S8_probabilità - Università degli Studi della Basilicata

Elementi di probabilità 

Corso di STATISTICA 

Prof. Roberta Siciliano 

Ordinario di Statistica, Università di Napoli Federico II 

Professore supplente, Università della Basilicata 

a.a. 2011/2012 

Prof. Roberta Siciliano 

Statistica 1 

Obiettivo dell’unità didattica 

• Introdurre gli elementi fondamentali della 

teoria della probabilità e l’utilità per 

l’inferenza statistica 

Contenuti 

• Probabilità e inferenza statistica 

• Le diverse scuole 

• Elementi di calcolo delle probabilità 

Prof. Roberta Siciliano Statistica 

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1

Probabilità e inferenza statistica 

• La teoria della probabilità consente la 

costruzione di modelli matematici per lo 

studio di fenomeni aleatori o casuali 

• Sviluppa le conseguenze logico-deduttive 

che derivano dall'applicazione di tali 

modelli. 

Prof. Roberta Siciliano Statistica 3 

Il passaggio alla inferenza statistica 

• I risultati e gli schemi interpretativi 

della teoria della probabilità vengono 

poi utilizzati dall'inferenza statistica 

per giungere ad una scelta tra i modelli 

matematici alternativi che possono 

aver generato i dati campionari o 

sperimentali. 


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2

La differenza 

• Mentre la teoria della probabilità stabilisce i 

risultati che ci si può attendere 

dall'esecuzione di un esperimento o dalla 

rilevazione campionaria, l'inferenza 

statistica si serve dei risultati sperimentali o 

campionari per costruire o interpretare la 

legge generale sulla popolazione (secondo il 

metodo induttivo, dal particolare al 

generale). 


Esempio 

• Si supponga di dover determinare la proporzione di clienti che 

scelgono il pagamento con carta di credito, considerando il 

totale di clienti che acquistano con regolarità in un 

supermercato. 

• Il problema si traduce nella stima della probabilità che un 

cliente, che acquista con regolarità, scelga di pagare con carta 

di credito. 

• Tale stima dovrà essere effettuata in condizioni di incertezza, 

in quanto non è possibile rilevare tale informazione per la 

totalità dei clienti, bensì occorrerà basarsi sulle informazioni 

derivanti dalla rilevazione di un campione statistico di clienti 

che acquistano con regolarità. 


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3

Esempio 

• Con il calcolo delle probabilità si associa alla popolazione che 

genera i dati campionari, un modello matematicoprobabilistico 

da cui è possibile far discendere con logicadeduttiva 

i possibili risultati derivanti dall’estrazione casuale 

delle osservazioni campionarie. 

• Con il metodo induttivo si perviene alla stima e, attraverso il 

calcolo delle probabilità, è possibile controllare il margine di 

rischio o di incertezza derivante dall’informazione parziale. 


Il processo deduttivo 

• La Teoria della Probabilità deduce 

dal contenuto noto della 

popolazione il contenuto probabile 

del campione, cioè deduce le 

proprietà di un processo fisico da 

un modello matematico. 


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4

Il processo induttivo 

• L'Inferenza Statistica induce le 

caratteristiche della popolazione 

dall'analisi del contenuto del campione 

osservato, cioè inferisce le proprietà 

del modello matematico a partire 

dall'analisi dei dati campionari che 

sono stati osservati. 


Interpretazione della 

Probabilità 

• La Probabilità è un concetto che viene 

usato in molte discipline e che è ormai 

entrato a far parte del linguaggio 

corrente in quanto usualmente si 

devono prendere decisioni che, anche 

dopo aver esaminato le informazioni 

disponibili, vengono maturate in 

condizioni di incertezza. 


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Le Definizioni di Probabilità 

• Nonostante ciò è difficile dare un'interpretazione, 

e quindi una definizione, di probabilità che sia 

completamente soddisfacente ed esente da 

critiche. 

• Si sono succedute nella storia diverse scuole di 

pensiero: 

– I classici 

– I frequentisti 

– I soggettivisti 

– Gli assiomatici 


Scuola Classica 

• La probabilità è il rapporto tra il numero dei 

casi favorevoli al verificarsi di un risultato e 

il numero totale dei possibili risultati, 

ammesso che questi siano egualmente 

possibili. 

• Critica: la definizione è ridondante in 

quanto “egualmente possibili” è sinonimo di 

“egualmente probabili”. 


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Scuola Frequentista 

• La probabilità è il limite della frequenza 

relativa di un evento ripetibile quando 

cresce, oltre ogni limite, il numero delle 

prove. 

• Critica: non sempre è possibile ripetere 

l’esperimento all’infinito! 


Scuola Soggettivista 

• La probabilità rappresenta il grado di fiducia 

che un individuo coerente attribuisce al 

presentarsi di un evento, ovvero, per 

quantificare, come la somma p che è disposto 

a scommettere quando, verificandosi 

l'evento, vince 1. 

• Critica: il grado di fiducia è stabilito in 

maniera soggettiva e pertanto la probabilità 

non è univocamente determinata. 


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L'Impostazione Assiomatica 

• La probabilità non si definisce, è un 

concetto primitivo. 

• L’impostazione assiomatica si basa su: 

– Concetti Primitivi 

– Postulati 

– Teoremi fondamentali 


I concetti primitivi 

• Si introducono i Concetti 

Primitivi e la loro reciproca 

relazione: 

• "la Prova genera l'Evento con una 

certa Probabilità" 


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• Prova: è un esperimento 

soggetto a incertezza e può 

suddividersi in sottoprove. 


• Evento: è uno dei possibili risultati 

della prova e costituisce un insieme 

di descrizioni circa i possibili 

risultati dell'esperimento. 

• L'insieme di tutti i risultati possibili 

prende il nome di Spazio 

Campionario. 


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18 

9

• Probabilità: è un numero reale 

compreso tra 0 e 1 associato al 

presentarsi di un evento e gode 

di proprietà intuitive 

formalizzate nei postulati 


I postulati 

Si stabiliscono delle 

affermazioni, detti Postulati o 

Assiomi, che non si dimostrano 


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I teoremi fondamentali 

• Dai postulati si deducono tutte le 

possibili conseguenze, sia logiche 

sia matematiche, pervenendo alla 

dimostrazione dei Teoremi del 

calcolo delle probabilità. 


L'Algebra degli Eventi 

• a) Unione o Somma Logica fra due 

eventi A e B è quell'evento C che si 

verifica quando si verifica A oppure B 

oppure A e B contemporaneamente: 

• C = A ∪ B (“ A o B ”) 


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• b) Intersezione o Prodotto Logico 

fra due eventi A e B è quell'evento 

D che si verifica quando si verifica 

sia A sia B contemporaneamente: 

• D = A ∩ B (“ A e B ”) 


• c) Negazione di un evento A è 

quell'evento E che si verifica 

allorquando A non si verifica: 

• E = (“ non A ”) 

• Si può anche indicare con 


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Eventi particolari 

• Evento Certo = I: è l'evento che si verifica 

sempre; 

• Evento Impossibile = : è l'evento che non 

può mai verificarsi; 

• Evento Incompatibile: 

Eventi particolari 

• Evento Necessario: 

• Evento Elementare: 


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Alcune definizioni ….. 

• Spazio Campionario S: è l'insieme di tutti 

i risultati possibili dell'esperimento. 

• Spazio degli Eventi: una classe di eventi ai 

quali si vuole assegnare una probabilità e 

che questa classe sia un'algebra, ovvero che 

contenga S e come elementi e sia chiusa 

rispetto alla complementazione e all'unione. 


Alcune definizioni 

• Quando S è costituito da un numero finito k 

di elementi, lo spazio degli eventi può 

essere rappresentato dall'insieme di tutti i 

possibili sottoinsiemi di S ed ha cardinalità 

2 k . 


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28 

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Esempi 

• lancio di una moneta 


• lancio di un dado 

Esempi 


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Esempi 

• lancio di un dado (cont.) 


Diagrammi di Venn 

• Le relazioni dell'algebra degli eventi vengono 

illustrate su un piano mediante grafici caratteristici 

detti Diagrammi di Venn nei quali lo spazio 

campionario viene disegnato come un rettangolo 

all'interno del quale vengono posti insiemi chiusi 

che rappresentano gli eventi. Non interessa l'esatto 

contorno, quanto piuttosto le mutue relazioni fra di 

essi e con lo spazio campionario. 


31 

32 

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S 

A B S 

Diagrammi di venn 


S 

A B 


S 

Diagrammi di Venn 

Spazio Campionario 

S 

33 

34 

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I postulati del Calcolo delle Probabilità 

I. Positività: La Probabilità di un evento A è un 

numero unico non negativo: P(A)≥0. 

II.Certezza: La Probabilità dell’evento 

certo e quindi dello Spazio Campionario S è 

sempre 1: P(I)=P(S)=1. 

III. Unione: Se A e B sono eventi incompatibili, allora 

la probabilità della loro unione è la somma delle singole 

probabilità di A e B: 


Modello Probabilistico 

• Consiste nell'insieme ipotizzato dei 

risultati possibili di una prova e nella 

descrizione delle probabilità assegnate a 

tali risultati. 

• Spazio Campionario S: E' l'insieme di 

tutti i risultati possibili dell'esperimento. 


35 

36 

18

€ 

. 

Quando l’assegnazione delle probabilità ad eventi 

soddisfa i tre postulati, la funzione P(evento) viene 

definita funzione di probabilità. 


I Teoremi Fondamentali 

Teorema della Probabilità Totale 

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 

A 


B 

S 

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38 

19

€ 

I Teoremi Fondamentali (cont.) 

Generalizzazione al caso di 3 eventi 

A 

C 


B 

S 

Probabilità Condizionata 

• La probabilità dell'evento B, dato che si è 

verificato l'evento A, è il rapporto fra la 

probabilità del contemporaneo verificarsi di A e B 

e la probabilità di A, se questa è diversa da zero: 

Teorema della Probabilità Composta 

P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B) = P(A) × P(B | A) 


39 

40 

20

€ 

€ 

Indipendenza Stocastica 

• Due Eventi A e B sono Stocasticamente 

Indipendenti se: 

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 


Teorema di Bayes 

• Siano date due cause, A e la negazione di A, che possono 

generare l’evento E 

• Siano date le probabilità a-priori delle singole cause e le 

probabilità probative del verificarsi dell’evento E date le 

singole cause. 

• Si dimostrano le probabilità a-posteriori: 

P( A | E) 

= 

P( A | E) 

= 

P( A)P( 

E | A) 

P( A)P( 

E | A) 

= 

P( E) 

P( A)P( 

E | A) 

+ P( A )P( E | A ) 

P( A )P( E | A ) P( A )P( E | A ) 

= 

P( E) 

P( A)P( 

E | A) 

+ P( A )P E | A 


41 

( ) 

21

Una misura della Probabilità 

• Data una Prova che genera k eventi elementari 

• E 1 , ..., E k necessari , 

• E 1 ∪ E 2 ∪….∪ E k = I, 

• incompatibili a due a due 


Una misura della Probabilità 

• Dai postulati si deduce univocamente la misura 

della probabilità per ciascuno di essi 

€ 

P(E i) = 1 

k 


43 

44 

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Il postulato empirico del caso 

• In una successione di prove, ripetute molte 

volte nelle stesse condizioni, ogni evento si 

presenta con una frequenza relativa quasi 

uguale alla sua probabilità; 

• la differenza tra frequenza relativa e 

probabilità di un evento tende ad annullarsi 

all'aumentare delle prove. 


osservazioni 

la frequenza è un concetto a posteriori, cioè 

si calcola dopo aver compiuto 

l'esperimento, mentre la probabilità è un 

concetto a priori, cioè si calcola prima 

dell'esperimento e senza che sia necessario 

effettuarlo; 


45 

46 

23

osservazioni 

• nella teoria della probabilità alla parola 

"caso" non si dà il significato che gli affida 

il linguaggio comune; per lo statistico, in un 

esperimento concreto, "caso" è l'insieme di 

quei fattori che egli non ritiene 

preponderanti nel determinare il risultato 

della prova; 


osservazioni 

• la "tendenza" della frequenza relativa verso 

la probabilità di un evento non deve essere 

interpretata nel senso dell'analisi 

matematica (cioè come il limite di una 

successione); essa scaturisce solo da una 

universale convinzione circa il 

comportamento degli eventi casuali. 


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