LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti 1. Calcolare i ...

quindi α = 4, k = 3.
b) Si ha
c)
e √ x2 +1 1+
− e = e 1
2 x2 +o(x 2
)
− e = e
1 − cos x
√ x + x 2 =
1
= e
2 x2 + o(x 2 )
∼ e
2 x2
1
2 x2 + o(x 2 )
√ x + o( √ x) ∼ 1
2 x3/2
e 1
2 x2 +o(x 2 ) − 1
(x → 0).
(x → 0).
d) Essendo log(1 + t) = t + o(t) ∼ t (t → 0), si ha
log(cos x) = log 1 − 1
2 x2 + o(x 2
) = − 1
2 x2 + o(x 2 ) ∼ − 1
2 x2
(x → 0).
e) Notiamo che 3√ x + x 2 ∼ 3√ x (x → 0), ma questo non ci permette di concludere che
3√ x + x 2 − 3 √ x + x 2 è equivalente a x 2 per x → 0. Infatti ricordando che (1 + x) α − 1 =
αx + o(x) ∼ αx (x → 0), si ha
3
x + x2 3 − √ x + x 2 = 3√
x (1 + x) 1/3
− 1 + x 2 = 3√
1
x x + o(x) + x
3 2
= 1
3 x4/3 + o(x 4/3 ) ∼ 1
3 x4/3 (x → 0).
f) Per x → 0 si ha
g)
e ex
− e cos x = e 1+x+o(x) 1 1−
− e 2 x2 +o(x 2 )
= e
= e
log(x + 3) − log 3 = log
x + o(x) + 1
2 x2 + o(x 2 )
x + 3
3
e x+o(x) 1 −
− e 2 x2 +o(x 2 )
= ex + o(x) ∼ ex.
= log 1 + x
3
∼ x
3
h) Essendo sin(2x2 ) ∼ 2x2 e √ 1 + 3x − 1 ∼ 3
2x (x → 0), si ha
sin(2x 2 ) √ 1 + 3x − 1 ∼ 3x 3
i) Essendo 1 − cos t ∼ 1
2 t2 (t → 0), si ha
1 − cos (x 2 ) = 1 − cos x 2 1/2 ∼
l) Per x → 0 si ha
√ √ 1
1 + x − 1 − x = 1 + x + o(x) −
2
(x → 0).
1
2 x4
1/2 = 1
√ x
2 2
(x → 0).
(x → 0).
1 − 1
x + o(x) = x + o(x) ∼ x.
2