Tecnica Attuariale per le Assicurazioni - Prima ... - Docente.unicas.it
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Matematica <strong>Attuaria<strong>le</strong></strong><br />
La matematica attuaria<strong>le</strong> studia la determinazione<br />
dei premi assicurativi in funzione di determinati<br />
eventi che possono verificarsi in relazione a contratti<br />
assicurativi.<br />
Contratto di assicurazione<br />
È un contratto in forza del qua<strong>le</strong> l’assicuratore si<br />
impegna a pagare ad un beneficiario una somma<br />
prestabil<strong>it</strong>a qualora si verifichi un certo evento di<br />
natura a<strong>le</strong>atoria, riguardante l’assicurato o un suo<br />
bene<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 1
Contratto di assicurazione art.1882<br />
Giuridicamente il contratto di assicurazione è<br />
defin<strong>it</strong>o nell’art. 1882 del Codice Civi<strong>le</strong>.<br />
• Art. 1882. Nozione : L’assicurazione è il contratto<br />
col qua<strong>le</strong> l’assicuratore, verso pagamento di un<br />
premio , si obbliga a riva<strong>le</strong>re l’assicurato, entro i lim<strong>it</strong>i<br />
convenuti, del danno ad esso prodotto da un<br />
sinistro(1904-1918), ovvero a pagare un cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> o una<br />
rend<strong>it</strong>a al verificarsi di un evento attinente alla v<strong>it</strong>a<br />
umana (1899, 1901, 2952).<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 2
Tipologie del<strong>le</strong> co<strong>per</strong>ture assicurative<br />
Le assicurazioni si possono classificare in due principali categorie:<br />
• <strong>Assicurazioni</strong> contro i danni (dette anche dei rami e<strong>le</strong>mentari). La prestazione<br />
dell’assicuratore è un risarcimento a fronte di eventuali danni materiali sub<strong>it</strong>i<br />
dall’assicurato. Questi possono consistere in danni alla <strong>per</strong>sona, in danni ai beni di<br />
proprietà dell’assicurato, o ancora in s<strong>it</strong>uazioni di responsabil<strong>it</strong>à civi<strong>le</strong>, cioè danni arrecati<br />
a terzi.<br />
Il carattere risarc<strong>it</strong>orio comporta l’a<strong>le</strong>atorietà dell’esborso dell’assicuratore in un dato<br />
<strong>per</strong>iodo di co<strong>per</strong>tura assicurativa, in genere breve. In questo caso, quindi, l’aspetto<br />
finanziario è spesso trascurabi<strong>le</strong>, mentre quello statistico – probabilistico è della massima<br />
importanza.<br />
• <strong>Assicurazioni</strong> sulla v<strong>it</strong>a. La prestazione dell’assicuratore consiste nel<br />
pagamento di somme al verificarsi di prestabil<strong>it</strong>i eventi inerenti la v<strong>it</strong>a, e in particolare la<br />
sopravvivenza di una o più <strong>per</strong>sone. Gli importi da erogare sono prestabil<strong>it</strong>i, o almeno<br />
determinabili secondo schemi di calcolo prefissati, e l’a<strong>le</strong>atorietà riguarda il “se” ed il<br />
“quando” saranno corrisposte.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 3
Le assicurazioni<br />
Esistono due tipi di assicurazioni, <strong>le</strong> assicurazioni contro i danni o e<strong>le</strong>mentari ( assicurazione<br />
contro incendi, furti,ecc.) e <strong>le</strong> assicurazioni sulla v<strong>it</strong>a, che sono l’oggetto del nostro studio.<br />
Nella definizione riportata dal Codice si parla di “assicurato”, <strong>per</strong>ò nel<strong>le</strong> assicurazioni sulla v<strong>it</strong>a<br />
occorre distinguere tre <strong>per</strong>sone che possono o no coincidere, e precisamente:<br />
-Il contraente, che è la <strong>per</strong>sona che stipula il contratto e paga il premio;<br />
-Il beneficiario, che è la <strong>per</strong>sona a cui l’assicuratore pagherà la somma assicurata;<br />
-l’assicurato, che è la <strong>per</strong>sona la cui esistenza in v<strong>it</strong>a, o la cui morte, cost<strong>it</strong>uisce l’evento<br />
oggetto del contratto.<br />
Una <strong>per</strong>sona stipula un contratto che prevede il pagamento al figlio di una certa somma nel<br />
caso che la moglie muoia entro una certa età. In questo contratto avremo:<br />
-contraente - il padre;<br />
-beneficiario - il figlio;<br />
-assicurato - la moglie.<br />
Una <strong>per</strong>sona stipula un contratto che prevede il pagamento di una certa somma agli eredi in<br />
qualunque epoca avvenga la sua morte. In questo contratto avremo:<br />
-contraente - <strong>per</strong>sona che stipula il contratto;<br />
-beneficiario – gli eredi;<br />
-assicurato – <strong>per</strong>sona che stipula il contratto.<br />
Una <strong>per</strong>sona stipula un contratto di rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia da una certa età finché vive. In questo<br />
caso contraente, beneficiario e assicurato coincidono nella stessa <strong>per</strong>sona.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 4
La somma che il contraente paga si chiama premio e<br />
può essere unico o <strong>per</strong>iodico. Il premio è unico se viene<br />
pagato in una sola volta alla stipula del contratto, è <strong>per</strong>iodico<br />
se viene pagato a intervalli costanti di tempo, generalmente<br />
un anno.<br />
Esiste una ulteriore distinzione fra premio puro e premio<br />
di tariffa.<br />
- Il premio puro tiene conto solo del valore del<strong>le</strong><br />
prestazioni che l’assicuratore si impegna a corrispondere,<br />
ed è, come in un gioco equo, la s<strong>per</strong>anza matematica del<br />
valore attua<strong>le</strong> del<strong>le</strong> somme assicurate.<br />
- Il premio di tariffa, o caricato, tiene anche conto del<strong>le</strong><br />
spese che l’assicuratore sostiene e del guadagno che<br />
intende realizzare con questa sua attiv<strong>it</strong>à.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 5
Le assicurazioni sulla v<strong>it</strong>a cost<strong>it</strong>uiscono una forma di previdenza e di<br />
risparmio.<br />
Infatti, realizzano una forma di risparmio, in quanto l’assicurato, <strong>per</strong> il<br />
pagamento dei premi annui, risparmia una parte del proprio redd<strong>it</strong>o a<br />
beneficio dei suoi eredi, se l’assicurazione è di morte, a beneficio suo ,<br />
se l’assicurazione è di v<strong>it</strong>a. È vero che potrebbe risparmiare impiegando<br />
il suo denaro in altre forme di investimento, ma l’assicurazione è anche<br />
previdenza.<br />
Con l’assicurazione sulla morte, l’assicurato può garantire agli eredi il<br />
cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> assicurato se la sua morte avviene prematuramente e quindi,<br />
nel caso di pagamento di premi <strong>per</strong>iodici, anche se sono stati pagati solo<br />
alcuni premi. Diversamente, se <strong>le</strong> stesse somme fossero state invest<strong>it</strong>e<br />
in banca, il loro montante sarebbe molto minore. D’altra parte,<br />
un’assicurazione in caso di v<strong>it</strong>a, ta<strong>le</strong> da prevedere il godimento di una<br />
pensione, garantisce l’assicurato <strong>per</strong> tutti gli anni che gli rimangono da<br />
vivere (se la sua v<strong>it</strong>a è molto lunga) mentre, se versasse in banca <strong>le</strong><br />
stesse somme, con i prelievi, il montante si potrebbe esaurire in un<br />
tempo minore.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 6
Perciò l’assicurazione in caso di morte copre il rischio di morire “troppo<br />
presto” lasciando in condizioni di bisogno gli eredi, l’assicurazione di<br />
pensione copre il rischio di vivere “troppo a lungo” e di non avere i<br />
mezzi sufficienti <strong>per</strong> vivere.<br />
Nei contratti di assicurazione si devono fissare:<br />
•la somma o <strong>le</strong> somme assicurate;<br />
•la scadenza di tali somme;<br />
•<strong>le</strong> condizioni, cioè gli eventi che devono verificarsi <strong>per</strong>ché<br />
l’assicuratore assolva ai suoi impegni.<br />
I contratti di assicurazione sulla v<strong>it</strong>a sono di diverso genere e<br />
suddivisibili in 3 gruppi:<br />
-assicurazioni in caso di v<strong>it</strong>a, nel<strong>le</strong> quali l’assicuratore è impegnato<br />
a pagare la somma, o <strong>le</strong> somme assicurate, solo se l’assicurato alla<br />
loro scadenza è in v<strong>it</strong>a;<br />
-assicurazioni in caso di morte, nel<strong>le</strong> quali l’assicuratore è<br />
impegnato a pagare la somma assicurata in caso di morte<br />
dell’assicurato;<br />
-assicurazioni miste, che sono combinazioni di assicurazioni in caso<br />
di v<strong>it</strong>a e in caso di morte.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 7
Per il calcolo dei premi , in contratti che comportino più di una somma<br />
assicurata, si applica il principio di composizione dei contratti, <strong>per</strong> il<br />
qua<strong>le</strong> il premio unico puro (<strong>per</strong> un contratto comprende più prestazioni,<br />
essendo ognuna una assicurazione) è ugua<strong>le</strong> alla somma dei premi<br />
unici puri relativi ad ogni singola prestazione.<br />
Le basi tecniche <strong>per</strong> il calcolo del premio puro sono sia di natura<br />
probabilistica, in quanto si deve poter calcolare la probabil<strong>it</strong>à di<br />
sopravvivenza o di morte di un assicurato secondo una tavola<br />
demografica, sia di natura finanziaria, in quanto, essendo i contratti di<br />
lunga durata, la Compagnia di Assicurazione deve valutare <strong>le</strong> somme<br />
assicurate, tenendo conto degli investimenti dei premi riscossi e fissare<br />
così un tasso, detto tasso tecnico (generalmente 4%).<br />
In pratica, i prob<strong>le</strong>mi consistono nel determinare il premio, o i premi, da<br />
versare <strong>per</strong> ottenere <strong>le</strong> prestazioni stabil<strong>it</strong>e o, viceversa, nel determinare<br />
di qua<strong>le</strong> somma, o di quali somme, l’assicurato o i suoi eredi potranno<br />
disporre a certe scadenze quando sono fissati i premi.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 8
Le funzioni biometriche<br />
La probabil<strong>it</strong>à di sopravvivenza o la probabil<strong>it</strong>à di morte di<br />
una <strong>per</strong>sona dipendono da vari fattori; tra cui il più<br />
importante e significativo è l’età, e solo dell’età si tiene<br />
conte nel calcolo di tali probabil<strong>it</strong>à.<br />
Si tratta di valutazioni di probabil<strong>it</strong>à secondo l’impostazione<br />
statistica, basate sul<strong>le</strong> frequenze e a ta<strong>le</strong> scopo sono state<br />
costru<strong>it</strong>e del<strong>le</strong> Tavo<strong>le</strong> di sopravvivenza e di mortal<strong>it</strong>à con<br />
tecniche piuttosto comp<strong>le</strong>sse, mediante il metodo dei<br />
decessi o il metodo dei censimenti.<br />
Queste tavo<strong>le</strong>, che partono da una popolazione teorica di<br />
100.000 <strong>per</strong>sone alla nasc<strong>it</strong>a (maschi e femmine), riportano<br />
<strong>per</strong> ogni età 0,1,2,3,4 ….anni, quanti individui hanno<br />
raggiunto tali età e quanti sono morti al<strong>le</strong> età di<br />
0,1,2,3,4,…anni.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 9
Le funzioni biometriche<br />
Detta x l’età intera, si indicano:<br />
• lx = numero del<strong>le</strong> <strong>per</strong>sone viventi all’età x<br />
dell’insieme teorico di 100.000 neonati (l è l’inizia<strong>le</strong><br />
del termine ing<strong>le</strong>se “living”=vivente);<br />
• dx = numero del<strong>le</strong> <strong>per</strong>sone di età x che muoiono<br />
prima di avere raggiunto l’età successiva (d è<br />
l’inizia<strong>le</strong> del termine ing<strong>le</strong>se “dead”= morto).<br />
Le funzioni lx e dx sono dette funzioni biometriche, poiché<br />
sono funzioni dell’età x.<br />
Fra esse esiste la relazione :<br />
d x = l x - l x+1<br />
Poiché il numero di <strong>per</strong>sone di età x che muoiono prima di<br />
raggiungere l’età x+1 è ugua<strong>le</strong> alla differenza fra i viventi di<br />
età x e i viventi di età x+1.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 10
Le funzioni biometriche<br />
I valori di lx decrescono al crescere di x fino a un’ultima età, detta età estrema,<br />
che indichiamo con la <strong>le</strong>ttera greca ɷ (omega). L’età estrema, che di norma<br />
raggiunge o su<strong>per</strong>a i cento anni, è ta<strong>le</strong> che Lɷ+1=0, questo significa che nessun<br />
vivente di età ɷ raggiunge l’età successiva. Ta<strong>le</strong> condizione si può anche<br />
esprimere con la seguente notazione: d ɷ = l ɷ=0<br />
Dal<strong>le</strong> funzioni biometriche lx e dx si ricavano <strong>le</strong> probabil<strong>it</strong>à di sopravvivere o di<br />
morire.<br />
Si definisce tasso annuo di sopravvivenza, ed è data dal rapporto fra il<br />
numero di viventi all’età x+1 ed il numero dei vivente all’età x, la probabil<strong>it</strong>à che<br />
una testa di età x ha di raggiungere l’età x+1:<br />
p<br />
x<br />
l<br />
<br />
l<br />
Si definisce tasso annuo di mortal<strong>it</strong>à, la probabil<strong>it</strong>à che una testa di età x<br />
muoia prima di raggiungere l’età x+1:<br />
x1<br />
x1<br />
x x1<br />
qx 1<br />
px<br />
1<br />
<br />
lx<br />
lx<br />
l<br />
x<br />
l<br />
l<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 11<br />
d<br />
l<br />
x<br />
x
Le funzioni biometriche<br />
Oltre al tasso annuo di sopravvivenza ed al tasso annuo di mortal<strong>it</strong>à, è<br />
interessante conoscere la probabil<strong>it</strong>à di sopravvivere o di morire <strong>per</strong><br />
determinati intervalli di età.<br />
Si definisce probabil<strong>it</strong>à di sopravvivenza dopo n anni, la probabil<strong>it</strong>à che<br />
una <strong>per</strong>sona di età x sia in v<strong>it</strong>a dopo n anni:<br />
La probabil<strong>it</strong>à di sopravvivenza dopo n anni è una probabil<strong>it</strong>à composta,<br />
poiché si ottiene dal prodotto di n tassi annui di sopravvivenza.<br />
n<br />
p<br />
x<br />
<br />
p<br />
x<br />
. p<br />
x1<br />
. p<br />
x2<br />
n<br />
p<br />
..... p<br />
x<br />
l<br />
<br />
l<br />
xn1<br />
xn<br />
x<br />
<br />
l<br />
l<br />
x1<br />
x<br />
l<br />
.<br />
l<br />
x2<br />
x1<br />
l<br />
.<br />
l<br />
x3<br />
x2<br />
l<br />
....<br />
l<br />
xn<br />
xn1<br />
xn<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 12<br />
<br />
l<br />
l<br />
x
Le funzioni biometriche<br />
Dalla probabil<strong>it</strong>à di sopravvivenza dopo n anni ricaviamo la probabil<strong>it</strong>à di<br />
morte entro n anni (probabil<strong>it</strong>à contraria), in quanto esprime la probabil<strong>it</strong>à<br />
che una testa di età x ha di morire prima di raggiungere l’età x+n :<br />
/<br />
n<br />
q<br />
x<br />
l<br />
1 n px<br />
1<br />
l<br />
Dal<strong>le</strong> funzioni biometriche si ricava la probabil<strong>it</strong>à di morte differ<strong>it</strong>a di n<br />
anni e temporanea di 1, ossia la probabil<strong>it</strong>à che una <strong>per</strong>sona di età x<br />
raggiunga l’età x+n e muoia entro un anno. Anche questa è una probabil<strong>it</strong>à<br />
composta e si calcola secondo la seguente formula:<br />
n<br />
/ q<br />
xn<br />
x np<br />
x.<br />
qxn<br />
.<br />
lx<br />
l<br />
xn<br />
x<br />
d<br />
l<br />
<br />
xn<br />
xn<br />
l<br />
x<br />
l<br />
l<br />
Sempre dal<strong>le</strong> funzioni biometriche si può ricavare:<br />
- la v<strong>it</strong>a probabi<strong>le</strong>, esprime il numero di anni che una <strong>per</strong>sona di età x può<br />
ancora vivere con probabil<strong>it</strong>à almeno del 50%;<br />
- la v<strong>it</strong>a media, esprime il numero medio di anni che una <strong>per</strong>sona di età x<br />
può ancora vivere.<br />
<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 13<br />
x<br />
d<br />
xn<br />
xn<br />
l<br />
x
Tavola 1 - Tavo<strong>le</strong> di mortal<strong>it</strong>à della popolazione residente in Italia <strong>per</strong> sesso ed età al 2002<br />
Scarica <strong>le</strong> tavo<strong>le</strong> di mortal<strong>it</strong>à dalla seguente URL:<br />
http://www.istat.<strong>it</strong>/dati/catalogo/20020731_00/nserire<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 14
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 15
Codice sorgente in VBA<br />
Pulsante nPX<br />
• Private Sub CommandButton1_Click()<br />
• Dim lx, lxn, n, x, npx, nqx, n1qx, px As Long<br />
• Range("K2").Activate<br />
• x = ActiveCell.Value<br />
• n = ActiveCell.Offset(1, 0).Value<br />
• Range("B5").Activate<br />
• lx = ActiveCell.Offset(x, 0)<br />
• lxn = ActiveCell.Offset(x + n, 0)<br />
• npx = lxn / lx<br />
• Range("F5").Activate<br />
• ActiveCell.Offset.Value = npx<br />
• End Sub<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 16
Codice sorgente in VBA<br />
Pulsante /nQx<br />
• Private Sub CommandButton2_Click()<br />
• Dim lx, lxn, n, x, npx, nqx, n1qx, px As Long<br />
• Range("K2").Activate<br />
• x = ActiveCell.Value<br />
• n = ActiveCell.Offset(1, 0).Value<br />
• Range("B5").Activate<br />
• lx = ActiveCell.Offset(x, 0)<br />
• lxn = ActiveCell.Offset(x + n, 0)<br />
• nqx = (lx - lxn) / lx<br />
• Range("G5").Activate<br />
• ActiveCell.Offset.Value = nqx<br />
• End Sub<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 17
Codice sorgente in VBA<br />
Pulsante n/Qx<br />
• Private Sub CommandButton3_Click()<br />
• Dim lx, dxn, n, x, npx, nqx, n1qx, px As Long<br />
• Range("K2").Activate<br />
• x = ActiveCell.Value<br />
• n = ActiveCell.Offset(1, 0).Value<br />
• Range("B5").Activate<br />
• lx = ActiveCell.Offset(x, 0)<br />
• Range("C5").Activate<br />
• dxn = ActiveCell.Offset(x + n, 0)<br />
• n1qx = dxn / lx<br />
• Range("H5").Activate<br />
• ActiveCell.Offset.Value = n1qx<br />
• End Sub<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 18
Elaborazione funzione biometrica<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 19
Elaborazione funzione biometrica<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 20
Esercizio n. 1<br />
Per un uomo di 40 anni calcolare <strong>le</strong> seguenti probabil<strong>it</strong>à:<br />
a) di sopravvivere <strong>per</strong> un anno;<br />
b) di sopravvivere <strong>per</strong> 25 anni;<br />
c) di morire entro 30 anni;<br />
d) di raggiungere gli 80 anni e morire entro un anno.<br />
Svolgimento<br />
Per un uomo di 40 anni, utilizzando la Tavola di mortal<strong>it</strong>à Italia maschi 2002, si calcolano <strong>le</strong><br />
seguenti probabil<strong>it</strong>à con approssimazione a meno di 10 -6 :<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
/<br />
p<br />
25<br />
30<br />
40<br />
p<br />
q<br />
40<br />
l<br />
<br />
l<br />
40<br />
40<br />
/ q<br />
41<br />
40<br />
l<br />
<br />
l<br />
l<br />
<br />
40<br />
65<br />
40<br />
40<br />
<br />
d<br />
<br />
l<br />
96.<br />
311<br />
96.<br />
465<br />
<br />
82.<br />
680<br />
<br />
96.<br />
465<br />
l<br />
l<br />
40<br />
80<br />
40<br />
70<br />
<br />
0,<br />
998404<br />
0,<br />
857098<br />
96465 73.<br />
737<br />
96.<br />
465<br />
3.<br />
688<br />
<br />
96.<br />
465<br />
<br />
0,<br />
038231<br />
0,<br />
235609<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 21
Esercizio n. 2<br />
Calcolare <strong>le</strong> probabil<strong>it</strong>à <strong>per</strong> due fratelli di 30 e 36 anni:<br />
a) di essere in v<strong>it</strong>a entrambi fra 15 anni;<br />
b) che almeno uno sia in v<strong>it</strong>a fra 40 anni.<br />
Svolgimento<br />
Supponendo che gli eventi “è in v<strong>it</strong>a il primo fratello dopo n anni” e “è in v<strong>it</strong>a il secondo fratello dopo<br />
n anni” siano indipendenti, <strong>per</strong> il teorema del<strong>le</strong> probabil<strong>it</strong>à composte, dalla tavola di sopravvivenza<br />
Italia maschi 2002 si ricava ( con approssimazione a meno di 10 -6 ):<br />
a)<br />
P<br />
<br />
15<br />
p<br />
.<br />
30 15<br />
p<br />
36<br />
<br />
l<br />
l<br />
45<br />
30<br />
l<br />
.<br />
l<br />
51<br />
36<br />
<br />
l<br />
95.<br />
592<br />
97.<br />
776<br />
l<br />
93.<br />
821<br />
. <br />
97.<br />
031<br />
l<br />
30 70 36 76<br />
b) P 1<br />
40 q30.<br />
40q36<br />
1<br />
. 0,<br />
762276<br />
l30<br />
l36<br />
l<br />
0,<br />
945320<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 22
Esercizio n. 3<br />
Determinare <strong>per</strong> un uomo di 30 anni la v<strong>it</strong>a probabi<strong>le</strong>, cioè quanti anni può ancora vivere con<br />
probabil<strong>it</strong>à di sopravvivenza non inferiore alla probabil<strong>it</strong>à di morte.<br />
Svolgimento<br />
Il prob<strong>le</strong>ma si riduce a risolvere l’equazione: dove l’incogn<strong>it</strong>a è n=numero di<br />
anni.<br />
Quindi:<br />
n<br />
l<br />
l<br />
l<br />
p<br />
30n<br />
30<br />
30<br />
30n<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
. l<br />
2<br />
30<br />
<br />
1<br />
. 97.<br />
776<br />
2<br />
n px<br />
1<br />
<br />
2<br />
48.<br />
888,<br />
00<br />
La relazione equiva<strong>le</strong> a trovare dopo quanti anni si dimezzano i viventi all’età x.<br />
Dal<strong>le</strong> tavo<strong>le</strong> si ricava:<br />
78
Calcolo della v<strong>it</strong>a probabi<strong>le</strong> con Excel
V<strong>it</strong>a probabi<strong>le</strong><br />
Per ricavare con Excel il valore della v<strong>it</strong>a probabi<strong>le</strong>, così come richiesto nell’esercizio n. 3, si procede nel<br />
modo seguente:<br />
a) si fissano i due punti esterni al valore trovato dalla formula<br />
punto p1(78;49.827)<br />
punto p2(79;46.777)<br />
1<br />
. 97.<br />
776 <br />
2<br />
48.<br />
888,<br />
00<br />
b) si calcola la retta interpolante che passa <strong>per</strong> i punti p1 e p2, a tal propros<strong>it</strong>o si utilizza la funzione<br />
TENDENZA che calcola l'equazione della retta di interpolazione lineare con il metodo dei minimi quadrati.<br />
La funzione TENDENZA rest<strong>it</strong>uisce il valore Y della retta corrispondente ad un valore X indicato<br />
dall'o<strong>per</strong>atore.<br />
Nel nostro caso, la variabi<strong>le</strong> indipendente (variabi<strong>le</strong> X) è data dal numero di sopravviventi a 78 e 79 anni,<br />
ossia:<br />
X1=49.827 e X2=46.777<br />
mentre la variabi<strong>le</strong> dipendente (variabi<strong>le</strong> Y) è data dall’età Y1=78 e Y2=79.<br />
Il grafico, <strong>per</strong>tanto, dovrebbe essere costru<strong>it</strong>o invertendo <strong>le</strong> coordinate. Riportiamo di segu<strong>it</strong>o la generica<br />
funzione TENDENZA: =TENDENZA(y_nota;x_nota;nuova_x;cost)<br />
c) di conseguenza, sost<strong>it</strong>uendo i rispettivi valori della X ed Y con i rispettivi indirizzi di cella si ha<br />
=TENDENZA(A82:A83;B82:B83;48888)<br />
Gli argomenti della nostra funzione TENDENZA, partendo da destra, sono:<br />
48.888 – definisce il terzo argomento (nuova_x) ed indica il valore X del qua<strong>le</strong> si intende conoscere il<br />
corrispondente valore di Y;<br />
B82:B83 – definiscono <strong>le</strong> coordinate della X a noi note, ossia 49.827 e 46.777 ( <strong>le</strong> coordinate sono<br />
invert<strong>it</strong>e);<br />
A82:A83 – definiscono <strong>le</strong> coordinate della Y a noi note, cioè 78 e 79 ( coordinate invert<strong>it</strong>e).<br />
Come si può notare, abbiamo omesso il terzo argomento (cost): esso è un valore logico e può va<strong>le</strong>re<br />
falso se la retta passa <strong>per</strong> l’origine (e quindi si ha: Y=mx), diversamente, se va<strong>le</strong> vero oppure è omesso,<br />
come nel nostro caso, la funzione viene calcolare normalmente secondo la formula Y=mx+q.<br />
La funzione così costru<strong>it</strong>a andrà a sost<strong>it</strong>uire il valore X nella retta di interpolazione creata (Y=mX+q), in<br />
modo da ricavare il valore di Y. Il risultato ottenuto sarà Y=78,31, ossia, <strong>per</strong> un uomo di 30 anni la v<strong>it</strong>a<br />
probabi<strong>le</strong> è circa di 48 anni e 3 mesi.<br />
l30n 1 30<br />
. l<br />
2
Funzione TENDENZA()
Assicurazione di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o<br />
L’assicurazione di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o (detta anche assicurazione e<strong>le</strong>mentare di v<strong>it</strong>a) è il<br />
più semplice tipo di assicurazione sulla v<strong>it</strong>a.<br />
In genera<strong>le</strong>, con l’assicurazione di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o, una <strong>per</strong>sona di età x assicura a<br />
se stessa un cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> C, esigibi<strong>le</strong> a una determinata scadenza solo se sarà in v<strong>it</strong>a.<br />
Rappresentiamo il prob<strong>le</strong>ma con uno schema tempora<strong>le</strong>:<br />
C<br />
x x+n t<br />
Indichiamo con x l’età della <strong>per</strong>sona e con x+n la scadenza.<br />
Se il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> assicurato è un<strong>it</strong>ario (cioè di un euro) il suo valore attua<strong>le</strong>, alla<br />
stipulazione del contratto, è (1+i) -n = v n<br />
Consideriamo la variabi<strong>le</strong> casua<strong>le</strong>:<br />
S=valore attua<strong>le</strong> del<strong>le</strong> somme che saranno pagate<br />
La variabi<strong>le</strong> casua<strong>le</strong> S può assumere i valori v n e 0, con la seguente distribuzione di<br />
probabil<strong>it</strong>à :<br />
S 0 v n<br />
P / nq x nP x<br />
Calcoliamo il valore medio della variabi<strong>le</strong> casua<strong>le</strong> S; ta<strong>le</strong> valore medio si indica con il<br />
simbolo nEx, quindi si ha:<br />
n<br />
E<br />
x<br />
n<br />
n<br />
n<br />
0./<br />
nqx<br />
v . n px<br />
v . n px<br />
v .<br />
xn<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 27<br />
l<br />
l<br />
x
Assicurazione di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o<br />
Cioè:<br />
n<br />
E<br />
x<br />
n<br />
v .<br />
l<br />
l<br />
xn<br />
x<br />
Interpretiamo il contratto di assicurazione come un gioco e ricordiamo che un gioco è<br />
equo se e solo se la posta da versare <strong>per</strong> partecipare al gioco è ugua<strong>le</strong> alla s<strong>per</strong>anza<br />
matematica (o valore medio) della vinc<strong>it</strong>a lorda.<br />
Questa s<strong>per</strong>anza matematica, che indichiamo con nEx, è il premio unico puro che la<br />
<strong>per</strong>sona di età x deve pagare <strong>per</strong> il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> assicurato di un euro esigibi<strong>le</strong> all’età x+n,<br />
a condizione di essere in v<strong>it</strong>a. Per un cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> C il premio unico puro U di<br />
un’assicurazione di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o, risulta:<br />
xn<br />
U <br />
C.<br />
n Ex<br />
C.<br />
.<br />
lx<br />
l<br />
v<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 28<br />
n
Esercizio n. 4<br />
Una <strong>per</strong>sona di 30 anni stipula un’assicurazione <strong>per</strong> garantirsi il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di €<br />
30.000 a 50 anni, se sarà in v<strong>it</strong>a.<br />
Qua<strong>le</strong> somma deve versare oggi?(Ossia, in forma esatta, “ Qual è il premio<br />
unico puro?”) Il contraente prevede la riscossione da parte dell’assicurato<br />
(che in questo caso è anche contraente e beneficiario) del cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di € 30.000<br />
al compimento dei 50 anni; la condizione è che sia in v<strong>it</strong>a a quell’età, nulla<br />
essendo dovuto dall’assicuratore agli eredi se quella <strong>per</strong>sona muore prima di<br />
compiere 50 anni.<br />
Svolgimento<br />
Si deve fissare un tasso tecnico e scegliere una tavola demografica.<br />
Scegliamo la Tavola di sopravvivenza Italia maschi 2002 e calcoliamo il<br />
premio unico nel caso che il tasso sia del 4%.<br />
U<br />
<br />
30.<br />
000.<br />
l50<br />
20<br />
94.<br />
175 20<br />
. 1,<br />
04 30.<br />
000.<br />
. 1,<br />
04 <br />
l<br />
97.<br />
776<br />
30<br />
13.<br />
184,<br />
89<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 29
Tavo<strong>le</strong> demografico-finanziarie<br />
Il valore medio nEx si può esprimere in modo diverso, moltiplicando numeratore e<br />
x<br />
denominatore <strong>per</strong> v , si ottiene:<br />
n x<br />
xn<br />
n lxn<br />
v . v . lxn<br />
v . lxn<br />
n Ex<br />
v . <br />
x<br />
x<br />
lx<br />
v . lx<br />
v . lx<br />
n<br />
Il prodotto v . l viene indicato con il simbolo Dx, detto simbolo di<br />
x<br />
n<br />
commutazione, cioè . Si ha quindi:<br />
D v . l<br />
x<br />
E<br />
x<br />
<br />
D<br />
n x<br />
xn<br />
Dx<br />
I valori di Dx <strong>per</strong> il tasso del 4% sono calcolati e riportati su appos<strong>it</strong>e tavo<strong>le</strong>,<br />
dette tavo<strong>le</strong> demografico-finanziarie, annesse al<strong>le</strong> tavo<strong>le</strong> demografiche.<br />
Costruiamo con un foglio e<strong>le</strong>ttronico <strong>le</strong> tavo<strong>le</strong> demografico-finanziarie <strong>per</strong> <strong>le</strong><br />
<strong>per</strong>sone di sesso maschi<strong>le</strong>: si precisa che al momento riportiamo nel foglio<br />
e<strong>le</strong>ttronico di excel solo il simbolo di commutazione Dx.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 30
Significato di nEx<br />
Dobbiamo esaminare meglio il significato di nEx.<br />
n<br />
Nella matematica finanziaria, il termine v è detto fattore finanziario di<br />
sconto e <strong>per</strong>mette di valutare il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di un euro, esigibi<strong>le</strong> dopo n anni.<br />
Il fattore nEx, ora introdotto, è detto fattore attuaria<strong>le</strong> di sconto ed è il valore<br />
attuaria<strong>le</strong> di un euro esigibi<strong>le</strong> da una <strong>per</strong>sona di età x dopo n anni, se sarà in<br />
v<strong>it</strong>a.<br />
n<br />
Poiché n E x v . n px<br />
, essendo la probabil<strong>it</strong>à n x
Tavo<strong>le</strong> demografico-finanziarie<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 32
Esercizio n. 5<br />
Il sig. Rossi Mario di 35 anni stipula un’assicurazione <strong>per</strong> garantirsi il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di €<br />
16.000 al compimento dei 65 anni, se sarà in v<strong>it</strong>a.<br />
Calcolare il premio unico puro.<br />
Svolgimento:<br />
Utilizzando la Tavola demografico-finanziaria creata precedentemente, con un<br />
tasso del 4% si ricava:<br />
U<br />
Esercizio n. 6<br />
Un 40-enne paga un premio unico puro di € 26.000 <strong>per</strong> un’assicurazione di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong><br />
differ<strong>it</strong>o. Qua<strong>le</strong> cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> potrà r<strong>it</strong>irare al compimento dei 62 anni se sarà in v<strong>it</strong>a?<br />
Svolgimento:<br />
Dall’equazione<br />
si ricava:<br />
C<br />
n<br />
E<br />
x<br />
C<br />
<br />
D<br />
C <br />
D<br />
xn<br />
x<br />
<br />
16.<br />
000<br />
26. 000 C E<br />
26.<br />
000<br />
<br />
22<br />
1<br />
E<br />
40<br />
<br />
22<br />
26.<br />
000<br />
D65<br />
6.<br />
460,<br />
01<br />
16.<br />
000<br />
<br />
D<br />
24.<br />
622,<br />
86<br />
<br />
4.<br />
198,<br />
40<br />
Versando oggi il premio di € 26.000 potrà r<strong>it</strong>irare a 62 anni il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di € 68.772,60<br />
35<br />
40<br />
D<br />
D<br />
40<br />
62<br />
<br />
26.<br />
000<br />
20.<br />
092,<br />
60<br />
7.<br />
596,<br />
04<br />
68.<br />
772,<br />
60<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 33
Esercizi da svolgere<br />
Esercizio n. 7<br />
Calcolare la probabil<strong>it</strong>à <strong>per</strong> due fratelli di 40 e 42 anni:<br />
a) che almeno uno sia in v<strong>it</strong>a fra 30 anni;<br />
b) di essere in v<strong>it</strong>a entrambi fra 13 anni.<br />
Esercizio n. 8<br />
Per un uomo di 35 anni calcolare:<br />
a) la probabil<strong>it</strong>à di sopravvivere altri 20 anni;<br />
b) la probabil<strong>it</strong>à di morire entro 25 anni;<br />
c) la probabil<strong>it</strong>à di raggiungere i 70 anni e morire entro un anno;<br />
d) la v<strong>it</strong>a probabi<strong>le</strong>.<br />
Esercizio n. 9<br />
Un signore di 32 anni vuo<strong>le</strong> investire il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di € 15.000 <strong>per</strong> 20 anni.<br />
Calcolare:<br />
a) qua<strong>le</strong> montante si cost<strong>it</strong>uisce in banca al tasso del 4%;<br />
b) qua<strong>le</strong> cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> può assicurare a se stesso fra 20 anni, se in v<strong>it</strong>a, con<br />
un’assicurazione di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o.<br />
Esercizio n.10<br />
Calcolare il premio unico puro del signor Mario se vuo<strong>le</strong> garantirsi il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di<br />
€32.000 al compimento di 78 anni, se sarà in v<strong>it</strong>a. Si consideri un tasso del 4% e<br />
un’età, all’atto della stipula dell’assicurazione, pari a 30 anni.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 34
Esercizio 11<br />
Il signor Dario di 27 anni stipula una assicurazione <strong>per</strong> garantirsi il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di € 20.000 al<br />
compimento dei 50 anni se in v<strong>it</strong>a e il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di € 35.000 al compimento dei 60 anni,<br />
sempre a condizione di essere in v<strong>it</strong>a.<br />
Calcolare il premio unico puro comp<strong>le</strong>ssivo che deve pagare.<br />
Svolgimento:<br />
Il contratto è cost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>o da due assicurazioni di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o e quindi, <strong>per</strong> il principio di<br />
composizione dei contratti, il premio unico puro è ugua<strong>le</strong> alla somma dei due premi<br />
unici.<br />
U<br />
Il signor Dario deve pagare il premio unico puro comp<strong>le</strong>ssivo di € 16.437,00<br />
Esercizio 9 ( pagina 34)<br />
Un signore di 32 anni vuo<strong>le</strong> investire il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di € 15.000 <strong>per</strong> 20 anni.<br />
Calcolare:<br />
a) qua<strong>le</strong> montante si cost<strong>it</strong>uisce in banca al tasso del 4%;<br />
b) qua<strong>le</strong> cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> può assicurare a se stesso fra 20 anni, se in v<strong>it</strong>a, con<br />
un’assicurazione di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o.<br />
Svolgimento:<br />
Si ricava : a)<br />
20.<br />
000<br />
b)<br />
M<br />
C<br />
<br />
<br />
23<br />
E<br />
27<br />
15.<br />
000<br />
15.<br />
000<br />
35.<br />
000<br />
33<br />
E<br />
27<br />
<br />
20.<br />
000<br />
D<br />
D<br />
20<br />
1,<br />
04 32.<br />
866,<br />
85<br />
<br />
1<br />
E<br />
D32<br />
15.<br />
000 <br />
D<br />
50<br />
27<br />
<br />
35.<br />
000<br />
34.<br />
314,<br />
00<br />
16.<br />
437,<br />
00<br />
20 32<br />
52<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 35<br />
D<br />
D<br />
60<br />
27
Come osservato nell’esercizio 9, il montante attuaria<strong>le</strong> risulta maggiore del montante<br />
finanziario. Bisogna <strong>per</strong>ò tenere conto che il montante finanziario è certo esigibi<strong>le</strong> da<br />
quella <strong>per</strong>sona o dai suoi eredi, mentre il montante attuaria<strong>le</strong> è <strong>le</strong>gato all’esistenza in<br />
v<strong>it</strong>a della <strong>per</strong>sona.<br />
Esercizio n. 12<br />
Risolvere il prob<strong>le</strong>ma 9 nell’ipotesi che a stipulare il contratto sia un 50-enne.<br />
Svolgimento:<br />
In questo caso il montante accumulato in banca sarebbe il medesimo, mentre <strong>per</strong><br />
l’assicurazione si avrebbe:<br />
C'<br />
15.<br />
000<br />
Che risulta su<strong>per</strong>iore al precedente.<br />
<br />
20<br />
1<br />
E<br />
50<br />
<br />
15.<br />
000<br />
<br />
D<br />
D<br />
41.<br />
976,<br />
00<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 36<br />
50<br />
70
Assicurazione di rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia<br />
Con l’assicurazione di rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia, l’assicurato si garantisce una successione di cap<strong>it</strong>ali, dette<br />
rate, esigibili <strong>per</strong>iodicamente a condizione di essere in v<strong>it</strong>a al<strong>le</strong> scadenze fissate. Queste rend<strong>it</strong>e, a<br />
differenza del<strong>le</strong> rend<strong>it</strong>e studiate in matematica finanziaria che sono esigibili comunque ( e <strong>per</strong><br />
questo sono dette “certe”), sono esigibili solo se l’assicurato è in v<strong>it</strong>a.<br />
Si distinguono quattro tipi di rend<strong>it</strong>e v<strong>it</strong>alizie:<br />
a) immediate illim<strong>it</strong>ate;<br />
b) differ<strong>it</strong>e illim<strong>it</strong>ate;<br />
c) immediate temporanee;<br />
d) differ<strong>it</strong>e temporanee.<br />
Ogni rend<strong>it</strong>a può essere anticipata o posticipata, <strong>per</strong>ò ta<strong>le</strong> distinzione non è essenzia<strong>le</strong>, anzi,<br />
talvolta può confondere e <strong>per</strong>ciò è più uti<strong>le</strong> l’indicazione della scadenza della prima rata.<br />
Il com<strong>it</strong>ato <strong>per</strong>manente del congresso internaziona<strong>le</strong> degli attuari (Madrid 1954) ha proposto di<br />
a a<br />
indicare con il valore attua<strong>le</strong> di una rend<strong>it</strong>a anticipata e con il valore attua<strong>le</strong> di una<br />
rend<strong>it</strong>a posticipata.<br />
Osserviamo che <strong>per</strong> <strong>le</strong> rend<strong>it</strong>e v<strong>it</strong>alizie non si parla di rend<strong>it</strong>e <strong>per</strong>petue, come nel caso del<strong>le</strong> rend<strong>it</strong>e<br />
certe, ma di rend<strong>it</strong>e illim<strong>it</strong>ate, intendendo con rend<strong>it</strong>e illim<strong>it</strong>ate <strong>le</strong> rend<strong>it</strong>e che durano finché la<br />
<strong>per</strong>sona è in v<strong>it</strong>a.<br />
Quando si parla di rend<strong>it</strong>a temporanea <strong>per</strong> n anni si intende che la durata è al massimo di n anni,<br />
se la <strong>per</strong>sona muore prima, la rend<strong>it</strong>a cessa al momento della sua morte.<br />
Si possono considerare rend<strong>it</strong>e annue e rend<strong>it</strong>e frazionate, ma nel nostro studio ci lim<strong>it</strong>eremo a<br />
rend<strong>it</strong>e annue di rata costante. Per determinare il premio puro di una rend<strong>it</strong>a scomponiamo la<br />
rend<strong>it</strong>a in tante assicurazioni di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o quante sono <strong>le</strong> rate e quindi il premio unico puro è<br />
ugua<strong>le</strong> alla somma dei relativi premi.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 37
a) Rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia immediata illim<strong>it</strong>ata<br />
Con questa assicurazione, la <strong>per</strong>sona ha dir<strong>it</strong>to a riscuotere la rata già dalla stipulazione<br />
del contratto (se la rend<strong>it</strong>a è anticipata), oppure dopo un anno (se la rend<strong>it</strong>a è<br />
posticipata), finché sarà in v<strong>it</strong>a.<br />
Esaminiamo dapprima il calcolo del valore attua<strong>le</strong> di una rend<strong>it</strong>a un<strong>it</strong>aria immediata<br />
anticipata illim<strong>it</strong>ata , ossia ta<strong>le</strong> che la prima rata è esigibi<strong>le</strong> alla stipulazione del<br />
contratto e l’ultima all’età estrema. Rappresentiamo l’o<strong>per</strong>azione con uno schema<br />
tempora<strong>le</strong>:<br />
x x+1 x+2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ω<br />
1 Ex<br />
2<br />
E<br />
x<br />
E <br />
x x<br />
Il premio unico ( cioè il valore attua<strong>le</strong> attuaria<strong>le</strong> della rend<strong>it</strong>a) è ugua<strong>le</strong> alla somma dei<br />
valori attuariali del<strong>le</strong> singo<strong>le</strong> rate e si indica con il simbolo a <br />
x ( dove x è l’età della<br />
<strong>per</strong>sona assicurata).<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 38<br />
t
a) Rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia immediata illim<strong>it</strong>ata<br />
Tenendo conto che la prima rata, essendo esigibi<strong>le</strong> sub<strong>it</strong>o, ha il valore 1, si ha:<br />
a x<br />
1 1Ex<br />
2<br />
Ex<br />
3E<br />
x .......<br />
<br />
xE<br />
x<br />
Ed esplic<strong>it</strong>ando, si ricava:<br />
a<br />
<br />
x<br />
1<br />
D<br />
D<br />
x<br />
1<br />
x2<br />
Per il calcolo basterebbe sommare tutti i Dx dall’età x fino all’età estrema ω. Nel<strong>le</strong> tavo<strong>le</strong><br />
demografiche finanziarie è già calcolata questa somma ed è indicata con il simbolo<br />
di commutazione ; precisamente:<br />
Quindi, il premio unico puro <strong>per</strong> una assicurazione di rend<strong>it</strong>a un<strong>it</strong>aria immediata<br />
illim<strong>it</strong>ata anticipata è: N x<br />
a x<br />
<br />
Dx<br />
Il premio unico puro <strong>per</strong> la rata R è:<br />
x<br />
<br />
x<br />
D<br />
D<br />
x<br />
...... <br />
D<br />
D<br />
<br />
x<br />
<br />
D<br />
x<br />
<br />
D<br />
x1<br />
x2<br />
x<br />
x<br />
Dx<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 39<br />
<br />
D<br />
D<br />
x<br />
........ <br />
N D Dx<br />
......<br />
<br />
N x x 1<br />
<br />
U R a<br />
R <br />
N<br />
D<br />
D
Se la rend<strong>it</strong>a, anziché anticipata, è posticipata ( ossia se la prima rata è esigibi<strong>le</strong> all’età<br />
x+1), è sufficiente togliere dalla somma precedente la prima rata di un euro; indicando<br />
con a il valore attua<strong>le</strong> attuaria<strong>le</strong> della rend<strong>it</strong>a posticipata illim<strong>it</strong>ata, si ha:<br />
x<br />
ax 1E x 2<br />
Ex<br />
3E<br />
x .......<br />
<br />
xE<br />
x<br />
<br />
Quindi, il premio unico puro <strong>per</strong> una rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia un<strong>it</strong>aria illim<strong>it</strong>ata posticipata ( ossia<br />
con la prima rata esigibi<strong>le</strong> dopo un anno), è:<br />
e analogamente se la rata è R.<br />
Dx1 Dx2<br />
........ D<br />
N x1<br />
U<br />
D<br />
x<br />
a<br />
x<br />
<br />
N<br />
<br />
R a<br />
D<br />
x<br />
x1<br />
x<br />
<br />
<br />
R <br />
D<br />
N<br />
x<br />
D<br />
x1<br />
x<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 40
I valori di Nx sono calcolati e riportati sul<strong>le</strong> appos<strong>it</strong>e tavo<strong>le</strong> demografico-finanziarie. Costruiamo con il<br />
foglio e<strong>le</strong>ttronico <strong>le</strong> tavo<strong>le</strong> demografico-finanziarie <strong>per</strong> <strong>le</strong> <strong>per</strong>sone di sesso maschi<strong>le</strong>: si precisa che verrà<br />
aggiunto il simbolo di commutazione Nx , in corrispondenza della colonna E, sub<strong>it</strong>o dopo la colonna già<br />
esistente del simbolo di commutazione Dx.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 41
U<br />
Esercizio n. 13<br />
Il signor Rossi di 46 anni vuo<strong>le</strong> garantirsi una rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia di € 20.000 annui.<br />
Determinare il premio unico puro nel caso in cui la rend<strong>it</strong>a duri tutta la v<strong>it</strong>a con la<br />
prima rata esigibi<strong>le</strong> sub<strong>it</strong>o, dopodiché calcolare il premio unico puro con prima rata<br />
posticipata. Per il calcolo si consideri un tasso tecnico del 4%.\<br />
Svolgimento:<br />
a) Il premio unico puro <strong>per</strong> una assicurazione di rend<strong>it</strong>a immediata illim<strong>it</strong>ata<br />
anticipata con rata R è:<br />
U 20.<br />
000 a<br />
<br />
46<br />
<br />
R <br />
U R a<br />
R <br />
N<br />
D<br />
46<br />
46<br />
<br />
b) Il premio unico puro <strong>per</strong> una assicurazione di rend<strong>it</strong>a immediata illim<strong>it</strong>ata<br />
posticipata con rata R è:<br />
R a<br />
x<br />
N<br />
R <br />
D<br />
x1<br />
x<br />
<br />
20.<br />
000<br />
<br />
N<br />
D<br />
x<br />
20.<br />
000<br />
461<br />
46<br />
<br />
<br />
20.<br />
000<br />
N<br />
D<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 42<br />
x<br />
x<br />
281.<br />
634,<br />
84<br />
15.<br />
698,<br />
24<br />
<br />
<br />
265.<br />
936,<br />
61<br />
15.<br />
698,<br />
24<br />
358.<br />
810,<br />
00<br />
<br />
338.<br />
810,<br />
00
) Rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia differ<strong>it</strong>a illim<strong>it</strong>ata<br />
Con questa assicurazione la <strong>per</strong>sona ha dir<strong>it</strong>to a riscuotere la rata della rend<strong>it</strong>a non<br />
sub<strong>it</strong>o, ma dopo m anni dalla stipulazione del contratto finché sarà in v<strong>it</strong>a.<br />
Anche qui si possono distinguere <strong>le</strong> rend<strong>it</strong>e differ<strong>it</strong>e in posticipate o anticipate, <strong>per</strong>ò<br />
indicando la scadenza della prima rata si possono considerare solo <strong>le</strong> rend<strong>it</strong>e<br />
anticipate. Infatti, una rend<strong>it</strong>a differ<strong>it</strong>a di m anni e posticipata equiva<strong>le</strong> a una rend<strong>it</strong>a<br />
anticipata differ<strong>it</strong>a di m+1 anni. Consideriamo <strong>per</strong>ciò soltanto <strong>le</strong> rend<strong>it</strong>e anticipate ( con<br />
l’avvertenza indicata <strong>per</strong> <strong>le</strong> posticipate). Calcoliamo il premio unico puro ( cioè il valore<br />
attua<strong>le</strong> attuaria<strong>le</strong>) di una rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia differ<strong>it</strong>a di m anni anticipata illim<strong>it</strong>ata un<strong>it</strong>aria,<br />
m a / x<br />
che si indica con il simbolo .<br />
L’o<strong>per</strong>azione è rappresentata dallo schema seguente<br />
1 1…………………………………1<br />
m Ex<br />
m E 1<br />
<br />
x Ex<br />
x<br />
x . . . . . . . . . . . x+m x+m+1 ………………………… .ω t<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 43
) Rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia differ<strong>it</strong>a illim<strong>it</strong>ata<br />
Valutando <strong>le</strong> varie rate all’epoca della stipulazione del contratto, si ha:<br />
m / ax<br />
<br />
<br />
m<br />
E<br />
...... <br />
Il premio unico puro <strong>per</strong> una assicurazione di rend<strong>it</strong>a un<strong>it</strong>aria anticipata illim<strong>it</strong>ata<br />
differ<strong>it</strong>a di m anni, utilizzando il simbolo di commutazione Nx, è:<br />
Il premio unico <strong>per</strong> la rata R è:<br />
x<br />
<br />
m1<br />
E<br />
x<br />
m / ax<br />
<br />
U<br />
<br />
x<br />
D<br />
E<br />
x<br />
x<br />
m<br />
m /<br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
R<br />
a<br />
<br />
m /<br />
...... <br />
Per quanto detto in precedenza, se la rend<strong>it</strong>a è posticipata può essere traslata in<br />
anticipata e differ<strong>it</strong>a di m+1 anni e quindi risulta:<br />
D<br />
D<br />
<br />
x<br />
Osserviamo che <strong>le</strong> rend<strong>it</strong>e illim<strong>it</strong>ate, sia immediate che differ<strong>it</strong>e, sono <strong>le</strong> più comuni, e<br />
vengono dette pensioni. Le <strong>per</strong>sone giovani,sono più propense a stipulare rend<strong>it</strong>e<br />
differ<strong>it</strong>e, mentre <strong>le</strong> <strong>per</strong>sone anziani preferiscono rend<strong>it</strong>e immediate.<br />
xm<br />
D<br />
x<br />
xm1<br />
<br />
D<br />
N<br />
x<br />
x<br />
<br />
xm<br />
D<br />
R <br />
D<br />
xm1<br />
D<br />
x<br />
... <br />
N<br />
xm<br />
D<br />
x<br />
D<br />
<br />
a <br />
a<br />
<br />
m / x m1/<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 44<br />
x<br />
D<br />
D<br />
<br />
x
Esercizio n. 14<br />
Il signor Bianchi di 36 anni vuo<strong>le</strong> garantirsi una rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia illim<strong>it</strong>ata di € 12.000<br />
annui. Determinare il premio unico puro nel caso in cui la rend<strong>it</strong>a sia illim<strong>it</strong>ata con la<br />
prima rata scadente a 60 anni. Per il calcolo si consideri un tasso tecnico del 4%.<br />
Svolgimento:<br />
Il premio unico puro <strong>per</strong> una assicurazione di rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia differ<strong>it</strong>a illim<strong>it</strong>ata anticipata<br />
con rata R è:<br />
quindi :<br />
U 12.<br />
000<br />
a<br />
<br />
24/<br />
36<br />
<br />
U<br />
12.<br />
000<br />
R<br />
a<br />
<br />
<br />
N<br />
D<br />
m /<br />
60<br />
36<br />
<br />
x<br />
<br />
R <br />
12.<br />
000<br />
N<br />
xm<br />
D<br />
x<br />
113.<br />
183,<br />
10<br />
<br />
23.<br />
643,<br />
42<br />
12.<br />
000<br />
4,<br />
7871<br />
57.<br />
445,<br />
20<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 45
c) Rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia immediata temporanea<br />
Meno importanti sono in pratica <strong>le</strong> rend<strong>it</strong>e v<strong>it</strong>alizie temporanee, sia immediate che<br />
differ<strong>it</strong>e. Con questa assicurazione la <strong>per</strong>sona ha dir<strong>it</strong>to a riscuotere la rata della rend<strong>it</strong>a<br />
alla stipulazione del contratto se la rend<strong>it</strong>a è anticipata, dopo un anno se la rend<strong>it</strong>a è<br />
posticipata, <strong>per</strong> la durata di n anni, purché sia in v<strong>it</strong>a.<br />
Calcoliamo il premio unico puro (cioè il valore attua<strong>le</strong> attuaria<strong>le</strong>) di una rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia<br />
un<strong>it</strong>aria immediata temporanea <strong>per</strong> n anni anticipata.<br />
Ta<strong>le</strong> rend<strong>it</strong>a si indica con il simbolo n a / x . L’o<strong>per</strong>azione è schematizzata nel grafico<br />
seguente:<br />
1 Ex<br />
2 Ex<br />
n1 E<br />
x x+1 x+2 ……………………x+n-1 x+n t<br />
Il premio unico puro è dato da:<br />
e quindi:<br />
x<br />
/ n<br />
a<br />
<br />
x<br />
1<br />
1<br />
E<br />
x<br />
<br />
2<br />
E<br />
x<br />
...... <br />
n1<br />
E<br />
x<br />
1<br />
D<br />
D<br />
x1<br />
x<br />
<br />
D<br />
x2<br />
D<br />
...... <br />
xn1<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 46<br />
x<br />
D<br />
D<br />
x
Il premio unico puro è dato da:<br />
c) Rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia immediata temporanea<br />
La somma a numeratore è una somma tronca; si vede facilmente che si può scrivere<br />
come differenza di due simboli di commutazione N; infatti:<br />
D<br />
<br />
<br />
x<br />
D<br />
N<br />
<br />
x<br />
x<br />
D<br />
<br />
<br />
x1<br />
D<br />
N<br />
..... <br />
x1<br />
xn<br />
D<br />
.... <br />
xn1<br />
D<br />
<br />
xn1<br />
Il premio unico puro <strong>per</strong> una assicurazione di rend<strong>it</strong>a immediata anticipata un<strong>it</strong>aria<br />
temporanea <strong>per</strong> n anni è:<br />
/ n<br />
Il premio unico puro <strong>per</strong> la rata R è:<br />
/ n<br />
a<br />
<br />
( D<br />
a<br />
<br />
x<br />
<br />
U<br />
x<br />
<br />
xn<br />
N<br />
La relazione può essere interpretata come differenza fra due rend<strong>it</strong>e illim<strong>it</strong>ate, la prima<br />
immediata e la seconda differ<strong>it</strong>a con la stessa rata R.<br />
x<br />
D<br />
x<br />
<br />
.... <br />
<br />
N<br />
D<br />
xn<br />
Dx<br />
R<br />
a<br />
<br />
/<br />
n<br />
x<br />
D<br />
x1<br />
<br />
<br />
.... D<br />
xn1<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 47<br />
D<br />
x<br />
) ( D<br />
xn<br />
.... <br />
<br />
N x Dx<br />
Dx<br />
1 ......<br />
<br />
R<br />
<br />
N<br />
x<br />
<br />
D<br />
N<br />
x<br />
xn<br />
D<br />
<br />
D<br />
)
d) Rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia differ<strong>it</strong>a temporanea<br />
Con questa assicurazione, una <strong>per</strong>sona di età x si garantisce il godimento di n rate (al<br />
più) con inizio fra m anni.<br />
Con passaggi analoghi ai precedenti si ricava che il premio unico puro <strong>per</strong><br />
un’assicurazione di rend<strong>it</strong>a anticipata un<strong>it</strong>aria differ<strong>it</strong>a di m anni e temporanea di n<br />
anni, è:<br />
Esercizio N.15<br />
Il sig. Matteo di 36 anni vuo<strong>le</strong> garantire una rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia di € 12.000 annui.<br />
Determinare il premio unico puro nei seguenti casi :<br />
a) la rend<strong>it</strong>a abbia una durata di 25 anni con la prima rata scadente fra un anno;<br />
b) la rend<strong>it</strong>a abbia una durata di 20 anni con la prima rata scadente al compimento dei<br />
48 anni; ( si consideri in entrambi i casi un tasso del 4%).<br />
Svolgimento:<br />
a)<br />
b)<br />
m / n<br />
a<br />
<br />
x<br />
<br />
N<br />
xm<br />
<br />
D<br />
N<br />
x<br />
xm<br />
n<br />
N37<br />
N62<br />
U 12.<br />
000 /<br />
25 a36<br />
12.<br />
000 182.<br />
391,<br />
60euro<br />
D36<br />
N 48 N68<br />
U 12.<br />
000 a<br />
12/<br />
20 36 12.<br />
000 98.<br />
478,<br />
00euro<br />
D<br />
36<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 48
Esercizio N.16<br />
Il sig. Marco di 46 anni vuo<strong>le</strong> garantire una rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia di € 22.000 annui.<br />
Determinare il premio unico puro nei seguenti casi :<br />
a) la rend<strong>it</strong>a abbia una durata di 25 anni con la prima rata scadente fra un anno;<br />
b) la rend<strong>it</strong>a abbia una durata di 20 anni con la prima rata scadente al compimento di<br />
48 anni.<br />
Si consideri un tasso di interessi del 4%.<br />
Svolgimento:<br />
Il premio unico puro del<strong>le</strong> varie rend<strong>it</strong>e si ottiene con la semplice applicazione del<strong>le</strong><br />
formu<strong>le</strong>:<br />
a) Trattandosi di rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia immediata posticipata temporanea <strong>per</strong> n anni, si ha:<br />
U<br />
22.<br />
000<br />
/ 25<br />
a<br />
46<br />
<br />
22.<br />
000<br />
<br />
N<br />
47<br />
N<br />
D<br />
46<br />
72<br />
22.<br />
000<br />
14,<br />
5684 <br />
€ 320.<br />
504,<br />
80<br />
b) Poiché trattasi di rend<strong>it</strong>a anticipata differ<strong>it</strong>a di m anni e temporanea di n anni, si<br />
ha:<br />
U 22.<br />
000<br />
a<br />
<br />
2 / 20<br />
46<br />
<br />
22.<br />
000<br />
<br />
N<br />
48<br />
<br />
<br />
D<br />
46<br />
N<br />
68<br />
<br />
€ 271.<br />
917,<br />
80<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 49
Assicurazione in caso di morte<br />
Le assicurazioni in caso di morte impegnano la Compagnia di Assicurazione al<br />
pagamento della somma assicurata, nel caso si verifichi la morte dell’assicurato<br />
durante il <strong>per</strong>iodo previsto dal contratto. Come <strong>per</strong> <strong>le</strong> rend<strong>it</strong>e, vi sono vari tipi di<br />
assicurazioni in caso di morte, secondo il <strong>per</strong>iodo assicurato.<br />
Consideriamo <strong>per</strong> prima l’assicurazione e<strong>le</strong>mentare di morte, che interessa solo da<br />
un punto di vista teorico, ma <strong>per</strong>mette di ricavare <strong>le</strong> formu<strong>le</strong> di tutte <strong>le</strong> altre<br />
assicurazioni. L’assicurazione si impegna a pagare il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di un euro fra (m+1) anni,<br />
se l’assicurato morirà nell’anno compreso fra <strong>le</strong> età (x+m) e (x+m+1)<br />
Nello schema evidenziamo con un arco il <strong>per</strong>iodo co<strong>per</strong>to da assicurazione:<br />
x x+m x+m+1 t<br />
Anche in questo caso, come <strong>per</strong> l’assicurazione di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o, l’impegno<br />
dell’assicurazione è una variabi<strong>le</strong> casua<strong>le</strong>:<br />
S=valore attua<strong>le</strong> del<strong>le</strong> somme che saranno pagate, avente distribuzione:<br />
S 0<br />
P<br />
m1<br />
v<br />
m x q 1 /<br />
m /<br />
qx<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 50
Assicurazione in caso di morte<br />
E quindi il valore medio, che rappresenta il premio unico puro e si indica con<br />
Risulta:<br />
Trasformando questa relazione, si può scrivere:<br />
Introducendo un nuovo simbolo di commutazione:<br />
Si ha:<br />
m /<br />
1<br />
m1<br />
m1<br />
m / 1 A x 0 ( 1<br />
m / qx<br />
) v m<br />
/ qx<br />
v m<br />
/<br />
A<br />
x<br />
m / 1<br />
<br />
A<br />
C<br />
x<br />
<br />
xm<br />
D<br />
x<br />
v<br />
m1<br />
<br />
d<br />
xm<br />
lx<br />
<br />
v<br />
m1<br />
m x A / 1<br />
Esaminiamo ora <strong>le</strong> assicurazioni di morte che hanno durata plurienna<strong>le</strong> e quindi si<br />
possono considerate come somma di tante assicurazioni e<strong>le</strong>mentari di morte quanti<br />
sono gli anni stabil<strong>it</strong>i dal contratto.<br />
<strong>Prima</strong> di esaminare <strong>le</strong> assicurazioni di morte, andiamo ad aggiungere l’indice di<br />
commutazione Cx nel foglio e<strong>le</strong>ttronico.<br />
v<br />
v<br />
x<br />
x<br />
l<br />
d<br />
x<br />
xm<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 51<br />
x<br />
q<br />
x<br />
v<br />
x1<br />
C <br />
d<br />
x
Si precisa che verrà aggiunto il simbolo di commutazione Cx , in corrispondenza della<br />
colonna F, sub<strong>it</strong>o dopo la colonna già esistente del simbolo di commutazione Nx.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 52
Assicurazione in caso di morte, v<strong>it</strong>a intera<br />
Introducendo un altro simbolo di commutazione che ev<strong>it</strong>a il calcolo della somma al<br />
numeratore, precisamente ,<br />
si ricava:<br />
A <br />
M<br />
x<br />
x<br />
Dx<br />
M x x x 1<br />
C C .....<br />
C<br />
Dove Ax è il valore attua<strong>le</strong> attuaria<strong>le</strong> di un euro , pagabi<strong>le</strong> alla fine dell’anno in cui<br />
avverrà la morte dell’assicurato, in qualunque anno avvenga il decesso.<br />
Se il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> assicurato è C, il premio unico puro <strong>per</strong> un’assicurazione di morte<br />
immediata v<strong>it</strong>a intera è quindi:<br />
<strong>Prima</strong> di esaminare l’assicurazione in caso di morte temporanea, andiamo ad<br />
aggiungere l’indice di commutazione Mx nel foglio e<strong>le</strong>ttronico.<br />
x<br />
<br />
U <br />
C A C <br />
M<br />
D<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 54<br />
x<br />
x
Si precisa che verrà aggiunto il simbolo di commutazione Mx , in corrispondenza della<br />
colonna G, sub<strong>it</strong>o dopo la colonna già esistente del simbolo di commutazione Cx.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 55
Assicurazione in caso di morte, temporanea<br />
Con questo contratto, la Compagnia di Assicurazione si impegna a pagare agli eredi il<br />
cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> assicurato alla fine dell’anno in cui avverrà la morte dell’assicurato, se e solo se<br />
la morte avverrà entro n anni dalla stipulazione del contratto.<br />
L’assicurazione risulta la somma di n assicurazioni e<strong>le</strong>mentari in caso di morte. Indicato<br />
con / n Ax<br />
il premio unico <strong>per</strong> l’assicurazione un<strong>it</strong>aria immediata temporanea di n<br />
anni, si ha:<br />
<br />
/ n<br />
A A A A ...<br />
A<br />
x / 1 x 1/<br />
1 x 2 / 1 x n1/<br />
1 x<br />
Cx Cx1<br />
Cx<br />
n1<br />
Cx<br />
Cx1<br />
.... Cx<br />
n1<br />
D<br />
x<br />
<br />
D<br />
Il numeratore è una somma tronca dei simboli Cx; con procedimento analogo a quello<br />
visto <strong>per</strong> <strong>le</strong> rend<strong>it</strong>e v<strong>it</strong>alizie, si può scriverlo come differenza Mx-Mx+n e si ottiene il<br />
premio unico puro <strong>per</strong> un’assicurazione in caso di morte, un<strong>it</strong>aria, immediata e<br />
temporanea <strong>per</strong> n anni: M M se il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> assicurato è C il premio<br />
Unico puro <strong>per</strong> l’assicurazione è:<br />
U<br />
C<br />
/<br />
n<br />
A<br />
x<br />
<br />
C<br />
x<br />
<br />
.... <br />
/ n<br />
M<br />
x<br />
A<br />
x<br />
<br />
M<br />
D<br />
xn<br />
x<br />
D<br />
D<br />
x<br />
x<br />
xn<br />
<br />
x E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 56<br />
D<br />
x
Assicurazione in caso di morte, differ<strong>it</strong>a<br />
Le assicurazioni di morte differ<strong>it</strong>e sono poco frequenti nella pratica, vengono utilizzate<br />
soprattutto se vi sono cap<strong>it</strong>ali assicurati diversi in <strong>per</strong>iodi diversi.<br />
Con questo contratto la Compagnia di Assicurazione pagherà la somma stabil<strong>it</strong>a solo<br />
se l’assicurato morirà dopo m anni dalla stipulazione del contratto. Indicando con<br />
m x A /<br />
il premio unico puro, <strong>per</strong> l’assicurazione di morte differ<strong>it</strong>a a v<strong>it</strong>a intera di<br />
cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> un<strong>it</strong>ario, si ricava facilmente che il premio unico puro <strong>per</strong> un’assicurazione<br />
in caso di morte, differ<strong>it</strong>a, illim<strong>it</strong>ata è :<br />
m /<br />
A<br />
x<br />
<br />
M<br />
D<br />
xm<br />
x<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 57
Assicurazione in caso di morte, differ<strong>it</strong>a e temporanea<br />
Anche questo contratto, come il precedente, è raramente stipulato, ma viene utilizzato<br />
soprattutto nella composizione di contratti in caso di morte con cap<strong>it</strong>ali diversi.<br />
Con questo contratto, l’assicurato garantisce agli eredi un cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> C se la sua morte<br />
avviene dopo n anni dalla stipula del contratto ed entro gli n anni successivi.<br />
m x A /<br />
Con procedimento analogo ai precedenti si ricava che il premio unico puro <strong>per</strong><br />
un’assicurazione in caso di morte, un<strong>it</strong>aria differ<strong>it</strong>a temporanea, è:<br />
m/<br />
n<br />
A<br />
x<br />
<br />
M<br />
xm<br />
<br />
M<br />
D<br />
x<br />
xm<br />
n<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 58
Esercizio n.17<br />
Calcolare il premio unico puro che un 28-enne deve pagare <strong>per</strong> assicurare agli eredi il<br />
cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di € 100.000 alla fine dell’anno di morte nei seguenti casi:<br />
a) in qualunque momento avvenga la sua morte;<br />
b) se il decesso avviene entro i 65 anni;<br />
c) se muore dal compimento dei 65 anni in poi.<br />
Si precisa che il tasso di interesse è del 4%.<br />
Svolgimento:<br />
Applicando <strong>le</strong> formu<strong>le</strong> relative ai vari tipi di assicurazioni si ricava:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
U<br />
U<br />
<br />
100.<br />
000<br />
100.<br />
000<br />
<br />
U<br />
100.<br />
000<br />
A<br />
/ 37<br />
37/<br />
28<br />
A<br />
A<br />
28<br />
28<br />
<br />
100.<br />
000<br />
<br />
<br />
100.<br />
000<br />
<br />
100.<br />
000<br />
<br />
<br />
M<br />
D<br />
28<br />
28<br />
M<br />
M<br />
D<br />
28<br />
65<br />
28<br />
<br />
€ 16.<br />
690,<br />
00<br />
M<br />
D<br />
28<br />
<br />
65<br />
<br />
€ 10.<br />
920,<br />
00<br />
€ 5.<br />
770,<br />
00<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 59
<strong>Assicurazioni</strong> in caso di morte con cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> pagabi<strong>le</strong> all’atto della morte<br />
Per il calcolo dei premi puri nel<strong>le</strong> varie forme di assicurazione di morte, si è supposto<br />
che il pagamento del cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> assicurato avvenga alla fine dell’anno di morte, <strong>per</strong>ò<br />
l’assicuratore, generalmente, paga il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> assicurato all’atto del decesso<br />
dell’assicurato. Non essendo possibi<strong>le</strong> alla stipulazione del contratto conoscere il<br />
momento esatto della morte dell’assicurato, si pone che, nell’insieme di tutti gli<br />
assicurati, i decessi siano distribu<strong>it</strong>i uniformemente lungo tutto l’anno e <strong>per</strong>ciò <strong>per</strong> tutte<br />
<strong>le</strong> polizze si fa riferimento, come data del decesso di tutti gli assicurati, a metà anno e<br />
l’assicuratore, <strong>per</strong> comprendere la <strong>per</strong>d<strong>it</strong>a degli interessi di mezzo anno, maggiora i<br />
premi unici puri di qualsiasi assicurazione in caso di morte, cap<strong>it</strong>alizzandoli <strong>per</strong> 6 mesi,<br />
cioè moltiplicandoli <strong>per</strong> (1+i) 1/2 .<br />
Il premio unico puro <strong>per</strong> un’assicurazione in caso di morte, v<strong>it</strong>a intera, con il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di<br />
un euro, pagabi<strong>le</strong> all’atto di morte si indica con è dato da:<br />
Per il tasso al 4%, si calcola 1,04 1/2 =1,0198039<br />
Quanto detto va<strong>le</strong> <strong>per</strong> tutte <strong>le</strong> assicurazioni in caso di morte.<br />
A<br />
Ax <br />
Ax<br />
( 1<br />
i)<br />
x<br />
1/<br />
2
Esercizio N. 18<br />
Il Sig. Antonio di 38 anni con il pagamento del premio unico puro di € 30.000 intende<br />
garantire agli eredi un certo cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong>, pagabi<strong>le</strong> all’atto di morte se il decesso avviene<br />
prima del compimento dei 60 anni, un cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> doppio del precedente se la morte<br />
avviene dal compimento dei 60 anni entro i 70 e un cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> triplo del primo se la morte<br />
avviene dai 70 anni in poi. Calcolare l’importo dei cap<strong>it</strong>ali assicurati se il tasso è del 4%.<br />
Indicato con C il primo cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong>, con 2C il secondo e con 3C il terzo, si imposta<br />
l’equazione:<br />
30. 000 C A 2C<br />
A 3C<br />
A<br />
M<br />
/ 22<br />
1<br />
2<br />
38<br />
22/<br />
10<br />
38 60<br />
60 70<br />
70<br />
30. 000 C 1.<br />
04 2C<br />
1.<br />
04 3C<br />
<br />
C<br />
<br />
M<br />
( M<br />
38<br />
D<br />
38<br />
M<br />
60<br />
2M<br />
30.<br />
000<br />
60<br />
D<br />
2M<br />
70<br />
38<br />
M<br />
M<br />
Pertanto fino a 60 anni il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> assicurato è € 52.887,89, da 60 a 70 anni e €<br />
105.775,79, da 70 anni in poi è € 158.663,69<br />
D<br />
38<br />
3M<br />
70<br />
) 1<br />
38<br />
, 04<br />
32/<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 61<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
<br />
38<br />
M<br />
D<br />
38<br />
€ 52.<br />
887,<br />
89<br />
1<br />
. 04<br />
1<br />
2
<strong>Assicurazioni</strong> miste<br />
Le assicurazioni in caso di v<strong>it</strong>a cost<strong>it</strong>uiscono una forma di risparmio, in quanto vengono<br />
stipulate <strong>per</strong> provvedere alla necess<strong>it</strong>à della vecchiaia, <strong>le</strong> assicurazioni in caso di morte<br />
cost<strong>it</strong>uiscono una forma di previdenza, in quanto garantiscono un certo cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> agli<br />
eredi.<br />
Si stipulano sovente assicurazioni miste, formate combinando un’assicurazione in caso<br />
di v<strong>it</strong>a ( generalmente un’assicurazione di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o), con un’assicurazione in<br />
caso di morte, temporanea o illim<strong>it</strong>ata. Queste forme miste nel<strong>le</strong> quali l’assicuratore<br />
paga il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> o all’assicurato o agli eredi hanno anche il vantaggio psicologico di<br />
soddisfare l’assicurato, che, <strong>per</strong> certe assicurazioni, pensa di versare il premio senza<br />
ricavare alcuna somma.<br />
Vediamo <strong>le</strong> più importanti assicurazioni miste.<br />
a) Assicurazione mista semplice<br />
Con questo contratto l’assicurato, avente età x, garantisce a se stesso un cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong>, se<br />
raggiunge l’età x+n, e lo stesso cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> ai suoi eredi, se la sua morte avviene prima<br />
del compimento dell’età x+n.<br />
E’ questo il tipo di contratto più frequentemente stipulato; sovente poi il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong><br />
differ<strong>it</strong>o viene trasformato in una rend<strong>it</strong>a illim<strong>it</strong>ata, cioè in una pensione.<br />
Questa forma assicurativa comprende un’assicurazione di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o e<br />
un’assicurazione in caso di morte, immediata e temporanea. Il premio unico puro è<br />
la somma dei due premi.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 62
Assicurazione mista semplice<br />
Per il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di un euro, il premio si indica con A se nell’assicurazione di morte il<br />
x:<br />
n<br />
cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> è pagabi<strong>le</strong> all’atto del decesso.<br />
Si ricava:<br />
A<br />
<br />
E<br />
<br />
A<br />
<br />
D<br />
( M M ) ( 1<br />
i)<br />
xn<br />
x xn<br />
x: n n x / n x<br />
Dx<br />
Il premio unico puro <strong>per</strong> un’assicurazione mista semplice con cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> C, esigibi<strong>le</strong> in<br />
caso di premorienza all’atto del decesso, è:<br />
U<br />
<br />
C<br />
<br />
D<br />
xn<br />
( M M ) ( 1<br />
i)<br />
b) Assicurazione mista doppia<br />
È analoga all’assicurazione mista semplice, con la sola differenza che il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong><br />
assicurato agli eredi è metà del cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> assicurato a se stesso.<br />
Il premio unico puro <strong>per</strong> un’assicurazione mista doppia con cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> C, se il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> in<br />
caso di morte è esigibi<strong>le</strong> all’atto di morte, è:<br />
x<br />
D<br />
x<br />
xn<br />
1<br />
<br />
2<br />
U <br />
Cn<br />
Ex<br />
C / n<br />
A<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 63<br />
x<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2
c) Assicurazione mista a cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> raddoppiato<br />
Con questo contratto, l’assicurato garantisce a se stesso un cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong>, se in v<strong>it</strong>a all’età<br />
x+n e agli eredi lo stesso cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> alla sua morte, in qualunque momento essa<br />
avvenga. Quindi, il contratto è la composizione di un’assicurazione di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o<br />
con una assicurazione in caso di morte v<strong>it</strong>a intera. Osserviamo che, se l’assicurato<br />
muore prima di raggiungere l’età x+n, l’assicuratore paga agli eredi la somma<br />
assicurata. Se invece l’assicurato raggiunge l’età x+n, l’assicuratore gli corrisponde la<br />
somma assicurata e pagherà nuovamente la stessa somma agli eredi alla morte<br />
dell’assicurato. Per questo motivo si dice assicurazione a cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> raddoppiato, in<br />
quanto l’assicuratore può pagare due volte la somma assicurata. Il premio unico puro<br />
<strong>per</strong> un’assicurazione mista a cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> raddoppiato, se il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> in caso di morte è<br />
esigibi<strong>le</strong> all’atto di morte, è:<br />
U<br />
C<br />
n<br />
E<br />
x<br />
C <br />
A<br />
x<br />
C <br />
D<br />
xn<br />
M<br />
x<br />
D<br />
( 1<br />
i)<br />
x<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 64<br />
1<br />
2
Premi annui<br />
Nella maggior parte dei contratti di assicurazione è contemplato il pagamento, in luogo<br />
del premio unico, di premi <strong>per</strong>iodici, in genera<strong>le</strong> annui.<br />
Il premio annuo è pagato anticipatamente ed è <strong>le</strong>gato all’esistenza in v<strong>it</strong>a della <strong>per</strong>sona<br />
assicurata. E’ faci<strong>le</strong> determinare la relazione fra il premio unico puro e i premi anni puri.<br />
Per l’assicuratore, i premi annui puri, essendo il loro pagamento condizionato<br />
dall’esistenza in v<strong>it</strong>a dell’assicurato, cost<strong>it</strong>uiscono una rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia anticipata, in<br />
genera<strong>le</strong> temporanea, il cui valore attua<strong>le</strong> attuaria<strong>le</strong>, <strong>per</strong> il principio di equiva<strong>le</strong>nza<br />
finanziaria, è ugua<strong>le</strong> al premio unico puro. Indicato con P il premio annuo costante <strong>per</strong> h<br />
anni, si ha la fondamenta<strong>le</strong> relazione:<br />
h x a P U <br />
/<br />
Il numero massimo h dei premi non può su<strong>per</strong>are il differimento in caso di assicurazioni<br />
di cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> differ<strong>it</strong>o, di rend<strong>it</strong>e differ<strong>it</strong>e, di assicurazioni miste e non può su<strong>per</strong>are la<br />
durata nel caso di assicurazioni di morte temporanea.<br />
Per <strong>le</strong> assicurazioni di rend<strong>it</strong>e immediate non è concesso il pagamento del premio<br />
annuo. Per <strong>le</strong> assicurazioni di morte v<strong>it</strong>a intera il premio può essere pagato <strong>per</strong> tutta la<br />
durata in v<strong>it</strong>a dell’assicurato e in tal caso si parla di premio v<strong>it</strong>alizio e la relazione sopra<br />
diventa:<br />
U <br />
P a<br />
<br />
x<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 65
Esercizio n. 19<br />
Un signore di 28 anni stipula un’assicurazione mista semplice <strong>per</strong> il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> di € 45.000<br />
con scadenza a 58 anni e con cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> pagabi<strong>le</strong> agli eredi, in caso di morte, all’atto del<br />
decesso.<br />
Determinare il premio annuo che dovrà pagare <strong>per</strong> tutta la durata dell’assicurazione.<br />
Svolgimento:<br />
Il premio unico puro è dato da:<br />
Per la relazione vista precedentemente, si ha che ed<br />
eguagliando i due valori di U si ottiene:<br />
30 28<br />
quindi:<br />
P<br />
P<br />
<br />
N<br />
28<br />
<br />
D<br />
28<br />
N<br />
45.<br />
000<br />
U 45. 000(<br />
30E28<br />
/ 30A28)<br />
58<br />
D<br />
<br />
58<br />
45.<br />
000<br />
( M<br />
/ a P U <br />
Il premio annuo che il signore dovrà pagare <strong>per</strong> 30 anni è di € 823,50.<br />
28<br />
N<br />
28<br />
D<br />
<br />
58<br />
<br />
M<br />
( M<br />
N<br />
58<br />
58<br />
28<br />
) 1<br />
M<br />
D<br />
, 04<br />
28<br />
1<br />
2<br />
58<br />
) 1<br />
, 04<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 66<br />
<br />
1<br />
2<br />
€ 823,<br />
50
Cenni sui premi di tariffa<br />
I premi finora calcolati, sia unici sia annui, tengono conto solo degli impegni assunti<br />
dall’assicuratore <strong>per</strong> <strong>le</strong> varie forme di contratto, in base a una data tavola demografica e<br />
al tasso tecnico fissato. Le società di assicurazione, nella loro attiv<strong>it</strong>à, sostengono costi<br />
di vario tipi e inoltre vogliono realizzare un guadagno, quindi fanno pagare un premio<br />
maggiorato, detto premio di tariffa o caricato.<br />
Le spese sono sostanzialmente di tre tipi:<br />
-spese di acquisizione, sostenute dall’assicuratore alla stipulazione del contratto e<br />
comprendenti la provvigione pagata all’agente produttore, <strong>le</strong> spese <strong>per</strong> la vis<strong>it</strong>a medica,<br />
ecc,;<br />
-spese di incasso, sostenute dall’assicuratore <strong>per</strong> l’incasso dei premi ( ad esempio, <strong>le</strong><br />
<strong>per</strong>centuali pagate all’esattore);<br />
-spese di gestione, che sono sostenute dall’assicuratore <strong>per</strong> gestione dell’impresa,<br />
come spese generali, retribuzioni al <strong>per</strong>sona<strong>le</strong>, tasse, ecc. e fra esse eventua<strong>le</strong> margine<br />
di guadagno; queste spese vengono calcolate <strong>per</strong> tutta la durata dell’assicurazione.<br />
Il caricamento sui premi nel caso di contratti nei quali il pagamento del premio è unico<br />
è diverso dal caricamento o<strong>per</strong>ato nel caso di contratti con pagamento di premi annui,<br />
che sono <strong>le</strong>gati all’esistenza in v<strong>it</strong>a dell’assicurato. La determinazione del premio<br />
caricato è piuttosto comp<strong>le</strong>ssa. In genera<strong>le</strong>, si può applicare il caricamento come<br />
<strong>per</strong>centua<strong>le</strong> del premio puro, come <strong>per</strong>centua<strong>le</strong> del premio caricato stesso o come<br />
<strong>per</strong>centua<strong>le</strong> del cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong> assicurato. Naturalmente l’assicurato conosce i relativi premi di<br />
tariffa <strong>per</strong> i vari contratti e può prendere <strong>le</strong> sue decisioni secondo <strong>le</strong> proprie esigenze.<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 67
Vediamo un esempio di applicazione del premio di tariffa.<br />
Esercizio n. 20<br />
Un 40-enne stipula un’assicurazione <strong>per</strong> garantire a sé una rend<strong>it</strong>a v<strong>it</strong>alizia di €<br />
12.000 annue dal compimento dei 65 anni illim<strong>it</strong>ata e garantire agli eredi il cap<strong>it</strong>a<strong>le</strong><br />
di € 100.000 in caso di morte prima del compimento dei 65 anni, esigibili all’atto del<br />
decesso.<br />
Calcolare il premio unico di tariffa se la Società carica il premio puro del 30%.<br />
Svolgimento<br />
Si calcola dapprima il premio unico puro:<br />
U 12. 00025/<br />
a<br />
40<br />
100.<br />
000<br />
/ 25A40<br />
<br />
<br />
12.<br />
000<br />
<br />
N<br />
D<br />
65<br />
40<br />
<br />
Il premio di tariffa risulta:<br />
100.<br />
000<br />
U<br />
( M<br />
Pertanto il premio unico di tariffa è di € 66.188,69<br />
'<br />
<br />
40<br />
<br />
U 0,<br />
30U<br />
M<br />
D<br />
<br />
65<br />
40<br />
) 1<br />
, 04<br />
50.<br />
914,<br />
38<br />
E<strong>le</strong>menti di matematica attuaria<strong>le</strong> 68<br />
1<br />
2<br />
66.<br />
188,<br />
69