Algebre di Lie in caratteristica 0

Algebre di Lie in caratteristica 0
Denis Nardin
21 febbraio 2012

Capitolo 1
Proprietà generali
In questo seminario parlerò di algebre di Lie su di un campo k algebricamente
chiuso e di caratteristica 0. In realtà non è davvero necessario richiedere che il
campo sia algebricamente chiuso, tutto quello che dirò a parte un paio di lemmi
varrà anche per campi non algebricamente chiusi e può essere ricavato da quel
caso (usando astutamente la teoria di Galois). Tutti gli spazi vettoriali saranno
finito-dimensionali salvo dove esplicitamente indicato.
1.1 Sommario
• Definizione di algebra di Lie. Esempi (gl(V ), sl(V ), tn, un, l’algebra di Lie
di un’algebra associativa...)
• Definizione di rappresentazione di un’algebra di Lie. Esempi: rappresentazioni
di definizione, rappresentazione aggiunta. In gl(V ) ogni elemento
nilpotente è ad-nilpotente.
• Definizione di algebra di Lie nilpotente. Teorema di Engel. Definizione di
nilradicale.
• Definizione di algebra di Lie risolubile. Proprietà elementari. Definizione
di radicale.
• Definizione di algebra di Lie semisemplice. [gg] = g (senza dimostrazione).
1.2 Algebre di Lie e loro rappresentazioni
Un’algebra di Lie su di un campo k è uno spazio vettoriale g con una mappa
[, ] : g × g → g bilineare tale che
• [a, a] = 0 per ogni a ∈ g (cioè [, ] è alternante)
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• Vale l’identità di Jacobi:
Un po’ di esempi di algebre di Lie:
[a[bc]] + [b[ac]] + [c[ab]] = 0
• Se V è uno spazio vettoriale finito dimensionale su k, gl(V ) è l’algebra di
Lie ottenuta prendendo come spazio vettoriale gli endomorfismi di V in
sè, e come bracket il commutatore
[a, b] = ab − ba .
Questo è in qualche senso l’esempio più importante. Indicheremo con
gln(k) l’algebra di Lie delle matrici gl(k n ).
• Se indichiamo con sl(V ) il sottospazio vettoriale di gl(V ) composto dalle
matrici a traccia nulla abbiamo che è anche una sottoalgebra di Lie.
• Il sottospazio di gln(k) composto dalle matrici triangolari superiori tn(k)
è una sottoalgebra di Lie.
• Il sottospazio di tn(k) composto dalle matrici strettamente triangolari
superiori un(k) è una sottoalgebra di Lie.
• Più in generale, se A è un’algebra associativa possiamo dare ad A una
struttura di algebra di Lie prendendo come bracket il commutatore
[a, b] = ab − ba .
Questa è detta algebra di Lie associata all’algebra associativa A.
Un ideale di un’algebra di Lie è una sottoalgebra I ⊆ g che assorbe il
bracket. Si può quozientare per ideali (fai il quoziente come spazi vettoriali e il
bracket passa al quoziente). Un esempio importante di ideale è l’ideale derivato
[gg] definito da
[g, g] = Span([xy] | x, y ∈ g) .
Osserviamo che [gl(V ), gl(V )] = sl(V ) e che [tn(k), tn(k)] = un(k).
Una rappresentazione di un’algebra di Lie g è uno spazio vettoriale V
con un omomorfismo di algebre di Lie g → gl(V ). Esempi di rappresentazione.
La rappresentazione aggiunta di un’algebra di Lie g è quella data
dall’omomorfismo
ad : g → gl(V ) ad(x) = [x·] .
1.3 Algebre di Lie nilpotenti
Un elemento x di g si dice ad-nilpotente se ad x è nilpotente, ad-semisemplice
se ad x è diagonalizzabile.
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Lemma 1. Per ogni x, y ∈ gl(V ) e per ogni i ≥ 1 vale
(ad x) n y =
n
i=0
n
(−1)
i
i x i yx n−i .
In particolare ogni elemento nilpotente è ad-nilpotente.
Dimostrazione. Induzione su n, banale.
Quindi ogni elemento nilpotente di gl(V ) è ad-nilpotente.
Lemma 2. Sia g ⊆ gl(V ) una sottoalgebra di Lie composta di elementi nilpotenti.
Allora esiste v ∈ V non nullo tale che gv = 0.
Dimostrazione. Per induzione su dim g. Infatti se dim g = 1 è ovvio. Prendiamo
ora h sottoalgebra massimale di g. Allora h agisce in modo naturale sullo spazio
g/h, per cui per ipotesi induttiva (dato che dim h < dim g e ogni elemento di h
è ad-nilpotente) abbiamo che esiste x ∈ g h tale che [hx] ⊆ h. Ma allora h ⊕ x
è una sottoalgebra che contiene propriamente h, quindi è g. In particolare h è
un ideale. Per ipotesi induttiva
W = {v ∈ V | hv = 0}
è non banale. Inoltre xW ⊆ W con un rapido conto (h(xv) = [hx]v + x(hv) = 0
per ogni v ∈ W ). Ma x è nilpotente, quindi ha il nucleo non banale. Perciò
preso v ∈ W tale che xv = 0, da cui la tesi.
La serie centrale di un’algebra di Lie è la successione di ideali
g [0] = g, g [n+1] = [gg [n] ] .
Un’algebra di Lie è detta nilpotente se g [n] = 0 per qualche n ≥ 0.
Esempio: un(k) è nilpotente.
Le algebre di Lie nilpotenti sono caratterizzate dal teorema di Engel:
Teorema 1. Sia g un algebra di Lie. Allora è nilpotente se e solo se ogni
elemento è ad-nilpotente.
Dimostrazione. Infatti se è nilpotente è evidente che ogni elemento è ad-nilpotente
(se g [n] = 0, allora (ad x) n = 0 per ogni x ∈ g). Viceversa per induzione supponiamo
ogni elemento di g è ad-nilpotente. Consideriamo ad g. Questa è una
sottoalgebra di gl(g) fatta di elementi nilpotenti. Allora possiamo trovare x ∈ g
tale che (ad y)x = [yx] = 0 per ogni y ∈ g. Perciò ky è un ideale. Allora l’algebra
g/y è composta di elementi ad-nilpotenti e ha dimensione strettamente
minore della dimensione di g. Per induzione la tesi.
Un ideale di g è ad-nilpotente se è composto da elementi ad-nilpotenti.
Lemma 3. Sia g algebra di Lie. Allora la famiglia degli ideali ad-nilpotenti ha
un massimo (chiamato il nilradicale di g).
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Dimostrazione. Prendiamo una filtrazione in ideali
g = I0 ⊇ I1 ⊇ · · · ⊇ In = 0
in modo che Ii/Ii+1 sia un g-modulo irriducibile. Allora sia
Ki = ker(g → gl(Ii/Ii+1))
e poniamo N = ∩ n i=1 Ki. N è chiaramente un ideale ed è composto da elementi
ad-nilpotenti (se x ∈ N, abbiamo che (ad x) n = 0).
Sia ora I un ideale ad-nilpotente. Abbiamo che Ii/Ii+1 è una I-rappresentazione,
per cui l’insieme
W = {v ∈ Ii/Ii+1 | Iv = 0}
è non banale, per il teorema precedente. Ma si vede immediatamente che gW ⊆
W (perchè I è un ideale) e per l’irriducibilità di Ii/Ii+1 abbiamo che è tutto,
perciò I ⊆ ker Ki.
1.4 Algebre di Lie risolubili e semisemplici
Consideriamo la successione g n data da
g 0 = g, g n+1 = [g n g n ] .
Un’algebra di Lie si dice risolubile se g n = 0 per qualche n ≥ 0. Esempio: tn
è risolubile.
Esempio: tn(k) è risolubile.
Analogamente al teorema di Engel c’è una caratterizzazione delle algebre di
Lie risolubili.
Teorema 2. Un’algebra di Lie è risolubile se e solo se il suo ideale derivato [gg]
è nilpotente.
Dimostrazione. No dimostrazione.
Noi saremo interessati agli ideali risolubili di un’algebra.
Proposizione 1. • Se g è un’algebra risolubile allora ogni sottoalgebra e
ogni algebra quoziente è risolubile.
• Se I è un ideale risolubile di g tale che g/I è risolubile allora g è risolubile.
• Se I, J sono due ideali risolubili di g allora I + J è un ideale risolubile.
Dimostrazione. Il primo fatto è banale (se h ⊆ g abbiamo che h n ⊆ g n e
analogamente per i quozienti). Il secondo segue dal fatto che
(g/I) n = 0 ⇒ g n ⊆ I
Il terzo è perchè I è un ideale di I + J e (I + J)/I ∼ = J/(J ∩ I).
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Osserviamo quindi che esiste un unico ideale risolubile massimale, chiamato
radicale di g.
Un’algebra di Lie si dice semisemplice se il suo radicale è banale.
Proposizione 2. Se g è un’algebra di Lie semisemplice allora [gg] = g.
In particolare l’unica rappresentazione unidimensionale è quella banale, perchè
se ρ : g → gl1(k) è una rappresentazione allora
ρ(g) = ρ([gg]) ⊆ [gl1(k), gl1(k)] = sl1(k) = 0 .
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