ANALISI DEL MOTO DEI ROTABILI LUNGO LE CURVE DI ...

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65 316.791 50 0.936 2.610 -12.657 70 367.403 50 0.695 1.931 -9.450 75 421.763 50 0.527 1.461 -7.192 80 479.873 66.667 0.725 2.014 -9.891 85 541.732 66.667 0.568 1.575 -7.783 90 607.339 66.667 0.452 1.250 -6.205 95 676.696 66.667 0.364 1.006 -5.007 100 749.801 66.667 0.297 0.818 -4.083 105 826.656 100 0.549 1.522 -7.561 110 907.260 100 0.456 1.261 -6.286 115 991.612 100 0.382 1.054 -5.269 120 1079.714 100 0.322 0.888 -4.449 125 1171.565 100 0.273 0.754 -3.782 130 1267.164 100 0.234 0.644 -3.235 135 1366.513 100 0.201 0.553 -2.783 140 1469.611 100 0.174 0.478 -2.409 145 1576.457 100 0.151 0.415 -2.093 150 1687.053 100 0.132 0.362 -1.828 155 1801.398 100 0.116 0.318 -1.604 160 1919.492 100 0.102 0.280 -1.413 Tabella 3 - Variazioni percentuali della curvatura, dell'accelerazione non compensata e del contraccolpo su parabole cubiche inserite su raggi superiori ai minimi. ? , ? anc , ?C si riducono al crescere del raggio, come si vede in tabella 3, dove i valori di R sono stati ottenuti impiegando la (3): A parità di velocità di esercizio, ? 1/ r? 2 Hmax Ve Hmax Ve h ? 11. 8 ? R ? 11. 8 ; H ? H R H ? H h max i max con una sopraelevazione di 100 mm. Sulle linee ad alta velocità, in cui per la determinazione del raggio minimo, della sopraelevazione massima e della lunghezza tangente della parabola cubica si impiegano rispettivamente le (5), (6) e (18), gli incrementi e decrementi di 1/r, anc e C risultano particolarmente ridotti: ? ? 1/ r? è sempre inferiore allo 0.8%, ? anc al 2.2%, ?C a –10.7%. Nel paragrafo che segue si analizzano altri aspetti del moto di una carrozza ferroviaria; in §5 si tornerà sull'argomento delle discontinuità intrinseche della parabola cubica con ulteriori considerazioni che consentiranno di individuare il campo di accettabilità della parabola cubica. i 2 Figura 6 - Modello semplificato di carrozza ferroviaria. 4. ANALISI DEL MOTO TRIDIMENSIONALE DI UNA CARROZZA FERROVIARIA LUNGO LA PARABOLA CUBICA La carrozza ferroviaria è formata da una cassa, due telai dei carrelli e quattro assili. Lo studio completo del moto del veicolo richiede la formulazione di un’equazione per ciascun grado di libertà dei suoi componenti; dal momento che la carrozza è suddivisa in 7 parti e ciascuna ha 6 gradi di libertà nello spazio, se ne deduce che sarebbe necessario costruire un sistema di 42 equazioni differenziali [5] [6]. In questa sede si analizzano i moti rigidi che compie la cassa di una carrozza ferroviaria nel percorrere un raccordo di transizione realizzato con la parabola cubica. Allo scopo si adotta un modello cinematico semplificato del veicolo ferroviario così definito (Figura 6): - il veicolo è composto da tre parti: una cassa e due carrelli; - i carrelli ruotano attorno a due punti fissi della cassa detti perni (P1 e P2 in figura), i quali si trovano sempre in posizione centrata rispetto al binario 3 ; - la distanza p tra i perni, detta interperno, è di 19 m (carrozza passeggeri del tipo UIC-X e UIC-Z) [7]. - la cassa è costituita da un parallelepipedo avente baricentro (? ) nel suo punto centrale; i risultati che si ottengono restano sostanzialmente validi anche se ??? a causa delle inevitabili asimmetrie nella distribuzione dei carichi, non coincide esattamente con il centro del parallelepipedo. Si introducono inoltre le seguenti ipotesi riguardanti il veicolo e l’accoppiamento carrelli-binario: - le quattro ruote degli assili appartenenti ad un carrello hanno punti di appoggio situati su uno stesso piano (si trascura così l’effetto dello sghembo corto); - ciascun carrello si dispone sempre in modo da risultare tangente al tracciato del binario in corrispondenza dei perni; - non si considerano gli effetti dinamici prodotti dalle sospensioni, ma si ammette che la variazione di assetto della cassa rispetto ai carrelli possa avvenire solo grazie alla loro presenza. Per semplicità, si escludono variazioni altimetriche dell’asse ferroviario diverse dalla sopraelevazione della rotaia esterna e la velocità di avanzamento del 3 Non si considera quindi lo spostamento trasversale che può subire il centro del carrello a causa delle sue variazioni di assetto (inserzione libera, tangente od obbligata) [3] [5].
veicolo si pone costante e pari alla velocità stabilita per i vari ranghi. Per lo studio del moto della cassa si impiegano due sistemi di riferimento: - un sistema fisso Oxyz con origine nel punto iniziale della parabola cubica e asse x ivi tangente; il punto O si trova alla quota del baricentro della cassa (h ? ); - un sistema mobile ???? solidale alla cassa della carrozza ferroviaria, avente origine nel suo baricentro; l’asse ? corrisponde all’asse longitudinale della cassa, l’asse ? coincide con l’asse trasversale, l’asse ? è perpendicolare ai precedenti in modo da formare una terna destrogira. La velocità assoluta di un qualunque punto P si determina con il teorema di composizione delle velocità [8]: ( P) ? v ( P) ? v ( P) ; (31) v r t dove, impiegando la notazione vettoriale, con ( P) si è indicata la velocità relativa del punto rispetto al sistema mobile e con v t ( P) la velocità di trascinamento, ovvero la velocità assoluta che avrebbe P se fosse solidale al riferimento mobile, ovvero: ( P) ? v( ? ) ? ? ? ( P ? ? ) ; (32) v t t in cui v ( ? ) è la velocità assoluta del baricentro della cassa e ? t è la velocità angolare della cassa attorno ad ? . Poiché si considerano i soli punti appartenenti alla cassa, risulta: ( P) ? 0 ? v(P) ? v (P) ? v( ? ) ? ? ? ( P ? ? ) ; v r t t pertanto il moto di un generico punto della cassa dovuto alla geometria del binario sarà nel seguito chiamato “moto di trascinamento”. L’accelerazione assoluta a cui è soggetto un punto P si ottiene dal teorema di composizione delle accelerazioni: ( P) ? a ( P) ? a ( P) ? a ( P) ; (33) a r t c dove: ar ( P) è l’accelerazione di P relativa al sistema mobile; at ( P) è l’accelerazione di trascinamento di P, valutabile con la seguente espressione: ( P) ? a( ? ) ? ? ? ( P ? ? ) ? ? ? ( ? ? ( P ? ? )) ;(34) at t t t ac ( P) è l’accelerazione di Coriolis: ac t r ( P) ? 2? ? v ( P) . Se P è solidale alla cassa, si ha: ( P) ? v ( P) ? 0 ? a ( P) ? 0 ; ar r c e quindi il punto è soggetto alla sola accelerazione di trascinamento. Detti x e , e y , z e i versori degli assi x, y, z e ? ?ˆ , ? ?ˆ , ?ˆ ? i versori degli assi ??????? , i vettori impiegati nella (32) e nella (34) possono essere rappresentati nel modo descritto di seguito. La velocità assoluta del baricentro della cassa è la somma della velocità di avanzamento (v), diretta lungo la tangente della traiettoria curvilinea descritta dal baricentro (? ), e della velocità di sollevamento ( z ), dovuta all’innalzamento della rotaia esterna: v r z ê z v ( ? ) ? v? ˆ? ? . (35) L’accelerazione assoluta di ? è la somma vettoriale dell’accelerazione di gravità (g), dell’accelerazione centripeta (v 2 /r) e dell’accelerazione di sollevamento ( z ): 2 v a ( ? ) ? vers( C ? ? ) ? gê z ? zêz ; (36) r dove C è il centro del cerchio osculatore. La velocità angolare di trascinamento ( ? t ) e l’accelerazione angolare di trascinamento possono essere scomposte in funzione delle velocità e delle accelerazioni di rotazione attorno agli assi di simmetria della cassa: ? t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; (37) ? t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . (38) Con tali rappresentazioni vettoriali si osserva che il moto di un qualunque punto della cassa è il risultato della composizione del moto del baricentro (moto curvilineo uniforme nel piano xy e sollevamento lungo z) e di tre moti rotatori attorno agli assi ??????? , detti rispettivamente moti di rollio, di beccheggio e di imbardata. Una volta messo a punto il modello semplificato di veicolo ferroviario, si è condotta una simulazione del moto della carrozza lungo un raccordo parabolico, considerando il percorso compiuto dal carrello anteriore (carrello 1) lungo un tratto rettilineo di 30 m, poi lungo la curva di transizione e infine sul successivo arco di circonferenza, per ulteriori 30 m. L’ascissa curvilinea s è stata fatta variare con passo costante di 0.5 m e, a seconda dell’elemento di tracciato su cui si trovava il carrello 1, si sono determinate le coordinate di P1(x1,y1,z1) nel sistema di riferimento fisso: le coordinate x, y sono state ottenute dalle equazioni della parabola cubica e della circonferenza su cui tale curva è inserita; la coordinata z, per l’ipotesi di carrello centrato nel binario, risulta pari a h(s)/2, dove con h(s) si intende la sopraelevazione della rotaia esterna in corrispondenza all’ascissa curvilinea s. La posizione del carrello posteriore (carrello 2), P2(x2,y2,z2), è stata trovata per via numerica imponendo due condizioni: - le coordinate x2, y2, z2 devono soddisfare le equazioni degli elementi del tracciato e la legge di sollevamento della rotaia esterna; - la distanza tra P1 e P2 deve essere pari all’interperno. In sintesi: ? x ? 2; y2 ? y( x2 ); z2 ? z( x2 ) ? . 2 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) ? p Il baricentro della cassa si trova nel punto medio tra i perni, pertanto le sue coordinate risultano: x1 x2 x 2 ? y1 y2 ? ? ; y 2 ? z1 z2 ? ? ; z 2 ? ? ? . (39) I grafici che seguono si riferiscono all’esempio numerico già impiegato in §3 per analizzare l’accelerazione non compensata e il contraccolpo agenti sul veicolo puntiforme. Si precisa che con s viene indicata l’ascissa curvilinea che individua la posizione del carrello anteriore.
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