LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti 1. Calcolare i ...

g) Ricordando che a x = 1 + x log a + o(x) per x → 0, si ha
π
lim
x→0
x − 3x x
/1 + x log π − /1 − x log 3 + o(x)
= lim
x→0
x
h) Si ha √ 1 + t = 1 + t
2 + o(t) per t → 0, da cui
lim
x→0
√ 1 + 4x − 1
5 x − 1
2x + o(x)
= lim
x→0 x log 5 + o(x)
= log π − log 3 = log π
3 .
= 2
log 5 .
i) Posto 2 x − 1 = t è facile vedere che t → 0 ± quando x → 0 ± , dunque
lim
x→0 ±
sin (2x − 1)
(2x = lim
− 1) 2
t→0 ±
sin t
= lim
t2 t→0 ±
sin t
t
1
t
= ±∞.
l) Notiamo che √ x 4 + x 3 = x 3/2√ 1 + x = x 3/2 + o(x 3/2 ) per x → 0, dunque
m) Si ha
lim
x→0
√ 2x 3 − x 6
4x6 − √ x4 = lim
+ x3 x→0
lim
x→+∞
22x + 2−x (2x /
= lim
− 1) 2 x→+∞
lim
x→−∞
22x + 2−x (2x +∞
=
− 1) 2 1
√ 2 x 3/2 + o(x 3/2 )
−x 3/2 + o(x 3/2 ) = −√ 2.
2 2x 1 + 2 −3x
2/ 2x (1 − 2−x )
= +∞.
n) Ricordiamo che per x → +∞ la funzione a x con a > 1 è un infinito di ordine
superiore a x α , qualunque sia α > 0. Si ha allora
lim
x→+∞
Analogamente per x → −∞ si ha
lim
x→−∞
x3 (2x − 2−x )
3x = lim
+ 3−x x→+∞
x3 (2x − 2−x )
3x = lim
+ 3−x x→−∞
x 3 2 x
= lim
3x x→+∞
−x 3 2 −x
= 1,
x3 x = 0.
3
2
= lim
3−x t→+∞
t3 t = 0.
o) Per x → +∞ la funzione (log x) α è un infinito di ordine inferiore a x β ∀α, β > 0,
quindi
x
lim
x→+∞
2 log 3 x + x log 7 x
1 + x3 /x
= lim
x→+∞
2 log 3 x
x /3
1 + log4 x
x
1 + 1
x 3
3
2
log
= lim
x→+∞
3 x
x
= 0.