Chiarimento su equazioni di chiusura.

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Le relazioni che legano le variabili sono spesso implicite: la (1) in genere è scritta nella forma ϕ(y,q,t) = 0. (5) La loro esplicitazione può non essere banale e, in casi estremi, può non essere possibile per via analitica. Nel laboratorio #1 è stata affrontata la soluzione di un problema cinematico per via numerica. Nel Capitolo 4 delle dispense viene presentata l’analisi cinematica del manovellismo ordinario considerando sia l’angolo di manovella che alternativamente lo spostamento del pistone come variabili indipendenti; in entrambi i casi era possibile determinare una soluzione analitica, ma mentre nel secondo caso questa era relativamente agevole, nel secondo si otteneva un’espressione trascendente non facilmente manipolabile. Tuttavia, questo non ha un impatto particolarmente gravoso sull’analisi cinematica: la relazione tra le derivate prime delle variabili si ottiene come nelcasoprecedentedalladerivataprimadell’equazionealgebricachedescrive la cinematica, da cui, nell’ipotesi che ∂ϕ/∂y = 0, si ricava ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ˙y + ˙q + = 0, (6) ∂y ∂q ∂t −1 ∂ϕ ∂ϕ ˙y = − ∂y ∂q ∂y ∂q ˙q − −1 ∂ϕ ∂ϕ , (7) ∂y ∂t ovvero una espressione sostanzialmente analoga alla (2). Similmente, dalla derivata seconda dell’equazione algebrica che descrive la cinematica, si ottiene ∂ϕ ∂ϕ ¨y + ∂y ∂q ¨q + ∂2ϕ ∂y2 ˙y2 + ∂2ϕ ∂q2 ˙q2 + ∂2ϕ ∂t2 +2 ∂2ϕ ∂y∂q ˙y˙q +2 ∂2ϕ ∂y∂t ˙y +2 ∂2ϕ ˙q = 0, ∂q∂t (8) che può essere riscritta come −1 ∂ϕ ∂ϕ ¨y = − ∂y ∂q ∂y ∂q 2 ¨q +β(˙q,t), (9)
con ovvio significato di β, ovvero un’espressione sostanzialmente analoga alla (3). Infine, mediante perturbazione dell’equazione algebrica che descrive la cinematica si ricava da cui δϕ = ∂ϕ ∂y ∂ϕ δy + δq = 0, (10) ∂q −1 ∂ϕ ∂ϕ δy = − ∂y ∂q ∂y ∂q δq, (11) ovvero un’espressione sostanzialmente analoga alla (4). Per la scrittura delle equazioni del moto ciò che conta è essere in grado di scrivere le forze dipendenti dalla configurazione (ad esempio le forze elastiche, viscose e di inerzia) o le quantità necessarie alla determinazione delle equazioni del moto (ad esempio l’energia cinetica, dipendente al più dalla derivata prima delle variabili cinematiche, e l’energia potenziale, dipendente al più dalle variabili cinematiche stesse) in funzione delle sole coordinate libere q ed eventualmente delle loro derivate. In questo senso, non è indispensabile scrivere la cinematica nella forma espressa dalla (1), ovvero y = y(q,t), ma basta saper scrivere una relazione del tipo della (5), ovvero ϕ(y,q,t), eventualmente da risolvere per via numerica, seguita da relazioni differenziali quali la (2) e, solo se necessario, la (3) e la (4). Queste ultime, come visto, possono essere ricavate indifferentemente sia a partire dalle derivate della (1) che dalle derivate della (5) al più mediante la soluzione di un semplice problema lineare. In tutti i casi, è fondamentale calcolare il fattore di scala tra le variazioni delle variabili indipendenti e di quelle dipendenti, ∂y/∂q, dipendente al più da q e dal tempo, t. Nella soluzione di un esercizio, quindi, spesso non è indispensabile esplicitare la dipendenza tra y e q (a meno che tale operazione non sia banale); una volta accertatisi di aver scritto correttamente le equazioni algebriche del tipo della (5) conviene concentrarsi sulla loro derivazione ed eventualmente sulla scrittura del fattore di scala ∂y/∂q. 3
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