Richiami di probabilità e statistica (I)

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Richiami di probabilità e statistica (I)
E’ equivalente determinare la distribuzione di densità di probabilità p(x) o la distribuzione
di probabilità cumulata P(x), detta anche funzione di ripartizione o probabilità di non
superamento, infatti:
P(x)= Pr ob[X ≤ x] = p(z)dz
p(x)= dP
dx
Relazione fra tempo di ritorno T e probabilità di non superamento P:
€
1
T =
1−P(x)
P(x)=1− 1
T
Fissato il tempo di ritorno T si ricava la probabilità di non superamento P e quindi la portata
o pioggia x con tempo di ritorno T.
La probabilità di superamento Ps(x) sarà invece:
€
∫
x
−∞
P s = 1
T
= (1− P)
1

Richiami di probabilità e statistica (II)
La distribuzione di probabilità cumulata P(x), o in modo equivalente la distribuzione di
densità di probabilità p(x), viene determinata utilizzando il campione osservato:
x = (x1 , x2 , . . . , xn), riordinato in ordine crescente.
Distribuzione di frequenza relativa:
Distribuzione di frequenza cumulata:
Il campo delle osservazioni (di portata o pioggia) deve essere stato suddiviso in classi o
intervalli di ampiezza Δx. €
nk è il numero di osservazioni che ricadono nell’intervallo k-esimo [xk - Δx , xk].
€
fk = nk n
F(xj )= ∑
j
f
k =1
k
Più spesso in idrologia la distribuzione di frequenza cumulata è definita attraverso una
regola di plotting position, ad esempio:
F j =F(x j)=
j
n +1
oppure : F j =F(x j )=
j − 0.5
n
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Richiami di probabilità e statistica (III)
Proprietà statistiche delle serie temporali
Principali indici statistici delle serie temporali:
N : indica la numerosità della serie temporale (y1 , y2 , . . . yt)
Media:
Varianza: s
€
Scarto quadratico (o deviazione standard): s
2 1
= (yt − y)
N −1
2
N
∑
t =1
Coefficiente di variazione:
€
Coefficiente di asimmetria:
Coefficiente di autocorrelazione:
€
essendo:
y = 1
N ⎛⎛ ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ∑ yt ⎝⎝ N ⎠⎠
t =1
L'andamento di rk al variare di k fornisce il correlogramma.
g =
N
∑
N ( y t − y ) 3
t =1
( N −1)( N − 2) s 3
3

€
Analisi statistica dei massimi annui di portata al colmo
Riordino i massimi annui di portata al colmo Qi e assegno a ciascuno una frequenza cumulata
F(Qi) utilizzando una regola di ”plotting position”:
Q : Q1 ≤ Q2 ≤ . . . ≤ Qi ≤ . . . ≤ QN
F(Q): 1/(N+1) ; 2/(N+1) ; . . . ; i/(N+1) ; . . . ; N/(N+1)
Dove:
Qi
= massimo annuo i-­‐esimo (posizione riordinata) di portata al colmo
F(Qi) = frequenza cumulata corrispondente alla portata Qi .
Ricordiamo che:
Il tempo di ritorno T associato ad una portata QT
è il tempo (espresso in anni) che mediamente
intercorre fra due osservazioni di portata massima
annua ¸ ≥ QT . La relazione con la probabilità P di non
superamento (CDF) `e:
1
T =
1− P(QT )
P(Q T )=1− 1
T
1. Scelta distribuzione; 2. Stima parametri; 3. Test di adattamento
P(Q)
F(Q)
1
P(Q )
T
1/T
11/T
Q 1
Q 3 Q 4
Q 2
Q T
Q N
Q
4

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€
Alcune distribuzioni di probabilità utilizzate in idrologia
• Lognormale
Si trasforma l’osservazione x di portata o pioggia in y = log x e si utilizza la Normale:
P(x)=P(y)=
∫
y
−∞
1
exp −
σ 2π
1 ⎧⎧
2
⎡⎡ y − µ ⎤⎤ ⎫⎫
⎨⎨
2⎣⎣
⎢⎢
σ ⎦⎦
⎥⎥ ⎬⎬ dy
⎩⎩ ⎭⎭
dove µ = µ(y) e σ = σ(y) sono la media e scarto attesi (teorici) della distribuzione di y.
• Gumbel (distribuzione asintotica del massimo valore tipo 1, detta anche EV1)
{ [ ] }
P(x)=exp −exp −α(x − u)
dove α = 1.283/σ(x) ; u = µ(x) – 0.45 σ(x),
µ(x) e σ(x) sono la media e lo scarto attesi della distribuzione di x.
• TCEV (distribuzione asintotica del massimo valore a due componenti)
P(x)=exp(−λ 1e −x /θ 1 −λ2 e −x /θ 2 )
distribuzione a 4 parametri il cui utilizzo è indirizzato alle analisi regionali.
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Stima dei parametri di una distribuzione probabilistica
• Metodo dei momenti: Si eguagliano i momenti teorici della distribuzione di probabilità
ai momenti campionari.
Occorre eguagliare tanti momenti quanti sono i parametri da stimare.
Media campionaria:
Varianza campionaria:
€
m= 1
n
n
x
i =1
i
L’incertezza di stima dei momenti cresce con l’ordine del momento.
In pratica, si sostituiscono ai momenti teorici (ad esempio a µ e σ della lognormale o
Gumbel) i momenti calcolati
€
sul campione: µ ≅ m ; σ ≅ s
• Metodo della massima verosimiglianza: Si rimanda al corso di statistica.
∑
s 2 = 1 n
∑ (xi − m)
i =1 n −1
2
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Verifica delle ipotesi (test statistici: esempio del χ 2)
• Ipotesi nulla (H0): Il campione x = (x1 , x2 , . . . , xn) è una realizzazione estratta dalla
distribuzione di probabilità P(x);
• Statistica test S: statistica utilizzata per il test (ad esempio il test del χ2 );
• Livello di significatività del test (α): probabilità di rifiuto di ipotesi nulla vera (es: α =
0:05; 0:01; 0:001); definisce la zona di rifiuto (R);
• Regione di accettazione (W): è complementare alla zona di rifiuto;
2 (n j − np j )
χ c =
2
K
Test Statistico del χ 2 (K. Pearson):
• K = numero di classi in cui si suddivide il campo della variabile casuale X
• pj = P[xj ≤ X < xj+1] = P(xj+1) - P(xj) = probabilità che la variabile casuale X ricada nella
classe j-­‐esima, nel caso in cui H0 sia vera.
• nj = numero di osservazioni€ che ricadono nella classe j-­‐esima
• n = numero totale di osservazioni
• npj = numero di osservazioni atteso per la classe j-­‐esima
Zona di rifiuto: R = {χc 2≥ χ2 (α , ν)} ; Zona di accettazione: W={χc 2 < χ2 (α , ν)}
ν = (K - 1 – s) = gradi di libertà;
s = numero di parametri della distribuzione P(x) stimati con il campione x ;
Regola di equi-probabilità di Gumbel: p1 = p2 = . . . = pj = . . . = pK
Regola empirica per il calcolo del n. di classi K: npj ≥ 5 ⇒ K ≤ n/5
∑
j=1
np j
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€
Inversione delle distribuzioni Gumbel e Lognormale
Distribuzione Gumbel
• I parametri α e u sono già stati calcolati.
• Fisso T (tempo di ritorno), calcolo la probabilità di non superamento P = 1 – 1/T
• La portata o pioggia con tempo di ritorno T è:
x = u − ln(−ln(P))
α
Distribuzione Lognormale
(distribuzione normale della variabile trasformata y = ln x, ovvero y = log10 x)
• I parametri µy e σy sono già stati calcolati.
• Fisso T, calcolo la probabilità di non superamento P = 1 – 1/T
• Ricavo il frattile zP della distribuzione N(0,1) dalle tavole.
• Ricavo la variabile trasformata: y = µy +σy zP
• La portata o pioggia con tempo di ritorno T è:
x = exp(y) ovvero: x = 10 y
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