Equivalenza e minimizzazione di automi Stati equivalenti

Minimizzazione di DFA
Transitivita’
Possiamo usare l’algoritmo per minimizzare un DFA mettendo
insieme tutti gli stati equivalenti. Cioe’ rimpiazzando p by
p/ ≡.
Esempio: Il DFA di prima ha le seguenti classi di equivalenza:
{{A, E}, {B, H}, {C}, {D, F }, {G}}.
Il DFA unione di prima ha le seguenti classi di equivalenza:
{{A, C, D}, {B, E}}.
Notare: affinche’ p/ ≡ sia una classe di equivalenza, la
relazione ≡ deve essere una relazione di equivalenza
(riflessiva, simmetrica, e transitiva).
Equivalenza e minimizzazione di automi
Teorema 4.23: Se p ≡ q e q ≡ r, allora p ≡ r.
Prova: Supponiamo per assurdo che p ≡ r.
Allora w tale che ˆδ(p, w) ∈ F e ˆδ(r, w) ∈ F , o viceversa.
Lo stato ˆ δ(q, w) e’ o di accettazione o no.
Caso 1: ˆ δ(q, w) e’ di accettazione. Allora q ≡ r.
Caso 2: ˆ δ(q, w) non e’ di accettazione. Allora p ≡ q.
Il caso contrario puo’ essere provato simmetricamente.
Quindi deve essere p ≡ r.
Equivalenza e minimizzazione di automi