Test di ipotesi Confronto tra medie e proporzioni

BIOSTATISTICA II
Fabrizio Minichilli
Test di ipotesi
Confronto Confronto tra tra medie medie e e proporzioni
proporzioni

Esempio:
L’età media degli g utenti di un
istituto di recupero per minorenni è 16.5 anni
con deviazione standard pari p a 2 anni
In un altro istituto di recupero viene estratto un campione
di n = 20 utenti su cui viene rilevata un’età media
pari a 16 anni
Domanda:
Alla luce dei dati forniti, forniti le due popolazioni
hanno età media diversa ?

H
0
: μ = μ
Test di ipotesi p
0
H : μ ≠ μ
1 0
Ipotesi NULLA
H Ipotesi ALTERNATIVA

Test di ipotesi p
P ( x | vera ) = p
( μ0
Se p è piccola allora si rifiuta l’ipotesi nulla
e si dice che il test è
STATISTICAMENTE SIGNIFICATIVO

Test di ipotesi p
Livello di significatività del test
È il valore di probabilità p sotto il
quale si rifiuta l’ipotesi nulla
(solitamente fissato a 00.05) 05)

Test di ipotesi p
p ≤ 0.
05 Si rifiuta l’ipotesi nulla
p > 0.
05 Non si rifiuta l’ipotesi nulla
ad un livello di significatività pari a 0.05

? P ( x | μ vera)
= p ?
0
Statistica Test =
Statistica di interesse – Valore ipotizzato
Errore Standard Statistica di interesse
Distribuzione di probabilità della Statistica test

Test di ipotesi p bilaterale:
confronto tra medie
Conoscenze sulla distribuzione campionaria della media
Se è nota la deviazione standard σ
e se si suppone che μ 0 sia la vera media,
allora, per n sufficientemente grande
Z
=
X
σ
μ 0
−
è una variabile casuale Normale standardizzata
n

Z test:
Test di ipotesi p bilaterale:
Statistica di
interesse
confronto tra medie
H
H
0
1
:
:
μ =
μ ≠
16
16
. 5
. 5
Valore ipotizzato
del parametro
Fissiamo il livello di significatività pari a 0.05
E.S. Statistica di
interesse
x − μμ
z =
σ n
16 − 16 16.
5
0 = =
2
20
1.
12

Test di ipotesi p bilaterale:
confronto tra medie
Test Bilaterale
Z test:
Fissiamo il livello di significatività g ppari
a 0.05
p
−
= x μ
z =
σ n
16 −16.
5
0 = = −
2
20
1 1.
12
= P(
z ≥1.
12)
+ P(
z ≤ −1.
12)
= 0.
13+
0.
13=
p > 0.05 ⇒ non si rifiuta l’ipotesi nulla
0.
26

p
Test di ipotesi p bilaterale:
confronto tra medie
La dimensione del campione ha influito
sulla significatività del test ?
x − μμ
z =
σ n
16 − 16 . 5
0 = = −
2
85
2.
30
= P(
z ≥ 2.
30)
+ P(
z ≤ −2.
30)
= 0.
01+
0.
01=
p < 0.05 ⇒ si rifiuta l’ipotesi nulla
0.
02

Test di ipotesi p bilaterale:
confronto tra medie
Se non è nota la deviazione standard σ
viene utilizza la stima campionaria s ed il
test è effettuato facendo riferimento alla trasformata
t
=
X
s
−μ0
che si distribuisce come una t con n-1 gradi di libertà
n

Statistica di
interesse
Test di ipotesi p bilaterale:
confronto tra medie
Supponiamo di aver calcolato la
deviazione standard campionaria s = 1.8
t
−
= x μ
=
s n
16−16.
5
0 = =
1.
8
20
= 1 1.
24
Valore ipotizzato
del parametro p
dalle tavole della distribuzione t con 20 – 1 = 19 gdl
p = 0.23 > 0.05 ⇒ non si rifiuta l’ipotesi nulla
E S St ti ti di
E.S. Statistica di
interesse

Test di ipotesi p bilaterale:
confronto tra proporzioni
Anche nel confronto tra proporzioni
vengono sfruttate le conoscenze sulla distribuzione
campionaria, in questo caso di una proporzione
Se p è la vera proporzione nella popolazione
Valore ipotizzato
Statistica di
la trasformata
del parametro
interesse
Z
=
pˆ p
−
p
p ( 1 1−
p )
E.S. Statistica di
interesse per p n sufficientemente grande g
è distribuita come una normale standard
n

Test di ipotesi p bilaterale:
confronto tra proporzioni
Esempio:
La proporzione di sopravviventi sopra i 40 anni
è pari all’ 8.2%
Viene estratto un campione di n = 60
soggetti di età inferiore ai 40 anni su cui è osservata
una proporzione di sopravviventi pari all’ 11.5%
Domanda:
É possibile affermare che nei due gruppi la percentuale
di sopravviventi è diversa ?

Test di ipotesi p bilaterale:
confronto tra proporzioni
H
H
0
1
:
:
p
p
=
≠
0.
082
0.
082
Fissiamo il livello di significatività pari a 0.01
z
=
pˆ
−
p
p ( 1 1−
p ) n
=
0.
115
0 . 082
−
0.
082
( 1 1−
0 . 082 ) 60
=
0.
93
P ( z ≥ 0.
93 ) + P ( z ≤ −0.
93 ) = 0.
17 + 0.
17 =
0.34 > 0.05 ⇒ non si rifiuta l’ipotesi nulla
0.
34

Test di ipotesi p bilaterale:
confronto tra medie o tra proporzioni
Test su singolo campione
Media (o proporzione) campionaria
vs
Media (o proporzione) di riferimento

Esempio:
In un campione p di 8143 nati da madri non fumatrici è stato
rilevato un peso medio alla nascita pari a 3424.1 g
IIn un campione i di 5065 nati i dda madri d i ffumatrici i i è stato
rilevato un peso medio alla nascita pari a 3241.6 g
Domanda:
Alla luce dei dati rilevati, rilevati il fumo nella madre
influisce sul peso del neonato ?
ovvero
Le due medie campionarie
sono significativamente diverse ?

H 0 1 2
H
: μ μ = μμ
H 1 : μμ 1 ≠ μμ
2
H
TTest t per campioni i ii indipendenti di d i
Confronto tra medie
Riformulazione ipotesi p
H
0
: μ 1 − μ 2
=
0
H
μμ
− μμ
≠ 0
1
: 1 2

Statistica Test =
Statistica di interesse – Valore Valore ipotizzato
Errore Standard Statistica di interesse
Statistica di
Valore ipotizzato
interesse del parametro
E.S. Statistica di
interesse
t
=
( x − x ) − ( μ − μ )
1
s
2
p
2
⎛
⎜
⎝
1
n
1
+
1
1
n
2
⎞
⎟
⎠
2
Varianza pooled

( x − x )
1
2
tn
t = ~ 2
⎛ 1 1 ⎞
1+n
2 −
⎛ 1 1 ⎞
s
2
⎜ ⎟
⎜ + p ⎟
⎝ n n 1 2 ⎠
Condizioni di applicabilità
• 2 Campioni indipendenti
Stima di σ 2
Stima di σ
• Nelle due popolazioni la variabile deve essere distribuita secondo una Normale
• Omoschedasticità ovvero
2 2
σ σ 1 =
σσ
2 =
σσ
2

0
Test t per campioni indipendenti
1 =
1 =
1 =
Nati da madri
non fumatrici 1 1 1
Nati da madri
fumatrici
1
2
n 8143
1 . 3424 x 6 . 474 s
n 5065 x 3241 3241.
6 s 476 476.
5
2 =
H : μ μ = μμ
μμ
− μμ
= 0
0
: 1 2
H : μμ ≠ μμ
H μμ
− μμ
≠ 0
1
1
2
2 =
2 =
H ( x1
− x2
)
2
p
1 : ⎜ ⎟
1 2
⎝ n n ⎠
: H 1 1 2
⎝ n1
n2
⎠
2
s p
=
t
2 ( n −1
) s + ( n −1
)
1
n
1
1
+ n
2
2
− 2
=
s
2
2
s
⎛
⎜
1
+
1
⎞
⎟

Test t per campioni indipendenti
1 =
1 =
1 =
Nati da madri
non fumatrici 1 1 1
Nati da madri
fumatrici
n 8143
1 . 3424 x 6 . 474 s
n 5065 x 3241 3241.
6 s 476 476.
5
2 =
2 =
( x1
− x2
)
t =
( 3424.
1−
3241.
6 )
s
⎛
⎜
⎝
1
+
1
2
p
⎝ n n1
n n2
⎞
⎟
⎠
t
=
8.
51
=
2 =
t = t
8143+
5065−2
182.
5
8.
51
p = P ( t ≥ 21.
4 ) + P ( t ≤ −21.
4 ) = 0.
00+
0.
00 =
p = 0.00 < 0.05 ⇒ si rifiuta l’ipotesi nulla
=
21.
4
0.
00
13206

Esempio:
In uno studio condotto su un campione p di 100 maschi e
100 femmine tossicodipendenti è emerso che il 12%
delle femmine, , contro il 9% dei maschi, , fa uso di barbiturici
Domanda:
Alla luce dei dati rilevati è possibile affermare che la
propensione all all’uso uso di barbiturici
sia maggiore per le femmine
ovvero
Le due proporzioni campionarie
sono significativamente diverse ?

H 0 : p1
= p 2 p H =
H 1 : p1
≠ p 2 p H ≠
TTest Z per campioni i ii indipendenti di d i
Confronto tra proporzioni
Riformulazione ipotesi p
H
0
: p1
− p 2
=
0
H
p − p ≠ 0
1
: 1 2

Statistica Test =
Statistica di interesse – Valore Valore ipotizzato
Errore Standard Statistica di interesse
Statistica di
Valore ipotizzato
interesse del parametro
E.S. Statistica di
interesse
z
=
( ˆ ˆ ) ( )
( )( ) 2 1 2 1 pˆ
− pˆ
− p − p
p ˆ(
1 1−
p pˆ
)( n + n )
n
1
n
2
1
Stima congiunta della
vera proporrzione
2

p ˆ =
z
( p pˆ
− p pˆ
)
1
2
( 1−
pˆ
)( n + n )
p pˆ
p n n
1
2
Normale Standard
= ~ N(
0;
1)
p pˆ
ˆ 1 n 1 + p
n + n
1
2
2
n
2
n
1
n
2
Test Z per campioni indipendenti
Confronto tra proporzioni

Test Z per campioni indipendenti
MMaschi hi
1 = 100
Femmine
0
1
2
Confronto tra proporzioni
n 100 pˆ
0 0.
09
1 =
n 100 pˆ
2 = 0.
12
2 =
: p p H = p − p = 0
: p p H ≠ p − p ≠ 0
1
1
2
: H 0 1 2
( pˆ
ˆ 1 − p2
)
z
=
pˆ
( 1−
pˆ
)( n + n )
n1n
H 1 : 1 2
2
1
2

z
Test Z per campioni indipendenti
MMaschi hi
1 = 100
Femmine
Confronto tra proporzioni
n 100 pˆ
0 0.
09
1 =
n 100 pˆ
2 = 0.
12
2 =
( p pˆ
ˆ 1 − p 2 )
=
( )( )
( 0.
09 − 0.
12 )
pˆ
1−
pˆ
n + n
z =
n
1
n
2
1
2
0.
0434
=
− 0.
03
0.
0434
=
N ( 0 ; 1 )
−0.
691
p = P ( z ≥ 0.
691 ) + P ( z ≤ −0.
691 ) = 0.
24+
0.
24 =
p = 0.48 > 0.05 ⇒ non si rifiuta l’ipotesi nulla
0.
48

Numerosità campionaria
ovvero
Uno dei fattori che determinano la
Potenza di un test statistico

Test
Rifiuto H 0
Realtà
H H0 vera H H0 fl falsa
Errore di I tipo p
(α)
okk
Errore di II tipo
Non Rifiuto H0 ok
(β)
α = P(rifiutare H 0 |H | H0 vera)
β = P(non rifiutare H 0 | H 0 falsa)
Potenza z di un test 1-β β = P(rifiutare ( H 0 | H 0 falsa) )

Poniamo: 0 =
Poniamo: 0
Z
=
83 μμ 87
1 =
( x − μ ) 0 n
σσ
Media della distribuzione di Z per H 0
μμ σσ = 8 n = 50 αα
= 0 . 05
( μ − μ ) ( 83−
83)
0 0 n = 50 = 0
σ
8
Media della distribuzione di Z per H 1
( μ
− μ ) ( 87 −83)
1 0 n = 50 ≅
σ
8
3.
54

=
α
0.
050
Z
=
( x − μ ) 0 n
σσ
μμ = μμ
0 μ = μ1
1.96 3.54
=
β
0.
057

=
α
0.
010
Z
=
( x − μ ) 0 n
σσ
μμ = μμ
0 μ = μ1
2.57 3.54
=
β
0.
167

Poniamo: 0 =
Poniamo: 0
Z
=
83 μμ 85
1 =
( x − μ ) 0 n
σσ
Media della distribuzione di Z per H 0
μμ σσ = 8 n = 50 αα
= 0 . 05
( μ − μ ) ( 83 −83)
0 0 n = 50 = 0
σ
8
Media della distribuzione di Z per H 1
( μ
− μ ) ( 85 −83)
1 0 n = 50 ≅
σ
8
1.
77

=
α
0.
050
Z
=
( x − μ ) 0 n
σσ
μμ = μμ
0 μ = μ1
1.77
1.96
=
β
0.
575

Poniamo: 0 =
Poniamo: 0
Z
=
83 μμ 85
1 =
( x − μ ) 0 n
σσ
Media della distribuzione di Z per H 0
μμ σσ = 7 n = 50 αα
= 0 . 05
( μ − μ ) ( 83 −83)
0 0 n = 50 = 0
σ
7
Media della distribuzione di Z per H 1
( μ
− μ ) ( 85 −83)
1 0 n = 50 ≅
σ
7
2.
02

=
α
0.
050
Z
=
( x − μ ) 0 n
σσ
μμ = μμ
0 μ = μ1
1.96 2.02
=
β
0.
476

Ricapitolando p
• Livello prescelto probabilità di errore di I tipo (α)
• Entità della violazione dell’ipotesi H0 (μ1 μ0) • OOmogeneità itàdll delle osservazioni i iall’interno ll’it dei digruppi id da confrontare f t (σ) ()
• Numerosità campionaria
⇓
Determinano la Potenza di un test statistico