I Raggi X (2)

I Raggi X (2)
Corso di Introduzione alla Fisica Moderna
AA 2010/2011
S.Arcelli

RIFRAZIONE DEI RAGGI X
1

Rifrazione dei Raggi X
• Fenomeno individuato da Stenstrom nel 1919, da alcune piccole
deviazioni osservate nella legge di Bragg. Fissato il piano reticolare e
una radiazione monocromatica di lunghezza d’onda definita:
2d
sin
m
Si ottenevano valori inconsistenti di lunghezza d’onda per diversi
ordini m.
•Effetto riconducibile ad un fenomeno di rifrazione dei raggi X
all’interno del cristallo (la legge di Bragg è ricavata nell’assunzione che
anche nel cristallo i raggi X si propaghino come nel vuoto)
2

Rifrazione dei Raggi X
• A causa della rifrazione, la lunghezza d’onda della radiazione
all’interno del cristallo è diversa. In particolare:
'
n(
)
1)
n() indice di rifrazione del cristallo
•Inoltre, la radiazione cambia direzione, e questo fa sì che l’angolo di
incidenza della radiazione sui piani cristallini interni sia diverso da
quello sulla superficie. Per i raggi X le
deviazioni dalla legge di Bragg indicano:
'
3

Rifrazione dei Raggi X
• Quindi l’angolo effettivo che interviene nella legge di Bragg non è
l’angolo di radenza sulla superficie del cristallo, , ma l’angolo di
radenza della radiazione rifratta ‘. Data dalla legge di Snell:
n sin n sin
i
i
r
r
Nel caso dei raggi X, dove si osserva che l’angolo di radenza all’interno
del cristallo è minore, l’indice di rifrazione è quindi

Rifrazione dei Raggi X
• La legge di Bragg all’interno del cristallo sarà quindi:
2 1/
2
2d
sin
'
2d(
1
cos '
) m'
• Sostituendo nella 3) la 1) e la 2), si ottiene:
cos
2d(
1
n
)
m
n
•Elaborando il termine fra parentesi e fattorizzando sin:
2
2
1/
2
2
2
2 1/
2
n 1
1/
2
2d(
n 1
sin ) 2d
sin
( 1
) m
2
sin
3)
5

Rifrazione dei Raggi X
• La dipendenza originaria della legge di Bragg è quindi “modulata”
da un termine correttivo C:
2d
sin
C
m,
• Essendo n

Rifrazione dei Raggi X
Sempre considerando che in genere n è molto prossimo a 1:
C 1
1
2
( n 1)(
n 1)
2
sin
• La legge di Bragg modificata per l’effetto di rifrazione si può quindi
scrivere:
n 1
d sin
( 1
) m
sin
2 2
( n 1)
1
2
sin
•Due conseguenze dell’effetto di rifrazione dei raggi X:
• Prima conseguenza: Poichè n

Rifrazione dei Raggi X
•Per luce visibile in un prisma ottico l’indice di rifrazione è > 1.
L’angolo del raggio rifratto rispetto alla normale alla superficie
È minore dell’angolo di incidenza.
•Il fenomeno per cui l’indice di rifrazione dipende dalla frequenza
è detto dispersione. Per luce visibile dn/d

Rifrazione dei Raggi X
• Seconda conseguenza: esiste un angolo limite di radenza al di
sotto del quale non vi è raggio rifratto, ma i raggi X sono
completamente riflessi dalla superficie del materiale (riflessione
totale). L’angolo critico è definito da:
cos
n(
)
( si
c
ha cos
'
1)
c
’=0
Gli angoli critici sono tipicamente molto piccoli, dell’ordine del
milliradiante (< decimo di grado) . Come dipende n dalla 9
lunghezza d’onda della luce?

Rifrazione dei Raggi X
• Nella teoria classica della dispersione, dipendenza dell’indice di
rifrazione dalla lunghezza d’onda della luce incidente
n( )
Ne
2
2 2
1 2
2me
n(
)
1
2
2mec
Dove N è il numero di elettroni per unità di volume.
•N.B.Questa relazione è valida se la frequenza della luce incidente è
molto maggiore della frequenza naturale degli elettroni atomici
•Condizione certamente vera per radiazione X (energie del KeV, da 10
confrontarsi cone energie di legame dell’ordine dell’eV). Dalla formula
n

Teoria della Dispersione
• L’interazione fra la radiazione e la materia è schematizzata come
interazione fra l’onda e gli elettroni atomici, che agiscono come
oscillatori armonici con pulsazione propria 0 , soggetti ad una forza di
smorzamento (dovuta ad eventuali interazioni con gli atomi circostanti
e a irraggiamento) e ad un termine forzante (dovuto al campo
elettrico associato all’onda).
oscillatore armonico smorzato e forzato
•In queste ipotesi si può ricavare l’indice di rifrazione del materiale in
funzione della frequenza della luce incidente, n=n()

•Risulta in particolare:
Raggi X
Teoria della Dispersione
•Per > 0
n=n()>1
n=n()

Teoria della Dispersione
•Cosa succede alla velocità di fase e alla velocità di gruppo?
Normale
Anomala
c
v f
, vg
n(
)
c
dn
( n(
)
)
d
•Per dn/d >0 , cioè dn/d

Rifrazione dei Raggi X
•Nella condizione di riflessione totale, quando l’angolo di incidenza è
pari all’angolo critico:
2
2 2
c
Ne
cos c ( 1
...)
n(
)
1
2
2
2m
c
c
2
Ne
m
c
•L’angolo critico della riflessione totale è direttamente proporzionale
alla lunghezza d’onda della luce incidente, ed è proporzionale alla
e
radice della densità del materiale. Quanto più energetica è la radiazione
14
X, minore è l’angolo critico per la riflessione totale.
2
e

DIFFUSIONE DEI RAGGI X
15

Diffusione dei Raggi X
Cosa prevede l’elettrodinamica classica per il processo di diffusione
dei raggi X su un materiale?:
•Al passaggio dei raggi X in un materiale, gli elettroni atomici si
mettono in oscillazione e emettono radiazione (onde sferiche) in
tutte le direzioni.
•La frequenza della radiazione diffusa è uguale alla frequenza della
radiazione incidente. Non c’è trasferimento di energia, solo un
cambio di direzione
•La radiazione emessa viene detta radiazione diffusa o secondaria
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Diffusione dei Raggi X
Sia E il campo elettrico associato all’onda incidente. Dato un elettrone
atomico del materiale, l’accelerazione risultante sull’elettrone per
effetto del campo elettrico dell’onda sarà:
a
eE
me
se v e> dalla sorgente sarà:
ea sin
e
E
, E 0 ( E
2 r 2
r
rc r
E
)
17

E
ea sin
2
rc
Diffusione dei Raggi X
•Per =/2 il campo dell’onda diffusa è massim
•Per =0 il campo dell’onda diffusa è 0
•L’emissione è massima nella direzione ortogona
alla velocità dell’elettrone,a =/2
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Diffusione dei Raggi X
Sostituendo ad a l’accelerazione dell’elettrone si ottiene:
E
2
e E sin
2
m rc
Poichè abbiamo detto che l’Intensità della radiazione è proporzionale
al quadrato del modulo del campo elettrico, possiamo scrivere per
l’intensità della radiazione diffusa all’angolo (definito come angolo
fra r e E), a distanza r dalla sorgente, la relazione:
I
I
e
m
4 2
sin
2
e
r
2
4
c
e
Intensità massima per =/2
(ortogonale alla direzione della
Velocità dell’elettrone, come aspettato)
19

Diffusione dei Raggi X
Analizziamo ora la radiazione diffusa in tutte le componenti :
•Asse x coincidente con la direzione
dei raggi X incidenti
•Origine: punto in cui si trova la sorgente
(l’elettrone)
•P:punto i cui si misura l’ntensità
•Assi y e z possono essere scelti
arbitrariamente
scegliamo l’asse y appartenente al piano che contiene l’asse x e la
direzione del raggio diffuso (il segmento OP): L’asse z a questo punto è
fissato, ed è per definizione perpendicolare a y, x e OP.
20

Diffusione dei Raggi X
Dato questo sistema di riferimento, il campo elettrico associato alla
radiazione incidente può esser scomposto nelle due componenti:
E
2
2 2
Ey
Ez
, Ex
0
Poichè l’intensità della radiazione è proporzionale al quadrato del
campo elettrico, l’intensità totale dei raggi X incidenti può essere
espressa come:
I I
y
I
z
Inoltre, stiamo considerando radiazione incidente non polarizzata, e
quindi risulta:
I y
I z
I
/
2
21

Diffusione dei Raggi X
Calcoliamo ora l’intensità della radiazione diffusa legata alle due
componenti del campo elettrico, rispettivamente lungo y e x:
I
I
1
2
I
I
y
z
4 2
e sin 1
2 4
m r c
2
e
4 2
e sin 2
2 4
m r c
2
e
Componente lungo y: 1 è l’angolo
tra OP e l’asse y
Componente lungo z: 2 è l’angolo
tra OP e l’asse z
angolo fra OP e direzione di propagazione
della radiazione incidente ( || all’asse x)
1
e 2
2 2
22

Sostituendo:
I
I
1
2
Diffusione dei Raggi X
I
I
y
z
e
e
4
4
2
sin ( / 2 )
2 4
m r c
2
e
2
e
2
sin ( /
2 4
m r c
2)
4 2
I e cos
2 4
2 m r c
4
I e
2
2 m r c
L’intensità totale della radiazione diffusa da un elettrone sarà quindi:
I
diff
I
1
I
2
I e
2 m r
2
e
4
2
c
4
2
e
2
e
4
( 1
cos
Con l’ angolo fra la direzione di propagazione dell’onda diffusa e la
direzione di propagazione della radiazione incidente.
2
)
23

Diffusione dei Raggi X
• Questo è quanto risulta per lo scattering della radiazione su un
elettrone. Supponiamo che il materiale contenga N elettroni per unità
di volume che partecipano allo scattering. Supponiamoche gli
elettroni possano essere considerati come liberi e indipendenti fra
loro. In questa ipotesi l’intensità dell’onda diffusa per unità di volume
di materiale diffusore sarà:
I
tot
diff
N I
diff
Ne
I 2
2m
r
e
4
2
c
4
( 1
cos
Cioè le intensità si sommano linearmente. Se tutti gli elettroni dell’atomo
partecipassero indipendentemente alla diffusione (ovvero in modo
incoerente), all’intensità diffusa per atomo corrisponderà N=Z.
24
Quando non si verifica questa ipotesi?
2
)

Diffusione dei Raggi X
• Gli atomi hanno tutti raggi dell’ordine di 1 A, indipendentemente dal
loro numero atomico. Se la radiazione ha una lunghezza d’onda
significativamente maggiore del raggio atomico, gli elettroni di un
atomo sono visti come un tutt’uno (un super-elettrone di carica Ze,
con un’emissione coerente di tutti gli elettroni all’interno dell’atomo).
In questo caso l’intensità diffusa per atomo sarà Z 2 e non a Z, in
particolare nella direzione dell’onda incidente
• Analogamente, lo stesso succede se si considerano atomi con
elevato numero atomico (gli elettroni di un atomo pesante sono
mediamente più “vicini” e interferiscono costruttivamente)
•In questi casi si osservano alcune deviazioni dalla teoria di Thomson.
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Diffusione dei Raggi X
•Altrimenti il processo di diffusione può essere visto come somma
incoerente di scattering indipendenti degli elettroni atomici: questo
si verifica quando la lunghezza d’onda della luce incidente è
confrontabile con le dimensioni atomiche, e per sostanze con basso
numero atomico.
•Per lunghezze d’onda molto minori del raggio atomico, 1) viene meno
l’ipotesi non relativistica e 2) è necessaria una trattazione quantistica.
Si osservano, come vedremo, differenze sostanziali nelle
caratteristiche associate alla diffusione della luce
•P.S. E la diffusione sui nuclei? Anche loro sono carichi. Perchè
la possiamo trascurare?
26

Diffusione dei Raggi X
L’ elettrodinamica classica fa quindi queste previsioni sulla diffusione
di raggi X (“scattering Thomson”) :
•Distribuzione angolare caratteristica della radiazione diffusa:
Idiff
2
( 1
cos )
Emissione massima nella direzione ortogonale
all’oscillazione dell’elettrone, e quindi nel piano che
contiene la direzione di propagazione dell’onda incidente
•Per =/2 l’intensità è minima, e la radiazione diffusa è polarizzata in
una direzione || all’asse z e perpendicolare a x-y:
I
1
I
e
4
cos
2
(
/
2)
0,
e
2 2 4
2
2 2 4
2 me
r c
2 me
r c
•L’intensità diffusa è proporzionale al numero di elettroni atomici . E’
un scattering sugli elettroni considerati come indipendenti e liberi. 27
I
I
e
4

Polarizzazione dei Raggi X
Facendo riferimento alla teoria di diffusione di Thomson, che
prevedeva una polarizzazione della radiazione diffusa per angoli di
scattering ortogonali alla direzione del fascio primario, Barkla misurò
la polarizzazione di un fascio di raggi X diffuso per diversi materiali (Al,
S, C,..):
•La radiazione diffusa da S1 ,a 90 0 rispetto
al fascio incidente , è fatta incidere
su S2.
•La radiazione incidente su S2 ha componente
lungo y nulla, ed è polarizzata con direzione di
vibrazione parallela a z.
•I due rivelatori misurano l’intensità diffusa da S2
Nella direzione x e z.
Si osserva che l’intensità diffusa da S2 misurata lungo x è massima,
e lungo la direzione z è minima, in accordo con la teoria di Thomson
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Diffusione dei Raggi X
Nel 1911, ancora Barkla (e più tardi Hewlett) misurò l’intensità
diffusa per raggi X (con lunghezza d’onda 0.71 A) incidenti su carbonio
(Z=6), a diversi angoli di diffusione, e la confrontò con quanto previsto
dalla teoria, lasciando il numero N di elettroni efficaci/atomo come
parametro libero.
•Le misure sperimentali erano consistenti con la teoria se N=6
•Quindi nel carbonio tutti gli elettroni atomici partecipano allo
scattering, e si comportano come sorgenti indipendenti (le
intensità si sommano)
•Come già menzionato, per elementi con numeri atomici elevati e
radiazione X meno energetica si osservano delle deviazioni. Se la
radiazione X è molto energetica, poi, le caratteristiche della
diffusione cambiano drasticamente.
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