(dott. ssa Saoncella) - Esercitazione 7

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Come nell’esercizio precedente, il denominatore non è scomponibile in fattori, quindi 3x + 6 x2 x + 2 dx = 3 + 2x + 2 (x + 1) 2 + 1 dx 2(x + 1 + 1) x + 2 = x + 1 + 1 = = 2 2(x + 1) + 2 2 = 3 2(x + 1) + 2 2 (x + 1) 2 + 1 dx rompendo la frazione = 3 2(x + 1) 2 (x + 1) 2 3 dx + + 1 2 2 (x + 1) 2 + 1 dx nel primo integrale a numeratore si ha la derivata del denominatore = 3 1 2 (x + 1) 2 + 1 d (x + 1) 2 + 1 + 3 2 2 (x + 1) 2 + 1 dx = 3 2 log (x2 + 2x + 2) + 3 arctan (x + 1) + c Esercizio 10. Si calcoli il seguente integrale 1 sin x dx Svolgimento. Ricordando la formula di duplicazione del seno2 , si ha che sin x = 2 sin x x cos 2 2 quindi andando a sostituire 1 dx = sin x = 2 sin x 2 1 cos x 2 dx a denominatore dividiamo e moltiplichiamo per cos x 1 2 · 1 dx tan x 2 cos 2 x 2 andando ad osservare la funzione integranda, notiamo che nella sua espressione c’è una . Abbiamo il seguente differenziale funzione, tan x 2 e la sua derivata, 1/ cos2 x 2 si ha che 1 2 · tan x 2 2 sin (2x) = 2 sin x cos x 1 cos 2 x 2 d(tan x 1 ) = 2 2 · dx = 1 tan x 2 8 1 cos 2 x 2 dx d(tan x 2 x ) = log tan + c 2
dove l’ultimo pa<strong>ssa</strong>ggio è giustificato dal fatto che 1/t dt = log |t| + c. Esercizio 11. Si calcoli il seguente integrale cos 2 x dx Svolgimento. Usando la seguente identità, ricavata dalle formule di bisezione del coseno 3 , si ha cos 2 x = 1 + cos (2x) 2 cos 2 1 + cos (2x) x dx = dx 2 rompiamo l’integrale nella somma di due integrali per la linearità 1 1 cos 2x = dx + · d (2x) 2 2 2 = x 1 + sin (2x) + c 2 4 Si sarebbe potuto risolvere anche per parti, infatti cos 2 x dx = cos x · cos x dx = sin x · cos x + calcoliamo a parte l’ultimo integrale sin 2 1 2 x dx = − cos x dx = x − dunque rimettendo tutto assieme cos 2 x dx = sin x · cos x + x − da cui si ricava quindi 2 cos 2 x dx = sin x · cos x + x + c cos 2 x dx = Esercizio 12. Si calcoli il seguente integrale 3 cos (α/2) = ± (1 − cos (α))/2 sin x · cos x 2 sin 3 x dx 9 cos 2 x dx cos 2 x dx + x + c 2 sin 2 x dx
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Page 5 and 6: Quindi quindi abbiamo ottenuto che
Page 7: Abbiamo ottenuto un fattore di prim
Page 11: Stesso ragionamento dell’esercizi

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