Download File - Stefania Petracca

Università del Sannio 

Corso di Fisica 1 

Lezione 2 

Vettori 

Prof.ssa Stefania Petracca 

Corso di Fisica 1 - Lez. 02 - Vettori 1

Definizione dei vettori 

I vettori rappresentano grandezze per le quali il valore, misurato con le appropriate 

unità di misura, non basta a definirle. Le grandezze come la lunghezza, la temperatura, 

il tempo, la massa che vengono definite una volta dato il valore (riferito all’unità di misura 

della grandezza stessa), sono chiamate scalari. Grandezze come, la posizione di una nave 

che dà le sue coordinate , la velocità, lo spostamento, la forza esercitata su un corpo, la 

giacitura di uno strato, roccia, la velocità, il flusso di calore, sono definite dando la 

direzione e il verso, oltre che il valore, e sono chiamate vettori. I vettori sono rappresentati 

graficamente da un segmento orientato (una “freccia), la giacitura del segmento ne 

individua la direzione, la freccia il verso, la lunghezza (misurata con qualche unità di 

misura) del segmento è proporzionale o uguale alla suo modulo o Intensità. a e b sono due 

vettori uguali e tra loro indistinguibili (hanno la stessa direzione, verso e lunghezza) dal 

punto di vista matematico o geometrico, mentre il vettore c, anche se ha la stessa lunghezza 

di a ha diversa direzione e verso, e anche il vettore d rappresenta un vettore diverso da c. I 

vettori possono essere sommati secondo le regole che seguono, moltiplicati tra loro (sono 

definiti due prodotti, il prodotto scalare e il prodotto vettoriale, che verranno definiti 

successivamente), rappresentati per componenti in un sistema di riferimento ecc. 


Somma vettoriale: metodo grafico I 


Somma vettoriale: metodo grafico II 


Somma vettoriale: metodo grafico III 


Somma vettoriale: esempi I 


Somma vettoriale: esempi II 


Rappresentazione cartesiana dei vettori I 


Rappresentazione cartesiana dei vettori II 


Rappresentazione cartesiana dei vettori III 


Rappresentazione cartesiana dei vettori: esempi 


Rappresentazione cartesiana dei vettori III 


Prodotto scalare 

Si definisce prodotto scalare tra due vettori a e b la quantità 

a ⋅b 

= 

cosθ 

Geometricamente il prodotto scalare è interpretabile come il prodotto della proiezione di a 

su b per il modulo di b; oppure il prodotto della proiezione di b su a per il modulo di a. 

Infatti abbiamo: 

Notiamo subito che il prodotto scalare può assumere valori fondamentali a secondo di come 

sono orientati l’uno rispetto all’altro. Infatti abbiamo: 

se l’angolo, rispettivamente, assume i valori 0°, 90°, 180°. 

a 

b 

⎧a 

b 

⎪ 

a ⋅b 

= ⎨0 

⎪ 

⎩− 

a b 


Prodotto scalare: proprietà generali 

Per qualsiasi vettore il prodotto scalare soddisfa le seguenti proprietà: 

a⋅ 

a ≥ 0 

a⋅ 

b = b ⋅a 

( a + b) 

⋅c 

= a⋅ 

c + b ⋅c 

( k a) 

⋅b 

= k 

Dove k è una quantità scalare qualsiasi non nulla. Inoltre dalla sua definizione si ricava una 

relazione che lega l’angolo formato dai due vettori ai vettori stessi: 

θ = cos 

⎛ ⎞ 

⎜ 

a ⋅b 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ a b ⎠ 

Note le componenti cartesiane dei vettori il prodotto scalare è esprimibile anche come 

x 

x 

da cui è possibile scrivere il modulo quadro di un vettore sempre come il prodotto scalare 

con se stesso: 

a 

2 

= a⋅ 

a 

−1 

( a⋅ 

b) 

a ⋅b = a b + a b + a 

x 

x 

y 

y 

y 

y 

z 

z 

z 

b 

Corso di Fisica 1 - Lez. 02 - Vettori 14 

z 

2 

x 

2 

y 

= a a + a a + a a = a + a + a 

2 

z

Prodotto vettoriale I 

Si definisce prodotto vettoriale tra due vettori a e b la quantità 

a × b = n a 

sinθ 

dove θ è la misura dell’angolo tra a e b (0° ≤θ≤180°), mentre n è un versore che 

determina la direzione del prodotto vettoriale stesso che è ortogonale al piano contenente i 

vettori a e b. Il modulo del prodotto vettore è l’area del parallelogramma individuato dai 

due vettori a e b ed è pari a 

a × 

b = 

a 

infatti, |b|sin θ è la misura dell'altezza se si fissa a come base, e viceversa |a| sin θ èla 

misura dell'altezza se si fissa b come base. Il problema in questa definizione è che ci sono 

due vettori che la soddisfano, uno opposto all’altro, in quanto se n è perpendicolare ad a e a 

b, allora lo è anche – n. Bisogna scegliere per convenzione un verso. Quale sia il vettore per 

convenzione “giusto” dipende dall’orientazione dei vettori nello spazio. Il verso del 

prodotto vettoriale a × b è definito tale che il set di vettori coordinati (a, b, a × b) diventi 

destrogiro se il set di versori (i, j, k) è destrogiro e sinistrogiro se (i, j, k) è sinistrogiro. Un 

modo semplice per determinare la direzione del prodotto vettore è la cosiddetta “regola 

della mano destra”. In un sistema destrogiro si punta il pollice nella direzione del primo 

vettore, l'indice in quella del secondo, il medio dà la direzione del prodotto vettore. In un 

sistema di riferimento sinistrogiro basta invertire il verso del prodotto vettore, ovvero usare 

la mano sinistra. 

b 

b 

sinθ 


Prodotto vettoriale II 

Graficamente il prodotto vettoriale è il seguente 

Possiamo concludere quindi che il prodotto scalare di un vettore per se stesso è sempre 

nullo, mentre è massimo quando i vettori sono ortogonali. 


Prodotto vettoriale: proprietà generali 

Per qualsiasi vettore il prodotto vettoriale soddisfa le seguenti proprietà: 

a× 

a = 0 

a× 

b = −b× 

a 

( a + b) 

× c = a× 

c + b× 

c 

( a× 

b) 

= ( ka) 

× b = a ( kb) 

k × 

Note le componenti cartesiane dei vettori il prodotto vettoriale è esprimibile anche 

attraverso l’operazione di determinante 

⎡ i j k ⎤ 

⎢ ⎥ 

a× b = det⎢a 

x ay 

az 

⎥ = y z z y z x x z x y − y x 

⎢bx 

by 

b ⎥ 

⎣ 

z ⎦ 

Poiché il determinante di tre vettori può essere espresso come 

det 

( a b − a b ) i + ( a b − a b ) j+ 

( a b a b )k 

( a , b, 

c) 

= a⋅ 

( b× 

c) 

Infine i versori devono soddisfare anche essi le regole del prodotto vettoriale 

i × 

j = k; 

j× 

k = i; 

k × i = j;

Download File - Stefania Petracca

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?