Modelli autoregressivi - Ingegneria Biomedica

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Biomedica Elaborazione di Segnali Biomedici
Modelli autoregressivi
2.2 Modelli Stocastici
2.2.1 Introduzione.
I modelli stocastici a cui faremo riferimento sono basati sull'ipotesi,(Yule),che una
serie temporale si può considerare come l'uscita di un filtro lineare che ha come
ingresso una sequenza di campioni appartenenti ad una funzione membro di un
processo rumore bianco { a(n) } a media nulla e varianza σa 2 (fig.1) .
Fig.1 Modello ingresso-uscita del filtro lineare
Nel continuo per un sistema lineare e causale, si può scrivere:
∞
(2.1) z() t = ∫ g( τ ) •a( t −τ
) dτ
τ = 0
dove g(τ) è la risposta impulsiva del sistema .
Poiché l'identificazione parametrica è una tecnica di analisi che si basa su dati
campionati a partire dal segnale z(t), indicando con tk = kT per k=1,2,... gli istanti di
campionamento, si ha:
∞
(2.2) z( KT) = ∫ g( τ) •aKT ( −τ)
dτ
τ = 0
con T intervallo di campionamento .In genere si suppone
(2.3) a() t = ak KT< t < ( k + 1 ) T
da cui:
(2.4)
avendo posto g () l ∫ g( τ) dτ
.
T
=
( l−1) T
Posto T=1 la (4) si riduce a :
lT
lT
zKT ( ) = g( τ) •akT ( −τ)
dτ
=
∞
⎡
⎢
⎣
lT
∞
∑
l=
1 τ = ( l−1) T
⎤
∞
g( τ) dτ ⎥• ak−l 1 ⎦
=
l=
gT( 1)
•a
∑ ∫ ∑
l=
1 τ = ( l− ) T
1
∫
k−l 38

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∞
(2.5) zn = ∑ g( k) • an−k n=
01 , ,...
k=
1
L'operazione di filtraggio è, quindi, la somma opportunamente pesata di campioni
del segnale di ingresso precedenti l'istante di osservazione .
Introduciamo, ora, l'operatore ritardo q -1 definito dalle:
Sostituendo nella (5) si ha :
−1
−m
n n−1
n n−m
q a = a q a = a
∞
∞ ⎡
⎤
−k−k zn= ∑ g( k) • q an= g k •q
a G q a
⎣
⎢∑
( )
⎦
⎥• = ( ) •
k = 1
(2.6)
k = 1
z = G ( q ) • a
n n
n n
dove G(q) è l'operatore di trasferimento del sistema lineare e la sua Z trasformata ne
è la funzione di trasferimento. La z trasformata di G(q):
(2.7) Gz gk z k
() = ( ) •
k
−
∞
∑
= 1
è una funzione a valori complessi nella variabile complessa z. I valori Z=βi tali che
G(β)=O sono gli zeri della funzione di trasferimento del sistema , mentre quelli αi per
cui G(αi) tende all'infinito sono i poli della funzione di trasferimento. Se poi G(z) è
una funzione razionale di z, i poli di G(z) sono gli zeri del polinomio al
denominatore. Gli zeri ed i poli della funzione di trasferimento G(z) sono, anche, zeri
e poli dell'operatore di trasferimento G(q).
2.2.2 Condizioni Di Stazionarietà ed Invertibilità.
Diremo che il sistema lineare definito dalla (2.6) è stabile se:
∞
(2.8) ∑ gk ( )

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è convergente per z > 1 e quindi che G(z) è analitica al di fuori del cerchio unitario .
In particolare, se G(z) è razionale, la (2.8) ci assicura che la funzione di trasferimento
del sistema non ha poli in quell'area. Il modello (2.6) implica che , sotto ben precise
condizioni, Zn si possa esprimere come una somma pesata dei valori passati di z
stesso ed un termine di rumore an. Risulta cioè :
(2.9) z = h • z + h • z + K + a = h • z + a
n 1 n−1 2 n−2 n j n− j
j=
1
il valore corrente del processo è, in termini stocastici "regredito" su tutti i suoi
valori precedenti. La (2.9) può essere riscritta come:
con
∞
∑
Hq ( )= − h•q −
1
j=
1
j
j
∞
∞
∑
− j
( 1−∑h
•q ) • z = a
j
n n
j=
1
(2.10) H( q)• zn = an
Ovviamente il modello (2.6) può essere rappresentato con la (2.10) se la H(q)
soddisfa la condizione di invertibilità. Tale condizione di invertibilità è indipendente
da quella di stazionarietà ed è applicabile, in generale, anche a modelli lineari non
stazionari. Per meglio chiarire il problema dell'invertibilità, prendiamo in
considerazione il modello:
−1
(2.11) z = ( 1−ϑ
•q ) •a
n n
Esprimendo an in funzione dei campioni z;, la (2.11) diventa:
−1 −1
−1 2 −2 k − k k+ 1 − ( k+
1) −1
a n ( 1 ϑ q ) zn= ( 1 ϑ q ϑ q K ϑ q ) ( 1 ϑ q )
= − • • = + • + • + + • • − • • z
per k che tende all'infinito, otteniamo la serie infinita data da:
2
(2.12) z = −ϑ • z −ϑ • z − +
n n−1n−2 ... an Per ϑ 1 il valore corrente Zn nella (2.12)
dipenderà da Zn-l...Zn-k ma con pesi θ crescenti con k e la sua somma sarà infinita. In
ogni caso, qualunque sia il valore di θ, la (2.11) definisce un processo stazionario. In
definitiva, per superare il problema si fa l'ipotesi ϑ < 1, e si definisce la serie
invertibile. In generale questa condizione è verificata se la serie H(q), data da :
j
(2.13) H( q)=
•q− ∑ ϑ
∞
j=
1
j
n
n
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converge per q > 1 (il sistema a( n) = Hq ( ) • zn deve essere stabile), e quindi che il
processo (2.10) è invertibile se la serie H(q) converge all'esterno del cerchio unitario.
Confrontando la (2.6) con la (2.10) è possibile dimostrare che:
(2.14) H( q) = G ( q)
−1
per cui se G(q) è una funzione razionale, la condizione di invertibilità appena vista
per H(q) richiede che G(q) non abbia zeri sul o al di fuori del cerchio unitario. In altri
termini, per le condizioni di invertibilità e stazionarietà, limiteremo la nostra analisi a
sistemi a fase minima, tali cioè che G(q) abbia zeri e poli all'interno del cerchio
unitario.
2.3 Modelli Stocastici Autoregressivi (Ar).
Nei modelli autoregressivi il valore corrente del processo z(t) è espresso come una
somma finita di valori precedenti più un termine di rumore a(n). Supponendo per
semplicità, che il processo sia a media nulla, si ha:
z( n)= φ1•zn−1 + φ2 • zn−2+ K + φp
• zn−p + an
e z(n) è detto processo autoregressivo di ordine p. In forma più compatta, si ha:
−1−2 −
con Φ( q) = 1−ϕ1•q − φ2•q −K −φ p • q
Risulta, quindi:
(2.17) Φ( q) • z = a
p
n n
−
(2.18) z = Φ q • a n
1 ( ) ( )
cioè, un processo AR può sempre essere visto come l'uscita di un filtro lineare con
−1 operatore di trasferimento pari a Φ ( q)
al cui ingresso è presente un rumore bianco.
2.3.1 Condizioni di Stazionarietà ed Invertibilità.
−1 Consideriamo l'espansione in fratti semplici della Φ ( q)
data da:
(2.19) Φ −
1
n
( q)
=
p
∑
i=
1 1
ki
−1
( −G •q
)
i
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−1 Affinchè Φ ( q) sia convergente per q >= 1, si dovrà verificare Gi < 1, con
i=1,2,...,p; cioè le radici dell' equazione Φ( q ) = 0 devono trovarsi all' interno del
cerchio unitario. L' equazione Φ( q ) = 0 è detta equazione caratteristica del processo.
La condizione di invertibilità per un processo AR di ordine finito non richiede
restrizione sui paramentri del modello autoregressivo. Infatti il polinomio Φ( q ) ,
equivalente all' H( q ) del modello generale dato dalla (2.10), è finito e dunque limitato
qualunque sia il valore dei parametri Φi .
2.3.2 FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE (ACF)
Nell'ipotesi di processo z(t) almeno debolmente stazionario, moltiplicando
entrambi i membri dell'equazione (2.17) per zn−ke valutandone la media statistica si
ottiene una forma ricorsiva per il calcolo della funzione di autocorrelazione di
processi stazionari autoregressivi:
che in forma sintetica può scriversi:
dove
(2.20) r = ϕ • r + ... + ϕ • r k >
−1−2 p
[ ϕ ϕ2Kϕ q ] −
Φ( q) = 1 − 1 • q + • q + + p •
k 1 k−1 p k−p 0
(2.21) Φ( q) • rk= 0
Notiamo, innanzitutto, che Ezn−k • an
= 0 per k > 0 nell'ipotesi che a n e z n−k siano
incorrelati per k>0. A partire dall'espansione in fratti della ϕ −1 ( q ) data dalla 2.19, si
può scrivere, fattorizzando:
(2.22)
p
Φ( q) = ( −Gi• )
−1
∏ 1 q
La (2.22), sostituita nella (2.21) fornisce un'espressione generale della funzione
di autocorrelazione r k di un processo autoregressivo, data da:
i=
1
(2.23) r = A • G + A • G + ... + Ap•G k k k
k 1 1 2 2
p
dove G1, G2,..., G p sono le soluzioni dell' equazione caratteristica ϕ ( q ) = 0.
Poichè
per la condizione di stazionarietà è richiesto che
G i < 1, si ottiene, nell' ipotesi di G
i
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reali, una funzione di autocorrelazione che decresce in maniera esponenziale. Nel
caso di radici complesse e coniugate si ottiene un termine sinusoidale del tipo:
k
d • sin( 2π kf)
In generale la funzione di autocorrelazione per un processo AR stazionario è data
dalla somma di esponenziali decrescenti e sinusoidali smorzate.
2.3.3 PARAMETRI DEL MODELLO AR IN TERMINI DEI COEFFFICIENTI DI
AUTOCORRELAZIONE - EQUAZIONI DI YULEWALKER
Se sostituiamo k = 1,2,...,p nell'equazione ricorsiva (2.21) per il calcolo dei
coefficienti di autocorrelazione ,otteniamo un set di p equazioni lineari nelle
incognite ϕ1, ϕ2, K , ϕp
, in funzione dei coefficienti di autocorrelazione r r r 1, 2,
K , p
r
r = ϕ • r + ϕ
.
.
1
r
2
p
= ϕ
1
1
= ϕ • r
1
.
.
+ ϕ • r + K+
ϕ • r
1
p−1
2
2
.
.
1
+ ϕ • r
2
p
+ K+
ϕ • r
p-2
p
.
.
p−1
+ K+
ϕ
Queste equazioni sono appunto dette di YULE WALKER. Esse sono, peraltro, il
risultato del più generale criterio di minimizzazione dell'errore quadratico medio. Qui
di seguito, prima di discutere della risoluzione del sistema stesso, riportiamo, infatti
la derivazione di dette equazioni a partire da questo generale criterio di
minimizzazione .
Il modello AR dato da:
( ) =+ i • ( − ) + ( )
zn ∑ ϕ zn i an
è, per ipotesi, il segnale che vogliamo determinare. Supponendo che l'ingresso del
filtro lineare AR sia totalmente incognito, è possibile approssimare il segnale z(n)
mediante una somma pesata di campioni precedenti :
p
( ) =+ i • ( − )
~ z n ∑ ϕ z n i
Quindi l'errore tra il valore attuale z(n) e quello predetto z(n) è dato da :
1
p−
2
p
( ) = ( ) − ~ ( ) = ( ) −∑ϕi• ( − )
en zn z n zn zn i
1
p
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detto residuo relativo a z(n) . Nel metodo dei minimi quadrati parametri i sono
ottenuti come risultato della minimizzazione dell'errore quadratico E = E(en 2 )
[valutato come media statistica di un processo aleatorio in cui, al variare di n, le e(n)
sono le variabili aleatorie] rispetto a ciascun parametro ϕi . Risulta, cioè:
ed
L’errore medio minimo è dato da:
( ∑ ϕ 1 )
p
(2.24) E = En z( n) − i •z( n−i) (2.25) δ
E
= 0 , 1 < i < p
δϕ
i
p
(2.26) E E z( n) p = + ∑ ϕk
•E z n •z n−k [ ] [ ( ) ( ) ]
Dalle (2.24),(2.25) si ottiene un sistema di p equazioni dette "normali" dato da :
p
(2.27) • E[
z(
n − k ) • z(
n − m)
] = E[
z(
n)
• z(
n − i)
]
∑
1 k ϕ
Nel caso di processo almeno debolmente stazionario risulta :
(2.28) ( ) ( )
1
[ ]
Ezn•zn− i = Ri ()
essendo R(i) l'autocorrelazione del processo autoregressivo.
Sostituendo la 2.27 nella 2.26 il sistema di p equazioni assume la forma:
(2.2 9 ) ∑
p
1
ϕ • R(
i − k)
= −R(
i)
k
Dalle equazioni introdotte otteniamo una stima YULE-WALKER dei parametri,
sostituendo ai coefficienti di autocorrelazione teorici quelli stimati. Indicando con :
⎡ϕ1
⎤
⎢
ϕ
⎥
2
ϕ = ⎢ ⎥
⎢•
⎥
⎣
⎢ϕ
⎦
⎥
p
⎡R(1)
⎤
⎢
R(2)
⎥
R = ⎢ ⎥
⎢ • ⎥
⎣⎢
R(p) ⎦⎥
⎡ 1 R( 1) • R( p−1)
⎤
⎢
P = ⎢
⎢
R() 1
•
1
•
•
•
R(
p−2)
⎥
⎥
• ⎥
⎣⎢
Rp ( −1) • • 1 ⎦⎥
la soluzione per i parametri ϕi puo essere scritta in forma matriciale:
(2.30) ϕ =
− •
P R
1
2
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Il grado di approssimazione con cui viene effettuata la stima del parametri del
modello AR di ordine p è, ovviamente, legato a quello con cui si stimano i
coefficienti R(k) che come abbiamo visto in precedenza è tanto migliore quanto
maggiore è il numero N di campioni su cui si effettua la stima .
Esistono alcuni metodi diretti di risoluzione del sistema di p equazioni nelle p
incognite ϕi noti come metodo di riduzione di Gauss e di Crout che richiedono , in
generale , p 3 /3 operazioni e p 2 allocazioni in memoria . Il metodo di decomposizione
di Cholesky, richiede , invece , la metà circa delle operazioni ed allocazioni in
memoria .
Il metodo iterativo di Levinson richiede solo p 2 operazioni e 2p allocazioni in
memoria. Il vantaggio di tale metodo è ,inoltre, quello di fornire iterativamente anche
le soluzioni dei modelli AR di ordine minore di p e quindi di permettere la
valutazione dell'errore minimo Ei ad ogni iterazione.
2.3.4 METODO RECURSIVO DI LEVINSON E DURBIN
Levinson e Durbin hanno dimostrato che la stima dei coefficienti di un modello
autoregressivo di ordine p+1 [AR(p+1)] può essere ottenuta a partire dai parametri
calcolati per il modello autoregressivo di ordine p [AR(p)], calcolato sulla stessa serie
numerica. Per illustrare la ricorsione consideriamo le equazioni di Yule-Walker per i
modelli di ordine due e tre:
r2
= ϕ 21r1
+ ϕ 22
(2.31)
r = ϕ + ϕ r
(2.32)
r
r
r
3
2
1
1
= ϕ
31
31 1
31
2
21
= ϕ r + ϕ
32
32 1
22 1
= ϕ r + ϕ r + ϕ
32 1
33 1
33
33
+ ϕ r
+ ϕ r + ϕ r
I coefficienti ϕ31 e ϕ32 possono essere espressi in funzione del coefficiente ϕ33 e dei
valori r1 r2 dell’autocorrelazione calcolata sulla serie numerica. Utilizzando il
simbolismo matriciale si può scrivere:
⎡ϕ
31 ⎤ 1 2 ϕ 33 1
⎢
2
ϕ
⎥
⎣ 32 ⎦
1 ϕ 33 2
1
2
=
⎡ − ⎤
⎢
⎣ −
⎥
⎦
= ⎡
− r r
R
r r
r 1⎤
R ⎢ ⎥
⎣1
r1 ⎦
L’ultima equazione può essere così riscritta:
2
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ϕ ⎡
⎢
⎣ϕ
31
32
⎤ ⎡ ⎤
⎥ = R
⎦
r
−12−1 2 ⎢ ⎥ − R2
⎣r1
⎦
ϕ
⎡r1
⎤
⎢ ⎥
⎣r
⎦
Ricordando che la 2.31 può essere riscritta nella forma
si ottiene:
cioè
⎡ϕ
⎢
⎣ϕ
31
32
⎡ϕ
⎢
⎣ϕ
21
22
⎤ ϕ
⎥ =
⎦ ϕ
⎡
⎢
⎣
⎤ ⎡ ⎤
⎥ = R ⎥
⎦ ⎦
r
21
22
−1
2
2 ⎢
⎣r1
ϕ ϕ ⎤ ⎡
⎥ − 33⎢
⎦ ⎣ϕ
ϕ = ϕ − ϕ ϕ
31 21 33 22
ϕ = ϕ −ϕ
ϕ
32 22 33 21
Per calcolare ϕ31 ϕ32 è necessario calcolare ϕ33, sostituendo le ultime equazioni nelle
2.32 si ottiene:
ϕ
33
33
22
21
r3−ϕ21r2 − ϕ22r1
=
1−ϕ
r −ϕ
r
21 1 22 2
In generale si possono scrivere le seguenti formule ricorsive:
ϕ
ϕ = ϕ − ϕ ϕ
⎤
⎥
⎦
p+ 1, j p, j p+ 1, p+ 1 p, p− j+
1
r
−
p
∑ j
∑
p+
1 = 1
p+
1,
p+
1 = p
ϕ
1− ϕ r
j=
1
pj
r
j
2
p,
j p+
1−
j
2.3.5 STABILITA' DEL MODELLO AUTOREGRESSIVO IDENTIFICATO
Dopo aver stimato i parametri ϕi del processo autoregressivo, è necessario verificare
la stabilità del filtro H(z) =ϕ -1 (z), trasformata della ϕ -1 (q), data da :
(2.33) Hz () = =
p
AZ ( )
− •z −
1 1
1 ϕ
∑
k = 1
k
k
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A(z) è detto filtro inverso .
La condizione di stabilità richiede, come già detto, che tutti poli di H(z) giacciano
all'interno del cerchio unitario (filtro a fase minima ) .
E' possibile dimostrare che se i coefficienti R(i) nella (2.29) sono definiti positivi la
soluzione delle equazioni di YuleWalker fornisce delle stime di ϕi che garantiscono la
stabilità di H(z). In realtà, è stato verificato che il metodo di stima YuleWalker
garantisce sempre per un processo autoregressivo la stabilità del filtro H(z) .
2.3.6 CRITERIO DI SCELTA DELL'ORDINE DEL MODELLO AR IL CRITERIO DI
AKAIKE.
Il criterio d'informazione di Akaike rappresenta una procedura particolare di un più
generale criterio noto come " metodo di predizione dell'errore (PEM) " .
L'applicazione del criterio di Akaike ai modelli autoregressivi ha lo scopo di fornire
l'ordine ottimo da assegnare al modello AR , ottenuto minimizzando la seguente
quantità :
(2.34) ( ) ( ϕ )
dove si indica con :
• M = ordine del modello.
• ϕ = vettore stimato dei parametri del modello
• L è la funzione di verosimiglianza
AIC M = −2• L + 2•M
L'idea che sta alla base del criterio di informazione di Akaike è di minimizzare
l'informazione aggiunta alla serie temporale dal modello AR, in quanto ogni
informazione aggiunta è una falsa informazione. Derivando la funzione L rispetto a
ϕi ed eguagliando a zero, si ottiene il vettore dei parametri stimato a massima
verosimiglianza.
Il termine 2 * L(Φ) tende a decrescere rapidamente con l'ordine del modello, mentre
l'altro termine 2 * M a crescere; riportando in ordinate il valore di AIC(M) in
funzione di M, si ottiene un punto di minimo che rappresenta proprio l'ordine ottimo
del modello.
Per processi stocastici Gaussiani, in particolare, l'espressione di Akaike si riduce .
(2.35) AIC( M ) = −ln(
V p ) + ( 2 • M ) / N
2 [ ∑en
]
(2.36) Vp
= 0 < V <
2
p 1
[ ∑zn
]
Con il termine Vp si indica l'energia residua normalizzata, cioè il rapporto tra
l'energia della sequenza d'errore ( differenza tra il segnale originale e quello
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modellato) e l'energia della serie temporale data; N è il numero dei campioni della
serie .
Inoltre, quando l'ordine del modello è quello ottimo, la funzione di autocorrelazione
della sequenza d'errore diventa impulsiva, cioè e(n) diventa rumore bianco. E'
desiderabile avere una misura della bianchezza di {e(n)}, perché se tale sequenza non
fosse bianca il processo stocastico non sarebbe correttamente modellato, e si
perderebbe informazione. Un ordine maggiore, come vedremo, riduce solo la potenza
persa.
2.3.7 FUNZIONE DI PARZIALE AUTOCORRELAZIONE (PACF)
Un parametro molto importante nella fase di identificazione del modello è la
funzione di parziale autocorrelazione del segnale (PACF).
Indichiamo con ϕkj il jmo coefficiente in un processo AR di ordine k, sicché ϕkk è
l'ultimo coefficiente. La quantità ϕkk vista come funzione al ritardo k, è detta funzione
di parziale autocorrelazione.
Per un processo autoregressivo AR(p) , la funzione di parziale autocorrelazione ϕkk
risulta identicamente nulla per k maggiore di p.
(2.39) ϕ kk = 0 k >p
In altre parole, la stima della PACF di un processo AR(p) ha un 'cutoff' al ritardo p.
2.3.8 ERRORE STANDARD NELLA STIMA DELLA PACF
E' stato dimostrato (Quenouille) che se un processo è AR di ordine p , le stime dei
valori ϕkk della PACF per un ritardo maggiore di p+1(ordine maggiore di p+1) sono
distribuite indipendentemente e risulta :
(2.41) [ ]
var ϕ kk
Quindi l'errore standard (S.E.) nella stima di ϕkk é
(2.42) SE. [ ]
=
n
1 k > p +1
. ϕ kk =
n
1 k > p +1
dove n è la lunghezza della sequenza del segnale zn utilizzata.
2.3.9 SPETTRO DEL SEGNALE AUTOREGRESSIVO.
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Per un sistema lineare tempo-invariante numerico con in ingresso un processo WSS
x(t) ed uscita y(t)si può dimostrare la seguente relazione (Papoulis):
jωT ( ω) = ( ω)
( )
S S H e
yy xx
e se h(n) è reale allora H*(e jωT )= H(e -jωT ) e si ottiene:
−1
( z)
= S ( z)
H ( z)
H ( z )
S xx
yy
per un sistema definito da un’ equazione del tipo
yn ( ) + ayn ( − 1 ) + ... + a yn ( − N) = bxn ( ) + ... + bxn ( − r)
con funzione di trasferimento data dalla:
si ottiene per lo spettro:
1 N 0
r
−r
b0+ ... + brz Hz ( ) =
1
1+
az + ... + a z
1
− −N
N
2
Nz ( )
=
Dz ( )
2
− jωMT b0+ ... + bre Syy ( ω) = Sxx
( ω)
•
j T
1 + ae + ... + a e
− ω −jωNT
2
1
N
e quindi per un sistema puramente autoregressivo (AR) il cui ingresso x(n) è un
rumore bianco (Sxx(ω)=σ 2 ) si ottiene:
S
yy
( ω)
σ
=
j T
1 + ae + ... + a e
2
− ω −jωNT
2
1
N
che scritta in termini di variabile z può essere decomposta (Orphanidis) in fratti
semplici del tipo:
b
0
b + b z
−1−1 1−a z 1−
a z + a z
1
1
0 1
che danno contributi come quelli riportati nelle figure seguenti (polo reale e coppia
di poli complessi coniugati.
Le antitrasformate di questi due termini sono esponenziali decrescenti e sinusoidi
smorzate. Ricordando che l’antitrasformata dello spettro è la funzione di
autocorrelazione si ottiene che l’autocorrelazione è la somma di esponenziali
decrescenti e sinusoidi smorzate in perfetto accordo con quanto indicato nei paragrafi
precedenti.
2
−2
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Modelli autoregressivi
2.3.10 DECOMPOSIZIONE SPETTRALE
Lo spettro di un segnale autoregressivo può essere scritto come:
2
− 1 σ
S yy ( z)
= S xx ( z)
H ( z)
H ( z ) =
−1
D(
z)
D(
z )
e ricordando la relazione di Parseval:
π
N
* jω * jω
−1 −1
∑ ynyn ( ) ( ) = He ( ) H ( e ) d = HzHz ( ) ( ) z dz Rp
i=
∫
ω ∫ =
1
∑ ( i )
−π
Dove C è il cerchio di raggio unitario. L’ultima eguaglianza è valida solo se C è una
curva che racchiude un dominio regolare nel campo di olomorfia della funzione della
variabile complessa z:
HzHz ( ) ( ) −1
i residui potranno essere calcolati come:
( ) ( )
lim HzHz * z
z→pi c
−1 −1
ricordando che la HzHz ( ) ( ) −1 può essere decomposta in fratti semplici l’integrale
presente nella relazione di Parseval può essere decomposto in una sommatoria di
integrali:
ω * ω
( ) ( )
π
N
j j ⎡ bi
bi
∫He H e dω=
∑∫⎢−
−
π
i = 1c
⎣1−az
i 1−az
i
−
1 1
M
i=
1
⎤ −1
⎥ z dz=
⎦
M
N
b b N
−1⎡
⎤
i
i
∑Ra ( i ) = ∑ lim ( z−ai) z ⎢ − bi
i =
i z→a − ⎥ =
1 1 ∑
1 = 1 i ⎣1−az
i 1−az
i ⎦ i = 1
Da cui il contributo offerto dalla i° componente è dato dal suo residuo
n*RE(bi) dove n=1,2 1 se il polo è reale 2 se si tratta di una coppia di poli
complessi coniugati. La componente i° sarà allora data da:
⎡ b b ⎤
i
i
n* RE⎢
−
− 1 1⎥
⎣1−az
i 1−az
i ⎦
con n=1,2 1 se il polo è reale 2 se si tratta di una coppia di poli complessi
coniugati per un polo l’andamento è quello riportato in figura a (passa-basso e
passa-alto), per una coppia di poli complessi coniugati quello riportato in figura
b (passa-banda).
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Modelli autoregressivi
0 50 100 150 200 250 300
figura a: Risposta in frequenza per un
sistema con funzione di trasferimento ad
un polo reale
0 50 100 150 200 250 300
figura b: Risposta in frequenza per un
sistema con funzione di trasferimento a
poli complessi coniugati
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