Riepilogo di tutto Bode con un PDF chiarissimo

0.0. 3.2 1
Diagrammi di Bode
• Possibili rappresentazioni grafiche della funzione di risposta armonica F (ω) =
G(jω) sono: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi
di Nichols.
• I Diagrammi di Bode sono due:
1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln |G(jω)| in funzione
del ln ω;
2) il diagramma delle fasi rappresenta β = arg G(jω) in funzione del
ln ω;
• Esempio:
ln G(jω) = ln
Diagramma delle ampiezze
G(jω) =
100
1 + j ω 10
Diagramma delle fasi
j arg G(jω)
|G(jω)|e
= ln |G(jω)| + j arg G(jω)
1 + j ω 80
1 + j ω
1000
= ln |G(jω)| + ln[e j arg G(jω) ]
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 2
• Per i calcoli si utilizzano i logaritmi naturali. Peraltro, un cambiamento di
base dei logaritmi equivale ad un semplice cambiamento di scala.
• Si possono utilizzare due tipi diversi di carta millimetrata:
a) carta con doppia scala logaritmica per le ampiezze e carta semilogaritmica
per le fasi;
b) carta semilogaritmica sia per le ampiezze sia per le fasi. In questo caso
la scala delle ampiezze è graduata in decibel: B =20 log 10 A.
Caso a) Caso b)
• I vantaggi che si hanno impiegando una scala logaritmica sono:
i) è possibile avere una rappresentazione dettagliata di grandezze che
variano in campi notevolmente estesi;
ii) i diagrammi di Bode di sistemi in cascata si ottengono come somma
dei diagrammi di Bode dei singoli sottosistemi;
iii) i diagrammi di Bode di una funzione data in forma fattorizzata si
ottengono come somma dei diagrammi elementari dei singoli fattori.
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 3
Conversione in db e viceversa
• Il decibel è un’unità logaritmica convenzionale che normalmente si impiega
per esprimere il guadagno di amplificatori.
B(db) = 20 log 10 A
• Per la conversione si può utilizzare il seguente diagramma:
Posto A nella forma:
A = r · 10 n
con 1 ≤ r < 10,
il valore di A in decibel è:
B = 20 n + s db
dove s si ricava dal diagramma a
fianco: 0 ≤ s < 20.
• Alcune conversioni di uso frequente:
A B = 20 log 10 A
1 0
√ 2 3
2 6
5 14
10 20
20 26
50 34
100 40
1000 60
10000 80
0.5 −6
0.1 −20
0.01 −40
– Esempio 1:
– Esempio 2:
A = 24
A = 2.4 · 10 1
B 20 + 8 = 28
A = 0.56
A = 5.6 · 10 −1
B −20 + 15 = −5
– Ogni 6 db il valore di A raddoppia;
– Ogni 20 db il valore di A è
moltiplicato per 10;
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 4
• Si consideri una generica funzione di trasferimento:
G(s) = K1
s m + bm−1 s m−1 + . . . + b1 s + b0
s h (s n−h + an−1 s n−h−1 + . . . + ah+1 s + ah)
• Il fattore s h corrisponde ad un eventuale polo nell’origine avente ordine
di molteplicità h: se la funzione di trasferimento non presenta poli
nell’origine, è h=0.
• Forma fattorizzata a poli e zeri:
G(s) = K1
• Forma fattorizzata a costanti di tempo:
G(s) = K
(s − z1) (s − z2) . . . (s − zm)
s h (s − ph+1) (s − ph+2) . . . (s − pn)
1+τ ′ 1s 1+τ ′ 2s . . .
s h 1+τ1s 1+τ2s . . .
1+2δ ′ 1 s
ω ′ +
n1
s2
′ 2
ω n1
1+2δ1 s s2
ωn1
+
ω 2 n1
. . .
. . .
• La funzione di risposta armonica si ottiene ponendo s=jω:
′ ′ 1+jωτ 1 1+jωτ 2 . . . 1+2δ
G(jω) = K
′ jω
1ω
′ −
n1
ω2
ω
(jω) h
1+jωτ1 1+jωτ2 . . .
′ 2
n1
1+2δ1 jω ω2
ωn1
−
ω 2 n1
. . .
. . .
• Il diagramma di Bode della funzione G(jω) si ottiene come somma dei
diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari:
K
(j ω) −h
1 + j ω τ ±1
1 + j 2 δ ω ωn
ω2 −
ω 2 ±1
n
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 5
• Guadagno costante: G(jω) = K.
- I diagrammi dei moduli e
della fasi sono indipendenti da
ω, cioè sono costanti;
- Se K > 0, il diagrammi delle
fasi è β = 0;
- Se K < 0, il diagramma
delle fasi è β = −π.
• Poli nell’origine: G(jω) = (j ω) −h .
- I diagrammi riportati a fianco
sono relativi al caso h = 2;
- In scala (ln, ln), il diagramma
delle ampiezze è una
retta passante per il punto
(ω, α) = (1, 0 db) e di inclinazione
−h;
- Il diagramma delle fasi è costante,
identicamente uguale
a −h π
2 ;
• Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi:
ln G(jω) = α + j β = ln 1 π
− j h
ωh 2
= −h ln ω − j h π
2
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 6
• Poli reali: G(jω) = 1 + j ω τ −1 =
ln G(jω) = α + j β = ln
• Diagrammi asintotici di Bode:
Diagramma delle ampiezze:
a) per ω ≪ 1/τ, si ottiene
α0, cioè il diagramma
tende a coincidere con l’asse
delle ascisse.
b) per ω ≫1/τ, si ottiene
α ln 1
ωτ
= ln 1
τ
− ln ω
cioè il diagramma tende alla
retta passante per il punto
ln ω = ln (1/τ) e di
inclinazione −1;
1
1 + jωτ
1
√ 1 + ω 2 τ 2
+ j (−arctan ωτ)
• L’approssimazione asintotica del diagramma delle ampiezze è pertanto
costituita dalle due semirette
0 per ln ω ≤ ln 1
τ ,
α =
ln 1 τ − ln ω per ln ω ≥ ln 1 τ ,
• Il massimo errore della rappresentazione asintotica si ha per ω =1/τ e vale
ln √ 2 (circa 3db).
• La pendenza −1, su carta semilogaritmica diventa −20 db/decade;
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 7
• Diagramma asintotico delle fasi:
La spezzata si ottiene
collegando i due
asintoti β = 0 e β =
−π/2 con la tangente
al diagramma effettivo
nel punto corrispondente
alla pulsazione
di rottura
ω0 = 1/τ, punto in
cui è β =−π/4.
• Essendo β = −arctan ωτ , si può scrivere
d β
d ln ω
ω=ω0
= d β
d ω
d ω d ln ω
ω=ω0
= − ω0 τ
1 + ω2 = −1
0 τ 2 2
• Le pulsazioni ωa e ωb si determinano utilizzando la relazione
da cui si ottiene
ln ω0
ωa
= ln ωb
π/4
ln ω0 − ln ωa
ω0
= π
2
=
→
π/4
ln ωb − ln ω0
ω0
ωa
= ωb
ω0
= 1
2
= e π 2 = 4, 81
• I diagrammi di Bode della funzione G(jω)=1+jωτ si ottengono ribaltando
attorno all’asse delle ascisse quelli della funzione G(jω)=(1+jωτ) −1 .
• Quando la costante di tempo τ è negativa, il diagramma delle ampiezze
risulta immutato, mentre il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto
all’asse delle ascisse.
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 8
• Esempio. Si consideri la seguente funzione di risposta armonica:
• Diagrammi di Bode:
G(jω) =
5, 6 (1 + j ω 0, 5)
(1 + j ω 4) (1 + j ω 0, 25) (1 + j ω 0, 125)
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 9
• Poli complessi coniugati (0≤δ

3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 10
• Il diagramma effettivo si può discostare sensibilmente da quello asintotico:
in particolare, per δ =0 e in corrispondenza della pulsazione di rottura ωn,
lo scostamento è infinito.
• Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:
1) per 0≤δ ≤1/ √ 2, presenta un massimo;
2) per 0≤δ ≤1/2, interseca l’asse a destra del punto ω =ωn;
3) per 1/2≤δ ≤1/ √ 2, interseca l’asse a sinistra del punto ω =ωn;
4) per 1/ √ 2≤δ ≤1, non interseca l’asse delle ascisse ed è pertanto tutta
al di sotto della sua approssimazione asintotica.
• Pulsazione di risonanza ωR. Posto u=ω/ωn, il massimo dell’ampiezza
corrisponde ad un minimo della funzione
(1 − u 2 ) 2 + 4 δ 2 u 2
Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ottiene
−4 (1 − u 2 ) u + 8 δ 2 u = 0
Trascurando la soluzione nulla si ottiene
uR = 1−2 δ2 →
√
ωR = ωn 1 − 2 δ2 • Picco di risonanza MR: si calcola come modulo della funzione di risposta
armonica in corrispondenza della pulsazione ωR:
MR =
1
(1 − 1 − 2 δ 2 ) 2 + 4 δ 2 (1 − 2 δ 2 )
MR =
1
2 δ √ 1 − δ 2
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 11
• Diagramma di Bode della fasi:
• Approssimazione asintotica del diagramma delle fasi si ottiene congiungendo
gli asintoti β = 0 e β = −π con un segmento inclinato di pendenza
opportuna.
• Essendo β = −arctan
d β
d ln ω
=
ω=ωn
d β
d u
2 δ u
1−u 2 , si deduce:
d u
1
d ln ω = −
u=1 1 + 2 δ u
1 − u 2
2 2 δ (1 + u 2 ) u
(1 − u 2 ) 2
u=1
= − 1
δ
• Le pulsazioni ωa e ωb sono legate alla pulsazione ωn dalla relazione:
π/2
ln ωn − ln ωa
=
dalla quale si ottiene
ωn
ωa
= ωb
ωn
π/2
ln ωb − ln ωn
= e π 2 δ = 4, 81 δ
= 1
δ
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 12
• Diagrammi delle ampiezze e delle fasi in scala semilogaritmica:
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 13
Graficazione “qualitativa” dei diagrammi di Bode
Si procede alla graficazione del diagramma asintotico di Bode della funzione
di risposta armonica assegnata. Due possibili metodi.
Primo metodo: somma dei singoli contributi
a) La funzione G(s) viene messa nella forma “a costanti di tempo”:
G(s) =
10(s − 1)
s(s + 1)(s 2 + 8s + 25)
→ G(s) = −10
25
(1 − s)
s(1 + s)(1 + 8s
25
b) Si tracciano i diagrammi asintotici di Bode delle singole componenti:
K = − 10
25 , G1(s) = (1 − s), G2(s) = 1
s , G3(s) =
1
(1 + s) , G4(s) =
1
(1 + 8s s2 + 25 25 )
+ s2
25 )
c) Si sommano i singoli contributi per ottenere il diagramma asintotico della
funzione G(s).
- Il contributo del termine K è costante: |K| = −7.96 db e arg K = −π.
- Lo zero instabile (1 − s), e il polo stabile (1 + s) −1 agiscono alla pulsazione
ω = 1 e forniscono due contribuiti uguali e contrari nel diagramma delle
ampiezze. Il loro contributo nel diagramma delle fasi si somma: l’ampiezza
complessiva per ω → ∞ è −π.
- La coppia di poli complessi coniugati (1+ 8s
25
+ s2
25 )−1 determina sul diagramma
asintotico delle ampiezze una attenuazione di −40 db/dec a partire dalla pulsazione
ωn = 5. Il contributo al diagramma delle fasi è negativo di ampiezza
complessiva −π al variare di ω. Le pulsazioni alle quali si ha un cambiamento
di pendenza del diagramma asintotico di Bode delle fasi sono le seguenti
ωa = 1
4.81 , ωb = 4.81, ¯ωa = ωn
4.81 δ , ¯ωb = ωn4.81 δ
dove δ = 0.8 è il coefficiente di smorzamento della coppia di poli complessi
coniugati.
- La difficoltà nell’utilizzare questo metodo sta nel fatto che la somma dei
singoli contributi non è sempre agevole.
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 14
Diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s)
α = α |G(jω)|(db) = |G(jω)|
40
|G2|
20
0
|K|
-20
-40
-60
-80
ϕ0 = − 3π
2
−2π
− 5π
2
−3π
− 7π
2
arg |G(jω)|
π
π
2
0
− π
2
−π
−1
0.1 1 5 10 100
β
B
0.1 ωa 1 ¯ωa 5 10 100
ωa
G1, G3
G4
¯ωa
ωb
¯ω
ωb
A
−2
−3
G4
¯ωb
¯ωb
+1
C
|G1|
ω [log 10]
|G3|
|G4|
ω [log 10]
G2
K
K, G2
G1, G3
ϕ∞ = − 7π
2
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 15
Secondo metodo: graficazione “rapida”
Diagramma delle ampiezze
a) Si individua nella funzione G(s) tutte le pulsazioni in corrispondenza delle
quali si ha un cambiamento di pendenza. Tali pulsazioni coincidono con
gli zeri reali, i poli reali e con le pulsazioni naturali ωn delle coppie di poli
e zeri complessi coniugati della funzione G(s). Nel caso in esame si ha
ω = 1 e ω = 5. Tali pulsazioni vengono ordinate in ordine crescente di
modulo.
b) Tenendo conto del fatto che gli zeri (reali o complessi coniugati) determinano
un incremento di pendenza (rispettivamente di +1 e di +2) e che,
viceversa, i poli (reali o complessi coniugati) determinano un decremento
della pendenza del diagramma asintotico (rispettivamente di -1 e di -2), è
chiaro che la “forma” del diagramma asintotico è già nota a priori prima
di iniziare la graficazione.
Nel caso in esame, per esempio, si ha:
-1
β
(o,x)
x
x
1 5
In corrispondenza della pulsazione ω = 1 non si ha cambiamento si pendenza perchè
a questa pulsazione agiscono contemporaneamente sia un polo che uno zero.
c) Si determina la posizione “verticale” del diagramma asintotico di Bode.
- Se la funzione G(s) è di tipo 0, il posizionamento verticale è automaticamente
determinato dal calcolo del guadagno statico G(0).
- Se il sistema è di tipo 1, o in generale di tipo h, il posizionamento verticale
può avvenire, per esempio, calcolando la posizione del punto A in
corrispondenza della pulsazione ¯ω alla quale si ha il primo cambiamento
di pendenza. Siano (¯ω, β) le coordinate del punto A. Se il sistema è di
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-1
¯ω
A
-3
ω

3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 16
d)
tipo h, il valore della coordinata β si determina in base alla formula:
β =
s
hG(s) ¯ω h
s=0
cioè si sostituisce ¯ω h al posto degli h poli nell’origine, mentre in tutti gli
altri termini di G(s) si mette s = 0.
Nel caso in esame si ha h = 1 ed ¯ω = 5 per cui
β =
s G(s)
5 =
10(s − 1)
s=0 5(s + 1)(s2
+ 8s + 25)
s=0
= 2
25
= −21.94 db
È ora possibile tracciare il diagramma asintotico complessivo tracciando, a
partire da A, i vari tratti della “spezzata”, ognuno con la propria pendenza.
Nel caso in esame, per esempio, il tratto di spezzata che precede il punto A si
determina individuando il punto B. Questo punto si calcola a partire da A diminuendo
la pulsazione di una decade ed aumentando di 20 db l’ampiezza: B = (0.5, β + 20).
Allo stesso modo si procede per determinare il tratto che segue il punto A. In questo
caso, essendo -3 la pendenza di questo tratto, il punto C si determina aumentando
la pulsazione di una decade e diminuendo l’ampiezza di 60 db: C = (50, β − 60).
Diagramma delle fasi
Anche la graficazione del diagramma asintotico delle fasi può essere fatta
più “rapidamente” se si procede nel modo seguente (si faccia riferimento al
diagramma delle fasi riportato nella precedente figura):
a) Si individua la fase di partenza ϕ0 del diagramma asintotico delle fasi
calcolando la fase iniziale della funzione approssimante G0(s) per ω → 0.
. Tale fase è
Nel caso in esame, per esempio, la fase iniziale è ϕ0 = −3π 2
comprensiva del segno negativo della costante K e della fase costante − π
2
introdotta dal polo nell’origine.
b) Si prendono in considerazione i poli e gli zeri in ordine crescente della loro
pulsazione critica (cioè il valore assoluto del corrispondente polo o zero,
oppure la ωn nel caso di coppie di poli o zeri complessi coniugati). Il
diagramma asintotico di ciascun elemento viene disegnato in una diversa
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3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 17
“fascia” in funzione dell’azione introdotta dai precedenti elementi, e in
funzione del fatto che l’elemento sia stabile o instabile.
Nel caso in esame, per esempio, i primi due elementi da prendere in considerazione
all’aumentare di ω sono il polo stabile (s+1) −1 e lo zero instabile
(s − 1). Questi due elementi agiscono contemporaneamente e ciascuno
di essi introduce uno “sfasamento”, per ω ∈ [−∞, ∞], pari a − π
2 . Il
contributo complessivo di questi due elementi è un diagramma asintotico
di ampiezza −π da disegnare verso il basso nella fascia − 3π
2 , −5π
2 . Anche
la coppia di poli complessi coniugati (1 + 8s s2
25 + 25 )−1 , essendo stabili,
introduce uno sfasamento di ampiezza complessiva −π. Il loro contributo
al diagramma asintotico va quindi disegnato nella fascia − 5π,
−7π
2 2 .
c) Si procede alla graficazione del diagramma asintotico complessivo “interpolando”
i diagrammi asintotici delle fasi dei singoli elementi, ognuno dei
quali è stato disegnato nella fascia più opportuna. Nel caso in esame,
è evidente che la determinazione dei punti intermedi di cambiamento di
pendenza risulta notevolmente semplificato rispetto al caso di semplice
somma dei singoli contributi asintotici. Si noti inoltre che la fase finale
ϕ∞ ottenuta è in accordo con la fase finale della funzione approssimante
G∞(s) per ω → ∞.
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3.4. LA FORMULA DI BODE 3.4 1
La formula di Bode
• Una funzione di trasferimento razionale fratta è a a fase minima se non
ha né poli né zeri nel semipiano destro del piano s.
• Per sistemi a fase minima, detta ωc la pulsazione in corrispondenza della
quale si vuole calcolare la fase βc, vale la formula di Bode:
βc = 1
∞
d α
ln cotanh
π d u u
du
2
−∞
in cui si è posto α := ln |G(jω)|, u := ln ω
ωc
= ln ω−ln ωc.
• La fase βc in corrispondenza di una
data pulsazione ωc dipende essen-
d α
zialmente dalla pendenza d u del diagramma
delle ampiezze nell’intorno
di quella pulsazione ωc.
• Esempio: βc = 0·A1 − 1·A2 − 2·A3
dove:
A1 = π
4 −β1, A2 = β1+β2, A3 = π
4 −β2
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3.4. LA FORMULA DI BODE 3.4 2
• Significato della variabile di integrazione u: se il diagramma α è riferito ai
logaritmi naturali, la variabile u non è altro che l’ascissa ln ω con l’origine
traslata in ln ωc.
• La condizione necessaria e sufficiente per la validità della formula di Bode,
cioè che la funzione di trasferimento sia a fase minima, è soddisfatta per
la quasi totalità dei sistemi che normalmente si considerano.
• Esempio di rete elettrica a fase non minima:
•
• Funzione di trasferimento
Vu(s) =
1/Cs − R
R + 1/Cs Vi(s)
che, posto T :=RC, diventa
G(s) = Vu(s)
Vi(s)
= 1 − T s
1 + T s ,
cioè una funzione non a fase
non minima;
• Diagrammi di Bode delle
ampiezze e delle fasi: il diagramma
delle ampiezze è costante
α = 0 (|G(jω)| = 1),
mentre il diagramma delle fasi
varia gradualmente da 0 ◦ a
−180 ◦ .
È chiaro che applicando la formula di Bode all’esempio si sarebbe invece
dedotta una fase identicamente nulla.
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3.4. LA FORMULA DI BODE 3.4 3
• La funzione di trasferimento trascendente
G(s) = e −t0 s
che rappresenta un ritardo finito di valore t0, non è a fase minima.
• Essendo
G(jω) = e −jωt0 = cos ω t0 − j sen ω t0 ,
la funzione di risposta armonica ha modulo identicamente unitario e fase
crescente linearmente con la frequenza.
• Per ricavare i diagrammi di Bode, si scrive
ln ω
ln G(jω) = α + j β = 0 − j ω t0 = 0 − j t0 e
relazione dalla quale si deduce che il diagramma delle fasi ha un andamento
esponenziale. Anche in questo caso l’applicazione della formula di Bode
avrebbe condotto ad un risultato errato (β = 0).
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3.4. LA FORMULA DI BODE 3.4 4
Diagrammi di Bode: riepilogo
• I diagrammi di Bode si basano su alcune proprietà dei logaritmi e sulle
proprietà valide per il modulo e l’argomento di funzioni complesse:
1. |A B| = |A| |B| ⇒ log10 |A B| = log10 |A| + log10 |B|
2.
A
|A|
B
=
|B| ⇒ log
A
10 B
= log10 |A| − log10 |B|
3. arg(A B) = arg(A) + arg(B)
A
4. arg = arg(A) − arg(B)
B
• Queste proprietà permettono di ricondurre il problema di tracciare i diagrammi
di bode di una generica funzione razionale fratta
•
G(jω) = K (jω + b)...(−ω2 + 2δbωbjω + ω 2 b )
(jω) h (jω + d)...(−ω 2 + 2δdωdjω + ω 2 d )
alla “somma” dei diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari:
K
(jω) −h
(jω + a) ±1
(−ω 2 + 2δaωajω + ω 2 a) ±1
È possibile ricavare i diagrammi asintotici di Bode anche senza ricorrere
alla somma dei singoli contributi, ma utilizzando un metodo diretto.
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3.4. LA FORMULA DI BODE 3.4 5
Assi nei diagrammi di Bode
• I Diagrammi di Bode usano l’asse orizzontale in scala logaritmica. Considerando
l’asse reale R e fissata una origine, una pulsazione ω corrisponde
ad un punto sull’asse con coordinata x = log 10 ω. Accanto all’asse si
possono quindi indicare o i valori della coordinata x oppure direttamente
i valori di ω; questa seconda soluzione è la più comoda.
- 1
0.1
0 1 2
1 10 100
0 0.3 0.5 0.7 0.9 1 x= log
1 2 3 5 8 10
x= log
• Per il disegno qualitativo dei diagrammi conviene memorizzare alcuni valori:
log 10 2 0.3 log 10 3 0.5 log 10 5 0.7 log 10 8 0.9
• L’asse verticale nei diagrammi di ampiezza è graduato in decibel (db):
A| db
def
= 20 log10 A
Con questa scala, le pendenze caratteristiche dei diagrammi di Bode sono
±20 db/decade, ±40 db/decade, ecc. Per comodità tali pendenze
vengono indicate rispettivamente con i SIMBOLI ±1, ±2, ecc.
N.B.: se la scala verticale fosse semplicemente logaritmica (y = log 10 A)
le pendenze caratteristiche dei diagrammi di Bode sarebbero ±1 e ±2.
• L’asse verticale nei diagrammi di fase può essere graduato sia in radianti sia
in gradi. In ogni caso il diagramma delle fasi può essere traslato verso l’alto
o verso il basso di multipli interi di 2π, o di 360 o , mantenendo inalterato
il suo significato.
R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici - 2005/06 3. ANALISI ARMONICA