22. La reologia e il flusso del sangue

22. La reologia e il flusso del sangue
22.1 Flusso nei vasi sanguigni più grossi
Il sangue è una sospensione composta di una fase acquosa continua (plasma)
contenente sale, zuccheri e proteine e una fase discreta, che include anzitutto eritrociti (globuli
rossi), che costituiscono la grandissima maggioranza (più del 99,5%) del corpuscolato, più
leucociti (globuli bianchi) e piastrine. I globuli rossi, cellule senza nucleo a forma di disco
biconcavo di 7-8 m, sono costituite per il 35% circa da emoglobina (da cui deriva il loro
colore rosso) e trasportano ossigeno dai polmoni ai tessuti e anidride carbonica nel percorso
inverso; il loro numero è di 3.5-6×10 6 /mm 3 , con ampie variazioni nei due sessi (in media, i
maschi ne hanno più delle femmine). Come termine di paragone, si pensi che il numero dei
globuli bianchi, che hanno dimensioni di circa 10 m, è di 7-10×10 3 /mm 3 , cioè circa 500 volte
in meno). La frazione volumetrica degli elementi corpuscolari (di fatto, dunque, dei globuli
rossi) si dice ematocrito (indicato con φH) ed è normalmente compreso fra il 43% ed il 47%,
con valori decisamente più bassi negli atleti (anche inferiori al 40%).
Il plasma è un fluido newtoniano, con una viscosità µp = 1.16-1.35 cp a 37 o C. Alla
stessa temperatura, la viscosità dell'acqua è di 0.59 cp; la maggior viscosità del sangue è
dovuta quasi esclusivamente all'effetto delle proteine che vi sono disciolte.
Al contrario del plasma, il sangue presenta un comportamento non newtoniano,
soprattutto dovuto alla presenza dei globuli rossi. Infatti, come nei fluidi di Bingham, il
sangue presenta uno "yield stress" 0, cioè un valore di soglia dello sforzo di taglio, al di sotto
del quale il fluido si muove solo con un flusso a pistone. In generale, 0 dipende dal valore
dell'ematocrito come
- 275 -
( ) 3
φ φ
τ ∝ − ,
0 H Hc
dove φHc = 0.04 è un valore critico dell'ematocrito al disotto del quale non si osserva alcun
yield stress. In condizioni normali, cioè con φH = 0.45, si osserva 0 ≅ 0.04 dyne/cm -2 .
Al di sopra del valore di soglia 0, ma al disotto di uno shear rate di 100 s -1 , il sangue si
comporta come un fluido pseudoplastico. L'equazione più semplice che lo descrive è
l'equazione di Casson, 1
1 2
1 2 1 2 1 2 dv
τ = τ 0 + µ ,
dove µ è la viscosità ad alte shear rate (cioè quando l'effetto dello yield stress è trascurabile),
funzione dell'ematocrito secondo la correlazione semi-empirica,
dr
5 2
( + φ 7.
35φ
)
µ = µ p 1 H + H .
2
1 Si noti che l'equazione di Casson non è l'unica equazione costitutiva proposta per descrivere la reologia del sangue
(si pensi, ad esempio, all'equazione di Quemada).

5 In questa equazione, il primo termine correttivo ( φH
) fu derivato da Einstein nel
2
1906 e descrive la viscosità di sospensioni molto diluite (φ < 0.1); il secondo termine, invece,
è (stranamente) molto vicino al valore (7.6 φ 2 ) ottenuto da Batchelor nel 1972, relativo a
sospensioni di particelle rigide e di forma sferica (e i globuli rossi non sono né rigidi né
sferici). Tuttavia, per sospensioni di particelle rigide, l'espressione della viscosità in funzione
della concentrazione del particolato comprende anche termini di ordine superiore (φ 3 , φ 4 ,
ecc.), i quali diventano importanti per alte concentrazioni, come nel caso del sangue; infatti, in
condizioni normali, con ematocrito di φH = 0.4, una sospensione di particelle rigide avrebbe
una viscosità di circa 100 volte maggiore di quella del fluido che costituisce la parte continua
(il plasma, nel nostro caso), mentre in realtà, nelle stesse condizioni, il sangue ha una viscosità
di solo circa 3 volte maggiore di quella del plasma. 2
L'effetto complessivo è che la viscosità efficace µeff , definita come il rapporto tra lo
shear stress e lo shear rate γ, diminuisce al crescere dello shear rate. Infatti, il rapporto tra
µeff e la viscosità del plasma decresce da un valore da massimo di circa 150, per γ < 10 -2 s, ad
un valore di circa 3 per γ > 10 2 s.
L'equazione di Casson è ovviamente molto simile all'equazione costitutiva dei fluidi di
Bingham e descrive in modo adeguato il comportamento del sangue per shear rate compresi
tra 10 e 100 s -1 . Per bassi flussi, come per tutti i fluidi di Bingham, il profilo di velocità
predetto (come quello rilevato sperimentalmente) è schiacciato, mentre per alti flussi (in cui lo
shear rate è maggiore di 100 s -1 ) si avvicina al tipico profilo parabolico (infatti, in questo caso,
l'effetto dello yield stress è trascurabile). Sulla base di questi risultati, spesso si può ritenere
che nelle vene ed arterie più grosse il sangue si comporti come un fluido newtoniano con
viscosità µ; tuttavia, nei condotti più sottili, il comportamento non newtoniano diventa
predominante.
22.2 Flusso nei vasi sanguigni più sottili
Esperimenti condotti su capillari dal diametro inferiore a 300 µm hanno dato dei
risultati che, a prima vista, sono strani. Si tratta del cosiddetto effetto Fahreus, per cui
l'ematocrito all'uscita, cioè la quantità di globuli rossi che escono dal capillare, è maggiore di
quello presente all'interno. Immaginiamo di far scorrere del sangue in un capillare: all'uscita,
se raccogliamo il sangue in un contenitore e vi misuriamo l'ematocrito, troveremmo
R
( r)
v(
r)
φ 2πrdr
R
0
1
φ D =
= φ(
r)
v(
r)
2πrdr
,
R
V 0
v 2πrdr
0
( r)
dove v è la velocità del fluido (il pedice D sta per discharge). Questo è l'equivalente della cupmixing
temperature definita nel paragrafo 11.5 e mostra il fluido che si muove a velocità
maggiore viene pesato più di quello che si muove lentamente. Chiaramente, mentre, per
2 Questo risultato è stato confermato sperimentalmente misurando la viscosità del sangue a cui si sia aggiunto della
glutiraldeide, che causa un irrigidimento dei globuli rossi. In questo caso, si è visto che il sangue trattato si comporta come
un fluido newtoniano, ma con una viscosità fino a 100 volte superiore a quella del sangue non trattato.
- 276 -

continuità, φD è uguale all'ematocrito nel sangue, esso è tuttavia diverso, in generale,
dall'ematocrito medio all'interno del condotto, definito come
R
( r)
φ 2πrdr
R
0
2
φ T =
= φ(
r)
rdr .
R
2
R 0
2πrdr
0
Infatti, se l'ematocrito fosse uniforme nel condotto e uguale a φT, ovviamente si troverebbe φD
= φT. In genere, tuttavia, se la concentrazione dei globuli rossi non è uniforme, φ(r), le due
grandezze non sono uguali.
Ora, sperimentalmente, si
vede che φD > φT (vedi figura). Ciò
sta ad indicare che, visto che ne
φT / φD
escono più di quanti, in media, ce
ne siano in una sezione del
condotto, globuli rossi tendono ad
addensarsi verso il centro del
condotto, dove la velocità è
maggiore.
Per tubi con diametri
inferiori ai 10 µm, poi, l'effetto si
inverte, perché i globuli rossi
passano una alla volta (in fila
indiana) e, dunque, φD tende a
diventare uguale a φT finchè, per
diametri inferiori a 2.7 µm, i
glubuli rossi non riescono ad
entrarvi e dunque l'ematocrito non
si può definire.
Un fenomeno simile è
l'effetto Fahreus-Lindquist, in cui
la viscosità apparente del sangue
diminuisce al diminuire del
diametro del capillare in cui scorre. Come si vede dalla figura, la curva della viscosità risulta
identica a quella dell'ematocrito medio nei tubi. Ciò sta ad indicare che, tenendo costante
l'ematocrito "reale", cioè φD, al diminuire del diametro dei tubi diminuisce l'ematocrito nei
tubi e, corrispondentemente, diminuisce la viscosità.
Questo fenomeno si può chiarire meglio in base alla resistenza R di un capillare al
flusso, definita come termine di proporzionalità tra la portata volumetrica, V , e le perdite di
carico, ∆ P ,
- 277 -
∆ P = RV
.

Ora, ∆ P è proporzionale allo sforzo di taglio alla parete, τ w,
il quale, a sua volta, è
proporzionale alla viscosità del fluido a contatto con la parete. Dunque, vediamo che, poiché
l'ematocrito alla parete è inferiore a quello medio, la resistenza dei capillari risulta minore di
quella che ci saremmo aspettati supponendo che l'ematocrito alle pareti fosse uguale a quello
medio. Detto in altro modo, l'effetto Fahreus-Lindquist sta ad indicare che la viscosità
apparente del sangue, cioè la sua viscosità alla parete, è minore della viscosità del sangue
corrispondente al valor medio dell'ematocrito.
Anche in questo caso, quando il diametro del capillare diventa inferiore alle
dimensioni dei globuli rossi, il fenomeno cambia.
22.3 Flusso pulsato in tubi cilindrici
La pressione e il flusso nei condotti sanguigni variano periodicamente nel tempo. Il
flusso sanguigno si divide in due fasi: la sistole, durante la quale il cuore si contrae e pompa il
sangue e la diastole, durante il quale non c'è pompaggio e i ventricoli si riempiono di sangue.
Come il cuore si contrae, la pressione del ventricolo sinistro aumenta rapidamente, da circa 5
mm Hg fino a 120 mm Hg in circa 0.2 s. Ora, la pressione aortica varia da 80 a 120 mm Hg.
Quando la pressione ventricolare eccede quella aortica, la valvola aortica si apre e il sangue
fluisce nell'aorta. Il flusso aortico aumenta all'aumentare della pressione finchè raggiunge un
massimo quando anche la pressione raggiunge un massimo (vedi figura); poi, la pressione
inizia a diminuire (il che tende ad invertire il flusso sanguigno) e la velocità media del sangue
diminuisce, fino a diventare negativa. A questo punto, con un piccolo ritardo, la valvola
aortica si richiude. Il backflow finisce nelle arterie coronarie. Come si vede dalla figura, anche
in assenza di flusso la pressione nell'aorta rimane relativamente alta (cioè compresa tra 80 e
120 mm Hg).
Più ci allontaniamo dal cuore, più gli impulsi di pressione e flusso sanguigno si
smussano. Alla fine, nei capillari, le variazioni di pressione sono molto attenuati finchè, nei
condotti venosi, il flusso si mantiene costante nel tempo.
- 278 -

Dal punto di vista della fluidodinamica, il flusso sanguigno nei condotti più grossi si
può schematizzare come il flusso di un fluido newtoniano risultante da una perdita di carico
oscillante nel tempo con frequenza ω. Come si è visto, per flussi variabili nel tempo, oltre al
numero di Reynolds, definito che il rapporto tra il tempo caratteristico della diffusione, τd =
R 2 /ν e quello convettivo, τc = R/U , dove U è la velocità caratteristica, R il raggio del
condotto e ν la viscosità cinematica, possiamo definire il numero di Strouhal, definito come il
rapporto tra il periodo di oscillazione della pressione, τ = 1/ω e τc,
τ d UL τ U
Re = = , St = = .
τ ν τ Lω
c
In realtà, tuttavia, per flussi laminari, invece del numero di Strouhal, si preferisce definire il
numero di Womersley, uguale alla radice quadrata del rapporto tra τd e τ,
τ d
ω
Wo = = Re St = R .
τ
ν
Nella tabella si possono vedere i numeri di Reynolds e di Womersley caratteristici del flusso
arterioso in condizioni di riposo, con ω = 60 battiti al minuto.
Arteria R (cm) Re Wo
Aorta 1.5 1500 22
Coronaria sinistra principale 0.43 270 6.1
Coronaria destra 0.1 230 1.8
Coronaria sinistra anteriore discendente 0.17 80 2.4
Arteria femorale 0.27 180 3.9
Arterie terminali 0.05 17 0.7
In regime laminare, quando Wo

(a)
(c)
Figura 22.3. Profili di velocità a tempi diversi
(corrispondenti a diversi angoli di fase) per Wo = 0.5
(in alto a sinistra), 3.34 (in alto a destra), 6.5 (in basso
a sinistra) e 15 (in basso a destra).
- 280 -
(b)
(d)