeen KTAko estimatzaileen propietateak baino hobeagoak dituen 

α eta β ren beste estimatzaile alternatiboren bat. Nolako arazoa sortzen da σ 2 t, t = 1,...,T 

balioak ezezagunak izanez gero? Nola konponduko zenuke arazo hau? 

c) σ 2 t ∀t ezagunak direla suposatuz, azal ezazu zehatz-mehatz H0 : β = 1 hipotesia kontrastatzeko 

erabidea. 




nonXt ondorengo pozedura estokastikoak sortutako erregresore aleatorioa den: 

Xt = 0, 7Xt−1 +vt vt ∼ ibb(0,σ 2 v) ∀t 

Azal itzazu α eta β ren KTAko estimatzaileen propietateak ondorengo kasu bakoitzean eta baita propietate 

hobeagoak dituen beste estimatzaile alternatiboren bat proposatuko zenukeen ala ez ere. 

a) ut eta vt perturbazioak aldagai aleatorio independenteak dira eta ut ∼ NIB(0,σ 2 u),∀t. 

b) ut eta vt aldagai aleatorio independenteak dira non ut = 0, 5ut−1 +ǫt eta ǫt ∼ NIB(0,σ 2 ǫ),∀t. 

c) ut eta vt aldagai aleatorioak dira, non ut ∼ NIB(0,σ 2 

u) eta 

5 si t = s 

E(utvs) = ∀t,∀s. 

0 si t = s 

ARIKETA PZ-O.6 (93ko iraila) 

Azal ezazu hurrengo ereduaren koefizienteen KTAko estimatzaileek nolako propietateak dituzten: 

Yt = aYt−1 + bXt +Ut 

Ut ∼ ibb(0,σ 2 ) 

Zer gertatuko litzateke perturbazioek hurrengo jokaera balute: Ut = ρUt−1 +et, et ∼ N(0,σ 2 e)? 


Kontsidera ezazu ondorengo eredu dinamikoa: 

Yt = α +β1Yt−1 +β2Xt−1 +β3Xt−2 +Ut 

2 

t = 1,...,T

nonUt = ρUt−1 +ǫt ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ) eta Xt erregresore finkoa den∀t. 

a) Aipatu eta azal itzazu KTAko estimatzaileen propietateak ondorengo kasu bakoitzean: 

I) β1 = 0 denean. 

II) ρ = 0 denean. 

III) β1 = 0 etaρ = 0 direnean. 

IV) Parametro guztiak zerotik ezberdinak direnean. 

b) Komenigarria diren kasuetan, proposa ezazu beste estimatzaile alternatiboaren bat, zure aukeraren 

zergatia azalduz. 


Ikertzaile batek, nazio baten kontsumorako propentzio marginala estimatu nahi du serie denboraleko 

urteroko datuekin eta KTAk erabiliz, ondorengo ereduan: 

Kt = α +β1Y d 

t +β2Tt +Ut 

nonUt ∼ ibb(0,σ 2 u), E(Y d 

t Ut) = 0 etaE(TtUt) = 0 

Kt : Kontsumoa den. 

Y d 

t : Errenta erabilgarria den. 

Tt : Zergen biltzea den. 

t = 1,...,T 

Arazoa, errenta erabilgarria behagarria ez delako sortzen da, behatzen dena baterako errenta delarik, Yt, 

zeina errenta erabilgarriarekin ondorengo expresioaren bitartez erlazionatzen dela uste den: 

Yt = Y d 

t +ǫt ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ) 

E(Y d 

t ǫt) = 0 E(ǫtUt) = 0 E(Ttǫt) = 0 

β1 eta β2 KTAen bitartez estimatzeko orduan, eredua behagarriak diren aldagaiekin kontsideratzen badugu,β1ren 

KTAko estimatzailea tinkoa izango al da? Zergatik? Etaβ2rena? Azal ezazu zure erantzuna. 

3


Izan bedi: 

Yt = α +βXt +γYt−2 +ut 

non Xt ∀t ez estokastikoa den et ut lehen ordenako batezbesteko higikorren autokoerlazioa duen. 

KTAko estimatzaileak tinkoak al dira? Efizienteak? Azal ezazu zehazki zure erantzunen zergatiak eta 

proposa ezazu estimazio metodo alternatiboren bat. 


Izan bedi ondorengo eredua: 


t = 1,...,T 

non: E(u 2 t) = σ 2 t 

E(ut) = 0 

E(utus) = 0 baldint = s Xt ez estokastikoa 

a) Lor ezazu α eta βren KTAko estimatzailea, alboragabea den ala ez frogatuz. Lor ezazu bere 

bariantz-kobariantz matrizea. 

b) Ereduko parametroen KTAko estimatzaileak erabiliz, H0 : β = 0 hipotesia kontrastatzeko behintzat 

asintotikoki baliagarria den estatistikoa zein izango litzateke? Zergatik? 

c) σ 2 t = σ 2 X 2 t izanez, nola lor daitezke α eta βren estimatzaile efizienteak? Arrazona ezazu zure 

erantzuna. 

d) Nola kontrastatu daitekeσ 2 t = σ 2 X 2 t dela? Azal ezazu erabiliko zenukeen kontrastearen prozedura 

zehatz-mehatz, hipotesi hutsa eta alternatiboa adieraziz. 


Herri bateko ardo eskariarentzat ondorengo zehazpena proposatu da: 

Qt = β1Pt +ut 

non ut ∼ ibb(0, 0,0921) den. Beste aldetik, prezioa (Pt) kantitatearekin, Qt, era berdinean determinatzen 

denez, Pt utrekin koerlatuta egon daitekela susmatzen da. Gainera, gordeketa kostu indizearen, St, 

balioak dauzkagu, zeintzuk exogenoki determinatzen diren. Beraz utrekiko independentea dela kontsideratu 

daiteke. 1955-1975 urtetako ondorengo hiruhilabeteko datuak emanik: 

4

PtQt = 1, 78 

P 2 t = 0, 507 

StQt = 2, 754 

S 2 t = 2, 1417 

PtSt = 0, 50 

a) Erabil ezazu Hausmanen kontrastea susmo hori kontrastatzeko, kontrastearen funtzionamendua 

azalduz.(Laguntza: hipotesi hutsaren menpean ˆ q ′ [Bar(ˆq)] −1 ˆq estatistikoak k askatasun gradu dituen 

X 2 batera banaketan konbergitzen du kasu honetan.) 

b) Kontrastearen emaitzak emanik, zein estimatzaile aukeratuko zenuke? Zergatik? 


Ikertzaile batek, Bizkaiko eta Arabako kontsumo funtzioa, errenta eta populazioaren funtzioan aztertzeko, 

ondorengo eredua proposatzen du: 

K B t = β1R B t +β2P B t +u B t t = 1,..,T 

K A t = γ1R A t +γ2P A t +u A t t = 1,..,T 

nonK B t ,R B t etaP B t t uneko kontsumo, errenta eta populazioa diren Bizkaiarentzat, etaK A t ,R A t etaP A t 

Arabari dagozkionak. 

Ondorengo ataletan azal ezazu ereduko parametroak estimatzeko metodo efizienteren bat. Aipatu ezazu 

kasu bakoitzean, eredua, perturbazioen bariantz-kobariantz matrizea eta ea estimatzeko metodorik 

baliokideren bat existitzen den. Arrazona ezazu erantzuna. 

a) u B t ∼ ibb(0, 2), u A t ∼ ibb(0, 4),kob(u B t ,u A s ) = 0, edozein t,s. 

b) u B t ∼ ibb(0, 2), u A t ∼ ibb(0, 4),kob(u B t ,u A s ) = 3 edozein t=s eta 0 bestelako kasuan. 

c) β1 = γ1,u B t ∼ ibb(0, 2), u A t ∼ ibb(0, 4),kob(u B t ,u A s ) = 0, edozein t,s. 

d) bar(u B t ) = 2P B t ,bar(u A t ) = 4,kob(u B t ,u A s ) = 0, edozein t,s. 

e) bar(u B t ) = 2 eta u A t = 0,5u A t−1 +ǫt, nonǫt ∼ ibb(0, 1), kob(u B t ,u A s ) = 0 edozein t,s. 


Arrazona ezazu hurrengo baieztapenak egiazkoak ala gezurrezkoak diren. 

a) Ordezkako Aldagaien estimatzailea Karratu Txikienen Arruntetako estimatzailea baino orokorragoa 

da, azken hau lehenengokoaren kasu berezi bat bezala ikusi daitekelako. 

5

) Erregresio eredu batetan, heterozedastizitatearen existentziak ez du inolako arazorik sorterazten 

Karratu Txikienen Arruntetako estimazioan, baldin eta bariantz-kobariantz matrizearen estimatzaile 

tinko bat erabiltzen bada koefizientei buruzko hipotesiak kontrastatzerakoan, adibidez Whiten 

estimatzailea. 

c) Durbin-Watsonen kontrastea ez da egokia baldin eta aldagai endogenoaren atzerapenak badaude, 

ez da ere aldagai exogenoen atzerapenak agertzen badira. 

d) Erregresio lineal orokorreko ereduan, erregresoreak estokastikoak baldin badira eta E(Xitut) = 

0 (i = 1, 2,...K,t = 1, 2,....T) betetzen bada, orduan KTAko estimatzaileek dituzten propietateak 

bai lagin txikietan, bai lagin handietan, erregresore finkoak kontsideratuko bagenituen 

kasuaren bezalakoak dira. 


Zinemazale batek, nazio eta atzerritar filmek duten ikuslegoa eta funtzionamenduan dauden gela komertzialen 

arteko erlazioa analizatu nahi du. Ondorengo aldagaien urteroko datuak dauzka Bizkaiarentzat 

1980tik eta 1992rarte: 

Y1t = nazio filmen ikusle kopurua milakoetan. 

Y2t = atzerritar filmen ikusle kopurua milakoetan. 

Xt = funtzionamenduan dauden merkatal gelen kopurua. 

Filme mota bakoitzarentzat ekuazio bat estimatzerakoan KTAen bitartez, ondorengo emaitzak lortu ditu: 

ˆY1t = 1372, 44583 

(2,38) 

− 43, 6473 

(-1,9869) 

Xt + 0, 415071X 

(2,7487) 

2 t 

R 2 1 = 0, 9571 ¯ R 2 1 = 0, 94858 HKB1 = 1699384, 61 DW1 = 2, 59 

ˆY2t = 8138, 47121 

(2,4812) 

− 193, 3502 

(-2,2203) 

Xt + 1, 694243X 

(3,14984) 

2 t 

R 2 2 = 0, 89693 ¯ R 2 2 = 0, 876316 HKB2 = 2655102, 64 DW2 = 1, 6316 

a) Kontrasta ezazu filme mota bakoitzarentzat eta %5eko esangura maila erabiliz, ea ikusle kopurua 

eta funtzionamenduan dauden gela kopuruaren arteko erlazioa kuadratikoa den. Zehaz itzazu 

kontrastea oinarritzen den balizkoen gain, hipotesi hutsa eta alternatiboa ere. 

b) Zertarako erabiltzen da DW estatistikoa? Definitu ezazu. Lortutako emaitzak emanik, arazoren 

bat dagoela esan al daiteke? 

6

c) Filme bakoitzaren bariantzak denboran zehar konstanteak direla suposatuz, erabil ezazu Goldfeld 

eta Quandten kontrastea %5eko esangura mailarekin, nazio eta atzerritar filmei dagozkien bariantzak 

berdinak direla kontrastatzeko. Zehaz itzazu kontrastea oinarritzen den balizkoen gain, 

hipotesi hutsa eta alternatiboa ere. 

Ondoren zinemazaleak hurrengo eredua estimatzen du Karratu Txikienen Arrunten bitartez: 

Yit = β1 +β2Xt +β3X 2 t +Uit i = 1, 2 t = 1980,...,1992 

eta lortutako emaitzak hauek dira: 

ˆYit = 4010, 51535 

(2,8097) 

− 95, 52055 

(-2,5206) 

HKB3 = 58892726, 9 

Xt + 0, 837716X 

(3,578875) 

2 t 

e) Kontrasta ezazu %5eko esangura mailarekin, ikusle kopurua eta funtzionamenduan dauden merkatal 

gelak erlazionatzen dituen ekuazioaren parametroak, filme nazional eta atzerritarrentzat berdinak 

direlaren hipotesi hutsa. 


Ondorengo eredua emanik: 

Yt = βXt +Ut Ut ∼ ibb(0,σ 2 u) 

eta Xt ez estokastikoa da. Ekonometrak ez du Xt aldagaia behatzen, baina Xt-ri hurbiltzen zaion X ∗ t 

beste aldagai baten behaketak dauzka : 

non 

X ∗ t = Xt +ǫt 

ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ) 

E(ǫtut) = 0 ∀t 

a) Froga ezazuXt-ren ordezX ∗ t erabiltzeak, ondorengo ereduko ˆ βKTA estimatzailea ez tinkoak dela. 

Yt = βX ∗ t +vt 

t = 1,...,T 

b) Zein estimazio metodo erabili dezakezu βren estimatzaile tinko bat lortzeko? Idatz ezazu proposatu 

duzun estimatzailearen formula eta baita tinkoa izateko behar dituzun baldintzak ere. 



nonUt = ρUt−1 +ǫt, | ρ |< 1 eta ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ) 

Yt = β1 +β2Xt +β3Yt−1 +Ut 

7

a) β1,β2 etaβ3ren KTAko estimatzaileak linealak eta alboragabeak al dira? Zergatik? Arrazona ezazu 

erantzuna. 

b) β1,β2 eta β3ren KTAko estimatzaileak tinkoak al dira? Zergatik? Arrazona ezazu zure erantzuna. 

c) Ordezko aldagaien estimatzailea erabili nahi baldin baduguβ1,β2 etaβ3 parametroen estimatzaile 

tinkoak lortzeko, Yt−2,Yt−1ren ordezkako aldagai egokia al da? Zergatik? 


Merkatari batek, 1960-1995 epeko oihal kontsumoa (Y ) aztertu nahi du errenta erabilgarriaren funtzioan 

(X). Urte hauentzat dauzkan behaketak populazio talde birenak dira: Emakumeak eta Gizonak. Proposatzen 

duen eredua ondorengoa da: 

Y E 

t = α E +β E X E t +U E t U E t ∼ NIB(0,σ 2 E) t = 1960,..., 1995. 

Y G 

t = α G +β G X G t +U G t U G t ∼ NIB(0,σ 2 G) t = 1960,..., 1995. 

nonE goi-indizea emakumeazkoari dagokio etaG, gizonezkoari. Merkatari honek zehazpen hau proposatzen 

du, zeren eta emakumeak gizonekiko kontsumo autonomo eta kontsumorako propentsio marginala 

ezberdina daukatela pentsatzen bait du. 

a) Lagin biak independenteak eta σ2 E = σ2 G direla suposatzen bada, nola burutuko zenuke kontraste 

bat, merkatariaren ustea baieztatzeko? Zehaz itzazu hipotesi nulua, alternatiboa, estatistikoa bere 

banaketarekin eta erabakitze araua. 

b) Lagin biak independenteak suposatzen badira bainaσ2 E = σ2 G , aurreko atalean egindako kontrastea 

zuzena izango al litzateke? Erabil ahal dezakegu Whitek proposatutako KTAko estimatzailearen 

bariantz-kobariantz matrizearen estimatzailea arazo hau konpontzeko? Azal ezazu nola egingo 

zenukeen kontrastea azken hau erabiliz. 


Enpresa batek produktu baten laborazio kostu totalak estimatu nahi ditu, fabrikazioan erabilitako lehengaien 

funtzioan. Honetarako zehaztu duen eredua ondorengoa da: 

Kt = β1 +β2LHt +Ut 

a) 80 tamainuko lagin batekin, enpresako ekonomilariak eredua KTAn bitartez estimatzen du eta 

Durbin-Watson estatistikoaren balioa DW = 0, 8846 da. Zer adierazten du estatistiko honen balioak? 

8

) Ekonomilari honek ereduaren zehazpena beharbada okerra izan daitekela uste du. Barnean dauden 

aldagaiekiko koerlatuta dagoen aldagairen bat kanpoan utzi duelakoan dago. Zt aldagai azaltzaile 

baten behaketak dauzka, zeina Utrekiko independentea den eta LHtrekin oso koerlatuta dagoen. 

Kontrasta al daiteke arazo honen existentzia Hausmanen kontrastearen bitartez? Azal ezazu zehatzmehatz 

nola burutuko zenukeen kontraste hau. 

c) Zehazpen txarraren arazoa konpontzeko egokia izango al litzateke Cochranne-Orcutten metodoa? 

Zein soluzio proposatuko zenuke? Arrazona ezazu zure erantzuna. 


1990. urtean, errenta per kapitak (RTA), turismo kostetan (K) duen eragina analizatu nahi da. Europako 

20 herrialdeen sekzio gurutzatutako datuak erabiliz ondorengo emaitzak lortu dira KTAk erabiltzerakoan: 

ˆKi = 0, 41556 + 0, 06743RTAi 

R 2 = 0, 87358 HKB = 262, 9587 

(0,422) 

(0,0067) 

Heterozedastizitate existentziaren susmoa dago, bariantza herrialde populazioarekin, (POPi), erlazio 

gorakor bat duela susmatzen da. 

a) Kontrasta ezazu susmo hau ondoren ematen den informazioarekin. Arrazona ezazu zure erantzuna 

eta adieraz ezazu hipotesi hutsa eta alternatiboa. 

U 2 i = −2, 68901 + 0, 152RTAi 

− 0, 000257RTA 

2 i + ˆw1i 

(4,238) 

(0,0732) 

(0,000176) 

R 2 = 0, 4 

U 2 i 

13, 15 = ˆα0 + ˆα1POPi + ˆw2i R 2 = 0, 871 HKB = 3, 1102181 

b) Aurreko kontrastearen emaitzak kontutan harturik, zein estimazio metodo erabiliko zenuke? Zergatik? 

Idatz ezazu nola lortuko zenukeen estimatzaile hori eta izenda itzazu bere propietateak. 


A eta B bi udal auzo, beraien kontsumo portaeraren ikerketa bat egin nahi dute. Horretarako ondorengo 

ekuazioak zehazten dituzte: 

non K j 

t 

P j 

t 

K A t = α1R A t +α2P A t +U A t t = 1,..,T U A t ∼ NIB(0,σ 2 A) 

K B t = β1R B t +β2P B t +U B t t = 1,..,T U B t ∼ NIB(0,σ 2 B) 

j udalaren kontsumoa den t unean, Rj t j udalaren familien batezbesteko errenta den t unean eta 

j udalaren populazioa den t unean nonj = A,B. 

9

E(U A t U B s ) = 

 

σAB t = s baldin bada 

0 bestelako kasuan 

Adieraz ezazu ondorengo kasu bakoitzarentzat nola kontrastatuko zenukeen hipotesi hutsa bakoitza. Azal 

ezazu arrazonatuz, zein estimazio metodo aukeratzen duzun, kontrastearen estatistikoa eta kontrastea 

baliogarria izateko behar diren balizkoak. 

a) σAB = 1,σ 2 A = 2,σ2 B = 2 baldin bada. Kontrasta ezazu H0 : α1 +α2 = 0 hipotesia. 

b) σAB = 0,σ 2 A = 2,σ2 B = 1 baldin bada. Kontrasta ezazu H0 : α2 = β2 hipotesia. 


Enpresa bateko analista batek, enpresa horretako salmentak azaltzeko eredu bat proposatzearen agindua 

jaso du. Asko pentsatu ondoren, hurrengo eredua proposatzen du: 

St = β0 +β1Ht +β2Pt +Ut 

non: 

St:thilabeteko salmentak diren. 

Ht:thilabetean lan egindako orduak diren. 

Pt:thilabetean egindako produktuak duten prezioa den. 

Aldagai hauen azken 24 hilabeteko datuak hartuz, eredua estimatzen du ondorengo emaitzak lortuz: 

(parentesi barnekoak desbiderazio estimatuak dira) 

ˆSt = 1, 73 

(0,27) 

+ 0, 77 

(1,03) 

Ht + 1, 24Pt 

(0,42) 

R 2 = 0, 943 DW = 0, 14 

eta bere nagusiari ematen dizkio. Honek, emaitzak begiratzen ditu eta ziklo ekonomikoa azaltzen duen 

aldagairen bat barneratzea agintzen dio. 

a) Azal ezazu nagusiak emandako aginduaren zergatia. 

b) Eredu berria estimatuz lortzen dituen emaitzak hauek dira: 

ˆSt = 2, 14 

(1,2) 

+ 0, 03 

(0,14) 

Ht + 1, 22 

(0,14) 

Pt + 0, 79Zt 

(0,23) 

R 2 = 0, 987 DW = 2, 01 

10 

(1) 

(2) 

(3)

non Zt t hilabeteko ziklo ekonomikoa neurtzen duen aldagaia den. Interpreta itzazu lortutako 

emaitzak eta azal ezazu ea nagusiak arrazoia izan duen ala ez. 

c) DemagunZt aldagaiak, ziklo ekonomikoa ez duela zehaztasun osoz neurtzen, baizik eta hurbilketa 

bat dela. Zeintzu ondorio lekarzke egite honek (3) ekuazioko estimazioen gain? 


Plangintza zaharreko, laugarren mailako Ekonomiako ikasleen ekonometriako notak, YZ, eta plangintza 

berriko, hirugarren mailako Ekonomiako ikasleen ekonometriako notak, YB, aztertu nahi dira. Horretarako 

hurrengo eredua eraiki da: 

nonu Z i etauB i independenteak diren eta 

Y s 

i :iikaslearen nota den. 

X s i 

Z s i 

Y Z 

i = α1 +β1X Z i +γ1Z Z i +u Z i u Z i ∼ NIB(0,σ 2 ) (1) 

Y B 

i = α2 +β2X B i +γ2Z B i +u B i u B i ∼ NIB(0,σ 2 ) (2) 

:iikaslearen ikasketa orduen kopurua den. 

:iikaslearen beste ikasgaien batezbesteko nota den. 

(s = Z, ikaslea Plangintza Zaharrekoa bada etas = B, Plangintza Berrikoa bada). 

a) Nola kontrastatuko zenuke bi ekuazioen koefizienteak berdinak direla? 

Idatz itzazu murriztu gabeko eta murriztutako ereduak eta zehaz itzazu hipotesi hutsa, alternatiboa, 

kontrastearen estatistikoa eta erabakitze araua. 

b) Suposa ezazu aurreko kontrastea egiteko datuak dituzula, aurrera eramaten duzula eta lortzen duzun 

ondorioa hipotesi hutsa ez baztertzearena dela. 

b.1) Nola estimatuko zenituzke ekuazioen parametroak? 

b.2) Zehaz ezazu, hasierako Plangintza Zaharreko ereduan, ikasleen sexuak notengain eragina 

duelaren egitea biltzen duen eredua. 

b.3) Sexu aldagaia esanguratsua balitz Plan Zaharreko ikasleen notak aztertzerakoan, zein da honek 

edukiko lukeen eragina 1) atalean egindako kontrastearengain? 


Izan bedi hurrengo eredua: 


11

Esan ezazu hurrengo baieztapenak egiazkoak ala gezurrezkoak diren eta zergatik (kontrakoa ez bada esaten 

ELEOeko hipotesiak betetzen dira). Azter ezazu baieztapen bakoitza bestearekiko independentikoki. 

a) ut ∼ NIB(0,σ 2 ) bada, eredu honen KTAko estimatzailea, KTZen kasu berezi bat da. 

b) Xt estokastikoa bada, honen eta perturbazioaren arteko kobariantza zero izanik, KTAko estimatzailearen 

propietateak ez dira aldatzen. 

c) Perturbazioa heterozedastikoa bada eta ez badugu bere egitura ezagutzen, KTAn bidezko estimazioan 

ez dago Ho: β = 0 hipotesi hutsa kontrastatzeko erarik, ez da asintotikoki ere. 

d) Neurketa errore bat baldin badago aldagai azaltzaileren batean, Durbin-Watson estatistikoa erabili 

dezakegu autokoerlazioaren existentzia kontrastatzeko. 

e) Teoria Ekonomiko batek, X eta Z bi aldagaiek, Y aldagaiarengan eragin positiboa dutela dio. 

Hipotesi hau kontrastatzeko, ekonometra batek hurrengo erregresioak estimatzea eta koefizienteen 

seinua aztertzea erabakitzen du: 

Yt = α1 +β1Xt +ut ut ∼ ibbN(0,σ 2 u) 

Yt = α2 +β2Zt +wt wt ∼ ibbN(0,σ 2 w) 

β1 > 0 etaβ2 > 0 ez badira baztertzen, teoria ekonomikoa onartzen da. 


Brasileko inflazioa (Y1) eta Argentinako inflazioa (Y2) aztertzeko, hurrengo eredua proposatzen da 

Y1t = α1 +β1X1t +u1t u1t ∼ NIB(0,σ 2 1) 

Y2t = α2 +β2X2t +u2t u2t ∼ NIB(0,σ 2 2) 

non X1t eta X2t Brasileko eta Argentinako diru eskaintzaren hazkundeak diren t ilean, hurrenez hurren. 

Laginak tamainu ezberdinekoak dira, independenteak eta bariantza ezberdinekoak. 

BRASIL ARGENTINA 

X ′ 1X1 

50 25 

= X 

25 100 

′ 2X2 

150 25 

= 

25 500 

X ′ 1 Y1 = 

 

40 

160 

 

X ′ 2 Y2 = 

T1 = 50 T2 = 150 

 

60 

300 

Y ′ 

1 Y1 = 450 Y ′ 

2 Y2 = 2700 

12

a) Froga ezazu teorikoki KTAko parametroen estimatzailea herrialde bakoitzean eta KTZn estimatzailea 

baterako ereduan baliokideak direla. Zein da emaitz honen atzean dagoen ideia? 

b) Lor itzazu estimazio hauen balioak eta baita dagozkien bariantz-kobariantz matrizeak. 

c) Nola kontrastatuko zenuke bi herrialdeen parametroak berdinak direlaren hipotesia? 

d) Suposa dezagun parametroen berdinketa ez duzula baztertzen. Azal eta baiezta ezazu nola estimatuko 

zenukeen murriztutako eredua. 


1997 urtean, Euskal Herriko produkzio industrialeko faktore eragintsuenak aztertu nahi ditugu. Horretarako, 

gehien erabiltzen den forma funtzionala aukeratzen dugu, hau da, Cobb-Douglasen produkzio 

funtzioa. Honek, produkzioa faktore produktiboen funtzioan adierazten du, hurrengo erlazioaren bitartez: 

non 

Yi = A·L α i ·K β 

i ·IDγ 

i ·eui 

Yi : produkzioa den. Li: okupatuen kopurua den. 

Ki : kapital pribatua den. IDi : Ikerketa eta Garapeneko inbertsioa (I+G) den. 

A : konstantea den. e ui : perturbazio aleatorioa den. 

Eredu honetan, normalean kontutan hartzen ditugun faktoreaz gain, okupatuen kopurua eta kapital pribatuaren 

stocka, I+G-en egindako inbertsioa ere barneratzen dugu (IDi). 

Nepertar logaritmoak hartzen ditugu funtzioa linealizatzeko, honela, estimatuko dugun erlazioa hurrengoa 

dugu: 

lnYi = a +α·lnLi +β · lnKi +γ · lnIDi +ui 

Industria sektoreari buruzko 350 enpresetako datuak ditugu. Badakigu lana eta kapitalari dagokionez, 

enpresa hauek nahiko homogeneoak direla beraien artean; baina nahiko heterogeneoak I+G faktoreari 

dagokionez. 

a) Nola kontrastatuko zenuke eskala errendimendu konstanteen Ho, hau da, α +β +γ = 1? Zehaz 

itzazu elementu guztiak: kontrastearen estatistikoa, banaketaH0 pean, noiz onartuko zenukenH0, 

eta idatz ezazu ereduaH0 suposiziopean eta baitaHa suposiziopean ere. 

b) Ikertzaile batek, I+G aldagaiak heterozedastizitatea sorterazten duela pentsatzen du; zehazki,Bar(ui) = 

k(lnIDi), non k > 0 den. Nola kontrastatuko zenuke arrazoia duen ala ez? Azal ezazu zehazki, 

kontrastearen prozesu osoa. 

Suposa ezazu aurreko kontrastea egin ondoren, b) atalean emandako heterozedastizitatea dagoela onartzen 

duzula. 

d) Ba al dago problemarik a) atalean egindako kontrastearekin? 

13

e) Zein da, eredu zehatz honentzat, KTZ estimazio erizpidea? Idatz itzazu erizpide funtzioa eta 

estimatzailea. Azal ezazu zergatik kasu honetan KTZn estimatzailea KTAko estimatzailea baino 

egokiagoa den. 



nonXt ez estokastikoa den,E(ut) = 0 eta 

Yt = α +βXt +ut , t = 1,...,T, 

⎡ 

E[UU ′ ⎢ 

] = ⎢ 

⎣ 

σ2 1 0 ··· 0 

0 σ2 2 ··· 0 

. . 

. .. . 

0 0 ··· σ2 T 

a) Nola kontrastatuko zenuke σ 2 t = σ 2 X 4 t dela? Azal ezazu zehazki kontrastearen prozedura. 

b) σ 2 t = σ 2 X 4 t bada, azal ezazu zehazki nola lortuko zenituzkeenαetaβren estimatzaile efizienteak. 



nonXt aldagai ez estokastikoa den. 

Yt = β1Xt +β2Yt−1 +ut 

a) Zein daut etaYt−1-ren arteko kobariantza? 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

ut = εt −θεt−1, εt ∼ ibb(0,σ 2 ε), 

b) Azal ezazu zeintzu ondorio dituen aurreko atalean eman duzun erantzunak β1 eta β2-ren KTAko 

estimatzaileen propietateen gain. 

c) Plantea ezazu, existitzen bada, KTAko estimatzaileak baino propietate hobeagoak dituen beste 

estimatzaileren bat. Arrazona ezazu zure erantzuna. 

ARIKETA PZ-E.1 (93ko otsaila) 

Burtsako inbertsore batek DC-ko errendimendua (DRAt) eta Madrileko Boltsaren batezbesteko errendimenduaren 

arteko erlazioa ikertu nahi du. Arrazoi honengatik, ondorengo erlazioa zehaztu du: 

(1) (DRAt −AZt) = α +β(MERt −AZt) +ut 

14

non AZ aktibo zihur baten errendimendua den (6 hilabetetarako Tesoroko Letrak) eta MER esandako 

burtsaren batezbesteko errendimendua. Aurreko (1) ekuazioa estimatzeko 1990eko Madrileko Burtsaren 

260 kotizazio eguneko erabili dira. 

a) (MERt −AZt) aldagai aleatorioa dela kontutan harturik eta E[(MERt −AZt)ut] = 0 dela suposatuz, 

zeintzuk dira KTAko estimatzaileen propietateak? Ezagutzen al duzu estimazio metodo 

egokiagorik? Azken honen erantzuna baiezkoa izatearen kasuan, zein da eta zergatik? 

b) Nola erantzuko zenioke aurreko ataleko galderari ut = ρut−1 +εt non εt ∼ NID(0,σ 2 ) 

eta ρ < 1 balitz? 


Gasolinaren kontsumoa eta enpresa baten prezioaren arteko erlazioa estimatu da urteroko datuekin eta 

KTAk erabiliz: 

ˆKt = 5278, 44−23, 36Pt 

Urtea ût Urtea ût 

1980 -112,93 1986 58,55 

1981 -74,53 1987 155,71 

1982 9,46 1988 43,67 

1983 33,75 1989 -19,90 

1984 58,49 1990 -85,66 

1985 59,33 1991 -125,96 

a) Egin ezazu Durbin-Watsonen kontrastea. Interpreta ezazu emaitza eta azaldu ezazu zeintzuk diren 

bere ondorioak erabilitako estimazio metodoaren gain. 

b) Suposa ezazu kontsumo eta prezioaren arteko benetako erlazioa 

Kt = β1 +β2Pt +β3P 2 t +ut 

dela eta 10 urteko hileroko datuak dituzula. Aurreko ataleko KTAko estimatzaileen konklusioak 

mantentzen al dira? Arrazona ezazu erantzuna. 

c) Enpresak, oporrak direla eta, ia abuztu osoan itxi egiten du. Zehaz ezazu eredu bat, zeinetan aipatutako 

gertakaria biltzen den. Interpreta itzazu bere koefizienteak. 


Ondorengo eredu biekuazionala emanik: 

Y1t = α1 +α2X2t +α3X3t +u1t u1t ∼ N(0,σ2 1 ) t = 1,···,T 

Y2t = β1 +β2Z2t +β3Z3t +u2t u2t ∼ N(0,σ2 2 ) t = 1,···,T 

15

Zehaz ezazu estimagarria den eredua bat eta azal ezazu nola estimatuko zenukeen ondorengo hipotesien 

menpe: 

E(u1tu2s) = 0 ∀t,s 

α1 = β1 

E(u1tu2s) = 

 

σ12 t = s bada 

0 t = s bada 

∀t,s 


DemagunYt = β1 +β2X2t +β3X3t +ut ereduan, Bar(ut) = tX2 2t konklusiora iritsi zarela. Estimazio 

prozedura bat eraldatutako ereduan KTAk aplikatzean datza, non eraldatutako ereduan perturbazioak 

homozedastikoak diren. Idatz ezazu baldintza hori betetzen duen eraldatutako eredua. 

ARIKETA PZ-E.6 (93ko ekaina) 

Demagun ondorengo eredua: 

non: 

E(ut) = 0 ∀t 

E(u 2 t) = 1 

X 2 3t 

Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +ut t = 1, 2,···,T 

∀t 

E(utus) = 0 ∀t = s 

a) Idatz ezazu eraldatutako eredua, zeinetan perturbazioak homozedastikoak diren. Bila ezazu eraldatutako 

perturbazio hauen banaketa. 

b) Ondorengo lau datuak emanik, idatz ezazu eraldatutako ereduaren X erregresore matrizea. 


t 1 2 3 4 

X2t 0 1 1 2 

X3t 3 0,5 1 1 

a) Suposa ezazu ondorengo eredua estimatzen saiatzen garela: 

Yt = βo +β1X1t +β2X2t +ut t = 1, 2, 3,...,T (1) 

ut ∼ ibb(0,σ 2 u) E(X2t,ut) = 0 (2) 

16

zein estimazio metodo proposatuko zenuke? Azal itzazu hartutako erabakiaren arrazoiak eta baita 

zure estimatzailearekin nolako ezaugarriak lortuko zenituzken ere. 

b) Beste ikertzaile batek, aureko (1) eredua zuzena ez dela oharterazten du, zeren 

Yt = βo +β1X1t +β2X2t +β3X2t−1 +vt t = 1, 2, 3,...,T (3) 

vt ∼ ibb(0,σ 2 v) (4) 

ereduan E(X ′ tvt) = 0 Xt = [X1t X2t X2t−1] betetzen bait da eta ondorioz, eredua KTAn bidez 

estimatu beharko dela. Zuzena al da ikertzaile honek dioena? 

c) Eredu bietatik, bat estimatu beharko baldin bazenu, erabaki ezazu zein aukeratuko zenukeen eta 

azal ezazu arrazionalki zertan oinarritzen zaren zure aukera egiterakoan. 

ARIKETA PZ-E.8 (93ko iraila) 

Izan bediYt = α +βXt +ut eredua non E(u 2 t) = tX 2 t den. 

a) Yt eta Xt-ren hiru behaketa ezagutuz, lor itzazu aurreko ereduaren α eta β parametroen KTAko 

estimazioak matrizialki. 

t 1 2 3 

Yt 1 1 0 

Xt 1 -1 1 

b) Kalkula ezazu KTAko estimatzailearen bariantz-kobariantz matrizea, ondorengo informazioa kontutan 

harturik: 

E(u1u3) = E(u3u1) = 1 

E(u1u2) = E(u2u1) = E(u2u3) = E(u3u2) = 0 

c) Aurreko informazioa emanik, zeintzu propietate ditu KTAko estimatzaileak? 

d) Ezagutzen al duzu propietate hobeagoak dituen estimatzailerik? Zein? Zeintzu propietate ditu? 

Idatz ezazu bere bariantz-kobariantz matrizea (ez ezazu estimatu, idatz ezazu formula bakarrik, 

bere elementu bakoitza zer den adieraziz). 

e) Demagun hasierako ereduan, lehenengoko hipotesia bakarrik betetzen dela, hau da: 

E(u 2 t) = tX 2 t eta E(ut,us) = 0 ∀t,s t = s 

Idatz ezazu eredu hau zuzentzen duen eraldatutako eredua eta froga ezazu perturbazioek bariantza 

konstantea daukatela. 

f) Estima ezazu matrizialki, eraldatutako ereduaren parametroak KTAn metodoaren bitartez. 

17


1958-1993 epean Espainiar interes tasa errealak azaltzeko ondorengo ekuazioa zehaztu da: 

rt = β1 +β2 △Dt +β3 △Mt +ut t = 1958,..., 1993 

non r : Interes tipo erreala den. 

△D : Zor Publiko Stokaren hazkunde tasa den. 

△M : Diru eskaintzaren hazkunde tasa den. 

Perturbazioen bariantza denboraren funtzio gorakorra dela susmatzen da. Behean errazten den informazioarekin, 

kontrasta ezazu perturbazioen bariantza txikiagoa zela lehen petrolio krisiaren aurretik bigarren 

petrolio krisiaren ondoren baino. 

1958−1971 : ˆrt = 0, 88 + 0, 41△Dt + 0, 97△Mt 

1980−1993 : ˆrt = 1, 04 + 0, 37△Dt + 0, 91△Mt 


Yt = α +βXt +ut t = 1,...,6 eredua estimatzeko, ondorengo datuak ditugu: 

Eskatzen da: 

t 1 2 3 4 5 6 

Yt 5 0 −3 0 4 9 

Xt 1 2 4 5 6 6 

a) Estima itzazuαetaβ KTAen bitartez. Estima ezazu baitaσ 2 u ere. 

1971 

 

t=1958 

1993 

 

t=1980 

û 2 t = 437 

û 2 t = 612 

b) Kontrasta ezazu autokoerlazioezaren hipotesi hutsa Durbin-Watson estatistikoa erabiliz eta %5eko 

esanguratasun mailarentzat. Adieraz ezazu zein den hipotesi hutsa eta zein alternatiboa. 

c) Errepresenta ezazu (Y,X) grafika batetan laginako datuak. Marraztu ezazu laginaren erregresio 

zuzena. Komenta ezazu (b) ataleko kontrastearen emaitzaren kausa posibleren bat. Beste ereduren 

bat proposatuko al zenuke? Zein? 


Izan bedi ondorengo eredua : 

Yt = β1 +β2X1t +β3X2t +ut 

18

non Yt : janarian egindako famili gastua. 

X1t : errenta familiarra den. 

X2t : familia barneko pertsonen kopurua den, (famili tamainua). 

a) Bar(ut) = α1+α2X1t+α3X2t delaren susmoa izanik, azal ezazu nola burutuko zenuke Breusch- 

Paganen kontrastea. (Adieraz itzazu emango zenituzkeen pausu guztiak, hipotesi nulutik hasita eta 

erabakitze arauera heldu arte). 

b) Eraman ezazu lehen atalean proposatutako kontrastea, 38 behaketekin egindako KTAko erregresioaren 

emaitza hauek kontutan izanik:(parentesi artekoak t-estatistikoak) 

ˆYt = 2, 24 

(0,84) 

û 2 t 

16,95 = 29, 16 

(1,95) 

+ 0, 16 

(4,64) 

+ 0, 42 

(2,12) 


X1t + 1, 45X2t 

(2,76) 

R2 = 0, 45 HKB = 644,35 

X1t + 6, 04X2t 

(2,61) 

R2 = 0, 24 HKB = 200, 03 

A ikertzaile batek, ikasleen gastuak azaldu nahi ditu ondorengo ereduarekin: 

non Yi : i ikaslearen gastua den. 

Xi : i ikaslearen sarrera den. 

Yi = α +βXi +ui i : 1,...,N (1) 

(1) ereduan oinarrizko hipotesiak betetzen dira, bereziki: E(ui) = 0 

Bar(ui) = σ 2 u ∀i 

E(uius) = 0 ∀i = s 

Beste ikertzaile batek, B, klase bakoitzeko datuak taldekatzea hobeagoa dela dio, horrela eragiketak 

errazten direlako. Ikasleak, 8 taldeetan banatuta daude, klase bakoitzeko ikasleen kopuruan1,n2, . . . ,n8 

izanik. B ikertzaileak beraz, aldagai bakoitzatik 8 behaketa erabiliko ditu, behaketa bakoitza talde ezberdin 

bakoitzari dagokiolarik. 

Y j = 

n j 

k=1 Yk 

nj 

Eraikitzen den eredua ondorengoa da: 

a) Zein davj-ren batazbestekoa eta bariantza? 

Xj = 

n j 

k=1 Xk 

nj 

Y j = α +βXj +vj j : 1, 2,...,8 

j : 1, 2,...,8 

b) Ikertzaile biak, beraien ereduak Karratu Txikienen Arrunten bidez estimatu nahi dute. Zein metodo 

da egokiena kasu bakoitzean? Zergatik? 

c) Klase guztietako ikasleen kopurua berdina izango balitz, aurreko atalean ateratako ondorioak aldatuko 

lirateke? 

19


Ikertzaile batek 

Yt = α +βXt +ut t = 1,...,T (2) 

eredua estimatu nahi du, non X eta Y aldagai teorikoak diren. Eredu linealeko oinarrizko hipotesi guztiak 

betetzen direla suposatzen dugu. Hala ere, Yt aldagaiaren balioak ez dira zuzenean ezagutzen, errore 

batekin behatzen dira: Y ∗ 

t = Yt +εt, non ε ∼ N(0,σ 2 εI) den. εt eta ut independenteak direla 

suposatuko dugu. Horrela, ikertzaileak dituen behaketekin ondorengo eredua estima dezakegu: 

Y ∗ 

t = α ∗ +β ∗ Xt +u ∗ t 

a) Analiza ezazu behatutako ereduko parametroen eta eredu zuzeneko parametroen arteko erlazioa, 

hau da, (3) ereduaren eta (2) ereduaren arteko erlazioa. 

b) Deriba itzazuu ∗ t perturbazio berriaren propietateak. 

c) α ∗ eta β ∗ Karratu Txikienen Arruntetako estimatzaileak, α eta βren estimatzaile alboragabeak al 

dira? Xt aldagai estokastikoa izango balitz, nola aldatuko litzateke zure erantzuna? Froga ezazu 

guztia. Erantsi itzazu behar dituzun hipotesiak. 



Y = Xβ +u 

non X matrize ez estokastikoa den, ut = εt −θεt−1 ε ∼ N(0,σ 2 εI). 

a) Nolakoa da ut perturbazioaren bariantz-kobariantz matrizearen itxura? Lor ezazu matrize hori θ 

eta σ 2 ε-ren funtzioan. 

b) θ ezezaguna dela kontsideratuz, 

b.1) βren Karratu Txikienen Arruntetako estimatzailea alboragabea al da? Froga ezazu zure erantzuna. 

b.2) βren Karratu Txikienen Eginkorren estimatzailea lineala al da? Alboragabea? Froga ezazu 

zure erantzuna. 

ARIKETA PZ-E.18 (95eko otsaila) 

Izan bedi Yt = α + βXt + ut eredua non oinarrizko hipotesi guztiak betetzen diren. Orduan Y ∗ 

t = 

Yt −Yt−1 aldagaiari dagokion eredua 

da, non u ∗ t = ut −ut−1 den. 

Y ∗ 

t = β(Xt −Xt−1) +u ∗ t 

20 

(3) 

(1)

Kalkula ezazu u ∗ t -ren batezbestekoa eta bariantz-kobariantz matrizea. 

Zein daY ∗ 

t -ren bariantza? 

Deriba ezazu (1) ereduaren malda KTAn bidez. 

Proposa ezazu (1) ereduan parte hartzen duten parametroarentzat estimatzaile efiziente bat. Justifika 

ezazu zure aukera. 


Ikertzaile batek, ekonomiaren egoera orokorra burtsa errendimenduaren eragile garrantzitsua delaren ustea 

dauka. Horregatik aktibo baten errendimendua, (rt), eta ekonomiaren egoera orokorraren, (E), arteko 

erlazioa analizatzea pentsatu du. Ekonomiaren egoera, zuzenean behatu daiteken aldagaia ez delaren ondorioz, 

bere ordez (IPIt), industri produkzioaren indizea erabiltzea erabakitzen du. Horrela aktiboaren 

errentabilitatea azaltzeko ondorengo eredua proposatzen du: 

rt = δ0 +δ1IPIt +ut 

u ∼ N(0,σ 2 uI) 

Ekonomiaren egoera orokorrari hurbiltzen zaion aldagaia erabiltzeak, zeintzu ondorio dakartza parametroen 

KTAko estimatzaileen propietateen gain? Arrazonatu. 


Izan bedi 

eredua non Bar(ui)=P 2 

i σ2 den. 

Yi = α +βXi +ui 

i = 1,...,N 

Erabaki ezazu ondorengo ereduetatik, zein eredu dagoen behar den bezala eraldatuta heterozedastizitatearen 

arazoa zuzentzeko. Azal ezazu zergatik. 

PiYi = α +βPiXi +Piui 

Yi 

Pi 

= α 

+β 

Pi 

Xi 

+ 

Pi 

ui 

Pi 

PiYi = αPi +βPiXi +Piui 

Yi 

Pi 

= α +β Xi 

Pi 

21 

+ ui 

Pi

ARIKETA PZ-E.21 (95eko ekaina) 

CARPANTA eraikitzaile elkarteak, Donostian kokatua, hiri honetako etxebizitzen salmenta prezioak finkatzeko 

ondorengo erlazioa erabiltzen du: 

non: 

YDt = α +βRDt +δSDt +ut, u ∼ N(0,σ 2 u I) eta σ 2 u = 2 (1) 

YDt,turtean salgai jarritako etxebizitzen batezbesteko prezioa den. 

RDt,turtean udaleko batezbesteko errenta familiarra den. 

SDt,turtean udalean dagoen gainalde eraikigarria den. 

ondorengo informazioa emanik: 

a) Estima ezazu (1) eredua. 

t YDt RDt SDt 

1988 3 1 1 

1989 3 3 4 

1990 4 4 3 

1991 1 3 2 

1992 3 2 1 

1993 4 3 1 

1994 3 3 4 

b) Kontrasta ezazuHo : δ = 1 hipotesi hutsa. 

c) Kontrasta ezazuβ +δ = 4 hipotesia hutsa. 


Eraikitzaile berberak Sorian ere lan egiten du. Hiri horretan prezioak ondorengo ekuazioan oinarrituz 

finkatzen direla uste du gerenteak: 

YSt = η +γRSt +vt, vt ∼ NID(0,σ 2 v) (2) 

non YSt eta RSt (1) ekuazioan bezala interpretatzen diren baina Soria hiriarekiko. Estimazioaren emaitzak 

urte berdinentzat ondorengoak dira; 

ˆYSt = 10, 2 + 3RSt, R 2 = 0, 80 DW = 0, 5 (3) 

a) Kontrasta ezazu lehen ordenako autokoerlazioaren existentzia. 

22

) Errenta familiarra aldagai esanguratsua al daYSt azaltzeko? 

c) Gerentea bere aurreko erabakiaz oso zihur ez dagoenez, ondoren, hurrengo eredua estimatzen du: 

YSt = η +γRSt +λSSt +vt vt ∼ NIB(0,σ 2 v) (4) 

DW=2,01 balioko Durbin-Watsonen estatistikoa lortuz. Autokoerlazioa dagoela baieztatu al daiteke? 

Emaitz hau kontutan harturik, nola zuzenduko zenituzke aurreko ataleetako arazoak? 


Aurreko (1) eta (4) ekuazioek eratutako sisteman, lagin biak independenteak direla suposatuz eta σ 2 u eta 

σ 2 v ezezagunak baina berdinak direla suposatuz, 

a) 

 

γ 3 

Ho : = 

β 3 

hipotesia kontrastatu nahi da. Idatz ezazu hipotesi hau kontrastatzeko 

eredu egokiren bat, estatistikoa, bere banaketa eta dagokion erabakitze araua. 

b) Hipotesi hutsa ez bada baztertzen, ba al dago estimazio hobeagoren bat lortzeko erarik, bariantza 

txikiagoa izatearen zentzuan? Kasu honetan, nola estimatu beharko lirateke ekuazioak? Azal ezazu 

zehazki prozedimendua. 


Kontsidera ezazu ondorengo eredua Errioxako Komunitate Autonomoaren ur hertsien erreserbentzat: 

non 

Yt = β0 +β1Yt−1 +β2Xt +ut, ut = ρut−1 +ǫt, ǫt ∼ NIB(0,σ 2 ǫ) (5) 

Yt = t urtearen azkenean dagoen ur hertsien bolumena den. 

Xt =turtean bildutako ur euriaren bolumena den. 

Azal ezazu zehatz-mehatz zein den eredua estimatzeko metodorik egokienea hurrengo balizkoen menpean: 

a) ρ = 0 

b) ρ = 0, 9 

c) ρren balioa ezezaguna denean eta −1 < ρ < 1. 

23

ARIKETA PZ-E.26 (95eko iraila) 

Ikertzaile batek, 1983-1994 epeko Espainiar azalera txikietako janari komertzioetako ikerketa ekonometriko 

bat egiten du. Inbentario maila (Yt) azaltzeko eredu egoki bat ondorengoa dela erabakitzen du: 


non Xt salmenten bolumena den. Datuen estalketa arazoarengatik, ez du Xt-ren benetako datuak ezagutzen 

eta X ∗ t erabiltzen du bere ordez. Bere ustez aldagai hau Xt-ren hurbilketa bezala erabil daiteke, 

hau da, aldagai bat zeina ondorengoa betetzen duen: 


nonǫt,utrekiko koerlatu gabea den eta ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ). 

a) Zehaz ezazu, ikertzaileak bere ikerketan erabiliko duen eredua. Eredu lineal orokorreko oinarrizko 

hipotesi guztiak betetzen al ditu? 

b) Aurreko atalean proposatutako eredua KTAen bitartez estimatzea egokia al da? 

c) rX ∗ t X∗ t−1 

tzat? 

= 0, 998 dela jakinik, zein estimazio metodo proposatuko zenuke a) ataleko ereduaren- 

d) Zer gertatuko litzateke errorekin neurtuta legokeen aldagaia, aldagai endogenoa,Yt, izango balitz? 

ARIKETA PZ-E.27 (95eko iraila) 

Izan bedi: 

nonXt aldagai ez estokastikoa den. 

Yt = β0 +β1Xt +β2Yt−2 +ut 

a) Zehaz ezazu koefizienteen KTAko estimatzaileen propietateak (6) ereduan, baldin etaut = ρut−1+ 

ǫt bada, non |ρ| < 1 eta ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ). Existitzen al da propietate hobeagoak dituen estimatzaileren 

bat? Froga ezazu zure erantzuna. 

b) Nola aldatzen zaizkizu a) ataleko ondorioak baldin eta ut = ǫt +θǫt−1 bada? (ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ)) 



24 

(1)

Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +ut non t = 1,...,T. 

Zehaz ezazu zeintzu koefiziente edo koefizienteen konbinazioak estimatu daitezkeen kasu bakoitzean, 

erabiliko zenukeen estimazio metodoa zehaztuz. (Oharra: Besterik ez denean esaten, eredu linealeko 

oinarrizko hipotesiak betetzen dira.) 

a) X3t = 5X2t + 4 

b) E(u 2 t) = αX2t non α parametro ezezagun bat den. 

c) E(u 2 t) = α1 +α2t 2 nonα1 etaα2 parametro ezezagunak diren. 

d) 2β2 +β3 = 6 


Ikertzaile batek, Espainiar familien tratamendu fiskalaren ikerketa bat egin du. Horretarako, ordaindutako 

zerga bateratua, (Yt), eta familien errenta bateratu osoaren, (Xt), arteko erlazio lineala zehazten du. 

Baina familien aldeko datuen estalketaren arazoa dela eta, benetako errenta bateratuarekin lan egin ordez, 

deklaratutako errentarekin, X ∗ t , lan egin behar izan du. Estimatu duen eredua ondorengoa da: 

Yt = β1 +β2X ∗ t +ut 

a) Emandako ereduak erregresio linealeko ereduaren oinarrizko hipotesi guztiak betetzen ditu? 

b) Eredua KTAn bitartez estimatzerakoan, ondorengo emaitzak lortu ditu: 

Yt = −1, 92 + 1, 53 

(−1,79) 

(53,64) 

X ∗ t +ût DW = 1, 86 R 2 = 0, 839 

Eztabaida ezazu KTAn erabileraren egokitasuna (1) ereduan. Zure ondorioetan oinarrituz, interpreta 

itzazu lortutako emaitzak. 

c) rX ∗ t X∗ t−1 

= 0, 899 dela jakinik, zein estimazio metodo proposatuko zenuke (1) ereduarentzat? 

Komenta ezazu zergatia. 


Analista batek, Espainiako sektore bakoitzaren hazkundea, Amerikar hazkunde orokorraren funtzioan 

errepresentatzen duen eredu bat proposatzen du: 

25 

(1)

It = β1 +β2Xt +U1t, U1t ∼ NIB(0,σ 2 1) 

Zt = α1 +α2Xt +U2t, U2t ∼ NIB(0,σ 2 2) 

nonU1t etaU2s aldagai independenteak diren ∀t,s = 1,...,T 

It,turtean dagoen industriako BPGren aldakuntz tasa da aurreko urtearekiko. 

Zt,turtean dagoen zerbitzu sektoreko BPGren aldakuntz tasa da aurreko urtearekiko. 

Xt,turtean dagoen EEBBko BPG orokorraren aldakuntz tasa da aurreko urtearekiko. 

1971-1990 tarteko urteroko datuekin ekuazio biak estimatu ditu KTAk erabiliz (parentesi arteko datua 

estimatzailearen desbidazio estimatua da): 

It = −1, 375 + 1, 459Xt 

HKB = 38, 12 

(0,564) 

(0,141) 

Zt = 1, 5304 + 0, 635Xt 

HKB = 7, 57 

(0,251) 

(0,063) 

a) Zeintzu propietate ditu eredu honetako KTAko estimatzaileak? 

b) Analista honek, industri sektorea, Amerikar ekonomiako zerbitzu sektorea baino sentikorragoa 

dela pentsatzen du. Baiezta ezazu bere ideia ondorengo bi kontrasteak eginez: 

b.1) Industri sektorea, Amerikar produktibitate talde osoarekiko sentikorragoa da baldin eta β2, 

unitatea baino handiagoa bada. 

b.2) Zerbitzu sektoreak, industriarenak baino sentikortasun gutxiago du baldin eta α2, β2 baino 

handiagoa bada. 

c) Erlazio bakoitzaren perturbazioak elkarrekiko independenteak izango ez balira, 

E(u1tu2t) = 0, 5 ∀t izanez, nola estimatuko zenituzke ereduko parametroak? Arrazona ezazu 

erantzuna era egoki batean. 


Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +Ut 

erregresio ereduan Y , X2 eta X3 aldagaiak aleatorioak dira. 180 behaketa erabiliz, emandako ekuazioa 

KTAn eta OAn bitartez estimatu da. Hausmanen estatistikoarentzat, m = 5, 2ko balioa kalkulatu da. 

a) Idatz ezazu Hausmanen estatistikoaren formula, bere banaketa eta azal ezazu zertarako balio duen. 

b) Kasu honetan zer adierazten digu estatistikoaren balioak? Komenta itzazu ˆ βKTA eta ˆ βOA estimatzaileek 

dituzten propietateak (ez itzazu lagin handietako propietateak ahaztu). 

26


Enpresa batek bi eraikin dauzka, bat Iruñan eta bestea Madrilen. Bakoitzaren kostu funtzioak ondorengoak 

dira: 

Non: 

K1t = α1 +α2W1t +α3Rt +α4Y1t +U1t t = 1,...,50. (1) 

K2t = β1 +β2W2t +β3Rt +β4Y2t +U2t t = 1,...,50. (2) 

Ki:ieraikinaren kosteak diren, noni = 1, 2 (1=Iruña, 2=Madril). 

Wi:ieraikinaren alokairua den. 

R: interes tipoa den, eraikin bientzat berdina. 

Yi:ieraikinaren produkzioa den. 

Ekuazio biak oinarrizko hipotesiak betetzen dituztela suposatzen da, hauen artean: 

σ 2 U1 = σ2 U2 = σ2 , eta gaineraKob(U1t,U2s) = 0 ∀t,s 

a) Azal ezazu zehatz-mehatz estimazio metodo egokiren bat σ 2 -rentzat. 

b) Aurreko (1) eta (2) ekuazioak estimatu ondoren, Û2 1t = 1155 eta Û2 2t = 1400 lortu dira. 

Plantea ezazu, alokairuak eta interes tipoak eraikin bietako kostuei era berdinean eragiten dutelaren 

kontrastea. Jar itzazuH0,Ha, nola estimatuko zenituzkeen kostu funtzioak, zein izango litzatekeen 

murriztutako eredua, kontrastea burutzeko estatistikoa eta erabakitze araua. 


Erantzun ezazu ea hurrengo kuestioak egiazkoak edo gezurrezkoak diren eta azal ezazu zergatia. 

a) Erregresio linealeko eredu batean, zeinetanX datu matrizea estokastikoa den,X perturbazioekiko 

independentea denean, ez dago inolako arazorik KTAko estimazioan zeren estimatzailea alboragabea 

eta tinkoa bait da. 

b) Ordezkako aldagaien estimatzailea beti denez tinkoa, KTAk baino nahiagoak izango dira beti. 

c) Baliteke, sektore elektrikozko enpresa biren produkzio funtzioak batera estimatzeak, estimazio hobeagoak 

ematea, ekuazio bakoitza bere aldetik estimatzeak baino. Baita, produkzio funtzio bietako 

parametroak desberdinak direnean ere. 

d) Erregresio lineal orokorreko ereduan, perturbazioak heterozedastizitatea edo autokoerlazioa dutenean 

eta KTAn bitartez estimatzerakoan, ezin da kontrasterik egin, nahiz eta bariantz-kobariantz 

matrizea, E(UU ′ ) ezaguna izan. 

27


Izan bedi ondorengo erdua: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

Yt = β1Xt +β2Zt +Ut 

Ut = εt +θ1εt−1 +θ2εt−2 

nonXt etaZt aldagai ez estokastikoak diren. 

a) Zein daU perturbazioaren bariantz-kobariantz matrizea? 

εt ∼ ibb(0,σ 2 ε) 

b) Ikertzaile batek Yt, Zt−1ren menpean ere dagoela uste du, hau da, aldagai azaltzaile baten epe 

bateko atzerapenaren menpean, ondorioz aldagai hori ereduan barneratzen du. Nola aldatzen dira 

KTAko estimatzaileen propietateak? 

c) Bigarren ikertzaile batek Yt, Zt−1ren menpekoa ez dela uste du baizik eta Yt−1ren menpean dagoela, 

zein da (4) ereduko koefizienteak estimatzeko metodorik egokiena? Arrazona ezazu zure 

erantzuna. 

⎧ 

⎪⎨ Yt = β1Xt +β2Zt +β3Yt−1 +Ut 

⎪⎩ 

εt ∼ ibb(0,σ2 (4) 

ε) 

Ut = εt +θ1εt−1 +θ2εt−2 


Kt = β1 +β2Rt +Ut 

kontsumo eredua estimatu egin da Euskal Herriko Komunitate Elkartearentzat (EHKE) 1965etik eta 

1994rarte. KTAn bitartez bi estimazio egin dira, bat lehen hamar datuentzat eta beste bat azken hamarrentzat. 

1965−1974 : Kt 

ˆ = 22,699, 0 + 0, 336Rt 

= 0, 85 

KTB1 = 9,703,500, 0 R 2 1 

1985−1994 : ˆ Kt = 38,767, 0 + 0, 6542Rt 

KTB2 = 457,036,363, 0 R 2 2 

= 0, 78 

a) Erabil ezazu Goldfield eta Quandten kontrastea epe bien artean homozedastizitatea dagoela egiaztatzeko. 

b) Epe osoaren datuak erabiliz, (1965-1994), KTAen bitartez lortutako emaitzak ondorengoak dira: 

Kt = 35,205, 0 + 0, 586Rt + Ût R 2 = 0, 82 (2) 

28 

(3) 

(1)

eta Rt-rekiko erregresioa: 

û2 t 

ˆσ 2 = 64,519, 0 + 0, 52Rt + ˆvt R 2 = 0, 71 ˆσ 2 = û′ û 

20 

HKB = 1,500 (3) 

Azken bi erregresio hauek ematen duten informazioa erabiliz, kontrasta ezazu a) ataleko hipotesi 

hutsa. 

c) Aurreko ataletan lortutako emaitzak kontutan harturik, zein estimazio metodo erabiliko zenuke 

kontsumo eredua azaltzeko? Zergatik? Azal ezazu zure arrazoia zehaztasunez. 


Demagun Yt = α +βXt +Ut eredua non Ut = ρUt−1 +εt ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ). 

a) ρ = 0, 5 dela jakinik eta hurrengo datuak erabiliz, estima ezazu emandako eredua efizienteki. 

Yt Xt 

3 1 

3 2 

4 3 

3 4 

2 5 

2 6 

b) ρ ezezaguna izango balitz, nola estimatuko zenuke eredua? 


Euskal Herriko Komunitate Autonomoan, Kapitalaren Stockak, (K), Balio Erantsi Gordinarengain, (BEG), 

duen eragina aztertzeko, hurrengo datuak ditugu: 

t BEG-EH K-EH 

1987 30 60 

1988 36 60 

1989 38 61 

1990 42 62 

1991 49 65 

1992 50 66 

Datu hauekin, hurrengo erlazioa estimatu nahi dugu: 

BEGEHt = α1 +α2 KEHt +ut non ut ∼ NID (0,σ 2 u) 

29

a) Estima itzazu ereduaren parametroak KTAn bidez eta kontrasta ezazu Kapital Stockaren esanguratasuna. 

Bestaldetik, Nafarroako Komunitate Autonomoarentzat eredu bera dugu: 

BEGNt = β1 +β2 KNt +vt non vt ∼ NID (0,σ 2 v) eta t : 1987,...,1992. 

b) E(ut vt) = 0 dela jakinik, nola estimatuko zenituzke α2 eta β2? Idatz ezazu zehaztasunez eredua 

eta erabiliko zenukeen estimatzailea. 

c) E (ut vt) = σuv,σ 2 u etaσ 2 v ezagunak izango balira, nola estimatuko zenituzkeα2 etaβ2? Komenta 

itzazu estimatzaile honen eta aurreko atalean erabili duzunaren arteko ezberdintasunak. 


Kotxe aseguratzaile SEGURCAR enpresak, azken urtean istripuren bat deklaratu duten bezeroen arrisku 

egitura aztertu nahi du. Horretarako 

Yi = β1 +β2X2i +β3X3i +ui 

i = 1,...,N eredua erabiltzen du, non 

N: istripuren bat deklaratu duten bezero kopurua den. 

Yi:ibezeroak deklaratutako istripuen kostua den pezetatan. 

X2i:ibezeroaren adina den. 

X3i:ibezeroak gidatzeko baimena lortu zuenetik igarotako urteak diren. 

Azal ezazu zeintzu arazo aurkituko zenituzke eta zeintzu soluziorik emango zenituzke (soluziorik balego), 

ondorengo egoera ezberdinetan. Azter ezazu egora bakoitza bere aldetik. 

a) Aseguratu askok, beraien polizak kontratatzean datuak faltsutu zituzten. Honela, gidatzen dutenak 

ez dira hauek, baizik eta esperientzia gutxiago duten familiarrak. Ondorioz, X3i erroreaz neurtuta 

dago. 

b) Deklaratutako istripuen larritasunek (Yi), adin gutxieneko pertsonekin aldakortasun handiagoa dute, 

Bar(ui) = σ 2 /X 2 2i izanik. 

30


Madrileko burtsaren dependentzia New York eta Londreseko burtsekiko aztertu nahi da. Honetarako 

hurrengo eredua definitzen dugu 

MADt = β0 +β1LONt−1 +β2NYt−1 +ut 

KTAn bidezko estimazioak, hurrengo emaitza ematen digu: 

MADt 

= 0, 0095 

(Desb. tipikoak →) (0,0032) 

t : 2,...,30. 

+ 0, 4990LONt−1 

+ 0, 1800NYt−1 

DW = 0, 82 R 2 = 0, 88 (1) 

(0,1200) 

(0,1900) 

a) Kontrasta ezazu aldagai azaltzaileen banakako esanguratasuna. 

b) Kontrasta ezazu AR(1) motako autokoerlazioaren exitentzia. Zehaz itzazu argi, hipotesi hutsa eta 

alternatiboa, kontrastearen estatistikoa eta erabakitze araua. 

Geroago, MADt−1 aldagai azaltzailea barneratzen dugu ereduan eta datu berdinekin estimatzen 

da hurrengo emaitza lortuz: 

MADt = 0, 0031 + 0, 1910MADt−1 

+ 0, 8400LONt−1 

+ 0, 0600NYt−1 

+ ˆvt 

(0,0012) 

DW = 1, 9 izanik eta 

(0,0800) 

(0,2460) 

(0,0120) 

ˆvt = 0, 0001 + 0, 03ˆvt−1 

+ 0, 009MADt−1 

+ 0, 04LONt−1 

+ 0, 006 

(0,002) 

(0,09) 

(0,3) 

(0,1) 

c) Kontrasta ezazu AR(1) autokoerlazioaren existentzia vt-an. 

(0,03) 

(2) 

NYt−1 +êt R 2 = 0, 09 

d) Aurreko b) eta d) atalen emaitzen ondorioak kontutan hartuz, zer esan dezakezu (1) eta (2) ereduen 

baliogarritasunari buruz? 


Izan bedi hurrengo eredua 

Yt = α +βYt−2 +γXt +δWt +ut non ut = ρut−1 +ǫt ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ) 

nonXt etaWt aldagai ez estokastikoak diren. 

a) Zeintzu propietate izango dituzte KTAko α, β,γ eta δ estimatzaileek? 

b) Propietateak egokiak ez direla baderitzozu, zure ustez zein estimatzaile izango litzateke egokiagoa? 

31


Hurrengo taulan enpresa batean lan egiten duten langileen alokairuei buruzko datuak (Y ) eta lan egindako 

orduei buruzko datuak (X) ditugu. Gainera, langilea gizonezkoa (G) ala emakumezkoa (E) den, 

ezagutzen da: 

Y 170 180 165 165 105 95 100 90 

X 40 50 30 40 50 35 40 35 

Sexua G G G G E E E E 

Y 2 

i = 153900 Yi = 1070 

 

Xi = 320 

 

XiYi = 43075 

Enpresako langileen alokairuak azaltzeko, ikertzaile batek hurrengo eredua proposatzen du 

Yi = α +βXi +ui ui ∼ NIB(0,σ 2 u) 

X 2 i = 13150 

a) Estima itzazu ereduaren parametroak KTAn bidez eta kontrasta ezazu X aldagaiaren esanguratasuna. 

b) AR(1) motako autokoerlaziorik existitzen al da ereduko perturbazioetan? 

c) Beste ikertzaile batek, alokairua zehazterakoan sexua aldagai esanguratsua dela pentsatzen du. 

Proposa eta estima ezazu hipotesi hau kontutan hartzen duen eredu bat. Kontrasta ezazu aurreko 

hipotesia. 

d) Durbin eta Watsonen estatistikoak eredu honetan hartzen duen balioad = 2, 2 dela kontutan izanik, 

existitzen al da AR(1) motako autokoerlaziorik eredu honen perturbazioetan? Nola erlazionatzen 

da emaitza hau b) atalean lortutakoarekin? 

e) X aldagaia esanguratsua al da? Nola azaltzen da emaitza hau a) atalean aurkitutakoa kontutan 

izanik? 


Suposa ezazu X etaY aldagaiak elkar erlazionatzen direla hurrengo ereduaren bidez: 

X aldagai ez estokastikoa izanik eta ut perturbazio aleatorioa. 

Yt = (Xt) β ·ut t : 1,...,T. (1) 

a) Nola linealizatuko zenuke (2) ekuazioa hurrengo ekuazio mota lortzeko? 

Y ∗ 

t = β ∗ X ∗ t +u ∗ t t : 1,...,T. (2) 

Zehazki, zein erlazio dago (2) eta (3) ekuazioetako aldagai eta parametroen artean? 

b) Suposa ezazu E(u ∗ t) = 0, E(u ∗ tu ∗ s) = 0 ∀t = s eta Bar(u ∗ t) = k(X ∗ t ) 2 direla, k ezezaguna 

delarik. Nola eraldatu beharko genuke (3) eredua, KTAn aplikazioaren bidez, bariantza minimoa 

duten estimatzaileak lortzeko? 

32


Izan bedi ondorengo eredu lineal bakuna: 

Yt = α +βXt +ut ut ∼ ibb(0,σ 2 u) (3) 

a) Suposa ezazu Xt aldagai aleatorio bat dela. Froga ezazu, X eta uren arteko aldibereko koerlaziorik 

ezaren baldintzapean, KTAko estimatzaileak tinkoak baina alboratuak direla. Zehaz ezazu 

argi eta garbi X aldagaiari buruz behar dituzun baldintzak. 

b) Suposa ezazu Xt finkoa dela eta 150 behaketako lagin batentzat lortutako KTAko emaitzak hurrengoak 

direla: 

Yt = 1, 39 

(0,2236) 

+ 0, 2 

(0,0173) 

Xt + ut 

ρ = 

ûtût−1 

û 2 t 

non parentesi artean koefiziente estimatuen desbidazio tipikoa agertzen diren. 

Kontrasta ezazu AR(1) motako autokoerlazioaren existentzia perturbazioetan. 

= 0, 3 (4) 

c) Lortutako emaitzetan oinarrituz, zein uste duzu dela (4) ekuazioa estimatzeko erarik egokiena? 

d) Suposa ezazu Xt finkoa dela eta Yt dagoela erroreaz neurtuta, honela Yt-ren datuak ez ditugu 

behatzen baizik etaY ∗ 

t = Yt +ǫt-renak,ut ∼ (0,σ 2 u), ǫt ∼ (0,σ 2 ǫ) etaKob(ut,ǫt) = 0 direlarik. 

Idatz ezazu estimagarria den eredu bat eta aipatu itzazu eredu honetako perturbazioen propietateak. 

Zein estimazio metodo proposatuko zenuke? Arrazona ezazu zure erantzuna. 


Ikertzaile batek bi probintziatarako (1 eta 2 probintziak) hurrengo eredua proposatu du kotxeen salmenta 

azaltzeko, prezio eta errenta erabilgarria per kapitaren funtzioan. 

non: 

σ 2 1 eta σ2 2 

V1t = α1 +β1P1t +γ1R1t +u1t u1t ∼ ibb (0,σ 2 1) (1) 

V2t = α2 +β2P2t +γ2R2t +u2t u2t ∼ ibb (0,σ 2 2) (2) 

ezezagunak diren. 

E(u1tu2s) = 0 ∀t = s. 

Pit,iprobintziako t uneko prezioa den. 

Vit,iprobintziako t uneko salmentak diren. 

Rit,iprobintziako t uneko errenta per kapita den. 

33

INTERPRETA itzazu hurrengo balizkoak eta azal ezazu zehazki nola estimatuko zenukeen (1) eta (2) 

ekuazioz osaturiko eredua hurrengo kasuetan (idatz ezazu eredua eta perturbazioen bariantz eta kobariantz 

matrizea): 

a) E(u1tu2t) = 0 ∀t 

b) E(u1tu2t) = σ12 ezezaguna ∀t 

c) E(u1tu2t) = 0 ∀t 

β1 = β2 

d) E(u1tu2t) = 5 ∀t eta nonσ 2 1 = σ2 2 

α1 = α2 β1 = β2 γ1 = γ2 


Ikertzaile batek hurrengo eredua proposatzen du: 

Ct,tuneko kontsumoa izanik. 

= 25 diren. 

Ct = βCt−1 +ut t = 1,...,T u ∼ N(0,σ 2 uI) 

a) Kasu honetan ˆ βKTA estimatzailea alboragabea al da? Eta tinkoa? 

Bigarren ikertzaile batek beste eredu bat proposatzen du: 

Ct = β1Xt +β2Ct−1 +ut 

t = 1,...,T 

X Nazio Errenta izanik. X aldagai hau ez da behagarria baina errenta erabilgarriaren X ∗ hurbilketa 

bezala erabiltzen da. Hau daX ∗ t = Xt +ǫt, non ǫ ∼ N(0,σ 2 ǫI) eta u-rekiko independentea den. 

b) Kasu honetan ˆ βKTA estimatzailea tinkoa al da? Froga ezazu. 

c) Zein metodo deritzozu egokia eredu honetako parametroak estimatzeko? Zergatik? 


Ikertzaile batek, istripuen kopuruaren, (Yt), matrikulatutako autoen kopurua, (Mt), eta gidatzeko baimen 

kopuruaren, (Pt), funtzioan azaltzeko, ondorengo eredua proposatzen du bai Bizkaia (B) bai Arabarentzat 

(A) : 

Erantzun itzazu ondoko atal biak independenteki: 

Y B 

t = β1M B t +β2P B t +u B t t = 1,...,T. 

Y A 

t = α1M A t +α2P A t +u A t t = 1,...,T. 

34

a) bar(u B t )=t 2 M B t , bar(u A t )=t 2 M A t eta kob(u B t ,u A s )=0∀t ∀s suposatuz, 

I) Adieraz ezazu bateratutako ereduaren perturbazioen bariantz-kobariantz matrizearen egitura. 

II) Proposa ezazu ereduko parametroak efizienteki estimatzeko metodoren bat. 

III) α2 = β2 baldin bada, aldatzen al zaizkizu zure konklusioak? Arrazona ezazu. 

b) Suposa ezazu u B t ∼ ibb(0,σ 2 ), u A t ∼ ibb(0,σ 2 ), kob(u B t ,u A t )=σ12 eta kob(u B t ,u A s )=0 ∀ t = 

s direla. KTAk estimatzeko metodo efiziente bat dela uste duzu? Kontsidera ezazu σ 2 eta σ12 

ezagunak. 


Herri batean egindako tabako ikerketa batek, ondorengo eredua aurkeztu du: 

non 

St = β1 +β2Pt +β3Gt +ut 

St: tabako enpresa nagusien salmentak diren (milaka unitateetan). 

Pt: prezioak diren (1960ko unitate monetarioetan). 

Gt: telebistan, irratian eta prentsan egindako publizitate gastuak diren (1960ko unitate monetarioetan). 

1960-1979 epearen urteroko datuak erabiliz, KTAko estimazioen emaitzak ondorengoak dira: 

ˆβ = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

ˆβ1 

ˆβ2 

ˆβ3 

⎤ 

⎡ 

⎥ ⎢ 

⎦ = ⎣ 

192, 89 

−2, 45 

6, 52 

⎤ 

⎥ 

⎦, (X ′ X) −1 = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

û ′ û = 829, 575 

T Pt 

P 2 t 

⎤−1 

⎡ 

Gt 

⎥ ⎢ 

PtGt ⎦ = ⎣ 

 

G2 t 

a) Interpreta itzazuβ1,β2 eta β3. ˆ β estimazioen ikurrak esperotakoak al dira? 

(1) 

38, 228 −0, 508 −0, 692 

0, 012 0, 005 

0, 016 

b) Kontrasta ezazu ea β2 = 0 den. Interpreta itzazu bai kontrastea eta bai lortutako emaitza ere. 

c) (1) irudiak aurreko estimazioari dagozkion hondarrak aurkezten ditu. Irudi hau kontuan izanik, (1) 

ereduko perturbazioetan AR(1) tipoko autokoerlazio existentziaren susmoren bat edukiko al zenu? 

20 

t=2 (ut − ut−1) 2 = 1689, 8 dela jakinik, egin ezazu aurreko autokoerlazio susmoa baieztatzeko 

beharrezkoa den kontrastea. 

d) 1980. urtetik aurrera zigarroen salmentak jeitsi egin dira tabakoaren aurkako kanpainak eta telebistako 

publizitatearen galerazpenagatik. Aurreko laginari 1980-1989 epeko behaketak gehituz, (1) 

eredua berestimatu da KTAn bitartez, lortutako emaitzak honakoak izanik: 

ˆβ ∗ ⎡ 

ˆβ 

⎢ 

= ⎣ 

∗ 1 

ˆβ ∗ 2 

ˆβ ∗ ⎤ ⎡ 

⎥ ⎢ 

⎦ = ⎣ 

3 

35 

−221, 45 

5, 76 

10, 96 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦

Figura 1: Hondarrak. 1960-1979ko lagina. 

15 

10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 

Figura 2: Hondarrak. 1960-1989ko lagina. 

80 

60 

40 

20 

0 

-20 

-40 

-60 

-80 

-100 

-120 

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 

eta hondarrak, (2) irudian agertzen dira. Emaitz berri hauek kontutan izanik, zeintzu propietate 

dituzte azken estimatzaile hauek? Zeintzu aldaketa proposatuko zenituzke (1) ereduarentzat? 


Enpresa bateko mozkina (Mt) eta bere salmenten (St) arteko erlazioa zehaztu nahi da. Honetarako, 1948- 

1997 epeko datuekin ondorengo bi erregresio egin dira: 

1948-1964 ˆ Mt = ˆα1 + ˆα2St HKB1 = 931, 28 

1981-1997 ˆ Mt = ˆγ1 + ˆγ2St HKB2 = 3936, 6 

a) Kontrasta ezazu perturbazioen bariantza denboraren funtzio gorakor bat delaren hipotesia. 

b) Prezio indizea, (Pt), aldagai berria ereduan barneratzerakoan ondorengo eredua lortzen da: 

Mt = β1 +β2St +β3Pt +ut 

Berriro bi erregresio egin dira: bat lehen 17 behaketekin eta bestea azken 17 behaketekin 1964 1997 932, 2 1981 u2 t = 1950 lortuz. Egin ezazu aurreko kontrastea berriro. 

1948 u2 t = 

c) Aurreko bi ataletako emaitzak kontutan harturik, zein da, zure ustez, lehen ereduak jasaten duen 

arazoa? Eredua Karratu Txikienen Zabalduen bitartez estimatzea egokia al da? 

36

PLANGINTZA BERRIKO 

ARIKETAK 

EL - EAZL 

37

ARIKETA EL-1997.1 (97ko ekaina) 

Ondorengo ereduko KTAko estimazioaren hondarrak hauek dira: 


1 2 3 4 5 6 

ût -0.16 -1.02 1.12 3.26 2.4 4.54 

a) Aurki ezazu Durbin-Watson estatistikoaren balioa. 

b) Suposa ezazu aurreko DW estatistikoaren balioa 6 behaketekin lortu beharrean, 60 behaketekin 

lortu duzula. Eredua ondo zehaztuta dagoelaren suposiziopean menpean, zeintzu propietate izango 

dituzte KTAko parametroen estimatzaileek? 

c) KTAko metodoa ez den eta propietateak hobeagotzen dituen estimatzailerik ezagutzen al duzu? 

d) Nola erabiliko zenukee Cochrane eta Orcutt-en iterazio metodoa kasu honetan? 


Jacinto Gómez jauna Espainian SACAIN S.A.-ko gerentea, esklusiboak diren objetuak saltzen ditu. Bere 

enpresaren salmentak estimatzeko independenteak diren bi lagin ditu: 

Y1t = α1 +β1X1t +γ1X2t +u1t u1t ∼ N(0,σ 2 1) (2) 

Y2t = α2 +β2X1t +γ2X2t +u2t u2t ∼ N(0,σ 2 2) (3) 

a) Azal ezazu gerente honi, parametroen multzoa estimatzeko erarik efizienteena zein den eta baita 

zergatik ere. 

b) Azal ezazu arrazonatuz, nola kontrastatuko zenukeen hurrengo hipotesia: 

H0 : β1 = β2 

Idatz itzazu hipotesi hutsa eta alternatiboa, kontrastearen estatistikoa eta honen banaketa. Zehaz 

ezazu bereziki, nola estimatuko zenituzkeen σ 2 1 etaσ2 2 bariantzak. 

c) Aurreko hipotesi hutsa baztertzen ez dela suposatuz, zein izango litzateke parametro multzoa estimatzeko 

erarik egokiena? Zergatik? 




38 

(1) 

(4)

nonut ∼ ibb(0,σ 2 u) etaXt ez estokastikoa den. 

Ekonometrak, datuen estalketa dela eta, ez duXt aldagaia behatzen, baina beste aldagai baten behaketak 

ditu,X ∗ t -renak zeina Xt-ri hurbiltzen zaion: 

ǫt,ut-rekiko independentea. 

X ∗ t = Xt +ǫt ǫt ∼ iib(o,σ 2 ǫ) 

a) Froga ezazu Xt erabili beharrean, X ∗ t erabiltzerakoan, β parametroaren estimatzailea ez dela tinkoa. 

Kalkula ezazu bere probabilitatezko limitea. 

b) α parametroaren estimatzailea tinkoa al da? Kalkula ezazu bere probabilitatezko limitea. 

ARIKETA EL-1997.4 (97ko iraila) 


Yi = βXi +ui ui ∼ N(0,σ 2 uX 2 i ) i = 1, 2....N (1) 

non ˆ β,βren KTAko estimazioa den eta ˜ β KTZrena. 

a) Bila itzazu estimatzaile bi hauen bariantzak, konpara itzazu biak eta froga ezazu KTZrena bietatik 

efizienteagoa dela. 


Demagun ondorengo eredua 

Yt = βXt +ut ut = 0,5ut−2 +ǫt ǫt ∼ N(0,σ 2 ǫ) (2) 

a) Bila itzazuutren batezbestekoa eta bariantza. (Oharra: Kobariantzan estazionarioa den prozedura 

baten propietateak erabili ditzakezuz.) 

b) Azal ezazu nola estimatuko zenukeen β parametroa era efiziente batean. 

c) ut−2ri laguntzen dion ρ2 parametroa ezezaguna izango balitz, nola estimatuko zenuke parametro 

hau? eta ondoren, nola estimatuko zenuke β parametroa? 


Ikertzaile batek bi herrialde desberdinentzat ondorengo eredua proposatzen du, Y ren jokaera X1 eta X2 

aldagaien funtzioan azaltzeko: 

Y a 

t = β0 +β1X a 1t +β2X a 2t +u a t 

39 

(3)

Y b 

t = α0 +α1X b 1t +α2X b 2t +u b t 

Erantzun ezazu atal bakoitzari bestearekiko independentikoki: 

a) Suposa ezazu bai u a t eta bai u b t, biak N(0,σ 2 ) eta independenteak direla. Nola kontrastatuko zenuke 

β2 = α2 hipotesia? Izan ezazu kontuan σ 2 ezezaguna dela. 

b) Suposa ezazu bai u a t eta bai u b t, biak N(0,σ 2 ) direla eta kob(u a t,u b s) = σ12 (t=s) dela. Nola 

kontrastatuko zenuke β2 = α2 hipotesia? Izan ezazu kontuan σ 2 eta σ12 parametro ezagunak 

direla. 

c) Idatz ezazu perturbazioen bariantz-kobariantz matrizearen egitura opndorengoa beteko balitz:bar(u a t ) = 

t 2 X a 1t ,ub t = 0,5u b t−1 +ǫt, non ǫt ∼ N(0,σ 2 ǫ). 

ARIKETA EAZL 1997.1 (97ko ekaina) 

Kontsidera ezazu ondorengo erregresio eredua: 

Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +ut t = 1,...,100 

nonX2 eta X3 aldagai finkoak diren eta ut ∼ NIB(0,a +bt 2 ). 

a) Suposa ezazu a = 2b dela jakina dela, non b parametro ezezagun bat den. 

a.1) Lor ezazuY -ren bariantz-kobariantz matrizea. 

a.2) Esan ezazu zein estimazio metodo den egokiena, erantzuna arrazonatuz. 

b) Suposa ezazu orain a = 0 eta b parametro ezezaguna dela. Eredua Karratu Txikienen Zabalduen 

bitartez estimatu da ondorengo emaitzak emanez: 

⎡ 

ˆβKTZ 

⎢ 

= ⎣ 

⎤ 

2 

⎥ 

3 ⎦ 

−1 

Bar( ˆ ⎡ ⎤ 

3 −2 1 

⎢ ⎥ 

βKTZ) = ⎣ −2 4 0 ⎦ 

1 0 3 

Kontrasta itzazu ondorengo hipotesiak: 

b.1) β3 = 0 

b.2) β3 = 0 etaβ1 + 2β2 = 5 


Auto enpresa ezagun bat, auto berri baten merkaturatzean interesatuta dago. Hau dela eta, merkatu honen 

ikerketa bat egitea agintzen dio enplegatu bati. Horretarako, ondorengo informazioa ematen diote 

merkaturatuta dauden eta antzerako ezaugarriak dituen 20 auto ezberdinei buruz. 

40 

(4)

Si = azkeneko urtean egon diren i autoaren salmentak estatuani = 1,...,20 (miloi pezetetan). 

Pi = i autoaren prezioa (mila pezetetan). 

PBi = antzerako ezaugarriak dituzten eta beste enpresa ezberdinek produzitutako autoen batezbesteko 

prezioa (mila pezetetan). 

Gainera, publizitate sailak merkatu desberdinei buruzko txostenak egin ditu. Bertan, Italian eta Espainian 

erosle gazteen, (JASP), proportzioa handia dela ondorioztatu da. Beste herrialdeetan berriz, gidari 

helduen eskaria da nabarmenena. Ikerketaren arduradunak burugoei, italiar merkatuaren datuak eskatzea 

erabaki du merkatu bien arteko erlazio posibleak kontutan hartzeko helburuarekin. Hauek, aipatutako 20 

autoentzat, italiar merkatuko salmenta eta prezioei buruzko informazio berbera eman diote. 

a) Azal ezazu zeintzu izan daitezkeen Italia eta Espainia merkatuen auto salmenten arteko erlazio posibleak. 

b) Aurreko atalean egin dituzun komentarioak kontutan hartuz, zehaz ezazu eredu bat zeinetan herrialde 

bietako prezioen eragina salmentetan desberdina den. Aipatu itzazu zeintzu balizko hartzea erabaki 

duzun. 

c) Azal ezazu zein den ereduko parametroak estimatzeko erarik egokiena. 

d) Azal ezazu nola kontrastatuko zenukeen prezioek (P etaPB) era berdinean eragiten dutela herrialde 

bietako auto salmenten gain. 

ARIKETA EAZL 1997.3 (97ko iraila) 

Ikertzaile batek, familien batezbesteko kontsumoa, Kt, analizatu nahi du familien batezbesteko errenta, 

Yt, eta kontsumorako prezio indizearen,Pt, funtzioan. Hau egiteko ondorengo eredua estimatzea erabaki 

du. 

Kt = β1 +β2Yt +β3Pt +ut t = 1,...50 (1) 

KTA aplikatuz ondorengo emaitzak lortu ditu: 

Ct 

(var) 

û 2 t 

1566 

= 51, 14 + 0, 72 Yt − 0, 31Pt 

t = 1,..., 50 R 2 = 0, 98 DW = 1, 72 (2) 

(12,3) 

(0,00487) 

(0,03) 

= 7139, 61 + 0, 10Y 2 

t + 1, 57P 2 t +êt SCR = 32563, 86 SCT = 50288, 26 

a) Kontrasta ezazu H0 : β3 = 0 hipotesia (1) ereduan, ut ∼ NIB(0,σ 2 u) dela suposatuz. Interpreta 

ezazu emaitza. 

b) Perturbazioak autokoerlatuak egon daitezkela uste da, lehen ordenako prozedura autoerregresibo 

bat jarrai ditzaketela uste da bereziki. Kontrasta ezazu susmo hori. Idatz ezazu hipotesi hutsa, 

hipotesi alternatiboa eta kontrastearen estatistikoa. 

41

c) Era berean, errorean (ut) heterozedastizitate arazoak egon daitezkelaren susmoa dago. Kontrasta 

ezazu hipotesi hau emandako datuak erabiliz. Jar ezazu hipotesi hutsa, hipotesi alternatiboa, 

estatistikoa, bere banaketa eta erabakitze araua. 

Beranduago, ikertzaileak beste eredu bi estimatzen ditu ondorengo emaitzak lortuz: 

(K/Y ) t 

(bar) 

(KY ) t 

(bar) 

= 71, 76(1/Yt) 

+ 0, 78 

(15,36) 

= 40, 76Yt 

+ 1, 08 

(35,36) 

(0,0328) 

(0,00328) 

− 0, 60 

(0,004) 

Y 2 

t − 0, 40 

(0,024) 

(P/Y )t 

(PY )t 

d) ut-ren bariantza Y aldagaiarekin erlazionatuta baldin badago, bar(ut) = σ 2 uYt 2 , aukera ezazu hasierako 

ereduko aldagaien eraldakuntza egokiren bat, horrela, eraldatutako ereduan heterozadastizitatearen 

arazoa desagertu dadin. Froga ezazu eraldatutako ereduaren perturbazioek oinarrizko 

hipotesiak betetzen dituztela. 

e) Egin ezazu eraldatutako ereduan a) ataleko kontraste berdina. Konpara eta komenta itzazu kontrastearen 

emaitzak. Emaitz hauetan oinarrituz, Pt aldagaia esanguratsua al da? 


Izan bedi ondorengo ereduaPt = α +β1Lt +β2Kt +ut t = 1,...,T non 

Pt produkzioaren logaritmo nepertarra den. 

Lt erabilitako lan kantitatearen logaritmo nepertarra den. 

Kt erabilitako kapitalaren logaritmo nepertarra den. 

a) Interpreta itzazuβ1 etaβ2 koefizienteak. 

b) Lor ezazu perturbazioen bariantz-kobariantz matrizea baldin etaut = 0, 3εt−3 +εt, ε ∼ (0, 4I) 

bada. 

c) ut = 0, 7ut−1 +εt ε ∼ (0,σ 2 εI) baldin bada 

i) Azal ezazu nola estimatuko zenituzken ereduko parametroak. Aipatu itzazu proposatutako 

estimatzailearen propietateak. 

ii) Nola kontrastatuko zenuke eskala errendimendu konstantearen hipotesia,β1 +β2 = 1? 

42 

(3) 

(4)


CURRO bidai agentziak, bere urteroko mozkinak, (Y ), publizitate gastuen, (X), eta aurreko urteko 

mozkinen menpean dagoela kontsideratzen du. Azken bost urteetan aldagai hauen arteko erlazioa zein 

den jakiteko, ondorengo eredua estimatzea erabaki du 

Ondorengo datuekin: 

t Yt Xt 

1 -5 2 

2 8 8 

3 1 3 

4 2 3 

5 -2 0 

Yt = β1 +β2Xt +β3Yt−1 +ut, t = 1, 2,...,5 (5) 

a) Estima itzazu (3) ereduaren parametroak Ordezko Aldagaien bitartez, Yt−1-ren ordezko aldagai 

bezala Xt−1 erabiliz. Jar itzazu nolakoak diren matrize guztiak azken emaitzera heldu arte. 

b) Xt−1,Yt−1ren ordezko aldagai egoki bat al da? Zergatik? 

c) Perturbazioen banaketa zehaztu ez dela kontutan harturik, propietate asintotiko hobeagoak dituen 

estimazio metodoren bat existitzea posiblea al da? Perturbazio banaketaren hipotesi desberdin bi 

kontsideratuz, azal ezazu dagokion estimazio metodo egokia. 

ARIKETA EL 1998.1 (98ko ekaina) 

Madrileko burtsa eta Europear beste burtsa batzuen arteko erlazioa bilatu nahi da ondorengo ekuazioaren 

bitartez 

MADt = β0 +β1LONt +β2FRAt +ut 

(1) 

nonMADt,LONt etaFRAt Madril, Londres eta Frankfurteko burtsa indizeen logaritmoen lehen diferentziak 

diren hurrenez hurren. 60 behaketako lagin bat erabiliz, ondorengo emaitzak lortu dira Karratu 

Txikienen Arrunten bitartez: 

MADt 

= 0, 01 

(t estatistikoa) (1,12) 

+ 0, 44LONt 

+ 0, 27FRAt 

R 2 = 0, 45 (2) 

(2,75) 

a) Ondorengo ekuazio laguntzailea emanik, kontrasta ezazu AR(1),ut = ρut−1+ǫt,ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ), 

egituraren existentzia perturbazioetan. 

ût 

(t estatistikoa) 

(2,35) 

= 0, 15ût−1 

− 0, 23LONt 

+ 0, 01FRAt 

+ ˆwt R 2 = 0, 09 (3) 

(5,19) 

(0,88) 

b) Ezagutzen al duzu aurreko ataleko hipotesia kontrastatzeko beste prozeduraren bat? Definitu itzazu 

H0,Ha, estatistikoa eta erabakitze araua. 

43 

(0,58)

c) Benetan AR(1) prozedura existituko balitz ut perturbazioetan, zeintzuk dira KTAko estimatzaileen 

propietateak? Nolakoa da (2) ekuazioan aurkeztutako t estatistikoen baliogarritasuna? 

d) Benetan AR(1) prozedura bat existitzen badaut perturbazioetan eta bere izatea datuetatik eratorria 

balitz eta ez zehazpen errore batetik, nola estimatuko zenuke (1) ekuazioa? Nola kontrastatuko 

zenuke LONt eta FRAt aldagaien multzoko esanguratasuna? 


Suposa ezazu ondorengo erregresio lineal eredua estimatu nahi dela hiruhilabeteko datuak erabiliz 

nonXt aldagaia ez estokastikoa suposatzen den. 

Yt = β0 +β1Xt +β2Yt−4 +ut, (4) 

a) Zein da (4) ekuazioa estimatzeko metodorik egokiena baldin etaut ∼ ibb(0,σ 2 ) bada? 

b) ut perturbazioak AR(1), ut = ρut−1 + ǫt,ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ), prozedura jarraitzen badu, β0, β1 eta 

β2ren KTAko estimatzailea alboragabea eta tinkoa al da? 

c) ut perturbazioak MA(1), ut = ǫt +θǫt−1,ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ), prozedura jarraitzen badu, β0, β1 eta 

β2ren KTAko estimatzailea alboragabea eta tinkoa al da? 


Yt = β0 +β1X1t +β2X2t +ut, t = 1, 2,...,T (5) 

ereduan, non X1t etaX2t aldagaiak ez estokastikoak diren, ondorengoa betetzen da: 

E(ut) = 0 t = 1, 2,...,T 

E(utus) = 0 t = s, t,s = 1, 2,...,T 

E(u 2 t) = t/X1t t = 1, 2,...,T. 

a) Nola eraldatuko zenuke hasierako eredua, perturbazio berriek oinarrizko hipotesiak bete ditzaten? 

Lor ezazu eraldatutako perturbazioen bariantz-kobariantz matrizea. 

b) Zeintzu propietate ditu (5) ekuazioaren β0, β1 eta β2ren KTAko estimatzaleak? ut-k banaketa 

normal independentea jarraitzen badu, zein da estimatzaile honen banaketa? 

c) Yt aldagaiaren tartezko aurresana nahi izango bazenu, ohizkoa den tartea, 

(X ′ p β ±t α/2 

T−K ˆσu 

 

1 +X ′ p(X ′ X) −1Xp ), kalkulatuko al zenuke? 

44


A probintziako auto marka zehatz baten salmentaren, (S A ), ondorengo ekuazioa estimatu nahi da hiruhilabeteko 

datuak erabiliz: 

S A t = β A 0 +β A 1 P A t +β A 2 A A t +β A 3 A A t−1 +u A t , u A t ∼ NI(0,σ 2 A) (6) 

non P A t autoen prezioa den eta A A t aipatutako autoaren marka bultzatzeko egindako publizitate gastua 

den t hiruhilabetean. uA t eta B probintziako uB t perturbazioen arteko denbora bereko koerlazioa dagoelaren 

susmoa dago, E(uA t uB t ) = σ2 AB ∀t, non 

S B t = β B 0 +β B 1 P B t +β B 2 A B t +β B 3 A B t−1 +u B t u B t ∼ NI(0,σ 2 B) (7) 

Prezioek salmentetan era berdinean eragiten dutela suposatuz, nola estimatuko zenituzke (6) eta (7) ekuazioak? 

(σ2 A ,σ2 B etaσ2 AB ezezagunak dira) 

ARIKETA EL 1998.5 (98ko iraila) 

Elikadura sektoreko enpresa batek ondorengo alokairuen, (Wi), ekuazioa estimatu nahi du: 

Wi = β1 +β2Oi +β3Ai +ui 

non Oi lan egindako orduak diren eta Ai langilearen antzinatasuna den. 25 langileko lagin bat erabiliz, 

ondorengo estimazioa lortu daKTAn bitartez: 

Wi 

(t-estatistikoa) 

= 49,906 + 982, 14Oi 

+ 4,571, 60Ai 

DW = 1,87 (1) 

(2,24) 

(4,48) 

a) ui perturbazioaren oinarrizko hipotesiren bat betetzen ez delaren susmoa dago. Kontrasta ezazu 

AR(1) tipoko autokoerlazio existentziaren ahalbidea perturbazioetan. Sekzio gurutzatutako datuak 

direla jakinez, zentzuzkoa al da kontrastearen emaitza? 

b) Ondorengo erregresio laguntzailearen estimazioa emanik, kontrasta ezazu heterozedastizitatearen 

existentziaui perturbazioetan: 

u 2 i 

ˆσ 2 = −3, 75 + 0, 3 

(2,08) (0,17) 

Oi − 0, 02 

(0,01) 

(2,4) 

Ai + vi R 2 = 0, 47 

25 

i=1 

v 2 i = 61, 18 (2) 

non ûi, (1) erregresioaren KTAko hondarrak diren eta ˆσ 2 , ui perturbazioen bariantzaren Egiantz 

Handieneko estimatzailea den. Sekzio gurutzatutako datuak direla jakinez, zentzuzkoa al da kontrastearen 

emaitza? 

c) Aurreko kontrasteen emaitzak eta goian eskeintzen diren grafikak kontutan izanik, nola hobetuko 

zenituzke (1) ekuazioan aurkezten diren estimazioak? Azal ezazu zehaztasunez jarraituko zenukeen 

estimazio prozedura. 

45

Alokairuak 

350000 

325000 

300000 

275000 

250000 

225000 

200000 

175000 

150000 

125000 

80 96 112 128 144 160 176 192 


Alokairuak 

350000 

325000 

300000 

275000 

250000 

225000 

200000 

175000 

150000 

125000 

0 2 4 6 8 10 12 14 

Ikertzaile batek, herri bateko perfume merkatua analisatu nahi du prezioa, (P ), eta egindako publizitate 

gastuen, (A), funtzioan. 

St = β1 +β2Pt +β3A ∗ t +ut ut ∼ ibb(0,σ 2 ) t = 1,...,100 (3) 

nonSt saldutako perfume kantitatea den t hiruhilabetean. 

a) Enpresengandik dagoen datu estalketaren ondorioz, (4) ereduan erabilitako “publizitate gastua”ren 

aldagaia, benetako publizitate gastuaren, A ∗ , hurbilketa bat dela oharterazten da, hau da, At = 

A ∗ t +ǫt ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ),ǫt etaut independenteak. Arrazoi honegaitik, ereduaren Karratu Txikienen 

estimazioa honela emanda dago: 

St = 25727 − 0, 96Pt 

+ 1, 36 

(9871) 

(0,33) 

(0,4) 

Zer esan genezake (4) ekuazioan aurkezten diren ematzetaz? 

b) Demagun aurreko atalekoa benetan ematen dela. Baina, behatzen ez diren publizitate gastu errealak, 

A ∗ t , denboraren funtzio gorakor bat direlaren zihurtasuna dagoela. Hain zuzen ere: 

At 

A ∗ t = 0, 05 t +ηt ηt ∼ ibb(0,σ 2 η) 

non ηt eta ut independenteak diren. Informazio hau kontuan hartzen bada, zein izango litzateke 

estimatu beharreko eredua? Eredu berri honetan oinarrituz, zeintzu propietate ditu KTAko estimatzaileak? 

46 

(4)


Demagun Eroski elkarteak beka bat ematen dizula “Eroski” eta “Kellog’s” zerealen eskariaren ikerketa 

bat egiteko. Lehen lan egunean, ikerketa-batzordeak ondorengo eredua aurkezten dizu: 

ZEt = αe +βePEt +γePKt +ut t = 1,...,100 u ∼ (0,σ 2 uI) (1) 

ZKt = αk +βkPKt +vt 

t = 1,...,100 v ∼ (0,σ 2 vI) (2) 

non ZE eta ZK saldutako “Eroski” eta “Kellog’s” markako zereal kantitateak diren hurrenez hurren. 

PE eta PK aldagaiak, zereal marka bien prezioak dira. 

a) Laginak independenteak izango balira, nola estimatuko zenituzke (1) eta (2) ekuazioak? 

b) Perturbazioen bitartez ekuazio bien arteko aldi bereko koerlazioren bat sortzen dela susmatzen da, 

E [utvt] = σuv ∀t. Nola estimatuko zenituzke ekuazioak kasu honetan? 

d) Aurreko koerlazioa kontutan harturik, E [utvt] = σuv ∀t, prezioek dagokien eskariaren gain 

duten eragina ekuazio bietan berdina dela, βe = βk, kontrastatu nahi da. Nola egingo zenuke 

kontraste hau? Definitu itzazu hipotesi nulua, alternatiboa, estatistikoa era erabakitze araua. 


50 herrialdei buruzko datuak ditugu 1995 urterako; tabako kontsumoa,Yi, publizitate gastua,X2i, eta tabakoaren 

prezioari,X3i, buruzko datuak hain zuzen. Hauekin, hurrengo erlazioaren analisi ekonometriko 

bat burutu nahi da: 

non E(ui) = 0 ∀i 

E(u 2 i ) = σ2 i 

E(uiuj) = 0 ∀i = j 

Yi = β1 +β2X2i +β3X3i +β4X 2 3i +ui i = 1,...,50. (1) 

Daukagun laginarekin, hurrengo estimazioak lortu dira: 

⎡ ⎤ 

2991 

⎢ 

βKTA 

⎢ 0, 18 

⎥ 

= ⎢ ⎥ 

⎣ −552, 62 ⎦ 

Ba( 

24, 57 

⎡ 

1802316 

⎢ 4, 62 

βKTA) = ⎢ 

⎣ −349062 

0, 0001 

−1, 01 67952, 9 

16214, 6 0, 05 −3167, 14 147, 97 

non Ba( βKTA), βKTA-ren bariantz eta kobariantz matrize asintotikoaren estimazioa den, Whiten espresioaren 

arabera. 

a) Kontrasta ezazu publizitate gastuak, tabako kontsumoarengain eraginik ez duela. 

b) Whiten estimatzailearen erabilera zein baldintzapean gertatuko litzateke egokia? 

47 

⎤ 

⎥ 

⎦


Azken 48 urteetako etxebizitzaren prezioaren garapena, (PBt), aztertu nahi dugu Bilbaon. Honetarako, 

bi aldagaiei buruzko datuak ditugu, interes tipoak, (rt), eta errenta erabilgarria, (YBt). Hurrengo eredua 

zehazten da: 

PBt = β1 +β2rt +β3YBt +u1t t = 1950,..., 1997 u1t ∼ N(0,σ 2 u1 ) (2) 

Eredua, KTAn bidez estimatu ondoren hurrengo emaitzak lortzen ditugu: 

PBt 

( ˆ des( ˆ βi)) = 0, 0844 − 0, 0123rt 

+ 0, 2556 

(0,0014) 

(0,1200) 

DW = 0, 9 R 2 = 0, 86 

(0,1500) 

a) Kontrasta ezazu lehen ordenako autokoerlazioaren existentzia perturbazioetan. 

Beste ikertzaile batek, etxebizitzen prezioak aztertzerakoan esanguratsua den beste aldagai bat, 

etxebizitzek aurreko urtean izandako prezioa dela pentsatzen du. Ereduan barneratzea erabakitzen 

du eta orduan, hurrengo erlazioa zehazten du: 

PBt = β1 +β2rt +β3YBt +β4P B(t−1) +u1t t = 1951,..., 1997 (4) 

Eredu hau KTAn bidez estimatuz aurreko datu berdinekin, hurrengo emaitzak lortu dira: 

PBt 

( ˆ des( ˆ βi)) YBt 

= 0, 0744 − 0, 0113rt 

+ 0, 3556YBt 

+ 0, 1134 

(0,0099) 

(0,1000) 

(0,1800) 

BG = 0, 94 R 2 = 0, 96 

(0,008) 

b) Kontrasta ezazu lehen ordenako autokoerlazioaren existentzia perturbazioetan. 

PBt−1 

d) Datorren urtean etxebizitza bat erosteko asmoa baduzu, aurreko bi ereduetatik, zein aukeratuko zenuke 

honen prezioa aurresateko? Arrazona ezazu erantzuna zehaztasunez. 

Demagun orain, Donostiako etxebizitzen prezioei buruzko datuak ere ditugula. Hurrengo eredua 

zehazten da: 

PDt = α1 +α2rt +α3YDt +α4P D(t−1) +u2t t = 1951,..., 1997 (6) 

non u2t ∼ NIB (0,σ 2 u2 ) Kob(u1tu2t) = 0 ∀t,s 

e)rt aldagaiari dagokion parametroa, bi ekuazioetan berdina delaren hipotesi hutsa kontrastatu nahi da. 

Plantea ezazu hipotesi hutsa, alternatiboa, kontrastearen estatistikoa eta erabakitze araua. 

f) Bi parametroak berdinak direlaren hipotesi hutsa onartzen bada. Nola estimatuko zenituzke bi ereduetako 

parametroak? Zeintzu propietate izango lituzke estimatzaile horrek? 

48 

(3) 

(5)



non ut ∼ ibb(0,σ2 u) 

X2t etaZt aldagai finkoak diren. 

X1t = γZt +ηt ηt ∼ ibb(0,σ2 η) 

Yt = β1X1t +β2X2t +ut t = 1, 2,...,T (7) 

a) Noiz estimatuko zenuke eredua Ordezko Aldagaien metodoaren bidez,Zt aldagaia,X1t-ren ordezko 

aldagai bezela erabiliz? Zergatik? X2t aldagaiak arazorik sorterazten du? Zergatik? 

52 behaketeko lagin batetik, hurrengo gurutzatuak biderkaketak lortu dira: 

Yt X1t X2t Zt 

Yt 100 80 -60 60 

X1t 100 -40 -10 

X2t 80 50 

Zt 

40 

adibidez X1tX2t = −40 

b) Zt, X1t-rentzat Ordezko Aldagaia delarik, estima itzazu ereduaren β1 eta β2 parametroak ordezko 

aldagaien metodoa erabiliz. 

Eredua KTAn bidez estimatzerakoan lortzen diren emaitzak ondorengoak dira: 

Yt 

( ˆ des( ˆ βi)) = 0, 625X1t 

− 0, 4375 

(0,077) 

(0,086) 

X2t 

d) Kontrasta ezazu H0 : E(X1tut) = 0, hurrengoa dakizularik: 

Bar( ˆ 

2, 1166 1, 0583 

βOA) = 

1, 0583 1, 2254 

Kontrastearen emaitzaren ondorioz, zein da (7) eredua estimatzeko metodorik egokiena? Ze propietate 

ditu estimatzaile horrek? 


Kontsumoa (Y ) eta familien errenta erabilgarriaren (X) arteko erlazioaren ikerketa batean, Karratu Txikienen 

Arrunten bitartez estimatuz, hurrengo emaitzak lortu dira: 

Yi 

( ˆ desb( ˆ = 2, 30 

βi)) (7,17) 

+ 0, 86Xi 

+ûi 

(0,05) 

R 2 = 0, 9687 N = 115 

Xi aldagai ez estokastikoa dela baldin badakigu eta: 

ui ∼ NIB(0, 1 + 2Xi) 

49 

(8) 

(1)

a) Zeintzu propietate dituzte (1) ereduko KTAko estimatzaileek lagin txikitan? Froga itzazu. 

b) Aukera ezazu hasierako ereduko aldagaien eraldakuntza egokia, eraldatutako ereduan heterozedastizitate 

arazoa desagertu dadin. Froga ezazu aukeratutako ereduan perturbazioek oinarrizko 

hipotesiak betetzen dituztela. 


Produktu baten salmentak (Y ) eta bere prezioaren (X) arteko erlazioa analisatzeko hurrengo eredua 

zehaztu da: 

Hurrengo datuak ditugu: 

û = Y −X ˆ βKTA 

Yt = α +β Xt +ut 

t 1 2 3 4 5 6 

Y 27 32 25 31 30 32 

X 9 12 8 10 12 11 

û -0,5 0 -1 2 -2 1,5 

ˆβKTA = (X ′ X) −1 X ′ Y 

a) (2) ereduan lehen ordenako autokoerlazioa al dago? Kontrasteko estatistiko batean oinarritu zaitez, 

hurrengo eredua estimatu da: 

Yt −ρ ∗ Yt−1 = α(1−ρ ∗ ) +β(Xt −ρ ∗ Xt−1) +εt εt ∼ N(0,σ 2 ε) (3) 

ρ ∗ -ren balio desberdinentzat hurrengo Hondar Karratuen Baturak (HKB) lortu dira: 

ρ ∗ 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 

HKB 34,2 30,9 27,8 24,9 22,2 19,6 17,2 15,1 13,0 11,1 

ρ ∗ -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -0,99 

HKB 9,4 7,8 6,5 5,3 4,2 3,3 2,6 2,1 1,7 2,1 

b) Aurreko informazioa izanik, kalkula itzazu ρ, α eta βren estimazioak Hildreth-Luren metodoaren 

bitartez. 

c) Zeintzu dira aurreko ataleko estimatzaileen propietateak? 


Hiru ikertzailek hurrengo eredua estimatu behar dute: 

Yt = β1 Yt−1 +β2 Xt +ut 

50 

(2) 

(4)

non: Yt, etxebizitza berri baten salmenta prezioa den t unean. 

Xt,tuneko interes tipoa den. 

Ereduko hurrengo informazioa izanik: 

Eredua zuzenki zehazturik dago. 

ut perturbazioak banaketa normala jarraitzen du, E(ut) = 0 ∀t-rekin. 

Hiru ikertzaileak estimazio metodoarekin ez dira adoz jartzen eta 3 estimazio desberdin aurkeztea erabaki 

dute: 

1. ikertzailea: t = 2,...,101-rekin hurrengo emaitzak azaltzen ditu: 

 

ˆβ1 

ˆβ2 

 

= 

0, 831371 

0, 882068 

Y 2 

t−1 

Yt−1Xt 

non gainera BG = 23, 24 HKB = 157, 43 

 

= 

 

Yt−1Xt 

X 2 t 

0, 00046 −0, 00134 

−0, 00134 0, 0076 

a) Zein estimazio metodo erabiltzen ari da? Arrazona ezazu. 

−1 Yt−1Yt 

XtYt 

 

 

4442, 139 

903, 487 

b) Zeintzu propietate dituzte bere estimatzaileek? Beharrezkoa baderitzozu, egin ezazu kontrasteren 

bat. 

2. ikertzailea:t = 2,...,101-rekin hurrengo emaitzak azaltzen ditu: 

ˆβ1 

 

ˆβ2 

 

= 

0, 770343 

1, 060368 

Xt−1Yt−1 

 

XtYt−1 

 

= 

 

Xt−1Xt 

X 2 t 

0, 003809 −0, 00291 

−0, 01112 0, 012178 

non gainera BG = 27, 66 HKB = 165, 5112 

c) Zein estimazio metodo erabiltzen ari da? Arrazona ezazu. 

 

−1 Xt−1Yt 

XtYt 

 

0, 770343 

903, 0487 

d) Zeintzu propietate dituzte bere estimatzaileek? Beharrezkoa baderitzozu, egin ezazu kontrasteren 

bat. 

3. ikertzailea:t = 3,...,101-rekin hurrengo emaitzak azaltzen ditu: 

Izan bitez Y ∗ 

t = (Yt −ρ ∗ Yt−1), X ∗ t = (Xt −ρ ∗ Xt−1), 

51 

 

 

(5) 

(6) 

(7) 

(8)

ˆβ1 

= 

ˆβ2 

 

0, 775642 

1, 090742 

Y ∗2 

t−1 

 

Y ∗ 

t−1 X ∗ t 

= 

 

ρ ∗ = 

 

Y ∗ 

 

X∗2 t 

t−1 X ∗ t 

0, 001035 −0, 00117 

−0, 00117 0, 00938 

ûtût−1 

û 2 t−1 

−1 Y ∗ 

 

t−1Y ∗ 

t 

X∗ tY ∗ 

t 

 

1014, 806 

245, 7676 

 

(9) 

(10) 

= 0, 5387823 (11) 

non gainera ût = Y −X ˆ βOA BG = 0, 27 HKB = 118, 0408 

e) Zein estimazio metodo erabiltzen ari da? Arrazona ezazu. 

f) Aurreko ataletan azaldu duzunarekin, zein ikertzailek erabili du estimatzailerik hoberena? Arrazona 

ezazu zure erantzuna. 


1964-1985 epeari dagozkion inportazio nazionalak, (Y ), ikertzean interesaturik dagoen ikertzaile batek 

ondorengo erregresio eredua proposatu du: 


ut ∼ NIB(0,σ 2 ) 

nonX2 errenta nazionala den etaX3 inportazioei buruzko prezioak. Eredua KTAn bidez estimatzerakoan 

lortu diren emaitzak ondorengoak dira: 

ˆYt = 273, 81 + 0, 2458 X2t + 0, 2467 X3t 

(t-estatistikoa) (2,80) (19,03) (2,80) 

a) Koefizienteek esperotako ikurrak al dituzte? 

R 2 = 0, 9846 û ′ û = 10709, 1 

b) Ikertzailea perturbazioetan prozesu autorregresibo posible baten existentzia ikertu gabe ez da lasai 

gelditzen. 1985 t=1965 (ût−ût−1) 2 = 18487, 85 dela jakinik, burutu ezazu Durbin-Watsonen kontrastea 

eta interpreta ezazu bere emaitza. 

c) Mendebaldeko herrietan, 1964-1973 goraldi epea bezala kontsideratzen da eta 1974-1985 epea 

berriz atzeraldia bezala. Arrazoi honegatik eredua orokortzea erabakitzen du koefizienteen aldakuntza 

baimenduz. 

52

Yt = β1 +β2 X2t +β3 X3t +u1t non u1t ∼ NIB(0,σ 2 ) t = 1964,...,1973 

Yt = α1 +α2 X2t +α3 X3t +u2t non u2t ∼ NIB(0,σ 2 ) t = 1974,...,1985 

Lortutako emaitzak: 

⎡ ⎤ 

−270 

ˆβ 

⎢ ⎥ 

= ⎣ 0, 3 ⎦ û 

0, 34 

′ ⎡ 

⎢ 

1û1 = 3821, 8 ˆα = ⎣ 

−282, 08 

0, 564 

0, 47 

⎤ 

⎥ 

⎦ û ′ 2û2 = 6276, 56 (1) 

Kontrasta ezazu koefizienteen egonkortasuna. Interpreta ezazu kontrastearen emaitza eta aipatu 

ezazu eredu bietatik datuekiko hobeto zein egokitzen den. 

d) Daukagun lagina epe denboral bati dagokionez, bariantza denboraren funtzio gorakor bat izango 

ez delaren galdera egiten dio bere buruari. Azal ezazu nola kontrastatuko zenukeen hipotesi hau. 

e) Heterozedastizitate kontrastea aurrera eramateko asmoarekin, ikertzaileak ondorengo bi erregresio 

laguntzaileak burutzen ditu: 

ˆYt = ˆ β1 + ˆ β2X2t + ˆ β3X3t û1 ′ û1 = 1920, 46 t = 1964,...,1972 (2) 

ˆYt = ˆα1 + ˆα2X2t + ˆα3X3t û2 ′ û2 = 5135, 33 t = 1977,...,1985 (3) 

Emandako informazioan oinarrituz, kontrasta ezazu heterozedastizitatearen existentzia. 

f) Aurreko ataletako emaitzak izanik, zein estimazio metodo aukeratuko zenuke ereduarentzat? Zergatik? 

Azal ezazu aukeratutako estimazio metodoa eta baita aukeraketa hori egiteko izan dituzun 

arrazoiak ere. 


Ondorengo ereduko KTAko emaitzak 

hauek dira: 

Yt = β1 +β2X2t +β3Yt−1 +ut 

t = 2,...,33 

ˆYt = 0, 5 + 3 X2t − 0, 59 Yt−1 

(t-estatistikoa) (1,25) (2,01) (-8,61) 

R 2 = 0, 57 DW = 3, 24 

a) Kontrasta ezazu perturbazioen koerlazio ezaren hipotesia. 

b) Aurreko kontrastearen emaitzak emanik, erabaki ezazu ea aurreko emaitzak baliagarriak diren zure 

arrazoiak zehaztasun osoz aipatuz. Erantzuna ezezkoa izatearen kasuan, azal ezazu xehetasunez, 

nola estimatuko zenukeen eredua. 

53 

(4)


Agronomo batek, gariaren errendimenduaren (Yi) eta erabilitako ongarri kopuruaren (X⋆ i ) arteko erlazioa 

estimatu nahi du. Horretarako dauzkan datuak, errendimenduarenak eta ekoizleak deklaratutako 

ongarri kopuruarenak (Xi) dira, baina azken hau ez da zertan benetan erabilitakoarekin bat etorri behar. 

Bestaldetik, ongarria erosterakoan egindako gastua (Zi) ezaguna da, hau exogenoki determinatuta dago, 

deklaratutako ongarri kopuruaren neurketa errorearekiko independentea da eta aldi berean, erabilitako 

ongarri kantitatearekin koerlatuta dago. Dauzkan 20 behaketekin, ondorengo balioak lortzen ditu: 

20 i=1Xi = 492, 78 20 i=1Zi = 284, 4 

20 i=1Yi = 434, 94 20 i=1ZiYi = 6472, 8 

20 

i=1 ZiXi = 7369, 5 

a) Idatz ezazu eredu egokiren bat eta azal ezazu argitasun osoz erabili beharreko estimazio metodoa 

eta aukeraketa horren zergatia. 

b) Estima ezazuY etaX ∗ ren arteko erlazioa metodo tinko baten bitartez. 


Enpresa txiki baten jabeak, zu eta beste pertsona bat praktikak egiteko hartu zaituzte, bakoitzak bere 

aldetik, enpresako 20 langileen produktibitatea, Y , jabeak egin dien test baten notaren funtzioan, X, 

analizatu dezazuen (X beti positiboa da). Jabeari emaitza onenak aurkezten dizkionak, lana lortuko du. 

Zure lehiakidea zu baino azkarragoa izan da. Erregresio eredu bakuna KTAn bitartez estimatu du oinarrizko 

hipotesiak betetzen diren ala ez aztertu gabe. Zu motelago joan zara zeren heterozedastizitatearen 

existentziaz arduratu zara. Goldfeld eta Quandten estatistikoa kalkulatzerakoan, 20 langileak hamarreko 

bi multzo disjuntuetan banatu dituzu testan lortutako notaren funtzioan. Estatistiko hau 6,62 dela irten 

zaizu. 

a) Azal itzazu estatistikoaren balioa lortzeko jarraitu beharreko pausu guztiak eta esan ezazu zein 

izango litzateken kontrastearen konklusioa. Proposa ezazu forma funtzional bat Bar(ui) zehazteko 

eta arrazona ezazu zure aukera. 

b) Demagun Bar(ui) = σ 2 X 2 i aukeratu duzula.E(ui) = 0 ∀i etaE(uiuj) = 0 ∀i = j suposiziopean, 

idatz ezazu KTAn bitartez estimatuko zenuken eredua, behin perturbazioak homozedastikoak 

izatea lortzen duzunean. Froga ezazu homozedastikoak direla. 

Zure lehiakidearen KTAko estimazioak ondorengoak dira: 

ˆYi = 6, 57 + 0, 89 Xi R 

(3,91) (0,067) 

2 = 0, 91 

Parentesi arteko zenbakiak estimatutako desbidazio tipikoak dira zeintzuetan ˆσ 2 (X ′ X) −1 estimatzailea 

erabili den. Zuk berriz, eredua KTZn bitartez estimatu duzu eta nagusiari aurkezten 

dizkiozun emaitzak hauek dira: 

˜Yi = 6, 12 + 0, 9 Xi 

(2,62) (0,59) 

54

c) Nola azalduko zenioke zure nagusiari (zeinek estatistikako kontzeptu batzuk gogoratzen dituen) 

zure aurkakoak azaldutako langile baten batezbesteko produktibitatearen gaineko, Xren eraginari 

buruzko konklusioa, okerrekoa dela. Burutu itzazu beharrezko kontrasteak. 


Izan bedi Yt = α + βXt + ut non ut = ρut−1 + εt εt ∼ NIB(0,σ 2 ε) eredua. Ondorengo 

datuekin: 

Yt Xt 

3 1 

3 2 

4 3 

3 4 

2 5 

2 6 

a) ρ-ren populazioko balioa 0,7koa dela jakinik, estima itzazu α eta β koefizienteak Karratu Txikienen 

Zabalduaren (KTZ) metodoaren bitartez. Jar itzatzu erabilitako kalkulu guztiak. 

b) Kontrasta ezazuH0 : β = 1 hipotesia %5eko esangura mailarekin. 

c) Daukazun lagin tamainua nahi den bezain handia dela suposatuz, nola estimatuko zenuke ρ-ren 

populazioko balioa, ezezaguna izango balitz? Azal ezazu prozesu guztia xehetasunez. 


Ondorengo eredua estimatu nahi da: 

Yt = βX1t +ut ut ∼ ibb(0,σ 2 ) (1) 

nonX1t Ytrekin determinatzen den, bereziki, X1t = Yt +X2t nonE(X2tut) = 0 ∀t den. 

a) Froga ezazu E(X1tut) = (1−β) −1 σ 2 dela.β = 1 dela suposatzen da. 

b) Zeintzu ondorio dakartza egite honek (1) ereduko βren Karratu Txikienen Arruntetako (KTA) 

estimatzailearen gain? Arrazona ezazu erantzuna. 

c) Idatz ezazuβren estimatzaile alternatiboren batek eredu honetan lortzen duen formula eta arrazonatu 

ezazu zergatik aukeratzen duzun. 

60 behaketa biltzen dituen lagin batekin ondorengo gurutzatutako biderkaketak lortu dira: 

Yt X1t X2t 

Yt 100 40 -60 

X1t 80 40 

X2t 

55 

100

adibidez YtX2t = −60. 

d) Lor ezazuβren estimazioa c) atalean proposatu duzun metodoa erabiliz eta baita KTAren metodoa 

erabiliz ere. 

e) Kontrasta ezazuH0 : β = 0 hipotesia %5eko esangura mailarekin. Suposa ezazu σ 2 = 1 dela. 

f) Ikertzaileak X1t = Yt + X2t dela ez badu kontutan hartzen, nola ohartu daiteke E(X1tut) = 0 

dela? Azal eta egin ezazu kontrastea. Suposa ezazu σ 2 = 1 dela. 

Laguntza: Lagin tamainu honentzat ˆ βOAren banaketaraN(β,σ 2 (Z ′ X) −1 (Z ′ Z)(X ′ Z) −1 ) erabiliz 

hurbildu daiteke. 

ARIKETA LE/LADE-1999.1 (99ko iraila) 

Janarian egindako gastu familiarrarentzat hurrengo eredua daukagu: 

non 

Yi = β1 +β2Xi +β3Zi +ui, i = 1,...,38 (1) 

Yi janarian egindako gastu familiarra den. 

Xi errenta familiar osoa den. 

Zi familiako kideen kopurua den. 

KTAko estimazioaren emaitzak 

Yi 

( desb) 

= 2, 24 

(2,66) 

+ 0, 16 

(0,03) 

Xi + 1, 14Zi 

(0,41) 

u ′ u = 644, 354 R 2 = 0, 449 (2) 

a) Familiaren tamainua aldagai nabaria al da gastu familiarra azaltzeko? 

KTAko hondarren adierazpide grafikoaXi etaZi aldagaien funtzioan hurrengoa da 

56

Ondoren, σ 2 = u′ u 

kalkulatzen da eta ondorengo erregresioak egiten dira KTAn bidez: 

38 

u 2 i 

σ 2 = −0, 249 + 0, 349Xi KAB = 13, 07 (3) 

u 2 i 

σ 2 = −0, 398 + 0, 024Zi KAB = 2, 416 (4) 

nonKAB erregresio bakoitzari dagokion karratu azalduaren batura den. 

b) Aurreko grafikak eta (3) eta (4) erregresioak erabiliz, kontrasta ezazu heterozedastizitatearen existentzia 

eta proposa ezazu Bar(ui)ren arrazoizko forma funtzional bat. Arrazona ezazu zure aukera. 

c) Aurreko b) ataleko emaitza emanik, zeintzu ondorio dituzu a) atalean egindako kontrastearen gain? 

d) Suposa ezazu Bar(ui) = σ 2 X 2 i eta Kob(ui,uj) = 0, ∀i = j direla. Hurrengo behaketekin, 

kalkula ezazu eraldatutako ereduaren Y ∗ bektorea eta X ∗ matrizea 

Yi 16 17 22 7 10 23 

Xi 62 82 75 71 65 83 

Zi 1 5 3 4 5 3 


Bi ekuazioz osatutako ereduan 

Y ∗ = X ∗ β +u ∗ , u ∗ ∼ (0,σ 2 I) (5) 

Y1t = β0 +β1X1t +ut ibb ∼ (0,σ 2 u) (6) 

57

Y2t = α0 +α1X2t +vt ibb ∼ (0,σ 2 v) (7) 

 

σuv t = s 

kob(ut,vs) = 

t, s = 1,...,T (8) 

0 t = s 

nonσ 2 u,σ 2 v etaσuv ezezagunak eta beraien artean desberdinak diren. Azal ezazuH0 : β1 = α1 hipotesia 

kontrastatzeko prozedura, elementu guztiak zehaztuz. Arrazona ezazu erantzuna. 



Yt = β0 +β1X1t +β2X2t +ut, t = 1966,...,1995 non (9) 

Yt = t urteko inbertsioa den. 

X1t = t urteko Barne Produktu Gordina den. 

X2t = t urteko interes tipoa den. 

KTAko estimazioaren emaitzak hauek dira: 

Yt 

( desb) 

= 6, 225 

(2,51) 

+ 0, 77 X1t − 0, 18 X2t u 

(0,072) (0,216) 

′ u = 299, 3 (10) 

DW = 0, 85 R 2 = 0, 81 

Cochrane-Orcutt metodoaren estimazioaren emaitzak ondorengoak dira: 

Yt 

( desb) 

= 7, 33 + 0, 78 X1t − 0, 29X2t 

ˆρ = 0, 61 (11) 

(3,73) (0,157) (0,08) 

a) Zein egoeran erabiliko zenuke Cochrane-Orcutten estimazio metodoa? Zergatik? 

b) (9) ereduan, a) atalean aipatzen diren baldintza guztiak betetzen direla uste duzu? Oinarritu zaitez 

kontrasteren batean. 

c) Kontrasta ezazu interes tipoak ez duela inbertsioaren gain eragitearen hipotesia. 


Izan bedi ondorengo eredua 

Yt = α +βXt +γXt−1 +λYt−1 +ut 

nonX aldagaia finkoa den eta ut = ρut−1 +εt, zeinetan εt ∼ ibb(0,σε 2 ). 

58 

(12)

a) KTAko estimatzailea tinkoa al da? Arrazona ezazu zergatia. 

b) Yt−1ren ordez Yt−2 izango bagenu ereduko aldagai azaltzailetzat, zure a) ataleko erantzuna aldatuko 

litzateke? Zergatik? 

c) Proposa ezazu (12) ereduko (αβγλ) ′ parametroen bektorearentzat, behintzat tinkoa den estimatzaileren 

bat. Arrazona ezazu zure erantzuna. 


Lan batean, gasolinaren eboluzioa aztertzeko asmoz eredu posible bi proposatzen dira. Ondorengo aldagaien 

hiruhileroko datuak dauzkagu 1959tik eta 1990rarte (urte biak barne): 

Y = Gasolinaren gastu erreal per kapita (logaritmoetan). 

X2 = Gasolinaren prezio erreala (logaritmoetan). Aldagai ez estokastikoa. 

X3 = Errenta erreal erabilgarria per kapita (logaritmoetan). Aldagai ez estokastikoa. 

X4 = Gasolina galoiko milak (logaritmoetan). Aldagai ez estokastikoa. 

Lehen eredua: 

Bere KTAko estimazioaren emaitzak: 

Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +β4X4t +ut 

ˆYt = −1, 51 − 0, 14X2t 

+ 0, 998X3t 

− 0, 52X4t 

( desb) (0,12) (0,01) (0,015) (0,02) 

R 2 = 0, 97 DW = 0, 74 

ût 

( desb) 

Bigarren eredua: 

= −0, 01 − 0, 003X2t 

− 0, 004X3t 

+ 0, 004X4t 

+ 0, 62ût−1 

− 0, 007 

(0,09) 

(0,008) 

+0, 005ût−3 

+ 0, 087 

(0,107) 

(0,09) 

(0,012) 

ût−4 +ê1t 

(0,004) 

(0,09) 

R 2 = 0, 42 DW = 2, 03 

Bere KTAko estimazioaren emaitzak: 

ˆYt 

( desb) 

Yt = γ1 +γ2X2t +γ3X3t +γ4X4t +γ5Yt−1 +vt 

= −0, 65 − 0, 06X2t 

+ 0, 47X3t 

− 0, 24X4t 

+ 0, 54 

(0,13) 

(0,01) 

(0,06) 

(0,03) 

59 

(0,09) 

Yt−1 

(0,107) 

ût−2 

(1) 

(2)

R 2 = 0, 98 DW = 1, 76 

ˆvt 

( desb) 

= −0, 24 − 0, 02X2t 

+ 0, 13X3t 

− 0, 072X4t 

− 0, 14Yt−1 

+ 0, 22ˆvt−1 

+ 0, 128 

(0,17) 

(0,02) 

+0, 105ˆvt−3 

+ 0, 118 

(0,091) 

(0,09) 

(0,09) 

ˆvt−4 +ê2t 

(0,047) 

(0,09) 

R 2 = 0, 067 DW = 2, 01 

(0,12) 

(0,101) 

a) (1) ereduko emaitzetan oinarrituz, ereduan oinarrizko hipotesiak betetzen direla uste duzu? Egin 

itzazu erantzuna arrazonatzeko beharrezkoak zaizkizun kontrasteak. 

b) Arrazona ezazu (1) ereduan KTAko estimatzaileak dituen propietateak. 

c) (2) ereduko emaitzetan oinarrituz, ereduan oinarrizko hipotesiak betetzen direla uste duzu? Egin 

itzazu erantzuna arrazonatzeko beharrezkoak zaizkizun kontrasteak. Arrazona ezazu zure erantzuna. 

d) Arrazona ezazu (2) ereduan KTAko estimatzaileak dituen propietateak. 

e) Nola kontrastatuko zenuke errenta elastikotasuna bat delaren hipotesia? Azal ezazu zehazki parte 

hartzen duten elementu guztiak: erabiliko zenuken eredua, hipotesi hutsa eta aurkakoa, estimatzailea, 

estatistikoa, banaketa eta erabaki araua. Datuak baldin badituzu egin ezazu kontrastea. 



ˆvt−2 

Yi = β1 +β2Xi +ui i = 1,...,N (3) 

nonXi ez estokastikoa den, E(ui) = 0,E(u 2 i ) = σ2 [1 + 0, 5Xi] 2 ∀i eta E(uiuj) = 0 ∀i = j 

a) Idatz ezazu perturbazio bektorearen bariantz kobariantz matrizea. 

b) Idatz ezazu KTZri dagokion eraldatutako eredua eta lor itzazu bere perturbazioaren propietateak. 

c) Azal ezazu nola estimatuko zenituzke eraldatutako ereduaren parametroak. Zeintzu propietate dituzte 

zure estimatzaileak? 

d) KTZko estimatzailea erabiliz etaui normala dela suposatuz, azal ezazu nola kontrastatuko zenuke 

Ho : β2 = 1 hipotesia. (Kontrastearen estatistikoaren elementu guztiak azaltzea ez ahaztu) 

e) (3) ekuazioaren parametroen KTAko estimatzailea ez da efizientea. Zehaz ezazu nola erabiliko 

zenuken estimatzaile hau Ho : β2 = 1 era egoki batean kontrastatzeko. (Kontrastearen estatistikoaren 

elementu guztiak azaltzea ez ahaztu) 

f) Kontraste biak baliokideak dira edo bietatik baten bat nahiago duzu? Arrazona ezazu zure erantzuna. 

60


Yt = βXt +ut estimatu nahi da etaut-ren barneanXt-rekiko koerlatuta dauden eta behagarriak ez diren 

aldagaiak egon daitezkelaren susmoa dago. 

a) Susmo hau egiazkoa balitz, zeintzu ondorio lituzke KTAko β estimatzailearen gain? Arrazona 

ezazu zure erantzuna behar den bezala. 

b) Zeintzu baldintzapean izango da Xt−1 ordezko aldagai egokia βren ordezkako aldagaien estimatzailea 

lortzeko? Arrazona ezazu zure erantzuna behar den bezala. 

60 behaketaz osoturiko laginarekin ondorengo gurutzatutako biderkadurak lortu dira: 

adibidez, YtXt−1 = −30. 

Yt Xt Xt−1 

Yt 50 20 -30 

Xt 40 20 

Xt−1 

c) Xt-ren ordezko aldagai bezala Xt−1 erabiliz, lor ezazu βren estimazioa ordezko aldagaien metodoaren 

bitartez. 

d) Zer gertatuko litzateke XtXt−1 = 0 balitz? 

e) ut ∼ iib(0, 1) dela suposatuz, kontrasta ezazu Ho : E(Xtut) = 0 hipotesia erabili duzun kontrastearen 

prozedura guztia zehazki azalduz. 


Kontsidera ezazu ondorengo eredua 

nonXt ez estokastikoa den. 

Yt = β1 +β2Xt +ut ut = ρut−1 +εt, εt ∼ ibb(0,σ 2 ) (1) 

a) Lor ezazu arrazonatuzY ∗ 

t = β1X ∗ 1t +β2X ∗ 2t +u∗ t ereduarenY ∗ 

t , X ∗ 1t , X∗ 2t , etau∗ t t = 1,...,T 

aldagaien eraldaketa, zeinentzat u ∗ t ∼ ibb(0,σ 2 ) betetzen den. 

b) Idatz ezazu β1 eta β2-ren Karratu Txikienen Zabalduen estimazio kriterioaren helburu funtzioa. ρ 

balioaren menpekoa al da? 

c) Lor ezazu matrizialki, β1 eta β2ren KTZko estimatzailearen populazioko bariantz eta kobariantz 

matrizea eta baitaβ1 etaβ2-ren Karratu Txikienen Arruntetako (KTA) estimatzailearena ere. Arrazona 

ezazu zein den txikiena eta zeintzu ondorio dakartzan honek estimatzaile bi hauen arteko 

aukeraketan. 

61 

50

d) ρ ezezaguna izango balitz, nola lortuko zenuke bere estimatzaile tinko bat? Arrazona ezazu zure 

erantzuna. 

e) Azal ezazu nola kontrastatuko zenukeen H0 : β2 = 1 baldin eta ρ-ren balioa ez bazenuke ezagutuko. 

Idatz ezazu nola lortuko liratekeen kontrasteko elementu guztiak, bost behaketaz osaturiko 

lagin batentzat egokia den ala ez arrazonatuz. 


Enpresa batek bi planta ditu, bat Bartzelonan eta bestea Madrilen. Planta bakoitzaren kostu funtzioak 

hauek dira: 

K1t = α1 +βW1t +γ1Y1t +u1t t = 1,...,50 (2) 

K2t = α2 +βW2t +γ2Y2t +u2t t = 1,...,50 (3) 

nonK: kosteak, W : alokairuak etaY : produkzioa diren. 

Ekuazio bakoitzak oinarrizko hipotesiak betetzen dituztela suposatzen da, beraien artean, σ 2 u1 = σ2 u2 da 

eta gainera kob(u1t,u2s) = 0 edozein t eta s-rentzat. Komenta ezazu hurrengo baieztapena: Baterako 

ereduaren KTAko estimazioa eta ekuazio bakoitzaren banakako KTAko estimazioa baliokideak dira. 


Erregresio Lineal Orokorraren Ereduan eta oinarrizko hipotesiak betetzen direlarik, idatz ezazu Mann 

eta Walden Teorema, teoremaren erabilgarritasuna eta eskeintzen dituen emaitzak adieraziz. 


Garapen epean dagoen komertzial etxe batek, industri sektore eta bulego kopuruaren arteko erlazioa ikertu 

nahi du probintziaka. Horretarako, S (probintziako sukurtsak kopurua) eta L (lizentzia komertzialen 

kopurua, komertzio sektorearen garrantziaren indikatzailea) aldagaien 50 behaketaz osaturiko lagin bat 

dauka. Bere ikerketa kabineteak hurrengo ekuazioa KTAn bitartez estimatu du: 

Si = β1 +β2Li +ui 

Estimazioaren emaitzak, 50 behaketak erabiliz, hurrengoa da: 

ˆSi 

(t − ratioa) 

= 22, 2 + 0, 5 Li, R 2 = 0, 3 (5) 

(3,9) 

(5,05) 

Li aldagai azaltzailearekiko, Si aldagai endogenoaren eta (5) doikuntzaren KTAko hondarren errepresentazio 

grafikoa hurrengoa da: 

62 

(4)

Ereduaren aldagaiak KTAko hondarrak 

a) Ikerketa kabinetearen arduraduna ez dago pozik lorturiko emaitzekin. Aurreko grafikoetan zeintzu 

arazo isladatzen dira? 

Arduradun berberak, estimazioa hobetzeko bi aukera ematen ditu. Lehena, hurrengo ekuazioa KTAn 

bitartez estimatzean datza: 

Si 

√ Li 

= β1 

1 

√ 

Li 

 

+β2 Li + ui 

√Li 

b) Zein da (4) ereduan bete behar ez den oinarrizko hipotesia (6) eredua erabiltzeko? Zein da proposatzen 

ari den konponbidea? (5) ereduko KTAko estimazioa zertan hobetzea espero du? 

c) √ Li-rekiko Si √ aldagaiaren eta (6) ereduaren doikuntzaren KTAko hondarren errepresentazio 

Li 

grafikoak ikusirik, arazoa era egoki batean konpontzen ari dela uste duzu? 

63 

(6)

Bigarren aukera, Si eta Li-ren arteko erlazioa ez lineala izatea da, Si = exp{γ1 + γ2Li + vi} esponentziala 

baizik. Honela, hurrengo eredua KTAn bitartez estimatzen da: 

lnSi = γ1 +γ2Li +vi 

50 behaketaz osaturiko lagin osoa erabiliz, lorturiko emaitzak hauek dira: 

lnSi 

= 3, 31 

(t − ratioa) (31,0) 

ˆv 2 i 

0, 21 = 0, 053 

(0,09) 

+ 0, 02Li, 

R 2 = 0, 33 HKB = 10, 54 (8) 

(5,3) 

+ 0, 017Li 

+êi, R 2 = 0, 014 HKB = 89, 72 (9) 

(1,6) 

Gainera,Laldagaien balioen funtzioan lagina ordenatu ondoren, lehen eta azken 12 behaketak erabiliz, 

(7) motako bi erregresio estimatu dira. Lorturiko hondar karratuen baturen balioak HKB1 = 0, 77 eta 

HKB2 = 0,992 dira hurrenez hurren. 

d) Zure ustez, (7) ereduak (4) ereduak aurkezten zuen hipotesien ez betetzearen arazo berbera azaltzen 

al du? Justifika ezazu zure erantzuna kontraste baten medioz. Azal ezazu zehazki egiten duzuna 

eta zergatik egiten duzun. 

e) Azkenik, eskeinitako soluzioetatik, bat bestea baino egokiagoa dela iruditzen al zaizu? Arrazona 



Hurrengo eredua KTAn bitartez estimatu da erabilitako behaketak 140 izanik: 

Yt = β1 +β2Xt +β3Yt−1 +ut 

ˆYt = 25, 3 − 2, 20Xt 

+ 6, 4 Yt−1 

( desb) (6,74) (0,63) (0,05) 

R 2 = 0, 47 DW = 2, 2 

ût 

( desb) 

= 1, 19 − 0, 27Xt 

− 0, 02Yt−1 

− 0, 10ût−1 

− 0, 14ût−2 

+ 0, 58 

(5,34) 

(0,51) 

(0,84) 

(0,08) 

(0,07) 

(0,07) 

R 2 = 0, 42 DW = 2, 03 

Eredu honetakoβ1,β2 etaβ3-ren KTAko estimatzailea, 

a) zergatik ez dau-rekiko lineala? 

b) zergatik ez da alboragabea? 

c) zergatik ez da tinkoa? Egin itzazu beharrezkoak iruditzen zaizkizun kontrasteak. 

64 

ût−3 

(7) 

(10)


Ikertzaile batek, nazio ekonomiak duen irekitze graduaren eragina desenpleguaren gain Yt, aztertu nahi 

du. Irekitze graduaren aldagai azaltzailearen adierazle bezala Pezeta/DolarUSA ganbio tipoaren oszilazioak, 

Xt, erabiltzen du, zeina ez estokastikoa den. Bai X bai Y datuak, hilerokoak dira. 

KTAko erregresioaren emaitzak ondorengoak dira: 

0.32 

0.24 

0.16 

0.08 

0.00 

-0.08 

-0.16 

-0.24 

a) Komenta ezazu hondarren grafika. 

ˆYt 

( desb.) 

= 0,0004 + 0,064 

(0,002) 

(0,066) 

R 2 = 0,002 T = 435 HKB = 0,820 DW = 1,425 

Xt 

Figura 3: KTAko hondarrak 

1963 1968 1973 1978 1983 1988 1993 1998 

b) Kontrasta itzazu parametroen banakako esanguratasuna. 

c) Kontrasta ezazu autokoerlazioaren existentzia (1) ereduan. 

d) Beranduago, ikertzaileak ondorengo erregresioak burutzen ditu: 

1962tik - 1975ra 

1983tik - 1999ra 

ˆYt 

( desb.) 

= 0,005 − 0,102 

(0,006) 

(0,362) 

R 2 = 0,0005 T1 = 155 HKB = 0,753 DW = 1,441 

ˆYt 

( desb.) 

= − 0,002 + 0,067 

(0,0007) 

(0,020) 

R 2 = 0,055 T2 = 196 HKB = 0,021 DW = 0,997 

65 

Xt 

Xt 

(1) 

(2) 

(3)

0.32 

0.24 

0.16 

0.08 

0.00 

-0.08 

-0.16 

-0.24 

Figura 4: KTAko hondarrak: (2) eta (3) ereduak 

KTA hondarrak 1962-1975 

1963 1965 1967 1969 1971 1973 1975 

0.032 

0.024 

0.016 

0.008 

0.000 

-0.008 

-0.016 

-0.024 

-0.032 

KTA hondarrak 1983-1999 

1983 1986 1989 1992 1995 1998 

Figura 1 grafikan agertzen diren lagin osoaren hondarrekin konparatuz, zer adierazten du (2) eta 

(2) ereduen KTAko hondarren grafikak? Kontrasta ezazu heterozedastizitatearen existentzia lagin 

osoa kontutan hartzerakoan, zehaz ezazu hipotesi hutsa eta aurkakoa. 

e) (1) ereduan KTAko estimazioa egokia iruditzen zaizu?, eta b) ataleko kontrasteak? 

f) Ondoren, ereduan aldagai azaltzaile bezalaYt−1 barneratuz KTAn bitartez estimatzen da eredua 1983- 

1999 epearentzat (196 behaketa). Hondarrekin,ût, (5) erregresio laguntzailea lortu da. 

ˆYt 

( desb.) 

ût 

( desb.) 

= −0,0009 + 0,047Xt 

+ 0,480Yt−1 

R 2 = 0,281 (4) 

(0,0007) 

(0,018) 

(0,061) 

= 0,0002 − 0,152ût−1 

− 0,002Xt 

+ 0,116Yt−1 

+ ˆvt R 2 = 0,006 (5) 

(0,0007) 

(0,136) 

(0,018) 

(0,117) 

Konpara itzazu (2) eta (3) ereduen emaitzak eta aipatu itzazu eredu bakoitzean, estimatzaileen 

propietateak. Burutu itzazu beharrezkoak zaizkizun kontrasteak. 


Errioxako ardo kontsumoaren eta errenta per kapitaren arteko erlazioa analizatzeko asmoz, ikertzaile 

batek aldagai bien eboluzioa bi probintzi desberdinetan aztertzea proposatzen du. Horretarako zehazten 

duen eredua ondorengoa da: 

Y1t = α1 +β1X1t +u1t t = 1,...,T, (6) 

Y2t = α2 +β2X2t +u2t t = 1,...,T, (7) 

nonYit etaXiti probintziako (i = 1, 2) ardo kontsumoa eta errenta per kapita direntunean. E(u1tu2s) = 

0 ∀t,s dela jakinik, idatz ezazu baterako eredua matrizialki eta azal ezazu nola estimatuko zenuken 

eredua eta estimatzaileen propietateak ondorengo kasu bakoitzean: 

a) u1t ∼ ibb(0,σ 2 1 ),u2t ∼ ibb(0,σ 2 2 ) nonσ2 1 = σ2 2 ezezagunak diren etaβ1 = β2 = β. 

b) u1t = 0,1u1t−1 +εt etau2t ∼ ibb(0,σ 2 2 ) nonεt ∼ ibb(0,σ 2 ε), etaσ 2 ε etaσ 2 2 

66 

ezezagunak diren.


Ikertzaile batek, Bilboko 475 enpresek dituzten mozkinak eta ordaintzen dituzten zergen arteko erlazioa 

analizatu nahi du. Horretarako ondorengo eredua proposatzen du: 

Yi = β Xi +ui ui ∼ NID(0,σ 2 ) (8) 

nonYi i. enpresak ordaintzen dituen zergak diren etaXi bere mozkinak. 

Informazioa Foru Ogasunari eskatzen dio baina isilpeko arrazoiagatik 475 empresa bakoitzaren banakako 

datuak ezin ditu lortu, baizik eta sei taldeetan taldekatutako enpresen batezbesteko datuak: 

Taldea 1 2 3 4 5 6 

¯Yj 25 21.33 22 22 22.8 24 

¯Xj 106 92 91 97 99.4 100 

nj 100 225 100 9 25 16 

non nj j. taldea osotzen duten enpresen kopurua den, ¯ Yj = 1 

nj 

(milioi pezetetan) eta ¯ Xj = 1 

nj 

Emandako datuekin ondorengo eredua estimatzea proposatzen da: 

i∈Gj Yi zergen batezbestekoa da 

i∈Gj Xi mozkinen batezbestekoa (milioi pezetetan). 

¯Yj = β ∗ ¯ Xj +vj , j = 1, 2,..., 6. (9) 

a) Zein daβ etaβ ∗ arteko erlazioa? Etaui etavj perturbazioen bariantzaren artekoa? 

b) Estima ezazu β erarik egokienean eta komenta ezazu erabilitako estimazio metodoaren propietateak. 

c) Kontrasta ezazu mozkinak ordaindutako zergen gain eraginik ez duelaren hipotesia. 


Kontsidera ezazu ondorengo eredua 

Yt = αYt−1 +βXt +ut 

t = 2, 3,...,T, 

ut = ρut−1 +εt, |ρ| < 1 ezezaguna, εt ibb 

∼ (0,σ 2 ε) 

non Xt aldagai ez estokastikoa den. Ezagutzen dituzun estimazio metodo guztien artetik, azal ezazu 

zehazki, eredu honentzat zeinek eskeintzen duen propietate hoberenak, propietate hoiek zeintzun diren 

azalduz. 


Izan bedi hurrengo ekuazio bakarreko eredua: 

Yt = β0 +β1Xt +β2Zt +ut t = 1,...,100 (1) 

67

nonBar(ut) = σ2 1 

Z2 t 

delaren susmoa dagoen.Xt etaZt estokastikoak ez direla, ez dagoela autokoerlaziorik 

perturbazioetan eta Zt > 0 ∀t dakigu. 

a) Nola kontrastatuko zenuke eredu honetan mota honetako heterozedastizitatearen existentzia? 

Azal ezazu zehatz-mehatz. 

Bar(ut) = σ2 1 

Z2 t 

onartzen dela suposatuz, 

b) Eraldatu ezazu eredua perturbazioak esferikoak izan daitezen eta froga ezazu horrela direla. Idatz 

ezazu eraldatutako ereduko datu matrizea. 

c) Azal ezazu nola estimatuko zenukeen (1) eredua posible den era hoberenean eta aipatu itzazu bere 

propietateak. Azal ezazu zehatz-mehatz nola estimatuko zenukeenσ 2 eta aipatu bere propietateak. 


Enpresa txiki baten langileei buruzko hurrengo datuak ditugu: 

Gizonezkoak Emakumezkoak 

Alokairua (Wi) Seme-alaben kopurua (Ni) Alokairua (Wi) Seme-alaben kopurua (Ni) 

5 1 1 2 

2.5 0 2 0 

3 3 8 2 

a) Hurrengo baldintzak ezarriz, proposa ezazu eredu ekonometriko bat non alokairua sexoaren eta 

seme-alaben kopuruaren menpe dagoen: 

• Emakumezkoentzat ekuazio bat izan behar duzu eta gizonezkoentzat beste bat (ez ahaztu 

terminu independentea ekuazio bakoitzean). 

• Seme-alaben kopuruaren eragina alokairuan berdina izan behar du gizonezko eta emakumezkoentzat. 

• Ez dago bestelako erlaziorik bi ekuazioen artean. 

b) Perturbazioen bariantzak berdinak direla suposatuz, estima itzazu ereduko koefizienteak era efiziente 

batean (ez dago autokoerlaziorik). 

c) Estima ezazu eredua efizienteki, perturbazioen bariantzak 9 (gizonezkoak) eta 4 (emakumezkoak) 

baldin badira hurrenez hurren. Ez dago autokoerlaziorik. 

68


Izan bediYt = α +βXt +ut nonX aldagai finkoa den etau ∼ (0, 3I). Hala ere, aldagai endogenoaren 

datuak errorearekin behatzen dira eta Y ∗ 

t = Yt + ǫt ereduaren datuak bakarrik behatzen dira, non ǫ ∼ 

(0, 5I) u perturbazioarekiko independentea den. Beraz, Y ∗ 

t = α +βXt +vt eredua estimatzen da. 

a) Aurki itzazuv perturbazioaren propietateak, azal ezazu zein estimazio metodo erabiliko zenukeen 

eta zeintzu propietate dituen. 

b) Zer gertatuko litzateke ǫt = 0,5ǫt−1 + ωt balitz (non ω aldagai aleatorioa u perturbazioarekiko 

independentea den, eta ω ∼ (0, 0,75I))? v perturbazioaren propietateak aldatzen al dira? Idatz 

ezazu bere bariantz eta kobariantz matrizea? Zein eragin du ereduaren estimazioan? 



non hurrengo susmoa dagoen 

Yt = α +βYt−1 +γXt +ut 

ut = ǫt +θǫt−1 |θ| < 1 ǫt ibb 

∼ (0,σ 2 ǫ) 

KTA bitartez estimatuz lortutako emaitzak hauek izan dira: 

Yt = 3,0214 + 0,5941Yt−1 + 1,0161Xt +ût 

t = 2,...,100 R 2 = 0,9984 DW = 1,1799 

ût = 0,0405 + 0,4189ût−1 − 0,0078Yt−1 + 0,0206Xt + ˆvt 

t = 2,...,100 R 2 = 0,1707 DW = 1,841 vt ibb 

∼ (0,σ 2 v) 

a) Kontrasta ezazu autokoerlazioaren existentzia (2) ereduan, kontrasteko elementu guztiak zehaztuz. 

ut = ǫt +θǫt−1 |θ| < 1 ǫt ibb 

∼ (0,σ 2 ǫ) onartzen bada, 

69 

(2)

) Froga itzazu erabilitako KTAko estimatzailearen propietateak. 

c) Azal ezazu zehazki nola estima daitezkeen era tinkoan (2) ereduko koefizienteak (efizientzia ez 

da beharrezkoa). 

ARIKETA EL 2001.1 (01eko ekaina) 

Enpresa batek, bi teknikariei (A teknikaria eta B teknikaria), enpresaren sarreren,Y (mila milioi pesetatan 

neurtuta), gasolinaren prezioa, X (peseta/litrotan) eta garraio publikoaren prezioaren, Z (pesetatan), 

arteko erlazioa aztertzeko eskatu die. Horretarako 90 behaketa dituzte. 

A teknikariak KTA bidez estimatzen du eta hurrengo emaitzak lortzen ditu: 

ˆYt 

( desb) 

= 12 + 1, 5 

(0,4) 

Xt + 0, 8Zt 

(0,5) 

DW = 1, 64 (1) 

Emaitzen arabera, A teknikariak autokoerlaziorik ez dagoela ondorioztatu eta hurrengoa baieztatzen du: 

(1) Gasolinaren prezioan peseta bateko igoera batek, enpresaren sarrerak 1500 milioi pesetatan handitzea 

dakar. 

(2) Garraio publikoaren prezioen aldakuntzek ez dute enpresaren sarrerengan eraginik. 

a) DW balioaren arabera. A teknikariak emandako ondorioa, autokoerlaziorik ez dagoela, hain zuzen 

ere, egokia dela deritzozu? Azal ezazu eta erlaziona ezazu zure erantzuna (1) eta (2) baieztapenekin. 

B teknikariak, perturbazioetan AR(2) prozesua dagoela susmatzen du eta Karratu Txikienen Orokortuen 

Eginkorren bidez estimatzen du, hurrengo emaitzak lortuz: 

ˆYt 

( desb) 

= 12, 8 + 1, 2Xt 

+ 1, 0 Zt 

(0,5) (0,52) 

b) Deskriba ezazu zehaztasunez ze prozedura jarraitu duen B teknikariak, perturbazioetan AR(2) 

prozesua dagoelaren ondorioa lortzeko. 

c) Demagun AR(2) prozesua badaukagula. (2) ekuazioaren arabera, alda itzazu (1) eta (2) baieztapenak 

era egokian. Burutu itzazu beharrezkoak diren kontrasteak aldaketak egiteko. Aipa itzazu 

erabilitako estimatzaileen propietateak zure baieztapenak egiteko. 



Yi = βXi +ui i = 1, 2, 3, 4 (3) 

70 

(2)

non: 

Xi aldagai finkoa den 

E(ui) = 0 ∀i 

E(uiuj) = 0 ∀i = j 

E(u 2 i ) = σ2 i = γWi Wi aldagai finko ezaguna i=1, 2, 3, 4. 

ui ∼ N(0,σ 2 i ) 

a) Idatz ezazu perturbazioaren bariantza kobariantza matrizea aurreko balditzapean. 

b) Perturbazioaren propietateen arabera. Nola estimatu beharko genuke eredua? Ze propietate izango 

lituzke zure estimatzaileek? 

c) Hurrengo lagin informazioa daukagu: 

Wi Yi Xi 

1 3 5 

2 4 8 

3 5 9 

1 6 10 

4i=1 7 18 32 

Estima ezazuβ parametroa efizienteki. Estima ezazu σ 2 u. 

d) Kontrasta ezazuHo : β = 0 hipotesi nulua. 




nonut ∼ ibb(0,σ 2 u) etaXt finkoa baina ez da behagarria. 

Z1tri buruzko behaketak dauzkagu, eta: 

nonE(ε1tut) = 0 ∀t. 

Z1t = Xt +ε1t 

ε1t ∼ ibb(0,σ 2 1) 

a) (4) ekuazioan oinarrituz, idatz ezazu Yt eta Z1tren funtzioan estimagarria den eredu bat. 

b) Froga ezazu βren KTAko estimatzailea, hurrengo ereduan: 

ez dela tinkoa. 

Yt = α +βZ1t +vt t = 1, 2,...,T (5) 

71 

(4)

c) Demagun orain bi aldagai exogeno ditugula, Z2t eta Z3t, hauek Z1tekin erlazionatuta daudelarik. 

Informazio hau kontutan izanik, nola estimatuko zenuke β parametroa estimatzaile tinko bat 

lortzeko, bariantza asintotiko txikienarekin? Nola estimatuko zenuke σ 2 v? 

ARIKETA EL 2001.4 (01eko iraila) 

Demagun hurrengo eredua: 

X2i eta X3i aldagai finkoak dira, 

εi perturbazio esferikoa da nonεi ∼ ibb(0,σ 2 ε) 

β3i-k hurrengo ezaugarria du : 

Yi = β1 +β2X2i +β3iX3i +εi i = 1, 2,...,200 (1) 

β3i = α3 +ai non α3 finkoa den eta ai ibb 

∼ N(0,σ 2 a) ezin da behatu eta E(aiεi) = 0 ∀i 

(1) ekuazioa estimatu beharrean, hurrengoa estimatzen bada: 

Yi = δ1 +δ2X2i +δ3X3i +ui i = 1, 2,...,200 (2) 

a) Zeintzu diraui perturbazioaren propietateak? 

b) Deskriba ezazu, propietate asintotiko onenak dituen, δ bektorearen estimatzailerik onena lortzeko 

prozedura; aipa itzazu. 



non ut ∼ ibb(0,σ 2 u) 

Xt = γZt +ηt 

Yt = β1 +β2Xt +ut t = 1, 2,...,T (3) 

ηt ∼ ibb(0,σ 2 η) 

a) Noiz estimatuko zenuke eredua ordezko aldagaien bidez, Xt aldagaiarentzat ordezko aldagai bezala 

Zt erabiliz? Zergatik? 

52 behaketeko lagin batetik hurrengo datuak lortu ditugu: 

72

Xt = 20 XtYt = 70 X 2 t = 1300 

Yt = 50 ZtYt = 90 Z 2 t = 1000 

Zt = 30 XtZt = 40 

b) Zt,Xt-ren ordezko aldagaia izanik, estima itzazu ordezko aldagaien metodoa erabiliz, eredukoβ1 

eta β2 parametroak. 

Eredua KTA bidez estimatzearen emaitzak hurrengoak izan dira: 

Yt 

( ˆ des( ˆ βi)) = 0, 946 + 0, 039 

(0,43) 

(0,027) 

c) Kontrasta ezazuH0 : E(Xtut) = 0, hurrengoa dakizularik: 

Bar( ˆ ˆ 

βOA) = 

Xt 

0, 018 −0, 44 

−0, 44 1, 20 

Kontrastearen emaitzaren ondorio bezala, zein da (7) eredua estimatzeko metodo egokia? Ze propietate 

dituzte estimatzaile horiek? 


Hurrengo ereduan: 

non: 

Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +ut t = 1, 2,...,T (5) 

X2t aldagai ez estokastikoa da 

X3t aldagai estokastikoa den, ut-rekiko independentea 

ut ∼ ibb(0,σ 2 u) 

a) Azal ezazu Mann eta Wald-en teorema (5) ekuazioari aplikatuz. Gogora ezazu, esan behar dituzula 

aplikagarria izan dadin, eman behar diren baldintzak eta zehaz ezazu argi eta garbi ze ondorio 

ditu. Froga ezazu teorema honek suposatzen duena ereduko KTAko parametroen estimatzailearentzat. 

b) (5) ekuazioan, esan ezazu nola kontrastatuko zenuke erregresoreen baterako esnguratasunaren hipotesia. 

Idatz itzazu hipotesi hutsa, alternatiboa, kontrastearen estatistikoa eta bere banaketa, baita 

erabaki araua ere. Zehaz ezazu argi eta garbi nola lortzen den kontrastearen estatistikoaren elementu 

bakoitza. 

73 

 

(4)


56 behaketa dauzkaguY etaX aldagaientzat, hauekin erregresio eredu bat estimatzen delarik KTA bidez, 

hurrengo emaitzak lortuz: 

ˆYt = 1, 920 

( desb) (0,640) 

+ 0, 478 

(0,098) 

Yt−1 − 3, 766Xt 

(0,874) 

DW = 1, 7 (6) 

nonX aldagai ez estokastikoa den. Gainera, KTA bidez estimatutako hurrengo erregresio laguntzailearen 

doikuntza egokitasun koefizientea dugu: 

ût,KTA = δ0 +δ1ût−1,KTA +γ1Yt−1 +γ2Xt +ηt R 2 = 0, 42 (7) 

a) Emaitzen arabera, ze propietate dituzte proposatutako estimatzaileak? Baiezta ezazu arrazonatuz, 

emandako propietate bakoitza. 

b) Ereduko ezaugarrien arabera, proposa itzazu estimatzailerik onenak. Azal ezazu zehaztasunez 

lortzeko prozedura. 

c) Aurreko atalean proposatutako estimatzaileekin, nola kontrastatuko zenuke aldagai endogeno atzeratuaren 

esanguratasuna? Idatz itzazu estatistikoa eta bere banaketa, argi eta garbi zehaztuz zeintzu 

diren elementu bakoitza eta nola lortu. 

ARIKETA EAZL 2001.1 (01eko ekaina) 

Familia kontsumoa, (Y ), eta familiburuaren errentaren, (X), arteko erlazioa zehazteko hurrengo ekuazioa 

proposatzen da: 

Yi = α +β Xi +ui 

nonui perturbazioak banaketa normala dutela suposatzen den eta 10 familien behaketak ezagutzen diren: 

74 

(1)

i Y X 

1 8 4 

2 91 49 

3 191 100 

4 22 9 

5 55 25 

6 32 16 

7 81 36 

8 176 81 

9 138 64 

10 31 16 

Baturak 825 400 

KTAn bitarteko estimazioan ondorengoa lortuz: 

 

ˆα 

ˆβ 

 

= 

 

N Xi 

Xi 

X 2 i 

−1 Yi 

XiYi 

Gainera, hurrengo erregresio laguntzailea burutu da: 

û 2 i 

48, 65 = −0, 245 + 0, 0311Xi + ˆwi 

nonûi, (1) ereduko KTAko hondarrak diren. 

 

= 

 

10 400 

400 25588 

−1 

825 

52176 

 

= 

 

2, 5 

2 

ˆw 2 i = 1, 1473 R 2 = 0, 89 (2) 

a) Erabil ezazu metodo grafikoren bat heterozedastizitatearen arraztoren bat existitzen den edo ez 

ikusteko. Komenta itzazu emaitzak. 

b) Kontrasta ezazu Breusch-Paganen estatistikoaren bitartez,Xi aldagaiak eragindako heterozedastizitatearen 

existentzia. Idatz ezazu garbi zein den hipotesi hutsa, hipotesi alternatiboa, kontrasterako 

estatistikoa eta bere banaketa. Kasu konkretu honentzako, komenta ezazu aurreko kontrastearen 

fidagarritasuna. 

c) Estima ezazu (1) eredua KTZn bitartez, Bar(ui) = σ 2 i = σ2 Xi dela suposiziopean. 

d) Familiburuaren errenta, X, nabaria al da familia kontsumoa,Y , azaltzeko? 


Auto konkretu baten salmenten egitura ikertzeko, hurrengo eredua zehaztu da: 

Yt = β1 +β2Pt +β3Qt +β4Xt +ut 

non Yt=auto horren salmenten sarrerak den, Pt=autoaren prezioa den, Qt=antzeko ezaugarriko beste 

autoen batezbesteko prezioa den eta Xt= errenta per cápita den. 100 behaketez osaturiko lagin batekin 

75 

 

(3)

eredua KTAn bitartez estimatu da, hurrengo emaitzak lortuz: 

ˆYt = 1, 5 + 0, 1Pt 

− 0, 5 Qt + 0, 7 Xt 

( desb) (0,2) (0,3) (0,15) (0,05) 

R 2 = 0, 87 HKB = 215 

a) Kontrasta ezazu Pt aldagaiaren esanguratasuna, ut ibb 

∼ (0,σ 2 u) suposiziopean. Komenta ezazu lorturiko 

emaitza. 

b) Hurrengo emaitzetariko bat erabiliz, kontrasta ezazu perturbazioetan lehen ordenako autokoerlazioaren 

existentzia. 

ût = 0, 2 + 0, 3ût−1 + 0, 15Pt + 0, 12Qt + 0, 01Xt + ˆv1t R 2 = 0, 15 KAB = 75 

ût = 0, 35ût−1 + 0, 22ût−2 + 0, 1Pt + 0, 16Qt + 0, 04Xt + ˆv2t R 2 = 0, 18 KAB = 74 

ût = 0, 3 + 0, 24ût−1 + ˆv3t R 2 = 0, 05 KAB = 56 

ût 

= 0, 13 + 0, 2ût−1 

ˆσ 2 ˆσ 2 + 0, 19Pt + 0, 02Qt + 0, 09Xt + ˆv4t R 2 = 0, 35 KAB = 98 

Kontraste honen emaitzak nolabait eragiten al du a) atalean egindako kontrastean? 

c) ut = ρut−1+εt bada, nonεt ibb 

∼ (0,σ 2 ε) den, eta|ρ| < 1 ezezaguna bada, azal ezazu zehatz-mehatz 

nola estimatuko zenukeen, ahalik eta hobekien, (4) ereduko parametroak. 

d) Aurreko c) atalean deskribaturiko barrutian, nola egingo zenukePt aldagaiaren esanguratasunaren 

kontrastea? Azal ezazu. 


Yt = β1 +β2X ∗ t +ut t = 1, 2,...,T ereduan , non ut ibb 

∼ (0, 1 ) den, hurrengo behaketak ditugu: 

[b]20 

Yt X ∗ t 

5,0 6,0 

4,0 7,0 

3,5 6,0 

4,0 7,0 

4,5 8,0 

5,0 8,0 

Batura 26,0 42,0 

a) Zer gertatzen da X ∗ t aldagaiak neurketa erroreadun aldagaia bada, non X ∗ t = Xt + εt den? (Laguntza: 

Yt = β1 + β2Xt + wt eredutik hasita, Xt aldagaia ez litzateke behagarria izango eta wt 

eta εt perturbazio independenteak lirateke). 

b) X∗ t aldagaiak neurketa errorea duelaren susmoa badaukagu soilik, nola kontrastatuko zenuke KTAko 

estimatzailea tinkoa den? Egin ezazu kontrasteaX ∗ t etaX ∗ t−1 aldagaien arteko koerlazioa 0,429 

dela jakinik etaX ∗ t−1 ,utrekin koerlaturik ez dagoela kontuan hartuz. 

76 

(4)

c) Aurreko b) ataletik KTAko estimatzailea ez tinkoa dela ondorioztatzen baduzu, kontrasta ezazu 

(ez kontuan hartuT txikia dela) Xt aldagaia esanguratsua den edo ez. 

77

ARIKETA EAZL 2001.4 (01eko iraila) 

Izan bedi Yt = α +β Xt +ut eredua, zeinarentzat hurrengo datuak ezagutzen diren: 

t Y X 

1 2 -3 

2 10,2 5 

3 17,9 13 

4 2,3 -3 

5 10 5 

6 18,2 13 

7 -5,7 -11 

8 -14,1 -19 

Baturak 40,8 0 

KTAn bitartezko estimazioan ondorengoa lortu da: 

 

α T 

β 

= 

Xt 

− X2 −1 Yt 

8 0 

= 

t XtYt 0 888 

−1 

a) Erabil ezazu metodo grafikoren bat autokoerlazioaren aztarnarik dagoen ikusteko. Komenta itzazu 

emaitzak. 

b) Kontrasta ezazu ut perturbazioek lehen ordenako prozedura autoerregresiboa jarraitzen duten edo 

ez. Plantea ezazu zehaztasunez hipotesi hutsa, aurkakoa, kontrasterako estatistikoa eta erabaki 

araua. 

c) Estima ezazu ρ parametroa perturbazioek lehen ordenako prozedura autoerregresiboa jarraitzen 

dutela suposatuz, hau da,ut = ρ ut−1 +εt nonεt ibb 

∼ (0,σ 2 ε) eta|ρ| < 1 diren. 

40, 8 

888 

d) Aurreko emaitza kontuan izanik, estima itzazu ereduko α etaβ parametroak KTZEn bitartez. 

e) X aldagaia nabaria al daY azaltzeko? Egin ezazu kontrastea hipotesi hutsa, aurkakoa eta kontrasterako 

estatistikoaren banaketa argi zehaztuz. 


Herri bateko inportazio (Yt) eta errentaren (Xt) arteko erlazioa ikertu nahi da. Proposatzen den eredua 

ondorengoa da: 

Yt = β1 +β2Xt +β3Xt−1 +ut 

1971 eta 1996 bitarteko hiruhilabeteko datuak erabiliz, KTAko estimazioa hau da: 

ˆYt 

( desb.) 

= −12 + 0, 89Xt 

− 0, 16Xt−1 

R 2 = 0, 94 HKB = 17, 7 (2) 

(1,01) 

(0,3) 

(0,3) 

78 

 

= 

 

5, 1 

1 

 

(1)

Gainera, (2) erregresioko KTAko hondarrekin hurrengo KTAko estimazioak lortu dira: 

û 2 t 

0, 172 = 1, 51 

(3,18) 

+ 0, 003 

(0,004) 

X 2 t +êt R 2 = 0, 003 HKB = 655, 9 (3) 

ût = −0, 35 − 0,18Xt 

+ 0, 20Xt−1 

+ 0, 8 

(0,74) 

(0,22) 

(0,22) 

R 2 = 0, 50 HKB = 8, 51 

(0,17) 

ût−1 +êt 

a) Kontrasta ezazu heterozedastizitatearen existentzia. Idatz ezazu hipotesi hutsa eta aurkakoa, kontrasterako 

estatistikoa eta erabaki araua. 

b) Kontrasta ezazu autokoerlazioaren existentzia. Idatz ezazu hipotesi hutsa eta aurkakoa, kontrasterako 


Ondoren, (1) ereduko parametroen bi estimazio berri egin dira. Lehenengoan, parametroak KTZn bitartez 

estimatu dira perturbazioaren bariantzaBar(ut) = σ 2 X 2 t eitekoa dela suposatuz. Datozen emaitzak lortu 

dira: 

Yt 

( desb.) 

= − 11 

(1,01) 

+ 0, 99Xt 

− 0, 32 

(0,3) 

(0,3) 

Xt−1 

σ 2 = 1, 654 R 2 = 0, 93 HKB = 18, 8 DW = 0, 36 

Bigarrenean, Cochrane-Orcutt metodo iteratiboaren bitartez estimatu dira parametroak: 

Yt 

( desb.) 

= − 16 

(2,54) 

+ 0, 72Xt 

+ 0, 16 

(0,2) 

(0,2) 

Xt−1 

ˆρ = 0, 7 R 2 = 0, 98 HKB = 4, 27 DW = 1, 8 

c) Kontrasta ezazuH0 : β2 = 0. Azal ezazu argi erabiltzen duzun estimatzailea eta zergatia. 


Industria konkretu bateko enpresek eskeintzen dituzten dibidendu, Yi, eta mozkinen, Xi, arteko erlazioa 

ikertu nahi da hurrengo erlazioa dela medio: 

Yi = βXi +vi 

nonvi perturbazioak banaketa normala jarraitzen duen. 

a) Mozkin handiko enpresetan, eskeinitako dibidenduen sakabanatzea handiagoa dela susmatzen da. 

Hipotesi hori kontrastatzeko, mozkin handiko 61 enpresentzat eta mozkin txikiko 61 enpresentzat 

79 

(4) 

(5) 

(6)

eredua KTAn bitartez estimatu da, hurrengo emaitzak lortuz: 

Mozkin handiak: 

Mozkin txikiak: 

Yi = 0, 3Xi + ˆvi, Y 2 

i = 47, X 2 i = 325, XiYi = 97, 5 

Kontrasta ezazu aipaturiko hipotesia. 

Yi = 0, 22Xi + ˆvi, ˆv 2 i = 15, 3 

b) Xi aldagaia enpresek aitortzen duten kantitateen arabera zehazten da eta lortutako benetako mozkinarekiko 

desberdina delaren susmoa dago. Nola eragingo du honekβ koefizienteen KTAko estimatzailean? 

Era zehatz batean argumentatu ezazu, beharrezkoak dituzun suposizioak eginez. 

c) Enpresa hoien salmentetako sarreren (Ii) hurrengo datuak ditugu baita ere. Zehatzak direla dakigu 

eta gainera,Ii ez estokastikoa dela: 

I 2 i = 525, XiIi = 415, IiYi = 115 

) suposatuz eta b) atalean komentaturikoa kontuan izanik, estima ezazuβ ahalik 

eta hobekien, eta komenta itzazu erabilitako estimatzailearen propietateak. Laginaren tamainua 

150 dela kontuan izanik, kontrasta ezazu mozkinen esanguratasuna dibidenduen zehazpenean. 

vi ∼ ibb(0,σ2 v = 1 

2 


Merkataritzako ganbarako ekonomilari batek linea zuriko etxetresna elektrikoen sektoreko, tokian tokiko 

bi enpresen salmentak ikertzen ditu hurrengo eredua erabiliz: 

non 

 

V1t = α1 +β1P1t +u1t 

V2t = α2 +β2P2t +u2t 

u1t ibb 

∼ (0,σ2 1 ) t = 1,...,T 

u2t ibb 

∼ (0,σ2 2 ) t = 1,...,T 

Pit = i enpresakthiruhilabetean publizitatean eginiko gastua den eta, 

Vit = i enpresarenthiruhilabeteko salmentak diren. 

Bi ekuazioetako parametro guztiak desberdinak izanik, argudia ezazu eredu honentzat, zein egoeran existitzen 

den ekuazioz ekuazio KTAko estimatzailea baino hobeagoa den beste estimatzaile bat. Zehaztu 

ezazu egin behar duzun edozein balizko eta deskriba ezazu zehatz-mehatz estimatzaile hori eta bere 

propietateak. 


15 herrialdeetako lagin batekin hurrengoa estimatu nahi da: Gizarte Segurantzan egindako kotizazioen 

gorapenak, langileek egindako kotizazioaren zatian, izango lukeen eragina. 1982 urteko datuekin, Gizarte 

Segurantzari egindako kotizazioei (GSK) buruzko informazioa eta langileei dagokien zatia (GSKL), bi 

kasutan, sarrera fiskalen portzentai bezela, hurrengo tauleko lehen bi zutabeetan adierazten da: 

80

Hurrengo eredua zehazten dugu: 

GSK GSKL û 

Austria 31,9 13,5 

Belgika 29,8 10,1 -0,08327 

Danimarka 2,8 1,5 -2,97434 

Frantzia 43,2 11,5 

Alemania 36,2 16,1 

Irlanda 15,0 5,4 -1,65393 

Italia 47,2 7,1 

Japonia 30,4 10,7 0,38986 

Luxenburgo 28,0 11,2 1,39732 

Herbehereak 41,6 18,0 

Portugal 28,5 10,8 0,89160 

Espainia 46,5 10,3 

Suitza 31,0 10,2 -0,23700 

Britaina Handia 16,9 7,6 0,14433 

A.E.B. 27,7 10,8 1,06076 

GSKLi = β1 +β2GSKi +ui 

i = 1,...,15 

15 herrialdeen, KTA bidez eredua estimatzearen emaitzak hurrengoak dira: 

 

GSKLi 

(t − estat.) 

= 3, 8823 + 0, 211442GSKi 

(1,69) 

(3,01) 

¯R 2 = 0, 365 HKB = 132, 7767 

a) Begira ezazu taula, hirugarren zutabean KTAko hondarrak aurkezten dira, ûi. Eman ezazu ûi 

lortzearen formula orokorra. Ondoren, bete itzazu taulan eta hurrengo grafikoan falta direnak: 

b) Grafikoa bete ondoren, komenta ezazu ea arazoren bat egon litekeen, zure erantzuna arrazonatuz. 

c) Hurrengo informazioarekin, burutu ezazu Goldfeld eta Quandt-en kontrastea. Osotu behar duzu 

falta den informazioa eta zehaz itzazu argi kontrastearen elementu guztiak, hipotesi hutsa eta alternatiboa 

barne. 

Lehen azpilagina 

GSKLi 

GSKi 

1,5 

2,8 

 

GSKLi = 0, 463351 + 0, 374431GSKi 

û1 -0,011759 0,808758 0,25257 

81 

(1) 

(2)

Bigarren azpilagina 

GSKLi 

GSKi 

13,5 

31,9 

Figura 5: KTAko hondarrak 

 

GSKLi = 28, 9928−0, 395203GSKi 

û2 1,413507 -0,420075 -3,239264 

d) Aurreko ataletan lortutakoari jarraituz eta hurrengo informazioarekin, estima ezazu efizienteki 

ereduaren koefizienteak. Azal ezazu nola lortzen den estimatzaile hau eta ze hipotesi egiten ari dira 

estimatzaile hau efizientea izan dadin. 

GSKLi/GSKi 1/GSKi Konstantei = 1 

GSKLi/GSKi 2,12814 0,3672255 5,47296 

1/GSKi 0,1463262 0,8374455 

Konstantei = 1 15 

82 

(3)

non adibidez GSKLi/GSKi = 5, 47296. 

e) Aurreko atalan proposatu duzun estimatzailearekin kontrasta ezazu hurrengo hipotesi hutsa: Gizarte 

Segurantzan egiandako kotizazioen gorapen batek, oso-osorik langileen gain eroriko litzatekeela, 

hau da, Ho : β2 = 1. Zehaz itzazu kontrastea baliagarria izan dadin beharrezko diren 

hipotesi guztiak. 


Hurrengo ereduan, 


nonX2t aldagai finkoa den eta X3t aldagai estokastikoa den. 

β parametro ezezagunen bektorea izango da. 

a) Zergatik ez da lineala KTAko βren estimatzailea? 

ut ∼ ibb(0,σ 2 ) 

b) Ze hipotesik bermatzen dizu, βren Karratu Txikienen Arruntetako (KTA) estimatzailea alboragabea 

izatea? Froga ezazu. 

c) X3t estokastikoa bada eta utrekiko ez independentea, baina E(X3tut) = 0,∀t. KTAko βren estimatzailea 

tinkoa al da? Froga ezazu eta eman itzazu beharrezkoak zaizkizun hipotesi gehigarri 

guztiak. 

d) X3t estokastikoa bada baina Mann eta Wald-en teorema betetzen bada. Nahiz eta utren banaketa 

ez ezagutu, posiblea al daβri buruzko inferentzia egitea? Arrazona ezazu zure erantzuna. 


Euskaltel telefonoen konpainiak, bere hileroko salmentak (Y ), publizitate gastuen funtzioan (X) eta 

aurreko hilabetean egindako gastuen funtzioan daudela, uste du. Azken 5 hilebeteetan, aldagai hauen 

arteko erlazioa zein izan den jakiteko, hurrengo eredua estimatzea erabakitzen du,Xt aldagai finkoa dela 

suposatuz: 

Yt = β1Xt +β2Yt−1 +ut t = 1,...,5 (4) 

83

hurrengo datuekin: 

t Yt Xt 

1 -10 4 

2 16 16 

3 2 6 

4 4 6 

5 -4 0 

a) Estima itzazu (4) ekuazioaren parametroak ordezko aldagaien metodoaren bidez Yt−1entzat ordezko 

aldagai bezela Xt−1 erabiliz. Aurkez itzazu estimatzailean agertzen diren matrizeak, azken 

emaitza lortu arte. 

b) Perturbazioaren banaketa ez dela zehaztu kontutan hartuz, posiblea al da propietate asintotiko hobeagoak 

dituen estimatzaileren bat existitzea? Azal ezazu egokia den estimazio metodoa, perturbazioaren 

banaketari buruzko 2 hipotesi desberdinentzat. 


Seat León kotxeen salmentak aztertu nahi ditugu, bi erkidego desberdinetan, Euskal Herrikoa eta Nafarroakoa. 

Hurrengo ereduak ditugu: 

Y E 

t = α1 +β1X E t +γ1Z E t +u E t u E t ∼ NIB(0,σ 2 ) t = 1,...,T (5) 

Y N 

t = α2 +β2X N t +γ2Z N t +u N t u N t ∼ NIB(0,σ 2 ) t = 1,...,T (6) 

non u E t eta u N t independenteak diren, Y s 

t Seat Leónen salmentak dira t-n, X s t kotxearen prezioa da t-n, 

Z s t errenta erabilgarria da t-n.(s = E Euskal Herriko Erkidego Autonomoarentzat eta s = N Nafarroarentzat). 

Nola kontrastatuko zenuke bi ekuazioen koefizienteak berdinak direlaren hipotesia? Zehaz itzazu hipotesi 

hutsa, alternatiboa, kontreastearen estatistikoa, elementu bakoitza eta erabaki araua nola lortu, azalduz. 

Hipotesi hutsa onartzearen kasuan, ze eredu estimatu beharko genuke? Idatz ezazu. 

84


Herrialde baten, Kontsumo (Kt) eta Errenta (Rt)ri buruzko urteroko datuak dauzkagu. Datuak, hurrengo 

taulako lehenengo zutabetan aurkezten dira: 

Jarraian, kontsumo funtzioaren 

Beha. K R K û 

1 8,547 11,0 8,0483680 0,498632 

2 8,942 13,5 9,7986580 -0,856658 

3 10,497 14,0 10,148716 0,348284 

4 10,173 14,9 10,778820 -0,605820 

5 11,997 15,1 10,918843 1,078157 

6 10,729 18,0 12,949180 -2,220180 

7 12,750 18,8 13,509273 -0,759273 

8 15,611 19,1 13,719307 1,891693 

9 13,545 21,0 15,049528 -1,504528 

10 17,843 21,2 15,189551 

11 21,610 34,0 24,151036 

12 25,473 34,3 24,361070 

13 24,434 35,0 24,851152 

14 28,274 38,0 26,951500 

Kt = β1 +β2Rt +ut 

Karratu Txikienen Arrunten (KTA) estimazioaren emaitzak aurkezten dira: 

ˆKt 


= 0, 347092 + 0, 700116 

(0,31) 

(14,61) 

Rt 

¯R 2 = 0, 942 HKB = 30, 6381 

a) Aurreko taularen azken zutabeak, aurreko estimazioaren hondarrak aurkezten ditu, osotu eta egin 

ezazu berdina, jarraian daukagun hondarren grafikoaren denbora seriearekin. Grafikoaren arabera 

arrazonatu arazoren bat existitzen bada. 

b) Lor ezazu Durbin eta Watsonen estatistikoaren balioa eta egin ezazu kontrastea. Zehaz itzazu 

kontrastearen elementu guztiak, hipotesi hutsa eta alternatiboa barne. 

c) Hurrengo informazioa erabiliz, egin ezazu Breusch eta Godfreyren kontrastea. Zehaz itzazu kontrastearen 

elementu guztiak, hipotesi hutsa eta alternatiboa barne. 

ût 


= −0, 5679 + 0, 0198Rt 

+ −0, 75ût−1 

+ ˆωt R 2 = 0, 433 (2) 

(−0,603) 

(0,0385) 

85 

(−3,338) 

(1)

d) Aurreko ataletan lortutakoaren arabera, ze ondorio ditu: 

I) Ereduaren koefizienteen estimatzailearen propietateengan, lagin finituetan. Arrazona eta froga 


II) (1) ekuazioan aurkezten diren t estatistikoekin egindako inferentziarengan. Arrazona ezazu 


e) Aurreko ataleko erantzuna aldatuko litzateke, arazoaren jatorria esanguratsua den aldagai baten 

omisioa balitz? Arrazona ezazu zure erantzuna. 

f) Har ezazu hurrengo informazioa eta bete ezazu falta dena, (puntuekin adierazita dago). 

ˆρ -0,99 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 

HKB ∗ 15,9 14,8 14,2 14,1 14,7 15,8 17,5 19,9 22,8 26,2 30,3 34,9 

hurrengoa izanik 

HKB ∗ = 

t=.... 

t=.... 

{(Y ∗ 

t − ˆ β1X ∗ 1t − ˆ β2X ∗ 2t} 2 

Y ∗ 

t = Kt − ˆρKt−1; X ∗ 1t = ....................; X ∗ 2t = .................... 

86 

(3)

⎡ 

⎤ 

⎡ ⎤ 

−1 

ˆβ1 ⎢ 

⎢ ⎥ ⎢ .................. .................. 

⎥ 

⎣ ⎦ = ⎢ 

⎥ 

⎣ 

⎦ 

ˆβ2 .................. .................. 

⎡ ⎤ 

⎢ .................. 

⎥ 

⎢ ⎥ 

⎣ ⎦ 

.................. 

I) Ze estimazio metodo erabiltzen ari da? 

II) Nola lortuko zenituzke β1 eta β2ren azken estimazioak, metodo hau jarraituz? Esan ezazu, 

arrazonatuz, zein den ˆρren aukeratutako balioa eta β1 eta β2 estimatzailea lortzeko formula. 

Ze propietate dituzte parametro hauetatik lorturiko estimatzaileek? 

III) Nola kontrastatuko zenukeH0 : β2 = 1? Zehaz itzazu kontrastearen estatistikoaren elementu 

guztiak, baita erabaki araua ere. 


Hurrengo ereduan 

non 

X2t etaX3t aldagai finkoak diren 

E(ut) = 0 ∀t 

E(u 2 t) = σ 2 t t = 1,...,T 

E(utus) = 0 ∀t,s t = s 


t = 1,...,T 

a) σ 2 t ezezaguna bada: Idatz itzazu estatistikoa eta bere elementu guztiak, baitaH0 : β2 = 0 kontrastea 

egiteko erabaki araua ere,β2ren KTAko estimatzailean oinarrituz. 

b) σ2 t = σ2 1 

X2 3t 

bada. Azal ezazu nola lortuko zenuke β1,β2,β3ren estimatzaile lineala, alboragabea 

eta efizientea. Arrazona ezazu zure erantzuna. 


Hurrengo erlazioa daukagu 

Y1t = β1Y2t +β2X1t +ut 

non X1t aldagai finkoa den eta Y2t aldagaia, perturbazioarekin, ut, koerlatua egon daitekela uste da, 

perturbazioa hurrengoa dela ut ∼ ibb(0,σ 2 u), suposatzen delarik. Bestalde, hurrengoa dakigu 

Y2t = γX2t +εt 

87 

(4) 

(5)

nonX2t erregresore finkoa den eta εt ∼ ibb(0,σ 2 ε). 

25 behaketeko lagin batek karratuen eta produktu gurutzatuen baturak ematen ditu: 

non adibidez Y1tX1t = −60 eta Y 2 

1t = 100 

Y1t Y2t X1t X2t 

Y1t 100 80 -60 60 

Y2t 80 100 -40 -10 

X1t -60 -40 80 50 

X2t 60 -10 50 40 

a) Lor ezazu β1 etaβ2ren estimazioa (4) ekuazioan, Karratu Txikienen Arrunten bidez. 

b) E(Y2tut) = 0 hipotesi pean, zehaz ezazuβ1 etaβ2ren estimatzaile tinko bat. Idatz itzazu formalki, 

propietate hauen betetzea bermatzen dizuten baldintzak eta arrazona ezazu kasu honetan ematen 

badira. 

c) Lor ezazu β1 etaβ2ren estimazioa aurreko atalean proposatutako estimatzailearekin. 

d) σ 2 u = 1 hipotesi pean, erabil ezazu Hausmanen kontrasteaY2t etaut koerlatuak dauden ala ez kontrastatzeko. 

Azal ezazu kontrastearen prozedimendua, hipotesi hutsa eta alternatiboa barneratuz. 

e) Aurreko ataleko kontrastearen emaitza kontutan hartuz. Ze estimatzaile aukeratuko zenuke kasu 

honetan? Zergatik? 


Inflazioa, (Yt), eta interes tipoaren, (Xt), arteko erlazioa ikertu nahi da hurrengo hilabeteko 100 behaketekin. 

Horretarako ondorengo eredua zehaztu da: 

Yt = β0 +β1Xt +ut 

non Xt aldagai ez estokastikoa dela kontsideratzen den. Eredua KTAn bitartez estimatu da hurrengo 

emaitzak lortuz: 

ˆYt 

( desb) 

= 11, 59 − 0, 58Xt 

t = 1, 2,..., 100. (1) 

(0,86) 

(0,14) 

Erregresioko hondarrak hurreneko irudian adierazi dira. 

a) Komenta ezazu hondarren irudia, oinarrizko hipotesi baten ez betetzearen seinalerik aurkitzen al 

duzun azalduz. 

88

5 

0 

-5 

-10 

Figura 6: KTA hondarrak 

10 30 50 70 90 

b) Hondarren ondorengo emaitzak izanik, kontrasta ezazu perturbazioek AR(1) autokoerlazio prozedura 

jarraitzen duten. 

100 

t=1 

û 2 t = 739, 3073 , 

100 

(ût −ût−1) 

t=2 

2 = 194, 3556 , 

100 

t=2 

t 

ûtût−1 = 632, 2639 

c) Azken urteetan inflazioaren sakabanatzea txikiago dela uste da. Kontrasta ezazu hipotesi hau, hasierako 

32 behaketekin eta azken 32 behaketekin egindako datozen bi erregresioak erabiliz. 

ˆYt 

( desb) 

ˆYt 

( desb) 

= 12, 83 − 0, 58Xt 

HKB = 126, 62 t = 1, 2,..., 32, 

(1,05) 

(0,17) 

= 9, 85 − 0, 35Xt 

HKB = 96, 22 t = 73, 74,..., 100. 

(1,20) 

(0,19) 

d) Aurreko b) eta c) ataletako emaitzak kontuan izanik, komenta itzazu (4) ereduko koefizienteen 

KTAko estimatzailearen propietateak zeintzuk diren. 

e) Beste ikertzaile batek, interes tipo eta inflazioaren arteko erlazioa ikertzeko eredu egokiena, azken 

aldagai honen dinamikortasuna kontuan hartzen duena dela dio. Horregatik aurreko hilabeteko inflazioa 

erregresoretzat barneratzea erabaki du, KTAn bitartez estimatutako ondorengo erregresioa 

lortuz: 

ˆYt = 4, 84 − 0, 66Xt 

+ 0, 88Yt−1 

t = 2, 3,..., 100. (2) 

( desb) (0,36) (0,04) (0,03) 

R 2 = 0, 91 , DW = 1, 70 

Ondorengo erregresio laguntzaileak ere lortu dira: 

i) ût = 0, 09 + 0, 16ût−1 + 0, 004Xt − 0, 01Yt−1 + ˆv1t R2 = 0, 024, KTB = 738, 3 

ii) ût = 0, 35ût−1 + 0, 1Xt + 0, 06Yt−1 + ˆv2t R2 = 0, 018, KTB = 738, 3 

iii) ût = 0, 3 + 0, 24ût−1 + ˆv3t R2 = 0, 005, KTB = 738, 3 

ût iv) ˆσ 2 = 0, 13 + 0, 2 ût−1 

ˆσ 2 + 0, 19Xt + 0, 02Yt−1 + ˆv4t R2 = 0, 354, KTB = 98, 7 

Kontrasta ezazu, era egoki batean, perturbazioek lehen ordenako autokoerlazioa jarraitzen duten. 

89

f) Aurreko e) atalean lortutakoa kontuan izanik, komenta itzazu (7) ekuazioko KTAko estimatzaileen 

propietateak. Aurreko d) ataleko ondorioak aldatzen al dira? 


X eta Y aldagaien arteko erlazioa ikertzeko, Yt = β1Xt +β2Yt−1 +ut eredua proposatzen da, non Xt 

ez estokastikoa den. Ondorengo datuak izanik, vspace*0.4cm 

t Xt Yt 

1 10,3 14,6 

2 11,7 17,5 

3 6,3 12,9 

4 -1,0 3,9 

5 4,7 5,5 

6 -1,6 0,6 

7 6,2 4,5 

8 3,1 2,5 

Eredua KTAn bitartez estimatu da hurreneko emaitzak lortuz: 

ˆβ1 

ˆβ2 

 

ˆYt 

( desb) 

= 0, 88Xt 

+ 0, 41Yt−1 

t = 2, 3,..., 8. (3) 

(0,11) 

= (X ′ X) −1 X ′ Y = 

a) Xt aldagaia nabaria al daYt azaltzeko? 

 

(0,06) 

250, 28 295, 37 

295, 37 751, 89 

−1 

342, 66 

570, 26 

 

= 

 

0, 88 

0, 41 

b) Perturbazioek lehen ordenako autokoerlazioa jarraitzen badute, froga itzazu, zehatz-mehatz, aurreko 

KTAko estimatzailearen propietate asintotikoak. Ariketa honetako a) ataleko kontrastea baliagarria 

al da orduan? 

c) Perturbazioetan autokoerlazioa izanez gero, proposa ezazu, existitzen bada, KTAko estimatzailea 

hobetzen duen aurreko ereduko koefizienteen beste estimatzaile bat. Arrazona itzazu lortutako 

hobekuntzak zeintzuk diren. Lor itzazu proposatutako estimazioak. 

d) Perturbazioek AR(1) prozedura jarraituko balute, deskriba ezazu, zehatz mehatz, asintotikoki efizientea 

den koefizienteen estimatzaile bat. 


Izan bedi herrialde konkretu baten bi ekuazioz osaturiko ondorengo eredu makroekonomikoa: 

90

Ct = α0 +α1Yt +ut non ut ∼ NIB(0,σ 2 u) 

Qt = β0 +β1Kt +β2Lt +vt non vt ∼ NIB(0,σ 2 v) 

non logaritmoetan neurturiko aldagaiak hauek diren:C: konsumo erantsia,K: Kapital stocka,Y:errenta 

erabilgarria, L: lana eta Q: eskaintza erantsia. Erregresoreak, Y , K eta L, ez estokastikoak eta gainera 

σ 2 u = σ 2 v, biak ezezagunak direla suposatuz, erantzun itzazu hurrengo galderak: 

a) u etav independenteak izanik, azal ezazu xeheki nola estimatuko zenukeen eredua era egokienean. 

b) u eta v independenteak direlaren kasuan ere, nola kontrastatuko zenuke eskala konstanteko errendimenduen 

hipotesia, hau da β1 +β2 = 1? 


a) Zeintzu dira estimatzaile bati eskatzen dizkiogun propietate asintotikoak? Defini itzazu. 

b) Y = Xβ + u ereduan, non X, T ×K ordenako aldagai aleatorioen matrizea den eta, u ∼ 

(0,σ2 uI)rekiko independentea. Froga ezazu KTAko estimtzailearen banaketa asintotikoa hurrengoa 

dela: √ T( ˆ βKTA −β) b 

→ N 0,σ 2 uQ −1 

. 

 

Q = plim delarik. 

X ′ X 

T 

c) Aurreko ereduan, nola kontrastatuko zenuke (K × 1) β bektorea zero delaren hipotesia? 


“i” familiaren kontsumoa (Ki) eta errenta (Yi) erlazionatzen duen espresio teorikoa hurrengoa da: Ki = 

β Yi . Milton Friedmanek kontsumo teoria honi buruzko kritika aukeztu zuen: kontsumoa urte bakoitzean 

lortutako errentarekin (Yi) ez dagoela erlazionatuta, baizik eta epe luzera neurtzen den errentarekin, 

honi errenta iraunkorra (Y P 

i ) esaten zaiolarik. Honela, teoria honen bertsiorik errezena dio, kontsumoa 

errenta iraunkorrarekiko proportzionala dela gehi alde aleatorio bat: 

Ki = β Y P 

i +ui i = 1,...,N; ui ibb 

∼ (0,σ 2 u) (1) 

Yi = Y P 

i +ǫi 

ǫi ibb 

∼ (0,σ 2 ǫ) 

non ǫi, “i” familiaren errentaren alde transitorioa izango litzateke. Gainera, Y p 

i , ui eta ǫi beraien artean 

independenteak diren aldagai aleatorioak dira. 

a) Arazoa agertzen zaigu aurreko erlazioa (1) estimatzean, errenta iraunkorra ez bait da behagarria. 

Proposa ezazu eredu bat,Yi aldagaia erabiliz, (1) ekuaziokoβ parametroa estimagarria izan dadin. 

91

) Ze propietate ditu aurreko ataleko βren KTAko estimatzaileak? Arrazona ezazu zehazki. 

c) Orain dela 5 urteko errentari buruzko datuak dauzkagu(Y 5 

i 

), ereduko indibiduo berdinentzat. Liviatanen 

ideiak jarraituz, aldagai hauY P 

i rekin erlazionatuta egongo da, orain dela 5 urte aberatsak 

zirenak seguraski orain ere aberatsak izango direlako (berdin txiroak), baina oraingo errentaren alde 

transitorioarekin (ǫi) etauirekin ez koerlatua egongo da. Aldagai hau erabiliz, proposa ezazu (1) 

ereduko β parametroaren estimatzaile bat, aurreko atalekoa baino propietate hobeagoak dituena. 

Deskriba ezazu zehazki eta arrazona itzazu bere propietateak. 


Oinarrizko makroekonomiari jarraituz, badakigu diru eskaitzan emandako aldaketek interes tipoen aldakuntzak 

dakartzatela. Hala ere, espero izango genuke aldaketak denboraldi batzuetan zehar ematea. 

Suposa dezagun beste aldagai batzuek, gastu publikoa bezala, ez dutela eragin nabaria interes tipoengan. 

Hurrengo ereduan, hiruhilabeteko datuekin, bost dendoraldi zehar emandako eragina suposatzen da: 

Rt = α +β0Mt +β1Mt−1 +β2Mt−2 +β3Mt−3 +β4Mt−4 +ut 

nonRt interes tipoa den etaMt diru eskaintza den (ez estokastikoa dela suposatzen da). 

a) Eredua KTA bidez estimatu da 100 datuekin, hondar batzuk lortuz, beraien lehen ordenako lagin 

autokoerlazio koefizientearen balioa ˆρ = 0, 75 delarik. Balio hau kontutan hartuz, kontrasta ezazu 

ereduaren perturbazioetan AR(1) motako autokoerlazioa. 

b) Ze propietate ditu KTAko estimatzaileak eredu honetan? 

c) Diru eskaintzan emandako aldaketek, interes tipoengan eraginik ez dutelaren hipotesia kontrastatzeko 

eskatzen badizute. Nola egingo zenuke? 


Hurrengo eredua proposatzen da, aldagai baten portaera bi herrialdeetan azaltzeko, A etaB : 

YAt = αAX1At +βAX2At +uAt, uAt ∼ NIB(0,σ 2 A) (2) 

YBt = αBX1Bt +βBX2Bt +uBt, uBt ∼ NIB(0,σ 2 B) (3) 

X1 eta X2 ez estokastikoak diren bi aldagai dira. Independenteak diren bi lagin ditugu, bakoitza 102 

behaketekin. KTAko estimazioaren emaitzak ekuazio bakoitzean hurrengoak dira: 

92

ˆYAt 

( desb) 

ˆYBt 

( desb) 

= 0, 145X1At 

+ 0, 51X2At, 

HKBA = 1, 636 

(0,059) 

(0,034) 

= 0, 161X1Bt 

+ 0, 445X2Bt, 

HKBB = 1, 547 

(0,053) 

(0,021) 

a) Hurrengo susmoa daukagu, Bar(YA) > Bar(YB). Azter ezazu hipotesi hau betetzen den Goldfeld 

eta Quandten kontrastearen bidez. Plantea itzazu hipotesi hutsa eta alternatiboa, kontrastearen 

estatistikoa eta bere banaketa H0pean. 

b) Beste eredu alternatibo bat hurrengoa da:Yt = αX1t+βX2t+ut,t = 1,...,204. Hau estimatuko 

genuke bi herrialdeen datuak batera kontutan hartuz. Eredu honen KTAko estimazioak emaitza 

hauek ematen dizkigu: 

σ 2 A = σ2 B 

ˆYt 

( desb) 

= 0, 160X1t 

+ 0, 464X2t, 

HKB = 3, 224 (4) 

(0,040) 

(0,018) 

suposatuz, kontrasta ezazu (2) eta (3) ekuazioen parametro guztien arteko berdinketa. 

c) Aurreko ataleko emaitza kontutan hartuz. Ze eredu aukeratuko zenuke, (2-3) ala (4)? Zergatik? 

d) Azkenik proposatu duzun ereduan, kontrasta ezazu X2 aldagaia esanguratsua den. 

ARIKETA EAZL 2002.8 (02ko abendua) 

Azal ezazu estimatzaile baten alboragabetasuna eta tinkotasuna propietateen arteko diferentzia. 


i) Yt = β1 + β2Xt + β3Yt−1 + ut ereduan, ut = ρut−1 + εt izanik eta εt ∼ ibb(0,σ 2 ε). ordezko 

aldagaien estimatzailearentzat, Yt−2 ordezko aldagai ona dela deritzozu,Yt−1-entzat? 

ii) Yt = β1+β2Xt+β3Xt−4+ut ereduan,X finkoa izanik. Ze kontraste (edo kontrasteak) ezagutzen 

dituzu, perturbazioetanAR(4) ordenako autokoerlazioa kontrastatzeko? Idatz itzazu hipotesi hutsa 

eta alternatiboa, baita kontrastearen estatistikoa ere. Azal ezazu nola lortzen diren estatistikoan 

parte hartzen duten elementuak. 

93


i) Froga itzazu KTA estimatzailearen propietateak Yt = βXt + ut ereduan, non X aldagai finkoa 

den etaut ∼ NIB(0,σ 2 t ). 

ii) i) ataleko eredu berdinean, kontrasta ezazu X aldagaiaren esanguratasuna, KTA estimazioaren 

hurrengo datuekin: 

ˆβ = 3 R2 = 0, 768 HKB = 988, 241 

200 

Yt = 3106, 54 

200 

Xt = 1033, 7 

200 

X 2 t = 5722, 017 

t=1 

200 

t=1 

Xtû 2 t = 6193, 82 

t=1 

200 

X 

t=1 

2 tû 2 t = 41526, 84 

t=1 

200 

t=1 

X 2 tût = −260, 342 

iii) Proposa ezazu lagin finituetan balio duen kontraste bat, H0 : σ 2 t = σ 2 ∀t hurrengo hipotesiaren 

aurrean,Ha : σ 2 t = σ 2 ·t 

iv) Aurreko kontrastean, H0 baztertzen bada. Ze transformazio egin beharko zenuke Yt = βXt +ut 

ereduan, eraldatutako ereduaren KTAko estimatzailea efizientea izan dadin? Idatz ezazu estimatzaile 

honen espresioa, matrize era erabili barik. 


Aldizkari baten, hiruhilabeteroko datuak erabiliz, Y = salmentak, X2= publizitate gastuak, aldagaiekin 

egindako KTAko erregresio baten emaitza bezala, hurrengo datuak irakurtzen ditugu (parentesi artean, 

desbidazio tipikoak): 

ˆYt = 1, 21 

(0,21) 

+ 0, 63 

(0,15) 

X2t + 0, 74X3t 

(0,20) 

R 2 = 0, 94 T = 100 DW = 0, 83 

0, 63 

Emaitza hauek kontutan izanik, egileak t = estatistikoa kalkulatzen du eta bere ondorioa zera da: 

0, 15 

publizitate gastuek eragin nabaria dutela salmentengan, %5eko esangura maila batentzat. Ados zaude ondorio 

honekin? Zure erantzuna ezezkoa balitz, azal ezazu nola kontrastatuko zenuke publizitate gastuen 

esanguratasuna salmentengan. 


Izan bedi Yt = α + βXt + ut eredua, non X aldagai finkoa den eta ut ∼ i.b.b.(0, 2). Hala ere, aldagai 

endogenoaren datuak erroreaz behatzen dira eta bakarrik Y ∗ 

t = Yt + εt aldagaiari buruzko datuak 

94

dauzkagu, nonεt ∼ i.b.b.(0, 3),ut perturbazioarekiko independentea den. 

i) Idatz ezazu estimagarria den eredua. 

ii) Aurki ezazu estimagarria den ereduaren perturbazioaren propietateak eta azal ezazu egokia den 

estimazio metodoa ahalik eta propietaterik onenak lortzeko. Aipa itzazu. 


Zehaz itzazu bi ekuazio dituen sistema bat planteatzerakoan, aurki ditzakezun kasu desbedinetatik 3 kasu, 

eta azal ezazu nola estimatuko zenuken eredua kasu bakoitzean. 

ARIKETA EL 2003.1 (03eko urtarrila) 

i) Komenta ezazu baieztapen hau: Erregresio lineal orokorraren ereduan, nahiz eta Mann eta Walden 

teoremaren baldintzak bete, ezin duguβrekiko hipotesirik kontrastatu, perturbazio aleatorioaren 

banaketa ez badugu ezagutzen. 

ii) Froga itzazu KTA estimatzailearen propietateak lagin finituetan, heterozedastizitatea duen hurrengo 

ereduan:Yi = βXi +ui nonui ∼ NIB(0,σ 2 i ) etaX finkoa. 

iii) Lor itzazuut aldagai aleatorioaren batezbestekoa, bariantza eta kobariantzak, honek lehen ordenako 

batezbesteko higikor prozesua, MA(1), jarraitzen badu. 

iv) yt = β1 +β2Xt +β3yt−1 +ut, ut ∼ AR(1) ereduan.yt−3 ordezko aldagai egokia dela deritzozu, 

yt−1-entzat? Arrazona ezazu laburki zure baieztapenak. 

v) Zer da itxuraz erlazionatu gabeko ekuazio sistema bat? 


1964-1985 aldian emandako inportazio nazionalak, (Y ), aztertu nahi dituen ikertzaile batek, hurrengo 

erregresio eredua proposatzen du: 

Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +ut ut ∼ NIB(0,σ 2 ) (1) 

95

nonX2 errenta nazionala den etaX3 inportazioen prezio erlatiboak diren. KTA estimazioaren emaitzaren 

ondorioak urteroko datuak erabiliz hurrengoak dira: 

ˆYt = 273, 81 + 0, 2458 X2t + 0, 2467 X3t 

(t estatistikoa) (2,80) (19,03) (2,80) 

R 2 = 0, 9846 û ′ û = 10709, 1 

i) Ikertzailea ez dago lasai, perturbazioetan autokoerlazioa dagoen ala ez baieztatu barik. Hurrengoa 

jakinik: 1985 t=1965 (ût −ût−1) 2 = 5354, 55, egin ezazu Durbin-Watsonen kontrastea eta interpreta 

ezazu emaitza. Zehaz itzazu kontrastearen elementu guztiak. 

ii) Aurreko atalan lortutako emaitza kontutan harturik. Baliogarritasunik al du, koefizienteen banakako 

esanguratasuna kontrastatzea, lehen aurkeztutako t estatistikoen balioekin? Arrazona ezazu 


iii) Azal ezazu, eredu honen parametroak estimatzeko, Cochrane-Orcutten prozedura bi etapetan. 


Suposa ezazu pertsona baten aurrezkia bere errenta iraunkorraren menpe dagoela, hurrengo erlazioaren 

bidez: 

Yi = α +βRi +vi 

(3) 

Yi, langile baten urteroko aurrezkia delarik eta Ri, urteroko errenta iraunkorra. Ez da posiblea errenta 

iraunkorraRbehatzea, hau dela eta, praktikan erabilitako erregresio eredua hurrengoa dugu: 

Yi = α +βXi +ui 

non Xi, langile baten urteroko errenta den eta hau, R-ren hurbilketa moduan erabiltzen da. 1999an, 50 

indibiduoekin egindako KTAko estimazioaren emaitzak hurrengoak dira: 

 

ˆα 

ˆβ 

 

KTA 

= 

 

4, 34 

−0, 856 

 

ˆσ 2 KTA(X ′ X) −1 = 1, 023× 

 

0, 7165 −0, 009 

0, 0001 

i) Teoria ekonomikoak dio, errenta iraunkorra-aurrezkiaren arteko harreman positiboa dagoela. Hala 

ere, β maldaren KTAko estimazioa negatiboa da. Uste duzu arazoren bat egon litekela kontraesan 

hau eman dadin? Arrazona ezazu zure erantzuna. 

Geroago (4) eredua ber-estimatzen da ordezko aladagaien bidez. Erabilitako ordezko aldagaia, aurreko 

10 urtetan(1989-98) lortutako sarreren batezbestekoa da, honek noski, errenta iraunkorrarekin erlazio 

handia du eta baita oraingo urteroko errentarekin. Emaitzak hurrengoak dira: 

96 

 

(2) 

(4)

˜α 

˜β 

 

OA 

= 

 

0, 988 

0, 039 

ii) Zein da ˜ βOA-ren formula? Eta ˜σ 2 OA -rena? 

 

˜σ 2 OA(Z ′ X) −1 Z ′ Z(X ′ Z) −1 = 1, 3595× 

 

1, 7088 −0, 0223 

0, 0003 

iii) Egin ezazu Hausmanen kontrastea. Erlaziona ezazu emaitza berri hauek i) atalan eman duzun 

erantzunarekin. 


Hezkuntzaren errendimendua aztertu nahi da, hurrengo ereduaren arabera 

Yi = β1 +β2HEZi +wi 

i = 1,...,N 

nonYi etaHEZi, urteroko alokairu irabaziak (hamar millako eurotan) eta indibiduoaren hezkuntza maila 

diren, hurrenez hurren. Gainera,E(HEZiwi) = 0 edozein irako etawi perturbazio esferikoa den. 

1000 indibiduoei buruzko lagin bat daukagu. Hala ere, hezkuntza maila, behatzen dugun beste aldagai 

baten bidez neurtzen da, hain zuzen ere, ikasitako urteak, Si, erroreaz neurtuta dagoena hurrengo moduan:Si 

= HEZi +εi nonεi perturbazio esferikoa den, HEZi eta wirekiko independentea. 

Karratu Txikienen Arrunten (KTA) metodoa erabiliz, hurrengo lagin informazioarekin, emaitza hauek 

lortu dira: 

ˆYi = 2, 431 

(desb.) (0,078) 

+ 0, 03332Si 

(0,0046) 

a) Interpreta ezazu zer jasotzen duen β2 parametroaren estimazioak. 

b) Azal ezazu zehaztasunez, ze propietate izango dituenβ1 etaβ2ren KTAko estimatzaileak, ereduan, 

eskuragarria den hezkuntza mailaren neurria, Si, erabili bada, HEZi erabili beharrean. Arrazona 


Beste aldagai bat daukagu, Pi, i indibiduo horren aitaren ikasketa urteak neurtzen dituena. 1000 

indibiduoen laginarako, hurrengo informazioa daukagu: 

 

iYi = 2988, 232 

iSi 

= 16707 iYiSi = 50071, 6 

iS2 i = 283539 

 

iPi 

= 14343 iYiPi = 42914, 7 

iPiSi = 144522 

iP2 i = 206469 

 

iY 2 

i = 9028, 9 

c) Proposa ezazu KTA ez den estimatzaile alternatibo bat, ze baldintza pean tinkoa izango den arrazonatuz 

eta bere banaketa asintotikoa zehaztuz. Arrazona ezazu zure erantzuna. 

d) Kalkula itzazuβ1 etaβ2ren estimazioak, aurreko atalean proposatutako estimatzailean oinarrituz. 

97

e) Tinkoa den estimatzaile bat erabili bada, zelan lortu da c) atalean proposatutako estimatzailearen 

bariantza-kobariantza matrize asintotikoaren estimazioa? Idatz itzazu jarraitutako pausuak emaitza 

hau lortu arte. 

Bar( ˆ β) = 

98, 88 

998 

 

0, 2984084 −0, 0178 

−0, 0178 0, 001065 

f) c) atalean proposatutako estimatzailearekin, kontrasta ezazu hurrengo hipotesia: hezkuntza urte 

bat gehiagok, urtero lortutako batezbesteko alokairu irabazietan 720 euroko hakundea suposatzen 

duela. Idatz itzazu hipotesi hutsa, alternatiboa eta kontrastearen elementu guztiak. 

g) Burutu ezazu Hausmanen kontrastea, neurketa errorearen arazoa garrantzitsua den ala ez ikusteko. 

Idatz itzazu hipotesi hutsa, alternatiboa eta kontrastearen elementu guztiak. 

h) Esan ezazu arrazonatuz, Hausmanen kontrastearen emaitza kontutan hartuta, bi estimatzaileetatik 

zein aukeratuko zenuke. 


Blangadesheko azukre-kanabera eskaintza aztertzeko hurrengo eredua proposatzen da: 

ln(At) = α +βln(Pt) +ut 

non A, kanaberaren landaketari dagokion azalera eta P , produktuaren prezioa merkatuan diren. A eta 

P ren 34 urteroko behaketa dauzkagu. KTAko estimazioa hurrengoa da: 

Gainera, hurrengo grafikoak egin dira: 

LOG(A) 

5.6 

5.2 

4.8 

4.4 

4.0 

3.6 

ln(At) = 6, 11 + 0, 97 ln(Pt) R 

( desb) (0,17) (0,11) 

2 = 0, 706 (2) 

(a) Datuak 

3.2 

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 

LOG(P) 

KTA'ko hondarra 

.8 

.6 

.4 

.2 

.0 

-.2 

-.4 

-.6 

-.8 

98 

5 10 15 20 25 30 

Urtea 

 

(b) KTA'ko hondarrak 

(1)

eta hurrengo erregresioak, KTAko hondarretan,û, oinarrituta: 

ût = −0, 02 + 0, 012 ln(Pt) + 0, 34ût−1 

R 2 = 0, 116 HKB = 2, 7 

ût = −0, 38 + 0, 01t−0, 18 ln(Pt) + 0, 32ût−1 R 2 = 0, 13 HKB = 2, 61 

ê 2 t = 1, 32−0, 02t R 2 = 0, 023 HKB = 46, 48 

ê 2 t = 5, 20−0, 1t + 1, 74 ln(Pt) R 2 = 0, 10 HKB = 42, 76 

ê 2 t = 5, 74−0, 11t + 1, 87 ln(Pt)−0, 18vt−1 R 2 = 0, 13 HKB = 41, 21 

êt = −0, 22 + 0, 01t R 2 = 0, 001 HKB = 378, 62 

êt = −3, 59 + 0, 08t−1, 51 ln(Pt) R 2 = 0, 009 HKB = 375, 82 

êt = 0, 51−0, 009t + 0, 17 ln(Pt)−0, 18et−1 R 2 = 0, 13 HKB = 0, 33 

nonêt = ût/˜σ eta ˜σ 2 = 

t û2 t/34 diren. 

a) Ze informazio eskaintzen du datuen a) grafikoak? 

b) Ze informazio eskaintzen du hondarren b) grafikoak? 

c) Bariantza denboran zehar aldatu den aztertu nahi da. Egin ezazu kontrastea, elementu guztiak 

zehaztuz, enuntziatuan ematen den informazioan oinarrituz. 

d) Kontrasta ezazu ereduan autokoerlaziorik dagoen ala ez. 

Geroago, hurrengo estimazioak lortu dira KTZE bidez: 

ln(At) = 6, 12 + 0, 97 ln(Pt) HKB = 3, 052 ˆσt = 0, 30/ 

( desb) (0,18) (0,14) 

√ t (3) 

ln(At) = 6, 82 + 1, 31 ln(Pt) HKB = 5, 620 ˆσt = 5, 066×t (4) 

( desb) (0,29) (0,12) 

ln(At) = 6, 09 + 0, 94 ln(Pt) HKB = 2, 642 ût = 0, 34ût−1 +et (5) 

( desb) (0,24) (0,16) 

ln(At) = 6, 13 + 0, 98 ln(Pt) HKB = 2, 532 ût = 0, 36ût−1 + 0, 002ût−2 +et (6) 

( desb) (0,25) (0,17) 

e) Interesgarria da, prezio-elastizitatea zero den jakitea. Azal ezazu nola kontrastatuko zenuke, argi 

eta garbi zehaztuz erabiltzen duzun estimatzailea eta nola lortu den. Erabil ezazu aurreko informazioa 

kontrastea burutzeko. 


Azal ezazu, zehaztasunez, zein den Chow-ren egitura aldaketa kontrastea, adibide baten oinarrituz. 

99


Demagun hurrengo erregresio eredua dugula: 

Yi = β1 +β2Xi +ui 

i = 1,...,N 

nonXi ez estikastikoa den, ui ∼ N(0,σ 2 i ), E(uiuj) = 0,i = j etaσ 2 i 

funtzio gorakorra da Xi-rekiko. 

a) Ze arazo daukagu aurreko ereduan? Nola detekta daiteke? Azal ezazu zehastasunez proposatzen 

duzun kontrastea. 

 

i b) β1 eta β2-ri buruzko hipotesi kontrasteengan, ze ondorio dakar 

û2 i 

N−2 (X′ X) −1 estimatzailearen 

erabilpenak t edoF estatistikoetan? Arrazona ezazu zure erantzuna. 

800 behaketeko lagin bati buruzko hurrengo informazioa daukagu: 

 

iXi 

= 330 iX2 

i = 144 i 1 

Xi 

1 

√ 

i = 1273 

Xi 

iYi 

= 2672 iY 2 

i = 9576 

 

iXiYi = 1108 

i Yi 

 

= 6835 Xi i Yi 

X2 i 

 

iû2 

i = 660 iû2i X2 

i = 160 iû2 iXi = 309 

= 2058 

i 1 

X 2 i 

= 18755 

i Yi 

√ Xi 

= 5683 

= 4239 

non ûi = Yi − ˆ β1 − ˆ β2Xi, β1 eta β2 karratu txikienen arrunten bidez parametroak estimatu 

ondoren lortutako hondarrak diren. 

c) Lor itzazuβ1 etaβ2ren KTA bidezko estimazioak. 

d) Whiten estimatzailea erabili bada, zelan lortu da β1 eta β2ren KTA bidezko hurrengo bariantza 

kobariantza matrizearen estimazioa? Azal itzazu zehazki jarraitutako pausu guztiak emaitza hau 

lortzeko. 

BarWHITE( ˆ 

βKTA) = 

0, 04 −0, 11 

−0, 11 0, 28 

e) c) eta d) ataletan lortutako estimazioetan oinarrituz, kontrasta ezazu H0 : β2 = 0 Ha : β2 = 0ren 

aurka. 

f) σ 2 i = 4X2 i suposatuz, nola lortuko zenuke β1 eta β2-ren estimatzaile efiziente bat? Azal ezazu 

zehastasunez estimazioaren prozedimendua. 

g) Kalkula itzazu β1 eta β2-ren estimazioak eta bere bariantza kobariantza matrizea, estimatzaile 

efizientearekin. 

h) Kontrasta ezazuH0 : β2 = 0 Ha : β2 = 0-ren aurrean,β2ren estimatzaile efizientea erabiliz. 

i) d) eta g) ataletan burututako kontrasteek ondorio desberdinak ekar lezakete? Zergatik? 

100


Hurrengo eredua daukagu: 


non AR(1) motako lehen ordenako autokoerlazioa existitzen dela susmatzen den. Eredua 

KTA bidez estimatzen da eta hondarren seriea kalkulatzen da, hurrengo informazioa lortuz: 

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ût 1.5 -0.5 2.5 -3.5 1 1.5 -2.5 1 -1.5 0.5 

 

t ûtût−1 = −21, 25 

 

tût−1 = −0, 5 

 

tût−1ût−2 = −20, 5 

tû2t−1 = 33, 75 

t û2 t = 34 

 

tû2t−2 = 31, 5 

 

t ûtût−2 = 6 

a) Azter ezazu perturbazioetan autokoerlazioaren existentzia, metodo grakiko bat eta kontraste bat 

erabiliz. Azal itzazu zehazki kontrastearen elementu guztiak. 

b) Lor ezazu AR(1) prozesuaren ρ parametroaren estimazio bat, nola lortzen den zehaztasunez azalduz. 

c) Azal ezazu zehaztasunez nola estimatuko zenituzke ereduaren parametroak ρ parametroaren estimazioa 

erabiliz. Azal itzazu arrazonatuz, proposatutako estimatzailearen propietate 

guztiak. 

d) Ereduan, erregresore bezala aldagai endogenoaren atzerapenak sartu izan bagenitu: 

d.1) Baliagarria litzateke a) atalean erabili izandako kontrastea? Zergatik? Ze kontraste izango 

litzateke baliagarria? 

d.2) Fidagarria izango litzateke b) atalean lortutako ρ-ren estimazioa? Zergatik? 

d.3) Aldatuko zenuke c) atalean proposatu duzun estimazio metodoa? Zergatik? Zelan? Azal ezazu 

zehaztasunez. 

101

GALDEKETA EAZL-2003 (Ekai-2003) 

1. [Opari-galdera] Zein da Espainiako hiriburua? 

(A) Paris. (B) Madrid. (C) Bagdad. (D) Sebastopol. (E) Edimburgo. 

2. Asintotikoki alborabagea den estimatzaile bat, 

(A) bariantza zero du. 

(B) lagin finituetan ere alboragabea den estimatzailea da. 

(C) asintotikoki efizientea den estimatzailea da. 

(D) estimatzaile tinkoa da. 

(E) lagin finituetan alboratua izan daiteke. 

3. Marka ezazu hurrengo baieztepenetatik zein den zuzena: 

(A) Tinkoak diren estimatzaile guztiak alboragabeak dira. 

(B) Alboragabeak diren estimatzaile guztiak tinkoak dira. 

(C) Estimatzaile bat asintotikoki alboragabea bada eta bere bariantzak zerorantz jotzen badu laginaren 

tamainuak infinitorantz jotzen duenean, orduan estimatzailea tinkoa da. 

(D) Estimatzaile tinko guztiak, asintotikoki alboragabeak dira eta bere bariantzek zerorantz jotzen 

dute laginaren tamainuak infinitorantz jotzen duenean. 

(E) Dena gezurrezkoa. 

4tik 6rako galderek hurrengo adierazburua dute: 

Izan bedi ELOE, non oinarrizko hipotesiak betetzen diren eta plim X′ X 

T = Q matrize finitu eta 

alderanzgarria den, baina perturbazioak EZ du banaketa Normala jarraitzen. 

4. ˆ βT , KTAko estimatzailea bada, 

(A) ˆ βT ren banaketa asintotikoa ezin daiteke lortu zeren perturbazioak ez baitu banaketa Normala 

jarraitzen. 

(B) Cramer eta Mann-Walden Teoremak aplikatuz, hurrengoa lortzen da: 

√ 

T ˆβT p 

−β = −→ N 0,σ2 uQ−1 X ′ X 

T 

−1 X ′ u 

√ T 

(C) Cramer eta Mann-Walden Teoremak aplikatuz, hurrengoa lortzen da: 

√ 

T ˆβT b 

−β = −→ N 0,σ2 uI 

X ′ X 

T 

X ′ X 

T 

−1 X ′ u 

√ T 

(D) Cramer eta Mann-Walden Teoremak aplikatuz, hurrengoa lortzen da: 

√ 

T ˆβT b 

−β = −→ N 0,σ2 uQ−1 X ′ X 

T 

−1 X ′ u 

√ T 

(E) Cramer eta Mann-Walden Teoremak aplikatuz, hurrengoa lortzen da: 

√ 

T ˆβT p 

−β = −→ N 0,σ2 uI 

−1 X ′ u 

√ T 

102

5. KTAko estimatzailearen tinkotasuna horrela froga daiteke: 

(A) plim ˆ 

X ′ X 

βT = β + plim 

T 

−1 

 

=Q −1 

(B) plim ˆ βT = β + plim X′ X 

T 

 

=Q 

(C) plim ˆ βT = β + plim X′ X 

T 

 

=Q 

plim X′ u 

T 

 

=0 

 

X ′ −1 

u 

plim 

T 

 

=0 

plim X′ u 

T 

 

=0 

(D) límT→∞E( ˆ βT) = β ⇒ plim ˆ βT = β 

(E) límT→∞Bar( ˆ βT) = 0 ⇒ plim ˆ βT = β 

= β 

= β 

= β 

6. Azpimarra ezazu hurrengo baieztapenetatik zein den egiazkoa: 

(A) Perturbazioen banaketa Normala ez dugunez, ez dira esferikoak eta beraz, eredua KTZn bitartez 

estimatu behar da (Ω ezaguna bada) eta KTZEn bitartez (Ω ezezaguna bada). 

(B) Eredua KTAn bitartez estimatu daiteke eta inferentzia egin, bai lagin finituetan eta baita asintotikoki 

ere. 

(C) Eredua KTAn bitartez estimatu daiteke eta estimatzailearen banaketa asintotikoa ere aurkitu 

daitekenez, inferentzia asintotikoa egin daiteke. 

(D) Ereduko koefizienteak KTAn bitartez ezin daitezke estimatu, perturbazioak ez baitu banaketa 

Normala jarraitzen. 

(E) Pertubazioak banaketa Normala ez badu ere, Cramer eta Mann-Walden teoremen bitartez 

estimatzailearen lagin finituetako banaketa lor dezakegu eta beraz inferentzia egin. 

7. Y = Xβ +u ereduan non X ez estokastikoa den, E(u) = 0 eta E(uu ′ ) = σ 2 Ω hipotesiek non 

Ω matrize ez eskalar ezaguna den, beste gauza batzuen artean ondorengoa eragiten dute: 

(A) βren KTAko estimatzailea alboratua da. 

(B)βren KTAko estimatzailea lineala, alboragabea eta lineal eta alboragabe guztien artean bariantza 

minimoduna da. 

(C) βren KTAko estimatzailearen bariantza eta kobariantza matrizea σ 2 (X ′ X) −1 da. 

(D) βren KTAko estimatzailea lineala eta alboragabea da, baina lineal eta alboragabe guztien artean 

ez da bariantza minimoduna. 

(E) dena gezurrezkoa. 

8tik 10erako galderek hurrengo adierazburua dute: 

Izan bediYt = β0+β1Xt+ut eredua nont = 1,...,T ,Xt ez estokastikoa etaut ∼ NIB(0,bt 2 ) 

den etabparametro ezezaguna den. 

103

8. β1 koefizientea era efizienteenean estimatzeko zein metodo aukeratuko zenuke? 

(A) OA. 

(B) KTZE jatorrizko ereduan. 

(C) KTZ jatorrizko ereduan. 

(D) KTA jatorrizko ereduan. 

(E)Ytren batezbesteko aritmetikoa. 

9. Zein litzateke oinarrizko hipotesiak betetzeko erabili beharko zenuken eraldatutako eredua? 

(A) Yt 

t 

= β0 1 

t 

+β1 Xt 

t 

+ ut 

t 

(B) Yt 

t2 = β0 1 

t2 +β1 Xt 

t2 + ut 

t2 (C)tYt = β0 t+β1 tXt +tut 

(D)t 2 Yt = β0 t 2 +β1 t 2 Xt +t 2 ut 

(E) Yt √ = β0 t 1 √ +β1 t Xt √ + 

t ut √ 

t 

10. Zein da eraldatutako ereduko perturbazioaren bariantza? 

(A)b 2 (B) 1/b (C) 1 (D)b (E) 1/b 2 

11tik 14rako galderek hurrengo adierazburua dute: 

Izan bediYt = α +βXt +ut eredua nont = 1,...,T den.X ez estokastikoa da,u ∼ N(0,σ 2 Ω) 

non Ω matrize ezaguna Ω = I izanik etaσ 2 parametro ezezaguna da. Aurreko eredua KTAn bitartez 

estimatzen da lehendabizi eta ˆ βKTA etaûKTA lortzen dira. Ondoren, KTZn bitartez estimatzen 

da eta ˜ βKTZ etaũKTZ lortzen dira. 

11. Ondorengo matrizeetatik, zein da ˆ βKTA estimatzailearen bariantza eta kobariantza matrizea? 

(A) σ 2 (X ′ X) −1 (B) σ 2 (X ′ ΩX) −1 

(C) σ 2 (X ′ Ω −1 X) −1 

(D)σ 2 (X ′ X) −1 X ′ ΩX(X ′ X) −1 (E)σ 2 (X ′ X) −1 X ′ Ω −1 X(X ′ X) −1 

12. ˆ βKTA estimatzaileak 

(A) ez dira alboragabeak. (B) ez dira bariantza minimodunak. (C) ez dira Normalak. 

(D) ez dira linealak. (E) ez dira tinkoak. 

13. Zein daσ 2 ren estimatzaile alboragabe bat? 

(A) ũ′ KTZ Ωũ KTZ 

T−K 

(D) ũ′ KTZ ũ KTZ 

T−K 

(B) û′ KTA û KTA 

T−K 

(E) ũ′ KTZ Ω−1 ũ KTZ 

T−K 

(C) ũ′ KTZ ũ KTZ 

T 

14. H0 : Rβ = r kontrastatu nahi badaHa : Rβ = r hipotesiaren aurka, kontrastea egiteko estatistiko 

eta banaketa egokiak hauek dira: 

(A) dena gezurrezkoa. 

(B) (Rˆ βKTA−r) ′ [R(X ′ X) −1 R ′ ] −1 (R ˆ βKTA−r)/q 

û ′ KTA ûKTA/(T−K) 

104 

H0 

∼ F(q,T−K)

(C) (Rˆ βKTA−r) ′ [R(X ′ Ω −1 X) −1 R ′ ] −1 (R ˆ βKTA−r)/q 

û ′ KTA ûKTA/(T−K) 

(D) (R˜ βKTZ−r) ′ [R(X ′ Ω −1 X) −1 R ′ ] −1 (R ˜ βKTZ−r)/q 

ũ ′ KTZ Ω−1 ũKTZ/(T−K) 

(E) (R˜ βKTZ−r) ′ [R(X ′ Ω −1 X) −1 R ′ ] −1 (R ˜ βKTZ−r)/q 

ũ ′ KTZ Ω−1 ũKTZ/(T−K) 

H0 

∼ F(q,T−K) 

b,H0 

−→ χ 2 q 

H0 

∼ F(q,T−K) 

15. N familien kontsumoa, (K), eta errenta erabilgarriaren, (R), datuekinKi = α +βRi +ui eredua 

estimatu nahi da, nonui ∼ ibb(0,σ2 u) den.N familiakJ probintzietan sakabanaturik daude,j probintziak 

Nj familia dituelarik. Datu gutxiagorekin lan egiteko, probintzi bakoitzeko Nj behaketekin,j 

= 1,...,J, probintzia bakoitzeko batezbesteko kontsumoak, ¯ Kj, eta batezbesteko errentak, 

¯Rj, kalkulatu dira (Nj = Nj ′, j = j′ eta j,j ′ = 1...,J suposatuko dugu). Horrela, hurrengo 

eredua estimatu da: 

¯Kj = α +β ¯ Rj +ūj j = 1,...,J. 

Orduan, 

(A)ūj perturbazioek koefiziente positibodun lehen ordenako prozedura autoerregresiboa jarraitzen 

dute. 

(B) ūj perturbazioek batezbesteko higikorren prozedura jarraitzen dute. 

(C) ūj perturbazioek koefiziente negatibodun lehen ordenako prozedura autoerregresiboa jarraitzen 

dute. 

(D) ūj ∼ ibb(0,σ 2 ū). 

(E)ūj perturbazioak heterozedastikoak dira. 

16. Izan bedi Yt = α + βXt + ut eredua non Bar(ut) = aZ 2 t den eta a parametro ezezaguna den. 

Eredu honetako KTZko estimatzaileei Ponderatutako Karratu Txikienen estimatzaileak ere deitzen 

zaie zeren: 

(A) Z 2 t ren balio txikiko behaketei garrantzi handiago ematen baitzaie. 

(B) Bar(ut) bariantzan Z 2 t aldagaiaa-gatik ponderatuta baitago. 

(C) Z 2 t ren balio handiko behaketei garrantzi handiago ematen baitzaie. 

(D) Xt aldagaiak Yt aldagaiarengain duen eragina ponderatzen baita. 


17. Izan bedi hurrengo eredua: 

Yt = β1 +β2X2t +β3X 2 3t +ut 

t = 1,...,150. 

non X2t eta X3t ez estokastikoak diren. Bar(ut) = aZ 2 t , non a konstante ezezaguna den, kontrastatzeko 

hurrengo kontrasteak aplikatzea egokia da: 

(A) Goldfeld eta Quandt ez, baina Breusch eta Godfrey bai. 

(B) Goldfeld eta Quandt bai, baina Breusch eta Pagan ez. 

(C) Goldfeld eta Quandt bai eta baita Breusch eta Pagan ere. 

(D) Goldfeld eta Quandt ez, baina Durbin eta Watson bai. 

(E) Goldfeld eta Quandt bai eta baita Breusch eta Godfrey ere. 

105

18. Izan bedi ondorengo eredua: 

Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +β4X4t +ut. 

Eredu honetan Bar(ut) = α0 +α1Z1t +α2Z2t dela susmatzen da. Kontrastea burutzeko, eredua 

KTAn bitartez estimatu da etaûhondarrekin hurrengo bi erregresioak estimatzen dira, 

û 2 t = α0 +α1Z1t +α2Z2t +εt 

û 2 t 

û ′ û/T = γ0 +γ1Z1t +γ2Z2t +ǫt 

bakoitzean karratu azalduaren baturak lortuz,KAB (1) etaKAB (2), eta baita hondar karratuen baturak 

ere, HKB (1) eta HKB (2) hurrenez hurren. Zein da kontrastea burutzeko estatistiko egokia 

eta bere banaketa asintotikoa? 

(A) KAB (1)/2 eta χ 2 3 (B) T ·HKB (1) eta χ 2 2 (C) T ·R 2 (2) eta χ 2 2 

(D)KAB (2)/2 eta χ 2 2 (E)T ·HKB (2) eta χ 2 3 

19. Heterozedastizitatea dagoenean, noiz da egokiagoa KTAn bitartez estimatzea, KTZ edo KTZEn 

bitartez estimatzea baino? 

(A) Beti. 

(B) Inoiz ez. 

(C) Bar(ut) ezaguna denenan. 

(D) Bar(ut) ezezaguna baina estimagarria denean. 

(E)Bar(ut) ezezaguna eta estimagarria ez denean. 

106 

(1) 

(2)

Hurrengo adierazburua 20tik 24rarteko galderen oinarria da: 

Ikertzaile batek Madril Erkidegoko kontsumo funtzioa Kataluniakoarekin konparatu nahi du. Horretarako 

hurrengo ekuazioak planteatzen ditu: 

non: 

K1t = α1 +β1R1t +u1t t = 1,...,T. (3) 

K2t = α2 +β2R2t +u2t t = 1,...,T. (4) 

K1: Madril Erkidegoko kontsumo agregatua den. 

K2: Katalunia Erkidegoko ” ” den. 

R1: Madril Erkidegoko errenta erabilgarria den. 

R2: Katalunia Erkidegoko ” ” den. 

Kontsidera itzazu hurrengo estimatzaileak: 

E1: KTA ekuazio bakoitzean. 

E2: KTA baterako ereduan: 

 

K1 

K2 

 

= 

 

l R1 0 0 

0 0 l R2 

⎡ 

 

⎢ 

⎣ 

⎤ 

α1 

⎥ 

β1 ⎥ 

α2 ⎦ + 

 

u1 

u2 

non K1 bektorean K1t aldagaiaren T behaketak jasotzen diren eta K2 Kataluniako kasuan. 

R1 bektoreanR1t aldagaiarenT behaketak jasotzen dira etaR2 bektoreanR2t aldagaiarenak. 

l bektoreaT batekoz osaturiko zutabe bektorea da. 

E3: (5) baterako ereduko KTZko estimatzailea. 

E4: (5) baterako ereduko KTZEko estimatzailea, ˜ βKTZE = (X ′ˆ Σ−1X) −1X ′ˆ Σ−1Y , non 

 

I 0 

ˆΣE4 = 

ˆσ 2 1 

0 ˆσ 2 2I β2 

, ˆσ 2 1 = û′ 1û1 , ˆσ 

T −K1 

2 2 = û′ 2û2 T −K2 

etaû1, Madrileko ekuazioa E1 bitartez estimatuz lortzen diren hondarrak diren etaû2 berriz, 

Kataluniakoak. 

E5: (5) baterako ereduko KTZEko estimatzailea, ˜ βKTZE = (X ′ˆ Σ−1X) −1X ′ˆ Σ−1Y , non 

 

I ˆσ12I 

ˆΣE5 = 

ˆσ 2 1 eta ˆσ2 2 E4koak dira eta ˆσ12 = û′ 1 û2 

T . 

E6: Hurrengo baterako ereduan KTA aplikatuz: 

 

K1 

K2 

E7: (6) ereduan KTZE, ΣE4rekin. 

E8: (6) ereduan KTZE, ΣE5rekin. 

 

= 

 

l 0 R1 

0 l R2 

ˆσ 2 1 

ˆσ12I ˆσ 2 2I 20. u1t ∼ ibb(0,σ 2 ) eta u2t ∼ ibb(0,σ 2 ) independenteak badira, α1, α2, β1 eta β2 parametroen 

hurrengo estimatzaileetatik zeinek ditu propietate hoberenak? 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

α1 

α2 

β 

⎤ 

⎥ 

⎦ + 

(A) E8. (B) E5. (C) E1. (D) E7. (E) E6. 

107 

 

u1 

u2 

 

(5) 

(6)

21. u1t eta u2t independenteak badira baina orain u1t ∼ ibb(0, 1) eta u2t ∼ ibb(0, 2), hurrengo estimatzaileetatik 

zeintzuk dira estimatzaile lineal, alboragabe eta bariantza minimodunak? 

(A) E4 eta E5. (B) E5 eta E8. (C) E1 eta E5. (D) E4 eta E7. (E) E1 eta E3. 

22. u1t ∼ ibb(0,σ 2 1 ), u2t ∼ ibb(0,σ 2 2 ) eta Kob(u1t,u2s) = 

 

σ12 t = s; bada. 

ezezagunak diren, ikertzaileak erabili beharko lukena ondorengoa da: 

0 t = s; bada. non σ2 1 , σ2 2 

(A) E3. (B) E4. (C) E7. (D) E1. (E) E5. 

eta σ12 

23. u1t ∼ NIB(0, 2t) eta u2t ∼ NIB(0, 7t) elkarrekiko independenteak badira, hurrengo estimatzaileetatik 

zeintzuk dituzte propietate hoberenak? 

(A) E1. (B) E3. (C) E4. (D) E5. (E) E2. 

24. u1t ∼ ibb(0,σ 2 1 ), u2t ∼ ibb(0,σ 2 2 ), Kob(u1t,u2s) = 0 ∀t,s, β1 = β2, σ 2 1 eta σ2 2 ezezagunak 

badira, hurrengo estimatzaileetatik zeintzuk dituzte propietate hoberenak? 

(A) E1. (B) E3. (C) E2. (D) E6. (E) E7. 

Hurrengo adierazburua 25tik 26rarteko galderei dagokie. 

Yt = α + βXt + ut eredua, non T = 4 den, KTAn bitartez estimatzerakoan, û1 = −4, û2 = 2, 

û3 = −4 etaû4 = 6 lortu dira. 

25. Zein daDW estatistikoaren balioa? 

(A) 0 (B) 2, 39 (C) 0, 14 (D) 3, 07 (E) 4, 78 

26. ut perturbazioek AR(1), ut = ρut−1 + εt eta εt ∼ ibb(0,σ 2 ε), prozedura jarraitzen badute, ˆρ 

honakoa da: 

(A)−0, 194 (B) −4 (C)−1 (D)−1, 11 (E)−0, 375 

27. Ondorengo eredua izanik,Yt = β1+β2X2t+β3X3t+ut t = 1,...,10, non perturbazioek AR(1) 

motako autokoerlazioa jarraitzen dutela susmatzen den, hau da, ut = ρut−1 +εt, εt ∼ ibb(0,σ2 ε) 

eta |ρ| < 1. Hipotesi hori kontrastatzeko, eredua KTAn bitartez estimatzen da, hondarren segi- 

H0 : ρ = 0 

da kalkulatzen da eta Durbin-Watsonen, DW, estatistikoa lortzen da. 

Ha : ρ < 0 kontrastea 

burutzerakoan %5eko esangura mailarekin, hurrengo erantzunetatik zein da zuzena? 

(A) 2 < DW < 4−ds = 2,36 ⇒ Hipotesi hutsa baztertzen da. 

(B) 4−di = 3,30 < DW ⇒ Hipotesi hutsa ez da baztertzen. 

(C) 4−ds = 2,68 < DW < 4−di = 3,12 ⇒ Hipotesi hutsa ez da baztertzen. 

(D) 4−di = 3,12 < DW ⇒ Hipotesi hutsa baztertzen da. 


28. Izan bedi ondorengo eredua,Yt = β1+β2X2t+β3X3t+ut t = 1,...,100, non kontraste baten 

ondorioz, perturbazioetan AR(1) motako autokoerlazioa ez dagoelaren hipotesia baztertzen den 

(ut = ρut−1 +εt non εt ∼ ibb(0,σ 2 ε) eta |ρ| < 1 den). Ereduko parametroak horrela estimatuko 

genituzke: 

(A) KTZn bitartez estimatuko genuke, ρ parametroaren hurbilketa egin baitaiteke DWen estatistikoa 

erabiliz. Estimatzaile hau ez litzateke lineala eta ezta alboragabea ere, baina bai ordea tinkoa. 

108

(B) KTZn bitartez estimatuko genuke, ρ parametroaren hurbilketa egin baitaiteke DWen estatistikoa 

erabiliz. Horrela linealtasuna, alboragabetasuna, bariantza minimoa eta tinkotasuna lortuko 

genituzke. 

(C) ρ ezezaguna denez, KTZEn bitartez estimatuko genuke, estimatzaile lineal, alboragabea, bariantza 

minimoduna eta tinkoa lortuz (adibidez, Cochrane eta Orcutt-en metodo iteratiboa edo 

Hildreth eta Lu-ren Sare Bilakera erabiliz.) 

(D) ρ ezezaguna denez, KTZEn bitartez estimatuko genuke estimatzaile tinkoa lortuz (adibidez, 

Cochrane eta Orcutt-en metodo iteratiboa edo Hildreth eta Lu-ren Sare Bilakera erabiliz.) 

(E) Estimazio metodo egokia KTA litzateke perturbazio esferikoak baititugu. Estimatzaile hau 

lineala, alboragabea, bariantza minimoduna eta tinkoa izango litzateke. 

29. Kontsidera itzazu Yt = β1 +β2Xt +ut ereduko koefizienteen KTA, KTZ eta KTZEn estimatzaileak, 

nonut ∼ AR(1) eta X ez estokastikoa den. Beti egia da: 

(A) ˆ βKTA 2 < ˆ βKTZ 2 

(D) ˆσ 2 KTA ≥ ˜σ2 KTZ 

(B) Bar( ˆ βKTA 2 ) ≥ Bar( ˆ βKTZE 2 ) (C) ˆ βKTA 2 ≥ ˆ βKTZ 2 

(E)Bar( ˆ β KTA 

1 ) ≥ Bar( ˆ β KTZ 

1 ) 

30. Ondorengo aukeretan,Yt = β1+β2Xt+β3Zt+ut eredua, nonT = 62 den, KTAn bitartez estimatu 

ondoren kalkulatutako erregresio laguntzaileak agertzen dira. Zein erregresiorekin ondorioztatzen 

da perturbazioetan lehen ordenako autokoerlazioa dagoela %5eko esangura mailarekin? 

(A) ût = 0,4ût−1 + ˆvt HKB = 78 KAB = 12 

(B) ût = 8−3Xt + 0,1Zt + 0,3ût−1 + ˆvt HKB = 80 KAB = 10 

(C) ût 

ˆσ 2 = 8−5,2Xt +Zt + 0,4 ût−1 

ˆσ 2 + ˆvt HKB = 85 KAB = 20 

(D) û2 t 

ˆσ 2 = 10−2Xt + 0,2Zt + ˆvt HKB = 100 KAB = 30 

(E)ût = 8−2,5Xt + 0,2Zt + 0,3ût−1 + ˆvt HKB = 85 KAB = 5 

31. Izan bedi Y = Xβ + u eredua, non ut ∼ MA(1) den [hau da, ut = ǫt − θǫt−1, ǫ ∼ (0,σ 2 ǫ I) 

izanik] eta T = 4. Zein da E(uu ′ ) matrizean zeroren desberdinak diren elementuen kopurua? 

(A) 4 (B) 16 (C) 12 (D) 10 (E) 6 

32. Izan bedi Y = Xβ + u eredua, non ut ∼ AR(1) den [hau da, ut = ρut−1 + ǫt, ǫ ∼ (0,σ 2 ǫ I) 

eta |ρ| < 1 izanik] eta T = 4. Zein da E(uu ′ ) matrizean zeroren desberdinak diren elementuen 

kopurua? 

(A) 16 (B) 12 (C) 6 (D) 4 (E) 10 

33. Izan bedi Yt = α +βXt +ut eredua, ut = −0,5ut−1 +εt eta εt ∼ ibb(0, 4). Zein da ut eta ut−2 

perturbazioen artekoρ2 autokoerlazio koefizientea? 

(A) 2 (B) -2 (C) 0.25 (D) -0.25 (E) 0 

Hurrengo adierazburua 34tik 37rako galderei dagokie. 


Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +ut t = 1,...,T u ∼ (0,σ 2 uI) (7) 

non X2t aldagai ez estokastikoa den, X3t aldagai estokastikoa den eta plim X′ X 

T = Q finitoa eta 

alderanzgarria den. 

109

34. (7) ereduan: 

(A) ˆ βKTA ez da linealaX2t aldagai ez estokastikoa baita. 

(B) ˆ βKTA ez da linealaX3t aldagai estokastikoa baita. 

(C) ˆ βKTA estimatzaile lineala da baldin eta E(X3t) = 0 ∀t. 

(D) ˆ βKTA estimatzaile lineala daE(ut) = 0 ∀t baita. 

(E) ˆ βKTA ez da lineala ut aldagai estokastikoa baita. 

35. (7) ereduanX3t aldagaiautrekiko dependentea bada baina denbora berean ez badaude koerlatuak: 

(A) ˆ βKTA estimatzailea ez da lineala, orokorrean alboratua da eta ez tinkoa. 

(B) ˆ βKTA estimatzailea lineala da, alboratua eta ez tinkoa. 

(C) ˆ βKTA estimatzailea lineala da, alboragabea eta tinkoa. 

(D) ˆ βKTA estimatzailea ez da lineala, alboragabea da eta tinkoa. 

(E) ˆ βKTA estimatzailea ez da lineala, orokorrean alboratua da eta tinkoa. 

36. (7) ereduanX3t aldagaia utrekiko independentea bada: 

(A) H0 : β3 = 0 kontrastatzeko nahikoa da KTAko estimatzailearen lagin finituetako banaketa 

erabiltzea. 

(B) Nahiz eta Mann eta Walden Teorema bete, ezin dezakegu ˆ βKTA estimatzailearen banaketa 

asintotikoa lortu, ez baitugu utren banaketa ezagutzen. 

(C) Mann eta Walden Teorema betetzen denez, ˆ βKTA estimatzailearen banaketa asintotikoa lortu 

dezakegu eta inferentzia egin limitean. 

(D) Ezin dugu inferentziarik egin ez baitugu utren banaketa ezagutzen. 


37. (7) ereduan E(X3tut) = 0 hipotesi hutsa kontrastatu nahi badugu E(X3tut) = 0 alternatibaren 

aurka, hurrengo estatistikoa erabili dezakegu: 

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E) 

( ˆ β3,KTA− ˆ β3,OA) 2 

Bar( ˆ β3,OA)− Bar( ˆ b,H0 

−→ χ 

β3,KTA) 

2 (1) 

ˆβ3,KTA− ˆ β3,OA 

Desb( ˆ β3,OA)− Desb( ˆ b,H0 

−→ N(0, 1) 

β3,KTA) 

( ˆ β3,KTA− ˆ β3,OA) 2 

Bar( ˆ β3,OA)− Bar( ˆ b,H0 

−→ N(0, 1) 

β3,KTA) 


Desb( ˆ β3,OA)− Desb( ˆ H0 

∼ t(T−3) 

β3,KTA) 


Desb( ˆ β3,OA)− Desb( ˆ b,H0 

−→ χ 

β3,KTA) 

2 (1) 

110

38. Izan bedi ondorengo eredua 

Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +ut t = 1,...,T eta u ∼ (0,σ 2 uI), 

non X2t eta X3t behagarriak ez diren aldagai ez estokastikoak diren. Errorearekin neurturiko aldagai 

azaltzaileen balioak bakarrik ditugu. Kasu honetan, estimagarria den ereduan, 

(A) ˆ βKTA estimatzaileak beti dira efizienteak. 

(B) ˆ βKTA estimatzaileak ez dira tinkoak eta estimazio metodo egoki bat Ordezko Aldagaien metodoa 

litzateke. 

(C) ˆ βKTA estimatzaileak ez dira tinkoak eta beraz, KTZn bitartez estimatu behar da eredua. 

(D) ˆ βKTA estimatzaileak tinkoak dira beti. 

(E) Aldagai azaltzaileek neurketa errorea izateak ez du arazorik sortzen, ez KTAko estimatzailearen 

efizientzian eta ezta tinkotasunean ere. 

111

Hurrengo adierazburua 39tik 41rarteko galderei dagokie: 

Izan bedi hurrengo ereduaYt = α+βXt +ut non ut ∼ ibb(0,σ 2 u) etaXt ez estokastikoa den. 

39. Yt behagarria ez den aldagai aleatorioa bada eta Y ⋆ 

t aldagai behagarriarekin erlazionatzen bada, 

hau daY ⋆ 

t = Yt +ǫt nonǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ) den etaǫt,utrekiko independentea den, estimagarria den 

eredua honakoa da:Y ⋆ 

t = α +βXt +vt eta 

(A) vt ∼ ibb(0,σ 2 u +σ 2 ǫ + 2σuǫ) etaσuǫ = 0. 

(B) vt ∼ ibb(0,σ 2 u +σ 2 ǫ). 

(C) vt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ). 

(D) vt ∼ ibb(0,σ 2 u). 

(E)vt ∼ ibb(0, 1). 

40. Yt behagarria ez den aldagai aleatorioa bada eta behagarria denY ⋆ 

t aldagaiarekin hurrengo moduan 

erlazionaturik badago, Y ⋆ 

t = Yt +ǫt nonǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ) eta Kob(ǫt,ut) = 0 diren, 

(A) Yt aldagaia behagarria ez bada, α eta β parametroak Ordezko Aldagaien bitartez estimatu 

behar ditugu. 

(B) Yt aldagaia behagarria ez bada, inola ere ezin dira estimatu α etaβ parametroak. 

(C) estimagarria den ereduko perturbazioaren propietateak direla eta, KTZEn bitartez estimatu 

beharko genuke, tinkoa eta asintotikoki efizientea izango baita. 

(D) estimagarria den ereduko perturbazioaren propietateak direla eta, KTAn bitartez estimatu 

beharko genuke, tinkoa eta asintotikoki efizientea izango baita. 


41. Xt aldagaia ez behagarria bada eta behagarria denX ⋆ t = Xt +εt aldagaiaren behaketak baditugu, 

non Xt ez estokastikoa den, εt ∼ ibb(0,σ 2 ε) etaKob(ut,εt) = Kob(us,εt) = 0∀t,s diren, 

(A) plim ˆ βKTA = β− βσ2 ε 

σ 2 x+σ 2 ε 

(D) plim ˆ βKTA =− β(σ2 x+σ 2 ε) 

σ 2 x 

(B) plim ˆ βKTA =− βσ2 ε 

σ 2 x+σ 2 ε 

Hurrengo adierazburua 42 eta 43 galderei dagokie: 

(C) plim ˆ βKTA = β− β(σ2 x+σ 2 ε) 

σ 2 x 

(E) plim ˆ βKTA = β 

Izan bedi ondorengo ereduaRt = α+β0Mt+β1Mt−1+β2Mt−2+β3Mt−3+ut nonu ∼ (0,σ 2 uI) 

den. Rt interes tipoa da eta Mt diru eskaintza, zeina estokastikoa kontsideratuko dugun. Azkenik, 

datuak herrialde bateko hiruhilabeteko denbora serieko datuak dira. 

42. Seinala ezazu hurrengo baieztapenetatik zein den zuzena: 

(A) Mt autokoerlatua badago, ereduan gradu altuko kolinealitatea sortarazi dezake eta ondorioz, 

βj koefizienteen estimatutako balioak ez dira oso fidagarriak. 

(B) E(Mt−jut) = 0 bada 0 eta 3 tarteko j batentzat, Mann eta Walden Teoremaren baldintzak 

betetzen dira eta beraz, KTAko estimatzaileak tinkoak dira. 

(C)E(Mt−jut) = 0 bada 0 eta 3 tartekoj batentzat, hoberena KTZn bitartez estimatzea litzateke. 

(D) Mt autokoerlatua badago, KTAko estimatzaileak beti ez tinkoak izango dira. 


112

43. (H), Hausmanen estatistikoa kalkulatu da lau aldagai azaltzaileentzat, orduan: 

(A)H > 9,49 bada %5eko esangura mailarekin, KTAko estimatzaileak tinkoak direla ondorioztatuko 

genuke. 

(B) H > 9,49 bada %5eko esangura mailarekin, KTAko estimatzaileak tinkoak ez direla ondorioztatuko 

genuke. 

(C) H > 11,07 bada %5eko esangura mailarekin, KTAko estimatzaileak tinkoak direla ondorioztatuko 

genuke. 

(D)H > 11,07 bada %5eko esangura mailarekin, perturbazioak autokoerlatuak daudela ondorioztatuko 

genuke eta beraz, eredua KTZEn bitartez estimatu beharko litzateke. 

(E) H > 9,49 bada %5eko esangura mailarekin, perturbazioak autokoerlatuak daudela ondorioztatuko 

genuke eta beraz, eredua KTZEn bitartez estimatu beharko litzateke. 

44. Izan bedi hurrengo eredu dinamikoa Yt = β1 +β2Xt +β3Yt−1 +ut non Xt ez estokastikoa den, 

ut = ρut−1 +εt eta ε ∼ (0,σ 2 ε I). Seinala ezazu hurrengo baieztapenetatik zein den zuzena: 

(A) dena gezurrezkoa. 

(B) E(Yt−1ut) = 0 denez, egokiena Yt−1 = α1 +α2Xt−1 +α3Yt−2 +ǫt eredua KTAn bitartez 

estimatzea da eta ˆ Yt−1 erabili Yt−1ren ordezko aldagaitzat eredua Ordezko Aldagaien bitartez 

estimatzerakoan. 

(C) E(Yt−1ut) = 0 denez, eredua Ordezko Aldagaien bitartez estimatzerakoan, Yt−2 ordezko 

aldagai egokia daYt−1 aldagaiarentzat. 

(D) E(Yt−1ut) = 0 denez, eredua Ordezko Aldagaien bitartez estimatzerakoan, Xt−1 ordezko 

aldagai egokia daYt−1 aldagaiarentzat. 

(E)E(Yt−1ut) = 0 denez, KTAko estimatzaileak tinkoak dira. 


Yt = β1 + β2Xt + β3Yt−1 + ut ereduan non Xt ez estokastikoa den, lehen ordenako autokoerlazioarentzat 

Breusch-Godfreyren kontrastea burutu da eta ondorioa hipotesi hutsa baztertzea izan 

da %5eko esangura mailarekin. 

45. Xt−1 aldagaia erabilizYt−1 aldagaiaren ordezko aldagaitzat eta eredua Ordezko Aldagaien bitartez 

estimatuz, lortuko genituzkeen estimatzaileak 

(A) tinkoak eta asintotikoki efizienteak lirateke. 

(B) tinkoak eta asintotikoki ez efizienteak lirateke. 

(C) ez tinkoak eta asintotikoki efizienteak lirateke. 

(D) ez tinkoak eta asintotikoki ez efizienteak lirateke. 


46. Parametroetan murrizketa linealak kontrastatzeko, seinala ezazu hurrengo bost banaketa asintotikoetatik, 

oinarritzat zein aukeratuko zenukeen baliagarriak diren estatistikoak eraikitzeko: 

(A) √ T( βKTA −β) b → N(0,σ 2 A −1 ) non plim ( 1 

T X′ X) −1 = A −1 den. 

113

(B) √ T( βOA−β) b → N(0,σ2Q−1 zxQzz(Q−1 Qzz. 

(C) √ T( ˜ βKTZE − β) 

T t=3 ûOA 

t ûOA 

t−1 T erabiliz lortzen den. 

)2 

t=3 (ûOA 

t−1 

(D) √ T( ˜ βKTZE − β) 

T zx ) ′ ) non plim( 1 

T Z′ X) = Qzx den eta plim( 1 

T Z′ Z) = 

b 

→ N(0,σ 2 Q −1 ) non plim ( 1 

T X′ˆ Ω −1 X) −1 = Q −1 den eta ˆ Ω, ˆρ = 

b 

→ N(0,σ2Q−1 ) non plim ( 1 

TX′ˆ Ω−1X) −1 = Q−1 den eta Ω, ˆ ˆρ = 

t=3 ûKTA 

t ûKTA t−1 T t=3 (ûKTA 

t−1 )2 erabiliz lortzen den. 

(E) √ T( ˜ βKTZ −β) b → N(0,σ 2 B −1 ) non plim ( 1 

T X′ Ω −1 X) −1 = B −1 den. 

47. Izan bedi Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +ut erdua non ut ∼ ibb(0,σ 2 u) den eta X3t, ut aldagaiarekin 

denbora berean koerlatutako aldagai estokastikoa den. Izan bedi Zt, X3t aldagaiaren ordezko 

aldagai egokia. Hurrengo lagin informazioa izanik: 

(Z ′ X) −1 = 1 

2734 

(Z ′ Z) −1 = 1 

3014 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎤ 

4245 

−347 

−649 

−790 −497 

⎥ 

100 11 ⎦ ; (X 

124 123 

′ X) −1 = 1 

4939 

⎢ 

⎣ −924 

2552 

−649 

−924 −649 

⎥ 

208 124 ⎦ ; 

124 123 

⎤ 

3797 −363 −497 

⎥ 

−363 99 11 ⎦ ; 

−497 11 123 

5t=1 Yt = 10 5 t=1YtX2t = 63 5 t=1Zt = 15 

5t=1 YtZt = 33 5 t=1X 2 3t = 68 5 t=1X3tYt = −14 

Zein daβ3ren Ordezko Aldagaien estimazioa? 

(A)−0,156 (B) 2,108 (C)−0,146 (D)−0,072 (E) 1,968 

48. Ikertzaile batek bi industrietako produkzio funtzioen arteko erlazioa ikertu nahi du. Horietako bat, 

A, zerbitzu sektorekoa da eta bestea,B, lehen mailako sektorekoa. Horretarako ondorengo sistema 

planteatu du 

P A t = β A 1 +β A 2 L A t +u A t (8) 

P B t = β B 1 +β B 2 L B t +β B 3 K B t +u B t (9) 

nont = 1,...,T den.P A etaP B industri bakoitzeko urteko produkzioak dira,LA etaLB industri 

bakoitzeko langile kopuruak etaKB ,B industriko kapital finkoa da (aldagai guztiak logaritmoetan 

adieraziak daude). uA t ∼ NIB(0,σ 2 A ) eta uBt ∼ NIB(0,σ 2 B ) beraien artean independenteak 

direla suposatzen da. Kontsidera itzazu ondorengo baterako bi ereduak: 

⎡ ⎤ 

eta 

 

u A 

u B 

 

 

P A 

P B 

 

 

P A 

P B 

= 

 

 

= 

l L A 0 0 0 

0 0 l L B K B 

 

l 0 L A 0 

0 l L B K B 

⎡ 

 

⎢ 

⎣ 

⎢ 

⎣ 

β A 1 

β B 1 

β2 

β B 3 

βA 1 

βA 2 

βB 1 

βB 2 

βB 3 

⎡ 

⎥ 

⎥ + 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦ + 

 

ren bariantza eta kobariantza matrizearen estimatzailea: 

Σ = 

 

ˆσ 2 AI 0 

0 ˆσ 2 BI 

u A 

u B 

u A 

u B 

; ˆσ 2 A = ûA′ ûA , ˆσ 

T −KA 

2 B = ûB′ ûB T −KB 

114 

 

 

⎤ 

(10) 

(11) 

(12)

û A , (8) ekuazioa KTAn bitartez estimatuz lortzen diren hondarrak direlarik etaû B , ordea (9) ekuaziokoak. 

B industrian eskala konstanteko errendimenduak kontrastatu nahi badira (βB 2 + βB 3 = 1) R matrizea 

eta r bektorea zuzen adieraziz, zein eredutan, zein estimatzaile eta zein estatistiko erabiliko 

zenuke? 

(A) (10) eredua, KTZEn estimatzailea Σren estimatzailetzat (12) erabiliz eta hurrengo estatistikoa: 

(R˜ β −r) ′ [R(X ′ Σ−1X) −1R ′ ] −1 (R˜ β −r) b,H0 

→ N(0, 1) 

(B) (11) eredua, KTZEn estimatzailea (12) erabiliz eta hurrengo estatistikoa: 

(R˜ β −r) ′ [R(X ′ Σ−1X) −1R ′ ] −1 (R˜ β −r) b,H0 

→ χ2 (1) 

(C) (11) eredua, KTAko estimatzailea eta hurrengo estatistikoa: 

(R ˆ β−r) ′ [R(X ′ X) −1 R ′ ] −1 (R ˆ β−r) 

û ′ û/(T−K) 

H0 

∼ F(1,2T−K) 

(D) (9) eredua (bigarren ekuazioa bakarrik), KTAko estimatzailea eta hurrengo estatistikoa: 


(R ˆ β B −r) ′ [R(X ′ B XB) −1 R ′ ] −1 (R ˆ β B −r) 

û B′ û B /(T−KB) 

H0 

∼ F(1,T−KB) 

49. A eta B herrialdeen kontsumo eta errentaren arteko erlazioa honakoa da: 

K A t = β A Y A 

t +u A t t = 1,...,40 u A t ∼ NIB(0,σ 2 u) 

K B t = β B Y B 

t +u B t t = 1,...,40 u B t ∼ NIB(0,σ 2 u) 

u A eta u B elkarrekiko independenteak dira. Bi herrialdetako datu guztiak erabiliz Kt = βYt +ut 

eredua KTAn bitartez estimatu da ûM,t = Kt − ˆ βYt hondarrak lortuz eta t = 1,...,80 izanik. 

H0 : β A = β B hipotesi hutsa kontrastatu nahi bada, hurrengo estatistikoa erabili daiteke (eta 

banaketa): 

(A) 

ˆβ A − ˆ β B 

(û ′A û A +û ′B û B )/(80−2) 

(B) (û′ M û M −û′A û A −û ′B û B )/2 

(û ′A û A +û ′B û B )/(80−2) 

(C) (û′ M û M −û′A û A −û ′B û B ) 

(û ′A û A +û ′B û B )/(80−2) 

(D) (û′ M û M −û′A û A −û ′B û B )/2 

û ′ M û M /(80−2) 

(E) 

ˆβ A − ˆ β B 

û ′ M û M /(80−2) 

H0 

∼ t(80−1) 

H0 

∼ t(80−2) 

H0 

∼ F(2,78) 

H0 

∼ F(1,78) 

H0 

∼ F(2,78) 

50. A eta B enpresen salmenten eta mozkinen arteko erlazioa hau da: 

B A t = α A +β A V A 

t +u A t t = 1,...,50 u A t ∼ ibb(0,σ 2 A ) 

B B t = α B +β B V B 

t +u B t t = 1,...,100 u B t ∼ ibb(0,σ 2 B ) 

u A eta u B independenteak dira,σ 2 A = σ2 B eta ˆ β = 

H0 : α A = α B , β A = β B hipotesia kontrastatu nahi da eta 

R = 

 

1 0 −1 0 

0 1 0 −1 

 

; r = 

115 

 

 

ˆα A ˆ β A ˆα B ˆ β B ′ 

KTAko estimatzailea da. 

0 

0 

 

; 

ˆ Σ = 

 

ˆσ 2 A I50 0 

0 ˆσ 2 B I100

definitzen dira non 

ˆσ 2 A = û′ AûA 50−2 , ˆσ2 B = û′ BûB 100−2 , eta ˆσ2 = û′ AûA +û′ BûB 150−4 

diren. H0 hipotesiaren menpean, esan ezazu zein den aukera zuzena. 

(A) (R ˆ β −r) ′ [R (X ′ X) −1 X ′ˆ ΣX(X ′ X) −1 R ′ ] −1 (R ˆ β −r)/2 ∼ F2,146 

(B) (R ˆ β −r) ′ [R ˆσ 2 (X ′ X) −1 R ′ ] −1 (R ˆ β −r) b → χ 2 2 

(C) (R ˆ β −r) ′ [R ˆσ 2 (X ′ X) −1 R ′ ] −1 (R ˆ β −r)/2 ∼ F2,146 

(D) Eredu honetan ezin daitezke kontrasterik egin KTAko estimatzailearekin. 

(E) (R ˆ β −r) ′ [R (X ′ X) −1 X ′ˆ ΣX(X ′ X) −1 R ′ ] −1 (R ˆ β −r) b → χ 2 2 

116

GALDEKETA EAZL-2003 (Irai-2003) 

1. [Opari-galdera] Zein da Espainiako hiriburua? 

(A) Paris (B) Madrid (C) Bagdad (D) Sebastopol (E) Edimburgo 

2. θ parametro baten ˆ θT estimatzailea tinkoa dela esaten da baldin eta: 

(A) plim ( ˆ θT) = 0. 

(B) θra probabilitatean konbergitzen badu. 

(C) θra banaketan konbergitzen badu, horrela inferentzia asintotikoa egin dezakegularik. 

(D) bariantza asintotikoa zero badu. 

(E) asintotikoki alboragabea bada eta bariantza minimoa badu. 

3. Mann eta Walden teorema aplikatzeko hurrengo baldintzak BEHARREZKOAK dira: 

(A) X estokastikoa etaE(u 2 t) = σ 2 u ∀t. 

(B) X finkoa etaE(utus) = 0 ∀t = s. 

(C) X estokastikoa etaE(utus) = 0 ∀t = s. 

(D) X finkoa eta ut ibb 

∼(0,σ 2 u). 

(E) plim 1 

T X′ X = Q, finitoa eta ez singularra, eta E(ut) = 0 ∀t. 

4. Mann eta Walden teoremaren baldintzak betetzen badira, hurrengo emaitzak izango ditugu: 

(A) E(Xitut) = 0 eta plim X′ X 

T 

(B) plim X′ u 

√ T = 0 eta X ′ u 

T 

(C) plim X′ u 

T = 0 eta X ′ u 

√ T 

(D) plim X′ u 

T = 0 eta X ′ u 

√ T 

(E)AT zT b → Az 

= Q < ∞ 

b 

→ N 0,σ 2 uQ −1 

b 

→ N 0,σ 2 uQ −1 

b 

→ N 0,σ2 uQ 

5. Izan bedi Yt = α + βXt + ut eredua, non oinarrizko hipotesiak beteten diren eta perturbazioak 

EZ duen banaketa normalik jarraitzen. Eredua KTAn bitartez estimatu ondoren eta ˆσ 2 u lortu ondoren, 

aldagai azaltzailearen esanguratasuna kontrastatuko dugu hurrengo estatistiko eta dagokion 

banaketarekin: 

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

ˆβ 

des( ˆ H0 

∼ N(0, 1) 

β) 

ˆβ 

des( ˆ H0 

∼ tT−K 

β) 

ˆβ 

des( ˆ b,H0 

→ N(0, 1) 

β) 

ˆβ 

bar( ˆ H0 

∼ χ2 β) 

1 

117

(E) 

ˆβ 

bar( ˆ b,H0 

→ N(0, 1) 

β) 


Izan bedi hurrengo ereduaYt = βXt+ut, non oinarrizko hipotesi denak betetzen diren. Ondorengo 

estimatzailea definitzen dugu: 

β ⋆ = ˆ βKTA + 1 

T C 

non C konstante finitoa den (ez dagoT laginaren tamainuaren menpean). 

6. Orduan,β ⋆ estimatzailea: 

(A) alboratua da lagin finitoetan eta alboratua asintotikoki. 

(B) alboragabea da lagin finitoetan eta alboratua asintotikoki. 

(C) alboratua da lagin finitoetan baina alboragabea asintotikoki. 

(D) alboragabea da lagin finitoetan eta asintotikoki alboragabea. 


7. Esan ezazu hurrengo baieztapenetatik zein den egiazkoa: 

(A) ˆ βKTA tinkoa da baina β ⋆ ez tinkoa da. 

(B) ˆ βKTA ez tinkoa da baina β ⋆ tinkoa da. 

(C) ˆ βKTA eta β ⋆ ez tinkoak dira. 

(D) ˆ βKTA etaβ ⋆ tinkoak dira. 


Hurrengo adierazburua 8tik 10rarteko galderei dagokie: 

Yt = βXt +ut t = 1, 2, 3 ereduko hurrengo datuak izanik: 

Yt Xt 

1 0 

1 1 

2 2 

Bar(u) = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

4 0 4 

0 4 0 

4 0 8 

⎤ 

⎥ 

⎦ Bar(u) −1 = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

0, 5 0 −0, 25 

0 0, 25 0 

−0, 25 0 0, 25 

8. Y ⋆ 

t = βX ⋆ t +u ⋆ t t = 1, 2, 3 ereduan, nonu ⋆ t esferikoak diren, zein da Kob(u ⋆ 1 ,u⋆ 3 )? 

(A) 4 (B) 0,25 (C) 1 (D) 0 (E) -0,25 

9. Zein daβren KTZ estimazioa? 

(A) 1 (B) 0,6 (C) 1,667 (D) 4 (E) 0,15 

10. Zein daβren KTZ estimatzailearen bariantza? 

(A) ˜σ2 

1,25 

(B) ˜σ2 

0,75 (C) 1 

0,75 

(D) ˜σ2 

3−1 (E) 1 

1,25 


Izan bediYt = β1 +β2X2t +β3X3t +β4X4t +ut t = 1,...,T eredua, nonX2t,X3t etaX4t 

erregresore ez estokastikoak diren etau ∼ N(0, Σ), non Σ ezaguna den. 

118 

⎤ 

⎥ 

⎦

11. KTZ bitartez estimatzeko hurrengoa egin dezakegu: 

1. ˜ β = (X ′ Σ −1 X) −1 (X ′ Σ −1 Y ) 

2. P −1 Y = P −1 Xβ +P −1 u eredua KTAn bitartez estimatu non PP ′ = Σ den. 

(A) Bi estimazio metodoak desberdinak dira. 

(B) Bi metodoak estimatzaile berdinaren bi adierazpen dira. 

(C) Lehenengo metodoarekin bigarren metodoarekin baino bariantza txikiagoko estimatzaileak lor 

ditzakegu. 

(D) Bi estimazio metodoak berdinak dira baldin eta soilik baldin Σ = I bada. 


12. H0 : Rβ = r hipotesia kontrastatzeko hurrengo estatistikoa eta banaketa erabili behar dira: 

(A) (R˜ β −r) ′ [R(X ′ X) −1R ′ ] −1 (R˜ β −r) H0 

∼ Fq,T−K 

(B) (R˜ β −r) ′ [R(X ′ Σ−1X) −1R ′ ] −1 (R˜ β −r) H0 

∼ χ2 q 

(C) (R˜ β −r) ′ [R(X ′ Σ−1X) −1R ′ ] −1 (R˜ β −r) H0 

∼ Fq,T−K 

(D) (R˜ β −r) ′ [R(X ′ Σ−1X) −1R ′ ](R˜ β −r) b,H0 

−→ χ2 q 


13. Izan bediY = Xβ +u, erregresio lineal eredu orokor bat, nonE(uu ′ ) = σ 2 Ω eta Ω ezaguna den. 

Seinala ezazu hurrengo baieztapenetatik zein den zuzena: (û = ûKTA) 

(A) β KTAn bitartez estima daiteke baina ˆσ 2 = û′ û 

T−k 

alboratua eta ez tinkoa da. 

(B) β KTAn bitartez estima daiteke eta Ω ezaguna denez, ˆσ 2 = û′ Ω −1 û 

T−k alboragabea da. 

(C) ezin daiteke β KTAn bitartez estimatu nahiz eta ˆσ 2 = û′ û 

T−k 

(D) ezin daiteke β KTAn bitartez estimatu ˆσ 2 = û′ û 

T−k 



Hurrengo ereduan: 


tinkoa izan. 

bariantza ez baita minimoa. 

t = 1,...,T 

non X2t,X3t erregresore ez estokastikoak diren, X2t > 0 ∀t eta ut ∼ N(0,σ2X 2 2t ) non σ2 

ezezaguna den. 

14. Zein da Karratu Txikienen ponderatuak lortzeko erizpidea? 

Tt=1 (A) Minˆ β ( Yt 

X2t − ˆ β1 1 

X2t − ˆ β2 − ˆ β3 X3t 

X2t )2 

Tt=1 (B) Minˆ β 

(YtX2t − ˆ β1X2t − ˆ β2X2 2t − ˆ β3X3tX2t) 2 

Tt=1 (C) Minˆ β (Yt − ˆ β1 − ˆ β2X2 2t − ˆ β3X3t) 2 

119

Tt=1 (D) Minˆ β (Yt − ˆ β1 − ˆ β2X2t − ˆ β3X3t) 2 

(E) Minˆ β 

Tt=1 ( Yt 

X2 − 

2t 

ˆ β1 1 

X2 − 

2t 

ˆ β2 X2t 

X2 2t 

− ˆ β3 X3t 

X2 ) 

2t 

2 

15. H0 : β2 +β3 = 0 hipotesiaHa : β2 +β3 = 0 hipotesiaren aurka kontrastatzeko, karratu txikienen 

ponderatuak, ˆ β , erabiltzen ditugu eta hurrengo estatistikoa: 

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E) 

ˆβ2+ ˆ β3 

desb( ˆ β2)+desb( ˆ H0 

∼ t(T−3) 

β3) 

ˆβ2+ ˆ β3 

desb( ˆ β2)+desb( ˆ β3)+2Kob( ˆ β2, ˆ H0 

∼ t(T−3) 

β3) 

ˆβ2+ ˆ β3 

desb( ˆ β2)+desb( ˆ H0 

∼ N(0, 1) 

β3) 

ˆβ2+ ˆ β3 

desb( ˆ β2)+desb( ˆ β3)+2Kob( ˆ β2, ˆ H0 

∼ N(0, 1) 

β3) 

ˆβ2+ ˆ β3 

bar( ˆ β2)+bar( ˆ β3)+2Kob( ˆ β2, ˆ H0 

∼ t(T−3) 

β3) 

16. Izan bedi Yi = β1 +β2X2i +β3X3i +ui i = 1,...,N eredua non X2i eta X3i erregresore ez 

estokastikoak diren, ui ∼ (0,σ 2 (X2i +X3i)) eta ui,uj independenteak diren∀i = j. Orduan: 

(A) perturbazioaren bariantzaX2i etaX3iren menpean dagoenez, E(X2iui) = 0 eta E(X3iui) = 

0. 

(B) perturbazioak ez esferikoak ditugunez eta Ω ezaguna denez, eredua KTZn bitartez estimatuko 

genuke, estimatzaile lineal, alboragabea, bariantza minimoduna eta tinkoa lortuz. 

(C) perturbazioak ez esferikoak ditugunez eta Ω ezezaguna denez, eredua KTZEn bitartez estimatuko 

genuke, estimatzaile tinkoa lortuz. 

(D) perturbazioak esferikoak ditugunez,β bektorea KTAn bitartez estimatuko genuke, estimatzaile 

lineal, alboragabea, bariantza minimoduna eta tinkoa lortuz. 

(E) ez dugu perturbazioaren bariantzaren egitura zehatza ezagutzen eta orduan, β bektorea KTAn 

bitartez estimatuko genuke eta gero Whiten hurbilketa erabiliz, bere bariantza eta kobariantza matrizea 

estimatuko genuke. 

17. Izan bedi Yi = α + βXi + γZi + ui i = 1,...,100 eredua. KTAn bitartez estimatu da eta 

ondorengo emaitzak lortu dira: 

ˆYi = 3 + 2, 8Xi + 1, 3Zi HKB = 1, 23 R 2 = 0, 92 (1) 

Gainera, hurrengo erregresio laguntzailea KTAn bitartez estimatu da: 

û 2 i 

ˆσ 2 u 

= 0, 22 + 0, 30Xi + 0, 18Zi + ˆωi HKB = 1, 35 R 2 = 0, 80 (2) 

Nola kontrastatuko zenuke Xi etaZi aldagaiek sortutako heterozedastizitatearen, 

σ 2 i = h(α0 +α1Xi +α2Zi), existentzia (1) ekuazioan emandako ereduan? 

 

H0 : α1 = α2 = 0 

(A) 

HA : berdintasunen bat ez da betetzen 

BP = 2, 7 < χ2 (2)0,05 = 5, 99 =⇒ homozedastizitatearen hipotesi hutsa ez da baztertzen α = 

%5arekin 

120

H0 : α1 = α2 = 0 

(B) 


BP = 3, 375 < χ2 (2)0,05 = 5, 99 =⇒ homozedastizitatearen hipotesi hutsa ez da baztertzen 

α = %5arekin 

 

H0 : α0 = α1 = α2 = 0 

(C) 


BP = 2, 7 < χ2 (3)0,05 = 7, 81 =⇒ homozedastizitatearen hipotesi hutsa ez da baztertzen α = 

%5arekin 

 

H0 : α1 = α2 

(D) 

HA : α1 = α2 

BP = 80 > χ2 (2)0,05 = 5, 99 =⇒ homozedastizitatearen hipotesi hutsa baztertzen da α = 

%5arekin 

 

H0 : α1 = α2 = 0 

(E) 


BP = 0, 675 < χ2 (2)0,05 = 5, 99 =⇒ homozedastizitatearen hipotesi hutsa ez da baztertzen 

α = %5arekin 


Izan bediYt = α+βXt +ut, t = 1,...,T , ut = 0, 7ut−1 +εt eredua, nonεt ibb 

∼ (0, 0,5) den. 

18. Orduan Bar(ut−2): 

(A) 0,5 (B) 0,98 (C) 0,25 (D) 0,34 (E) 0,74 

19. Hurrengo eraldatutako ereduetako zein perturbazioek ez dute autokoerlaziorik? 

(A) Yt + 0, 7Yt−1 = 0, 3α +β(Xt + 0, 7Xt−1) +vt 

(B) Yt − 0, 7Yt−1 = 0, 3α +β(Xt − 0, 7Xt−1) +vt 

(C) Yt + 0, 7Yt−1 = 1, 7α +β(Xt + 0, 7Xt−1) +vt 

(D) Yt − 0, 7Yt−1 = 1, 7α +β(Xt − 0, 7Xt−1) +vt 

(E)Yt − 0, 7Yt−1 = 0, 7α +β(Xt − 0, 7Xt−1) +vt 

t = 2,...,T 

t = 2,...,T 

t = 2,...,T 

t = 2,...,T 

t = 2,...,T 

20. Izan bediYt = β1 +β2X2t +...+β6X6t +ut t = 1,...,60 eredua. Baldin eta 

T 

t=2 ûtût−1 

T 

t=2 û2 t−1 

0, 31 bada, Durbin eta Watsonen estatistikoaren gutxi gora beherako balioa eta DW kontrastearen 

ondorioa honakoak dira hurrenez hurren (α = %5): 

(A) 1,81 eta autokoerlaziorik ez dagoela ondorioztatzen da. 

(B) 1,81 eta kontrastea ez da erabakiorra. 

(C) 1,38 eta autokoerlazioa dagoela ondorioztatzen da. 

(D) 1,38 eta kontrastea ez da erabakiorra. 


121 

=

21. Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut t = 1,...,T ereduan, 2. ordenako autokoerlazioaren presentzia 

kontrastatu nahi da Breusch-Godfreyren kontrastea erabiliz. Kontrasteko estatistikoan parte 

hartzen duenR 2 mugatze koefizientea, hurrengo zein erregresiotik lortzen da? 

(A) ût = γ0 +γ1ût−1 +γ2ût−2 +ǫt 

(B) ût = γ0 +γ1ût−1 +γ2X2t +γ3X3t +ǫt 

(C) ût = γ1ût−1 +γ2ût−2 +γ3X2t +γ4X3t +ǫt 

(D) ût = γ0 +γ1ût−1 +γ2ût−2 +γ3X2t +γ4X3t +ǫt 

(E)ût = γ0 +γ1ût−1 +γ2ût−2 +γ3û 2 t−1 +γ4û 2 t−2 +ǫt 

22. Izan bedi ut = ρut−2 +εt 

εt ibb 

∼ (0,σ2 ε) |ρ| < 1. Orduan: 

(A)E(ut ut−4) = 0 (B) E(ut ut−2) = 0 (C)E(ut εt−4) = 0 

23. Izan bedi ut = εt + 0, 6εt−1 

hartzen du: 

(D)E(ut ut−1) = 0 (E)E(ut εt−2) = 0 

εt ibb 

∼ (0,σ2 ε = 1). Orduan Bar(ut) bariantzak hurrengo balioa 

(A) 1,60 (B) 1,36 (C) 1,56 (D) 0,64 (E) 0,36 

24. Izan bediYt = β1 +β2Xt +ut eredua nonut = 0, 6ut−1 +ǫt ǫt ∼ NIB(0,σ 2 ǫ). Hurrengo lagin 

informazioa izanik: ⎡ ⎤ 

1 3 

⎢ 1 4 ⎥ 

⎢ ⎥ 

X = ⎢ 1 1 ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎣ 1 2 ⎦ 

⎡ ⎤ 

1 

⎢ 3 ⎥ 

⎢ ⎥ 

Y = ⎢ 2 ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎣ 3 ⎦ 

1 3 4 

Koefizienteen KTZn estimazioa lortzeko, eredua eraldatzen da eta KTAn bitartez estimatzen da. 

, ondorengoak dira: 

P −1 Y matrizearen lehen bi elementuak, hau da Y ⋆ 

1 

eta Y ⋆ 

2 

(A) 0, 8 eta 0, 4 (B) 0, 8 eta 2, 4 (C) 1 eta 3 

(D) 2, 4 eta 0, 2 (E) 2, 4 eta 2, 2 

25. Izan bedi ELEO bat non ut = 0, 6ut−1 +ǫt, ǫt ibb 

∼ (0,σ 2 ǫ), t = 1, 2,...,6 . Orduan: 

⎡ 

(A) E(uu ′ ) = σ2 ⎢ 

u ⎢ 

⎣ 

⎡ 

(B) E(uu ′ ) = σ2 ⎢ 

u ⎢ 

⎣ 

1 0, 6 0, 6 2 0, 6 3 0, 6 4 0, 6 5 

1 0, 6 0, 6 2 0, 6 3 0, 6 4 

. 

1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

1 0, 6 0, 6 2 0, 6 3 0, 6 4 0, 6 5 0, 6 6 

1 0, 6 0, 6 2 0, 6 3 0, 6 4 0, 6 5 

122 

. 

1 

⎤ 

⎥ 

⎦

⎡ 

(C) E(uu ′ ) = σ2 ⎢ 

ǫ ⎢ 

⎣ 

⎡ 

(D) E(uu ′ ) = σ2 ⎢ 

ǫ ⎢ 

⎣ 


1 0, 6 0, 6 2 0, 6 3 0, 6 4 0, 6 5 

1 0, 6 0, 6 2 0, 6 3 0, 6 4 

. 

1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

1 0, 6 0, 6 2 0, 6 3 0, 6 4 0, 6 5 0, 6 6 

1 0, 6 0, 6 2 0, 6 3 0, 6 4 0, 6 5 

26. Izan bedi hurrengo eredua Yt = β1 +β2Xt +ut t = 1,...,T, eta ut ∼ NIB(0,σ 2 u). Ez dugu 

Xt-ri buruzko daturik, horregatik erroreaz neurtuta dagoen hurrengo aldagaia erabiltzen dugu: 


ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ). Orduan: 

(A) neurketa erroreak aldagai ekonomikoetan ez dira existitzen, aldagaiei buruzko datu zehatzak 

baititugu beti. 

(B) neurketa erroreak aldagai azaltzailean autokoerlazioa sortarazten du ereduko perturbazioan. 

(C) ezagutzen dugun aldagaia ,X ∗ t , iaXt aldagai originala da eta beraz, ez digu arazorik sortarazten. 

(D) aldagai azaltzailean dugun neurketa erroreak heterozedastizitatea sortarazten du ereduko perturbazioan. 


27. Izan bedi hurrengo eredua: 

. 

1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

Yt = α +βXt +ut non ut ∼ ibb(0,σ 2 u) 

Xt behagarria ez den aldagaia bada, non behagarria den aldagaia daukagun X ⋆ t = Xt +vt, Xt 

finkoa, vt ∼ ibb(0,σ 2 v) etaKob(us,vt) = 0,∀t,s izanik: 

(A) plim ˆαKTA = α + βσ2 v 

σ2 x +σ2 plim 

v 

¯ X⋆ (B) plim ˆαKTA = βσ2 v 

σ2 x +σ2 plim 

v 

¯ X⋆ (C) plim ˆαKTA = α + β(σ2 x +σ2 v ) 

σ 2 x 

(D) plim ˆαKTA = β(σ2 x +σ2 v ) 

σ 2 x 

(E) plim ˆαKTA = α 

plim ¯ X ⋆ 

plim ¯ X ⋆ 

28. Hurrengo eredua daukagu Yt = β1 +β2Xt +β3Zt +ut non ELOEren oinarrizko hipotesi guztiak 

betetzen diren. Xt aldagai ez-behagarria da baina hurrengo aldagaia behatzen dugu: X ∗ t = Xt + 

ǫt ǫt ibb 

∼ (0,σ 2 ǫ). Xt,ut eta ǫt edozein momentuan koerlatu gabeko aldagaiak dira. Estimagarria 

den eredua hurrengoa dugu:Yt = β1 +β2X ∗ t +β3Zt +vt. Orduan: 

(A) E(X ∗ tvt) = 0 denez, KTA estimatzaileak ez tinkoak dira. 

123

(B) E(Ztvt) = 0 denez, KTA estimatzaileak ez tinkoak dira. 

(C) E(X ∗ tvt) = 0 denez, KTA estimatzaileak tinkoak dira. 

(D) E(Ztvt) = 0 denez, KTA estimatzaileak tinkoak dira. 

(E)vt perturbazio ez esferikoak direnez, KTZE estimatzaileak tinkoak dira. 

29 eta 30 galderak hurrengo adierazburuari dagokie: 

Izan bedi hurrengo eredua, Yt = β1 +β2Xt +ut, non ut = 0, 3ut−1 +ǫt, ǫt ibb 

∼ (0, 4) eta Xt ez 

den behagarria. Hurrengo aldagaiari buruzko behaketak ditugu: X ∗ t = Xt +wt nonwt ibb 

∼ (0,σ 2 w) 

eta gainera wt eta ǫt independenteak diren. Horrela, estimagarria den eredua hurrengoa da: Yt = 

β1 +β2X ∗ t +vt. 

29. Orduan,E(v 2 t ) izango da: 

(A) σ 2 ǫ +β 2 2 σ2 w 

(B) σ 2 u +β2σ 2 w 

(C) σ 2 u +β 2 2 σ2 w 

(D) σ 2 ǫ +β 2 2 σ2 w − 2β2Kob(ut,wt), nonKob(ut,wt) = 0 

(E)σ 2 ǫ +β 2 2 σ2 w + 2β2Kob(ut,wt), non Kob(ut,wt) = 0 

30. E(vtvt−2) izango da: 

(A) 1,30 (B) 0,51 (C) Ez dago datu nahikorik lortzeko. (D) 0,39 (E) 1,71 


Izan bedi ondorengo eredua,Yt = β +γXt +δZt +ut t = 1,...,360.X aldagaia estokastikoa 

eta Z aldagaia ez-estokastikoa da. 

31. Ereduko perturbazioan lehen ordenako autokoerlazioa dagoelaren susmoa daukagu. Zehaz ezazu 

hurrengo baieztapenetatik zein den egiazkoa: 

(A) Bai Durbin-Watsonen kontrastea, eta baita Breusch-Godfrey-ren kontrastea burutu ditzakegu, 

biak baliagarriak baitira. 

(B) Durbin-Watsonen kontrastea burutuko genuke baina OAko hondarrak erabiliz, KTAko hondarrak 

ez tinkoak izango liratekeelako. 

(C) Breusch-Godfrey-ren kontrastea ezin izango genuke aplikatu, p ordenako autokoerlazioa kontrastatzeko 

bakarrik balio du eta. 

(D) Lehendabizi Hausmanen kontrastea egin beharko genuke, honen emaitzaren arabera erabakiko 

baitugu autokoerlazioa dagoen ala ez. 

(E) Ereduaren ezaugarrien arabera, Breusch-Godfrey-ren kontratea burutuko genuke. 

124

32. E(Xtut) = 0 bada, KTAko estimatzaileek hurrengoa betetzen dute: 

(A) ˆ β, ˆγ eta ˆ δ ez tinkoak dira. 

(B) ˆ β, ˆγ eta ˆ δ tinkoak dira. 

(C) ˆγ ez tinkoa da eta ˆ β eta ˆ δ tinkoak dira. 

(D) ˆγ tinkoa da eta ˆ β eta ˆ δ ez tinkoak dira. 

(E) ˆ β tinkoa da eta ˆγ eta ˆ δ ez tinkoak dira. 

33tik 35erako galderak hurrengo adierazburuari dagokie: 

Ondorengo ereduanY = Xβ+u X estokastikoa da,u ∼ N(0,σ 2 I) etaX etauindependenteak 

dira. 

33. Zein da Bar( ˆ βKTA)ren espresioa? 

 

(X ′ X) −1X ′ ΩX(X ′ X) −1 

(A)σ 2 Ex 

(B)σ 2 (X ′ X) −1 (C) σ 2 (X ′ X) −1 X ′ ΩX(X ′ X) −1 

(D) σ 2 Ex(X ′ X) −1 (E) ˆσ 2 (X ′ X) −1 

34. Zein da aldagai azaltzaile baten banakako esanguratasun kontrastea egiteko estatistikoaren banaketa 

lagin finituetan ( ˆ βi zati bere desbidazio tipiko estimatua),H0pean?: 

(A) normala. (B) Studenten t. (C) Snedecoren F . 

(D) ezezaguna. (E)χ 2 . 

35. Zein da aldagai azaltzaile baten banakako esanguratasun kontrastea egiteko estatistikoaren banaketa 

asintotikoa ( ˆ βi zati bere desbidazio tipiko estimatua), H0pean?: 

(A) ezezaguna. (B) normala. (C) dena gezurrezkoa. 

(D)χ 2 . (E) SnedecorenF . 


Izan bedi Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +β4X4t +ut 

ut ∼ ibb(0,σ 2 u) X3t,X4t aldagai finkoak dira 

X2t = 0, 5X2t−1 +vt vt ∼ ibb(0,σ 2 v) ∀t 

36. E(X2tut) izango da: 

E(utvs) = 

 

5 t = s ∀t,s 

0 t = s 

t = 1,...,T eredua, non: 

(A) 0, 5 (B) 5, 5 (C) 0 (D) 5 (E) 1 

37. Suposa ezazu X2trentzat ordezko aldagai egokia existitzen dela. Orduan: 

(A) KTA estimatzailea lineala, alboragabea eta tinkoa da. 

(B) KTA estimatzailea ez lineala, orokorki alboratua eta ez tinkoa da. 

125

(C) OA estimatzailea lineala, alboragabea eta tinkoa da. 

(D) OA estimatzailea ez lineala, orokorki alboratua eta ez tinkoa da. 


38tik 40rako galderak hurrengo adierazburuari dagokie: 

Hurrengo ereduan, Vt = βPt + ut t = 1,...,100 ut ∼ ibb(0, 1) non Vt, produktu baten 

salmentak diren eta Pt bere prezioa, Pt eta utren arteko independentzia kontrastatu nahi dugu. 

Aldagai aleatorio hauei buruzko eta ordezko aldagai posible bati (St) buruzko lagin informazioa 

daukagu, hau, biltegian dauden izakinak delarik, non E(Stut) = 0 den. Daukagun lagin informazioa 

hurrengoa da: 

StVt = 2, 75 PtSt = 0, 6 PtVt = 1, 78 

S 2 t = 1, 76 P 2 t = 0, 5 ptst = 0, 564 

s 2 t = 1, 7276 p 2 t = 0, 46 stvt = 3 

non st = St − ¯ S; vt = Vt − ¯ V ; pt = Pt − ¯ P 

38. E(Ptut) = 0 bada. OA estimatzailea erabiltzerakoan, St aldagaia, Ptrentzat ordezko aldagai egokia 

al da? (erabil itzazu gutxienez 4 hamartar) 

(A) Bai, koerlatuak daudelako eta bere koerlazioa 0,6 baita 

(B) Bai, koerlatuak daudelako eta bere koerlazioa 0,632 baita 

(C) Bai, koerlatuak daudelako eta bere koerlazioa 0,649 baita 

(D) Ez, koerlatu gabeak direlako 

(E) Bai, koerlatuak daudelako eta bere koerlazioa 0,7097 baita 

39. OA bidezko βren estimazioa hurrengoa da: 

(A) 0,218 (B) 0,188 (C) 3,560 (D) 0,341 (E) 4,583 

40. Hausmanen estatistikoaren balioa hurrengoa da: 

(A) H = 1, 78 (B) H = 0, 94 (C) H = 1, 28 (D)H = 0, 36 (E)H = 0, 75 

41. Izan bedi Yt = β1 + β2Xt + β3Wt + ut ut ∼ NIB(0,σ 2 u), non Wt = γWt−1 + ǫt ǫt ∼ 

NIB(0,σ 2 ǫ) etaXt ez estokastikoa den. ˆ βKTA tinkoa da baldin eta: 

(A) Wt−1 etaut koerlatu gabeak badira. 

(B) Wt etaǫt independenteak badira. 

(C) Xt eta ut koerlatu gabeak badira. 

(D) ǫt etaut independenteak badira. 


126

42. Ondorengo ereduan Yt = β1 + β2Yt−1 + ut t = 2,...,T , non ut = ǫt + θǫt−1 den, ordezko 

aldagai bezela aldagai endogenoaren bigarren atzerapena erabiliz, OA bidez estimatzen dugu. OA 

estimatzailearen adierazpena hurrengoa izango da: 

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E) 

 

 

 

 

T − 1 

T2 Yt−2 

T − 2 

T3 Yt−1 

 

T2 Yt−1 

T2 Yt−2Yt−1 

T3 Yt−2 


T − 1 T 2 Yt−1 

T2 Y 2 

t−1 

T2 Yt−1 

T − 2 

T3 Yt−2 

T − 2 

T3 Yt−2 

T3 Yt−1 


T3 Yt−1 


−1 T2 Yt 

T2 Yt−2Yt 

−1 T3 Yt 

T3 Yt−2Yt 

−1 T2 Yt 

T2 Yt−1Yt 

 

−1 T3 Yt 

T3 Yt−2Yt 

−1 T3 Yt 

T3 Yt−1Yt 

43. Ondorengo ereduan:Yt = β1 +β2Yt−1 +ut, KTA estimatzaileak: 

(A) beti ez tinkoak dira. 

(B) beti tinkoak dira. 

(C) tinkoak dira perturbazioetan autokoerlaziorik ez badago. 

(D) tinkoak dira perturbazioetan autokoerlazioa badago. 


44. Izan bedi ondorengo eredua: Yt = β1 +β2Xt +β3Yt−2 +ut 

(A) ut ∼ MA(2) bada, orduan ˆ βKTA estimatzaile tinkoa da. 

(B) ut ∼ MA(1) bada, orduan ˆ βKTA estimatzaile tinkoa da. 

(C) ut ∼ AR(2) bada, orduan ˆ βKTA estimatzaile tinkoa da. 

(D) ut ∼ AR(1) bada, orduan ˆ βKTA estimatzaile tinkoa da. 

 

 

 

 

t = 1,...,100. 

(E) KTA estimatzailea beti ez tinkoa da, ut-k edozein prozesua jarraitzen badu ere. 

45. uA eta uB denbora momentu berdinean koerlatuak daude baldin eta E(uAtuBs) =: 

(A) 0 ∀t = s eta 1 ∀t = s (B)σAB ∀t = s (C) 0 ∀t = s 

(D) σAB ∀t = s eta 0 ∀t = s (E) 0 ∀t = s eta σAB ∀t = s 

127

46. Izan bedi ondorengo ekuazio sistema: 

Y A 

t = α A +β A X A t +u A t t = 1,...,50 u A t ∼ NIB(0, 3) 

Y B 

t = α B +β B X B t +u B t t = 1,...,50 u B t ∼ NIB(0, 5X B t ) 

nonu A etau B independenteak diren. Izan bedi ˆ β = 

û B KTAko hondarren bektoreak dira, 

eta hurrengo matrizeak: 

ΩB = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

X B 1 

ˆσ 2 A = û′ A ûA 

50−2 

. .. 

0 

0 X B 50 

⎞ 

⎟ 

⎠ Σ1 = 

ˆΣ3 = 

ˆσ 2 B = û′ B ûB 

50−2 

 

 

 

ˆα A ˆ β A ˆα B ˆ β B ′ 

KTA estimatzailea eta û A , 

3I 0 

0 5ΩB 

ˆσ 2 AI ˆσABI 

ˆσABI ˆσ 2 BI ˆσAB = û′ A ûB 

50 

 

 

ˆΣ2 = 

Ondorengo baterako ereduaren zein estimatzailek dauka propietate hobeagoak? 

(A) KTZE, ˆ Σ3 matrizearekin. 

(B) KTZE, ˆ Σ2 matrizearekin. 

(C) KTZE, Σ1 matrizearekin. 

(D) KTZ, ˆ Σ2 matrizearekin. 

(E) KTZ, Σ1 matrizearekin. 

47. Izan bedi hurrengo ekuazio sistema: 

YAt = αA +γAXAt +uAt uA ∼ NIB(0,σ 2 A IT) 

YBt = αB +γBXBt +uBt uB ∼ NIB(0,σ 2 B IT) 

 

ˆσ 2 AI 0 

0 ˆσ 2 BI non uA eta uB independenteak diren. XA eta XB aldagaiak ez estokastikoak dira. Izan bitez on- 

dorengo matrizeak: 

 

F = 

l XA 0 0 

0 0 l XB 

 

G = 

 

l XA 

l XB 

 

H = 

 

l XA 0 

0 XB l 

non l batekoen zutabea den. Baldin eta γA = γB murrizketa egiazkoa dela badakigu, asintotikoki 

efizienteak diren estimatzaileak lortzeko, murriztutako ereduarenX matrizea eta erabili beharreko 

estimazio metodoa hurrengoak dira: 

(A) F eta KTA. (B) H eta KTA. (C) H eta KTZE. (D) F eta OA. (E)Geta KTZE. 

48. Izan bedi ondorengo ekuazio sistema: 

 

Y1 = X1β1 +u1 

Y2 = X2β2 +u2 

T1 behaketekin 

T2 behaketekin 

nonBar(u1t) = σ2 1Zt,Zt ezagunarekin, E(u1tu1s) = 0 ∀t = s, E(u1u ′ 2 ) = 0 eta E(u2u ′ 2 

σ2 2 

) = 

I. Linealak, alboragabeak eta bariantza minimodun estimatzaileak hurrengo moduan lortzen 

dira: 

128

(A) lehen ekuazioa KTZ bidez estimatuz eta bigarrena KTA bidez. 

(B) batera estimatuz KTZE bidez. 

(C) ekuazio bakoitza bere aldetik estimatuz KTA bidez. 

(D) batera estimatuz KTA bidez. 

(E) ekuazio bakoitza bere aldetik estimatuz KTZE bidez. 

49. Y aldagai baten KTAko erregresioa egin da bi aldagai azaltzaileekiko. û hondarrak, ˆ Y rekiko 

adierazterakoan, 

hurrengo grafikoa lortzen da: 

û 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

-1 

× 

× 

× 

× × 

× × 

× 

× × × × 

× × × 

× 

× 

× × 

× 

× × 

× × × 

× 

× × × 

× × 

× 

× 

× ×× × 

× 

× × × 

× 

× × × 

× × 

× × × 

× 

× 

× × × 

× × 

× 

× × × × × × 

× 

× × 

× 

× × 

× 

× 

× 

× × × × 

× × 

× × 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

× × 

× 

× 

× × 

× 

× 

× 

× 

× 

× × 

× 

× × × 

× 

× × × × 

× 

× 

× 

× × 

× 

× 

×× 

× × × × 

× × × 

× 

× × × × 

× 

× × 

× 

× 

× × × × 

× 

× 

× 

×× 

× × 

× 

× 

× × × × 

× × × 

× × 

× 

× 

× × 

× × × 

× × 

× 

× 

× × 

× × × 

× 

× × × × × 

× × 

× 

× 

3.9 4 4.1 4.2 

ˆY 

4.3 4.4 4.5 

Ze susma daiteke grafiko honen arabera? 

(A) Zehazpen errorea dagoela. 

(B) Perturbazioetan autokoerlazioa dagoela. 

(C) Perturbazioetan heterozedastizitatea dagoela. 

(D) Perturbazioek ELOEren oinarrizko hipotesi guztiak betetzen dituztela. 


50. Y aldagai baten KTAko erregresioa burutu da, konstante batekiko eta tendentzia lineal determinista 

batekiko, Yt = α + βt + ut t = 1,...,T . û hondarrak denborarekiko adierazterakoan, 

hurrengo grafikoa lortzen da: 

129 

×

û 

4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

1950 1955 1960 1965 1970 

Tiempo 

1975 1980 1985 1990 

Ze susma daiteke grafiko honen arabera? 

(A) Perturbazioek ELOEren oinarrizko hipotesi guztiak betetzen dituztela. 

(B) Perturbazioetan heterozedastizitatea dagoela. 

(C) Perturbazioetan autokoerlazioa dagoela. 

(D) Erregresore estokastiko bat dagoela. 


130

ARIKETA EAZL-2004.1 (Ekaina-2004) 

Europako 50 eskualdetako datuekin ondorengo eredua estimatu da: 

Yi = β1 +β2Xi +β3Zi +β4Z 2 i +ui i = 1, 2,...,50 (1) 

nonYi,ieskualdeko gasolina kontsumoa den,Xi matrikulatutako auto kopurua etaZi, gasolinaren zergatasa 

den. 

KTA bitartez estimatuz lortutako emaitza honakoa da: 

ˆYi = 2990,73 

(1342,50) 

+ 0,18 

(0,01) 

Xi − 552,62 

(260,68) 

Zi + 24,57Z 

(12,16) 

2 i 

Parentesi artean: Whiten estimatzailearekin estimatutako desbiderazio tipikoak 

a) Kontrasta ezazu zerga-tasaren eragina gasolina kontsumoan koadratikoa ez delaren hipotesia. Zehaztu 

ezazu 12,16 zenbakia lortzeko erabilitako formula. 

b) Perturbazioaren bariantza auto kopuruaren eta zerga-tasaren menpekoa delaren susmoa dago. Azal 

ezazu pausoz pauso, nola burutuko zenukeen dagokion kontrastea. Egin ezazu kontrastea, estatistikoaren 

balioa 60,20 dela suposatuz. 

c) Aurreko ataleko kontrasteak susmoa baieztatu du. Kasu honetan, KTA estimatzailearen ordez, hobe 

izango litzateke KTZ Eginkorren estimatzailea erabiltzea lehenengo ataleko kontrastea egiteko? 

Zergatik? Arrazona ezazu zure erantzuna KTZE estimatzailearen propietateen arabera. 


Banketxe batek bertako ikerketa zerbitzuari Nazio Produktu Gordina (NPG) eta diru eskaintzaren (M), 

ez estokastikoa, arteko erlazioa ikertzeko eskatu dio. Aldagaiak logaritmoetan neurturik daude, 1970eko 

lehen hiruhiletik 2003ko bigarren hiruhilerarte, biak barne. Ikerketa zerbitzuak hurrengo eredua KTA 

bitartez estimatzea proposatu du: 

KTA estimazioaren emaitzak hauek dira: 

 

NPGt 

(desb) 

NPGt = β0 +β1Mt +β2Mt−1 +ut 

= 0,00078 

(0,00218) 

+ 0,5320 

(0,2053) 

Mt + 0,4368Mt−1 

(0,2074) 

R 2 = 0,9371 DW = 0,2911 HKB = 0,08476 

Ikerketa zerbitzuak honakoa ondorioztatu du: 

“Doikuntza ona da, %93 baino handiagoa, eta aldagai exogenoak nabariak dira %5eko esangura mailarentzat. 

Eredua, posible den modu efizienteenean estimatu da”. 

a) Aurreko hiru ondorioak kontuan izanik, bakoitza arrazoizkoa deritzozu? Arrazona ezazu zure 

erantzuna erabilitako estimatzailearen propietateak aipatuz. 

b) Ikerketa zerbitzuaren ondorioekin bat ez bazaude, proposa ezazu beste estimazio metodo alternatiboren 

bat eta deskriba ezazu. 

131 

(2)


a) Plantea ezazu terminu independentea eta aldagai azaltzaile bakarreko eredu batT tamainuko lagin 

batentzat. Zehaztu ezazu perturbazio esferikoen baldintza. 

b) Suposa ezazu aldagai azaltzaile horren behaketarik ez duzula, baina bai ordea bere hurbilekoa 

kontsidera daiteken beste batenak. Egite hau formalki idatz ezazu eta konproba itzazu KTAko estimatzailearen 

propietateengain dituen ondorioak. Idatz itzazu esplizituki zure emaitzak frogatzeko 

beharrezkoak deritzozun balizko guztiak. 

c) Behaketarik ez duzun aldagaia endogenoa izango balitz ordea, KTAko estimatzailaren propietateei 

buruzko ondorio berdinetara helduko al zinateke? 


Herrialde bateko kontsumoa ikertzeko hurrengo eredua zehaztu da: 

Yt = β0 +β1X1t +β2X2t +ut , t = 1, 2,..., 100 

non Yt, X1t eta X2t aldagaiek kontsumoaren gehikuntza tasa, interes tipoa eta t denborako inflazioa 

adierazten duten hurrenez hurren. Bestalde, ut ∼ ibb(0,σ 2 ) eta X1t ez estokastikoa suposatzen da eta 

inflazioa berriz, kontsumo eskaerarekin zehazten denez, estokastikoa. Besteak beste, ez estokastikoa 

kontsideratzen den produkzio kosteen gehikuntza tasaren, Pt, informazioa daukagu. 

Eredua KTA bitartez estimatu da ondorengo emaitzak lortuz: 

ˆYt = 0,046−0,021X1t − 0,055X2t 

a) Noiz izango da (4) ekuazioko estimatzailea ez tinkoa? 

Hurrengo lagin informazioa izanik, 

(X ′ X) −1 ⎛ 

0,010 

⎜ 

= ⎝ 0,012 

0,012 

0,011 

⎞ 

0,000 

⎟ 

-0,033 ⎠ (Z 

0,000 -0,033 0,022 

′ X) −1 ⎛ 

0,011 

⎜ 

= ⎝ -0,034 

0,000 

-0,012 

⎞ 

0,003 

⎟ 

0,000 ⎠ 

-0,023 0,000 -0,032 

(Z ′ X) −1 Z ′ Z[(Z ′ X) −1 ] ′ = 

Z ′ Z = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

100 -14 -16 

-14 95 -15 

-16 -15 155 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

0,012 -0,033 -0,033 

-0,033 0,118 0,051 

-0,033 0,051 0,188 

⎞ 

⎟ 

⎠ Z ′ Y = 

⎟ 

⎠ (X ′ Z) −1 Z ′ Z[(X ′ Z) −1 ] ′ = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1,0 

3,0 

1,8 

⎞ 

⎟ 

⎠ X ′ Y = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

0,012 -0,030 0,059 

0,002 0,008 -0,010 

-0,006 -0,033 0,142 

b) Estima ezazu eredua Ordezko Aldagaien metodoaren bitartez, Z matrizea instrumento matrizea 

delarik. Idatz ezazuZ matrizea eta erabiltzen den instrumentoa, bere hautaketaren arrazoiak argudiatuz. 

Zeintzuk dira estimatzaile honen propietateak? 

c) Gainera, û2 t,OA = 2,037 balitz, nola kontrastatu dezakezu KTA estimatzailea tinkoa dela? Azaldu 

eta burutu ezazu kontrastea. Emaitza kontuan izanik, zein estimazio metodo aukeratuko zenuke? 

Zergatik? 

132 

(3) 

1,0 

3,0 

2,0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠

ARIKETA EAZL-2004.5 (Iraila-2004) 

Izan bedi arropa kontsumoa (Ci) eta sarreren (Ri) arteko erlazio lineala: 

Ci = α +βRi +ui 

i = 1,...,N 

non, perturbazioaren bariantza gizonezko eta emakumezkoentzat desberdina izan daitekelaren susmoa 

dugun. 

a) Aurreko erlazioa estimatu da KTA bidez, 50 gizonezko lagin batentzat, HKBren balioa 136,28 

lortuz. Estatistiko bera lortu dugu 50 emakumezkoen laginarentzat, 18,34 balioaz. Deskriba eta 

azal ezazu Goldfeld eta Quandt-en kontrastea, enuntziatuaren susmoa kontrastatzeko. 

b) Kontrastearen emaitza kontutan izanik, deskriba ezazu nola estimatuko zenituzken ereduaren parametroak, 

propietate onak izan ditzaten. Aipa itzazu. 

c) Arropa kontsumoa eta sarreren arteko erlazioko parametroak, gizonezko eta emakumezkoen artean 

desberdinak direlaren susmoa badaukagu. Nola estimatuko zenituzke parametro hauek? Zehaz ezazu 

estimatuko zenuken eredua eta estimazio metodoa, zure erantzuna arrazonatuz. 


Izan bedi ondorengo eredua: Yt = β1 +β2Xt +β3Yt−1 +ut t = 1,...,T (1) 

nonXt erregresore ez estokastikoa den. Eredua KTA bidez estimatu da, hurrengoa lortuz: 

ˆYt = 17,86 + 0,27Xt − 0,79Yt−1 t = 2,...,51 

Hurrengo taulanYt,Xt etaût,KTA aldagaien lehen 8 behaketak jasotzen dira. 

t Yt Xt ût,KTA 

1 8,5 11 

2 8,9 13 

3 16 14 

4 7,8 14,9 

5 16,4 15,1 0,625 

6 7,9 18 -1,864 

7 18 18,8 1,304 

8 8 19,1 -0,797 

. 

. 

. 

. 

a) Aurreko taulan emandako behaketak erabiliz, lor itzazu falta diren KTAko hondarrak. Azter ezazu 

grafikoki lehen ordenako autokoerlazioaren existentzia perturbazioetan. Azal ezazu zehaztasunez 

nola kontrastatuko zenuke formalki hipotesi hau. 

b) Aurreko ataleko hipotesi hutsa baztertzearen kasuan, eta perturbazioek AR(1) jarraitzen dutela 

suposatuz, hau da,ut = ρut−1 +ǫt ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ), froga itzazu (1) erlazioko parametroen KTA 

estimatzailearen propietateak. 

133

Hurrengo lagin informazioa daukagu: 

51 51 51 t=2Xt = 3323, 4 t=2Yt = 1022 t=2Yt−1 = 998, 5 

51 t=2XtYt = 77268, 38 51 51 t=2YtYt−1 = 14146, 83 t=2XtYt−1 = 75652, 8 

51 t=2 (Xt) 2 = 281168, 2 51 t=2XtXt−1 = 272614, 67 51 t=2 (Yt−1) 2 = 31068, 07 

51 51 t=2Xt−1 = 3205, 4 t=2Xt−1Yt−1 = 73233, 88 51 t=2Xt−1Yt = 74499, 05 

(X ′ X) −1 ⎛ 

0,103060 

⎜ 

= ⎝ -0,000948 

-0,000948 

0,000019 

⎞ 

-0,001003 

⎟ 

-0,000015 ⎠ 

-0,001003 -0,000015 0,000103 

(Z ′ X) −1 = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

-0,233 0,203 -0,207 

-0,0062 0,0032 -0,0032 

0,033 -0,021 0,021 

⎞ 

⎟ 

⎠ (X ′ Z) −1 = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

-0,233 -0,0062 0,033 

0,203 0,0032 -0,021 

-0,207 -0,0032 0,021 

c) Z ordezko aldagaien matrizea bada, estima ezazu eredua Ordezko Aldagaien bidez non Xt−1, 

Yt−1en ordezko aldagaia den. Arrazona itzazu estimatzaile horren propietateak. 

d) Uste duzu aurreko estimazioarekin autokoerlazio arazoa konpondu dela? Arrazona ezazu zure 

erantzuna. 

Gainera, hurrengo informazioa daukagu baita ere: 

 

û2 

t−1,KTA = 3353, 54 X∗ 

t = 4627, 25 X∗ tY ∗ 

t−1 = 148191, 84 

 

ût,KTAût−1,KTA = 1331, 60 Y ∗ 

t = 1421, 21 X∗ tY ∗ 

t = 151394, 54 

 

û2 

t−1,OA = 477634, 63 Y ∗ 

t−1 = 1388, 42 Y ∗ 

t Y ∗ 

t−1 = 41014, 33 

 

ût,OAût−1,OA = −196899, 12 (X∗ t ) 2 = 550599, 31 (Y ∗ 

t−1 )2 = 46920, 97 

nonY ∗ 

t = Yt− ˆρYt−1, X ∗ t = Xt− ˆρXt−1, Y ∗ 

t−1 = Yt−1− ˆρYt−2 eta ˆρ lehen ordenako 

autoerregresibo prozeduraren parametroaren estimatzaile tinko bat den. 

e) Zein daρparametroaren estimazio tinkoa, goiko espresioetan, Y ∗ 

t ,X ∗ t etaY ∗ 

t−1 lortzeko? 

f) Aurreko informazioarekin, baliteke (1) erlazioaren parametroak estimatu ahal izatea, OA estimatzailearen 

propietateak hobetuz? Deskriba ezazu proposatzen duzun metodoa eta ordezka itzazu 

aurreko batukariak, dagokion estimatzailearen formulan. (Ez duzu estimazioak kalkulatu behar.) 

g) Nola kontrastatuko zenuke H0 : β2 = 1 hipotesi hutsa? Zehaz itzazu kontrastean parte hartzen 

duten elementu guztiak. 


1950 urtetik eta 1985 urte bitarteko EEBBetako kontsumoaren (Ct) eta errentaren (Rt) urteroko datuak 

ditugu. Kontsumora esleitzen den errentaren proportzioa ikertzeko 

Ct = α +βRt +ut eredua zehazten da, nonut perturbazioek banaketa normala jarraitzen duten. Eredua 

KTAn bitartez estimatuz ondorengo emaitzak lortu dira: 

Ct = 11, 374 

(1,181) 

+ 0, 898 Rt 

(153,603) 

134 

⎞ 

⎟ 

⎠

T = 36 ¯ R 2 = 0, 998 û 2 t = 12044, 2 

(parentesi arteant-estatistikoak) 

a) Denboran zehar perturbazioen sakabanatzea konstante mantendu dela analizatzeko hurrengo bi 

erregresioak burutu dira: 

 

Ct 

2 

= 6, 719 + 0, 909Rt ût = 405, 369 t = 1950,..., 1963 

 

Ct 

2 

= −187, 162 + 0, 99Rt ût = 3709, 55 t = 1972,..., 1985 

Erabili itzazu emaitza hauek ea ereduko perturbazioek sakabanatzea konstante mantentzen duten 

kontrastatzeko. Azal ezazu zehazki kontrastearen pauso guztiak. 

b) Era berean, perturbazioen sakabanatzea Rt aldagaiaren funtzio bat izatea posible dela kontrastatu 

nahi da. Erabili ezazu ondorengo erregresio laguntzailetako bat kontraste hori egiteko. Azal itzazu 

zehatz mehatz egindako kontrasteko elementu guztiak. 

(1) 

û 2 t 

334, 561 = 1, 345 + 0, 345Rt + 0, 581Ct + ˆwt; R 2 = 0, 890; û 2 t = 4, 515 

(2) ût = 7, 205 + 0, 014Rt + 0, 546ût−1 + ˆwt; R 2 = 0, 329; û 2 t = 19, 455 

(3) û 2 t = −3, 305 + 0, 953Rt + ˆwt; R 2 = 0, 129; û 2 t = 9, 315 

(4) 

û 2 t 

334, 561 = −1, 272 + 0, 001Rt + ˆwt; R 2 = 0, 189; û 2 t = 94, 651 

c) Hartutako lagineko urteetan errentak joera gorakorra izan duela eta aurreko bi ataletako emaitzak 

kontsideratuz, marraz ezazu KTA hondarrekRtkiko izango duen esperotako portaera jasotzen duen 

grafiko bat. 

d) Bar(ut) = σ 2 R 4 t dela suposatuz, azal ezazu zehazki nola estimatuko zenituzkeen era hoberenean 

eredukoαeta β parametroak. Arrazona ezazu proposatutako estimatzailearen propietateak. 

e) Suposa ezazu orain Bar(ut) = γ0 + γ1Rt dela, non γ0 eta γ1 konstante ezezagunak diren. Azal 

ezazu xeheki nola kontrastatuko zenukeen errenta dolar batean handitzen denean 90 zentimo kontsumora 

esleitzen delaren hipotesia. 


Hurrengo eredua 100 behaketez osaturiko lagin batekin estimatu da KTAn bitartez, non X1t eta X2t 

aldagai ez estokastikoak diren: 

Yt = 3, 25 + 0, 086 X1t + 0, 402 X2t T = 100 (1) 

(0,96) (0,027) (0,009) 

DW = 2, 05 R 2 = 0, 950 û 2 t = 635, 2 

(parentesi artean desbiderazio estimatuak) 

a) Kontrasta ezazu X2t aldagaiaren esanguratasuna ereduko perturbazioek banaketa normala jarraitzen 

dutela suposatuz. Kontuan izan erregresioan emandako informazio guztia. 

135

Datu berdinekin beste eredu baten estimazioa lortu da: 

Yt = 3, 82 + 0, 088 X1t + 0, 403 X2t − 0, 032 Yt−1 T = 99 (2) 

(1,04) (0,027) (0,010) (0,023) 

DW = 1, 98 R 2 = 0, 951 û 2 t = 621, 4 

(parentesi artean desbiderazio estimatuak) 

Aldi berean, (1) ereduari elkartutako erregresio laguntzaileak lortu dira: 

ût = 0, 0005 + 0, 01ût−1 + ˆwt; R 2 = 0, 00005; KTB = 621, 4 (3) 

ût = 0, 011 + 0, 008ût−1 + 0, 0000006X1t − 0, 00009X2t − 0, 0003Yt−1 + ˆvt (4) 

R 2 = 0, 00006; KTB = 621, 4 (5) 

b) Kontrasta ezazu berriro X2t aldagaiaren esanguratasuna ereduko perturbazioek banaketa normala 

jarraitzen dutela suposatuz. Erabili ezazu erregresio laguntzaileetako informazioa kontrastearen 

fidagarritasuna azaltzeko. 

c) Ba al dago desberdintasunik A eta B ataletan egindako kontrasteetan? Horrela bada, azal ezazu 

zehazki. 

d) Zein eredu aukeratuko zenuke lan egiteko? Azal ezazu zergatia. 


Argitaletxe bateko nagusiak liburuen salmentak azaltzea proposatu du ondorengo ereduaren bitartez: 

Vt = β1 +β2Pt +β3Gt +β4Vt−1 +ut t = 1992 : 1,...,2001 : 4 (6) 

nonVt salmentak diren,Pt, liburuen batezbesteko prezioa etaGt, publizitatean egindako gastuak. Gainera, 

Pt eta Gt aldagaiak ez estokastikoak kontsideratzen dira. Eredua KTAn bitartez estimatuz hurrengoa 

lortu da: 

ˆVt = 259, 42 

(44,64) 

− 2, 14 

(0,40) 

Pt + 0, 097 

(0,005) 

Gt + 0, 091Vt−1 

(0,04) 

R 2 = 0, 9366 DW = 1, 8998 HKB = 9608, 8056 

Bere semeak aurreko eredua KTAn bitartez estimatzea ez dela egokiena pentsatzen du. Horregatik jarraiako 

erregresio laguntzailea egitea erabaki du 

ˆVt−1 = 313, 53−2, 09Pt−1 + 0, 10Gt−1 

eta bertatik lortzen diren emaitzak erabili (6) eredua estimatzeko Ordezko Aldagaien metodoaren bitartez. 

Estimazio honen emaitza honakoa da: 

ˆVt = 260, 54 

(45,21) 

− 2, 15 

(0,40) 

Pt + 0, 097 

(0,005) 

Gt + 0, 086Vt−1 

(0,05) 

R 2 = 0, 9354 DW = 1, 7101 HKB = 9790, 8944 

136 

(7) 

(8) 

(9)

a) Azal ezazu zergatik erabili den (8) erregresio laguntzailea, (9) ereduko Ordezko Aldagaien estimatzaileak 

lortzeko. Idatz itzazu eredu honentzat Ordezko Aldagaien estimatzailearen eta bere 

bariantz eta kobariantz matrizearen estimatzailearen adierazpenak, erabilitako matrize bakoitza 

zehaztuz. 

b) Egin ezazu Hausmanen kontrastea eta lortutako emaitzan oinarrituz, erabaki ezazu aitak erabilitako 

estimazio metodoa baliogarria den. Arrazona ezazu erantzuna. 

c) Aurreko ataleko emaitza izanik, ereduko perturbazioek oinarrizko hipotesiak betetzen dituzten edo 

ez komenta dezakezu? Arrazona ezazu zure erantzuna. 


Citroen eta Renault enpresen ondorengo aldagaien urteko 20 behaketako lagin bat izanik (i = C enpresa 

Citroen bada etai = R Renault bada), 

Iit = i enpresaren inbertsio gordina 

Fit = i enpresaren merkatuko balioa aurreko urte bukaeran 

Cit = i enpresaren kapital stocka aurreko urte bukaeran 

Ondorengo erlazioak proposatzen dira: 

 

ICt = α1 +β1FCt +γ1CCt +uCt 

IRt = α2 +β2FRt +γ2CRt +uRt 

uCt ∼ibb (0,σ2 ) 

uRt ∼ibb (0,σ2 ) 

a) Bi ereduetako perturbazioak edozein momentutan koerlatugabeak direla uste bada, nola estimatuko 

zenituzke bi ereduetako parametroak? Idatz itzazu zehatz mehatz estimatu beharreko eredua, 

proposatutako estimatzailea eta bere propietateak. 

b) Nola kontrastatuko zenuke zehaztutako inbertsio gordinaren egitura berdina dela Citroen eta Renault 

enpresetan? 


Hurrengo erregresio eredua proposatzen da, hiri baten jatetxeen publizitate gastuen, Xi, eragina aztertzeko 

sarrerengan,Yi. 

(10) 

Yi = α +βXi +ui ui ∼ NIB(0,σ 2 u) (1) 

166 jatetxeen lagin batetik, jatetxeak taldekatuta dauzkagu dauden auzoaren arabera, hauei buruzko sarreren 

batezbestekoa (mila eurotan) eta hileko batezbesteko publizitate gastuei (ehundako eurotan) buruzko 

datuak dauzkagu. 

137

Auzoa 1 2 3 4 5 6 7 

Y j 10 12 14 18 17 18 20 

Xj 3 5 9 12 15 17 19 

nj 9 4 36 16 81 4 16 

non Xj = 1 

nj i∈Bj Xi, Y j = 1 

nj i∈Bj Yi eta nj auzo bakoitzeko jatetxe kopurua den Bj, j = 

1, 2,...,7. 

Gainera, hurrengo informazioa daukagu: 

7 7 7 

√ √ √ 

njXj = 366; njY j = 479; njX 

j=1 j=1 j=1 

2 

7 √ 

j = 5186; njY 

j=1 

2 

7 √ 

j = 7909; njXjY j = 6257 

j=1 

7 7 7 

Xj Y j X 

= 8, 21; = 11, 59; 

nj nj 

j=1 j=1 j=1 

2 7 

j Y 

= 116, 09; 

nj j=1 

2 7 

j XjY j 

= 182, 37; = 138, 73 

nj nj j=1 

7 7 7 

njXj = 2150; njY j = 2699; njX 

j=1 j=1 j=1 

2 

7 

j = 30558; njY 

j=1 

2 

7 

j = 44821; njXjY j = 36461 

j=1 

a) Batezbestekoei buruzko datuak bakarrik daukazunez, ze ereduan estima ditzakezu α eta β parametroak? 

Zehaz itzazu eredu honen perturbazioaren propietateak. 

b) Estima itzazu efizienteki ereduaren parametroak eta deskriba ezazu zehazki erabilitako estimatzailea 

eta bere propietateak. 

c) Kontrasta ezazu publizitate gastuak sarrerengan eragin marginal positiboa duen ala ez. 

d) Kalkuluak egin barik, nola estimatuko zenuke 1 atalean proposatu duzun eredua, jatorrizko (1) ereduaren 

perturbazioaren bariantza igoko balitz publizitate gastuekin hurrengo moduan: Bar(ui) = 

σ 2 uXi? 


Ikertzaile bat, Euskal AEko urteko batezbesteko Industri Produkzio Indizea (Xt) eta Industri Sektorearen 

Balio Erantsiaren (Yt) arteko erlazioa aztertzen ari da. Horretarako, bi aldagaiei buruzko datuak ditu 

azken 30 urtetan eta bi ekuazioetako hurrengo eredua proposatzen du: 

Y1t = α1 +β1X1t +u1t u1t ∼ ibb(0,σ 2 u) t = 1975,..., 1985 (2) 

Y2t = α2 +β2X2t +u2t u2t ∼ ibb(0,σ 2 u) t = 1986,..., 2004 (3) 

nonu1 etau2 independenteak diren. 

a) 1986 urtean, Espainia Europar Ekonomia Batasunan sartu zela kontutan hartuz, komenta ezazu 

laburki zergatik ikertzaileak bi ekuazio zehaztu ditu bat zehaztu beharrean. Idatz ezazu eredua 

era matrizialean eta dagokion perturbazioen bariantza kobariantza matrizea. Proposa ezazu eredua 

estimatzeko estimatzailerik efizienteena, σ 2 u barne. 

b) Suposa ezazu X eta Y -ren arteko erlazioa ez dela aldatu azken 30 urtetan. Idatz ezazu matrizialki 

eredua eta proposa ezazu ereduko parametroen estimatzaile efizienteena, σ 2 u barne. 

138



nonX2 eta X3 aldagai ez estokastikoak diren. 

Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +ut t = 1,...,100 (4) 

Eredua KTA bidez estimatu da hurrengo erregresio funtzioa lortuz: 

ˆYt = 0, 79 

(t-estatistikoa) (0,15) 

+ 12, 56 

(10,58) 

X2t − 12, 43X3t 

(-8,35) 

R 2 = 0, 75 DW = 0, 3 (5) 

a) Buru ezazu kontraste bat, perturbazioetan lehen ordenako prozedura autoerregresiboa dagoen ala 

ez detektatzeko, pausu guztiak zehaztasunez azalduz. 

b) Deskriba ezazu Breusch eta Godfrey-ren kontrastea, perturbazioetan lehen ordenako prozedura 

autoerregresiboa dagoen ala ez detektatzeko. 

c) ut ∼ AR(1) bada, proposa ezazu ereduko parametroen estimatzaile asintotikoki efizientea bat eta 

X3-rentzat baliagarria den esanguratasun kontraste bat. 


BBVA-ko akzioen hegazkortasunak (X1t) bere errendimenduarengan (Yt) eragina duen ala ez aztertu 

nahi da. Horretarako hurrengo eredua proposatzen da: 


t = 1, 2,..., 100 

non ut ∼ ibb(0,σ 2 ) eta X2t urte baterako tesoroko letren interes tipoa den. Ikertzaile batek eredua KTA 

bidez estimatzen du hurrengo emaitza lortuz: 

hurrengoa dugularik 

ˆYt = 0, 7−0, 3X1t − 0, 1X2t 

⎛ 

Bar( ˆ β) = ˆσ 2 (X ′ X) −1 ⎜ 

= 0, 17⎝ 

0, 31 0, 12 −0, 15 

0, 12 0, 31 0, 07 

−0, 15 0, 07 0, 13 

a) Kontrasta ezazu hegazkortasunak BBVA-ko akzioen errendimenduarengan eragina duen ala ez. 

b) Beste ikertzaile batek pentsatzen du, nahiz etaX2t ez estokastikoa izan, hegazkortasuna eta errendimendua 

zehazten duten faktoreak berdinak direla eta, beraz,ut etaX1t koerlatuak egongo direla. 

Ze ondorio ekarriko luke honek (4) ekuazioan egindako ereduko KTAko estimazioarengan? 

139 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(6)

c) Bigarren ikertzaile honek eredua OA bidez estimatzea erabakitzen du, ordezko aldagai bezala 

Ibex35-ren hegazkortasuna erabiliz, hurrengo emaitzak lortuz: 

hurrengoa dugularik 

ˆYt = 1, 3−0, 7X1t − 0, 2X2t 

⎛ 

Bar( ˆ ⎜ 

βVI) = 0, 21⎝ 

0, 41 0, 23 −0, 25 

0, 23 0, 33 0, 09 

−0, 25 0, 09 0, 16 

Azal ezazu zehaztasunez nola lortu diren β0, β1 eta β2-ren estimazioak eta komenta itzazu estimatzaile 

hauen propietateak. Ze baldintzak bete behar ditu Ibex35-ren hegazkortasunak ordezko 

aldagai egokia izan dadin? 

d) Azal ezazu nola lortu den Bar( ˆ βOA). 

e) Kontrasta ezazu, OA bidez lortutako emaitzetan oinarrituz, hegazkortasunak BBVA-ko akzioen 

errendimenduarengan eragina duen ala ez. 

f) Buru ezazu kontrasteren bat, esimatu eta kontrastatzeko orduan, bi ikertzaileen artean zeinek jokatzen 

duen modu egokian frogatzeko. Azal ezazu zehaztasunez zure konklusioak. 


San Diegoko etxebizitzen prezioa mila dolarretan (Yi), etxebizitzaren azaleraren (Ai) oin karratuetan eta 

gela kopuruaren (Hi) menpean aztertzeko, 1990 urtean jasotako 14 etxebizitzez osaturiko lagina izanik, 

ondorengo erregresio lineal eredu orokorra zehaztu da: 

Yi = β1 +β2Ai +β3Hi +ui 

Eredua KTA bitartez estimatzean hurrengo emaitzak lortu dira: 

ˆYi = 146,730 

( desb) (89,564) 

+ 0,138Ai 

− 25,957 

(0,024) 

Baita erregresio laguntzaile hauek ere: 

eta ondoko grafikoak: 

(27,527) 

i = 1,...,14. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Hi R 2 = 0,7749 HKB = 21000,44 

û 2 i 

1500,03 = −2,106 + 0,002Ai + ˆωi R 2 = 0,3727 HKB = 19,294 

û 2 i 

21000,44 = −0,150 + 0,001Ai + ˆωi R 2 = 0,3727 HKB = 0,098 

140 

(7)

Prezioa 

0 100 300 500 

x xx 

x 

x xx x 

x 

0 500 1500 2500 

a) Interpreta ezazu ˆ β2. 

Azalera 

x 

x 

x x 

−50 0 50 

x xx 

x 

x 

x x 

x 

x x 

1000 1500 2000 2500 3000 

Azalera 

b) Ba al duzu perturbazioaren hipotesiren bat betetzen ez delaren lagin ebidentziarik? Erregresio 

laguntzaileetako informazioan eta grafikoetan oinarrituz erantzun ezazu. 

c) Zer esan dezakezu aurkeztutako estimatutako desbiderazioen fidagarritasunari buruz? 

d) Demagun Bar(ui) = σ 2 Ai dela eta eredua KTZ bitartez estimatuz lortutako estimazioak honakoak 

direla: 

ˆYi 

(estat.t) 

Azal ezazu zehazki nola lortu den ˜ βKTZ. 

KTA−ko Hondarrak 

= 104,029 + 0,141Ai 

− 15,625 

(1,414) 

(6,000) 

(−0,634) 

e) Etxebizitzaren azalera aldagai azaltzailea esanguratsua al da? Eta gela kopurua? Burutu itzazu 

kontrasteak, elementu guztiak zehaztuz. (Demagun: ui ∼ N) 


Ikerketa batek bi herrialde desberdinetan (A eta B) produktu berdin baten salmentak (Yt), bere prezio 

(Pt) eta publizitate gastuaren (Gt) funtzioan azaltzeko, hurrengo eredua zehaztu du. 

Y A 

t = β0 +β1P A t +β2G A t +u A t t = 1,...,T 

Y B 

t = γ0 +γ1P B t +γ2G B t +u B t t = 1,...,T 

u A t ∼ NIB(0,σ 2 A ), uB t ∼ NIB(0,σ 2 B ) eta E(uA t u B t ) = σAB direla jakinik, non σ 2 A , σ2 B 

ezezagunak diren, 

Hi 

x 

x 

eta σAB 

a) Deskriba ezazu zehazki aurreko bi ekuazioek osatzen duten ereduaren koefizienteak estimatzeko 

propietate hoberenak dituen estimatzailea eta baita bere bariantzen estimatzailea ere. 

b) Arrazona itzazu proposatutako koefizienteen estimatzailearen lagin finitu eta asintotikoetako propietateak. 

141 

x 

x


Ondorengo ereduarekin, enpresa baten urteko dibidenduak (Yt) eta urteko mozkinen (Xt) arteko erlazioa 

ikertu nahi da. 


(1) 

nonXt erregresore estokastikoa perturbazioarekiko independentea den. Azken 60 urteetako datuekin 

(1) eredua KTA bitartez estimatuz hurrengo emaitzak lortu dira: 

ˆYt 

( desb) 

= 1, 59 + 0, 12Xt 

t = 1, 2,..., 60, 

(0,46) 

(0,14) 

R 2 = 0, 75 , HKB = 24, 45 , DW = 0, 95 

a) Kontrasta ezazu mozkinen esanguratasuna dibidenduak azaltzeko. 

Gainera, ût KTA hondarrekin ondorengo erlazioa estimatu da KTA bitartez: 

ût = 0, 41 + 0, 32ût−1 + 0, 12Xt + ˆεt 

R 2 = 0, 17 , HKB = 7, 22 

b) Burutu ezazu kontraste bat, (1) ereduko perturbazioek autokoerlazio ezaren oinarrizko hipotesia 

betetzen duten egiaztatzeko. Azal ezazu zehazki nola kalkulatzen diren kontrasteko elementu guztiak. 

c) Aurreko b) ataleko emaitza kontuan izanik, zeintzuk dira (1) ereduko KTA estimatzaileen propietateak? 

Eta a) atalean proposatutako kontrastearenak? 

d) Beste ikertzaile batek interes tipoak (Zt) dibidenduetan eragiten duelakoan, aldagai hau ere barneratzen 

duen eredua estimatu du KTA bitartez: 

Yt 

( desb) 

= 1, 23 + 0, 23Xt 

+ 0, 16Zt 

+ ˆvt 

(0,36) 

(0,07) 

(0,04) 

t = 1, 2,..., 60, 

R 2 = 0, 86 , HKB = 17, 45 , DW = 2, 05 

Jarraian, ˆvt KTA hondarrekin hurrengo erlazioa estimatu du KTA bitartez: 

ˆvt = 0, 25 + 0, 07ˆvt−1 + 0, 11Xt + 0, 21Zt + ˆηt 

R 2 = 0, 03 , HKB = 4, 22 

Emaitza hauek kontuan izanik, zeintzuk dira (1) ereduko KTA estimatzailearen propietateak? 

Arrazona ezazu zure erantzuna aproposak deritzozun kontrasteetan oinarrituz. 



Yt = β1 +β2X2t +β3X3t +β4X4t +ut ut ∼ ibb(0,σ 2 u) t = 1,...,100 (2) 

nonX2t aldagai ez estokastikoa den,X3t aldagai aleatorioaut perturbazioarekiko koerlatugabea den eta 

X4t = 0, 4X4,t−1 +vt den,vt zarata zuria izanik, E(vtut) = σuv eta E(vtus) = 0 ∀t = s direlarik. 

a) Kalkula eta arrazona itzazu: 

142

E(X2tut) = 

E(X3tut) = 

E(X4tut) = 

b) Arrazona itzazu (2) ereduko koefizienteen KTA estimatzailearen propietateak. 

c) Proposa ezazu (2) ereduan, osagai guztiak argi zehaztuz, KTA estimatzailearekiko desberdina eta 

tinkoa den beste estimatzaile alternatibo bat. Asintotikoki efizientea al da? 

d) Azal ezazu nola kontrastatuko zenukeen X3t aldagaiaren banakako esanguratasuna aurreko (c) 

atalean proposatu duzun estimatzailearekin. Idatz ezazu hipotesi hutsa eta aurkakoa, kontrasterako 

estatistikoa bere banaketarekin eta baita erabaki araua ere. 


Enpresa baten urteko dibidendoen (Yt) eta urteko mozkinen (Xt) artean dagoen erlazioa aztertu nahi da. 

Horretarako, honako eredu hau proposatzen da: 


non Xt erregresore ez estokastikoa den. Azken 60 urteetako datuekin (1) eredua KTA bitartez estimatuz 

honako emaitza hauek lortu dira: 

ˆYt 

( desb) 

= 1, 59 + 0, 12Xt 

t = 1, 2,..., 60, (2) 

(0,46) 

(0,14) 

R 2 = 0, 75 HKB = 24, 45 

60 

t=2 

ûtût−1 = 13, 02 

60 

(1) 

(ût −ût−1)ût−1 = −11, 98 (3) 

t=2 

60 

(ût −ût−1) 

t=2 

2 = 22, 12 

a) Kontrasta ezazu (1) ereduko perturbazioek oinarrizko hipotesiak betetzen dituzten. 

b) Aurreko a) ataleko emaitza kontuan izanik, froga ezazu (1) ereduko koefizienteen KTA estimatzailearen 

propietateak lagin finituetan. 

c) Perturbazioek AR(1) egitura badute, deskriba ezazu nola estimatuko zenituzkeen modurik hoberenean 

ereduaren parametroak. 

d) Perturbazioek AR(1) egitura badute, azal ezazu zehazki nola burutuko zenukeen Xt aldagaiaren 

esanguratasunaren kontrastea. 

e) Beste ikerlari baten ustez interes tipoak (Zt, ez estokastikoa) dibidenduetan eragina du eta beraz, 

Zt aldagaia duen eredua KTA bitartez estimatzen du 

Yt 

( desb) 

= 1, 23 + 0, 23Xt 

+ 0, 16Zt 

+ ˆvt t = 1, 2,..., 60, (4) 

(0,36) 

(0,07) 

(0,04) 

R 2 = 0, 86 , HKB = 17, 45 , DW = 2, 05 

Ba al duzu perturbazioaren oinarrizko hipotesiren bat betetzen ez delaren ebidentziarik? 

f) Aurreko e) ataleko emaitza kontuan izanik, arrazoi itzazu (1) ereduko KTA estimatzailearen propietate 

asintotikoak. 

143


Demagun honako eredu hau estimatu nahi dugula: 

Yt = βXt +ut ut ∼ ibb(0,σ 2 u) t = 1,...,100 (5) 

Jakina da,Xt = 0, 5Xt−1 +wt dela etawt zarata zuria, non 

 

4 baldin t = s 

E(wtus) = 

0 baldin t = s 

a) Froga ezazu (5) ereduko KTA estimatzailearen propietateak. 

Lagin batetik lortutako honako informazioa dugu: 

Yt Xt Xt−1 

Yt 140 70 50 

Xt 90 84 

Xt−1 

87 

b) Estima ezazuβ estimatzaile tinko bat erabiliz. 

c) Kontrasta ezazuXt aldagaiaren esanguratasuna,σ 2 u = 1 dela suposatuz. 

d) Xt aldagaiari buruz daukagun informazio bakarra estokastikoa dela bada, burutu ezazu kontraste 

bat zein estimazio metodo erabili behar duzun aukeratzeko. 

e) E(utws) = 0 ∀t,s bada, zer aldatuko litzateke b) eta c) ataletako erantzunetan? 


Demagun honako bi ekuazio hauekin zehaztutako eredua: 

etakob(ut,ws) = 

Y1t = β0 +β1X1t +β2Z1t +ut ut ∼ NIB(0,σ 2 u = 3) t = 1...,T 

Y2t = γ0 +γ1X2t +γ2Z2t +wt wt ∼ NIB(0,σ 2 w = 2) t = 1...,T 

 

2, baldint = s; 

0, baldint = s. 

a) Azal ezazu zehazki nola estimatuko zenukeen ekuazio sistema horren koefizienteak eta beraien 

bariantzak eta arrazoi ezazu proposatutako estimatzailearen propietateak. 

b) Aurreko ataleko hipotesien menpean eta %5-eko esangura maila batekin, azal ezazu β1 = γ1 = 0 

hipotesiaren kontrastea. 

144


Nekazari batek ongarri jakin baten eragina aztertu nahi du tomatearen ekoizpenean. Lurzorua, antzekoak 

diren 30 zatitan banatu du eta lortutako tomate Kg. (Ti) eta erabilitako ongarri kantitatea (Ai) bildu ditu. 

Hori egin eta gero, bere ilobari galdetzen dio zelan neurtu daiteken aipatutako eragina. Ilobak erregresio 

lineal eredu bat eraiki du eta KTA bitartez estimatu du, honako emaitza hauek lortuz: 

ˆTi 

( desb) 

= 150, 71 + 0, 8 Ai i = 1,...,30 

(423,31) 

(0,03) 

a) Ongarriaren kantitatea garrantzitsua da tomateen ekoizpenean? Kontrasta ezazu. 

b) Nekazaria konturatu da ongarri asko jasotzen duten lur zatietan tomateen ekoizpena askoz aldakorragoa 

dela ongarri gutxi jasotzen duten lur zatiekin konparatuz. Horrela, ongarri asko jaso duten 

lur zati batzuetan ekoizpena handia izan da eta beste batzuetan txikia. Hori egiaztatzeko nola burutu 

dezake kontraste bat. Azaldu ezazu zehazki. 

Hurrengo ataletarako suposa ezazu aurreko kontrasteak baieztatu egin duela nekazariak zuen susmoa. 

c) Aurreko a) atalean burututako kontrastea baliogarria da? Arrazoi ezazu. 

d) Aurreko galderan ezetz erantzun baduzu, zelan burutu daiteke esanguratasun kontraste bera KTA 

estimatzailearekin? 


Enpresa batek publizitatean egindako gastuak lortutako mozkinengan eraginen bat duen ala ez aztertu 

nahi du. Horretarako publizitate gastuen (P ) (aldagai ez estokastikoa) eta mozkinen (B) artean erlazio 

lineal bat zehazten du: 

Bt = β0 +β1Pt +ut 

nonut perturbazioak banaketa normala duen. Enpresak, 1997 eta 2006 urte tarteko, urteroko datuak ditu. 

Datu hauekin aurreko erlazioa estimatzen du KTA metodoa erabiliz eta honako hau lortzen du 

 

2 

= 4, 59 − 3, 46 ût = 39, 40 

Bt 

( desb( ˆ β)) 

(1,56) 

(3,39) 

Pt +ût 

Urtea 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

Pt 0,3 0,3 0,5 0,7 0,1 0,4 0,2 0,8 0,3 0,5 

Bt 5,76 6,90 3,16 4,63 4,45 2,53 1,96 0,11 0,71 1,48 

ût 2,21 3,35 0,30 2,46 0,21 -0,67 

a) Kontrasta ezazu publizitate gastuak mozkinengan eraginik duen ala ez. 

b) Bete ezazu hondarren segida eta erabil ezazu metodo grafikoren bat perturbazioek oinarrizko hipotesi 

guztiak betetzen dituzten ala ez egiaztatzeko. 

c) Kontrasta ezazu perturbazioek AR(1) prozedura jarraitzen duten ala ez. 

145

d) Aurreko emaitzak kontuan izanik, zein propietate ditu KTA estimatzaileak? Eta 1 atalean egindako 

kontrasteak? Arrazoitu erantzunak. 

e) Suposa ezazu perturbazioek hurrengo prozedura jarraitzen dutela: ut = ρut−1 + εt, non εt ∼ 

ibb(0,σ 2 ε) den etaρezezaguna izanik. Azaldu zehazki nola garatuko zenukeen 1 ataleko kontrastea 

kasu honetan. 

f) Inbertsioaren maila (It) erregresore ez estokastikoa sartzea erabakitzen da eta eredua estimatzen 

da KTA erabiliz: 

Bt 


= 5, 64 − 0, 79Pt 

+ 1, 17 

(0,71) 

(1,57) 

(0,20) 

It + ˆvt R 2 = 0, 86 DW = 2, 13 

Informazio berri honekin, 4 atalean eman duzun erantzuna aldatuko litzateke? 


Espainiako 48 probintzien Barne Produktu Gordinaren (BPG) eta Industriaren Erantsitako Balio Gordinaren 

(EBG) urteroko datuak ditugu, mila milioi eurotan neurturik. Barne Produktu Gordina (BPG) 

aldagai ez estokastikoa kontsideratzen da (Iturria: Espainiako Kontabilitate Erregionala. INE). 

Industriatik lortzen den BPGaren proportzioa aztertzeko hurrengo eredua KTArekin estimatu da: 

 

EBGi 

(t − estatistikoak) 

= −0, 045 + 0, 277BPGi 

(−0,25) 

(17,71) 

N = 48 R 2 = 0, 87 û 2 i = 23 

Gainera hurrengo grafikoa daukagu, bertan KTAren hondarrak BPGaren aurka irudikatzen dira: 

KTAko hondarrak 

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 

5 10 15 20 25 30 35 

BPG 

a) Aurreko grafikoa ikusi ondoren, oinarrizko hipotesiren bat betetzen ez delaren ebidentziarik aurkitzen 

duzu? Komenta ezazu erantzuna arrazonatuz. 

b) Perturbazioen sakabanatzea BPGaren menpe dagoela kontrastatu nahi da. Aipatutako kontraste 

hori burutzeko hurrengo erregresioen artean erabili ezazu bat. Kontrastearen elementu guztiak argi 

azaldu. 

146

= 19, 13 

(2) û 2 i = −0, 015 + 0, 053BPGi + ˆwi; R2 = 0, 18; ˆw 2 i = 25, 94 

(1) ûi = 0, 074−0, 005BPGi + 0, 374ûi−1 + ˆwi; R 2 = 0, 14; ˆw 2 i 

(3) 

û 2 i 

0, 479 = −0, 032 + 0, 111BPGi + ˆwi; R 2 = 0, 18; ˆw 2 i 

(4) ûi = 0, 019 + 0, 366ûi−1 + ˆwi; R 2 = 0, 13; ˆw 2 i 

c) Bar(ui) = σ 2 BPG 2 i 

= 112, 95 

= 19, 2 

bada, estima ezazu modurik onenean EBG eta BPGaren arteko erlazioa. 

Horretarako aztertutako 48 probintziei buruz hurrengo informazioa duzu: 

 

i EBGi = 121, 37 

i BPGi = 446 

 

i EBGiBPGi = 1694, 32 

 

iBPG2 1 

i = 6189, 95 = 8, 58 

BPGi i 

EBGi 

= 12, 95 

BPGi i 

EBGi 

BPG 

i 

2 = 2, 27 

i 

1 

BPG 

i 

2 = 2, 47 

i 

EBG 

i 

2 i 

= 34, 95 

BPGi 

 

= 3, 7 iEBG2i = 486, 8 

i 

EBG 2 i 

BPG 2 i 

d) Proposatutako estimatzailearen propietateak azaldu itzazu arrazoituz. 

e) Beste ikertzaile batek uste du BPG eta EBG aldagaien arteko erlazioa ikertzeko hobe dela aldagaiak 

transformatzea, logaritmoak hartuz, eta KTArekin hurrengo eredua estimatzen du: 

log(EBG) 

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 

o 

 

log(EBG) i 

(t − estatistikoa) 

= −1, 385 + 1, 022log(BPG)i 

(−12,68) 

(19,78) 

N = 48 R 2 = 0, 89 û 2 i = 3, 07 

o 

o 

o 

o o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

oo 

o 

HKB1= 0.56 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

HKB2= 1.19 

o 

o o 

o o 

o 

o 

o 

o 

o 

oo 

o 

o 

o 

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 

log(BPG) 

log(BPG) balio desberdinentzat perturbazioen sakabanatzea konstante mantendu den ala ez aztertzeko 

hurrengo ereduak estimatu dira: 

 

log(EBG) i = −1, 382 + 0, 995log(BPG) i 

 

log(EBG) i = −1, 323 + 0, 991log(BPG) i 

o 

û 2 i = 0, 56 i ∈ log(BPG) txikiena duten 16 probintzia 

û 2 i = 1, 19 i ∈ log(BPG) handiena duten 16 probintzia 

Erabil itzazu lortutako emaitza hauek aipatutako ereduaren perturbazioek sakabanatzea konstantea duten 

ala ez kontrastatzeko. Horretarako suposa ezazu perturbazioen banaketa normala dela. Kontrastearen pausu 

guztiak argi azal itzazu. 

f) Aurreko ataletan estimatutako ereduak konparatuz, zein deritzozu hobeagoa? Zergatik? 

147 

o


Izan bedi hurrengo erregresio eredua: 

Yt = β1 +β2Xt +ut t = 1, 2,...,T ut ∼ ibb(0,σ 2 u) (1) 

Xt aldagaia ez dugu ikusten, eta bere ordez,X ∗ t = Xt +ǫt daukagu, nonǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ) den eta gainera, 

badakigu ǫ etauindependenteak direla etaE(Xtus) = E(Xtǫs) = 0,∀t,s. 

a) Lor itzazu, jarraian agertzen den, estimatuko dugun ereduarenwt perturbazioen propietateak 

Yt = β1 +β2X ∗ t +wt 

t = 1, 2,...,T. 

b) X∗ t eta X∗ t−1-en arteko koerlazioa 0,62 bada, estimazio metodo egoki bat aukera ezazu, azaldu 

bere aukeraketa eta komentatu zehazki β1 eta β2 koefizienteen estimatzailea eta baita ere hauen 

propietateak. 

c) Erregresorea neurketa errorea duen aldagaia dela ezezaguna bada, baina E(X ∗ twt) = 0 delaren 

susmoa badugu, azaldu nola burutuko zenukeen susmo hori egiaztatzeko balio duen kontrastea. 

d) Demagun orain (4) ereduan Xt behagarria dela baina Yt ez eta, bere ordez, Y ∗ 

t = Yt +ηt dugula, 

non ηt = ǫt + 0, 5ǫt−1 den, ǫ ∼ ibb(0,σ 2 ǫ) izanik. η eta u independenteak dira eta E(Xtut) = 

E(Xtηt) = 0. Lor itzazu, jarraian agertzen den, estimatuko dugun ereduaren u ∗ t perturbazioen 

propietateak: 

Y ∗ 

t = β1 +β2Xt +u ∗ t t = 1, 2,...,T 

eta propietate hauen arabera proposa ezazu estimazio metodo egoki bat,σ 2 u etaσ 2 ǫ ezagunak direla 

suposatuz. 



Yi = β1 +β2Xi +ui i = 1, 2,...,5 ui ∼ N(0,aX 2 i ) 

NonE(uiuj) = 0 ∀i = j etaX ez estokastikoa dela dakigun. 

a) Idatz ezazu perturbazioaren bariantza eta kobariantza matrizea. 

b) Azal ezazu eredua optimoki nola estimatuko zenukeen eta froga itzazu proposatutako estimatzailearen 

lagin finituetako propietateak. 

c) Hurrengo taulako datuak erabiliz: 

i Yi Xi 

1 9 2 

2 15 3 

3 7 1 

4 17 4 

5 23 5 

Estima itzazuβ koefizienteak efizienteki eta baita bere bariantza eta kobariantza matrizea ere. 

148

d) Suposatu perturbazioaren bariantzaren forma funtzionala guztiz ezezaguna duzula etaX aldagaiaren 

esanguratasun kontrastea egin nahi duzula. Azal ezazu nola burutuko zenukeen kontrastea eta 

lagin tamaina kontuan izanik, aipatu ezazu kontraste honen fidagarritasuna. 


Sindikatu batek sektore bereko bi enpresetako soldaten portaera aztertu nahi du. Horretarako ondorengo 

eredua proposatu du: 

W (1) 

i 

W (2) 

i 

= β(1) 

1 +β(1) 

2 H(1) 

i +β(1) 

3 A(1) 

i +u(1) 

i , i = 1,...,N1 

= β(2) 

1 +β(2) 

2 H(2) 

i +β(2) 

3 A(2) 

i +u(2) 

i , i = 1,...,N2 

non Wi soldatak diren, Hi lan egindako orduak diren eta Ai langilearen antzinatasuna den. Gainera, 

u (1) 

i ∼ NIB(0,σ2 ), u (2) 

i ∼ NIB(0,σ2 ) dira eta azkenik, u (1) 

i eta u (2) 

j perturbazioak independenteak 

dira ∀i,j. Azal ezazu zehazki bi enpresetako koefizienteak berdinak direlaren kontrastea nola burutuko 

zenukeen. 


Janari-enpresa batek izozkien eskaera aztertu nahi du. Horretarako ondorengo aldagaien datuak ditu: 

Kt = izozkien per capita kontsumoa litrotan 

Pt = izozkiaren batezbesteko prezioa euro litroko 

Mt = batezbesteko tenperatura ◦ Ctan 

Aldagai hauek ez estokastikoak direla suposatzen da eta 2004ko martxotik 2006ko abuztura bitarteko 

hileko datuekin (biak barne), ondorengo estimazioa lortu du KTA metodoaren bitartez: 

Kt 


= 0, 3941 + 0, 0031Mt 

− 0, 4527 

(0,1454) 

(0,0005) 

R 2 = 0, 6328 û ′ û = 0, 0149 

(0,2988) 

a) Emandako informazioa erabiliz kontrasta ezazu izozkiaren prezioak kontsumoan eragiten ez duelaren 

hipotesia. 

b) Aurreko estimazioko KTA hondarrak hurrengo grafikoan agertzen dira: 

149 

Pt

ût 

0.06 

0.04 

0.02 

0 

-0.02 

-0.04 

-0.06 

5 10 15 20 25 30 

t 

Grafiko hau aztertu ondoren, zer esan dezakezu aurreko ataleko emaitzari buruz? Azal ezazu xehetasunez. 

c) Erabili ezazu ondoko erregresioko informazioa aurreko ataleko argudioa kontraste baten bitartez 

berretsi edo baztertzeko. 

ût 


= −0, 0177 + 0, 0003Mt 

+ 0, 044Pt 

+ 0, 7307 

(0,1148) 

(0,0004) 

(0,2356) 

(0,176) 

d) Ereduaren ordezko zehaztapen baten KTA estimazioa hurrengoa da: 

Kt 


= 0, 175 + 0, 0035Mt 

− 0, 3373Pt 

+ 0, 0019 

(0,151) 

(0,0005) 

(0,2695) 

R 2 = 0, 719 DW = 0, 6559 

ût−1 + ˆvt R 2 = 0, 4089 

(0,0007) 

nonIt hileko per capita sarrerak diren. Berriro hipotesien kontrasteetan oinarrituz, argudiatu ezazu 

ea eredu hau aurrekoa baino hobeagoa den zergatia arrazonatuz. 

e) Azkenik, datuen urtaroko izaera posiblea kontuan izanik, E1t, E2t eta E3t urtaroko fikziozko aldagaiak 

barneratzea erabaki da, non: 

E1t = 

 

1 baldin eta t neguko hilabetea bada (Urtarrila, Otsaila edo Martxoa) 

0 bestelako kasuetan. 

E2t eta E3t aldagaiak aurrekoa bezala osatzen dira udaberriko eta udarako hiru hilabeteekiko hurrenez 

hurren. KTA estimazioaren emaitza honakoa da: 

Kt 


= 0, 202 + 0, 0036Mt 

− 0, 352Pt 

+ 0, 0015It 

+ 0, 029E1t 

+ 0, 018E2t 

+ 0, 012 

(0,154) 

(0,0008) 

(0,278) 

R 2 = 0, 7644 

150 

(0,0007) 

(0,013) 

It 

(0,013) 

(0,017) 

E3t

Ondorengo erregresio laguntzailea ere eskuragarri da: 

ût 


= −0, 074 − 0, 0002Mt 

+ 0, 088Pt 

+ 0, 0004It 

+−0, 013 

(0,159) 

(0,0008) 

(0,281) 

−0, 004E2t 

+ 0, 0008E3t 

+ 0, 267ût−1 

+ ˆwt 

(0,013) 

(0,0173) 

(0,251) 

(0,0007) 

(0,014) 

R 2 = 0, 0866 

Hasierako eredua, 4. atalekoa eta eredu honetako estimazioaren informazio guztia izanik, azal 

ezazu proposatutako hiru ereduetatik zein aukeratuko zenukeen eta zergatia. Aukeratu duzun ereduarekin, 

eman ezazu ea izozkiaren prezioak bere kontsumoan eragiten duenaren behin betiko 

erantzuna. 


Izan bediYt = β1 +β2Xt +β3Yt−1 +ut eredua nonXt ez estokastikoa den. 

a) Deskribatu ezazu xehetasunez adibide bat non eredu honetako koefizienteen KTA estimatzailea ez 

den tinkoa. Froga ezazu zergatik ez litzateken tinkoa izango. 

b) Aurreko atalean deskribatutako kasuan eta parametro guztiak ezezagunak direla suposatuz, nola 

estimatuko zenuke eredua proposatutako estimatzailea asintotikoki efizientea izan dadin? Zehaz 

itzazu proposatutako estimatzailea lortzeko beharrezkoak diren elementu guztiak, baita matrizeak 

ere. 

c) Nola kontrastatuko zenuke X aldagai azaltzailearen banakako esanguratasuna? Zehaz itzazu kontraste 

hau burutzeko beharrezkoak diren elementu guztiak. 


Erregresore ez estokastikoak dituen erregresio lineal orokorreko eredu batean perturbazioak heterozedastikoak 

eta ez autokoerlatuak badira, komenta itzazu hurrengo baieztapenak: 

a) ˆ βKTA alboratua da. 

b) Bar( ˆ βKTA) ˆ = ˆσ 2 (X ′ X) −1 non ˆσ 2 = Û′ KTAÛKTA T−K den, KTA estimatzailearen bariantza eta 

kobariantza matrizearen estimatzaile alboragabea eta tinkoa da. 

c) KTA estimatzailearekin ezin da egin inferentziarik. 

d) Baliteke, heterozedastizitatea egonda ere, Goldfeld eta Quandten kontrasteak hipotesi hutsa ez 

baztertzea. 

151 

E1t


Demagun hurrengo eredua estimatu behar dugula: 

Yt = βXt +ut non t = 1,...,50 eta ut ∼ iib(0, 1) 

Jakina da,Xt = 0,3Xt−1 +wt dela etawt zarata zuria izanik, hurrengoa betetzen dela: 

Gainera laginaren hurrengo informazioa dugu: 

E(wtus) = 5 t = s bada 

E(wtus) = 0 t = s bada 

50 t=1X 2 50 t = 110 t=2X 2 t−1 = 100 50 t=2Xt−1Xt = 98 

50 t=2Xt−1Yt = 80 50 t=1XtYt = 70 

a) Froga itzazu KTA estimatzailearen propietateak eredu horretan. 

b) Aurreko ataleko propietateak kontuan izanik, zein metodo erabiliko zenuke β estimatzerakoan? 

Beren propietate asintotikoren bat froga ezazu eta metodo hori aplika ezazu β-ren estimatzailea 

lortzeko. 

c) Xt aldagaiaren esanguratasun kontrastea egin ezazu. 

d) Xt estokastikoa dela bakarrik badakigu, zein kontraste erabiliko zenuke estimazio metodo egokiena 

zein den aukeratzeko? Azaldu eta burutu ezazu kontrastea. 


Enpresa bateko arduradunak enpresako akzioek burtsan duten errendimendua,Yt, eta Ibex35 burtsako indizeak 

duen errendimendu orokorraren,Xt, artean dagoen erlazioa ikertu nahi du. Horretarako hurrengo 

eredua zehazten du: 

nonXt aldagaia ez estokastikoa den. 


Errendimendu horien 100 hilabeteko behaketak ditu, 2000ko urtarrilatik 2008ko apirilararte. Datu horiekin 

hurrengo estimazioa lortu du KTA aplikatuz: 

Yt 

( desb) 

= 0, 336 + 0, 247 

(0,201) 

(2,614) 

Xt +ût 

a) Kontrasta ezazu enpresako akzioen errendimenduen eta Ibex35aren errendimenduen artean erlaziorik 

dagoen ala ez. 

b) Hurrengo irudianût KTAko hondarrak biltzen dira. Oinarrizko hipotesiren bat betetzen ez delaren 

ebidentziarik aurkitzen duzu? 

152 

(1)

4 

2 

0 

-2 

-4 

-6 

10 30 50 70 90 

c) Hurrengo informazioa kontuan izanik, perturbazioetan autokoerlazioa dagoen ala ez aztertzeko 

garatu ezazu kontrasteren bat. 

100 

t=1 

ût = 94, 22 , 

100 

t=2 

100 

(ût −ût−1) 

t=2 

2 = 151, 06 , 

(ûtût−1) = 568, 16 , 

100 

t=1 

100 

t=2 

û 2 t = 651, 80 , 

(ût −ût−1) = −2, 62 , 

100 

t=2 

û 2 t = 649, 32 

d) Lortutako informazioa kontuan izanik, komenta itzazu estimatzailearen propietateak (1) ereduan. 

e) ut = ρut−1 +εt,εt ∼ iib(0,σ 2 ) badaρezezagunarekin, azaldu detaile guztiekin nola estimatuko 

zenukeen era asintotikoki efiziente bateanβ0 etaβ1 ereduko parametroak eta nola egingo zenukeen 

1 atalean eskatzen den kontrastea. 

f) Aholkularitza enpresa batek uste du 2004ko otsailean enpresa zuzentzeko kontratatu zen talde berriaren 

biregituratze planak enpresan eragin positiboa izan zuela, hau dela eta enpresaren burtsako 

errendimenduak nabarmenki handitu dira data horretatik gaur egunerarte. Zein izango litzateke aipatutakoaren 

eragina (1) ereduko KTA estimatzailearen propietateengan eta 1 atalean eta 5 atalean 

deskribatutako kontrasteengan? 


A eta B bi herrialdeetako gastuen eta sarreren denboran zehar izan den eboluzioaren 30 behaketa ditugu. 

Datu horiekin hurrengo eredua estimatu nahi dugu: 

G A t = α A +β A I A t +u A t 

G B t = α B +β B I B t +u B t 

u A t eta u B t perturbazioen bariantzak denborarekiko konstanteak eta ezezagunak dira. Gainera, badakigu 

bi herrialdeetako perturbazioek aldibereko koerlazioa dutela. Aurreko eredua estimatzeko aukera ezazu 

metodo efiziente bat, arrazoitu erantzuna. 

153


Izan bedi hurrengo erregresio lineal eredu bakuna: 

Yi = β1 +β2Xi +ui 

non perturbazioek banaketa normala jarraitzen duten. Eskola pribatuetan irakasleen soldatak (Y , eurotan 

neurtua) irakaskuntzan antzinatasunarekiko (X, urtetan neurtua) duen erlazioa aztertu nahi da eta 122 

irakaslez osatutako lagin bat lortu da. Lagin informazio honekin, KTA bitartez lortutako lagin erregresio 

funtzioa lortu da eta baita KTA hondarren grafikoa antzinatasuna aldagaiarekiko. 

Yi 

( desb) 

hondar 

= 49184, 7 + 1753, 22Xi 

R 2 = 0,42 HKB = 130427, 1 (1) 

60000 

40000 

20000 

0 

-20000 

-40000 

-60000 

(2635,57) 

(151,77) 

Hondarrak (= benetakoak - estimatutakoak SOLDATA) 

5 10 15 

ANTZINATASUNA 

20 25 

a) Kontrasta ezazu Antzinatasuna aldagaiaren esanguratasuna. 

b) Aurreko grafikoa izanik, lehenengo atalean proposatutako kontrastea baliogarria dela uste al duzu? 

Zergatik? 

c) Zein kontraste burutuko zenuke perturbazioak esferikoak diren jakiteko? Azal ezazu. 

d) Aurreko atalean proposatutako kontrasteko hipotesi hutsa baztertuz gero etabar(ui) = a +bXi + 

cX2 i suposatuz, azal itzazu zehazki ereduko koefizienteak nola estimatuko zenituzkeen eta aldagai 

azaltzailearen esanguratasun kontrastea nola burutuko zenukeen. 


Bi aldagaien arteko erlazioa aztertzeko ondorengo datuak bildu dira 

154

t Yt Xt 

1 7,4 0,3 

2 7,6 0,3 

3 9,9 0,5 

4 5,9 0,4 

5 11,1 0,1 

6 6,2 0,4 

7 9,5 0,2 

8 6,4 0,5 

etaYt = β0 +β1Xt +ut eredua KTA bitartez estimatu da: 

Yt 

( desb) 

= 10, 68 − 7, 93 

(1,66) 

(4,58) 

Xt +ût 

a) Grafiko batean oinarrituz, azter ezazu perturbazioetan autokoerlazioa dagoen ala ez. 

b) Perturbazioetan lehen ordenako autokoerlazioa dagoen kontrastatu nahi denez, Breusch eta Godfreyren 

kontrastea erabili da, kontrasteko estatistikoaren BG = 5, 57 balioa lortuz. Azal ezazu 

zehatz mehatz nola lortu den estatistikoaren balio hori eta burutu ezazu kontrastea. Aipatu ezazu 

kontrastearen fidagarritasuna. 

c) Baldin eta ut = −0, 9ut−1 + εt bada non εt ∼ NIB(0, 1), estima itzazu efizienteki ereduko 

parametroak. 

d) Kontrasta ezazuXt aldagaiaren esanguratasuna. 


Izan bedi Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4Yt−1 + ut t = 2,...,200 erregresio eredua non X3 erregresore 

ez estokastikoa den. Gainera ut ∼ iib(0,σ 2 u) da eta X2 erregresore estokastikoa Z aldagai ez 

estokastikoarekin koerlatua dago. 

a) X2 perturbazioekiko independentea dela suposatuz,βren zein estimatzaile erabiliko zenuke? Deskriba 

itzazu bere propietateak. 

b) Nola kontrastatuko zenuke H0 : β2 = β3 = 0? Deskriba itzazu zehazki kontrasteko elementu 

guztiak. 

Ondorengo ataletako,X2 aldagaiak neurketa errorea duen edo ez jakingo ez bazenu: 

c) Nola erabakiko zenuke X2 aldagaiak neurketa errorea duen ala ez? Deskriba itzazu kontrasteko 

elementu guztiak. 

d) Demagun aurreko kontrasteko estatistikoaren balioa 7 dela. Zein estimatzaile aukeratuko zenuke 

kasu horretan? Zure aukera arrazona ezazu estimatzaileen propietateetan oinarrituz. Idatz itzazu 

zehatz mehatz estimatzaile hori lortzeko behar dituzun matrize eta bektore guztiak. 

155 

(2)


Astronomiaren urtea ospatzeko asmoarekin 200 ikastetxetako batxilergo eta bigarren hezkuntzako ikasleek 

hurrengo aldagaien datuak bildu dituzte: 

Y : ikastetxetik iparraldeko 40 o paralelora dagoen distantzia kilometrotan 

X: eguerdian eguzkiak duen altuera hodeiertzean gradutan 

Datu horiekin Y eta Xen arteko erlazio lineala KTA bitartez estimatu da eta ondokoa lortu da: 

ˆYi 

(ˆσ 

βj ˆ ) 

= 

ˆβ1 

 

5594, 9 

(30,25) 

ˆβ2 

 

− 111, 91 

(0,58) 

Xi 

200 

û 

i=1 

2 i = 71260, 46 R 2 = 0, 9948 (1) 

a) β2 koefizienteak lurraren gradu bati zenbat kilometro dagozkion adierazten du (zeinu negatiboarekin). 

Badakigu parametro horren balio teorikoa−111, 11 km/gradukoa dela. Kontrasta ezazu balio 

hau bateragarria den (1) ekuazioan lortutakoarekin. Suposa ezazu ui ibb 

∼ N(0,σ2 ) dela. 

b) Ikastetxe bateko irakasle baten ustez ui perturbazioak ez dira, aurreko atalean suposatu dugun 

moduan, homozedastikoak, baizik eta perturbazioaren bariantza Xi aldagaiaren menpe dago. (1) 

ereduko estimazioaren KTAko hondarrak Xi aldagaiaren kontra erakusten dituen ondoko irudian 

oinarrituz, komenta ezazu aurreko ustea. 

TA 

u^K −60 −40 −20 0 20 40 60 

48 50 52 54 56 58 

c) Erabil ezazu jarraian dauden erregresioetariko bat perturbazioen bariantza Xi aldagaiaren menpe 

156 

X

dagoen kontrastatzeko. Azal itzazu argi kontrastearen elementu guztiak. 

(a) 

(b) 

û 2 i 

√ 71260, 46 = 2, 65−0, 025Xi + ˆwi 

û 2 i 

18, 876 

= 37, 31−0, 351Xi + ˆwi 

(c) ûi = 0, 34−0, 11ûi−1 − 0, 005Xi + ˆwi 

(d) 

û 2 i 

356, 302 

= 1, 97−0, 018Xi + ˆwi 

ˆw 2 i = 1269, 9 R 2 = 0, 0005 

ˆw 2 i = 251450 R 2 = 0, 0005 

ˆw 2 i = 70885 R 2 = 0, 0132 

ˆw 2 i = 698, 6 R 2 = 0, 0005 

d) Beste irakasle batek uste du ui perturbazioetan heterozedastizitatea dagoela, baina batxilergo eta 

bigarren hezkuntzako ikasleen ezaugarri desberdinak sortarazitakoa. Bere ustez bigarren hezkuntzako 

ikasleek, orokorrean, errore handiagoak egiten dituzte Y aldagaia neurtzerakoan, eta beraz, 

bigarren hezkuntzako ikasleen datuetan, perturbazioaren bariantza, batxilergo ikasleen datuetan 

baino handiagoa izango da. Gainera, X eta Y ren arteko erlazio lineala KTA bitartez estimatu da 

banaka, alde batetik bigarren hezkuntzako datuekin eta beste aldetik batxilergo datuekin, ondoko 

emaitzak lortu direlarik: 

Batxilergo 100 ikastetxeetako datuekin: 

ˆYi 

(ˆσ αj ˆ ) 

= 

ˆα1 

 

5535, 9 

(21,85) 

ˆα2 

 

− 110, 76Xi 

HKB = 9919 R 2 = 0, 9986 N = 100 (2) 

(0,42) 

Bigarren hezkuntzako 100 ikastetxeetako datuekin: 

ˆYi 

(ˆσ γj ˆ ) 

= 

ˆγ1 

 

5662, 7 

(57,55) 

ˆγ2 

 

− 113, 23Xi 

HKB = 60131 R 2 = 0, 9909 N = 100 (3) 

(1,10) 

Informazio horrekin kontrasta ezazu bigarren hezkuntzako ikastetxeen perturbazioen bariantza batxilergo 

ikastetxeena baino handiago den hipotesi hutsa. 

e) Orain arte jasotako emaitzak aztertuz, zer esan dezakezu lehen atalean egin duzun kontrastearen 

fidagarritasunari buruz? Arrazoitu. 

f) Aurreko ataletako emaitzak kontuan izanik, nola estimatu beharko litzateke Y eta Xen arteko 

erlazioa 200 ikastetxeetako datuak erabiliz? Azal ezazu detaile guztiekin nola lortuko zenukeen 

proposatzen duzun estimatzailea. 


Ikasle batek Estatu Batuetako kontsumoaren eta errentaren arteko erlazioa neurtu nahi du 1947tik 1980ra 

doan epean. Horretarako per capita kontsumoaren (C, dolarretan) eta per capita errenta erabilgarriaren 

(RD, dolarretan) lauhilabeteko 1 136 datu ditu. Ikaslea KTA bitartez estimatzen hasten da eta ondoko 

emaitza lortzen du: 

Ct = 325, 97 + 0, 8616 RDt HKB = 966548 R 

(t-estat) (9,9117) (189,4498) 

2 = 0, 9963 DW = 0, 6306 (4) 

1 Undergraduate Econometrics (2001) de R.C. Hill, W.E. Griffiths y G.G. Judge, liburuko datuak. 

157

a) Interpreta ezazu errenta erabilgarriari dagokion koefiziente estimatua. 

b) Kontrasta ezazu errenta erabilgarriaren esanguratasuna. 

c) Hurrengo orrialdean duzun irudia (KTAko hondarrak denboraren kontra) komenta ezazu. Uste 

duzu heterozedastizitatearen edo/eta autokoerlazioaren ebidentziarik dagoela? 

KTA hondarrak 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

−50 

−100 

−150 

−200 

−250 

−300 

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 

Ikasleak bigarren eredu bat, KTA bitartez, estimatzea erabakitzen du. Eredu berrian kontsumoa 

azaltzeko aurreko lauhilabetean egindako kontsumoa erabiltzen da: 

Ct = 78, 8615 

(t-estat) (3,1245) 

+ 0, 215834 

(5,1943) 

RDt + 0, 753590Ct−1 

t = 2,...,136 (5) 

(15,5848) 

HKB = 339029 R 2 = 0, 998679 DW = 1, 59122 

d) Zein suposamendu egin behar duzu aldagai azaltzaileetan KTA estimatzailea alboragabea 

izateko? Betetzen da suposamendu hori? Arrazoitu erantzuna. 

Ikasleak (5) ereduan lortutako emaitzak zehatzago aztertzeko asmoarekin ondoko erregresio laguntzailea 

estimatzea erabakitzen du: 

ut = 10, 9677 

(t-estat) (0,4388) 

+ 0, 0415440 

(0,9714) 

RDt − 0, 0478147 

(-0,9617) 

HKB = 316915 R 2 = 0, 0452226 

Ct−1 + 0, 216094ut−1 

+êt 

(2,4522) 

e) Zertarako balio du erregresio laguntzaile horrek? Zein da lortzen den ondorioa? Kontrasta ezazu. 

f) Aurreko atalean lortutako emaitza kontuan izanik, zeintzuk dira (5) ereduan erabilitako 

estimatzailearen propietateak? Arrazoitu erantzuna. 

158 

(6)

g) Orain arte lortutako emaitzak kontuan izanik, azal ezazu detaile guztiekin nola estimatuko zenukeen 

kontsumoa azaltzen duen eredua era tinko batean. 

h) Orain arte lortutako emaitzak kontuan izanik, azal ezazu detaile guztiekin nola estimatuko zenukeen 

kontsumoa azaltzen duen eredua era asintotikoki efiziente batean. 


10 banakoek erropan egindako kontsumoaren (Ci, ehundaka eurotan) eta errentaren (Ri, ehundaka 

eurotan) ondorengo informazioa eskuragarri daukagu: 

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Ci 7 3 5 6 5 6 4 5 5 4 

Ri 14 5 8 10 9 16 7 11 12 8 

Sexua Emakumea Emak Emak Emak Emak Gizon Gizon Gizon Gizon Gizon 

Erropan egindako kontsumora esleitutako errentaren proportzioa aztertzeko hurrengo eredua proposatzen 

da: Ci = β1 + β2Ri + ui, non ui perturbazioak banaketa normala jarraitzen duen. Eredua KTAn 

bitartez estimatzean ondoko emaitzak lortu dira: 

Ĉi 

(ˆσ 

βj ˆ ) 

= 

ˆβ1 

 

2, 1 

(0,7026) 

+ 

ˆβ2 

 

0, 29 

(0,0670) 

Ri 

10 

û 

i=1 

2 i = 3, 59 R 2 = 0, 7008 (1) 

a) Kontrasta ezazu errenta 100 eurotan handitzean erropan egindako batezbesteko kontsumoaren 

gehikuntza 35 eurotakoa edo gutxiagoa den. 

b) Perturbazioaren bariantza laginako gizon eta emakumeentzat desberdina delaren susmoa dago. 

Egia den aztertzeko, gizonak eta emakumeak bereiztuz, erropan egindako kontsumoaren eta errentaren 

arteko erlazio lineala estimatu da, hurrengo emaitzak lortuz: 

Laginako 5 gizonezkoentzat: 

Ĉi 

(ˆσ αj ˆ ) 

= 

ˆα1 

 

2, 2913 

(0,2217) 

Laginako 5 emakumeentzat: 

Ĉi 

(ˆσ γj ˆ ) 

= 

ˆγ1 

 

1, 1589 

(0,6275) 

ˆα2 

 

+ 0, 2323Ri 

HKB = 0, 0588 R 2 = 0, 98 N = 5 (2) 

(0,0197) 

ˆγ2 

 

+ 0, 4393Ri 

HKB = 0, 5547 R 2 = 0, 94 N = 5 (3) 

(0,0650) 

Erabili itzazu emaitza hauek ereduko perturbazioek sakabanatzea konstante mantendu duten kontrastatzeko. 

Azal ezazu zehatz-mehatz kontrasteko pausu guztiak. 

c) Aurreko kontrasteko emaitza kontuan izanik, proposa eta kalkula ezazu ereduko koefizienteen estimatzaile 

asintotikoki efizientea. Suposa ezazu gizonezkoen erropa kontsumoa eta errentaren arteko 

erlazioko koefizienteak eta emakumeen erropa kontsumo eta errentaren arteko erlazioko koefizienteak 

berdinak direla. 

d) Orain arte lortutako emaitzak kontuan izanik, zer esan dezakezu lehen atalean egindako kontrastearen 

fidagarritasunari buruz? Arrazona ezazu. 

159


Ikertzaile batek kontsumo erreala (C, bilioi dolarretan neurtua) aztertu nahi du, soldata errealaren (W , 

bilioi dolarretan neurtua) eta soldataz kanpoko errenta errealaren (P , bilioi dolarretan neurtua) funtzioan. 

Hortarako urteroko behaketez osatutako lagina du 2 eta hurrengo KTA emaitzak lortu ditu: 

Ct = −222, 15 

(t-estat) (-11,3620) 

+ 0, 693262 

(21,2615) 

Wt + 0, 735916Pt 

(15,0735) 

t = 1959,...,1994 (4) 

HKB = 38976, 5 R 2 = 0, 998754 DW = 0, 969426 BG(1) = 9, 621 

Gainera ondorengo informazioa du: 

residuo 

60 

40 

20 

0 

−20 

−40 

−60 

−80 

−100 

Residuos de la regresión (= C observada − estimada) 

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 

2 Jatorria: Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, ed. South-Western 

160

a) Interpreta ezazu Wt aldagaiaren koefiziente estimatua. 

b) Komenta ezazu hondarren grafikoa. Perturbazioaren oinarrizko hipotesiak betetzen direla uste duzu? 

Kontrasta ezazu. 

c) Aurreko ataleko emaitzarekin bateragarria izanik, osatu itzazu hurrengo matrizeak: 

⎡ 

⎢ 

E(u) = ⎢ 

⎣ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

E(uu ′ ) = 

d) W eta P aldagaiak ez estokastikoak direla suposatuz, arrazona itzazu (4) ereduko koefizienteen 

KTA estimatzailearen propietateak. 

e) Jarraian, ereduaren zehazpenarekin kezkatuta, ikertzaileak ondorengo ereduko KTA emaitzak aztertzea 

erabaki du: 

Ct = −223, 32 

(t-estat) (-10,1613) 

+ 0, 618833 

(5,4418) 

Wt + 0, 0839831 

(0,7730) 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

Wt−1 + 0, 725303Pt 

t = 1960,...,1994 (5) 

(14,6813) 

HKB = 36407, 3 R 2 = 0, 998754 DW = 0, 949518 BG(1) = 7, 1034 

(5) ereduko koefizienteen KTA estimatzailea tinkoa da? Arrazona ezazu. 

Azkenik, ikertzaileak hurrengo zehazpeneko KTA emaitzak aztertzen ditu: 

Ct = −155, 77 

(t-estat) (-4,7021) 

+ 0, 513348 

(6,6942) 

Wt + 0, 535774 

(6,4140) 

Pt + 0, 270081Ct−1 

t = 1960,...,1994 (6) 

(2,6911) 

HKB = 30081, 4 DW = 1, 00858 BG(1) = 8, 704344 

f) Aurreko estimazioko emaitza guztiak kontuan izanik, nola estimatuko zenuke eredua ahalik eta 

egokien? Argudia ezazu zergatik proposatzen duzun metodo hori, zehatz-mehatz azalduz, eta aipatu 

itzazu estimatzaile horren propietateak. 


Seguru artekaritza baten salmentak (Vt, mila eurotan) azaltzeko hurrengo eredua proposatzen da: 

non: 

Vt = β1 +β2Ft +β3Tt +β4Ct +ut t = 1, 2,...,400 hilabeteko behaketak 

Ft artekaritzako langile finkoen kopuruathilabetean 

Tt artekaritzako aldikako langile kopurua t hilabetean 

161 

⎤ 

⎥ 

⎦

Ct artekaritza eratu zenetik hilabete kopurua. 

Perturbazioak ut ∼ NIB(0, σ 2 u) direla suposatzen da eta OA bitartez estimatuz lortutako emaitzak 

ondorengoak dira: 

ˆVt = −34,95 + 31,16Ft + 20, 14Tt + 0,60Ct 

R 2 = 0,3559 

nonDt = aldagaia,thilabeteko probintziako desenplegu tasa,Tt aldagaiaren ordezko aldagaitzat erabili 

den. 

⎡ 

Bar( ˆ ⎢ 

βOA) = ⎢ 

⎣ 

144,655 −8,15421 −47,9531 −1,2992 

5,4432 −1,1876 −0,034 

35,8342 0,0142 

0,0315 

a) Eredua ordezko aldagaien bitartez estimatzearen arrazoia zein izan daiteke? 

b) Azal ezazu zehatz-mehatz nola lortu diren koefizienteen estimazio hauek eta bariantzak. (Idatz 

itzazu matrize eta bektore guztiak). 

c) Estimatzailearen lagin finituetako banaketa ezagutzen duzu? Eta asintotikoa? Idatz itzazu erantzuna 

baiezkoa bada. 

d) Kontrasta ezazuβ4 = 1 den. 

e) Kontrasta ezazu langile finkoek eta aldikako langileek salmentetan duten eragina berdina den. 


Garraio sail batek hiriarteko autobusaren zerbitzuaren eskaeraren eta populazioaren arteko erlazioa aztertu 

nahi du. Hortarako, ondorengo aldagaien 10 hiriz osatutako lagin bateko informazioa du: 

Y : orduko batezbesteko bidaiari kopurua (ehundaka) 

X: biztanle kopurua (milaka) 

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Batura 

Y 23 22 21 24 24 20 34 40 19 28 255 

X 10 6 4 5 8 4 8 10 4 7 66 

Yi = α +βXi +ui ereduaren KTA estimazioa hurrengoa da: 

Perturbazioetan normaltasuna suposatzen da. 

ˆYi = 12, 5357 + 1, 9643Xi i = 1,...,10. (1) 

162 

⎤ 

⎥ 

⎦

a) Marraztu ezazu grafiko berean (X,Y ) puntu hodeia eta lagineko erregresio zuzena. Laginean 

zehar, erroreen sakabanatzea konstante mantentzen dela uste al duzu? Erantzun ezazu grafikoan 

oinarrituz. 

✻ 

✲ 

b) Azaldu ezazu zehatz-mehatz Goldfeld eta Quandt kontrasteko pausu guztiak. Idatz itzazu erregresio 

bakoitzaren X eta Y matrizeak (zenbakiekin). Adibide honetan, zergatik da Breusch eta 

Pagan kontrastea baino hobea? 

c) Estima ezazu eredua KTZ bitartezBar(ui) = σ 2 X 2 i i = 1,...,10 delaren kasuan. 

d) Kontrasta ezazu biztanle kopuruaren esanguratasuna hiriarteko garraio eskaera azaltzeko. 


Izan bedi ondorengo eredu dinamikoa: 

Yt = β1 +β2Xt +β3Yt−1 +ut t = 2,...,200 nonX erregresore ez estokastikoa den (2) 

a) Idatz ezazu X datu matrizea etaY bektorea. 

b) Hurrengo kasuetan KTA estimatzailea alboragabea eta tinkoa da? Frogatu. 

S1) ut ∼ ibb(0,σ 2 u) 

S2) ut = ρut−1 +ǫt 

ǫt ∼ ibb(0,σ 2 ǫ) ,ρezezaguna 

c) Aurreko kasuren batean KTA ez tinkoa bada eta eredua Ordezko Aldagaien bitartez estimatu nahi 

izanez gero, Yt−2 instrumentu (ordezko aldagai) egokia litzateke? Eta Xt−1 aldagaia? Arrazona 


d) Azal ezazu zehatz-mehatz (S1) eta (S2) egoerak bereizteko baliogarria den kontraste bat. 

e) Xehatu ezazu nola lortuko zenukeen ereduko parametroen estimatzaile tinko eta asintotikoki efizientea 

(S2) kasuan. 

f) Esplikatu ezazu nola burutuko zenukeen erregresioaren baterako esanguratasun kontrastea (S2) 

kasuan. 

163


Hurrengo aldagaien 2005eko urtarriletik 2009ko abendurarteko hileroko datuak izanik (60 behaketa): 

Y = DVD grabatzaile baten salmenten (milioi eurotan) logaritmo nepertarra (ln) 

X2 = Grabatzailearen prezioaren (eurotan) ln 

X3 = publizitate gastuen (mila eurotan) ln. 

Demagun X2 eta X3 aldagaiak ez estokastikoak direla eta ut ∼ N(0, σ 2 u) edozein t-rentzat. Jarraian, 

KTA etaKTZE (Sare Bilakera) bitartez estimatuz lortutako emaitzak ematen dira: 

KTA-1 

KTA-2 

KTZE-1 

KTZE-2 

Yt 

= 22, 1 − 0, 20 X2t + 0, 04X3t 

DW = 1, 85 

(t-estat.) (2,9) (-3,03) (1,12) 

Yt 

= 23, 5 − 0, 22 X2t 

(t-estat.) (3,09) (-2,16) 

DW = 1, 38 

Yt 

= 21, 4 − 0, 23 X2t + 0, 05X3t 

ˆρ = 0, 12 

(t-estat.) (3,2) (-2,11) (1,40) 

Yt 

= 25, 6 − 0, 25 X2t 

(t-estat.) (2,6) (-2,27) 

ˆρ = 0, 31 

a) Azaldu eta egin itzazu autokoerlazio kontrasteak KTA-1 eta KTA-2 ereduetan. 

b) X3 aldagaia esanguratsua da KTA-1 ereduan? Kontraste honen baliogarritasunari buruz zer esan 

dezakezu? 

c) Azal ezazu zehazki KTZE-2 estimatzeko erabili den prozedura (baita ˆρ = 0, 31 eta t − 

estat = −2, 27 ere). 

d) Emaitza guztiak kontuan izanik, arrazona ezazu ze eredu eta ze estimazio metodo aukeratuko zenukeen. 


Etxebizitzaren prezioa aztertzeko asmoarekin ondoko aldagaien 187 behaketa bildu dira: 

Y : etxebizitzaren prezioa mila eurotan 

X: etxebizitzaren azalera metro karratutan 

Datu horiekinY etaXen arteko erlazio lineala estimatu da KTA metodoaren bitartez eta hurrengo emaitzak 

lortu dira: 

ˆYi 

(ˆσ 

βj ˆ ) 

= 

ˆβ1 

 

−357, 52 

(52,9655) 

164 

ˆβ2 

 

+ 2, 60326 

(0,150752) 

Xi 

(1)

1. Kontrasta ezazu azalera aldagaiaren esanguratasuna. 

2. Jarraian duzun azalera aldagaiaren kontrako KTA hondarren adierazpen grafikoan oinarrituz, aurreko 

atalean egindako kontrastea zuzena dela uste duzu? Zergatik? 

u ^ 

−200 −100 0 100 200 300 

+ 

+ + 

+ 

+ 

+ 

+ + 

+ 

+ + 

+ 

+ 

+ + 

+ + 

+ 

+ + + 

+ + 

+ + + 

+ + + + 

+ 

+ + 

+ 

+ 

+ 

+ + + 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ + + 

+ + 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ + 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ + + 

+ + 

+ 

+ 

+ 

+ + 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ + 

+ + 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ + 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ + 

+ 

+ 

+ + + 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ + + 

+ 

+ + + 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ + 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

250 300 350 400 450 500 

X (m 2 ) 

3. Breusch-Paganen estatistikoak 26,5 balioa badu, kontrasta ezazu, pausu guztiak argi azalduz, ea 

perturbazioak esferikoak diren. 

4. Aurreko ataleko emaitza kontutan harturik, azal ezazu detaile guztiarekin nola estimatuko zenukeen 

era efizientean proposatutako eredua. 


Ikasle batek ordenagailuen prezioan zenbateko eragina duen disko gogorraren tamainuak ikertu nahi du. 

Horretarako, bere gurasoen dendan dauden ordenagailuen urteroko batezbesteko prezioa eurotan (P ) 

eta disko gogorraren urteroko batezbesteko tamainua ehundaka Gigabytetan (D) kalkulatu ditu azken 

hamar urteetako datuekin. Informazio horrekin hurrengo erregresioa estimatu du KTA bitartez: 

Pt = 1504, 32 − 1, 52 Dt R 

(t-estat.) (12,12) (-4,60) 

2 = 0,7259 û 2 t = 443394 (2) 

Hurrengo taulan aurreko erregresioaren aldagaien eta hondarren balioak biltzen dira: 

165 

+ 

+ 

+ 

+ 

+

Urtea P (Prezioa) D (Diskoa) û kta 

t 

1 1776 74 384 

2 1560 96 202 

3 1370 125 56 

4 1203 163 -54 

5 1057 213 -124 

6 920 225 -243 

7 758 285 -314 

8 699 421 -166 

9 576 640 43 

10 548 772 216 

1. Interpreta itzazu (2) erregresioko koefizienteak. Badute zentzurik lortutako balioek? 

2. Ikasleak (2) erregresioan autokoerlazio arazoren bat dagoelaren susmoa du. Irudika ezazu susmo 

hori aztertzeko balio duen grafiko bat eta komenta ezazu arrazoituz autokoerlazioa dagoen ala ez. 

3. Estima ezazu prezioen eta disko gogorraren artean dagoen erlazioa Karratu Txikienen Zabalduen 

Eginkorren metodoarekin (KTZE), suposa ezazuut ∼ AR(1) dela. 

4. Zein propietate ditu erabili duzun estimatzaileak? 

Ikaslearen lagun batek dio mundu guztiak dakiela ordenagailuen prezioa gero eta merkeagoa dela 

eta, horregatik, ereduan denboraren eragina kontutan izan behar duela esaten dio, urtetan neurtuta 

dagoen t aldagaia t = 1, 2...,10 ereduan barneratuz. Zehazpen berri hau KTArekin estimatzen 

da hurrengo emaitza lortuz: 

Pt = 1872, 23 

(t-estat.) (70,61) 

+ 0, 69 

(5,49) 

R 2 = 0,9948 û 2 t = 8336 DW = 2, 14 

Dt − 187, 79t 

(3) 

(-19,10) 

5. Perturbazioek banaketa normala dutela suposatuz, kontrasta ezazu denbora (t) aldagaia nabaria 

den edo ez. Interpreta ezazu dagokion koefiziente estimatua. 

6. Kontrasta ezazu (3) ereduko datuekin perturbazioek AR(1) prozedura jarraitzen duten ala ez. 

7. Orain arte lortutako emaitzak kontutan izanik komenta itzazu ariketan agertu diren hiru estimatzaileen 

propietateak, (2) eredukoak, (3) eredukoak eta 3. atalean estimatu duzun KTZErenak. 

166


Ikerlari batek kontsumoaren (Ci, mila eurotan), Ogasunari aitortutako errentaren (Ri, mila eurotan) eta 

familia buruaren soldataren (Si, mila eurotan) 10 familiako talde bateko hileroko datuak ditu: 

Familia Kontsumoa aitortutako errenta soldata 

1 1,3 1,5 1,3 

2 1,4 1,7 1,6 

3 1,5 1,8 1,7 

4 1,1 1,2 1,0 

5 1,7 1,9 1,6 

6 1,5 1,7 1,6 

7 1,4 1,6 1,4 

8 1,3 1,5 1,4 

9 1,3 1,5 1,4 

10 1,7 1,7 1,3 

aldagaia 14,2 16,1 14,3 

aldagaia 2 20,48 26,27 20,83 

Kontsumoan zenbat errenta erabiltzen den aztertzeko hurrengo eredua proposatzen da:Ci = α +βRi +ui, 

nonui perturbazioak banaketa normala duen. Aurreko taularen kontsumo eta ogasunari aitortutako errentaren 

datuekin eredua KTA bitartez estimatu da eta ondoko emaitza hauek lortu dira: 

Ci = 0, 0453 

(desb) (0,2406) 

+ 0, 8539Ri 

(0,1485) 

R 2 = 0,8052 û 2 i = 0, 0615 (4) 

1. Eredu horren perturbazioetan autokoerlazioa egotea logikoa ikusten duzu? Arrazoitu. 

2. Uste da familiren batek Ogasunari aitortutako errenta benetako errentarekiko desberdina dela, beraz 

ditugun datuak ez dira benetako aldagaiarenak, hau da, errenta aldagaia errorearekin neurtuta 

dago,RDi = Ri +ǫi, nonRi ikusten edo behatzen ez dugun aldagai azaltzailea den etaRDi ikusten 

edo behatzen dugun aldagaia da, hau da, Ogasunari aitortutako errenta. Zein da horren eragina 

KTA estimatzailearengan? Froga ezazu. 

3. Demagun, benetan, errenta errorearekin neurtu dela. Estima ezazu eredua Ordezko Aldagaien metodoa 

erabiliz. 

4. Bedi Bar( 

 

0, 0954 −0, 0586 

βOA) = 

OA estimatzailearen bariantza eta kobariantza ma- 

−0, 0586 0, 0364 

trizearen estimazioa. Azal ezazu nola kalkulatu den. 

5. Kontrasta ezazu ea, benetan, errenta erroreakin neurtuta dagoen ala ez. Komenta ezazu erabilitako 

kontrastearen fidagarritasuna kasu honetan. 

6. Orain arte lortutako emaitzen arabera, zein estimatzaile da egokiagoa, KTA edo OA? Arrazoitu. 


Enpresa konkretu bateko 49 langileen hileroko soldata (Si) aztertu nahi da. Horretarako ondoko aldagaien 

informazioa daukagu langile bakoitzarentzat: hezkuntza(Hezi), laneko esperientzia (Espi), adina 

(Adinai) eta sexua (Gi). Oharra:Gi aldagaiak 1 balioa hartzen du gizonezkoa denean eta 0 bestelakoan. 

167

Soldata azaltzeko ondoko ereduak proposatu eta KTA bitartez estimatu dira: 

Si 

( 

desb.) 

Si 

( 

desb.) 

hondarra 

1500 

1000 

= 648, 27 

(383,13) 

= 434, 82 

(258,87) 

500 

0 

-500 

-1000 

-1500 

+ 132, 50 

(31,69) 

+ 133, 55 

(31,51) 

Hezi + 37, 97 

(13,04) 

Hezi + 34, 45 

(12,13) 

Espi − 5, 83 

(7,69) 

Erregresioaren hondarrak 

0 1 

Sexoa 

Espi + 470, 46Gi 

(144,87) 

a) Bi eredu horien artean zein da egokiena? Arrazoitu erantzuna. 

Adinai + 487, 67Gi 

(147,31) 

b) Ikerlariak uste du perturbazioaren bariantza emakumeentzako eta gizonentzako desberdina izan 

daitekeela. Hipotesi horren aldeko ebidentziaren bat aurkitzeko (eredu egokienaren) hondarren 

grafikoa egiten du Sexua aldagaiaren kontra. Gogora ezazue 0 balioak laginaren emakumeak biltzen 

dituela eta 1 balioak gizonak. Zer ikus daiteke grafikoan? 

c) Grafikoa aztertu ondoren, heterozedastizitatearen kontraste bat egitea erabakitzen du. Perturbazioaren 

bariantza ondoko era honetan zehazten du: σ 2 i = h(α0 +α1Gi). Zein kontraste burutuko 

du? Azal ezazu pausuz pausu. 

d) Hurrengo datuen arabera, zein da ondorioa? 

û 2 i 

˜σ 2 u 

= 0, 443 + 1, 050Gi + ˆwi KTB = 127, 66 HKB = 114, 21 

e) Orain arte lortutako emaitzekin, zein estimazio metodo proposatuko zenuke? Azal ezazu detaile 

guztiekin eta komenta itzazu bere propietateak. 


Espainiako (Y) inportazioen portaera aztertu nahi da (BPG) Barne Produktu Gordinaren eta (I) Inbertsioaren 

arabera. Horretarako hurrengo eredua KTA bitartez estimatu da (DW: Durbin-Watson; BG(1): 

Breusch Godfrey 1 ordenako autokoerlazioarentzat ): 

Yt 

(t − estat) 

= 

ˆβ1 

 

0,44 

(9,32) 

ˆβ2 

 

+ 0,00018BPGt 

+ 

(19,47) 

ˆβ3 

 

0,39 

(20,27) 

(1) 

(2) 

It t = 1976,...,2009 (3) 

R 2 = 0,89 HKB = 1,42 DW = 0,96 BG(1) = 9,14 

168

a) Azal ezazu detaile guztiarekin nola kontrastatuko zenukeen, jasotako informazioarekin, perturbazioetan 

lehen ordenako prozedura autoerregresibo bat dugula, egin ezazu kontrastea. 

b) Perturbazioek 1 ordenako prozedura autoerregresiboa jarraituko balute: 

ut ∼ AR(1): ut = ρut−1 +εt, εt ibb 

∼ (0,σ 2 ε), |ρ| < 1 

a) Lor ezazu (frogatu)Kob(ut,ut−1). 

b) Idatz ezazu perturbazioen bariantza eta kobariantza matrizea. 

c) Kasu honetan, KTA estimatzailea tinkoa litzateke? Eta asintotikoki efizientea? Arrazoitu. 

d) Azal ezazu detaile guztiekin nola estimatuko zenukeen eredua era tinko eta asintotikoki efiziente 

batean. 

Ereduaren beste zehazpen posible bat eredu dinamiko bat erabiltzean datza, aldagai endogenoa periodo 

bat atzeratuta aldagai azaltzaile bezala ereduan barneratuz. KTA bitartez lortutako estimazioa 

ondoko hau da: 

Yt 

(t − estat) 

= 

ˆα1 

 

0,39 

(3,72) 

ˆα2 

 

+ 0,000179BPGt 

+ 0,43 

(15,28) 

ˆα3 

(9,70) 

ˆα4 

 

It 

−0,015Yt−1 

t = 1977,...,2009 (4) 

(−0,2791) 

R 2 = 0,96 HKB = 1,38 DW = 0,89 BG(1) = 8,79 

c) (3) ereduko hondarretan detektatutako autokoerlazioa Yt−1 aldagai nabariaren omisioaren ondorioz 

sortutakoa delaren susmoa dago. Arrazoi ezazu zergatik sor dezakeen autokoerlazio arazoak 

ereduaren zehazpen oker batek. 

d) Zeintzuk dira KTA estimatzailearen propietateak (4) ereduan? Beharrezkoa baderitzozu egin ezazu 

kontrasteren bat. 


Ikerlari batek (Si, mila eurotan) hileroko soldataren eta (Hi) hezkuntza urteen datuak ditu 10 pertsonadun 

talde batean. Gainera gurasoen etxetik hurbilen dagoen unibertsitatera dagoen (Di, hamarnaka 

kilometrotan) distantziaren datuak ditu: 

Indibiduo Soldata Hezkuntza Distantzia 

Si Hi Di 

1 1,0 1 13 

2 2,2 6 6 

3 2,4 4 9 

4 2,5 3 9 

5 3,7 7 4 

6 2,4 4 8 

7 2,3 0 14 

8 2,2 3 9 

9 1,8 7 5 

10 3,1 8 3 

aldagaia 23,60 43 80 

aldagaia 2 60,28 249 758 

169

Hezkuntzak indibiduo baten soldatan duen efektua aztertzeko hurrengo eredua proposatzen da:Si = α +βHi +ui. 

Eredu hori aurreko taularen datuekin KTA bitartez estimatu da eta ondoko emaitza hauek lortu dira: 

Si = 1, 7348 

(desb) (0,3960) 

+ 0, 1454Hi 

(0,0794) 

R 2 = 0,2956 û 2 i = 3, 2289 (5) 

a) Eredu horren perturbazioetan autokoerlazioa egotea logikoa da? Arrazoitu. 

b) Uste da Hezkuntza aldagaia eta ereduko perturbazioa koerlatuta egon daitezkeela. Hori egia balitz, 

zein propietate edukiko lituzke (5) ereduko koefizienteen KTA estimatzaileak? Arrazoitu detaile 

guztiarekin. 

c) Estima ezazu eredua Ordezko Aldagaien (OA) metodoarekin Distantzia aldagaia ordezko aldagaitzat 

erabiliz (ikerlariak uste du aldagai hau negatiboki erlazionatzen dela hezkuntzarekin, baina 

ez du uste ereduaren perturbazioarekin erlazionatuta dagoenik). Oharra: matrizea ez simetrikoa 

denez Z ′ X matrizearen determinantea negatiboa izan daiteke. 

d) Izan bedi Bar( 

 

0, 1836 −0, 0319 

βOA) = 

OA estimatzailearen bariantza eta kobariantza 

−0, 0319 0, 0074 

matrize asintotikoaren estimazioa. Azal ezazu nola kalkulatu den (ez egin kalkulurik). 

e) Kontrasta ezazu, ea, benetan, hezkuntza aldagaia eta ereduaren perturbazioa koerlatuta dauden ala 

ez. Komenta ezazu kontrastearen fidagarritasuna kasu honetan. 


Euskal Autonomia Erkidegoko (EAE) 201 hezkuntza zentroko, 2009 eta 2010 urteetako eta ikastetxe mota 

desberdinetako (publikoa (PU) edo kontzertatua-pribatua (PR)) Unibertsitatera sartzeko batezbesteko 

noten (Nota) datuak ditugu (N=201+201=402). Zentru motak batezbesteko notan duen eragina aztertzeko, 

datu guztiekin (2009 eta 2010 urteetakoak) eredua estimatu da KTA bitartez, ondorengo emaitzak 

lortuz: 

 

Notai 

(ˆσ 

βj ˆ ) 

= 

ˆβ1 

ˆβ2 

 

 

6, 2647−0, 

1928PUi 

(0,0458) 

(0,0677) 

402 

i=1 

û 2 i = 182, 7854 N = 402 (1) 

non PUi fikziozko aldagaiak 1 balioa hartzen duen ikastetxea publikoa bada eta zero bestelako kasuan. 

Suposa ezazu ui perturbazioak banaketa normala jarraitzen duela. 

a) Urte desberdinetan perturbazioaren bariantza desberdina izan daitekelaren susmoa dago. Egia den 

edo ez jakiteko, eredua estimatu da urte desberdinetan, hau da, 2009 eta 2010 urteak bereiztuz. 

 

Notai,2009 

(ˆσ 

βj ˆ ) 

 

Notai,2010 

(ˆσ 

βj ˆ ) 

= 

= 

ˆβ 2009 

1 

 

 

6, 0971−0, 

2316PUi,2009 

(0,0680) 

ˆβ 2010 

1 

ˆβ 2009 

2 

(0,1005) 

 

 

6, 4323−0, 

1540PUi,2010 

(0,0562) 

ˆβ 2010 

2 

(0,0831) 

201 

û 

i=1 

2 i,2009 = 100, 2597 N2009 = 201(2) 

201 

i=1 

û 2 i,2010 = 68, 5586 N2010 = 201 (3) 

Kontrasta ezazu ereduko perturbazioek bi urteetan sakabanatzea konstante mantendu duten edo 

ez. Azal ezazu garbi kontrasteko pausuak eta zehaztu itzazu hipotesi hutsa, aurkakoa, kontrasteko 


170

) Orain arte lortutako emaitzak kontuan izanik, zein estimazio metodo proposatuko zenuke (1) eredua 

estimatzeko? Azal ezazu zehatz-mehatz eta aipatu estimatzaile horren propietateak. 

c) 2010 kurtsoan zehar, EAEan sarrera nota hobetzeko plangintza bat ezarri zen. Plangintza honek 

funtzionatu omen du eta beraz, ereduan egitura aldaketa bat eman da (ereduko koefizienteak desberdinak 

dira 2009 eta 2010 urteetan). Idatz ezazu egoera hau kontuan hartzen duen ekuazio sistema 

eta proposa ezazu asintotikoki efizientea den estimatzailea. 


Izan bedi ondorengo erregresio eredua: 

Yt = β1 +β2Yt−1 +β3Xt +ut t = 2,...,80 (4) 

non ut ∼ (0,σ 2 u) eta Xt aldagaia ez estokastikoa den. KTA estimatzailea erabiliz hurrengo emaitzak 

lortu dira: 

Yt = 3, 02 

( desb) (0,91) 

+ 0,59Yt−1 

+ 1,02 

(0,21) 

(0,32) 

Xt +ût R 2 = 0,65 DW = 1,8 

ût = 0,041 + 0,039ût−1 − 0,008Yt−1 + 0,021Xt + ˆvt R 2 = 0,017 

a) Informazio guztia erabiliz, KTA estimatzailea ereduko koefizienteen estimatzaile alboragabea da? 

Tinkoa? Arrazoitu ezazu zehatz-mehatz zure erantzuna. 

Hurrengo ataletan demagunut ∼ ibb(0,σ 2 u) etaXt estokastikoa dela etaE(Xtut) = 0 delaren 

susmoa dugula. Hortaz, Zt aldagaia erabiliz Xt aldagaiaren ordezko aldagai edo instrumentotzat, 

eredua ordezko aldagaien metodoaren bitartez estimatu dugu. 

OA estimazioa: 

non 

ˆYt = 2, 61 + 0, 67Yt−1 + 2, 35Xt 

ˆ 

Bar( ˆ βOA) = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1, 09 0, 09 0, 07 

0, 09 0, 11 0, 10 

0, 07 0, 10 0, 42 

b) Zein baldintzak bete behar ditu Zt ordezko aldagaiak OA estimatzailea tinkoa izan dadin? 

c) Azal ezazu β koefizienteen ˆ βOA estimazioa nola lortu den OA metodoaren bitartez eta baita bere 

bariantza-kobariantza matrizearen, ˆ Bar( ˆ βOA), estimazioa ere. Zehaztu itzazu erabilitako matrize 

eta bektore guztiak. 

d) Burutu ezazu kontrasteren bat zein estimazio metodo den egokiena erabakitzeko. 

e) Kontrasta ezazuXt aldagaiaren esanguratasuna. 

171 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(5)


Yt etaXt aldagaien ondorengo lagin behaketak izanik: 

t Yt Xt 

1 14 6 

2 19 8 

3 22 10 

4 15 6 

5 18,5 8 

6 26,5 12 

7 11 4 

8 6 2 

Batura 132 56 

Batezbestekoa 16,5 7 

DemagunX aldagaia ez estokastikoa dela.X etaY aldagaien arteko erlazioa aztertzeko, aurreko taulako 

datuekin hurrengo erregresio eredu bakuna estimatu da KTA bitartez: 

ˆYt = 2, 5 + 2Xt 

a) Autokoerlazioa dagoen edo ez aztertzeko, marraztu ezazu grafiko bat. Autokoerlazioaren arraztorik 

ikusten duzu? Ze seinutakoa? Azal ezazu zehazki. 

b) Burutu ezazu Durbin eta Watson kontrastea. 

c) Aurreko ataletako emaitzak kontuan izanik, zein propietate ditu KTA estimatzaileak? Zer esan 

dezakezu estimatzaile honekin egindako kontrasteen baliogarritasunari buruz? Ba al dago estimatzaile 

hobeagorik? 

d) Estima itzazu ereduko parametroak Karratu Txikienen Zabalduen metodoaren bitartezut ∼ AR(1) 

dela suposatuz nonρ = −0, 8 den. 

172

Ariketak

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?