università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SIENA
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE,
FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea in Matematica
Tesi di Laurea
Una presentazione algebrica delle Basi di Dati.
Relatore Correlatore
Chiar.mo Prof. L. Chiantini Dott. S. Rinaldi
A.A. 2001/2002
di Paolo Pin

Indice
Presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 . Un esempio introduttivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 . Una presentazione algebrica delle basi di dati . . . . . . . . . . 9
3 . Operatori sulle istanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 . Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 . Operatori binarî su {0, 1} e quantificatori . . . . . . . . . . . . . 23
6 . Vincoli sulle istanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7 . L’algebra relazionale classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2

Presentazione
L’algebra relazionale è una materia abbastanza recente nella storia della
matematica. É nata e trova applicazione nello studio teorico di come organizzare
e interrogare le informazioni immagazzinate nelle memorie elettroniche
dei calcolatori elettronici.
Il presente studio nasce da alcune considerazioni su questa materia, che qui
viene affrontata da un punto di vista prettamente matematico.
La nostra attenzione si è focalizzata su quelle particolari funzioni che in
algebra relazionale sono chiamate vincoli, dalle quali derivano operatori altrettanto
comuni in questa teoria: le selezioni.
Abbiamo definito i vincoli come funzioni da un qualsiasi insieme nella
coppia {0, 1} . É intuitivo come un vincolo su di un insieme possa determinare
una cernita dei suoi elementi, una selezione appunto.
L’organizzazione dei dati all’interno dei databases (letteralmente: basi di
dati) dei computers viene di solito rappresentata con matrici, nelle quali è
considerato irrilevante l’ordine delle righe. Cosí essi si trasformano in insiemi
finiti e non ordinati (istanze) di ennuple (records) su di un qualsiasi prodotto
cartesiano composto da un numero finito di insiemi (domini).
In tal modo abbiamo semplificato, in modo algebrico, l’architettura di questo
modello, altrimenti assai articolata.
Dal nostro punto di vista, quindi, le istanze di basi di dati diventano sottoinsiemi
finiti di un prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn , dove i singoli Di
sono semplicemente insiemi qualsiasi.
Calcolare un vincolo su una istanza è un procedimento la cui complessità (ed
anche il costo computazionale) dipende dalla natura del vincolo stesso, oltre
che dall’estensione dell’istanza cui è applicato.
Per definire una scala di complessità dei vincoli ci siamo rifatti alla matrice
che identifica l’istanza. Se pensiamo a tale rappresentazione, un oggetto bidimensionale,
è possibile classificare i vincoli come:
- dimensione 0: vincoli che dipendono dall’esame, record per record, di una
sola casella;
- dimensione 1: vincoli che comportano un confronto fra varie caselle dello
stesso record;
- dimensione 2: tutti gli altri vincoli.
Abbiamo riprodotto in modo matematico questa struttura, ricorrendo allo
studio degli operatori sul codominio della funzione vincolo: {0, 1} . La
ridotta cardinalità di questo insieme ha permesso di analizzare in maniera
3

dettagliata tutti gli operatori unarî e binarî su di esso, le loro proprietà e
caratteristiche, evidenziando quelle che ci potessero risultare più utili.
Uno dei punti chiave è stato il problema di estendere un vincolo alla potenza
finita di un insieme: un problema che abbiamo definito di quantificazione.
In pratica si sono sfruttati quegli operatori binarî che permettessero di ottenere
dagli elementi di un insieme un risultato indipendente dall’ordine di
composizione.
Ci è venuta in soccorso una particolare proprietà degli operatori binarî, che
abbiamo definito semi-associatività: (a ◦ b) ◦ c = (a ◦ c) ◦ b ; ∀ a, b, c .
Dagli operatori binarî semi-associativi su {0, 1} nascono cosí 14 possibili
quantificatori generalizzati: 14 modi diversi di estendere un vincolo da un
insieme alla sua potenza finita. Questi quantificatori sono stati studiati e
classificati nella tesi.
Questi particolari risultati costituiscono il nucleo centrale della nostra
trattazione, lo abbiamo inserito in un quadro più esteso di definizioni ed esempi
che ci permettesse di illustrarne varie premesse e conseguenze.
La tesi ha questa struttura: nel paragrafo introduttivo, abbiamo presentato
un particolare esempio di istanza: lo studio di una gara, riprodotta in
un database di tempi (nello specifico ci siamo occupati del Palio dell’Agosto
2001).
Nei primi tre paragrafi veri e proprî, con una serie di definizioni, abbiamo
presentato oggetti e funzioni che caratterizzano l’algebra relazionale. Nel
quarto abbiamo analizzato approfonditamente gli operatori binarî sull’insieme
{0, 1} .
Abbiamo poi focalizzato l’attenzione sui vincoli sulle istanze (che sono, ricordiamo,
insiemi finiti di ennuple). Li abbiamo distinti nelle tre categorie, che
abbiamo chiamato dimensioni: 0 quelli che derivano (per quantificazione) da
vincoli su un elemento delle ennuple, 1 quelli che derivano da vincoli sulle
intere ennuple, 2 quelli che considerano l’istanza nel suo insieme.
Fra questi ultimi ne abbiamo costruiti alcuni come vincoli di dimensione 1
sul prodotto cartesiano delle istanze per sé stesse, abbiamo anche visto che
non tutti sono esprimibili cosí.
I vincoli di dimensione 2 che sono rappresentabili come vincoli di dimensione
1 su un prodotto cartesiano sono comunque ”trattabili”, nel senso che il loro
costo computazionale è inferiore a quello degli altri vincoli puri di dimensione
2.
Solo in conclusione abbiamo riassunto brevemente l’algebra relazionale classica,
cosí da evidenziare i punti di contatto e le differenze rispetto al nostro
modello.
4

1 . Un esempio introduttivo.
Incominciamo con l’introduzione di un esempio, tratto dal Palio. Consideriamo
la seguente tabella:
Contrada 1 o giro 2 o giro 3 o giro
Aquila 6”4 12”7 21”7 38”5 47”5 1’04”0
Chiocciola 6”7 12”3 20”6 36”0 45”5 1’02”0
Civetta 6”8 13”1 21”3 36”6 46”5 1’03”0
Drago 7”0 12”1 20”0 35”0 44”0 1’00”0 1’10”0 1’15”0
Giraffa 6”5 12”6 20”7 35”8 45”0 1’01”0 1’11”5
Istrice 6”0 12”0 20”3 35”3 44”5 1’00”5 1’11”0
Montone 7”4 13”2 22”0 37”5 48”0 1’04”5
Nicchio 6”3 12”8 21”5 38”0 48”5 1’05”5
Tartuca 7”1 13”5 22”3 37”0 46”0 1’02”5
Torre 6”9 12”5 21”1 36”5 47”0 1’05”0
Si riferisce al Palio del 16 Agosto 2001 e rappresenta, per ognuna delle
dieci contrade partecipanti, alcuni riferimenti cronometrici lungo i tre giri
del percorso: la Fonte Gaia per il primo, le due curve di San Martino e del
Casato per tutti e tre, ed il bandierino finale d’arrivo.
I tempi sono stati rilevati per mezzo di un cronometro manuale, basandosi
sul filmato delle riprese televisive.
Tralasciamo qualsiasi considerazione sull’effettiva accuratezza dei valori, e
limitiamoci alla conoscenza di questi dati come unica informazione a noi
nota: ipotizziamo di non sapere nient’altro sulla corsa se non questi tempi.
Diventa anche irrilevante disquisire sul numero dei riferimenti presi, che sono
effettivamente pochi per una descrizione accurata degli eventi, però, per ora,
non ci è concesso un maggiore affinamento.
Ammettiamo cioè un ipotetico osservatore dei dati in questione, il quale
non solo sia del tutto all’oscuro della corsa specifica, ma addirittura delle
modalità di disputa del Palio di Siena, ed al quale venisse chiesto di trarre
alcune conclusioni dall’analisi di questa scarna tabella. Proviamo in pratica
a metterci nei suoi panni.
Cosa si può dedurre dai dati contenuti nelle tabella?
È subito evidente come i tempi siano, per ogni contrada, progressivi, non
esiste cioè nessuna riga per la quale un rilevamento successivo (più a destra)
5

di un altro sia inferiore od uguale ad esso.
Cosí l’ignaro osservatore, in mancanza di qualsiasi ulteriore commento, potrebbe
comunque pensare che la tabella si riferisca ad una gara di velocità.
Se addirittura omettessimo tutte le diciture: i nomi delle contrade, ma anche
la distinzione in giri ed i riferimenti specifici, per altro noti solo a chi conosca
Piazza del Campo, sarebbe abbastanza intuitivo pensare appunto ad una
attività di cui ci interessa sapere la rapidità di esecuzione per dieci diversi
soggetti.
6,4 12,7 21,7 38,5 47,5 64
6,7 12,3 20,6 36 45,5 62
6,8 13,1 21,3 36,6 46,5 63
7 12,1 20 35 44 60 70 75
6,5 12,6 20,7 35,8 45 61 71,5
6 12 20,3 35,3 44,5 60,5 71
7,4 13,2 22 37,5 48 64,5
6,3 12,8 21,5 38 48 5 65,5
7,1 13,5 22,3 37 46 62,5
6,9 12,5 21,1 36,5 47 65
Un’altra cosa salta ancor prima all’occhio: la tabella è incompleta, vi sono
caselle vuote: non sono stati presi i tempi per alcune contrade nell’ultima,
o nelle ultime due, colonne. Cosí l’ipotetico osservatore, privo di ulteriori
conoscenze, potrebbe pensare, per le contrade senza più rilevamenti, ad una
brusca frenata, o ad una squalifica, o perfino ad un guasto nel sistema di
cronometraggio.
La soluzione più semplice per questo osservatore sarà comunque quella di ipotizzare
che quelle nove contrade si siano in qualche modo fermate anzitempo
sul percorso, e tralascerebbe di indovinarne il motivo.
Si può dedurre che l’unica contrada ad avere valori per tutte le colonne sia
la vincitrice.
Nel nostro caso si tratta (appunto) del Drago, e questa ipotesi sarebbe rafforzata
dal fatto che comunque in tutti i riferimenti precedenti, ad esclusione
dei primi due, ad essa corrispondeva il tempo minore.
Da queste premesse, e dalla sola analisi dei dati, cos’altro apparirebbe?
Si potrebbe, per ognuna delle nostre ”postazioni di rilevamento” sul percorso,
stilare in base agli intertempi una classifica parziale. Cosí nell’ultima
colonna completa che ci è data (San Martino, terzo giro) il Drago metteva
6

in riga (per quanto possa apparire ordinata la disputa di un Palio) Istrice,
Giraffa, Chiocciola, Tartuca ... e via di seguito.
Queste liste istantanee saranno via via diverse l’una dall’altra, ci saranno
cioè degli scavalcamenti nelle posizioni di classifica: dei sorpassi.
Abbiamo detto che il Drago è rimasto in testa dal Casato del primo giro (per
quel che ne sappiamo dalla tabella) ma non lo era prima; alla Fonte e a San
Martino conduceva l’Istrice. Ne deduciamo che fra San Martino ed il Casato,
durante questo primo giro, il Drago ha sorpassato l’Istrice.
Certo potrebbero esserci stati altri avvicendamenti alla testa della corsa, tutti
però falliti nell’intervallo fra due riferimenti successivi. Fra il penultimo
Casato e l’ultimo San Martino (e questo è un intervallo veramente lungo) la
Giraffa potrebbe aver superato il Drago ed esserne nuovamente scavalcata.
A questa incertezza rimedierebbe un maggiore infittimento dei rilevamenti.
Se tutti i tempi fossero stati presi ad una distanza proporzionale ai distacchi
fra i cavalli (un paio di secondi nel primo giro e cinque nell’ultimo, ad esempio),
sarebbe molto arduo ipotizzare quei doppi sorpassi di cui sopra, ed
avremmo qualche certezza in più dalla nostra tabella.
Ci possiamo allora chiedere quanti altri sorpassi siano rilevabili.
Basterà fare qualche confronto per trovarne molti, solo per citarne qualcuno,
fra la prima Fonte ed il successivo San Martino: Chiocciola, Drago, Giraffa e
Torre su Aquila, e fra loro Drago e Torre su Chiocciola e Giraffa, cosí come
Drago su Torre e Chiocciola su Giraffa.
Tralasciando in questa introduzione la regola matematica, o meglio l’algoritmo,
rimane tuttavia intuitivo il metodo per individuare qualsiasi ”sorpasso”.
Possiamo passare ad una maggiore astrazione. Tutto quello che per ora
ci serve è una tabella, o più propriamente, per usare termini attinenti al
linguaggio matematico, una matrice.
Una matrice m×n di numeri naturali, laddove m sia il numero dei partecipanti
ed n quello dei riferimenti, chiamiamola G (da ”gara”):
Con t k i
⎛
⎜
G = ⎜
⎝
t1 1 t1 2 · · · t1 n
t2 1 t2 2 · · · t2 n
.
.
. ..
t m 1 t m 2 · · · t m n
si è indicato l’i-esimo tempo del k-esimo partecipante. La parola
7
.
⎞
⎟
⎠

”tempo”, cosí come le già introdotte ”partecipante” e ”riferimento”, derivano
dall’idea iniziale, che voleva il modello applicato ad una competizione di velocità.
Torniamo alla tabella sul Palio di pagina 6, quella con soli numeri e caselle
vuote. Per interpretare questi valori nulli, piuttosto che attribuire loro valore
0, aggiungeremo a Q l’elemento null, cosí da non confonderlo con un numero.
Viene data per assunta l’unica legge:
∀ 1 ≤ k ≤ m, 2 ≤ i ≤ n, tk i = null ∨ tki ≥ tki−1 , .
Per poter effettuare tutti i confronti proposti nell’esempio, certo, dovrebbe
essere possibile riconoscere una singola riga in una data tabella. Potremmo
aggiungere una ulteriore colonna con dei nomi di riferimento, identificativi,
che sarebbero poi i nominativi dei partecipanti. Questo è quanto viene fatto
normalmente, per non lasciare il lettore di fronte a disorientanti insiemi di
numeri. Resta il dubbio su quale sia l’insieme che comprende e definisce i
nomi, o, più propriamente, le parole.
Dovremmo anche definire una parola, sempre diversa, per ogni specifica matrice.
Cosí avremmo delle ”coordinate” precise che ci permetterebbero, volendo,
di creare nuove tabelle, mescolando gli elementi delle vecchie.
Ad esempio potremmo estrarre tutti i vincitori dei singoli Palii presi in
considerazione.
Sorgono nuovi problemi. Quella che era semplicemente una matrice di
numeri naturali dovrà contenere nuovi elementi: nomi? Dovrà essa stessa
essere identificata con un nome, o con un numero? E come formalmente?
Tutte queste domande sono risolte dalla materia che studia la disposizione
e l’ordinamento delle informazioni in basi di dati, l’algebra relazionale. Dallo
studio di questa teoria, largamente diffusa ed accettata ormai ovunque, sono
emerse alcune piccole incongruenze per quelli che erano i nostri scopi. Questa
”analisi critica” ci ha portato a considerare l’algebra relazionale sotto aspetti
matematici un po’ più rigorosi del consueto.
8

2 . Una presentazione algebrica delle basi di
dati.
Fin dalla formulazione teorica delle basi di dati, di qualche anno precedente
alla loro realizzazione effettiva, si è cercato di dare coerenza teorica alla loro
rappresentazione e alle operazioni possibili su di esse. Col tempo queste
operazioni sono aumentate di numero e complessità, ed anche la rappresentazione
stessa dei dati nelle memorie dei calcolatori, grazie all’evolversi delle
tecnologie, si è andata adattando alle nuove esigenze.
Ora, nonostante questa notevole evoluzione, i modelli originali sono rimasti
pressoché inalterati. Cercheremo di fornire un nuovo modello algebrico,
partendo da semplici definizioni proprie dell’algebra e della geometria, e
da alcune loro conseguenze.
Alcuni dei termini adottati saranno presi a prestito dall’informatica, per alleggerire
la trattazione successiva di eccessivi sinonimi. É questo il caso, ad
esempio, di dominio, selezione, istanza ...per citarne solo alcuni; solo successivamente
spiegheremo quale ne è l’interpretazione classica in informatica,
e le analogie con quella da noi adottata.
Le prime definizioni potranno sembrare banali, ma serviranno appunto
ad introdurre la terminologia.
Definizione 1 . Dominio D: qualsiasi insieme, di qualsiasi cardinalità.
♦
Indicheremo i dominî con le lettere D, D1, D2 . . . ;
i sottoinsiemi di un dominio con le lettere maiuscole A, B, C . . . ;
gli elementi dei dominî con le lettere minuscole a, b, c . . . ;
Quando invece vorremo riferirci genericamente ad un insieme, senza considerarlo
un dominio, useremo le lettere U, U1, U2 . . .
La definizione 1, nella sua evidente semplicità, va presa per quello che è:
esclusivamente l’introduzione di un sinonimo per la parola ”insieme”. Sinonimo
che noi useremo sempre, d’ora in poi, per indicare gli insiemi alla base
della nostra teoria.
Per il momento non ci soffermiamo sulle proprietà che ogni singolo dominio
può avere, di questo ci occuperemo solo in un secondo tempo.
9

Esempio 1 . Gli esempi di possibili dominî che vengono subito in mente,
in ambiente matematico, sono quelli numerici: come ad esempio l’insieme
N dei numeri naturali, o il suo sovrainsieme Q dei numeri razionali. Come
detto non ci interessano per ora le proprietà di questi insiemi, ci limiteremo
a riprendere soprattutto il primo, come possibile dominio utile. ♦
Esempio 2 . Dato un qualsiasi insieme finito A, detto alfabeto, definiamo
stringa ogni insieme ordinato e finito di elementi di A.
Cosí, se per alfabeto prendiamo l’insieme dei dieci simboli ”arabi” 0, 1, ...,9,
ad ogni stringa corrisponderà banalmente un numero naturale (la corrispondenza
non è biunivoca, a ”0012” e ”12” corrisponde lo stesso numero).
Se invece, come alfabeto, abbiamo l’insieme delle ventuno (o ventisei) lettere
del nostro alfabeto, qualsiasi sequenza finita di lettere sarà una stringa,
potremmo definirla ”parola” anche in assensa di un senso compiuto, e ”nome”
quando serve ad identificare un altro oggetto.
D’ora in poi useremo arbitrariamente le stringhe di qualsiasi alfabeto come
possibili dominî. ♦
In seguito daremo per scontato il concetto di prodotto cartesiano fra due
dominî: D1 × D2.
Di conseguenza parleremo anche di prodotto cartesiano fra un numero finito
n di dominî: D1 × D2 × . . . × Dn.
É di notevole importanza notare come all’interno del prodotto cartesiano lo
stesso dominio, lo stesso insieme, possa essere ripetuto. Niente vieta, ad esempio,
di trattare il prodotto cartesiano di un unico dominio per sé stesso
n volte.
Quando uno stesso dominio D sarà ripetuto nello stesso prodotto cartesiano,
potremo scrivere D 1 per indicare la sua prima presenza, D i per indicare la
sua i-esima.
Definizione 2 . Record su D1 × D2 × . . . × Dn:
ogni elemento del prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn di n dominî. ♦
Spesso in algebra si usa la parola ennupla per definire gli elementi di un
prodotto cartesiano, la differenza fra ennupla e record sarà comunque solo
lessicale. Riutilizzeremo il termine ”ennupla” quando ci riferiremo più propriamente
all’algebra classica, che comunque non esula dalla nostra trattazione,
ma ne è anzi il fondamentale punto di partenza.
Definizione 3 . Istanza su D1 × D2 × . . . × Dn:
ogni insieme finito di records, sottoinsieme finito di D1 × D2 × . . . × Dn. ♦
10

Chiameremo i records con le lettere minuscole s, t, u, v . . .
se vorremo specificare anche i singoli elementi del record scriveremo:
s[d1, d2, . . .,dn].
Chiameremo le istanze con le lettere maiuscole J, H, I, L . . .
il numero n dei dominî sarà detto grado di records ed istanze.
Esempio 3 . Un metodo semplice e comune di rappresentare un’istanza è
per mezzo di una tabella in cui, nella prima riga, sono rappresentati i dominî
del prodotto cartesiano, mentre le restanti righe elencano tutti i records
appartenenti all’istanza. ♦
Va tenuta ben presente la differenza fra le istanze ed i sottoinsiemi di
D1 × D2 × . . . × Dn; le prime sono esclusivamente di cardinalità finita.
Un altro aspetto da non trascurare è che considereremo le istanze come insiemi
non ordinati, questa distinzione non è banale da un punto di vista
informatico, laddove per forza di cose una memoria elettronica ha se non
altro un ordine di disposizione delle proprie informazioni.
Il fatto di ritenere non ordinate le istanze implica due aspetti: fra tutti i
record di appartenenza non ce ne sarà mai uno preferibile o antecedente ad
un altro; non sarà in alcun caso possibile avere due record uguali, in tutti i
loro elementi, appartenenti alla stessa istanza.
Un’ultima importante puntualizzazione: le istanze comprendono anche l’insieme
vuoto.
Esempio 4 . Prendiamo in considerazione un elenco telefonico, con poche
semplificazione lo possiamo accomunare ad un insieme di ennuple sui seguenti
quattro dominî:
Nomi × Cognomi × Indirizzi × Numeri di telefono.
Per quanto esteso, ogni elenco telefonico riporta un numero finito di
ennuple, ed è quindi un’istanza di grado 4 sui dominî considerati. ♦
Esempio 5 . La tabella sul Palio di pagina 5 rappresenta un’istanza sui
dominî:
8 volte
Contrade × Tempi × . . . × Tempi.
11

Qui possiamo identificare il dominio ”Tempi” con l’insieme Q dei numeri
razionali, cui va aggiunto l’elemento ”null” che rappresenta l’assenza di rilevamento.
Naturalmente il numero di riferimenti cronometrici può essere variato senza
modificare il modello. Avevamo posto inoltre la regola per cui i tempi
fossero progressivi. Questa è una limitazione sui records, in seguito vedremo
come formalizzarla. A ben vedere esistono altre limitazioni, questa volta sulle
istanze, se vogliamo ottenere la corretta rappresentazione di un Palio: la stessa
contrada non potrà correre due volte lo stesso Palio (a questo si potrebbe
ovviare inserendo il dominio con le date delle carriere), le contrade devono
essere al massimo dieci.
Anche queste ultime sono limitazioni, ma non sui singoli records, bensí sull’istanza
considerata nel suo insieme. Anche di queste ci occuperemo in seguito.
♦
Riproponiamo anche il concetto di potenza di un insieme U: P(U). La
potenza di un dominio D è l’insieme di tutti i suoi possibili sottoinsiemi, potrà
essere applicata anche al loro prodotto cartesiano: P(D1 × D2 × . . . × Dn).
Le istanze su D1 × D2 × . . . × Dn rappresentano un sottoinsieme di P(D1 ×
D2 ×. . .×Dn), questo sottoinsieme coinciderà con la potenza solo nel caso in
cui tutti i dominî abbiano cardinalità finita. Altrimenti sarà utile una nuova
definizione.
Definizione 4 . Dato un insieme U, chiameremo potenza finita di U
l’insieme formato da tutti i sottoinsiemi finiti di U : Pf(U) . ♦
La definizione data è molto utile ai nostri scopi: quale che sia la cardinalità
dei dominî, Pf(D1 × D2 × . . . × Dn) rappresenta sempre l’insieme di tutte le
possibili istanze su D1 × D2 × . . . × Dn .
Definizione 5 . Schema su D1 × D2 × . . . × Dn:
un insieme, non necessariamente finito, di istanze su D1 ×D2 ×... ×Dn. ♦
Anche per gli schemi il numero n dei dominî sarà detto grado.
Vista la differenza fra le istanze e i sottoinsiemi di D1 × D2 × . . . × Dn c’è
differenza anche fra gli schemi e i sottoinsiemi di P(D1 × D2 × . . . × Dn).
In entrambi i casi, istanze e schemi, siamo di fronte a sottoinsiemi del caso
generale.
Esempio 6 . Prendiamo un esempio simile al 6:
12

Nomi × Numeri di telefono.
I due dominî hanno potenzialmente cardinalità infinita, ma a ben vedere
potremmo imporre un limite al numero di caratteri e cifre per nomi e numeri.
Con questa limitazione i due dominî, sebbene enormi, resteranno confinati
in ambito finito. Cosí, a rigor di logica, anche il numero di tutte le possibili
ennuple sarà finito, ed anche la cardinalità di qualsiasi elemento dell’insieme
potenza P(Nomi × Numeri di telefono). Con le suddette restrizioni l’insieme
potenza è uno schema. ♦
Naturalmente l’esempio proposto è pretestuoso, viste le sue dimensioni,
e nella pratica sarà buona regola assimilare insiemi di cardinalità finita, ma
molto alta, ad insiemi infiniti. Questo è in effetti quanto avviene considerando
i ”numeri di macchina” come se fossero numeri reali.
3 . Operatori sulle istanze.
Una volta introdotti tutti gli elementi che caratterizzano la nostra teoria,
dominî, records ed istanze, cerchiamo di costruire con essi e su di essi un’algebra.
Cerchiamo cioè di definire alcuni operatori che abbiano come operandi e risultato
questi stessi elementi.
Più specificatamente ci preoccuperemo quasi esclusivamente delle istanze, e
proprio su di esse andremo a costruire le nostre prime operazioni.
Chiaramente le istanze sono insiemi finiti di records, varranno per esse i più
comuni operatori insiemistici, fino a che ci si mantenga nell’ambito del finito.
Potremo quindi parlare tranquillamente di unione, intersezione, differenza e,
se i dominî sono tutti finiti, di complementare.
Esempio 7 . Siano definiti i dominî: A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3},
C = {c1, c2} e D = {d1, d2}.
Vediamo il risultato degli operatori ∪, ∩, − (differenza) e ¬ (complementare),
applicati alle seguenti istanze (la rappresentazione delle istanze è quella proposta
nell’esempio 3 di pagina 11):
13

♦
J ∪ H =
J =
A B C
a1 b1 c1
a1 b1 c2
a2 b1 c1
a3 b1 c1
a1 b2 c2
A B C
a1 b1 c1
a1 b1 c2
a2 b1 c1
a3 b1 c1
J ∩ H =
H =
A B C
a1 b1 c1
A B C
a1 b1 c1
a1 b2 c2
J − H =
A B C
a1 b1 c2
a2 b1 c1
a3 b1 c1
¬J è composto invece dalle 14 possibili terne che non appartengono a J.
Continuiamo a considerare le istanze per quella che è la loro struttura:
elementi della potenza finita di un prodotto cartesiano. Il prodotto cartesiano
suggerisce immediatamente un altro semplice operatore insiemistico, quello
di proiezione.
Definizione 6 . Dato un record s sul prodotto cartesiano D1×D2×. . .×Dn
ed un dominio Di ∈ {D1, D2, . . ., Dn}, si definisce proiezione di s su Di
l’elemento di ∈ Di appartenente ad s, cioè l’i-esimo elemento di s. Scriveremo:
πDi (s[d1, . . .di−1, di, di+1, . . ., dn]) = di . ♦
In seguito useremo anche l’operatore inverso della proiezione:
π −1
Di : Di −→ P(D1 × D2 × . . . × Dn) .
Non è assolutamente detto che il risultato di questa funzione sia un’istanza,
anzi, se uno solo degli altri dominî, oltre a Di, ha cardinalità infinita, anche
il risultato di π −1
sarà un insieme infinito di records.
Di
Una volta definito un operatore dai records agli elementi dei dominî,
proseguiamo con uno da records a records.
Definizione 7 . Dato un record s sul prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . ×
Dn ed un insieme di dominî {Di1, Di2, . . .,Dim} ⊂ {D1, D2, . . .,Dn}, si
definisce proiezione di s su {Di1, Di2, . . .,Dim} il record:
14

π{Di ,Di ,...,Dim 1 2 } (s[d1, d2, . . .dn]) = s[πDi (s), πDi (s), . . .,πDim (s)] ∈
1 2
∈ Di1 × Di2 × . . . × Dim . ♦
Adesso possiamo definire un operatore fra istanze.
Definizione 8 . Data un’istanza I sul prodotto cartesiano D1 ×D2 ×. . . ×
Dn ed un insieme di dominî {Di1, Di2, . . .,Dim} ⊂ {D1, D2, . . .,Dn}, si
definisce proiezione di I su {Di1, Di2, . . .,Dim} l’istanza su Di1 × Di2 ×
. . . × Dim :
π{Di 1 ,Di 2 ,...,Dim } I = {π{Di 1 ,Di 2 ,...,Dim } (s); ∀s ∈ I} . ♦
Chiaramente il grado del risultato è inferiore o uguale a quello dell’istanza
originale.
Inoltre non è detto, per via di possibili ripetizioni, inammissibili in un insieme
non ordinato, che l’istanza risultante abbia la stessa cardinalità (lo stesso
numero di records) di quella originale.
Esempio 8 . Abbiamo già visto istanze, come gli elenchi del telefono, che
rappresentano lunghe liste di persone. Immaginiamone una (I) in cui fra
tanti dati relativi ad ogni individuo ci sia anche il sesso, avremo cioè un dominio:
Sesso = {M, F }.
Ora, per quanto esteso sia la nostra istanza, la nostra banca dati, e per
quante informazioni su migliaia di persone possa contenere, è chiaro che
una proiezione sul dominio avrà solo tre esiti possibili:
σSesso = {M, F } , ma anche σSesso = {M} o σSesso = {F } .
Ogni possibile risultato ci fornirà comunque un’informazione sull’istanza I,
ma è chiaro che, quale che sia la sua cardinalità, il risultato della proiezione
avrà solo 1 o 2 elementi. ♦
Un altro importante operatore l’abbiamo già visto in merito ai dominî, è
il prodotto cartesiano.
Per applicarlo alle istanze è comunque necessario un lieve adattamento. L’unica
differenza formale rispetto al già noto prodotto cartesiano è che, per i
nostri successivi scopi, i records dell’istanza risultante dovranno essere ancora
singoli records, e non coppie di records.
Definizione 9 . Date due istanze, I su D1 × D2 × . . . × Dn e J su
Di+1 × Di+2 × . . . × Dm, il loro prodotto cartesiano è definito:
I × J = {(d1, . . .,dn, dn+1, . . .,dm) ∈ D1 × . . . × Dn × Dn+1 × . . . ×
Dm | (d1, . . .,dn) ∈ I ∧ (dn+1, . . .,dm) ∈ J} . ♦
15

Esempio 9 . Riprendiamo le due istanze dell’esempio 7 per applicare loro
anche quest’ultimo operatore:
J × H =
A B C A B C
a1 b1 c1 a1 b1 c1
a1 b1 c1 a1 b2 c2
a1 b1 c2 a1 b1 c1
a1 b1 c2 a1 b2 c2
a2 b1 c1 a1 b1 c1
a2 b1 c1 a1 b2 c2
a3 b1 c1 a1 b1 c1
a3 b1 c1 a1 b2 c2
Il fatto che gli stessi dominî siano ripetuti non crea problemi, l’ordinamento
dei records elimina qualsiasi ambiguità. ♦
Concludiamo con un semplice risultato, che non necessita nemmeno una
dimostrazione, ma si rileverà utile quando estenderemo il prodotto cartesiano
ad un gran numero di istanze.
Proposizione 1 . Il prodotto cartesiano è associativo. ♦
4 . Vincoli.
Tralasciamo per un po’ records ed istanze per tornare a parlare genericamente
di insiemi. I risultati che otterremo saranno molto utili in seguito.
Definizione 10 . Vincolo n-ario V, su un insieme U, è una qualsiasi
funzione:
V : U −→ {0, . . ., n − 1} . ♦
I vincoli saranno contrassegnati dalle lettere V, V1, V2 . . .
16

Esempio 10 . Poniamo un problema banale, un vincolo di arietà 220
potrebbe dare, per ogni individuo la sua statura in centimetri.
Prendiamo un caso più attinente alla matematica, un vincolo n-ario può
contare gli elementi di tutti gli insiemi che hanno fino a n − 2 elementi:
V (U) = #(U) (cardinalità di U) se #(U) ≤ n − 2, n − 1 altrimenti.
Il vincolo appena proposto, se binario, si limiterà a riconoscere l’insieme
vuoto; se ternario distinguerà l’insieme vuoto e i singoletti.
Facciamo un ultimo esempio applicabile all’insieme N dei numeri naturali:
il resto modulo n è un vincolo n-ario. ♦
D’ora in poi, per tutto il seguito della trattazione, ad esclusione delle
considerazioni finali, ammetteremo solo vincoli binarî, cioè vincoli del tipo:
V : U −→ {0, 1} .
Li chiameremo semplicemente vincoli senza bisogno di specificare altro.
É chiaro come ogni vincolo V su U identifica il sottoinsieme di U:
A = {a ∈ U|V (a) = 1}
Allo stesso modo qualsiasi A ⊆ U identifica il vincolo:
V (a) =
1 se a ∈ A;
0 se a ∈ A.
Pertanto esiste una corrispondenza biunivoca fra i vincoli su di un insieme
U ed i suoi sottoinsiemi: scriveremo V A per indicare il vincolo corrispondente
al sottoinsieme A, ed AV per la corrispondenza inversa.
Indicheremo sempre i vincoli con le lettere maiuscole V , V1, V2, ...
Sarà possibile scrivere anche V[ϕ], laddove ϕ è la condizione che implica il
risultato 1.
Esempio 11 . In N, l’insieme dei numeri naturali, sono molte e note le
proprietà che ne possono caratterizzare un sottoinsieme:
essere divisibile per 2 è ad esempio un vincolo vero solo e soltanto per i numeri
pari;
essere divisibile solo per sé stesso ed 1 è il vincolo dell’insieme dei numeri
primi;
per finire con qualcosa di un po’ meno comune, essere la somma di tutti i
propri divisori è la proprietà che condizione l’insieme dei numeri perfetti.
Allo stesso modo, dato un sottoinsieme, esiste sempre un vincolo che lo identifica,
se non altro per l’appartenenza o meno al sottoinsieme in questione:
17

i quadrati perfetti sono tali se esiste un numero di cui sono quadrati,
ma è possibile anche prendere in considerazione tutti i numeri di un elenco
telefonico (ignorando gli 0 iniziali), in questo caso il vincolo corrispondente
si definisce per tautologia: essere scritto su quell’elenco. ♦
Nella definizione di vincolo l’insieme U è molto generico, questo ci permette
di adattarla agli specifici insiemi illustrati nel paragrafo precedente:
dominî, prodotto cartesiano di dominî, schemi.
Esempio 12 . Nell’esempio 5 di pagina 11 abbiamo visto come rappresentare
il Palio di una contrada con il record (scriviamo T per indicare
l’insieme (Q ∪ {null}) ):
8 volte
Contrade × T × . . . × T .
Inoltre abbiamo detto che il record può rappresentare un Palio solo se
gli otto tempi, rappresentati da numeri razionali appartenenti a Q, sono
progressivi o uguali a ”null” (se non è stato possibile il rilevamento o la
contrada non lo ha mai raggiunto).
Questa esigenza è naturalmente un vincolo, informalmente possiamo scrivere
anche, chiamando r i records e ti l’i-esima comparizione di un elemento del
dominio T :
V tempi (r) =
1 se ti = null ∨ ti ≥ ti−1, ∀ 2 ≤ i ≤ 8;
0 altrimenti. ♦
Definizione 11 . Selezione del vincolo V su un insieme U: è l’operatore
da P(U) in P(U) che associa, ad ogni sottoinsieme A ⊆ U, il sottoinsieme
di U: A ∩ AV . ♦
Ogni selezione è pertanto caratterizzata da un vincolo, e scriveremo SV
per indicare la selezione imposta dal vincolo V .
A ben vedere abbiamo definito anche un nuovo operatore unario sulle
istanze.
Definizione 12 . Data un’istanza I su D1 × D2 × . . . × Dn, un vincolo V
sui record di D1 × D2 × . . . × Dn, il sottoinsieme AV di D1 × D2 × . . . × Dn,
la selezione corrispondente a V è un operatore tale che:
σV (I) = I ∩ AV . ♦
18

La selezione è cosí un operatore unario su Pf(Di1 × Di2 × . . . × Din)
(definizione 4 a pagina 12), cioè da istanze ad istanze sullo stesso prodotto
cartesiano.
Il risultato di una selezione avrà sempre un numero di records minore od
uguale all’istanza originale. Avrà pertanto cardinalità finita e sarà anch’esso
un’istanza.
Naturalmente un altro modo di definire la selezione è:
σV (I) = {r ∈ I | V (r) = 1} .
Per le selezioni è banale la composizione: σV1 ◦ σV2. Essa non è infatti
altro che la normale composizione di funzioni.
Dalle proprietà dell’intersezione di insiemi deriva che la composizione di
selezioni è un operatore associativo e commutativo.
Esempio 13 . Riprendiamo la nostra istanza sul Palio di Agosto del 2001,
rappresentata con una tabella, cosí come l’abbiamo formalizzata negli esempi
5 e 12:
P =
Contrada T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8
Aquila 6, 4 12, 7 21, 7 38, 5 47, 5 64 null null
Chiocciola 6, 7 12, 3 20, 6 36 45, 5 62 null null
Civetta 6, 8 13, 1 21, 3 36, 6 46, 5 63 null null
Drago 7 12, 1 20 35 44 60 70 75
Giraffa 6, 5 12, 6 20, 7 35, 8 45 61 71, 5 null
Istrice 6 12 20, 3 35, 3 44, 5 60, 5 71 null
Montone 7, 4 13, 2 22 37, 5 48 64, 5 null null
Nicchio 6, 3 12, 8 21, 5 38 48, 5 65, 5 null null
Tartuca 7, 1 13, 5 22, 3 37 46 62, 5 null null
Torre 6, 9 12, 5 21, 1 36, 5 47 65 null null
Ipotizziamo tre possibili selezioni su P, derivanti da altrettanti vincoli
(chiamiamo r i records, ti i tempi):
σV1 con V1(r) =
σV2 con V2(r) =
σV3 con V3(r) =
1 se t2 ≤ 13;
0 altrimenti.
1 se t7 = null;
0 altrimenti.
1 se (t2 − t1) ≤ 6;
0 altrimenti.
19

Abbiamo trattato con disinvoltura gli elementi dei dominî, ed è chiaro che
le operazioni possibili dipendono dalle loro caratteristiche intrinsiche.
É comunque evidente che la composizione delle tre selezioni darà il solito
risultato con qualsiasi ordine di precedenza di un vincolo rispetto all’altro.
Si verifica facilmente che il risultato di (σV1 ◦ σV2 ◦ σV3) applicato a P è
l’istanza formata dai due records che descrivono la corsa di Drago e Giraffa.
♦
Nonostante la grande analogia fra selezioni e vincoli, per questi ultimi
non è altrettanto intuitiva la definizione di composizione.
Infatti per poter comporre vincoli è necessario stabilire le possibili operazioni
fra di essi.
I vincoli sono applicabili a qualsiasi insieme, sono cioè funzioni su qualsiasi
dominio, ma hanno sempre lo stesso codominio (nei limiti che ci siamo imposti):
l’insieme di due elementi {0, 1}.
Parlare di composizione di vincoli equivale a parlare di operatori sul loro
codominio. Data la limitatezza di quest’ultimo è facile restringere la cernita
a tutti i casi possibili.
Cominceremo dal caso generale (operatori n-arî su {0, 1}) per restringerci
poi ai casi di interesse pratico (operatori unarî e binarî).
Definizione 13 . Sia ◦ un’operazione n-aria su {0, 1}, V1, V2, . . .,Vn vincoli
su di uno stesso insieme U (con generico elemento u), chiameremo composizione
di vincoli rispetto a ◦ il vincolo ◦(V1, V2, . . .,Vn) tale che:
◦(V1, V2, . . .,Vn) (u) = ◦(V1(u), V2(u), . . ., Vn(u)) , ∀ u ∈ U . ♦
Esempio 14 . Immaginiamo un insieme A sul quale siano definiti tre
vincoli distinti, V1, V2 e V3, ed il seguente operatore ternario su {0, 1} :
∀ a, b, c ∈ {0, 1}, = ◦ (a, b, c) =
1 se a = b = c;
0 altrimenti.
Questo operatore, applicato a V1, V2 e V3, darà 1 se e solo se danno
originariamente tutti e tre 1 o tutti e tre 0. ♦
Come anticipato in seguito ci occuperemo esclusivamente di operatori
unarî (in questo paragrafo) e binarî (approfonditamente nel prossimo).
Le operazioni unarie su {0, 1} sono tutte quelle del tipo:
◦
0 (◦0)
1 (◦1)
20

I casi possibili sono quattro: l’identità, i due operatori fissi che vanno a
0 e ad 1, e la negazione. In simboli: id ◦, 0 ◦, 1 ◦ e ¬ ◦ .
Definizione 14 Per ogni vincolo V : U −→ {0, 1}, chiameremo ¬ ◦ (V ) il
vincolo opposto di V . ♦
Sarà possibile scrivere ¬V per ¬ ◦ (V ).
Gli operatori binarî saranno oggetto del prossimo paragrafo, per ora limitiamoci
a vedere con un esempio quella composizione di vincoli che corrisponde
alla composizione di selezioni.
Esempio 15 . Abbiamo definito la composizione di selezioni come la normale
composizione di funzioni.
Consideriamo i vincoli, la composizione di vincoli più ovvia è quella che
mantiene la corrispondenza con le selezioni.
É chiaro come ad ogni selezioni si associ un vincolo. Il risultato di una
sovrapposizione di selezioni è dato da quegli elementi che soddisfano tutti i
vincoli, per i quali cioè ogni vincolo ha per risultato 1.
Il vincolo composto è uguale a 1 se e solo se tutti i vincoli considerati danno
1, abbiamo a che fare con il normale quantificatore logico universale: ∀.
L’operatore binario corrispondente (commutativo e associativo) è il normale
prodotto aritmetico: il risultato è 1 se e solo se nessun fattore è uguale a 0.
Vedremo in seguito come questo non sia comunque l’unico operatore possibile,
nè l’unico utile. ♦
Continuiamo la nostra analisi dei vincoli, nel tentativo di applicarli con
la maggiore accuratezza possibile agli elementi algebrici che abbiamo definito
(records e istanze).
Per cominciare cercheremo di vedere come sia possibile derivare un vincolo
dal codominio di una funzione al suo dominio.
Definizione 15 . Siano X e Y due insiemi, V : X −→ {0, 1} un vincolo
e f : Y −→ X una funzione. Chiameremo vincolo derivato di V tramite
f il vincolo (in questo caso ◦ è la classica composizione di funzioni):
δf(V ) = V ◦ f : Y −→ {0, 1} . ♦
Naturalmente il vincolo derivato è esso stesso un vincolo.
La definizione 15 ci interessa soprattutto per la sua applicazione all’unico
operatore che abbiamo citato da dominî a insiemi di records: la funzione
inversa della proiezione (pagina 14).
21

Definizione 16 . Dato un prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn ed
(V ), e lo
un vincolo V su un suo dominio Di, scriveremo δ×(V ) per δ π −1
D i
chiameremo vincolo derivato sul prodotto cartesiano. ♦
Esempio 16 . Nell’esempio 13 di pagina 19 avevamo la nostra istanza sul
Palio e tre selezioni derivanti da tre vincoli sui records:
V1(r) =
1 se t2 ≤ 13;
0 altrimenti.
e V3(r) =
, V2(r) =
1 se (t2 − t1) ≤ 6;
0 altrimenti.
1 se t7 = null;
0 altrimenti.
Di questi i primi due derivano chiaramente sul prodotto cartesiano, è
facile riconoscere i vincoli originali sui dominî T2 e T7.
V3 invece non è derivabile da alcun vincolo su di un singolo dominio, in
quanto coinvolge, con un operatore binario (la differenza, operatore possibile
fra gli elementi di Q), due dominî distinti (anche se sono lo stesso insieme).
♦
Chiudiamo il paragrafo con una considerazione. La logica dei predicati
è una teoria applicata comunemente all’informatica e per molti versi si può
adattare anche ai vincoli.
I predicati (come nella logica classica) sono affermazione con due possibili
valori di verità, vero o falso, a seconda del soggetto loro attribuito.
Per i predicati, come per gli operatori, si parla poi di arietà a seconda del
numero di elementi a cui si riferiscono.
Chiaramente il predicato corrispondente ad un vincolo derivato sul prodotto
cartesiano è un predicato unario, per forza di cose coinvolgerà solo l’unico
elemento del dominio da cui il vincolo deriva.
É possibile inoltre comporre i predicati per mezzo di connettivi, questi
non sono altro che i comuni simboli di negazione, congiunzione e disgiunzione:
¬, ∧, ∨ .
Si parla di formule quando, tramite i connettivi, si compongono varî predicati,
cosí da ottenerne nuove affermazione, più articolate, ma sempre vere o
false a seconda degli elementi cui si riferiscono.
Esempio 17 . Riprendiamo i tre vincoli sul Palio (esempio 16), ad ognuno
corrisponde un predicato, che è poi quello corrispondente al risultato
1, chiamiamoli P1 (t2 ≤ 13), P2 (t7 = null) e P3 ((t2 − t1) ≤ 6).
22
.

Nell’esempio 13 abbiamo composto le selezioni corrispondenti in un’unica selezione.
Qual è la formula del vincolo relativo?
La formula sarà quella che compone col connettivo di congiunzione i tre
predicati: P1 ∧ P2 ∧ P3 . ♦
Dai connettivi discendono poi i quantificatori: quello universale (∀) da
∧, e quello esistenziale (∃) da ∨.
Nel prossimo paragrafo approfondiremo l’argomento, troveremo nuovi quantificatori
e cercheremo di ampliare le possibilità offerte dalla logica dei predicati
classica.
5 . Operatori binarî su {0, 1} e quantificatori.
Immaginiamo un vincolo su di un ipotetico insieme U, è possibile estenderlo
ad un vincolo sulla sua potenza finita Pf(U) cosí come abbiamo derivato i
vincoli da un singolo dominio ad un prodotto cartesiano?
Il metodo più intuitivo potrebbe essere, chiamando Vu il vincolo originale:
{ A ∈ Pf(U) | V (A) = 1} = { A ∈ Pf(U) | ∀ a ∈ A, Vu(a) = 1}.
Però potrebbe essere altrettanto valida un’altra soluzione, che modifica il
quantificatore:
{ A ∈ Pf(U) | V (A) = 1} = { A ∈ Pf(U) | ∃ a ∈ A t.c. Vu(a) = 1}.
Esempio 18 . Cerchiamo di applicare ad un caso un po’ banale il problema
appena posto.
Immaginiamo un gruppo di amici (l’insieme U il cui generico elemento chiameremo
con la lettera u), desiderosi di compiere un viaggio ma indecisi sul
mezzo di trasporto.
Ammettiamo che decidano di usare delle biciclette, in questo caso avremo un
vincolo sui singoli individui: Vu(u) = 1 se e solo se u sa andare in bicicletta.
É chiaro che il vincolo V esteso ad U ( V (U) = 1 se e solo se il viaggio è
possibile) è del tipo:
V (U) = 1 se e solo se ∀ u ∈ U, Vu(u) = 1.
Ammettiamo che invece decidano di affittare un autobus capace di contenerli
23

tutti, in questo caso Vu(u) = 1 se e solo se u sa guidare un autobus. Il vincolo
che decide sulla possibilità del viaggio sarà:
V(U) = 1 se e solo se ∃ u ∈ U, Vu(u) = 1. ♦
É lecito preferire un tipo di derivazione del vincolo sulla potenza? Ce ne
sono altri oltre a quelli visti finora?
In realtà, a seconda delle necessità, potrebbero essere accettabili entrambe
quelli viste, e ne potremmo richiedere di nuove.
Esempio 19 . Riprendiamo gli amici dell’esempio 18, ammettiamo che
abbiano deciso di usare delle motociclette. In questo caso, per ogni persona
che non sa guidare la moto ne sarà necessaria un’altra che ne sia capace e
possa accogliere un passeggero. Il vincolo sui singoli è sempre Vu(u) = 1 se e
solo se u sa guidare la moto. Il vincolo esteso dovrebbe essere (il simbolo #
sta ad indicare la cardinalità di un insieme, il numero dei suoi elementi):
V (U) = 1 se e solo se #({u | Vu(u) = 1}) ≥ #({u | Vu(u) = 0}). ♦
Per rispondere a queste domande sarà necessario aprire un’ampia parentesi
ed analizzare più accuratamente le caratteristiche della funzione che
abbiamo chiamato ”vincolo”.
Per passare da una funzione su di un singolo elemento (il vincolo su U) ad
una funzione su insiemi finiti (il vincolo su Pf(U) ) si può definire un operatore
fra gli elementi del codominio della funzione (nel nostro caso l’insieme
{0, 1}).
Abbiamo scelto fin dall’inizio (pagina 16) di considerare solo vincoli binarî,
ma anche in questo caso non sono poche le operazioni binarie fra i due elementi
0 e 1.
Un operatore binario su di un insieme U è una funzione: U × U −→ U.
{0, 1} ha cardinalità 2 e, per definire un operatore, chiamiamolo genericamente
◦, basterà riempire con i dovuti risultati una tabella 2 × 2:
0 1
0 (0 ◦ 0) (0 ◦ 1)
1 (1 ◦ 0) (1 ◦ 1)
Una volta cosí definito l’operatore, la giusta scrittura (informale) di estensione
per un vincolo sarà:
∀A ∈ P(U), V (A) = a1 ◦ a2 ◦ . . . ; ∀ ai ∈ A .
24

Per ora la definizione è solo intuitiva (non considera la finitezza di A, il
suo mancato ordinamento, né l’eventualità che sia vuoto), ma vediamo come
può funzionare.
Esempio 20 . Immaginiamo di avere un vincolo V sull’insieme U, ed un
sottoinsieme A ⊆ U, vogliamo un operatore da cui derivi un vincolo che dia
1 se e solo se V (a) = 1 ∀ a ∈ A. É questo il caso dell’operatore:
0 1
0 0 0
1 0 1
Non appena incontrerà un elemento per cui V dia risultato 0, il risultato
delle operazioni sarà irrimediabilmente 0. ♦
Esempio 21 Come sopra, solo che il vincolo su A deve dare 1 se ∃ a ∈ A
tale che V (a) = 1 :
0 1
0 0 1
1 1 1
Il risultato delle operazioni sarà 0 solo se per nessun elemento di A avremo
V (a) = 1. ♦
É bene approfondire l’argomento in merito ai possibili operatori binarî
sull’insieme {0, 1}.
Si è già visto come costruirli ed è subito evidente che in tutto potremo avere
solo 2 4 possibilità di permutazioni. Scriviamole tutte, indicandole per ora solo
con numeri romani e riservandoci di analizzarne le proprietà in un secondo
momento.
Definizione 17 . Definiamo tutti i possibili operatori binarî sull’insieme
{0, 1}:
I
◦ =
0 1
0 0 0
1 0 0
II
◦ =
0 1
0 0 0
1 0 1
25
III
◦ =
0 1
0 0 0
1 1 0
IV ◦ =
0 1
0 0 0
1 1 1

V ◦ =
IX ◦ =
XIII
◦ =
♦
0 1
0 0 1
1 0 0
0 1
0 1 0
1 0 0
0 1
0 1 1
1 0 0
V I
◦ =
X ◦ =
XIV
◦ =
0 1
0 0 1
1 0 1
0 1
0 1 0
1 0 1
0 1
0 1 1
1 0 1
V II
◦ =
XI
◦ =
XV
◦ =
0 1
0 0 1
1 1 0
0 1
0 1 0
1 1 0
0 1
0 1 1
1 1 0
V III
◦ =
XII
◦ =
XV I
◦ =
0 1
0 0 1
1 1 1
0 1
0 1 0
1 1 1
0 1
0 1 1
1 1 1
A questo punto, una volta scritta la sfilza di tutte le possibilità, cerchiamo
di applicare a questi operatori le normali regole algebriche, e di introdurne
una nuova, che sarà utile ai nostri scopi.
Perché sia rispettata la proprietà commutativa (a ◦b = b ◦a) è necessario che
0 ◦ 1 sia uguale a 1 ◦ 0, si vede subito che questo è il caso solo della metà dei
nostri 16 operatori: quelli relativi a matrici simmetriche.
Un’altra proprietà abbastanza facile da verificare è l’esistenza o meno di un
elemento neutro (∃ e t.c. a ◦ e = a, e ◦ a = a). Questo corrisponde a matrici
simmetriche che abbiano una riga uguale a (0, 1): due operatori ( II
◦ e X ◦)
hanno 1 come elemento neutro, e due (
V II
◦ e
V III
◦ ) hanno 0.
L’elemento neutro può essere anche solo sinistro o destro (sinistro: ∃ e t.c.
e ◦ a = a; destro: ∃ e t.c. a ◦ e = a).
Per i nostri scopi successivi saranno importanti soprattutto gli elementi neu-
tri sinistri, riconoscibili nella matrice per una riga uguale a (0, 1).
Hanno questo particolare elemento altri tre operatori: V ◦ (0), XIV
◦ (1), e
che ne ha addirittura due.
É più difficile invece verificare la proprietà associativa ((a◦b)◦c = a◦(b◦c)),
ma con un po’ di pazienza si può vedere che sono solo sei operatori a non
soddisfare questa proprietà: III
◦ , V ◦, IX ◦ , XII
◦ , XIV
◦ e XV
◦ .
Per come avevamo presentato, informalmente, la sequenza di operazioni
da effettuare su tutti gli elementi di un insieme, si può pensare che siano
accettabili solo le operazioni commutative ed associative (sono solo sei): I ◦,
26
V I
◦ ,

II V II V III
◦, ◦ ,
◦ , X ◦ e
XV I
◦ .
In realtà si può essere molto meno restrittivi, cominciando col definire una
nuova proprietà:
Definizione 18 . Un operatore binario ◦ su di un insieme A si definisce
semi-associativo se:
∀a, b, c ∈ A (a ◦ b) ◦ c = (a ◦ c) ◦ b . ♦
Vediamo l’utilità di questa proprietà.
Proposizione 2 . Sia dato un operatore binario semi-associativo ◦ su di
un insieme A, e una formula del tipo:
(a0 ◦ a1) ◦ a2) ◦ . . . ◦)an) , con a1, . . .an ∈ A.
Allora per ogni permutazione σ : {1, 2, . . ., n} −→ {σ(1), σ(2), . . ., σ(n)} :
(a0 ◦ a1) ◦ a2) ◦ . . . ◦)an) = (a0 ◦ aσ(1)) ◦ aσ(2)) ◦ . . . ◦)aσ(n))
Dimostrazione - Ogni permutazione deriva da permutazioni semplici,
è sufficiente verificare che, ∀i ∈ {1, 2, . . ., n − 1} :
(a0 ◦ a1) ◦ . . .) ◦ ai−1) ◦ ai) ◦ ai+1) ◦ . . .) ◦ an =
(a0 ◦ a1) ◦ . . .) ◦ ai−1) ◦ ai+1) ◦ ai) ◦ . . .) ◦ an .
E questo è vero proprio per la semi-associatività. ♦
Grazie a questo risultato, quindi, un operatore semi-associativo può essere
applicato ad un insieme disordinato (ma finito) di elementi, senza possibilità
di alterare il risultato a seconda di come gli sono proposti gli operandi, ad
eccezione del primo.
D’ora in poi scriveremo a0 ◦ (a1 ◦ a2 ◦ . . . ◦ an) , intendendo di poter svolgere
le operazioni fra parentesi in un ordine qualsiasi.
Proposizione 3 . Un operatore commutativo e associativo è anche semiassociativo.
♦
Dimostrazione - (a◦b)◦c ass.
= a◦(b◦c) comm.
= a◦(c◦b) ass.
= (a◦c)◦b .
Proposizione 4 . Un operatore commutativo e semi-associativo è anche
associativo.
♦
Dimostrazione - (a◦b)◦c comm.
= (b◦a)◦c semi
= (b◦c)◦a comm.
= a◦(b◦c) .
27

Proposizione 5 . Se ◦ ha elemento neutro sinistro ed è semi-associativo,
allora è anche commutativo e associativo.
Dimostrazione - Sia e l’elemento neutro sinistro:
(a ◦ b) = ((e ◦ a) ◦ b) = ((e ◦ b) ◦ a) = (b ◦ a) . Quindi ◦ è commutativo, ed è
associativo per la 4. ♦
A questo punto possiamo definire rigorosamente come passare da un
vincolo su di un insieme U ad un vincolo sulla sua potenza.
Definizione 19 . Dato un insieme U e un vincolo V : U → {0, 1} ,
chiamiamo quantificatore Q ogni coppia (b, ◦), con b ∈ {0, 1}, e ◦ un
operatore semi-associativo.
Si definisce poi vincolo quantificato sulla potenza finita, rispetto
a ◦, il vincolo su Pf(U):
QPf(b,◦) V (A) = b ◦ a∈A
○ V (a) . ♦
L’elemento b all’inizio dell’espressione (che sarà 0 o 1) serve ad affrontare
l’insieme vuoto.
La proposizione 2 permette di considerare ininfluente l’ordine con cui gli elementi
di A verranno sottoposti all’operatore.
A questo punto vediamo quali sono gli operatori semi-associativi fra tutti i
sedici possibili.
Con la pazienza di effettuare qualche conto se ne scoprono dieci, vediamoli
uno per uno, commentando anche il risultato della loro applicazione alla
derivazione di vincoli, a seconda che si inizi con 1 o con 0.
D’ora in poi daremo per scontata l’applicazione di un vincolo V ad un insieme
finito A, chiameremo ”1” o ”0” gli elementi di A a seconda dell’esito del
vincolo su di loro.
Un’osservazione: adotteremo nuovi simboli per indicare i possibili quantificatori,
useremo lo stesso simbolo per quantificatori diversi che diano però
lo stesso risultato per qualsiasi insieme finito e qualsiasi vincolo.
Vediamo, uno per uno, tutti gli operatori semi-associativi ed i possibili quantificatori
su di essi.
I
◦ =
0 1
0 0 0
1 0 0
Iniziando con 0 l’operatore è banale, lo indicheremo con Q0.
Cominciando invece con un ”1”, il quantificatore è equivalente alla domanda:
28

A è vuoto?
Scriveremo: Q∅ per Q Pf(1 I ◦) .
II
◦ =
0 1
0 0 0
1 0 1
Si tratta della normale moltiplicazione aritmetica.
Inizializzato con ”1” equivale al quantificatore logico ∀: Q∀ per Q Pf(1 II ◦ ) .
Se inizializzato con ”0” è il già noto e banale Q0.
III
◦ =
0 1
0 0 0
1 1 0
Partendo con ”0” è Q0.
Iniziando con ”1” equivale a ∃: Q∃ per Q Pf(1 III
◦ ) .
IV ◦ =
0 1
0 0 0
1 1 1
Questo operatore equivale all’identità del primo operando. Il quantificatore
derivato sarà sempre uguale all’elemento scelto come inizializzatore: Q0
per Q Pf(0 IV ◦ ) e Q1 per Q Pf(1 IV ◦ ) .
V II
◦ =
0 1
0 0 1
1 1 0
Questo operatore è la somma modulo 2. Cominciando con ”1” risponde
alla richiesta: gli ”1” sono in numero pari? Q1 per Q V II
Pf(1 ◦ ) .
Cominciando con ”0”: gli ”1” sono in numero dispari? Q|1 per Q V II
Pf(0 ◦ ) .
V III
◦ =
0 1
0 0 1
1 1 1
Ci troviamo di fronte al classico quantificatore logico ∃, se inizializzato
con ”0”: Q∃ per Q V III
Pf(0 ◦ ) .
Cominciando con ”1” abbiamo il quantificatore banale Q1 .
29

X ◦ =
0 1
0 1 0
1 0 1
V II
Qui vale il discorso fatto per ◦ in merito agli ”1”, solo che valuta parità
o disparità degli ”0”. Scriveremo: Q0 per Q
Pf(1 X ◦) e Q|0 per Q V II
Pf(0 ◦ ) .
XII
◦ =
0 1
0 1 0
1 1 1
É simile a III
◦ , inizializzato con ”1” è banale ed è Q1 .
Cominciando con ”0” invece diventa: ( ∃ ∧ = ∅). Q∃¬∅ per Q Pf(0 XII
◦ ) .
Quest’ultimo quantificatore è utile per evitare alcuni paradossi logici (vedi
l’esempio 23 nella prossima pagina).
XIII
◦ =
0 1
0 1 1
1 0 0
Questo operatore è equivalente alla negazione ( ¬ ) del primo operando.
V II
In realtà può avere la stessa utilità di ◦ e X ◦, che contavano la parità o la
disparità di ”1” e ”0”, solo che qui il conteggio avviene su tutti gli elementi
dell’insieme.
Inizializzato a ”1” risponde alla domanda: A ha cardinalità pari? Q per
Q
Pf(1 XIII
◦ ) .
Inizializzato a ”0”: A ha cardinalità dispari? Q| per Q
Pf(0 XIII
◦ ) .
XV I
◦ =
0 1
0 1 1
1 1 1
Quest’ultimo caso si rifà al primo, può sembrare banale (iniziando con 1
si ha Q1, ma cominciando con ”0” ci dice se l’insieme è diverso dal vuoto.
Scriveremo: Q¬∅ per Q XIV .
P0 ◦
Cosí, grazie a questo elenco ed alla definizione 19, abbiamo trovato in
tutto 14 modi algebrici per derivare un vincolo su di un insieme alla potenza
di quello stesso insieme:
Q∅ , Q∀ , Q∃ , Q1 , Q|1 , Q∃ , Q0 , Q|0 , Q∃¬∅ , Q , Q| e Q¬∅ , oltre ai
banali Q0 e Q1 .
30

Esempio 22 . Diventa immediato applicare la definizione 19 di pagina 28
ad un qualsiasi sottoinsieme finito, e con uno qualsiasi dei nostri quantificatori.
Immaginiamo di avere l’insieme A = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8} ed il vincolo su A:
V (a) = 1 se a è un numero primo, V (a) = 0 altrimenti. Vogliamo vedere se
i numeri primi di A sono in numero pari.
Adotteremo su V il quantificatore Q1:
V (6)
V II
◦ V (1)
V II V II
◦ V (7) ◦ V (8) =
Q1 V (A) = 1
= (1
= (1
= (0
= (1
= (0
V II
◦ V (2)
V II
◦ V (3)
V II V II V II V II V II V II V II V II
◦ 0) ◦ 1 ◦ 1 ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 =
V II V II V II V II V II V II V II
◦ 1) ◦ 1 ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 =
V II V II V II V II V II V II
◦ 1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 =
V II
◦ V (4)
V II
◦ V (5)
V II V II V II V II V II V II V II V II V II
◦ 0) ◦ 1 ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 = (1 ◦ 1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 =
V II V II V II V II V II V II
◦ 0) ◦ 1 ◦ 0 = (0 ◦ 1) ◦ 0 = 1 ◦ 0 = 1 .
I numeri primi di A sono in numero pari. L’ordine con cui abbiamo
disposto gli elementi di A è ininfluente ai fini del risultato. ♦
Esempio 23 . Vediamo un caso in cui è preferibile il quantificatore Q∃¬∅
rispetto al più consueto Q∃ .
Immaginiamo di avere un’istanza I che riassuma tutti i rigori concessi in un
dato campionato di calcio. L’istanza è sul prodotto cartesiano:
Giocatore × Squadra × Squadra × Minuto × Esito .
Giocatore è l’insieme di tutti i calciatori di tutte le squadre.
Squadra è l’insieme di tutte le squadre, alla seconda riassume tutte le possibili
partite del campionato.
Minuto è il minuto in cui la massima punizione è stata concessa.
Esito comprende le varie possibilità: Goal, Parata, Palo, Fuori.
Adesso vogliamo vedere se un dato calciatore è, o meno, un rigorista infallibile.
Dovremo dapprima fare una selezione sull’istanza con il nome (X) del
nostro uomo: σ (Giocatore=X) (I) .
Poi a questa nuova istanza potremo derivare il semplice vincolo sui records:
V (Esito=Goal)) . Salteranno fuori tutti coloro che non hanno mai sbagliato
la massima punizione.
31
V II
◦

Se però, per la derivazione, usassimo semplicemente Q∃ risulterebbero ”rigoristi
infallibili” anche tutti i giocatori che non ne hanno mai tirato uno.
L’unico modo perché il vincolo funzioni solo per chi ha calciato almeno un
rigore è la derivazione del vincolo originale per mezzo di Q∃¬∅. ♦
Si può notare un’altra particolarità, quasi ogni derivazione ha la sua inversa
(vale a dire la derivazione che dà ”0” tutte le volte che nella prima si
ha ”1”, e viceversa): Q0 è chiaramente l’inversa di Q1, Q∅ di Q¬∅, cosí come
Q∃ di Q∃, e lo stesso dicasi per le sei che valutano parità o disparità.
Rimangono escluse due derivazioni (Q∀ e Q∃¬∅) per le quali non esiste una
negazione.
In realtà alcuni di questi quantificatori presentano caratteristiche che
li rendono poco pratici in alcune circostanze. Esistono alcune condizioni
aggiuntive che possono limitare il numero dei quantificatori.
Definizione 20 . Un quantificatore Q è coerente se per ogni vincolo V
e per ogni singoletto {a} si ha:
(Q V )({a}) = V (a) . ♦
Esempio 24 . Non è poi tanto strano che certi quantificatori si comportino
diversamente coi singoletti rispetto al vincolo da cui derivano.
Alcuni quantificatori si disinteressano completamente di quale sia l’elemento
del singoletto, si comportano allo stesso modo con qualsiasi insieme di cardinalità
1. Oltre a quelli banali, fra questi c’è Q∅ , e chiaramente i due che
considerano se l’insieme ha cardinalità pari o dispari.
Altri sono esattamente ”anti-coerenti”, nel senso che se il vincolo dà 1 sull’elemento
del singoletto, il quantificatore darà 0, e viceversa. Questi sono
Q∃ e Q∃¬∅ .
Q , Q| , Q0 e Q1 non sono coerenti e si comportano con i singoletti secondo
le loro particolari caratteristiche. ♦
Si vede come un quantificatore Q(b, ◦) è coerente se e solo se ◦ possiede
un elemento neutro sinistro e questo è b.
Infatti deve valere b ◦ V (a) = V (a) sia che V (a) sia 1 o 0.
Proposizione 6 . Esistono solo quattro quantificatori coerenti: Q∃ , Q∀ ,
Q|0 e Q|1 . ♦
Definizione 21 . Un quantificatore Q è universale se, comunque preso
un vincolo V su X, una funzione f : Y −→ X, ed un sottoinsieme finito
A ∈ Pf(Y ), si ha:
(Q V )( {f(a), ∀a ∈ A} ) = (Q Vf)( A ) ,
laddove Vf è il chiaro vincolo su Y indotto da f . ♦
32

Esempio 25 . Riprendiamo la definizione 16 di pagina 22, quella che deriva
i vincoli dai singoli dominî ad un intero record.
Immaginiamo di avere un’istanza I su un prodotto cartesiano in cui compaia
come dominio l’insieme N dei numeri naturali. Sui records di I possiamo
derivare il vincolo su N: V1(n) = 1 se n = 1, altrimenti V1(n) = 0 .
Immaginiamo che (Q1 δ×V1)(I) = 1, cioè che i records in cui l’elemento di
D sia un 1 sono in numero pari, e che ce ne siano effettivamente almeno
due.
La proiezione πD(I) darà un sottoinsieme dei numeri naturali in cui il numero
1 comparirà una ed una sola volta. Cioè (Q1 V1)(πD(I)) = 0.
Q1 non è un quantificatore universale. ♦
Proposizione 7 . Gli unici quantificatori non universali sono: Q , Q| ,
Q0 , Q|0 , Q1 e Q|1 . ♦
Cosí, fra tutti i quantificatori derivanti da operatori binarî, gli unici coerenti
ed universali sono Q∃ e Q∀ .
In base alla definizione 19, per la natura degli operatori binarî, i quantificatori
si adattano benissimo ad essere interpretati come algoritmi dalle macchine
calcolatrici. Il computer si limiterà a prendere uno per uno gli elementi
dell’insieme da analizzare, applicando le regole dell’operatore in questione.
C’è però un caso in cui le cose si fanno ancora più semplici.
Definizione 22 . Dato un operatore ◦ su un insieme X, diremo che d ∈ X
è un elemento finale di ◦ se d ◦ x = d , ∀x ∈ X , ♦
Esempio 26 . Un ”elemento finale” può essere molto utile per snellire
l’esecuzione di un algoritmo che calcoli un quantificatore.
Dovendo ad esempio riconoscere se un insieme è vuoto o meno ci si può
sempre fermare subito, al primo elemento.
Anche i comuni quantificatori ∀ ed ∃ possono fornire la soluzione non appena
trovano uno 0 (il primo) o un 1 (il secondo). ♦
Quando in un insieme A c’è un elemento finale d, un algoritmo per la
determinazione di Q V (A) può essere troncato non appena incontra d.
Nella matrice dell’operatore un elemento finale sarà riconoscibile per avere
una riga di elementi tutti uguali a sé stesso.
Anche qui, fra i quantificatori binarî non banali, gli unici a non avere un
elemento finale sono gli stessi che non sono universali: quelli che valutano
parità e disparità.
33

Cambiamo argomento per vedere come sia possibile costruire ”algoritmi”
più complessi.
Premettiamo innanzitutto la constatazione, fin qui sottintesa, che un vincolo
applicato ad un elemento, cosí come un quantificatore di un vincolo su un
insieme, sono entrambi predicati logici.
Nella definizione 13 di pagina 20 avevamo considerato la composizione di
predicati per mezzo di generici operatori n-arî. Allo stesso modo sarà possibile
comporre i vincoli ed i vincoli quantificati.
A questo scopo saranno molto utili i nostri 14 operatori binarî: I ◦ , II
◦ , . . . e
XV I
◦ .
É possibile quindi costruire formule complesse con i predicati (siano essi
vincoli, come in questo paragrafo, o predicati sui records, come nel precedente)
dando pari dignità a tutti gli operatori binarî.
Useremo le lettere greche (ϕ, ψ, . . .) per indicare le formule.
Esempio 27 . Solitamente gli unici connettivi logici ammessi nella costruzione
di formule sono i classici ∧, ∨ e ¬. I primi due sono equivalenti agli operatori
II V III
◦ e ◦ , la negazione invece è formalmente un operatore unario, ma
esistono due operatori che equivalgono alla negazione del primo o del secondo
XIII
XI
operando: P1 ◦ P2 = ¬P1 mentre P1 ◦ P2 = ¬P2.
In questo modo è facile trasformare qualsiasi tipo di formula con connettivi:
(P1 ∨ P2) ∧ ¬P3 equivale a (P1
V III
◦ P2) II XIII
◦ (P3 ◦ 1) . ♦
Esempio 28 . Nell’esempio precedente abbiamo citato solo quattro dei
nostri quattordici possibili operatori, tanto da far sembrare inutili tutti gli
altri, non è cosí.
V II
L’operatore ◦ equivale al drastico AUT AUT latino, è vero se solo uno
dei due operandi è vero, con i normali connettivi la sua scrittura non è cosí
V II
semplice: P1 ◦ P2 = (P1 ∧ ¬P2) ∨ (P2 ∧ ¬P1) .
Proponiamo un altro caso significativo, scrivere P1 =⇒ P2 è equivalente a
porre ¬(¬P2 ∧ P1); cioè non può essere che P1 = 1 mentre P2 = 0, tutti
gli altri casi vanno bene. Questa esigenza è soddisfatta dall’operatore XIV
◦ :
XIV
(P1 =⇒ P2) = (P1 ◦ P2) .
Questi due casi per evidenziare come in realtà quasi ogni operatore abbia una
sua precisa utilità. ♦
Concludiamo il paragrafo con una constatazione.
34

Proposizione 8 . Nell’esempio 19 di pagina 24 avevamo proposto un
vincolo derivato sulla potenza che desse 1 se la maggioranza degli elementi
dava 1 con il vincolo originale. Non esiste un operatore binario che possa
risolvere questo vincolo per derivazione sulla potenza.
Dimostrazione - Ammettiamo che esista (chiamiamo la sua derivazione
Q?). Chiamiamo V il vincolo originale e immaginiamo di avere un sottoinsieme
A con gli ”1” che superano di più di una unità gli ”0”, avremo
Q?(A) = 1.
Prendiamo due nuovi insiemi: A a cui si è aggiunto uno ”0” (chiamiamo il
nuovo insieme A0), ed A con un ”1” (A1), se Q? funziona, avremo sempre
Q?(A0) = 1 e Q?(A0) = 0 , cioè:
Q? V (A0) = b ? ◦ (
a∈A
?
e Q? V (A1) = b ? ◦ (
○ V (a) ) ? ◦ 0 = 1 ? ◦ 0 = 1 ,
a∈A
?
○ V (a) ) ? ◦ 1 = 1 ? ◦ 1 = 1 .
Allora 1 è un elemento finale di ? ◦ . Potremo aggiungere ad A un numero
indefinito di ”0” senza alterare il risultato di Q?. Assurdo! ♦
6 . Vincoli sulle istanze.
A questo punto, una volta introdotti i vincoli e tutte le loro possibili derivazioni
ed estensioni, possiamo tornare specificatamente ai dominî, ai records ed alle
istanze.
In particolare, per cominciare, riprenderemo le due definizioni sulla derivazione
e la quantificazione dei vincoli (la 16 di pagina 22, e la 19 di pagina 28) per
vedere come sia possibile passare da un vincolo su di un singolo dominio, ad
un vincolo su di un’intera istanza.
Definizione 23 . Dati: un dominio Di ∈ {D1, D2, . . .,Dn}, un vincolo
V su Di, un quantificatore Q, ed un’istanza I sul prodotto cartesiano
D1 × D2 × . . . × Dn , si definisce vincolo quantificato dal dominio
35

all’istanza, tramite il quantificatore Q, il vincolo:
Q×(V ) = Q(δ×(V )) . ♦
Esempio 29 . Negli esempi 5, 12 e 13 abbiamo visto come sia possibile
rappresentare un Palio ed abbiamo imposto un vincolo affinché l’istanza I
avesse senso: che i tempi fossero progressivi o nulli da un certo punto in poi.
In realtà non sarebbe sbagliato pretendere che almeno una contrada vinca,
abbia cioè un tempo sull’ultimo rilevamento T8 . Questo equivale a derivare
dal dominio all’istanza, tramite il quantificatore Q∃ , il vincolo, sul dominio
T8 , che vale 1 se t8 = null :
VV ittoria = Q∃(V[t8=null]) (I) = (Q∃(δ×(V[t8=null]))) (I) . ♦
Per come è definito il vincolo derivato dal dominio all’istanza potrebbe
sembrare che Q× sia equivalente alla più semplice applicazione Q(π). Cosí si
passa direttamente dai dominî alle istanze, senza passare attraverso i records.
Nell’esempio 25 di pagina 33 abbiamo visto però che questo è possibile solo
per i quantificatori universali.
Focalizziamo adesso l’attenzione sulle istanze e sui loro vincoli. In pratica,
dato un prodotto cartesiano di dominî D1 × D2 × . . . × Dn andremo ad
analizzare tutte le possibili funzioni da Pf(D1 × D2 × . . . × Dn) in {0, 1} .
Cominciamo con una loro distinzione dal sapore geometrico.
Definizione 24 . Dato un prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn, un
vincolo V sulle sue istanze si dice di dimensione 0 se esiste un dominio
Di ∈ {D1, D2, . . ., Dn} , un vincolo VDi su di esso, e un quantificatore Q,
tali che:
V = Q(δ×(VDi )) .
Si dice di dimensione 0 anche se è dato dalla composizione di vincoli di
dimensione 0, per mezzo di qualsiasi operatore binario. ♦
Definizione 25 . Dato un prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn, un
vincolo V sulle sue istanze si dice di dimensione 1 se non è di dimensione 0
ed esiste un vincolo Vr su D1 ×D2 ×. . .×Dn, ed un quantificatore Q, tali che:
V = Q(Vr) .
Si dice di dimensione 1 anche se è dato dalla composizione di vincoli di
dimensione 0 e 1 (almeno uno), per mezzo di qualsiasi operatore binario. ♦
36

Definizione 26 . Dato un prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn, un
vincolo V sulle sue istanze si dice di dimensione 2 se non è di dimensione
0 né di dimensione 1. ♦
Nella definizione 5 di pagina 12 abbiamo introdotto gli schemi, che sono
insiemi di istanze.
É chiaro che ogni vincolo sulle istanze corrisponde ad uno schema, e viceversa.
Si vede anche come, per definizione, la dimensione di un vincolo composto è
il massimo delle dimensioni dei suoi componenti.
Esempio 30 . Consideriamo la dimensione 0, il caso più comune è quello
in cui il quantificatore è Q∀, si richiede cioè che tutti i valori di una ”colonna”
rispettino una certa caratteristica.
Ma un vincolo di dimensione 0 può essere anche molto diverso, avremo sempre
a che fare con una sola colonna, ma la ampia disponibilità di quantificatori
diversi ci permette varie soluzioni.
Q e Q|, ad esempio, si disinteressano completamente del vincolo cui sono
applicati, valutano solo se l’istanza ha cardinalità pari o dispari; ma proprio
per questo la loro dimensione può essere considerata nulla.
Lo stesso dicasi per Q∅, che si limita a riconoscere l’istanza vuota.
Invece i quantificatori Q0 , Q|0 , Q1 e Q|1 , se composti con vincoli sui
singoli dominî, possono dare luogo a vincoli abbastanza complessi. Solo apparentemente
però, abbiamo già notato come un algoritmo consideri alla stessa
stregua tutti i quantificatori. ♦
Esempio 31 . Può sembrare che, con tutti i quantificatori a disposizione,
siano molto rari i vincoli di dimensione 2. Quando abbiamo trattato l’istanza
sul Palio ne abbiamo già trovato uno: avere al massimo 10 records (il numero
di contrade partecipanti).
In effetti qualsiasi vincolo che limiti il numero dei records (a meno di volerne
valutare parità o disparità) non può essere ottenuto con alcun quantificatore
binario. Vedremo in seguito (esempio 38) come ”costruire” questo genere di
vincoli. ♦
Esempio 32 . Un vincolo sulle istanze molto comune in informatica è la
chiave su alcuni dominî. La limitazione imposta è che i valori di quei dominî
(un sottoinsieme di quelli componenti il prodotto cartesiano, spesso solo
uno) siano diversi per ogni ennupla: non devono cioè esistere due records
diversi per i quali i valori su quei dominî siano uguali. Questo permetterà di
riconoscere tutti i records da quei soli elementi, si potrà anche operare una
proiezione su quei dominî, mantenendo invariata la cardinalità dell’istanza.
37

Prendiamo ad esempio il caso dell’elenco telefonico (numero 6 a pagina 12),
qui si hanno solo due dominî: Nomi × Numeri di telefono.
Entrambi sono ”chiavi” accettabili: possiamo non volere omonimie, ma è
altrettanto sensato aspettarsi che allo stesso numero telefonico corrisponda
un’unica persona.
Anche nella nostra istanza sul Palio il nome della contrada può essere considerato
una chiave (la stessa non può correre due volte lo stesso Palio).
♦
Cerchiamo di spiegare il motivo che ci ha portato a parlare di dimensione,
a proposito di vincoli su insiemi finiti di records (le istanze, appunto).
Una soluzione grafica per rappresentare un’istanza I di grado n e cardinalità
m può essere la matrice m × n:
⎛
⎜
I = ⎜
⎝
d1 1 d1 2 d1 3 . . . d1 n
d2 1 d2 2 d2 3 . . . d2 n
.
.
.
. ..
d m 1 d m 2 d m 3 . . . d m n
Questa è in effetti la rappresentazione solitamente preferita dagli informatici,
per la sua intuitività, e per la facilità grafica con cui vi si possono
rappresentare gli operatori. Infatti proiezioni e selezioni corrispondono alla
estrapolazione di alcune righe o di alcune colonne (per le colonne bisogna
stare attenti alle possibili ripetizioni) dalla matrice originale.
Come controlleremo se un vincolo è verificato da questa istanza?
Un vincolo di dimensione 0 è tale se esiste un vincolo VDi
.
⎞
⎟
⎠
su di un dominio
Di, per verificare il vincolo derivato dal dominio all’istanza basterà controllare,
uno per uno, i singoli d 1 i, d 2 i, ...e cosí via fino d m i , componendo i risultati
con le regole del quantificatore scelto.
Immaginando la matrice come una tabella rettangolare, i nostri controlli
saranno sempre su di una singola cella, quasi che fosse un unico punto di un
rettangolo in un piano discreto.
Questo è il motivo per il quale parliamo di dimensione nulla.
Invece per verificare un vincolo di dimensione 1 dovremo considerare, sempre
una alla volta, intere righe della nostra tabella, i records.
Cosí un vincolo di dimensione 2 considererà tutta la tabella nel suo insieme,
un intero ”rettangolo” di elementi, appartenenti a dominî e records diversi.
Proseguiamo cercando di analizzare in maniera un po’ più approfondita i
vincoli di dimensione 2, che fino ad ora sono sfuggiti ai nostri esempi.
A questo scopo iniziamo con il recupero di un noto operatore che avevamo
adattato alle istanze a pagina 15: il prodotto cartesiano. Lo avevamo definito
38

come operatore binario, ma può essere chiaramente applicato ad un’unica
istanza ripetuta due volte: scriveremo I 2 per I × I.
Allo stesso modo I n indicherà il prodotto cartesiano di I per sé stesso n volte
(il prodotto cartesiano è associativo, non crea problemi il passaggio da un
operatore binario ad uno n-ario).
Come avevamo già fatto, se D è un dominio di I, chiameremo D i la sua
i-esima comparizione nei records di I n .
Esempio 33 . Consideriamo un’istanza I di grado n e cardinalità h, come
sarà l’istanza Im m volte
= I × . . . × I ?
Avrà grado n · m, ma è il numero dei records che cresce in maniera esponenziale,
saranno infatti hm .
Vedremo in seguito l’utilità dell’istanza Im per effettuare vincoli e selezioni
in merito a I. Si valuti comunque che, da un punto di vista computazionale,
per m elevato, il prodotto cartesiano non è assolutamente un’operazione economica.
♦
I m è anch’essa un’istanza, vi si potranno applicare anche altri operatori.
Definizione 27 . Data un’istanza I (di grado n), un numero naturale m
ed un vincolo V sui records di I m (di grado m · n), si definisce selezione
sul prodotto cartesiano la selezione: σV (I m ).
m è detta molteplicità della selezione. ♦
Queste selezioni offrono risultati apparentemente inutili, records di grado
molto maggiore rispetto al grado originale dell’istanza.
In realtà sono applicabili ad una vasta gamma di problemi.
Esempio 34 . Nel primo paragrafo, dopo aver proposto quella che sarebbe
diventata l’istanza di un Palio, abbiamo posto alcuni problemi: come stabilire
l’ordine delle contrade ad un dato riferimento? Come riconoscere i sorpassi?
Prendiamo la solita tabella (esempio 13: Palio del 16/8/2001):
39

P =
Contrada T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8
Aquila 6, 4 12, 7 21, 7 38, 5 47, 5 64 null null
Chiocciola 6, 7 12, 3 20, 6 36 45, 5 62 null null
Civetta 6, 8 13, 1 21, 3 36, 6 46, 5 63 null null
Drago 7 12, 1 20 35 44 60 70 75
Giraffa 6, 5 12, 6 20, 7 35, 8 45 61 71, 5 null
Istrice 6 12 20, 3 35, 3 44, 5 60, 5 71 null
Montone 7, 4 13, 2 22 37, 5 48 64, 5 null null
Nicchio 6, 3 12, 8 21, 5 38 48, 5 65, 5 null null
Tartuca 7, 1 13, 5 22, 3 37 46 62, 5 null null
Torre 6, 9 12, 5 21, 1 36, 5 47 65 null null
Ammettiamo di voler conoscere l’ordine delle contrade alla curva del primo
San Martino (T2). Possiamo effettuare su P 10 la selezione che richieda:
T 1
2 < T 2
2 < . . . < T 10
2 .
Il risultato sarà l’istanza formata dall’unico record che mette in ordine tutte
e dieci le contrade, dalla prima all’ultima sul riferimento scelto, nel nostro
caso: Istrice, Drago, ..., Montone, Tartuca.
Il record avrà un grado altissimo (9 · 10 dominî), per avere un risultato più
sintetico sarà possibile effettuare una proiezione sui 10 dominî ”Contrada”.
♦
Esempio 35 . L’esempio precedente ci ha fornito un metodo utile per
trovare l’ordine, ma solo se è noto con precisione il numero dei partecipanti
ad una gara. Se le contrade fossero state undici (!) la selezione scelta avrebbe
prodotto un’istanza formata da tanti records, tutte le possibili decuple di contrade
in ordine di posizione.
Esiste un metodo per valutare l’ordinamento in una ”gara”, indipendentemente
dal numero di partecipanti?
Per definizione una relazione d’ordine è un sottoinsieme del prodotto carte-
siano. Sarà possibile effettuare su P 2 la selezione: T 1
2 < T 2
2 .
Cosí avremo tutte le coppie di contrade in cui la prima precede la seconda
al rilevamento T2 : 9 con in testa l’Istrice, 8 con il Drago, e cosí via per un
totale di 45 records.
Il risultato è molto meno intuitivo ma ha il vantaggio di essere valido per un
numero n qualsiasi di partecipanti: fornirà ((n − 1) · n)/2 coppie. ♦
Esempio 36 . Poniamoci adesso il problema di trovare i sorpassi fra San
Martino e il Casato nel primo giro (T2 e T3).
Agiremo sul prodotto cartesiano P 2 con una selezione un po’ più articolata:
40

( T 1
2 > T 2
2 ) ∧ ( T 1
3 < T 2
3 ) .
Avremo tutti i casi in cui un concorrente che inseguiva si ritroverà in testa
al secondo rilevamento (indipendentemente dal numero dei partecipanti).
Nello specifico le coppie (immaginiamo di aver già fatto una proiezione sui
dominî ”Contrada 1 ” e ”Contrada 2 ”) saranno:
(Drago, Istrice), (Giraffa, Torre), (Civetta, Nicchio), (Civetta, Aquila)
e (Aquila, Nicchio) . ♦
Vediamo come sfruttare i prodotti cartesiani di un’istanza per formalizzare
alcuni vincoli su di essa.
Definizione 28 . Data un’istanza I (di grado n), un numero naturale m,
un vincolo V di dimensione 1 sui records di I m (di grado m·n), un quantificatore
Q, si definisce vincolo quantificato sul prodotto cartesiano
di I il vincolo dato da:
(Q m V I) = (Q V )(I m ).
m è detta molteplicità del vincolo. ♦
In questo modo si passa da un vincolo su records di grado m · n, ad un
vincolo su istanze di grado n.
Grazie a quest’ultima definizione sarà possibile scrivere formalmente un gran
numero di vincoli di dimensione 2, trasformandoli in vincoli di dimensione
1, che sono altamente più trattabili, ancorché siano definiti sul prodotto
cartesiano.
Esempio 37 . A pagina 37 (esempio 32) abbiamo visto i vincoli chiave,
di dimensione 2. Si è visto che non ci devono essere due records distinti in
cui gli elementi dei dominî ”chiave” siano uguali.
Riprendiamo il caso dell’elenco telefonico, e immaginiamo di voler fissare
come chiave il dominio ”Nome”.
Sia I l’istanza originaria sul prodotto cartesiano Nome ×Numero, poniamo
allora su I 2 il vincolo VChiave derivato dalla formula:
(Nome 1 = Nome 2 ) −→ (Numero 1 = Numero 2 ) , che possiamo anche scrivere
¬ ( ¬(Numero 1 = Numero 2 ) ∧ (Nome 1 = Nome 2 ) ),
oppure (Nome 1 = Nome 2 ) XIV
◦ (Numero 1 = Numero 2 ) (esempio 28 a pagina
34).
Avremo il ”vincolo quantificato sul prodotto cartesiano” richiesto, grazie al
quantificatore Q∀: Q2 ∀ VChiave (I) .
Nel caso in cui la chiave sia applicata a più di un dominio, non cambia
formalmente la sua formulazione. ♦
41

Esempio 38 . Nell’esempio 31 a pagina 37 abbiamo parlato del vincolo
che impone restrizioni al numero dei records, a meno di non volere imporre
che questi siano pari o dispari, si tratta di un vincolo di dimensione 2.
Possiamo però esprimerlo grazie ai ”vincoli quantificati sul prodotto cartesiano”.
Per semplificare un po’ le cose consideriamo istanze di grado 1 (su un unico
dominio), si vedrà come questa riduzione non vada a scapito della generalità.
Innanzitutto vediamo come stabilire un limite minimo al numero dei records,
immaginiamo di accettare solo istanze I con almeno 3 records, imporremmo
sui records di I 3 il vincolo di avere tutti e 3 gli elementi diversi (la formula
corrispondente considera le 3 coppie possibili), poi lo estenderemo all’istanza
I 3 tramite il quantificatore Q∃, chiamiamo il vincolo ottenuto V≥3 . É chiaro
che se I ha cardinalità inferiore a 3 il vincolo V≥3 non sarà soddisfatto.
Se invece volessimo solo istanze con al massimo 3 records dovremmo andare
a considerare sui records di I 4 il vincolo che impone di avere almeno due elementi
uguali (non tutti diversi, considerando le 6 possibili coppie), a questo
vincolo adatteremo il quantificatore Q∀, cosí da ottenere su I il vincolo V≤3 .
Per mezzo di questi vincoli si possono costruire tutti gli intervalli sull’insieme
dei numeri naturali, ad esempio il vincolo (V≥3 ∧ V≤3) accetterà solo istanze
con tre elementi.
Il metodo proposto rispetta i limiti dell’algebra relazionale ma ha un costo
molto elevato, il fatto di dover considerare tutte le possibili coppie fa crescere
in maniera esponenziale il numero di controlli da effettuare. Oltretutto avevamo
semplificato il tutto limitando a 1 il grado di I, altrimenti il controllo
sarebbe stato, uno per uno, su tutti i dominî di I.
É chiaro che con metodi meno ortodossi (semplicemente contando i records)
si potrebbero avere algoritmi molto più efficaci.
Metodi poi assai più efficaci si possono ottenere considerando la costruzione
dinamica di prodotti cartesiani in relazione con l’esistenza di elementi finali.
♦
Come abbiamo fatto nell’esempio precedente, sarà possibile comporre anche
i vincoli quantificati sul prodotto cartesiano, cosí come gli altri vincoli,
per mezzo delle formule possibili con tutti i 14 operatori binarî.
Una formula con vincoli quantificati sul prodotto cartesiano sarà tale se ne
conterrà almeno uno.
Esempio 39 . Nei varî esempi abbiamo trovato alcuni vincoli per l’ormai
arcinota istanza sul palio (Contrade × T1 × T2 × . . . × T8):
la richiesta di avere almeno un vincitore: VV ittoria = Q∃×V[t8=null] ;
il vincolo sulle istanze che impone di avere tempi progressivi:
42

Q∀×VT , con VT = 1 se ( ti = null ∨ ti ≥ tj, ∀ 1 ≤ i < j ≤ 8 ) ;
la ”chiave” sulle contrade: VChiave[Contrade] ;
il limite massimo di 10 al numero dei records: V≤10 .
Il primo è un vincolo di dimensione 0, il secondo di dimensione 1, gli altri due
di dimensione 2, esprimibili come vincoli quantificati sul prodotto cartesiano.
La semplice formula che ne consegue è:
( VV ittoria ∧ VT ∧ VChiave[Contrade] ∧ V≤10 ) .
L’intera formula può essere vista come un unico vincolo di dimensione 2.
♦
A questo punto è doveroso un riepilogo. In sostanza la nostra analisi ci
porta a classificare i vincoli sulle istanze nella seguente gerarchia:
- vincoli di dimensione 0: si ottengono da vincoli Vi su dominî Di derivando
rispetto alle proiezioni πDi e quantificando rispetto a quantificatori Qi ;
- vincoli di dimensione 1: si ottengono da un vincolo V sul prodotto cartesiano
D1 × D2 × . . . × Dn (che non sia ottenibile, tramite derivazione,
da una proiezione) mediante un quantificatore Q, o da composizioni di
tali vincoli (almeno uno) e di vincoli di dimensione 0;
- vincoli di dimensione 2: tutti gli altri. Fra questi distinguiamo:
- vincoli quantificati sul prodotto cartesiano: sono i vincoli Q m V di
dimensione 2 che provengono da vincoli V di dimensione 1 sul
prodotto cartesiano I m di una istanza, quantificati rispetto a un
quantificatore Q;
- tutti gli altri, che saranno detti vincoli ”puri” di dimensione 2.
Rimanendo agganciati agli aspetti pratici di ogni vincolo, se interpretato
come un algoritmo, è spontaneo ritenere che il costo computazionale di un
vincolo sia strettamente connesso alla sua dimensione.
Per ora tutti i vincoli di dimensione 2 che abbiamo visto sono esprimibili
grazie a formule con vincoli quantificati sul prodotto cartesiano. Nasce allora
spontaneo un interrogativo: dato un vincolo di dimensione 2 sulle istanze,
è sempre possibile trovare una formula, con vincoli quantificati sul prodotto
cartesiano, che lo esprima?
Il ché vuol dire: esistono vincoli ”puri” di dimensione 2?
Limitiamoci a rispondere a questa domanda riducendo il numero dei quantificatori,
eliminiamo quei sei che valutano parità e disparità: Q0 , Q|0 , Q1 ,
Q|1 , Q e Q| .
43

La loro influenza è infatti difficilmente valutabile con l’aumento esponenziale
dei records nel prodotto cartesiano.
Rimaniamo cosí con i 6 non banali: Q∀ , Q∃ , Q∃ , Q∃¬∅ , Q∅ e Q¬∅ . Ma ne
possiamo eliminare ancora uno.
Lemma 1 . Ogni vincolo V col quantificatore Q∃ impone lo stesso vincolo
quantificato del vincolo ¬V col quantificatore Q∀ :
Q∃(V ) = Q∀(¬V ) . ♦
Possiamo cosí eliminare, in una qualsiasi formula, il quantificatore Q∃ .
Nella prossima dimostrazione, come si vedrà non compare mai neanche l’insieme
vuoto: possiamo eliminare anche Q∃¬∅ , Q∅ e Q¬∅ .
Proposizione 9 . Se ci si limita ai quantificatori Q∃ , Q∀ , esiste almeno
un vincolo ”puro” di dimensione 2, cioè un vincolo sulle istanze per il quale
non esiste una formula, con vincoli quantificati sul prodotto cartesiano, che
lo esprime.
Dimostrazione - Consideriamo records di grado 1 sul solo dominio N
dei numeri naturali, le istanze saranno insiemi finiti di numeri naturali.
Immaginiamo il seguente vincolo sulle istanze: tutti i numeri sono consecutivi,
non vi appartengono cioè due numeri, n ed n+2, senza che vi sia anche
n + 1.
Immaginiamo per assurdo che esista una formula ϕ, con vincoli quantificati
sul prodotto cartesiano, che soddisfa questo vincolo.
Questa formula ϕ sarà composta da un numero finito h di vincoli quantificati
con Q∃, e da un numero finito k di vincoli quantificati con Q∀, ognuno con
la sua molteplicità, e da operatori binarî.
Scriviamo ϕ ( Q m1
∃ 1 (V1), . . ., Q mh
∃ h (Vh), Q mh+1
∀ h+1 (Vh+1), . . ., Q mh+k
∀ h+k (Vh+k) )
per indicarla.
Per ogni vincolo quantificato Q mj
∃ j (Vj) (con 1 ≤ j ≤ h) ci sono due possibi-
lità:
Vj è banale e Q mj
∃ j (Vj) = 0 per ogni mj-upla di numeri naturali;
esiste una mj-upla (a j
1, . . .,a j mj ) per la quale Vj = 1 , chiamiamo aj =
max{a j
1, . . .,a j mj } .
Analogamente, per ogni Q mj
∀ j (Vj) (con h + 1 ≤ j ≤ h + k), o Vj è banale e si
ha sempre 1, oppure esiste una mj-upla (a j
1, . . .,a j mj ) per la quale Vj = 0 , e
chiamiamo aj = max{a j
1, . . .,a j mj } .
Consideriamo l’istanza I = {1, 2, . . ., (a − 1), a} con a = max{a1 , . . .,a j },
questa istanza soddisfa il vincolo proposto (elementi tutti consecutivi), la formula
di vincoli ϕ applicata ad I deve dare come risultato 1 (ϕ(I) = 1).
44

I è tale che, per ogni j, Q mj
∃ j (Vj)(I) = 0 se e solo se Vj è banale, altrimenti
Q mj
∃ j (Vj)(I) = 1, cosí come Q mj
∀ j (Vj)(I) = 1 se e solo se Vj è banale, altri-
menti Q mj
∀ j (Vj)(I) = 0.
La stessa cosa di I vale però anche per I ′ = {1, 2, . . ., (a −1), a, (a+2)}, cioè
ϕ(I ′ ) = ϕ(I) = 1. Ma gli elementi di I ′ non sono tutti consecutivi.
Assurdo! ♦
Un’ultima considerazione finale. Noi ci siamo imposti fin dall’inizio di
considerare solo vincoli ed operatori binarî.
Questa scelta è dovuta a coerenza con il funzionamento dei calcolatori elettronici,
la cui algebra di base è, per forza di cose, dicotomica.
Esempio 40 . Con un vincolo ed un operatore ternario si potrebbe ad
esempio ottenere il resto modulo 3 del numero di elementi di un insieme,
cosí come avevamo trovato il quantificatore Q| (che può essere visto anche
come il resto modulo 2).
Si consideri infatti il seguente operatore ternario:
◦ =
0 1 2
0 1 1 1
1 2 2 2
2 0 0 0
Il quantificatore inizializzato a 0, chiamiamolo Qmod3, soddisferà l’esigenza
richiesta, impossibile per una formula binaria, se non altro per il numero
di risposte possibili. ♦
Si ricaverebbe un vero salto di qualità qualora si accettassero vincoli ed
operatori N-arî, cioè non ristretti ad un numero finito di possibilità.
In effetti quando (esempio 38 a pagina 42) abbiamo parlato della possibilità
di contare la cardinalità di un’istanza, ci riferivamo proprio a questo, ed è
quanto normalmente fanno molti software per la gestione di databases.
Esempio 41 Immaginiamo una funzione dalle istanze ad N che conta il numero
dei records, chiamiamo questa funzione count (come è spesso definita
nei gestori di databases in commercio).
Se poi ammettiamo di costruire vincoli binarî inserendo nelle formule il risultato
di count, si possono ottenere risultati molto più ampi.
Molti vincoli si potevano ottenere anche senza questo ausilio, come (count(I)
è pari) o (count(I) ≤ 10) , altri no: (count(I) è multiplo di 3) .
Con l’aggiunta di count nelle formule si può facilmente costruire un vincolo
45

anche per il problema posto nella proposizione 9 (insieme di numeri consecutivi):
∃ una coppia di elementi a, b t.c. (a − b) ≥ count(I) .
Inoltre l’operatore count potrebbe contare solo le istanze che soddisfano alcune
condizioni, e cosí via per ottenere un’algebra sempre più ricca ed adatta
ad ogni evenienza. ♦
7 . L’algebra relazionale classica.
Fin dalla comparsa dell’informatica, la macchine sono state impiegate nel
trattare volumi via via maggiori di dati. L’obiettivo è stato fin da subito
identificato in una sempre maggiore capacità delle ”memorie” e in una più
veloce ricerca dei dati, per una più varia gamma di interrogazioni.
Tralasceremo tutto ciò che riguarda la realizzazione tecnica delle macchine,
le modalità elettroniche per il contenimento dei dati nelle stesse, ed anche la
forma di questi dati nelle memorie dei calcolatori. In questo breve compendio
finale ci occuperemo esclusivamente dei problemi pratici e delle esigenze
teoriche che hanno portato alla ideazione e (solo con anni di ritardo) alla
realizzazione delle basi di dati informatiche.
Già dal 1960 si iniziò ad avvertire l’inadeguatezza dei metodi fino ad allora
usati per l’archiviazione delle informazioni su memorie elettroniche. Le raggiunte
dimensioni di queste banche dati, che erano allora appannaggio esclusivamente
industriale, cominciavano a creare seri problemi pratici ai tecnici
addetti al loro mantenimento e consultazione.
Le memorie erano organizzate, in senso logico, come registrazioni lineari
di dati (records) contenute in archivi (files), in maniera analoga a come oggi
ogni singola persona cataloga i propri documenti, programmi, filmati e quant’altro
sul proprio personal computer. Inoltre i linguaggi per il reperimento
e l’organizzazione di queste informazioni erano molto limitati, e, se comparivano
richieste particolari, l’unico metodo era ricopiare i dati su altri file.
Se ad esempio si fosse avuta una lista di qualche migliaio di nomi, e, per
esigenze burocratiche, fosse stato necessario estrarre a volte i nominativi
completi di tutti, a volte solo i cognomi, il metodo usato era quello di creare
due copie distinte della stesso record: una con nomi e cognomi, l’altra solo
con i secondi.
Questa metodologia di lavoro causava naturalmente inconsistenze fra i dati
46

in copie diverse e gestite indipendentemente. Potevano, per errore, essere
cancellate o modificate alcune informazioni su una delle copie, che magari ne
avrebbe generate molte altre ancora.
Si verificavano in molti uffici burocratici gli stessi effetti che i filologi studiano
per la trasmissione dei testi degli amanuensi medievali.
Comunque, tornando a quei primi anni ’60, si dette inizio ad una notevole
ricerca per l’individuazione di metodi migliori. Molti di quelli trovati erano
poco differenti dai precedenti e, sebbene di facile realizzazione pratica sui
calcolatori, non garantivano grandi vantaggi.
Altri ancora erano, a livello teorico, molto potenti e simili (almeno apparentemente)
ai metodi intuitivi umani di memorizzazione delle informazioni,
ma non era possibile realizzarli nella pratica.
A questa seconda categoria sembrava appartenere il progetto di un ricercatore
della IBM, Ted Codd, che nel 1970 pubblicò un articolo, egli proponeva un
modello fondato sull’algebra degli insiemi, ed un linguaggio di interrogazione
su di esso (gli operatori sugli insiemi) molto intuitivo e fondato su parole
comuni. Esso introduceva il concetto di base di dati (database), che oggi
troviamo ovunque come parola di uso comune, e poneva le fondamenta per
la teoria matematica che se ne occupa: l’Algebra Relazionale.
L’articolo non ebbe fortuna immediata, ma fu ripreso a distanza di qualche
anno da un’altra azienda, la Honeywell, che nel 1976 creò il primo prodotto
commerciale per la gestione di database. Le evoluzioni tecniche di questo
primo risultato (l’hardware e il software, vale a dire le macchine e i programmi
su di esse) sono state enormi, ma la base riconosciuta tuttora valida per
tutti è quella dell’articolo di Codd: ”Un modello relazionale per banche dati
largamente condivise”.
Passiamo ad analizzare analogie e differenza di questo modello rispetto
a quello che abbiamo introdotto nei paragrafi precedenti. Vale la pena di
ricordare comunque che l’algebra relazionale comprende una teoria ed una
casistica molto più ampia di quella fin qui considerata.
Innanzitutto noi abbiamo introdotto i dominî, per la formazione di records
ed istanze. Essendo i records insiemi ordinati abbiamo stabilito che due dominî
distinti possono essere anche lo stesso insieme ed avere lo stesso nome,
casomai ci siamo riservati di mettere indici diversi per distinguerli nelle formule
di vincoli e predicati.
Solitamente invece, in algebra relazionale si dà molta importanza al nome che
ognuno di questi dominî riceve, il cosiddetto attributo. L’attributo relativo
ad ogni dominio, nelle stesse istanze, deve essere diverso da tutti gli altri e
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specifico di quell’unico dominio.
Ci siamo basati, come fondamento di tutta la teoria, su prodotti cartesiani
finiti di n dominî, cosicché i records sono insiemi ordinati di n elementi, ed
n è detto il loro grado.
Se invece si hanno attributi distinti per ogni dominio sarà possibile costruire
i records come insiemi non ordinati di n coppie, coppie formate dall’elemento
scelto nel dominio e dall’attributo di quel dominio. Questa diversa visione è
tipica della teoria classica.
Esempio 42 . Riprendiamo per l’ultima volta la tabella sul Palio, un
nostro record di quell’istanza ha la forma:
(Aquila , 6.4 , 12.7 , 21.7 , 38.5 , 47.5 , 64 , null , null ) .
Spesso, per mezzo degli attributi, i records sono pensati anche come:
{ (Contrade, Aquila), (Tempo1, 6.4), (Tempo2, 12.7),
(Tempo3, 21.7), (Tempo4, 38.5), (Tempo5, 47.5),
(Tempo5, 64), (Tempo7, null), (Tempo8, null) } . ♦
Questa diversa visione permette di considerare ininfluente la disposizione
dei dominî (avendo ciascuno un attributo di riferimento). Pensando le istanze
come tabelle, di cui noi consideravamo trascurabile l’ordine delle righe,
diventa tale anche l’ordine delle colonne.
Questa scelta andrà a ripercuotersi anche sugli operatori. Per dare un senso
al prodotto cartesiano, fra istanze in cui si rischierebbero omonimie, sarà
necessario introdurre un nuovo operatore: la ridenominazione, che cambia il
nome di un attributo in tutte le coppie in cui compare.
Le selezioni funzionano analogamente a quanto ci è già noto, ma in gran
parte della letteratura c’è poca chiarezza su cosa si intenda per ”formule”, e
sull’analogia fra vincoli e selezioni.
Spesso, anzi, i vincoli sono trascurati o traspare una certa confusione.
Ad esempio in molti testi viene considerato ”vincolo”, alla stregua delle chiavi
(che noi abbiamo visto come vincolo di dimensione 2) la possibilità di
avere valori nulli in alcuni dominî: vale a dire l’aggiunta dell’elemento null
al dominio stesso (come noi avevamo fatto per Q che rappresentava i tempi).
Per il resto poi l’algebra relazionale si adatta alle funzioni possibili nei
softwares più comuni di gestione dei dati. Nascono cosí le funzioni di aggregazione,
che comprendono, ad esempio, il conteggio dei records o un gran
numero di comuni funzioni matematiche o statistiche, quali il reperimento
del maggiore e del minore (fra gli elementi di una ”colonna”), o il calcolo
della media.
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Abbiamo visto, anche a scapito della nostra teoria, come alcuni di questi operatori
siano utili ma impossibili da costruire con i mezzi forniti dalle semplici
definizioni di partenza.
49

Bibliografia
[1] A. Albano, G. Ghelli, R. Orsini. Basi di dati relazionali e a oggetti.
Zanichelli, Bologna, 1997.
[2] A. Asperti, A. Ciabattoni. Logica e informatica. McGraw Hill, Milano,
1997.
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[4] P. Atzeni, S. Ceri, S. Paraboschi, R. Torlone. Basi di dati. Concetti,
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[9] R. Zach. Proof Theory of multivalued Logics. Technische Universität
Wien, 1993.
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