ANALISI DEL MOTO DEI ROTABILI LUNGO LE CURVE DI ...

ANALISI DEL MOTO DEI ROTABILI LUNGO LE CURVE DI
TRANSIZIONE FERROVIARIE REALIZZATE CON LA
PARABOLA CUBICA
SOMMARIO
Il tipo di curva di transizione previsto dalla normativa
ferroviaria italiana è la parabola cubica, la cui
equazione si ottiene introducendo alcune
approssimazioni che ne agevolano il computo.
Il presente studio, per mezzo di un modello
semplificato di carrozza ferroviaria, mette in luce le
discontinuità dinamiche che si manifestano nei tratti
iniziale e finale del raccordo parabolico, provocando
la trasmissione di forze impulsive tra assili e binario.
Si propone quindi di adottare curve di transizione
alternative, aventi andamento plano-altimetrico tale
da garantire una continuità cinematica e dinamica di
ordine superiore a quella del tradizionale raccordo
parabolico. Ciò consentirebbe di rendere meno
onerose le operazioni di controllo e di manutenzione
dei veicoli e dell’armamento.
ABSTRACT
Transition curve employed by Italian railway
standards is the cubic parabola: its equation is
obtained by introducing some approximations that
make calculation easier.
This paper, through a simplified model of a railway
coach, points out the dynamic discontinuities that
appear at the beginning and at the end of the
parabolic curve, causing the transmission of
impulsive forces between wheels and track.
The adoption of alternative transition curves, with an
horizontal and vertical alignment which offers a
cinematic and dynamic continuity of higher order
than the cubic parabola, is proposed. This would
allow to keep the control and maintenance
operations of the vehicles and of the superstructure
less onerous.
1. INTRODUZIONE
La necessità di curve di transizione è emersa sin dai
primi tempi in ferrovia, in quanto i treni sono vincolati
a seguire la traiettoria stabilita dalle rotaie e nei punti
di tangenza tra rettifilo e curva circolare, in
mancanza di un graduale raccordo, si verificherebbe
l’istantanea applicazione della forza centrifuga.
Tra i vari tipi di curva di transizione disponibili, le FS
hanno optato per la parabola cubica, detta anche
raccordo parabolico, per la semplicità di calcolo
insita sia nelle operazioni di tracciamento, sia in
quelle di controllo della geometria del binario.
La facilità d’uso dei raccordi parabolici deriva tuttavia
da una serie di approssimazioni riguardanti l’ascissa
MARIO BORDIN
MARCO STEFANUTTI
curvilinea, la curvatura e il posizionamento del centro
della curva circolare. Gli errori che si commettono
utilizzando le formule della parabola cubica,
generalmente considerati trascurabili, danno luogo a
discontinuità dinamiche non irrilevanti: nel punto di
contatto tra parabola cubica e curva circolare infatti
si generano delle forze impulsive che riducono il
comfort dei passeggeri e favoriscono l’usura delle
ruote dei veicoli e dei funghi delle rotaie.
In questa memoria, dopo aver fornito un sintetico
quadro normativo riguardante il progetto delle curve
circolari e delle curve di transizione sulla rete FS, si
esamina il moto di una carrozza ferroviaria che si
inserisce in curva, avvalendosi sia del modello del
corpo rigido puntiforme sia di un modello
tridimensionale semplificato, il quale permette di
analizzare la regolarità di marcia ottenibile con
l’impiego della parabola cubica e della legge di
variazione della sopraelevazione associata.
2. NORME FS PER LE CURVE CIRCOLARI E PER
LE CURVE DI TRANSIZIONE FERROVIARIE
Il dimensionamento delle curve circolari e delle curve
di transizione segue criteri differenti sulle linee
ordinarie, lungo le quali la velocità di esercizio è
generalmente limitata a 160 km/h, e sulle linee ad
alta velocità, dove sono ammesse velocità di
esercizio superiori.
Si richiamano ora le definizioni di alcune grandezze
e le relazioni tra velocità di tracciato, raggio minimo e
sopraelevazione massima adottate dalle FS, che
saranno utilizzate nel seguito [1] [2] [3] [4].
2.1 Il progetto delle curve circolari sulle linee
ordinarie e sulle linee ad alta velocità
Il parametro che entra in gioco nel dimensionamento
delle curve circolari realizzate sulle linee ordinarie è
l’accelerazione non compensata, la quale può essere
valutata con la seguente espressione:
2
ve
H
anc
? ? g ; (1)
R d
in cui ve è la velocità di esercizio 1 , R il raggio della
curva, H la sopraelevazione della rotaia esterna che
può raggiungere al massimo i 160 mm.
Su una curva avente raggio minimo (Rmin) e
sopraelevazione massima (Hmax), la relazione tra
velocità massima (detta velocità di tracciato) e raggio
minimo è la seguente:
1 Per convenzione qui e nel seguito le velocità in minuscolo
si intendono espresse in m/s, in maiuscolo in km/h.

V max ?
Hmax
? 12.
96 ? anc,
max ?
11.
8
R min ;
scritta più spesso nella forma:
V ? k R ; (2)
max
e
dove ke, denominato coefficiente di esercizio o di
circolazione, dipende dal massimo valore ammesso
per l’accelerazione non compensata sul dato tipo di
treno. Si ha così:
ke=4.62 treni di rango A (anc,max=0.6 m/s 2 );
ke=4.89 treni di rango B (anc,max=0.8 m/s 2 );
ke=5.15 treni di rango C (anc,max=1 m/s 2 ).
Sulle curve di raggio superiore al minimo, stabilita la
velocità di esercizio, per la determinazione della
sopraelevazione si adotta il criterio della
scompensazione proporzionale, che può esprimersi
mediante la seguente relazione geometrica:
min
Hmax
Ve
h ? 11.
8
; (3)
H ? H R
max
in cui Hi è l’insufficienza di sopraelevazione che può
assumere i seguenti valori massimi:
Hi=91.8 mm treni di rango A;
Hi=122.4 mm treni di rango B;
Hi=153 mm treni di rango C.
Introducendo un coefficiente di sopraelevazione
definito come:
Hmax
kh
? 11.
8 ;
H ? H
max
i
la relazione tra sopraelevazione, velocità e raggio
diviene:
2
Ve
h ? k h ; (4)
R
con kh=7.5 (rango A), kh=6.7 (rango B), kh=6.04
(rango C).
Sulle linee ad alta velocità la limitazione
dell’accelerazione non compensata, cui sono
soggetti i treni veloci, viene accompagnata da quella
dell’accelerazione centripeta residua agente sui treni
lenti. Il raggio minimo e la sopraelevazione massima
sono calcolabili attraverso le seguenti relazioni:
R
min
2
max
i
2
2
min
V ? V
? 11.
8 ; (5)
H ? H
e i
2
Vmax
2 2
max ? Vmin
H max ? ( Hi
? He
)
? Hi
; (6)
V
in cui Vmax è la velocità dei treni veloci (passeggeri),
Vmin è la velocità dei treni lenti (merci), Hi
l’insufficienza di sopraelevazione in corrispondenza a
Vmax, He l’eccesso di sopraelevazione alla velocità
Vmin.
Per raggi superiori al minimo la sopraelevazione
della rotaia esterna viene ancora determinata con il
criterio della scompensazione proporzionale (3).
2.2 Il progetto delle curve di transizione sulle linee
ordinarie e sulle linee ad alta velocità
Le curve di transizione in ferrovia svolgono due
funzioni principali:
1) rendere graduale l’applicazione della forza
centrifuga da un valore nullo in rettifilo ad un
valore finito in curva e quindi limitare il
contraccolpo;
2) permettere il sollevamento progressivo della
rotaia esterna fino a raggiungere la
sopraelevazione (H) stabilita per la curva
circolare.
Introducendo un sistema di riferimento cartesiano
avente origine nel punto di inizio del raccordo (Figura
1), la determinazione dell’equazione della curva di
transizione impiegata in ferrovia avviene imponendo
che in ogni suo punto sia soddisfatta la nota
relazione di bilanciamento tra forza centrifuga e forza
peso:
2
h 1 v 1 g
? ? ? h . (7)
d g r r 2
d?
v
Dal momento che lungo il raccordo la rotaia esterna
viene fatta innalzare con sovrapendenza costante
(p), si ha:
h ( s)
? p ? s ; (8)
1 g ? p
? s ; (9)
r 2
d ? v
poiché g, d e v sono costanti lungo l’intero raccordo,
si ottiene una relazione lineare tra curvatura e
ascissa curvilinea corrispondente all’equazione di
una clotoide:
?
?
s 1
; (10)
r
ove si è posto:
1 g ? p
? .
? 2
d ? v
y
O
L/2
? R
L
C
Figura 1 – Parabola cubica.
L’espressione cartesiana della curvatura è:
d y
1
2
? dx
r
3
? 2 2
? dy ? ?
? 1?
? ? ?
? ? dx ? ?
. (11)
Per rendere più agevole il calcolo del raccordo, in
particolare delle coordinate cartesiane dei suoi punti,
si introducono due semplificazioni:
- all’ascissa curvilinea s viene sostituita l’ascissa
cartesiana x ( s ? x );
- nell’espressione della curvatura si trascura il
termine (dy/dx) 2 , cosicché si ha:
2
1 x d y
? ? .
r ? 2
dx
?
2
?
R
x

Dato che y’(0)=0 e y(0)=0, con doppia integrazione si
ricava:
3
x
y(
x)
? ;
6?
che è l’equazione di una parabola cubica.
Con alcuni passaggi si può vedere che ? ? LR , in
cui R è il raggio della curva circolare su cui si innesta
la parabola cubica, L è la lunghezza del raccordo. Si
giunge così alla classica espressione della parabola
cubica impiegata in ferrovia:
x
y(
x)
? . (12)
6LR
Per la precisione, con L si intende la lunghezza
tangente del raccordo, ovvero l’ascissa x del punto
finale della parabola cubica. Tale lunghezza viene
utilizzata in tutte le formule di dimensionamento della
parabola cubica ed è chiaro che risulta differente
dallo sviluppo vero e proprio, che si ottiene invece
con la seguente formula:
L
? ? ? ? 2
? dy ?
?
? ? ? ?
x
S v ? 1?
? dx 1
? ?
?
dx ;
dx
?
2RL
?
0
2
L
L
0
3
2
? ? ?
x
S v 1 dx ; (13)
2 2
4R
L
0
il precedente integrale può essere calcolato per via
numerica utilizzando uno sviluppo in serie binomiale:
? k?
0
4
?
? 0.
5 4k
1
? x
S v ?
?
?
; (14)
? k ?
che risulta convergente se:
x
4R
2
4
L
2
? 1 .
2 2 k ? 4R
L ? ? 4k
? 1?
La lunghezza tangente della curva di transizione (L)
viene determinata con criteri distinti nelle ferrovie
ordinarie e nelle ferrovie ad alta velocità. Nel primo
caso si impone una limitazione alla sovrapendenza
della rotaia esterna con i valori riportati in tabella 1.
Ve ? 75 km/h
75 Ve
100 ? ? km/h
Ve ? 100 km/h
pmax
2‰
1.5‰
1‰
Tabella 1 - Sovrapendenze massime per la rotaia
esterna.
Si giunge quindi al seguente criterio di
dimensionamento:
H
L ?
p
. (15)
max
Sulle linee ad alta velocità, invece, si pone un limite
al contraccolpo, così definito:
? 2
da
?
nc d
?
v max h
C ? ? ? g ? ; (16)
dt dt ? ?
?
r d
?
dove vmax rappresenta la velocità dei treni
passeggeri. Detta inoltre Lmax la lunghezza del
raccordo inserito sulla curva di raggio minimo, con
una serie di passaggi algebrici si giunge a:
V a max nc,
max
C max ? ;
3.
6 L
max
e quindi:
V a max nc,
max
L max ? .
3.
6 C
max
Le attuali norme FS per le linee ad alta velocità
fissano Cmax=0.15 m/s 3 e anc,max= 0.6 m/s 2 , cosicché
si ottiene:
L ? 1.
111?
V . (17)
max
max
Per i raccordi inseriti sulle curve di raggio superiore
al minimo si adotta il seguente criterio di
proporzionalità:
H
L ? 1.
111
H
Vmax;
(18)
max
in cui Hmax è la sopraelevazione associata al raggio
minimo (6).
3. VALUTAZIONE DEGLI EFFETTI GEOMETRICI E
DINAMICI CONSEGUENTI ALL’APPROSSIMA-
ZIONE DELLA PARABOLA CUBICA
Nel paragrafo 2.2 si è visto che l’equazione della
parabola cubica si ottiene sostituendo alla curvatura
la derivata seconda e all’ascissa curvilinea l’ascissa
cartesiana:
2
d y
1
2
?
dx
r
3
? 2 2
? dy ?
?
? 1?
? ? ?
? ? dx ? ?
2
d y
? ?
2
dx
x
.
RL
(19)
Si aggiungono ulteriori semplificazioni riguardanti la
posizione del centro della curva circolare [1] [2] [4]:
x C ? L / 2 ; (20)
L
yC
? R ? ? R ? R ? . (21)
24R
Le approssimazioni introdotte generano tre
discontinuità tra il punto finale della parabola cubica
e il punto iniziale dell'arco di cerchio:
- mancanza di contatto;
- discontinuità angolare;
- discontinuità nella curvatura.
La prima discontinuità è puramente teorica in quanto
il binario viene disposto con continuità e corretto con
il metodo Hallade [9].
Le altre due irregolarità invece non sono eliminabili
con l’applicazione del metodo Hallade; si può solo
ritenere che la deformabilità delle rotaie consenta di
distribuire le discontinuità puntuali lungo un breve
tratto di binario.
Il problema viene esaminato considerando il caso di
una parabola cubica inserita su una curva circolare
di raggio Rmin=516.660 m e con sopraelevazione
Hmax=160 mm, in cui le velocità massime ammesse
sono 2 : per i treni di rango A Vmax=105 km/h, per i
treni di rango B Vmax=110 km/h, per quelli di rango C
Vmax=115 km/h. La lunghezza tangente del raccordo,
ricavata tramite la (15), è di 160 m, a cui corrisponde
2 Le velocità massime, calcolate per mezzo della (2),
vengono arrotondate ai 5 km/h, come è consuetudine
presso le FS [2].
2

uno sviluppo di 160.383 m (calcolato con la (14)).
Per meglio evidenziare l’andamento della curvatura,
dell’accelerazione non compensata e di tutte le altre
grandezze, i domini dei grafici vengono estesi ad un
tratto iniziale di rettifilo della lunghezza di 30 m e ad
un arco di cerchio finale avente sviluppo di 30 m; di
conseguenza si studia il moto su un tratto di linea
ferroviaria lungo complessivamente 220.383 m e le
ascisse curvilinee iniziale e finale del raccordo
parabolico sono rispettivamente 30 e 190.383 m.
Si analizza il solo moto di passaggio da rettifilo a
curva circolare, tralasciando per brevità il caso
inverso di moto di uscita dalla curva.
3.1 La discontinuità nella deviazione angolare
La tangente dell’angolo di deviazione in
corrispondenza della generica ascissa del raccordo
parabolico si ottiene per integrazione
dell’espressione della curvatura (19):
dy x
? tg?
? .
dx 2RL
(22)
Come anticipato, nel punto di contatto (xp, yp) tra
parabola e cerchio esiste una discontinuità
nell’angolo di deviazione (? ). Infatti l’angolo ? lungo il
raccordo cresce senza raggiungere l’angolo ? ’ di
tangenza con l’arco di cerchio:
xp
? xC
? '?
arctg ;
y ? y
(23)
dove xC e yC sono le coordinate del centro del
cerchio, date dalla (20) e dalla (21), e quindi ricavate
da approssimazioni.
L’andamento di tg??per il caso numerico esaminato è
riportato in figura 2; nel passaggio tra curva di
transizione e curva circolare tg? subisce un
repentino aumento, che si traduce in un’irregolarità
nel moto di imbardata della carrozza ferroviaria,
come si vedrà in §4.3. L’incremento relativo di tg? ,
così definito:
tg?
'?
tg?
? tg ? (%) ? ; (24)
tg?
varia dal 2.9% per una velocità di tracciato pari a 60
km/h allo 0.2% per Vmax=160 km/h, mentre per
l’esempio a cui si riferiscono le figure del presente
paragrafo è dell’1.0%.
C
2
p
Figura 2 – Tangente dell’angolo di deviazione lungo la
parabola cubica.
3.2 La discontinuità nella curvatura
Si consideri un rotabile, schematizzato come corpo
rigido, che provenendo dal rettifilo percorre la
parabola cubica per inserirsi nella curva circolare che
segue. L’accelerazione non compensata, data dalla
(1), lungo il raccordo parabolico può così essere
scritta:
a
nc
, par
( x)
2 y"
( x)
h(
x)
? v
, (25)
? g
2 3 / 2
? 1?
y'(
x)
? d
in cui ad 1/r si è sostituita l’espressione (11)
rappresentante la curvatura reale, evitando di
introdurre semplificazioni. In particolare alla fine della
parabola cubica si ha:
1
y " ( x)
? ;
R
L
y '(
x)
? ;
2R
e quindi:
2 1/
R H
anc
, par(
L)
? v
? g . (26)
2
3 / 2
?
d
? L ?
?
? 1?
? ? ?
? 2R
? ? ? ?
L’espressione dell’accelerazione non compensata
lungo l’arco di cerchio è:
v H
anc
, cer ? ? g . (27)
R d
In figura 3 si può osservare l’andamento della
curvatura, mentre in figura 4 sono riportati i valori
dell’accelerazione non compensata cui sono soggetti
i treni di rango A, B e C (anc rA, anc rB, anc rC).
(1/m)
0.0025
0.0020
0.0015
0.0010
0.0005
Curvatura
0.0000
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 3 - Curvatura reale lungo la parabola cubica.
2
s (m)

(m/s^2)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
anc rA
anc rB
anc rC
Accelerazione non compensata
0.1
0.0
s (m)
0 15 30 45 60 75 90 105120135 150 165 180 195 210
Figura 4 - Accelerazione non compensata lungo la
parabola cubica.
Sull’asse orizzontale è inserita l’ascissa curvilinea s,
ovvero lo spazio effettivo percorso dal veicolo,
anziché l’ascissa cartesiana x; utilizzando i primi
termini dello sviluppo in serie (14):
5
1 x 1 x
s( x)
? x ? ?
? ... ;
2 2
4 4
40 R L 1152 R L
si trova l’equazione x(s) per la parabola cubica:
5
1 x 1 x
x( s)
? s ? ?
? ... ;
2 2
4 4
40 R L 1152 R L
da risolversi per via iterativa.
In figura 3 si osserva che 1/r cresce allontanandosi
progressivamente dall’andamento lineare, cosicché
in fondo alla curva di transizione si ha una differenza
di curvatura tra l’ultimo punto della parabola cubica
(1/r)par e il primo punto dell’arco di cerchio (1/r)cer.
L’incremento relativo di curvatura in questo punto,
così calcolabile:
? 1?
? 1 ?
? ? ? ? ?
? 1?
? r ? cer ? r ? par
? ? ? (%) ?
100 ; (28)
? r ? ? 1 ?
? ?
? r ?
nell’esempio numerico utilizzato è del 3.6%.
Analizzando il grafico dell’accelerazione non
compensata (Figura 4), si vede che gli effetti delle
approssimazioni introdotte si amplificano
notevolmente: l’accelerazione non compensata
cresce con legge non lineare e alla fine della curva di
transizione subisce un incremento significativo.
(m/s^3)
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
C rA
C rB
C rC
Contraccolpo
9
9
par
s (m)
0.00
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 5 - Contraccolpo lungo la parabola cubica.
V (km/h) Rmin (m) L (m) ? (1/r) % ? anc % ? C %
60 168.705 80 8.550 27.567 -101.200
65 197.994 80 6.184 19.018 -76.389
70 229.627 80 4.586 13.676 -58.337
75 263.602 80 3.474 10.145 -45.114
80 299.921 106.667 4.781 14.309 -60.765
85 338.582 106.667 3.745 10.992 -48.529
90 379.587 106.667 2.976 8.611 -39.125
95 422.935 106.667 2.395 6.857 -31.834
100 468.626 106.667 1.949 5.536 -26.131
105 516.660 160 3.618 10.594 -47.132
110 567.037 160 3.001 8.687 -39.547
115 619.758 160 2.510 7.201 -33.389
120 674.821 160 2.116 6.026 -28.356
125 732.228 160 1.796 5.086 -24.221
130 791.978 160 1.534 4.326 -20.799
135 854.071 160 1.319 3.704 -17.952
140 918.507 160 1.140 3.191 -15.571
145 985.286 160 0.991 2.765 -13.565
150 1054.408 160 0.865 2.409 -11.873
155 1125.874 160 0.758 2.108 -10.431
160 1199.682 160 0.668 1.854 -9.204
Tabella 2 - Variazioni percentuali della curvatura,
dell'accelerazione non compensata e del contraccolpo
su parabole cubiche inserite su raggi minimi.
Le conseguenze sul comfort dei passeggeri di
questa legge di variazione si possono vedere nella
figura 5, in cui è riportato il diagramma del
contraccolpo, definito con la (16), per treni di rango
A, B e C (in simboli rispettivamente C rA, C rB e C
rC).
Si può osservare che l’andamento qualitativo del
contraccolpo non risulta soddisfacente: lungo la
parabola cubica, infatti, il contraccolpo non è
costante, ma diminuisce in modo evidente al
crescere di s, mentre nel punto di passaggio tra
raccordo e curva circolare diventa teoricamente
infinito per effetto del brusco aumento
dell’accelerazione non compensata.
Per l’esempio riportato l’incremento relativo di
accelerazione non compensata, definito come:
a nc,
cer ? anc,
par(
L)
? anc
(%) ?
100 ; (29)
a ( L)
nc,
par
risulta pari al 10.6% per i treni di rango A, al 9.2%
per i treni di rango B e all’8.2% per quelli di rango C.
L’anomalo andamento del contraccolpo può essere
descritto attraverso la riduzione relativa di C
rilevabile tra l’inizio della parabola cubica (x=0) e la
fine (x=L), ovvero:
C(
x ? L)
? C(
x ? 0)
? C(%)
?
100 ; (30)
C(
x ? 0)
? C giunge a -47.1% per i treni di rango A, a -40.9%
per i treni di rango B e a -36.8% per quelli di rango
C.
In tabella 2 sono riportati gli incrementi relativi di
curvatura e di accelerazione non compensata e la
riduzione di contraccolpo calcolati per i treni di rango
A. Si può notare che in linea generale queste
variazioni relative diminuiscono in valore assoluto al
crescere della velocità di tracciato e quindi del raggio
minimo. Per quanto riguarda ? ? 1/
r?
si passa
dall’8.5% per una velocità di 60 km/h, allo 0.7 % per
V=160 km/h; ? anc
, nello stesso campo di velocità, si
riduce dal 27.6% all’1.9%; ?C varia da –101.2% a –
9.2%.
V (km/h) R (m) L (m) ? (1/r) % ? anc % ? C %
60 269.929 50 1.289 3.619 -17.327

65 316.791 50 0.936 2.610 -12.657
70 367.403 50 0.695 1.931 -9.450
75 421.763 50 0.527 1.461 -7.192
80 479.873 66.667 0.725 2.014 -9.891
85 541.732 66.667 0.568 1.575 -7.783
90 607.339 66.667 0.452 1.250 -6.205
95 676.696 66.667 0.364 1.006 -5.007
100 749.801 66.667 0.297 0.818 -4.083
105 826.656 100 0.549 1.522 -7.561
110 907.260 100 0.456 1.261 -6.286
115 991.612 100 0.382 1.054 -5.269
120 1079.714 100 0.322 0.888 -4.449
125 1171.565 100 0.273 0.754 -3.782
130 1267.164 100 0.234 0.644 -3.235
135 1366.513 100 0.201 0.553 -2.783
140 1469.611 100 0.174 0.478 -2.409
145 1576.457 100 0.151 0.415 -2.093
150 1687.053 100 0.132 0.362 -1.828
155 1801.398 100 0.116 0.318 -1.604
160 1919.492 100 0.102 0.280 -1.413
Tabella 3 - Variazioni percentuali della curvatura,
dell'accelerazione non compensata e del contraccolpo
su parabole cubiche inserite su raggi superiori ai
minimi.
? , ? anc
, ?C si
riducono al crescere del raggio, come si vede in
tabella 3, dove i valori di R sono stati ottenuti
impiegando la (3):
A parità di velocità di esercizio, ? 1/
r?
2
Hmax
Ve
Hmax
Ve
h ? 11.
8
? R ? 11.
8
;
H ? H R
H ? H h
max
i
max
con una sopraelevazione di 100 mm.
Sulle linee ad alta velocità, in cui per la
determinazione del raggio minimo, della
sopraelevazione massima e della lunghezza
tangente della parabola cubica si impiegano
rispettivamente le (5), (6) e (18), gli incrementi e
decrementi di 1/r, anc e C risultano particolarmente
ridotti: ? ? 1/
r?
è sempre inferiore allo 0.8%, ? anc
al
2.2%, ?C a –10.7%.
Nel paragrafo che segue si analizzano altri aspetti
del moto di una carrozza ferroviaria; in §5 si tornerà
sull'argomento delle discontinuità intrinseche della
parabola cubica con ulteriori considerazioni che
consentiranno di individuare il campo di accettabilità
della parabola cubica.
i
2
Figura 6 - Modello semplificato di carrozza ferroviaria.
4. ANALISI DEL MOTO TRIDIMENSIONALE DI
UNA CARROZZA FERROVIARIA LUNGO LA
PARABOLA CUBICA
La carrozza ferroviaria è formata da una cassa, due
telai dei carrelli e quattro assili. Lo studio completo
del moto del veicolo richiede la formulazione di
un’equazione per ciascun grado di libertà dei suoi
componenti; dal momento che la carrozza è
suddivisa in 7 parti e ciascuna ha 6 gradi di libertà
nello spazio, se ne deduce che sarebbe necessario
costruire un sistema di 42 equazioni differenziali [5]
[6].
In questa sede si analizzano i moti rigidi che compie
la cassa di una carrozza ferroviaria nel percorrere un
raccordo di transizione realizzato con la parabola
cubica. Allo scopo si adotta un modello cinematico
semplificato del veicolo ferroviario così definito
(Figura 6):
- il veicolo è composto da tre parti: una cassa e
due carrelli;
- i carrelli ruotano attorno a due punti fissi della
cassa detti perni (P1 e P2 in figura), i quali si
trovano sempre in posizione centrata rispetto al
binario 3 ;
- la distanza p tra i perni, detta interperno, è di 19
m (carrozza passeggeri del tipo UIC-X e UIC-Z)
[7].
- la cassa è costituita da un parallelepipedo
avente baricentro (? ) nel suo punto centrale; i
risultati che si ottengono restano
sostanzialmente validi anche se ??? a causa
delle inevitabili asimmetrie nella distribuzione dei
carichi, non coincide esattamente con il centro
del parallelepipedo.
Si introducono inoltre le seguenti ipotesi riguardanti il
veicolo e l’accoppiamento carrelli-binario:
- le quattro ruote degli assili appartenenti ad un
carrello hanno punti di appoggio situati su uno
stesso piano (si trascura così l’effetto dello
sghembo corto);
- ciascun carrello si dispone sempre in modo da
risultare tangente al tracciato del binario in
corrispondenza dei perni;
- non si considerano gli effetti dinamici prodotti
dalle sospensioni, ma si ammette che la
variazione di assetto della cassa rispetto ai
carrelli possa avvenire solo grazie alla loro
presenza.
Per semplicità, si escludono variazioni altimetriche
dell’asse ferroviario diverse dalla sopraelevazione
della rotaia esterna e la velocità di avanzamento del
3 Non si considera quindi lo spostamento trasversale che
può subire il centro del carrello a causa delle sue variazioni
di assetto (inserzione libera, tangente od obbligata) [3] [5].

veicolo si pone costante e pari alla velocità stabilita
per i vari ranghi.
Per lo studio del moto della cassa si impiegano due
sistemi di riferimento:
- un sistema fisso Oxyz con origine nel punto
iniziale della parabola cubica e asse x ivi
tangente; il punto O si trova alla quota del
baricentro della cassa (h ? );
- un sistema mobile ???? solidale alla cassa della
carrozza ferroviaria, avente origine nel suo
baricentro; l’asse ? corrisponde all’asse
longitudinale della cassa, l’asse ? coincide con
l’asse trasversale, l’asse ? è perpendicolare ai
precedenti in modo da formare una terna
destrogira.
La velocità assoluta di un qualunque punto P si
determina con il teorema di composizione delle
velocità [8]:
( P)
? v ( P)
? v ( P)
; (31)
v r t
dove, impiegando la notazione vettoriale, con ( P)
si è indicata la velocità relativa del punto rispetto al
sistema mobile e con v t ( P)
la velocità di
trascinamento, ovvero la velocità assoluta che
avrebbe P se fosse solidale al riferimento mobile,
ovvero:
( P)
? v(
? ) ? ? ? ( P ? ? ) ; (32)
v t
t
in cui v ( ? ) è la velocità assoluta del baricentro della
cassa e ? t è la velocità angolare della cassa attorno
ad ? .
Poiché si considerano i soli punti appartenenti alla
cassa, risulta:
( P)
? 0 ? v(P)
? v (P) ? v(
? ) ? ? ? ( P ? ? ) ;
v r
t
t
pertanto il moto di un generico punto della cassa
dovuto alla geometria del binario sarà nel seguito
chiamato “moto di trascinamento”.
L’accelerazione assoluta a cui è soggetto un punto P
si ottiene dal teorema di composizione delle
accelerazioni:
( P)
? a ( P)
? a ( P)
? a ( P)
; (33)
a r t c
dove:
ar ( P)
è l’accelerazione di P relativa al sistema
mobile;
at ( P)
è l’accelerazione di trascinamento di P,
valutabile con la seguente espressione:
( P)
? a(
? ) ? ? ? ( P ? ? ) ? ? ? ( ? ? ( P ? ? )) ;(34)
at t
t t
ac ( P)
è l’accelerazione di Coriolis:
ac t r
( P)
? 2?
? v ( P)
.
Se P è solidale alla cassa, si ha:
( P)
? v ( P)
? 0 ? a ( P)
? 0 ;
ar r
c
e quindi il punto è soggetto alla sola accelerazione di
trascinamento.
Detti x e , e y , z e i versori degli assi x, y, z e ? ?ˆ , ? ?ˆ ,
?ˆ ? i versori degli assi ??????? , i vettori impiegati nella
(32) e nella (34) possono essere rappresentati nel
modo descritto di seguito.
La velocità assoluta del baricentro della cassa è la
somma della velocità di avanzamento (v), diretta
lungo la tangente della traiettoria curvilinea descritta
dal baricentro (? ), e della velocità di sollevamento
( z ), dovuta all’innalzamento della rotaia esterna:
v r
z ê z
v ( ? ) ? v?
ˆ?
? . (35)
L’accelerazione assoluta di ? è la somma vettoriale
dell’accelerazione di gravità (g), dell’accelerazione
centripeta (v 2 /r) e dell’accelerazione di sollevamento
( z ):
2
v
a ( ? ) ? vers(
C ? ? ) ? gê
z ? zêz
; (36)
r
dove C è il centro del cerchio osculatore.
La velocità angolare di trascinamento ( ? t ) e
l’accelerazione angolare di trascinamento possono
essere scomposte in funzione delle velocità e delle
accelerazioni di rotazione attorno agli assi di
simmetria della cassa:
? t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; (37)
? t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . (38)
Con tali rappresentazioni vettoriali si osserva che il
moto di un qualunque punto della cassa è il risultato
della composizione del moto del baricentro (moto
curvilineo uniforme nel piano xy e sollevamento
lungo z) e di tre moti rotatori attorno agli assi ??????? ,
detti rispettivamente moti di rollio, di beccheggio e di
imbardata.
Una volta messo a punto il modello semplificato di
veicolo ferroviario, si è condotta una simulazione del
moto della carrozza lungo un raccordo parabolico,
considerando il percorso compiuto dal carrello
anteriore (carrello 1) lungo un tratto rettilineo di 30 m,
poi lungo la curva di transizione e infine sul
successivo arco di circonferenza, per ulteriori 30 m.
L’ascissa curvilinea s è stata fatta variare con passo
costante di 0.5 m e, a seconda dell’elemento di
tracciato su cui si trovava il carrello 1, si sono
determinate le coordinate di P1(x1,y1,z1) nel sistema
di riferimento fisso: le coordinate x, y sono state
ottenute dalle equazioni della parabola cubica e della
circonferenza su cui tale curva è inserita; la
coordinata z, per l’ipotesi di carrello centrato nel
binario, risulta pari a h(s)/2, dove con h(s) si intende
la sopraelevazione della rotaia esterna in
corrispondenza all’ascissa curvilinea s. La posizione
del carrello posteriore (carrello 2), P2(x2,y2,z2), è
stata trovata per via numerica imponendo due
condizioni:
- le coordinate x2, y2, z2 devono soddisfare le
equazioni degli elementi del tracciato e la legge
di sollevamento della rotaia esterna;
- la distanza tra P1 e P2 deve essere pari
all’interperno.
In sintesi:
? x
? 2;
y2
? y(
x2
); z2
? z(
x2
)
?
.
2
2
2
? ( x1
? x2
) ? ( y1
? y2
) ? ( z1
? z2
) ? p
Il baricentro della cassa si trova nel punto medio tra i
perni, pertanto le sue coordinate risultano:
x1
x2
x
2
? y1
y2
? ? ; y
2
? z1
z2
? ? ; z
2
?
? ? . (39)
I grafici che seguono si riferiscono all’esempio
numerico già impiegato in §3 per analizzare
l’accelerazione non compensata e il contraccolpo
agenti sul veicolo puntiforme. Si precisa che con s
viene indicata l’ascissa curvilinea che individua la
posizione del carrello anteriore.

4.1 Moto di rollio
Il moto di rollio consiste nella rotazione del veicolo
attorno al proprio asse longitudinale (asse ?).
Quando la carrozza percorre una curva di
transizione, per effetto del progressivo sollevamento
della rotaia esterna il piano di appoggio di ciascun
carrello ruota di un angolo detto di rollio (Figura 7):
h(
s)
h(
s)
? ? ( s)
? arctg ? ;
d d
(40)
la derivata temporale dell’angolo di rollio viene
denominata velocità angolare di rollio o più
brevemente velocità di rollio:
d 1
? ? ( s)
? ? ? ( s)
? h(
s)
;
dt d
(41)
in cui si vede che ? ? è direttamente proporzionale
alla velocità di sollevamento della rotaia esterna
( h ( s)
).
Se la velocità di rollio è variabile nel tempo, sul
veicolo agisce anche un’accelerazione di rollio così
definita:
2
d 1
? ( s)
? ? ( s)
? h(
s)
; (42)
2
dt d
? ?
dove si osserva il legame tra ? ? e l’accelerazione di
sollevamento ( h ( s)
).
Figura 7 - Moto di rollio.
Gli angoli di rollio dei carrelli sono:
z1
z1
h1
/ 2 h1
? ? , 1 ? arctg ? ? ? ;
d / 2 d / 2 d / 2 d
z2
z2
h2
/ 2 h2
? ? , 2 ? arctg ? ? ? ;
d / 2 d / 2 d / 2 d
mentre l’angolo di rollio della cassa si ipotizza pari
alla media degli angoli di rollio dei carrelli 4 :
? ? , 1 ? ? ? , 2 h1
? h
?
2
? , ? ? ? . (43)
2 2d
La velocità di rollio della cassa risulta pertanto:
h1 ? h2
? , ? ; (44)
2d
? ?
4 Non si considera per semplicità la rotazione della cassa
sollecitata dall’accelerazione trasversale, dovuta alla
cedevolezza delle sospensioni (souplesse).
si nota che ? ? , ? dipende dalla somma delle velocità
di sollevamento dei carrelli.
L’accelerazione di rollio della cassa vale:
h1 ? h2
? , ? ; (45)
2d
? ?
dove si osserva che ? ? , ? è proporzionale alla
somma delle accelerazioni di sollevamento dei
carrelli.
Dalla (32) e dalla (34) si deduce che un generico
punto P della cassa ruota attorno all’asse ? con una
velocità lineare ? ( P ? ? ) , ed è soggetto ad
v l ? ? , ?
un’accelerazione tangenziale a l ? ? ? , ? ( P ? ? ) e ad
un’accelerazione centripeta uguale a
a ? ? ( P ? ? ) . Date le ipotesi assunte per la
2
n ? ? , ?
cassa e per il suo baricentro, le forze centrifughe che
si oppongono ad an costituiscono un sistema centrale
equilibrato di forze, mentre le forze d’inerzia legate
ad al hanno come risultante un momento
M (J ?=momento d’inerzia della cassa
? ? ? J?
? ? , ?
attorno all’asse ?), equivalente ad una coppia di forze
di braccio d, che vanno ad alterare le forze
scambiate tra ruote e rotaie in direzione ? ? . Infatti,
per il principio d’inerzia, se il veicolo subisce
un’accelerazione angolare a causa della geometria
del binario, si origina un momento (M ?) che tende a
riportare il moto rotatorio accelerato ad un moto
circolare uniforme.
In figura 8 è riportato l’andamento degli angoli di
rollio dei carrelli e della cassa; nelle figure 9 e 10 si
vedono, rispettivamente, la velocità di rollio e
l’accelerazione di rollio della cassa per treni di rango
A, B e C ( ? ? , ? ? A,
? ? , ? ? B,
? ? , ? ? C e
? ).
? , ? ? A,
? ? , ? ? B,
? ? , ? ? C
Si può rilevare che la velocità di rollio è una funzione
a gradini; per le ipotesi fatte in precedenza, ? ?
assume un valore dimezzato rispetto al massimo nei
tratti iniziale e finale, in cui solo un carrello si trova
sulla parabola cubica, lungo la quale si modifica la
pendenza trasversale e quindi varia l’angolo di rollio.
I valori massimi della velocità di rollio per tutti i tipi di
treno rientrano nei limiti impiegati dalle FS per la
determinazione della sovrapendenza massima della
rotaia esterna, ovvero 0.02 rad/s (valore normale),
0.03 rad/s (valore eccezionale).
La velocità di rollio, tuttavia, non aumenta
gradualmente lungo lo sviluppo della parabola
cubica, ma subisce due incrementi e due
decrementi, che si verificano quando uno dei due
carrelli entra o esce dal raccordo. Le brusche
variazioni di ? ? , ? si traducono in accelerazioni di
rollio teoricamente infinite e quindi in una coppia M ?
infinita. In altri termini, nei punti di discontinuità della
velocità di rollio le ruote esterne ed interne dei
carrelli sono soggette ad azioni di tipo impulsivo,
dirette secondo ? ?ˆ , che non favoriscono il comfort e
la regolarità di marcia della carrozza ferroviaria.

(rad)
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
????
????
????
Angolo di rollio
s (m)
0.00
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 8 - Angolo di rollio lungo la parabola cubica.
(rad/s)
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
Velocità di rollio
????????
????????
?????????
s (m)
0.000
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 9 - Velocità di rollio lungo la parabola cubica.
(rad/s^2)
0.03
0.02
0.01
-0.01
-0.02
-0.03
Accelerazione di rollio
?????????
?????????
?????????
s (m)
0.00
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 10 - Accelerazione di rollio lungo la parabola
cubica.
4.2 Moto di beccheggio
Per moto di beccheggio si intende la rotazione della
cassa attorno all’asse trasversale ?. Determinate le
coordinate z1 e z2 dei due perni, l’angolo di
beccheggio della cassa è così calcolabile (Figura
11):
? ? , ?
? arctg
z1
? z2
z1
? z2
h1
? h2
? ?
2
2
( x ? x ) ? ( y ? y ) p 2p
1
2
1
2
(46)
dove si ricorda che p è l’interperno.
La derivata dell’angolo di beccheggio rispetto al
tempo fornisce la velocità di beccheggio:
d h1
? h2
? , ? ? ? ? , ? ; (47)
dt 2p
? ?
in cui si vede che ? ? , ? è proporzionale alla
differenza tra le velocità di sollevamento dei carrelli 1
e 2.
Derivando due volte rispetto al tempo l’angolo di
beccheggio, si ottiene l’accelerazione di beccheggio:
2
d h1
? h2
? , ? ? ? 2 ? , ? ; (48)
dt 2p
? ?
dove si nota che ? ? , ? è legata alla differenza tra le
accelerazioni di sollevamento dei carrelli.
Se si osservano le espressioni della velocità di
trascinamento (32) e dall’accelerazione di
trascinamento (34), si comprende che ciascun punto
P della cassa compie nel piano ?? un moto rotatorio
attorno all’asse trasversale ?, con una velocità
lineare v l ? ? ? , ? ( P ? ? ) , un’accelerazione
tangenziale a l ? ? ? , ? ( P ? ? ) e un’accelerazione
2 ,
centripeta an
? ? ? ? ? ( P ? ? ) . Mentre le forze
centrifughe che si contrappongono ad an si
equilibrano tra loro, le forze d’inerzia legate ad al
hanno come risultante un momento M ? ? ? J?
? ? , ?
(J ?=momento d’inerzia della cassa attorno all’asse
?), equivalente ad una coppia di forze di braccio p,
che vanno a sovraccaricare e scaricare in direzione
?ˆ i carrelli anteriore e posteriore, a seconda del
?
verso di ? ? , ? .
I diagrammi dell’angolo, della velocità ( ? ? , ? ? A ,
? ? , ? ? B , ? , ? ? C
Figura 11 - Moto di beccheggio.
? ) e dell’accelerazione di beccheggio
( ? ? , ? ? A , ? ? , ? ? B , ? ? , ? ? C ) per treni di rango A, B e C
sono rappresentati nelle figure 12, 13 e 14.
L’angolo di beccheggio della cassa cresce non
appena il carrello 1 inizia a percorrere il raccordo
parabolico, si mantiene costante quando anche il
carrello 2 si trova sulla curva di transizione e
diminuisce dall’istante in cui il carrello 1 transita
sull’arco di cerchio.

(rad)
0.0010
0.0009
0.0008
0.0007
0.0006
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
????
Angolo di beccheggio
0.0001
0.0000
s (m)
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 12 - Angolo di beccheggio lungo la parabola
cubica.
(rad/s)
0.0010
0.0008
0.0006
0.0004
-0.0004
-0.0006
-0.0008
-0.0010
Velocità di beccheggio
?????????
?????????
0.0002
0.0000
?????????
s (m)
0
-0.0002
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 13 - Velocità di beccheggio lungo la parabola
cubica.
Figura 14 - Accelerazione di beccheggio lungo la
parabola cubica.
Di conseguenza la velocità di beccheggio è diversa
da zero solo in due tratti situati all’inizio e alla fine del
raccordo 5 . Tuttavia le discontinuità nel diagramma di
5 Se si confrontano gli angoli e le velocità di rollio con quelli
di beccheggio, si nota che gli ultimi risultano di due ordini di
? ? , ? meritano attenzione in quanto si traducono in
accelerazioni di beccheggio e quindi in coppie M ?
infinite, ovvero in forze impulsive scambiate tra
carrelli e binario.
4.3 Moto di imbardata
Per moto di imbardata (o di serpeggio) si intende la
rotazione del veicolo attorno al proprio asse ?. Con
riferimento alla figura 15, l’angolo di imbardata della
cassa è così definito:
y1
? y2
y1
? y2
? ? , ? ? arctg ? . (49)
x ? x x ? x
1
Dall’espressione precedente si vede che l’angolo di
imbardata dipende dalle coordinate cartesiane della
traiettoria seguita dai singoli carrelli 6 .
La velocità di imbardata è la derivata temporale
dell’angolo di imbardata:
d
? ? , ? ? ? ? , ? ; (50)
dt
mentre l’accelerazione di imbardata è data dalla
derivata seconda di ? ??? :
2
2
d
? ? , ? ? ? 2 ? , ?
dt
. (51)
Dalle espressioni della v t ( P)
e della at ( P)
si
desume che ogni punto P della cassa compie nel
piano ?? un moto rotatorio attorno all’asse ?, con una
velocità lineare ? ( P ? ? ) , un’accelerazione
v l ? ? , ?
tangenziale a l ? ? ? , ? ( P ? ? ) ed un’accelerazione
centripeta a ? ? ( P ? ? ) .
2
n ? ? , ?
grandezza inferiori rispetto ai primi; se invece si esaminano
le velocità lineari massime si rileva che, per l’esempio
Figura 15 - Moto di numerico imbardata.
considerato, nel moto di rollio vmax ? 26 mm/s,
mentre nel moto di beccheggio vmax ? 10 mm/s, valore non
trascurabile.
6 L’approssimazione dell’arcotangente con il rapporto tra
differenza di ordinate e differenza di ascisse è valida solo
per piccoli valori dell’angolo di imbardata. Il programma
scritto per l’analisi delle componenti di moto della carrozza
impiega sempre le formule esatte.
1
2

Figura 16 - Angolo di imbardata lungo la parabola
cubica.
(rad/s)
0.15
0.13
0.11
0.09
0.07
0.05
0.03
0.01
-0.03
-0.05
?????????
?????????
?????????
Velocità di imbardata
s (m)
-0.01 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 17 - Velocità di imbardata lungo la parabola
cubica.
Figura 18 - Accelerazione di imbardata lungo la
parabola cubica.
In modo analogo a quanto osservato per i moti di
rollio e di beccheggio, la risultante delle forze
d’inerzia dovute al moto di imbardata è costituita da
un momento M ? ? ? J ? ? ? , ? (J ?=momento d’inerzia
della cassa attorno all’asse ?), equivalente ad una
coppia di forze di braccio p aventi direzione ?ˆ ? , le
quali spingono i carrelli anteriore e posteriore verso
la rotaia esterna o interna, in dipendenza dal verso di
? , .
? ?
Nelle figure 16, 17 e 18 sono rappresentati i grafici
dell’angolo di imbardata, della velocità di imbardata
( ? ? , ? ? A , ? ? , ? ? B , ? ? , ? ? C ) e dell’accelerazione di
imbardata ( ? ? , ? ? A , ? ? , ? ? B , ? ? , ? ? C ) per treni
appartenenti ai ranghi A, B e C.
Si può notare che la velocità di imbardata lungo la
parabola cubica cresce gradualmente, ma alla fine,
quando il carrello 1 si immette sull’arco di cerchio,
per effetto della discontinuità angolare esaminata in
§3, ? ? , ? è teoricamente infinita; ciò avviene anche
quando il carrello 2 transita per lo stesso punto
(seconda discontinuità nel moto); quando entrambi i
carrelli si trovano sull’arco di cerchio, la velocità di
imbardata è costante e pari alla velocità angolare di
rotazione di ciascun carrello attorno al centro della
circonferenza (v/R). L’accelerazione di imbardata con
ogni evidenza è anch’essa infinita nei punti di
discontinuità sopra indicati e ciò comporta
l’improvvisa azione di una coppia M ? e quindi di due
forze impulsive che alterano le forze trasversali
trasmesse dai carrelli al binario. Sul rettifilo e
sull’arco di cerchio, come prevedibile, ? ? , ? è nulla.
4.4 Moto del baricentro della cassa: accelerazione
non compensata, contraccolpo, sollevamento
Note le coordinate occupate dal baricentro della
cassa mentre i carrelli percorrono la parabola cubica,
si possono calcolare le derivate prima e seconda in
funzione di x ? e quindi, tramite la (11), anche la
curvatura (1/r ? ), il cui andamento è mostrato in figura
19.
(1/m)
0.0025
0.0020
0.0015
0.0010
0.0005
Curvatura
s (m)
0.0000
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 19 - Curvatura della traiettoria seguita dalla
cassa.
L’accelerazione non compensata in funzione della
curvatura della traiettoria della cassa e del suo
angolo di rollio (? ??? ) si ottiene tramite la seguente
espressione:
? 1 ? 2
a nc,
? ? ? ? v ? g ? tg?
? , ? ; (52)
? r ? ?
mentre il contraccolpo si ricava derivando la
precedente rispetto al tempo. Nelle figure 20 e 21
sono riportati i grafici dell’accelerazione non
compensata (anc,G rA, anc,G rB, anc,G rC) e del
contraccolpo (CG rA, CG rB, CG rC) cui sono soggetti i
treni di rango A, B e C.

(m/s^2)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Accelerazione non compensata
anc rA
anc rB
anc rC
s (m)
0.0
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 20 - Accelerazione non compensata agente sulla
cassa.
(m/s^3)
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
C rA
C rB
C rC
Contraccolpo
s (m)
0.00
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 21 – Contraccolpo agente sulla cassa.
Rispetto ai grafici riportati nelle figure 3, 4 e 5, si
osserva che le discontinuità raddoppiano di numero
perché i carrelli anteriore e posteriore della carrozza
passano nel punto finale della parabola cubica in
istanti diversi e quindi la variazione di assetto della
cassa si compie in due fasi; in tal modo il brusco
incremento di accelerazione non compensata
avviene in due tempi, cosicché il contraccolpo tende
all’infinito due volte nel tratto finale del raccordo
parabolico.
La cassa subisce anche un moto di sollevamento,
dettato dall’innalzamento della rotaia esterna. Detti z1
e z2 i sollevamenti dei carrelli, la quota di ? nel
riferimento assoluto è:
z1
? z2
h1
? h2
d
z ? ? ? ? ; (53)
?
2
La derivata temporale di z ? è detta velocità di
sollevamento della cassa e si ricava dalla seguente
espressione:
z1
? z2
h1
? h 2 d
z?
? ? ? ? ? ; (54)
2 4 2
la derivata seconda rappresenta così l’accelerazione
di sollevamento della cassa:
z1
? z2
h1
? h 2 d
z?
? ? ? ? ? . (55)
2 4 2
Nelle precedenti definizioni si è anche evidenziato
che è possibile ottenere z ? , z?
, z?
una volta
determinati l’angolo, la velocità e l’accelerazione di
rollio della cassa.
Nelle figure 22, 23 e 24 sono rappresentati
rispettivamente l’innalzamento, la velocità di
sollevamento e l’accelerazione di sollevamento del
baricentro della cassa. Si può osservare che la
cassa sale descrivendo tre spezzate; nei punti
angolosi si hanno delle discontinuità nella velocità di
sollevamento e quindi in tali punti l’accelerazione di
sollevamento è teoricamente infinita; si manifestano
così delle forze impulsive verticali che generano un
moto oscillatorio del rotabile.
4
?
2
(mm)
90
80
70
60
50
40
30
20
ZG
z1
z2
Innalzamento carrelli e cassa
10
s (m)
0
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 22 - Sollevamento del baricentro della cassa.
(mm/s)
18
16
14
12
10
8
6
4
Velocità di sollevamento della cassa
z.G rA
z.G rB
z.G rC
2
s (m)
0
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210
Figura 23 - Velocità di sollevamento della cassa.
(mm/s^2)
50
40
30
20
-20
-30
-40
-50
Accelerazione di sollevamento della cassa
z..G
10
0
s (m)
1
-10
31 61 91 121 151 181 211 241 271 301 331 361 391 421
Figura 24 - Accelerazione di sollevamento della cassa.
5. INDIVIDUAZIONE DEL CAMPO DI
UTILIZZABILITÀ DELLA PARABOLA CUBICA
Nei paragrafi precedenti, sia con lo schema del
veicolo puntiforme sia con un modello cinematico più
complesso, si sono determinate le discontinuità nel
moto di una carrozza ferroviaria e nelle grandezze
dinamiche ad esso associate lungo un raccordo di
transizione realizzato tramite una parabola cubica.
Nel paragrafo 3 si è anche osservato che
l’incremento relativo di curvatura (?(1/r)),
l’incremento relativo di accelerazione non
compensata (?anc) e la riduzione relativa di
contraccolpo (?C) si accentuano notevolmente al
diminuire del raggio di curvatura.
Tenendo conto delle norme FS per il
dimensionamento delle curve circolari sulle linee
ordinarie e su quelle ad alta velocità, si individua ora,
nel piano raggio – velocità di esercizio, il campo di
valori all’interno del quale le approssimazioni sulla
curvatura e sull’ascissa curvilinea producono effetti
dinamici trascurabili e quindi il raccordo parabolico
può essere utilizzato.
Come parametro discriminante si sceglie
l’incremento relativo di accelerazione non
compensata dato dalla (29):

? a
nc
a
?
nc,
cer
a
? a
nc
nc,
par
, par
( L)
(
L)
?
?
?
?
? 1
2
v H ? 2
? g ?
R
? v
R d
3
?
?
2 2
? ? L ?
?
?
?
1 ? ? ? ?
? ? 2R
? ? ? ? ?
1
?
?
?
H ?
? g ?
d ?
?
?
?
;
2
v
R
3
?
2 2
? L ? ?
? 1 ? ? ? ?
? 2R
?
? ? ?
H
? g
d
introducendo nella precedente la (3) ed esprimendo
le velocità in km/h e le sopraelevazioni in mm, dopo
una serie di passaggi che per brevità si omettono, si
giunge alla seguente equazione:
R ?
L
;
2 ?
2 / 3
?
?
?
?
? ? anc
? 1 ? ? 1
? Hmax
?
? 1?
? a nc
?
? Hmax
? Hi
?
posto per semplicità:
2 / 3
?
?
?
?
? ? a nc ? 1
? ?
? ;
? Hmax
?
? 1?
? anc
?
? Hmax
? Hi
?
e ricordando che su linee ordinarie la lunghezza
tangente della parabola cubica deve soddisfare la
(15) e la sopraelevazione la (3), si ha:
R ? V
2
kh
p
;
? ? 1
(56)
dove p va espressa in ‰.
Su linee ad alta velocità, invece, L si determina con
la (18) e la sopraelevazione con il criterio della
scompensazione proporzionale (3), cosicché si
ottiene:
1.
111?
k hV
R ? V
. (57)
2?
H ( V)
? ? 1
max
Fissato l’incremento relativo di accelerazione non
compensata ammissibile tra parabola cubica e arco
di circonferenza, il raggio minimo che deve avere la
curva circolare per una data V può essere
individuato tramite la (56) e la (57). Queste equazioni
sono state diagrammate nelle figure 25 e 26 per
diversi valori dell’incremento relativo di anc per treni
di rango A. Dato il valore di ? anc
che si è disposti a
tollerare, nei diagrammi il campo di valori del raggio
della curva circolare e della velocità di esercizio che
non sono utilizzabili si trova nell’area racchiusa dalle
funzioni Rmin(V) e R( ? a nc ); viceversa il campo dei
valori di R e di V per i quali i raccordi parabolici
presentano discontinuità dinamiche limitate si trova
al di sopra della curva R( ? a nc ).
R (m)
1400
1200
1000
800
600
400
Campo di accettabilità della parabola cubica
su linee ordinarie
Rmin
R(Danc=30%)
R(Danc=20%)
R(Danc=10%)
R(Danc=7.5%)
R(Danc=5%)
R(Danc=2.5%)
200
V (km/h)
0
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Figura 25 - Relazione tra raggio e incremento relativo di
accelerazione non compensata su linee ordinarie.
R (m)
6000
5000
4000
3000
2000
Campo di accettabilità della parabola cubica
su linee ad alta velocità
Rmin
R(Danc=30%)
R(Danc=20%)
R(Danc=10%)
R(Danc=7.5%)
R(Danc=5%)
R(Danc=2.5%)
1000
V (km/h)
0
160 180 200 220 240 260 280 300
Figura 26 - Relazione tra raggio e incremento relativo di
accelerazione non compensata su linee ad alta velocità.
Si può vedere che su linee ordinarie, per basse
velocità di esercizio e per raggi vicini al minimo, ?anc
supera anche il 20%, mentre variazioni relative
inferiori al 10% si rilevano per velocità superiori ai
110 km/h; discontinuità dinamiche che si possono
ritenere trascurabili si hanno al di sopra della curva
relativa a ?anc=2.5% e in ogni caso per velocità
maggiori di 145 km/h.
Sulle linee ad alta velocità, invece, si osserva che
con qualunque combinazione di valori del raggio e
della velocità ammessi dalle norme si hanno piccoli
valori di ?anc. Va altresì precisato che nei diagrammi
di figura 25 e di figura 26 si sono individuati dei
campi di accettabilità della parabola cubica con il
solo riferimento alle discontinuità di anc dovute alla
variazione della curvatura nel punto di passaggio tra
la curva di transizione e l’arco di cerchio. L’esame di
tutte le componenti di moto della cassa, eseguito con
un modello cinematico più aderente al reale, ha
messo in luce che in ogni caso sui raccordi parabolici
le leggi di variazione della curvatura e della
sopraelevazione sono tali da provocare delle
discontinuità dinamiche e quindi delle irregolarità nel
moto dei rotabili che possono accentuarsi alle alte
velocità.
6. CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE
Lo studio ha dimostrato che la parabola cubica, nel
suo punto finale, presenta delle discontinuità
nell’angolo di deviazione e nella curvatura tali da
originare, al passaggio dei carrelli, valori
teoricamente infiniti del contraccolpo, della velocità di
imbardata e dell’accelerazione di imbardata. La
legge di variazione della sopraelevazione genera
inoltre delle accelerazioni di sollevamento, di rollio e
di beccheggio molto elevate.
Per effetto di tali irregolarità si originano delle forze
impulsive, le quali riducono il comfort dei passeggeri
ed alterano le sollecitazioni scambiate tra assili e
binario.

Sebbene la deformabilità elastica del binario e la
cedevolezza delle sospensioni dei rotabili
permettano di attenuare le discontinuità teoriche
delle grandezze esaminate, si propone di adottare
curve di transizione alternative [10] le cui equazioni
intrinseche offrano una continuità cinematica e
dinamica di ordine superiore. Ciò permetterebbe di
eliminare le anomalie del moto e le forze impulsive
rilevate e quindi di ridurre l’impegno tecnico ed
economico richiesto dalle operazioni di controllo e di
manutenzione delle infrastrutture e dei veicoli
ferroviari.
BIBLIOGRAFIA
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Vol.1 – UTET – Torino.
[2] G. Angeleri (1987) – Le curve delle linee
ferroviarie – Geometria e cinematica – CIFI – Roma.
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esercizio – CIFI – Roma.
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Ed.Pitagora – Bologna.
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ferroviario – Levrotto & Bella – Torino.
[6] A. Bourguet, R. Joly (1996) – Circolazione di un
veicolo ferroviario su curva di raggio costante Rc e di
raggio variabile – Calcolo degli sforzi e delle
accelerazioni trasversali – Ingegneria Ferroviaria,
n.7/96.
[7] G. Vicuna (1992) – Organizzazione e tecnica
ferroviaria – CIFI – Roma.
[8] A. Fasano, V. de Rienzo, A. Messina (1989) –
Corso di meccanica razionale – Laterza – Bari.
[9] M. Zaccaria (1975) – Gli elementi dei tracciati
ferroviari – Vol.II – Scuola Centrale FF.SS. – Roma.
[10] M. Bordin, M. Stefanutti (1999) – Ricerca
dell’equazione intrinseca di una curva di transizione
ferroviaria per la regolarità del moto dei rotabili - Atti
del IX Convegno Nazionale S.I.I.V. “Pianificazione e
gestione di infrastrutture ferroviarie e aeroportuali” –
Cagliari, 28-29 ottobre 1999.