Dispensa n.6

Appunti di Geometria - 6
Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it
1 Applicazione aggiunta
Richiami Sia V uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare 〈·, ·〉 non
degenere; sia poi T : V → V una applicazione lineare. Si definisce applicazione
aggiunta di T l’unica applicazione lineare a T : V → V tale che
〈T v, w〉 = 〈v, a T w〉 ∀ v, w ∈ V
Fissata una base B = {v1, . . . , vn}, possiamo associare al prodotto scalare una
matrice simmetrica invertibile A e all’applicazione lineare una matrice B. Supponiamo
inoltre che all’applicazione aggiunta di T sia associata la matrice C,
allora si avrà
(Bv) t Aw = 〈T v, w〉 = 〈v, a T w〉 = v t A(Cw)
ovvero
v t B t Aw = v t CAw
che, dovendo valere per ogni v, w ed essendo A invertibile (ovvero il prodotto
scalare non degenere), implica
da cui
B t A = CA
C = A −1 B t A
Quindi, ad esempio, se il prodotto scalare è quello euclideo (e dunque A è
l’identità), l’aggiunta di un’applicazione lineare corrisponde alla trasposta della
matrice associata.
Ora supponiamo che B sia la base canonica e di avere trovato una base di
autovettori di A (che esiste per il teorema spettrale), che sia ortonormale per
il prodotto scalare euclideo (si veda la dispensa n. 5); la matrice M di cambiamento
di base dalla base canonica a questa base di autovettori è ortogonale,
quindi la trasposta e l’inversa sono uguali. Inoltre in tale base la matrice associata
al prodotto scalare (che sarebbe M tAM) è diagonale; in effetti è la forma
di Jordan di A. Dunque avremo che la matrice associata al prodotto scalare in
questa base è
A ′ ⎛
⎞
λ1 0 · · · 0
⎜ 0 λ2 · · · 0 ⎟
= ⎜
⎝
.
. . ..
⎟
. ⎠
0 0 · · · λn
1

e quindi
A ′−1 ⎛
1/λ1
⎜ 0
= ⎜
⎝ .
0
1/λ2
.
· · ·
· · ·
. ..
0
0
.
⎞
⎟
⎠
0 0 · · · 1/λn
Inoltre, la matrice associata all’applicazione lineare in questa base sarà M −1 BM,
secondo la formula del cambio di base per un’applicazione lineare, ma visto che
M è ortogonale, questo è anche uguale a M t BM, quindi in definitiva la matrice
associata all’applicazione aggiunta in questa base sarà
dove A ′ e A ′−1 sono diagonali.
x3
A ′−1 M t BMA ′
Esempio Si consideri R3 con la base canonica e sia 〈·, ·〉 il prodotto scalare
standard. Sia data l’applicazione
⎛
f ⎝ x1
x2
⎞ ⎛
⎠ = ⎝ x2 + x1
2x3 − x2
⎞
⎠
x1 + 2x2
Vogliamo calcolare l’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare standard.
Ovviamente, la matrice associata al prodotto scalare standard rispetto alla
base canonica è l’identità, quindi non dobbiamo fare altro che calcolare la
matrice associata ad f e farne la trasposta.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
dunque
⎛
a
f ⎝
x1
x2
x3
f
⎝ x1
x2
x3
1
⎠ = ⎝0 1
−1
0
2⎠
1 2 0
⎞ ⎛
1 0
⎞ ⎛
1
⎠ = ⎝1
−1 2⎠
⎝
0 2 0
x1
x2
x3
⎞
⎝ x1
x2
⎛
x3
⎠
x1 + x3
⎞
⎠ = ⎝ x1 − x2 + 2x3
2x2
⎠
Esempio Si consideri l’applicazione lineare da R3 in sé data da
⎛ ⎞ ⎛
⎞
f ⎝
x1
x2
x3
⎠ = ⎝
x1 + x2 + x3
x2 + x3
Vogliamo calcolarne l’aggiunta rispetto al prodotto scalare
〈v, w〉 = v1w1 − v1w2 − w1v2 + 3w2v2 + w2v3 + v2w3 + v3w3
La matrice associata ad f rispetto alla base canonica è
⎛
1 1
⎞
1
B = ⎝0
1 1⎠
0 0 1
2
x3
⎠

mentre quella associata al prodotto scalare è
⎛
1 −1
⎞
0
A = ⎝−1
3 1⎠
0 1 1
dunque la matrice associata all’aggiunta è
A −1 B t ⎛
2 1
⎞ ⎛
−1 1 0
⎞ ⎛
0 1 −1
⎞
0
⎛
2 −3
⎞
−1
A = ⎝ 1 1 −1⎠
⎝1
1 0⎠
⎝−1
3 1⎠
= ⎝ 1 −2 −1⎠
−1 −1 2 1 1 1 0 1 1 −1 9 5
Quindi
⎛
a
f ⎝
x1
x2
x3
⎞
⎛
⎠ = ⎝
2x1 − 3x2 − x3
x1 − 2x2 − x3
−x1 + 9x2 + 5x3
Esempio Si consideri il prodotto scalare dato su R4 , rispetto alla base canonica,
dalla matrice
⎛
7
⎜
A = ⎜0
⎝1
0
14
0
1
0
7
⎞
0
2 ⎟
0 ⎠
0 2 0 14
e sia, sempre rispetto alla base canonica, data l’applicazione lineare
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
f
⎜
⎝
x1
x2
x3
x4
⎟
⎠ =
⎜
⎝
x1 + x2
x2 + x3
x3 + x4
x1 + x4
Vogliamo trovare una base ortonormale di autovettori di A per il prodotto
scalare canonico e scrivere l’aggiunta di f rispetto a tale base.
Per la prima parte, si veda la dispensa n.5 per i dettagli; in breve, il polinomio
caratteristico di A è
⎟
⎠
⎞
⎠
p(λ) = (λ − 8)(λ − 6)(λ − 12)(λ − 16)
e una base di autovettori è la seguente:
⎛
⎜
⎝
⎞
1
0 ⎟
1 ⎠
⎛
1
⎜ 0
⎝ −1
⎞
⎟
⎠
0 0
Tale base è ortogonale rispetto al prodotto scalare standard, in quanto ogni
autovettore corrisponde ad un autovalore diverso (teorema spettrale); quindi
basta normalizzare i vettori, sempre rispetto al prodotto standard. Si ottiene
così la matrice di cambio di base
⎛
⎞
M = 1
√ 2
⎛
⎜
⎝
0
1
0
−1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
⎜
⎜0
⎝1
1
0
−1
0
1
0
0
1 ⎟
0⎠
0 0 −1 1
3
0
1
0
1
⎞
⎟
⎠

che è dunque ortogonale (quindi M t = M −1 ) e quindi
A ′ = M t AM = M −1 AM =
La matrice associata ad f nella base canonica è
⎛
1
⎜
B = ⎜0
⎝0
1
1
0
0
1
1
⎞
0
0 ⎟
1⎠
1 0 0 1
⎛
8
⎜
⎜0
⎝0
0
6
0
0
0
12
⎞
0
0 ⎟
0 ⎠
0 0 0 16
e dunque la matrice associata a af nella base di autovettori normalizzati trovata
sopra è
C = A ′−1 M t B t MA ′ ⎛
⎜
= ⎜
⎝
1
0
0
0
1
1/2
0
−2
1
⎞
2
0 ⎟
0⎠
1/2 0 0 1
Attenzione! Non possiamo scrivere af(x1, x2, x3, x4) = · · · in quanto la matrice
C che abbiamo trovato esprime l’aggiunta rispetto alla base di autovettori
⎛
1/
⎜
⎝
√ 2
0
1/ √ ⎞ ⎛
1/
⎟ ⎜
⎟ ⎜
2 ⎠ ⎝
0
√ 2
0
−1/ √ ⎞ ⎛
0
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 1/
2 ⎠ ⎝
0
√ 2
0
−1/ √ ⎞ ⎛
0
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 1/
⎠ ⎝
2
√ 2
0
1/ √ ⎞
⎟
⎠
2
e non rispetto alla base canonica!
Per tornare alla base canonica dalla matrice C dobbiamo calcolare
MCM t ⎛
1
⎜
= ⎜1/2
⎝ 0
0
1
2
0
0
1
⎞
2
0 ⎟
0⎠
0 0 1/2 1
e, se avrete la pazienza di svolgere i conti, vedrete che questa coincide (per
fortuna!) con A −1 B t A.
Attenzione! L’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare standard nella base
ortonormale che diagonalizza A è associata alla matrice
M t B t M
Esercizio 1 Scrivere le applicazioni aggiunte rispetto al prodotto scalare
standard delle seguenti applicazioni lineari:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1. f ⎝
2. f
⎛
x1
x2
x3
⎝ x1
x2
x3
⎠ = ⎝
⎞
⎠ =
⎛
x1 + x2
x2 + x3
x1 + x3
⎝ 2x2
3x3
x1
⎞
⎠
⎠
4

⎛
3. f ⎝
4. f
⎛
x1
x2
x3
⎝ x1
x2
x3
⎞
⎛
⎠ = ⎝
⎞
⎠ =
⎛
x1 − x2
x2 − x3
x3 − x1
⎝ x1 + x3
−x2
x1 − x3
Esercizio 2 Scrivere l’aggiunta dell’applicazione da R4 in sé
⎛
x1
⎜ x2
f ⎜
⎝ x3
⎞
⎟
⎠
x4
=
⎛
⎜
⎝
x2 + 3x3 − 4x4
x1 − x2 + x3
x2 + 4x4
⎞
⎟
⎠
2x1 − 3x3
rispetto al prodotto scalare
⎞
⎠
⎞
⎠
〈x, y〉 = x1y1 − x1y2 − x2y1 + 3x2y2 + x2y3 + x3y2 + x3y3 + 2x4y4
Esercizio 3 Si consideri lo spazio R2[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado
minore o uguale a 2 e su di esso il prodotto scalare
〈p(x), q(x)〉 =
1
0
p(x)q(x)dx
Si consideri inoltre l’applicazione lineare T (p(x)) = xp ′ (x) + p(1). Si scrivano le
matrici associate al prodotto e all’applicazione rispetto alla base {1, x, x 2 } e si
determini la matrice associata a a T in questa stessa base (ovviamente, l’aggiunta
va intesa rispetto al prodotto scalare dato).
Esercizio 4 Sia R4 e sia 〈·, ·〉 il prodotto scalare dato, rispetto alla base
canonica, dalla matrice
⎛
1
⎜
A = ⎜−1
⎝ 0
−1
2
−1
0
−1
2
⎞
0
0 ⎟
−1⎠
0 0 −1 2
Si determini la matrice, rispetto alla base canonica, dell’applicazione aggiunta
rispetto a questo prodotto scalare dell’applicazione
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
f
⎜
⎝
x1
x2
x3
x4
⎟
⎠ =
⎜
⎝
x2 + x3
x1 + x3
2x3
x4 + x3
Esercizio 5 Si trovi una base di R3 ortonormale rispetto al prodotto scalare
standard che diagonalizzi la matrice simmetrica
⎛
5
A = ⎝−2 −2
5
⎞
2
−2⎠
2 −2 5
5
⎟
⎠

Sia poi
⎛
f ⎝
x1
x2
x3
⎞
⎛
⎠ = ⎝
x1 + x2 + x3
x2 + x3
Si scriva la matrice associata nella base trovata all’aggiunta di f rispetto al
prodotto scalare indotto dalla matrice A.
Esercizio 6 Si trovi una base di R3 ortonormale rispetto al prodotto scalare
standard che diagonalizzi la matrice simmetrica
⎛
9
A = ⎝ 6
6
5
⎞
−2
−2⎠
−2 −2 1
Sia poi
f
⎛
⎝ x1
x2
x3
⎞
⎠ =
⎛
x3
⎝ x1 + x2 + x3
x2 + x3
Si scriva la matrice associata nella base trovata all’aggiunta di f rispetto al
prodotto scalare standard.
Esercizio 7 Si trovi una base di R4 ortonormale rispetto al prodotto scalare
standard che diagonalizzi la matrice simmetrica
⎛
1
⎜
A = ⎜ 1
⎝−1
1
1
0
−1
0
1
⎞
0
2 ⎟
−2⎠
0 2 −2 1
Sia poi
f
⎛
⎜
⎝
x1
x2
x3
x4
⎞
⎛
⎟
⎠ =
⎜
⎝
x3
⎞
⎠
⎞
⎠
x1 − x2 + x3 − x4
x1 − x2 + x3
x1 + x3
x2 + x4
Si scriva la matrice associata nella base trovata all’aggiunta di f rispetto al
prodotto scalare indotto dalla matrice A.
2 Sottospazi ortogonali
Richiami Sia V uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare 〈·, ·〉. Due
vettori v, w ∈ V si dicono ortogonali se
〈v, w〉 = 0
Ovvero, fissando una base in cui il prodotto scalare sia associato alla matrice
simmetrica A e i vettori v, w alle n−uple
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
⎝
x1
.
xn
⎟
⎠
6
⎜
⎝
y1
.
yn
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠

i due vettori sono ortogonali se e solo se
x1 · · ·
⎛
a11
⎜
xn ⎝ .
· · ·
⎞ ⎛
a1n
⎟ ⎜
. ⎠ ⎝
an1 · · · ann
y1
.
yn
⎞
⎟
⎠ = 0
Il sottospazio ortogonale al vettore v (indicato con v ⊥ ) è l’insieme dei vettori
w tali che 〈v, w〉 = 0; il sottospazio ortogonale a un sottospazio W ( indicato
con W ⊥ ) è l’insieme dei vettori ortogonali a tutti i vettori di w. Il sottospazio
ortogonale a tutto lo spazio (indicato con V ⊥ ) si chiama radicale e corrisponde
al nucleo della matrice associata A. Il radicale è il solo 0 se e solo se il prodotto
scalare è non degenere.
Esempio Si consideri R3 con il prodotto scalare standard; l’ortogonale di
v = (1, 2, 3) è l’insieme dei vettori w = (x, y, z) tali che
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
x
〈 ⎝ 2 ⎠ , ⎝ y ⎠〉 = 0
3 z
ovvero l’insieme delle soluzioni del sistema (di 1 equazione in 3 incognite)
x + 2y + 3z = 0
Volendo scrivere queste soluzioni in forma parametrica, si ottiene
v ⊥ ⎧⎛
⎨
= ⎝
⎩
2s + 3t
−s
−t
⎞ ⎫
⎬
⎠ | s, t ∈ R
⎭
oppure si può fornire una base di v⊥ :
⎛
⎝ 2
⎞
−1 ⎠
0
⎛
⎝ 3
0
−1
Esempio Si consideri in R4 il sottospazio
⎧ ⎛ ⎞
⎪⎨
1
⎜
W = Span v1 = ⎜ 1 ⎟
⎝
⎪⎩
1 ⎠
1
, v2
⎛
1
⎜
= ⎜ 0
⎝ 1
0
⎞
⎠
⎞⎫
⎪⎬ ⎟
⎠
⎪⎭
Ne vogliamo l’ortogonale rispetto al prodotto scalare standard.
Ora, un vettore è ortogonale a W se è ortogonale a ogni suo vettore, quindi
se è ortogonale a tutti i vettori di una base di W ; dobbiamo quindi trovare le
soluzioni di 〈v1, w〉 = 0
〈v2, w〉 = 0
Ovvero, se w = (x, y, z, u), vogliamo le soluzioni di
x + y + z + u = 0
x + z = 0
7

In forma parametrica abbiamo
W ⊥ ⎧⎛
⎪⎨ ⎜
= ⎜
⎝
⎪⎩
ovvero, tramite una base,
W ⊥ ⎧⎛
⎪⎨ ⎜
= Span ⎜
⎝
⎪⎩
−t
−s
t
s
−1
0
1
0
⎞
⎟
⎠
⎫
⎪⎬
| s, t ∈ R
⎪⎭
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎝
0
−1
0
1
Esempio Si consideri R 3 munito del prodotto scalare
⎞⎫
⎪⎬ ⎟
⎠
⎪⎭
〈v, w〉 = v1w1 + v1w3 + v3w1 − 2v2w3 − 2w2v3
Vogliamo trovare l’ortogonale del vettore
⎛
v = ⎝ 1
1
⎞
⎠
−1
Innanzitutto scriviamo la matrice associata al prodotto scalare:
⎛
1 0
⎞
1
A = ⎝0
0 −2⎠
1 −2 0
Dobbiamo trovare i vettori w = (x, y, z) tali che v t Aw = 0, ovvero tali che
Dunque
ovvero
0x + 2y − z = 0
v ⊥ ⎧⎛
⎨
= ⎝
⎩
t
⎞ ⎫
⎬
s ⎠ | t, s ∈ R
⎭
2s
v ⊥ ⎧⎛
⎨
= Span ⎝
⎩
1
0
0
⎞
⎠ ,
⎛
⎝
0
1
2
⎞⎫
⎬
⎠
⎭
Esempio Si consideri R 4 munito del prodotto scalare
〈v, w〉 = v1w2 + v2w3 + v3w4 + v2w1 + v3w2 + v4w3
Si vuole trovare l’ortogonale del sottospazio
⎧ ⎛ ⎞
⎪⎨
1
⎜
W = Span v = ⎜ 1 ⎟
⎝
⎪⎩
0 ⎠
1
, v′ ⎛
0
⎜
= ⎜ 1
⎝ −1
0
8
⎞⎫
⎪⎬ ⎟
⎠
⎪⎭

Scriviamo innanzitutto la matrice associata al prodotto scalare:
⎛
0
⎜
A = ⎜1
⎝0
1
0
1
0
1
0
⎞
0
0 ⎟
1⎠
0 0 1 0
Ora dobbiamo risolvere il sistema
〈v, w〉 = 0
〈v ′ , w〉 = 0
ovvero
Dunque
oppure
W ⊥ ⎧⎛
⎪⎨ ⎜
= ⎜
⎝
⎪⎩
W ⊥ ⎧⎛
⎪⎨ ⎜
= Span ⎜
⎝
⎪⎩
x + y + 2z = 0
x − y + z − u = 0
s − 3t
−2t − s
2t
2s
1
−1
0
2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠ ,
⎫
⎪⎬
| t, s ∈ R
⎪⎭
⎛
⎜
⎝
−3
−2
1
0
Esempio Sia V lo spazio vettoriale reale generato da
e sia dato il seguente prodotto scalare
{cos 2πx, sin 2πx, x}
⎞⎫
⎪⎬ ⎟
⎠
⎪⎭
〈f(x), g(x)〉 = f(1)g(1) − f ′ (0)g ′ (0)
Vogliamo trovare l’ortogonale del vettore h(x) = 2 sin 2πx − cos x.
Calcoliamo la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base data:
⎛
1
A = ⎝0 0
−4π
0
2 ⎞
2π⎠
0 2π 0
Dunque, vogliamo trovare i vettori
tali che
w(x) = a cos 2πx + b sin 2πy + cx
〈w(x), h(x)〉 = 0
Poiché nella base {cos 2πx, sin 2πx, x} il vettore h(x) corrisponde a
⎛
−1
⎞
⎝ 2
0
⎠
9

ci basta risolvere il sistema lineare
−1 2
⎛
1
0 ⎝0
0
−4π
0
2 ⎞ ⎛
2π⎠
⎝
0 2π 0
e dunque
Quindi
oppure
h(x) ⊥ ⎧⎛
⎨
= ⎝
⎩
h(x) ⊥ ⎧⎛
⎨
= Span ⎝
⎩
−x − 8π 2 y + 4πz = 0
−8π 2 t + 4πs
t
s
−8π 2
1
0
⎞
a
b
c
⎞
⎠ = 0
⎞ ⎫
⎬
⎠ | s, t ∈ R
⎭
⎠ ,
⎛
⎝
4π
0
1
⎞⎫
⎬
⎠
⎭
Esercizio 8 Calcolare l’ortogonale dei seguenti vettori in R3 rispetto al prodotto
scalare canonico:
⎛
i. ⎝ 1
⎞
0 ⎠
0
⎛
0
⎞
ii. ⎝ 1
1
⎠
⎛
0
⎞
iii. ⎝ π
0
⎠
⎛
iv. ⎝ 1
−1
1
⎞
⎠
Esercizio 9 Calcolare l’ortogonale dei seguenti sottospazi in R 3 rispetto al
prodotto scalare canonico:
i. W = {0}
ii. W = R3 ⎧⎛
⎨
iii. W = Span ⎝
⎩
⎧⎛
⎨
iv. W = Span ⎝
⎩
⎧⎛
⎨
v. W = ⎝
⎩
1
0
0
t
2t + s
s
⎞
0
1
−1
⎠ ,
⎞
⎞
⎠ ,
⎛
⎝
1
1
0
⎛
⎝
⎞⎫
⎬
⎠
⎭
−1
1
0
⎫
⎬
⎠ , s, t ∈ R
⎭
⎞⎫
⎬
⎠
⎭
10

Esercizio 10 Calcolare l’ortogonale dei seguenti vettori in R4 rispetto al
prodotto scalare canonico:
⎛
1
⎜
i. ⎜ 0
⎝ 0
1
⎞
⎟
⎠
⎛
0
⎜
ii. ⎜ 1
⎝ 1
0
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
iii. ⎜
⎝
0
π
0
2π
⎞
⎟
⎠
⎛
1
⎜
iv. ⎜ −1
⎝ 1
−1
⎞
⎟
⎠
Esercizio 11 Calcolare l’ortogonale dei seguenti sottospazi in R 4 rispetto al
prodotto scalare canonico:
i. W = {0}
⎧⎛
⎪⎨ ⎜
ii. W = Span ⎜
⎝
⎪⎩
⎞
1
0 ⎟
0 ⎠
0
,
⎛
1
⎜ 1
⎝ 0
0
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎝
1
0
1
0
⎞⎫
⎪⎬ ⎟
⎠
⎪⎭
⎧⎛
⎪⎨ ⎜
iii. W = Span ⎜
⎝
⎪⎩
⎞
1
0 ⎟
0 ⎠
1
,
⎛
1
⎜ 1
⎝ 0
1
⎞⎫
⎪⎬ ⎟
⎠
⎪⎭
⎧⎛
⎪⎨ ⎜
iv. W = Span ⎜
⎝
⎪⎩
0
1
−1
0
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎝
⎞⎫
−1 ⎪⎬
1 ⎟
0 ⎠
⎪⎭
1
⎧⎛
⎞ ⎫
⎪⎨
t
⎪⎬
⎜
v. W = ⎜ 2t + s ⎟
⎝
⎪⎩
s ⎠ , s, t ∈ R
⎪⎭
2t − s
Esercizio 12 Calcolare in R3 l’ortogonale del vettore
⎛
1
⎞
v = ⎝ 2
−2
⎠
11

ispetto al prodotto scalare
〈v, w〉 = v1w1 + 2v1w2 + 2w2v1 + v2w2 − v1w3 − w1v3 − 2v3w3
Esercizio 13 Calcolare in R4 l’ortogonale del sottospazio
⎧⎛
⎪⎨ ⎜
W = Span ⎜
⎝
⎪⎩
1
0
1
0
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎝
1
0
2
−1
⎞⎫
⎪⎬ ⎟
⎠
⎪⎭
rispetto al prodotto scalare dato dalla matrice
⎛
1
⎜
A = ⎜−1
⎝ 0
−1
2
1
0
1
2
⎞
0
0 ⎟
−1⎠
0 0 −1 2
Esercizio 14 Si consideri su R2[x] il prodotto scalare
〈p(x), q(x)〉 = p(1)q(2) + p(2)q(1) − p ′ (0)q ′ (0)
Si calcoli l’ortogonale del vettore p(x) = x 2 + x + 1 rispetto a questo prodotto
scalare.
Esercizio 15 Si consideri lo spazio vettoriale V generato su R dalle funzioni
sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, munito del prodotto scalare
〈f(x), g(x)〉 =
Si calcoli l’ortogonale del sottospazio
2π
0
f(x)g(x)dx
W = Span{sin x + cos x, sin 2x + cos 2x}
12