Successione superiormente limitata Successione inferiormente ...

cements
Successione superiormente limitata
Def. Una successione an si dice superiormente limitata se l’insieme
immagine im an = {an, n ≥ n0} è un sottoinsieme di R superiormente
limitato:
Es.
an
100
0
−100
−200
−300
sup im an = M < +∞ ⇐⇒ sup an = M < +∞
n≥n0
n≥n0
n
0 5 10 15 20
⇐⇒ ∃M ∈ R : an < M, ∀n ≥ n0.
A =im an = n − n 2 , n ∈ N
A = {0, 0, −2, −6, −12, ...}
sup(A) = max(A) = 0.
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cements
Successione inferiormente limitata
Def. Una successione an si dice inferiormente limitata se l’insieme
immagine im an = {an, n ≥ n0} è un sottoinsieme di R inferiormente
limitato:
Es.
an
2.5
2
1.5
1
0.5
inf im an = m > −∞ ⇐⇒ inf an = m > −∞
n≥n0
n≥n0
0
0 5 10 15 20
n
⇐⇒ ∃m ∈ R : an > m, ∀n ≥ n0.
A =im an = n − n 2 , n ∈ N
A =im an = {log(n), n ∈ N+}
A = {0, 0.693.., 1.098.., ...}
inf(A) = min(A) = 0
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PSfrag replacements
PSfrag replacements
Def. Una successione si dice limitata se è superiormente e
inferiormente limitata.
7n − 2
Esempio. Sia an =
n + 2 .
an
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
0 10 20 30 40 50 60
n
A =im an =
7n − 2
, n ∈ N
n + 2
inf(A) = min(A) = −1,
sup A = 7.
La successione è superiormente ed inferiormente limitata, quindi è
limitata.
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Successioni monotòne
Def. Una successione si dice monotona crescente se
an+1 ≥ an
si dice monotona decrescente se
an+1 ≤ an
∀n ≥ n0,
∀n ≥ n0,
Es. an = n
n + 1 , an = n! sono monotone crescenti per n ≥ n0 = 0.
an
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
PSfrag replacements
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
an
10 6
10 4
10 2
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
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n

cements
Es. an = 1
n , an
n + 1
= sono monotone decrescenti per n ≥ n0 = 1.
n
an
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
PSfrag replacements
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an = 1
n
an
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an =
n + 1
n
Es. an = (−1)n
n , an = cos(n) non sono monotone crescenti, né
monotone decrescenti.
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Limite di successioni monotone
Teorema Sia {an} una successione monotona, allora essa è
convergente o divergente (non puó essere indeterminata).
In particolare:
se {an} è monotona crescente, ⇒ lim
n→∞ an = sup an
n≥n0
mentre:
se {an} è monotona decrescente, ⇒ lim
n→∞ an = inf an
n≥n0
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Osservazione:
⎧
⎪⎨ inf an = min an = an0
n≥n0 n≥n0
se {an} è monotona crescente ⇒
⎪⎩ sup an = lim
n≥n0
n→∞ an
Es. an = n 2 + 3 = {3, 4, 7, 12, ....}.
inf
n≥0 an = min
n≥0 an = a0 = 3 sup
n≥0
an = lim
n→∞ an = +∞.
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⎧
⎪⎨ inf an = lim
n≥n0 n→∞
Se {an} è monotona decrescente ⇒
⎪⎩
an
an = max an = an0
n≥n0
Es. an = 2
n =
inf
n≥1 an = lim
2, 1, 2
3
1
, , .... .
2
n→∞ an = 0 sup
n≥1
sup
n≥n0
an = max
n≥1 an = a1 = 2.
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Il numero e di Nepero. Sia an = 1 + 1
n .
n
n an
1 2.00000000
50 2.69158803...
100 2.70481383...
150 2.70927591...
200 2.71151712...
PSfrag replacements
250 2.71286512...
300 2.71376516...
350 2.71440871...
400 2.71489174...
450 2.71526765...
500 2.71556852...
550 2.71581477...
10000 2.71814592...
y
2.8
2.6
an e
3
2.4
2.2
2
1 21 41 61 81 101 121 141 161 181
E’ possibile dimostrare che an è strettamente crescente e che è
superiormente limitata (dimostrazione lunga e con molti conti).
Con queste ipotesi, il teorema precedente assicura che la successione
an ha limite (ovvero an è convergente) e si definisce
e := lim 1 +
n→∞
1
n
= sup 1 +
n n≥1
1
n n
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n