Il taglio nelle sezioni in C.A. rinforzate con FRP - Università del Sannio

Il taglio nelle sezioni in C.A. rinforzate con FRP
1. Resistenza a taglio di travi in c.a.
Prima che si inneschino fenomeni fessurativi, la sollecitazione tagliante è equilibrata da
un sistema di tensioni principali che si sviluppano nel calcestruzzo, per cui in tale fase le
armature praticamente non partecipano alla resistenza. A fessurazione avvenuta, invece si
attivano diversi meccanismi resistenti a cui collaborano le parti di calcestruzzo compresse, le
armatura longitudinali tese e l’eventuale armatura trasversale presente (staffe e/o ferri
sagomati).
Per valutare la resistenza a taglio dopo la formazione della fessura si assimila la
struttura in esame ad una struttura reticolare (traliccio di Morsch), le cui aste orizzontali sono
un corrente compresso, costituito dal calcestruzzo in compressione al di sopra dell’asse
neutro, ed un corrente teso, costituito dall'armatura in trazione, collegate da un reticolo di
diagonali, compresse e tese. Tali diagonali sono formate dalle bielle compresse di
calcestruzzo delimitate dalle fessure inclinate e dalle armature trasversali tese (staffe e ferri
sagomati), che collegano i due correnti lungo l'elemento.
Fig.1
Da un punto di vista geometrico (fig.1) l'asse neutro dovuto alla flessione individua il corrente
compresso, l'armatura inferiore longitudinale rappresenta il corrente teso e le fessure diagonali
isolano le diagonali compresse di calcestruzzo; le armature trasversali disposte completano la
struttura reticolare resistente.
Questa schematizzazione non considera tuttavia l’effettivo comportamento della struttura.
Infatti le sperimentazioni condotte sulle travi in C.A. hanno mostrato che anche le travi prive
di armatura trasversale e dotate di sola armatura longitudinale hanno una resistenza a taglio
non nulla dovuta ad una serie di meccanismi resistenti, che lo schema proposto non porta in
conto. Inoltre si è osservato che le travi dotate di armatura trasversale in condizioni di rottura

presentano un’inclinazione delle fessure a taglio anche inferiore a 45°, consentendo un
maggiore sfruttamento delle armature.
L’approccio agli stati limite, pur adottando la schematizzazione del traliccio, introduce nel
computo della resistenza a taglio meccanismi resistenti che si attivano nelle travi anche in
assenza di specifica armatura a taglio e che, comunque, forniscono un contributo anche in
presenza della stessa.
In una trave armata solo longitudinalmente si attivano i seguenti meccanismi resistenti a
taglio:
• ingranamento inerti
• effetto spinotto
• effetto pettine
• effetto arco
1. Per quanto riguarda l'ingranamento inerti, il contributo di resistenza a taglio è dovuto
all’attrito che si sviluppa alle interfacce di una fessura obliqua, lungo la quale i due elementi
di trave tendono ad avere uno scorrimento relativo, e rappresenta la componente verticale
della risultante delle tensioni normali e tangenziali che insorgono sulla superficie di contatto.
Si tratta di un vero e proprio ingranaggio tra le due facce della fessura, dipendente dalle
modalità di formazione della fessura nel calcestruzzo: la fessurazione si manifesta, difatti,
secondo la superficie più debole del materiale, cioè all’interfaccia inerte-cemento, cosicchè gli
inerti si configurano come dei veri e propri denti. Come intuibile, il contributo dipende
dall'area di contatto, dall’ampiezza delle fessure, dalla presenza di una forza assiale di
compressione, dalle caratteristiche degli inerti.
2. Il secondo meccanismo chiamato effetto spinotto, è dovuto alla presenza delle armature
longitudinali che, attraversando la zona tesa fessurata, si oppongono allo scorrimento relativo
delle due parti di trave separate dalla fessura (Fig.2.).
57

Fig. 2. Effetto spinotto.
Il contributo resistente di tale effetto è funzione di un elevato numero di fattori ed in
particolare da:
- resistenza del conglomerato
- quantità di armatura longitudinale presente in trazione.
Solitamente l’effetto spinotto esplica un contributo resistente, rispetto agli altri meccanismi,
di piccola entità ed anzi, innescando lesioni di distacco lungo l’armatura longitudinale
(splitting), può incrementare l’apertura delle lesioni inclinate e conseguentemente ridurre
l’effetto portante per ingranamento degli inerti. Da questo punto di vista, l’armatura
longitudinale non sostenuta da staffe ha l’effetto di innescare prematuramente la rottura a
taglio.
3. L’effetto pettine è stato chiaramente evidenziato in travi con sola armatura longitudinale,
dove si è osservato che le bielle inclinate di calcestruzzo, ossia i puntoni di conglomerato
integro individuato da due fessure successive, si comportano come mensole incastrate nel
corrente compresso e caricate in basso dalla variazione della forza di trazione dell’armatura
longitudinale.
In tal modo nella sezione di incastro di tale mensola si ha una sollecitazione di pressoflessione
accompagnata da taglio. Il contributo apportato da tale meccanismo varia in funzione
dell’altezza della trave.
Nelle diverse esperienze eseguite, sembra che per altezze superiori ai 50 cm 1’effetto pettine
possa essere trascurato, divenendo prevalente la sollecitazione flessionale cui la mensola è
sottoposta.
58

4. In alcuni casi un’aliquota del taglio esterno può essere fronteggiata per effetto arco ossia
mediante la formazione nella trave di un arco-tirante. A differenza dei meccanismi
precedentemente descritti che si possono individuare come singoli contributi, il meccanismo
ad arco si manifesta mediante un comportamento globale della trave, in cui si viene a creare
un vero e proprio arco di calcestruzzo compresso che si instaura tra il punto di applicazione
della forza e gli appoggi, la cui sagoma è definita dal flusso delle tensioni di compressione.
L’effetto arco è rilevante solo per travi con elevato rapporto tra altezza e luce (travi tozze),
pertanto nelle tipologie di travi più ricorrenti è generalmente trascurabile ed anche le formule
normative non ne tengono conto.
Contributo dell’armatura trasversale
Il contributo alla resistenza a taglio dell’armatura trasversale è tradizionalmente ricavato sulla
base dell’analogia del traliccio di Ritter-Morsch, precedentemente introdotto.
In base a questa analogia una trave in c.a. con fessure inclinate può essere sostituita da una
travatura reticolare a correnti paralleli e con aste incernierate ai nodi. Questo modello assume
che le fessure si formino a 45° rispetto all’asse longitudinale e che le aste di parete siano
costituite da puntoni di calcestruzzo paralleli alle fessure e dalle armature a taglio che
svolgono il ruolo di tiranti.
In realtà il meccanismo a traliccio interagisce con i meccanismi di resistenza del calcestruzzo
e la resistenza a taglio da esso fornita non è un termine indipendente dagli altri meccanismi
resistenti. Le staffe hanno l’effetto di limitare l’apertura delle fessure diagonali, migliorando il
contributo di ingranamento degli inerti, e di migliorare l’effetto spinotto sostenendo le
armature longitudinali.
Inoltre, la collaborazione dell’armatura trasversale è rilevante nel meccanismo di trave,
mentre è meno efficace quando il contributo del meccanismo di arco prevale rispetto a quello
di trave.
Una volta definita l’esistenza di diversi contributi alla resistenza a taglio delle travi in C.A.,
per la valutazione del taglio ultimo si possono utilizzare due metodi: il metodo standard
suggerito sia dalla normativa italiana che dall'Eurocodice 2 con piccole differenze, ed il
metodo del traliccio ad inclinazione variabile.
Nel caso del metodo standard, la resistenza dell’elemento si ottiene sommando il contributo
della trave armata solo longitudinalmente (portando in conto il contributo del calcestruzzo) e
59

quello del traliccio che si forma in presenza di armature a taglio trasversali.
Nel metodo del traliccio ad inclinazione variabile si può valutare solo la resistenza di una
trave con armature trasversali ma considerando variabile l’inclinazione delle fessure si può
tenere in conto il contributo degli altri meccanismi resistenti.
Nella verifica del traliccio, sia per il metodo standard sia per il metodo ad inclinazione
variabile, si introduce la verifica delle bielle di calcestruzzo compresso, evidenziando quindi
la possibilità che la crisi dell’elemento per taglio si possa verificare non solo per insufficienza
di armatura trasversale, ma anche per eccessiva sollecitazione del calcestruzzo. Questo aspetto
è particolarmente importante per la valutazione della resistenza in presenza di interventi di
rinforzo, in quanto, in perfetta analogia con quanto già sottolineato per il rinforzo a flessione,
anche per il taglio l’incremento di resistenza che si può ottenere non dipende solo dalla
quantità di materiale di rinforzo, ma anche dalle modalità di crisi. Se la crisi a taglio si
verifica per schiacciamento del corrente o delle bielle compresse del traliccio resistente
l’applicazione della lamina può risultare inefficace.
60

1.1 Metodo standard dell’Eurocodice2
Il metodo standard è basato sul principio generale che la resistenza a taglio di un trave si
ottiene come somma della resistenza a taglio dell’elemento armato solo longitudinalmente e
di quella dovuta alla presenza di armature di parete che consentono la formazione di un
traliccio resistente.
Pertanto si possono considerare due possibili situazioni:
- elementi che non richiedono armatura a taglio
- elementi armati a taglio.
a) Elementi che non richiedono armatura a taglio
Non è richiesto il progetto di un’armatura a taglio specifica quando il taglio di progetto Vsd
risulti minore del contributo, VRd1, fornito dai meccanismi resistenti che si attivano in una
trave armata solo longitudinalmente:
Vrd1 rd 1
s
cp
in cui:
= [ τ ⋅ k ⋅ ( 1,
2 + 40ρ
) + 0.
15⋅
σ ] ⋅ b ⋅ d
1.
− τrd è la resistenza unitaria a taglio di calcolo del calcestruzzo: τ
Rd
0. 25⋅
f
=
γ
c
ctk 0.
05
dove fctk0.05 è il valore caratteristico inferiore della resistenza a trazione (frattile 5%) pari a:
fctk0.05 = 0.7⋅fctm
in cui fctm è la resistenza media a trazione del calcestruzzo:
f ⋅
2 / 3
ctm = 0. 3 fck
dove fck è la resistenza a compressione caratteristica del calcestruzzo
espressa in [MPa].
- k1 è un coefficiente, pari a 1 per elementi in cui più del 50% dell’armatura inferiore è
interrotta, o, in caso contrario, pari a:
k1=1.6—d ≥1 con d altezza utile della sezione espressa in metri.
61

− ρs=Asl /(bd) con As1 l’area dell’armatura longitudinale tesa che si estende oltre la sezione
che si verifica a taglio per una lunghezza non minore di d+lb,net, ove lb,net è la lunghezza
d’ancoraggio necessaria calcolata secondo normativa.
− σcp è la tensione longitudinale nella sezione dovuta ai carichi o alla precompressione,
positiva se di compressione.
- b è la larghezza minima dell’anima della trave e d è l’altezza utile della sezione
- d è l’altezza utile della sezione
Pertanto se Vsd < VRd1 si disporrà l’armatura minima ed occorrerà verificare solo la resistenza
delle bielle compresse di calcestruzzo, VRd2:
1
= ⋅ ν ⋅ f ⋅ b ⋅ 0.
9 ⋅ d > Vsd 2.
2
VRd2 cd
b) Elementi armati a taglio
Il taglio ultimo sollecitante (Vsd), in tal caso maggiore di VRd1, deve risultare minore o uguale
del più piccolo tra i due valori di resistenza ultima: Vrd3, corrispondente alla crisi
dell’armatura trasversale e Vrd2, corrispondente alla crisi del calcestruzzo compresso.
La resistenza Vrd3 si ottiene come somma del contributo della trave armata solo
longitudinalmente e del traliccio che si forma in presenza di armatura trasversale:
Vrd3 = Vrd1+Vwd
Dove i due contributi sono rispettivamente:
in cui:
= [ τ ⋅ k ⋅ ( 1,
2 + 40ρ
) + 0.
15⋅
σ ] ⋅ b ⋅ d
(1)
Vrd1 rd 1
s
cp
A fw
= ⋅ 0.
9 ⋅ d ⋅ f ( 1+
cot gα)
senα
p
Vwd ywd
(3)
− τrd è la resistenza unitaria a taglio di calcolo del calcestruzzo: τ
Rd
0. 25⋅
f
=
γ
c
ctk 0.
05
62

dove fctk0.05 è il valore caratteristico inferiore della resistenza a trazione (frattile 5%) pari a:
fctk0.05 = 0.7⋅fctm
in cui fctm è la resistenza media a trazione del calcestruzzo:
2 / 3
ctm = 0. 3 fck
dove fck è la resistenza a compressione caratteristica del calcestruzzo
f ⋅
espressa in [MPa].
- k1 è un coefficiente, pari a 1 per elementi in cui più del 50% dell’armatura inferiore è
interrotta, o, in caso contrario, pari a:
k1=1.6—d ≥1 con d altezza utile della sezione espressa in metri.
− ρs=Asl /(bd) con As1 l’area dell’armatura longitudinale tesa che si estende oltre la sezione
che si verifica a taglio per una lunghezza non minore di d+lb,net, ove lb,net è la lunghezza
d’ancoraggio necessaria calcolata secondo normativa.
− σcp è la tensione longitudinale nella sezione dovuta ai carichi o alla precompressione,
positiva se di compressione.
- b è la larghezza minima dell’anima della trave e d è l’altezza utile della sezione
- d è l’altezza utile della sezione
- p il passo tra le staffe
- α = inclinazione dell’armatura a taglio (α =90° per staffe verticali)
- fywd= tensione di snervamento dell’armatura a taglio
- Afw= area dell’armatura a taglio
La massima forza di taglio di calcolo Vrd2 che può essere sopportata senza rottura delle bielle
compresse è:
1
= ⋅ν
⋅ f ⋅ b ⋅ 0.
9 ⋅ d(
1+
cot gα)
(3.4)
2
VRd 2
cd
63

essendo v un fattore di efficienza, che tiene conto della riduzione della resistenza a
f ck
compressione di calcolo per effetto dello stato tensionale biassiale: ν = 0. 7 − ≥ 0.
5 , dove
200
fck è espressa in [MPa] e fcd è la resistenza a compressione di progetto: fcd = 0.85*0.83*fck/γc.
In definitiva la resistenza a taglio risulta
1.2 Verifica dell’armatura longitudinale
Vrd=min(Vrd2, Vrd3) (3.5)
A tale verifica va aggiunta quella relativa all’armatura longitudinale che deve sopportare uno
sforzo di trazione dovuto al momento Msd e al taglio Vsd che sono i valori ultimi sollecitanti di
progetto. Tale sforzo è pari a:
M sd 1
T d = + ⋅ Vsd
⋅(
1−
cotα
)
(3.6)
z 2
con z = 0.9d.
La forza di trazione aggiuntiva che le armature devono sostenere è dunque pari a:
T
1
⋅ V
2
da = sd
⋅(
1+
cotα
)
e quindi l’armatura longitudinale aggiuntiva da introdurre nella trave è fornita da
1
Asla = ⋅ V
2⋅
f
yld
sd
⋅ (1+cotgα) (3.7)
64

1.3 Minimo di armatura a taglio
Di regola almeno il 50% dell’armatura a taglio deve essere realizzata con staffe.
I minimi di armatura a taglio previsti dall’EC2 sono indicati in tabella in funzione delle classi
del calcestruzzo e dell’acciaio in termini di percentuale di armatura a taglio:
Classi di calcestruzzo
La percentuale di rinforzo a taglio è definita:
ρw= Asw/p⋅bw⋅senα
Essendo:
- Asw l’area di armatura a taglio,
- p il passo,
- bw la larghezza dell’anima dell’elemento,
Classi di Acciao
S220 S400 S500
Da C12/15 a C20/25 0.0016 0.0009 0.0007
Da C25/30 a C35/45 0.0024 0.0013 0.0011
Da C40/50 a C50/60 0.003 0.0016 0.0013
- α l’angolo tra l’armatura a taglio e l’armatura principale (per staffe α=90°, senα=1).
65

2. Calcolo della resistenza a taglio secondo la normativa italiana
a) Elementi che non richiedono armatura a taglio
Non è richiesto il progetto di un’armatura a taglio specifica quando il taglio di progetto Vsd
risulti minore del contributo, VRd1, fornito dai meccanismi resistenti che si attivano in una
trave armata solo longitudinalmente:
Vrd 1
ct,
d
l
Dove
= 0.
25⋅
f ⋅ ( 1.
6 − d)
⋅ ( 1+
50ρ
) ⋅ bd ⋅ δ
2 / 3
ck
- f = f / γ = 0.
3⋅
f / 1.
6 è la resistenza a trazione di progetto espressa in [MPa].
ctd
ctm
c
− ρl = Asl /(bd) con As1 l’area dell’armatura longitudinale tesa
- b e d minima larghezza ed altezza della sezione
- δ =1 in assenza di sforzo normale, δ = 0 in presenza di un apprezzabile sforzo normale di
trazione, δ = 1 +M0/MSdu in presenza di sforzo di compressione (o di precompressione); M0 è
il momento di decompressione riferito alla fibra estrema della sezione sui cui agisce MSdu;
MSdu è il momento agente massimo di calcolo nella regione in cui si effettua la verifica a
taglio, da assumersi almeno pari a M0.
Pertanto se Vsd < VRd1 si disporrà l’armatura minima ed occorrerà verificare solo la resistenza
delle bielle compresse di calcestruzzo, VRd2:
VRd2 cd
= 0.
3⋅
f ⋅ b ⋅ 0.
9 ⋅ d > Vsd
b) Elementi armati a taglio
Il taglio ultimo sollecitante (Vsd), in tal caso maggiore di VRd1, deve risultare minore o uguale
del più piccolo tra i due valori di resistenza ultima: Vrd3, corrispondente alla crisi
dell’armatura trasversale e Vrd2, corrispondente alla crisi del calcestruzzo compresso e
calcolato come visto prima.
La resistenza Vrd3 si ottiene come somma del contributo dei meccanismi resistenti del
calcestruzzo e del contributo dell’armatura trasversale:
66

Vrd3 = Vrd1+Vwd
Dove i due contributi sono rispettivamente:
V
rd1
= 0.
6 ⋅ b ⋅ d ⋅ f ct,
d
⋅ δ
A fw
Vwd = ⋅ 0.
9 ⋅ d ⋅ f ywd (cosα
+ senα)
p
Essendo α l’inclinazione dell’armatura trasversale rispetto all’asse della trave (generalmente
per staffe = 90°).
Nelle travi si devono prevedere staffe aventi sezione complessiva non inferiore a
Ast = 0,10 (1+0,15 d/b) b cm²/m
essendo d l'altezza utile della sezione e b lo spessore minimo dell'anima in cm, con un minimo
di tre staffe al metro e comunque passo non superiore a 0,8 volte l'altezza utile della sezione.
In prossimità di carichi concentrati o delle zone d'appoggio, per una lunghezza pari all'altezza
utile della sezione da ciascuna parte del carico concentrato, il passo delle staffe non dovrà
superare il valore 12 φ essendo φ il diametro minimo dell'armatura longitudinale.
Le staffe devono essere collegate da apposite armature longitudinali.
67

3. Resistenza a taglio di travi in c.a. esternamente rinforzate a taglio con lamine
in FRP
Il metodo di calcolo proposto per la valutazione del taglio resistente di una trave
rinforzata esternamente a taglio con lamine in FRP segue un approccio formalmente analogo
a quello appena illustrato per le sezioni in C.A.: il contributo della trave armata solo
longitudinalmente viene sommato a quello delle armature trasversali e in tal caso anche a
quello del rinforzo esterno.
Poiché le lamine in FRP mostrano un comportamento elastico lineare fino a rottura, il
contributo portante del rinforzo fibroso è definito da un valore limite della deformazione
specifica efficace (εf,e) della lamina tesa. Tale valore limite rappresenta l’allungamento
unitario delle fibre al momento della crisi per taglio della trave e non coincide in genere con il
valore ultimo (εf,u) a rottura reale del materiale: si assume infatti che la crisi dell’elemento
C.A.-FRP possa avvenire per effetto di un improvviso distacco della lamina dal supporto in
calcestruzzo (peeling off) prima del superamento della deformazione εf,u.
68

3.1 Calcolo della resistenza a taglio delle fibre secondo il bollettino fib 14 (2001)
Il contributo a taglio offerto dalla lamina può essere scritto in una forma analoga al contributo
fornito dall’armatura interna, assumendo che la lamina sopporti solo sforzi normali nella
direzione delle fibre:
V = ρ ⋅ E ⋅ε
⋅ b ⋅ 0.
9 ⋅ d ⋅ (cot gϑ
+ cot gα)
⋅ senα
/ γ
fd
dove:
fw
f
fk,
e
b = larghezza della sezione trasversale
d = altezza utile della sezione trasversale
ρfw = percentuale di rinforzo a taglio offerto dalla lamina di FRP
Ef = modulo elastico della lamina di FRP
α = orientamento delle fibre rispetto all’asse della trave
θ = angolo formato dalle fessure diagonali con l’asse della trave, assunto uguale a 45°
seguendo la procedura del metodo standard
εfk,e = deformazione caratteristica effettiva della lamina di FRP
γf = fattore parziale di sicurezza delle fibre.
Fig. 3: Contributo delle lamine in FRP alla resistenza a taglio.
f
69

d
c
bw bw
z
Hh
tf ts
Angolo di
strisce/fogli angolo
in FRP fibre
wf wf
ββ
sf pf
angolo Angolo
fessura fessure
La percentuale di rinforzo a taglio (ρfw) è data dal rapporto tra il volume di fibra per unità di
lunghezza diviso il corrispondente volume di calcestruzzo, per cui essendo:
– tf spessore lamina;
– bf larghezza delle strisce di rinforzo a taglio;
– sf passo tra le fasce;
– b larghezza trave;
si ha per rinforzi discontinui:
ρ
fw
⋅ t
=
s
2
f
f
⋅ b
⋅ b
f
Per rinforzi a taglio realizzati in maniera continua la percentuale di rinforzo a taglio assume
l’espressione:
ρ
fw
⋅
=
b
2
t f
- Il valore caratteristico della deformazione effettiva εfk,e può essere approssimato
moltiplicando il valore medio della deformazione effettiva εf,e per un fattore riduttivo λ=0.8 .
Quindi nell’espressione di Vfd, assumendo εfk,e = λ⋅εf,e e λ= 0.8, si può anche definire la
deformazione di progetto nelle fibre come:
εfd,e = εfk,e / γf
I valori proposti per i fattori parziali di sicurezza in ipotesi di crisi per trazioni della fibre sono
riportati in tabella:
θ
70

FRP Applicazione tipo A Applicazione tipo B
CFRP 1.20 1.35
AFRP 1.25 1.45
GFRP 1.30 1.50
Applicazione tipo A: sistemi FRP ‘prefab’ sotto normali condizioni di controllo di qualità.
Applicazione tipo B: sistemi FRP ‘wet-lay-up’ sotto normali condizioni di controllo di
qualità, tutti i sistemi in condizioni di applicazione in sito difficili.
Se la crisi è prevista per delaminazione del rinforzo si assume γf = γf,d = 1.30.
Si definisce inoltre una deformazione massima nella lamina per garantire l’integrità del
calcestruzzo e che è posta pari a εmax = 0.006; se la crisi è governata da questo valore di
deformazione si assume analogamente γf = 1.30 (εfk,e = εmax).
Sulla base di svariati studi sperimentali sono state proposte diverse formulazioni per il calcolo
del parametro “deformazione efficace media” εf,e che contemplano la dipendenza di tale
parametro dalla rigidezza della lamina (ρfw*Ef), dal tipo di lamina (fibre in carbonio o
aramidiche), dalla resistenza media del calcestruzzo (fcm) e dalle modalità di rottura.
In particolare si ha:
1. FRP debonding:
2. CFRP rottura per trazione:
3. AFRP rottura per trazione:
ε
ε
ε
ε
ε
f , e
f , e
f , u
f , e
f , u
=
=
=
0.
65
0.
17
0.
048
⎛ 2 / 3
⎜
f cm
⋅
⎜
⎝ ρ fw ⋅ E
⎛ 2 / 3
⎜
f cm
⋅
⎜
⎝ ρ fw ⋅ E
⎛ 2 / 3
⎜
f cm
⋅
⎜
⎝ ρ fw ⋅ E
A seconda dello schema di avvolgimento utilizzato per il rinforzo a taglio e del tipo di fibre la
deformazione effettiva si calcola come:
f
f
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
f
0.
56
0.
30
⎞
⎟
⎠
0.
47
⋅10
−3
71

- CFRP “Totally wrapped” o applicazioni con opportuni sistemi di ancoraggio: εf,e è ottenuta
dall’equazione 2.
- CFRP side only o U-jacket : εf,e è ottenuta come il minimo valore fornito dalle equazioni 1 e
2.
- AFRP “Totally wrapped” : εf,e è ottenuta dall’equazione 3.
In tutte le equazioni fcm è espresso in MPa ed Ef è espresso in GPa.
La deformazione effettiva media del FRP è quindi calcolata come il minimo di tre valori:
– εfk,e ≤ εmax →, εfk,e = λ εf,e ≤ εmax ⇒ εf,e ≤ εmax / λ = 0.006/0.8 =0.00625 per cui in
definitiva: εf,e ≤ 0.0075;
– la deformazione corrispondente al debonding del FRP (equazione 1);
– la deformazione corrispondente alla rottura per trazione del FRP (equazioni 2 e 3).
3.1.2. Raccomandazioni di progetto
1. Per valori di ρfw⋅Ef al di sotto di un valore limite (ρfw⋅Ef)lim , si è visto sperimentalmente
che il progetto del rinforzo a taglio con lamine in CFRP è governato dalla limitazione della
deformazione delle fibre (εfk,e ≤ εmax). Ciò indica che non si è attivato alcun meccanismo di
rottura delle fibre o del legame di aderenza e quindi il contributo del FRP alla resistenza a
taglio è proporzionale a ρfw⋅Ef.
2. Per valori di ρfw·Ef che superano il valore limite (ρfw·Ef)lim la rottura è governata:
− dal peeling-off combinato con la rottura per taglio del calcestruzzo, se la lamina di FRP
non è sufficientemente ancorata (nel caso ad esempio di schemi di avvolgimento side
only ed U-jacket)
72

− dalla rottura per taglio del calcestruzzo combinata con o seguita dalla rottura per
trazione del FRP, se la lamina è sufficientemente ancorata (nei casi di schemi di
applicazione totally wrapped).
Nel primo caso l’incremento di resistenza a taglio al crescere di ρfw·Ef è abbastanza
consistente, mentre la resistenza del calcestruzzo gioca un ruolo di secondaria importanza, nel
secondo caso invece l’incremento di resistenza a taglio al crescere di ρfw·Ef è trascurabile, ma
la resistenza del calcestruzzo gioca un ruolo importante se le fibre sono sufficientemente
ancorate.
Pertanto la rigidezza della lamina di FRP ρfw·Ef non dovrebbe eccedere il valore limite
(ρfw·Ef)lim, a meno che il peeling-off non possa essere prevenuto usando ancoraggi meccanici.
Il valore limite (ρfw·Ef)lim affinché non si abbia il peeling-off è fornito dalla seguente
equazione:
1 / 0.
56
−3
⎛ 0.
65⋅10
⋅ k ⎞
2 / 3
ρ f ⋅ E f =
⎜
⎟ ⋅ f cm = 0.
018⋅
f
⎝ ε max ⎠
Pertanto se il valore adottato per (ρfw·Ef) è maggiore del valore limite e qualora non sia
possibile ridurre la percentuale di fibre o il modulo elastico, occorre prevedere degli
ancoraggi meccanici.
3. Il passo delle strisce di FRP usate verticalmente non dovrebbe superare il valore 0.8·d, in
modo che nessuna fessura diagonale possa formarsi senza intercettare una striscia.
2 / 3
cm
73

3.2 Calcolo della resistenza a taglio delle fibre secondo le istruzioni CNR DT 200-2004
74

Esempio numerico
Viene calcolato il taglio ultimo di una sezione in C.A. considerando i seguenti
coefficienti di sicurezza parziali per i materiali:
– calcestruzzo: γc = 1.6;
– acciaio: γs = 1.15;
Le dimensioni della sezione e le caratteristiche dei materiali sono riportate di seguito:
– sezione 30x50;
– copriferro 4 cm;
– armatura tesa: 3φ18 (As=7.63 cm 2 )
– staffe: φ8 disposte con passo 20 cm (Af=1 cm 2 );
– calcestruzzo Rck 25 Mpa;
– Acciaio Feb44k;
Calcolo della resistenza a taglio della sezione in c.a. in assenza di rinforzo esterno:
Taglio resistente: Vrd = min(Vrd2, Vrd3)
Vrd3 = Vrd1+Vwd
(formulazione EC2)
Calcolo di Vrd2:resistenza delle bielle compresse di cls
f ck
ν = 0.
7 − = 0.
6 > 0.
5 essendo fck = 0.83 25 = 20.75 MPa
200
fcd = 0.85*0.83*Rck/γc = 110Kg/cm 2 , essendo γc = 1.6
b= 30 cm; d = H-c = 50-4 = 46 cm
75

1
= ⋅ν
⋅f
⋅b
⋅0.
9⋅
d ⋅(
1+
cot gα)
= 0.5·0.6·110.2·30·0.9·46 = 40817Kg ≈ 408.2kN
2
VRd2 cd
essendo per α=90° (inclinazione dell’armatura a taglio) cotgα=0
Calcolo di Vrd3
a) Calcolo di Vrd1: contributo dei meccanismi resistenti del cls
f ⋅
2 / 3
ctm = 0. 3 fck
=0.3·(20.75 2/3 )= 2.27MPa; fctk0.05 = 0.7⋅fctm= 0.7⋅2.27=1.6 MPa;
0.
25 ⋅ f ctk0.
05
τ Rd =
= 0.25⋅1.6 / 1.6 = 0.25 MPa;
γ
c
ρs=As/(bd) =7.63/(30⋅46)= 0.00553;
k1=1.6-d=1.6–0.46=1.14≥1 dove d=altezza utile della sezione è espressa in metri;
= τ ⋅k
⋅(
1,
2 + 40ρ
) ⋅ b⋅
h = 0.25⋅1.14⋅(1.2+40⋅0.00553)⋅30⋅46=5807Kg ≈ 58 kN
Vrd1 rd 1
s
b) Calcolo di Vwd
Asw= 1cm 2 ; p=10 cm; d=46 cm; fywd = fyw/γs= 4400/1.15=3826 Kg/cm 2 ;
L’armatura interna è realizzata con staffe per cui α=90°
Afw
⇒ Vwd = ⋅ 0 . 9 ⋅ d ⋅ f ywd ( 1+
cot gα)
senα
= Afw⋅0.9/p⋅d⋅fywd= 1⋅0.9⋅46/20⋅3826=
p
= 7900Kg ≈ 79kN
Vrd3 = Vrd1+Vwd = 58+79 = 137 kN
Vrd = min(Vrd2, Vrd3)= min(408.2, 137)=137 kN = Vrd3
76

2. Calcolo della resistenza a taglio della sezione in c.a. in assenza di rinforzo esterno:
Taglio resistente: Vrd = min(Vrd2, Vrd3)
Vrd3 = Vrd1+Vwd
(formulazione della normativa italiana)
2.1 Calcolo di Vrd2:resistenza delle bielle compresse di cls
VRd2 cd
Essendo:
= 0.
3⋅
f ⋅ b ⋅ 0.
9 ⋅ d =0.3·110·30·0.9·46 = 40986kg = 410kN
- fcd = 0.85*0.83*Rck/γc = 110Kg/cm 2 , essendo γc = 1.6
- b= 30 cm; d = H-c = 50-4 = 46 cm
2.2 Calcolo di Vrd3
a) Calcolo di Vrd1: contributo dei meccanismi resistenti del cls
V 0.
6 ⋅ b ⋅ d ⋅ f ⋅ δ = 0.6·30·46·10·1= 8280Kg = 82.8kN
rd1
= ct,
d
Essendo:
ctm
2 / 3
ck
f = 0.
3⋅
f =0.3·(20.75 2/3 )= 2.27MPa;
fctk0.05 = 0.7⋅fctm= 0.7⋅2.27=1.6 MPa;
fct,d = fctk0.05/γc = 1.6/1.6 = 1MPa
δ = 1 in assenza di sforzo normale
- b= 30 cm; d = H-c = 50-4 = 46cm
b) Calcolo di Vwd
Asw= 1cm 2 ; p=20 cm; d=46 cm; fywd = fyw/γs= 4400/1.15=3826 Kg/cm 2 ;
L’armatura interna è realizzata con staffe per cui α=90°
77

A
= =1⋅0.9⋅46/20⋅3826= = 7900Kg ≈ 79kN
p
fw
⇒ Vwd ⋅ 0.
9 ⋅ d ⋅ f ywd
Vrd3 = Vrd1+Vwd = 82.8+79 = 162 kN
Vrd = min(Vrd2, Vrd3)= min(410, 162)= 162 kN = Vrd3
78

3. Calcolo della resistenza a taglio della sezione in c.a. con rinforzo esterno:
(secondo bollettino fib 14 2001 ed istruzioni CNR DT200/2004)
Si ipotizza di realizzare un rinforzo a taglio del tipo U-jacket con fibre continue, disposte
perpendicolarmente all’asse della trave (α=90°).
Le fibre di carbonio utilizzate hanno resistenza a trazione 3500 Mpa, deformazione ultima
0.015, modulo elastico 230 GPa, spessore 0.165mm.
- Vrd = min(Vrd2, V’rd3)
- V’rd3 = Vrd1+Vwd+Vfrp
Per il bollettino fib Il calcolo di Vrd2, Vrd1,Vwd resta invariato rispetto alla sezione in
c.a. secondo quanto indicato dall’Eurocodice2 per cui:
Vrd2= 408 kN
Vrd1 = 58 kN
Vwd = 79 kN
Per le istruzioni CNR calcolo di Vrd2, Vrd1,Vwd resta invariato rispetto alla sezione in
c.a. secondo quanto indicato dalla normativa italiana per cui:
Vrd2= 410 kN
Vrd1 = 83 kN
Vwd = 79 kN
79

3.a. Calcolo di Vfrp (secondo bollettino fib 14 2001)
V = ρ ⋅ E ⋅ ε ⋅ b ⋅ 0.
9 ⋅ d ⋅ (cot gϑ
+ cot gα)
⋅senα
/ γ
fd
fw
f
fk,
e
Il rinforzo a taglio realizzato con fibre continue disposte perpendicolarmente all’asse della
trave (α=90°) secondo lo schema U-jacket.
α=90° ⇒ Cotgα=0 sen α=1
θ=45° ⇒ Cotgθ=1
V = ρ ⋅ E ⋅ ε ⋅ b ⋅ 0.
9 ⋅ d / γ
fd
fw
f
fk,
e
Coefficiente di sicurezza delle fibre: γf =1.35
b=30 cm; d=H-c=50-4=46 cm
Ef = 2300000 Kg/cm 2
2 ⋅ t f
ρ fw = = 2·0.165/300=0.0011
b
f
- resistenza a compressione media del calcestruzzo: fcm= fck/0.7 = 20.75/0.7 = 30MPa
- deformazione ultima delle fibre di carbonio: εf,u=0.015
εf,e= min (εf,e1, εf,e2 ) dove
− εf,e1= deformazione effettiva dell’FRP in ipotesi di rottura per debonding:
0.
56
⎛ 2 / 3
f ⎞ cm
−3
ε f , e1
= 0.
65 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅10
= 0.0049
⎜
f E ⎟
⎝ ρ ⋅ f ⎠
− εf,e2= deformazione effettiva dell’FRP in ipotesi di rottura per trazione e di fibre in carbonio:
0.
30
⎛ 2 / 3
f ⎞ cm
ε f , e2
= 0. 17 ⋅⎜
⎟ ε
⎜
f , u = 0.0102
f E ⎟
⎝ ρ ⋅ f ⎠
Il valore di deformazione effettiva massima che va considerato deve essere comunque
inferiore a 0.006.
εf,e= 0.0049 che è inferiore al valore limite di 0.006. Il valore caratteristico si calcola quindi:
f
80

εfk,e= 0.8· εf,e=0.8·0.0049 = 0.0039
E quindi il taglio resistente portato dalle fibre:
Vfrp= 0.0011·2300000·0.0039·30·0.9·46/1.25=10164 Kg = 102 kN
V’rd3= Vrd1+Vwd+Vfrp= 58 + 79+102= 239 kN
Vrd=min(Vrd2, V’rd3)=min(408, 239)=239 k V’rd3
Sezione Taglio ultimo rottura
C.A.
Vrd=min(Vrd2,Vrd3)
C.A.-FRP
Vrd=min(Vrd2,Vrd3+Vfrp)
137 kN Vmin= Vrd3
239 kN
Incremento [%] 74%
Vmin= (V’rd3)
εf,e calcolato in ipotesi di rottura per peeling
81

3.b Calcolo di Vfrp (secondo istruzioni CNR)
Il rinforzo a taglio realizzato con fibre continue disposte perpendicolarmente all’asse della
trave (β=90°) secondo lo schema U-jacket.
β=90° ⇒ Cotgβ=0 sen β=1
θ=45° ⇒ Cotgθ=1
1 cotθ + cot β wf
V = ⋅0.9 d ⋅ f ⋅ 2t
⋅ ⋅
Rd,f fed f
γ sin( θ + β ) p
Rd f
b=30 cm; d=H-c=50-4=46 cm
Ef = 2300000 Kg/cm 2
tf = 0.165mm
Essendo il rinforzo continuo si ottiene che wf/pf = 1
w
f
= 0. 9d
⋅ f fed ⋅ 2t
f ⋅ / γ Rd
pf
Coefficiente di sicurezza relativo al modello di calcolo: γRd = 1.2
La tensione efficace nelle fibre si calcola:
⎡ 1 l sin β ⎤
f = f ⋅ −
fed fdd
e
⎢1 ⎥
⎣ 3 min{ 0.9 d, hw}
⎦
Dove ffdd è la tensione di delaminazione:
f
fdd
1 2⋅
E ⋅Γ
= ⋅
γ ⋅ γ t
f,d c
Fk b ck ctm
f Fk
f
Γ = 0. 03 ⋅k ⋅ f ⋅ f [forze in N , lunghezze in mm]
essendo γc=1.6, γfd = 1.5 e le dimensioni espresse in mm e le tensioni e i moduli elastici in
MPa, ed adottando nell’espressione di kb:
b = b = min{0.9 d, h } ⋅ sin( θ + β ) / sinθ
f w
→ bf = b = min (0.9d, hw) = 0.9d = 414mm
82

k
b
2 − bf
/ b
= = 0.7 < 1, per cui si adotta 1
1+
b / 400
f
2 / 3
ck
fck = 0.83 25 = 20.75 MPa; f = 0.
3⋅
f =0.3·(20.75 2/3 )= 2.27MPa
ctm
Γ Fk = 0. 03 ⋅k b ⋅ fck ⋅ fctm [forze in N , lunghezze in mm]
= 0.03 1 20. 7 ⋅ 2.
3 = 0.206
f
fdd
1 2⋅
E ⋅Γ
= ⋅
γ ⋅ γ t
f,d c
Le f f ctm 2
f Fk
f
=
1.
5
1 2 ⋅ ⋅ 0
⋅
1.
6
230000
0.
165
= E t /( f ⋅ c ) = 230000 ⋅ 0.
165 /( 2.
3⋅
2)
= 91mm
La tensione effettiva nelle fibre è quindi pari a:
. 206
= 409 MPa
⎡ le
sin β ⎤ ⎡ 91 ⎤
f fed = f fdd ⋅ ⎢1
−
⎥ = 409 ·
⎣ 3⋅
min( 0.
9d,
h w ) ⎢1
− ⎥ = 409 ·0.93 = 379 MPa
⎦ ⎣ 3⋅
414⎦
w
⋅ = 414 · 379·2·0.165·1 / 1.2 = 43.7 kN
f
VRdf = 0. 9d
ffed
⋅ 2t
f ⋅ / γ Rd
pf
Vrd = min (Vrd2, V’rd3)
- V’rd3 = Vrd1+Vwd+Vfrp
Vrd = min (410, 82.8 + 79 + 43.7) = 205.7 kN
Sezione Taglio ultimo rottura
C.A.
Vrd=min(Vrd2,Vrd3)
C.A.-FRP
Vrd=min(Vrd2,Vrd3+Vfrp)
Incremento [%] 27 %
162 kN Vmin= Vrd3
205.7 kN Vmin= (V’rd3)
83