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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 14 Diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) α = α |G(jω)|(db) = |G(jω)| 40 |G2| 20 0 |K| -20 -40 -60 -80 ϕ0 = − 3π 2 −2π − 5π 2 −3π − 7π 2 arg |G(jω)| π π 2 0 − π 2 −π −1 0.1 1 5 10 100 β B 0.1 ωa 1 ¯ωa 5 10 100 ωa G1, G3 G4 ¯ωa ωb ¯ω ωb A −2 −3 G4 ¯ωb ¯ωb +1 C |G1| ω [log 10] |G3| |G4| ω [log 10] G2 K K, G2 G1, G3 ϕ∞ = − 7π 2 R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici - 2005/06 3. ANALISI ARMONICA
3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 15 Secondo metodo: graficazione “rapida” Diagramma delle ampiezze a) Si individua nella funzione G(s) tutte le pulsazioni in corrispondenza delle quali si ha un cambiamento di pendenza. Tali pulsazioni coincidono con gli zeri reali, i poli reali e con le pulsazioni naturali ωn delle coppie di poli e zeri complessi coniugati della funzione G(s). Nel caso in esame si ha ω = 1 e ω = 5. Tali pulsazioni vengono ordinate in ordine crescente di modulo. b) Tenendo conto del fatto che gli zeri (reali o complessi coniugati) determinano un incremento di pendenza (rispettivamente di +1 e di +2) e che, viceversa, i poli (reali o complessi coniugati) determinano un decremento della pendenza del diagramma asintotico (rispettivamente di -1 e di -2), è chiaro che la “forma” del diagramma asintotico è già nota a priori prima di iniziare la graficazione. Nel caso in esame, per esempio, si ha: -1 β (o,x) x x 1 5 In corrispondenza della pulsazione ω = 1 non si ha cambiamento si pendenza perchè a questa pulsazione agiscono contemporaneamente sia un polo che uno zero. c) Si determina la posizione “verticale” del diagramma asintotico di Bode. - Se la funzione G(s) è di tipo 0, il posizionamento verticale è automaticamente determinato dal calcolo del guadagno statico G(0). - Se il sistema è di tipo 1, o in generale di tipo h, il posizionamento verticale può avvenire, per esempio, calcolando la posizione del punto A in corrispondenza della pulsazione ¯ω alla quale si ha il primo cambiamento di pendenza. Siano (¯ω, β) le coordinate del punto A. Se il sistema è di R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici - 2005/06 3. ANALISI ARMONICA -1 ¯ω A -3 ω
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