(dott. ssa Saoncella) - Esercitazione 7

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Esercizio 6. Si calcoli il seguente integrale 2 x 2 − 5x + 6 dx Svolgimento. Notiamo che la funzione integranda è una funzione fratta e che non si può effettuare la divisione poiché il grado del polinomio a numeratore è inferiore rispetto a quello a denominatore. Procediamo andando a decomporre la frazione fratta nella somma di più frazioni fratte, dette fratte semplici. Consideriamo il denominatore e lo scomponiamo in fattori x 2 − 5x + 6 = (x − 2) (x − 3) Abbiamo ottenuto due fattori di 1 ◦ grado, quindi la funzione integranda si decompone nel seguente modo 2 x2 A B A (x − 3) + B (x − 2) = + = = − 5x + 6 x − 2 x − 3 (x − 2) (x − 3) (A + B) x − (3A + 2B) (x − 2) (x − 3) affinché la prima e l’ultima frazione siano uguali, deve essere che quindi A + B = 0 −(3A + 2B) = 2 ⇒ 2 x2 −2 2 dx = + dx − 5x + 6 x − 2 x − 3 Esercizio 7. Si calcoli il seguente integrale A = −2 B = 2 per la proprietà di linearità dell’integrale −2 2 = dx + x − 2 x − 3 dx per le proprietà del differenziale −2 2 = d(x − 2) + d(x − 3) x − 2 x − 3 poiché sono degli integrali immediati = −2 log |x − 2| + 2 log |x − 3| + c = 2 log x − 3 x − 2 + c 2x + 3 x 2 − 4x + 4 dx Svolgimento. Consideriamo il denominatore e lo scomponiamo in fattori x 2 − 4x + 4 = (x − 2) 2 6
Abbiamo ottenuto un fattore di primo grado con ordine di molteplicità 2, quindi la funzione integranda si decompone nel seguente modo 2x + 3 x2 A = − 4x + 4 x − 2 + B A (x − 2) + B 2 = (x − 2) (x − 2) 2 = Ax + (B − 2A) affinché la prima e l’ultima frazione siano uguali, deve essere che quindi 2x + 3 x2 dx = − 4x + 4 Esercizio 8. Si calcoli il seguente integrale A = 2 B − 2A = 3 2 x − 2 + ⇒ A = 2 B = 7 (x − 2) 2 7 7 dx = 2 log |x − 2| − + c (x − 2) 2 x − 2 1 x 2 + 2x + 2 dx Svolgimento. In questo caso il denominatore non è scomponibile in fattori, ma lo si può riscrivere nel seguente modo pertanto l’integrale diventa 1 x2 dx = + 2x + 2 Esercizio 9. Si calcoli il seguente integrale Svolgimento. x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2x + 1 + 1 = (x + 2) 2 + 1 1 (x + 1) 2 dx = + 1 1 (x + 1) 2 d(x + 1) = arctan (x + 1) + c + 1 3x + 6 x 2 + 2x + 2 dx 7
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Page 5: Quindi quindi abbiamo ottenuto che
Page 9 and 10: dove l’ultimo passaggio è giusti
Page 11: Stesso ragionamento dell’esercizi

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