Chiarimento su equazioni di chiusura.

Note sull’uso dell’equazione di chiusura
Pierangelo Masarati
29 ottobre 2011
L’equazione di chiusura si usa per determinare relazioni algebriche che
esprimono le variabili cinematiche dipendenti, y, in funzione di quelle indipendenti,
q,
Il procedimento si applica in cascata:
y = y(q,t). (1)
1. dall’equazione vera e propria si ricavano le relazioni che legano le
variabili dipendenti a quelle indipendenti, ovvero la (1);
2. dalla derivata prima dell’equazione si ricavano le relazioni che legano
le derivate prime delle variabili dipendenti alle derivate prime di quelle
indipendenti,
˙y = ∂y
∂q
∂y
˙q + ; (2)
∂t
3. dalla derivata seconda dell’equazione si ricavano le relazioni che legano
le derivate seconde delle variabili dipendenti alle derivate seconde di
quelle indipendenti,
¨y = ∂y
∂q ¨q +2 ∂2 y
∂t∂q ˙q + ∂2 y
∂t 2;
4. il procedimento potrebbe essere ripetuto all’infinito, se necessario; tuttavia,
per la scrittura delle equazioni del modo raramente occorrono
derivate delle variabili cinematiche superiori alla seconda;
5. all’occorrenza, dalla perturbazione dell’equazione si ricava la relazione
che lega la variazione virtuale delle variabili dipendenti alla variazione
virtuale delle variabili indipendenti,
(3)
δy = ∂y
δq. (4)
∂q
1

Le relazioni che legano le variabili sono spesso implicite: la (1) in genere
è scritta nella forma
ϕ(y,q,t) = 0. (5)
La loro esplicitazione può non essere banale e, in casi estremi, può non essere
possibile per via analitica. Nel laboratorio #1 è stata affrontata la soluzione
di un problema cinematico per via numerica. Nel Capitolo 4 delle dispense
viene presentata l’analisi cinematica del manovellismo ordinario considerando
sia l’angolo di manovella che alternativamente lo spostamento del pistone
come variabili indipendenti; in entrambi i casi era possibile determinare una
soluzione analitica, ma mentre nel secondo caso questa era relativamente
agevole, nel secondo si otteneva un’espressione trascendente non facilmente
manipolabile.
Tuttavia, questo non ha un impatto particolarmente gravoso sull’analisi
cinematica: la relazione tra le derivate prime delle variabili si ottiene come
nelcasoprecedentedalladerivataprimadell’equazionealgebricachedescrive
la cinematica,
da cui, nell’ipotesi che ∂ϕ/∂y = 0, si ricava
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
˙y + ˙q + = 0, (6)
∂y ∂q ∂t
−1 ∂ϕ ∂ϕ
˙y = −
∂y ∂q
∂y
∂q
˙q −
−1 ∂ϕ ∂ϕ
, (7)
∂y ∂t
ovvero una espressione sostanzialmente analoga alla (2).
Similmente, dalla derivata seconda dell’equazione algebrica che descrive
la cinematica, si ottiene
∂ϕ ∂ϕ
¨y +
∂y ∂q ¨q + ∂2ϕ ∂y2 ˙y2 + ∂2ϕ ∂q2 ˙q2 + ∂2ϕ ∂t2 +2 ∂2ϕ ∂y∂q ˙y˙q +2 ∂2ϕ ∂y∂t ˙y +2 ∂2ϕ ˙q = 0,
∂q∂t
(8)
che può essere riscritta come
−1 ∂ϕ ∂ϕ
¨y = −
∂y ∂q
∂y
∂q
2
¨q +β(˙q,t), (9)

con ovvio significato di β, ovvero un’espressione sostanzialmente analoga
alla (3).
Infine, mediante perturbazione dell’equazione algebrica che descrive la
cinematica si ricava
da cui
δϕ = ∂ϕ
∂y
∂ϕ
δy + δq = 0, (10)
∂q
−1 ∂ϕ ∂ϕ
δy = −
∂y ∂q
∂y
∂q
δq, (11)
ovvero un’espressione sostanzialmente analoga alla (4).
Per la scrittura delle equazioni del moto ciò che conta è essere in grado
di scrivere le forze dipendenti dalla configurazione (ad esempio le forze elastiche,
viscose e di inerzia) o le quantità necessarie alla determinazione delle
equazioni del moto (ad esempio l’energia cinetica, dipendente al più dalla
derivata prima delle variabili cinematiche, e l’energia potenziale, dipendente
al più dalle variabili cinematiche stesse) in funzione delle sole coordinate
libere q ed eventualmente delle loro derivate.
In questo senso, non è indispensabile scrivere la cinematica nella forma
espressa dalla (1), ovvero y = y(q,t), ma basta saper scrivere una relazione
del tipo della (5), ovvero ϕ(y,q,t), eventualmente da risolvere per via numerica,
seguita da relazioni differenziali quali la (2) e, solo se necessario,
la (3) e la (4). Queste ultime, come visto, possono essere ricavate indifferentemente
sia a partire dalle derivate della (1) che dalle derivate della (5) al
più mediante la soluzione di un semplice problema lineare.
In tutti i casi, è fondamentale calcolare il fattore di scala tra le variazioni
delle variabili indipendenti e di quelle dipendenti, ∂y/∂q, dipendente al più
da q e dal tempo, t.
Nella soluzione di un esercizio, quindi, spesso non è indispensabile esplicitare
la dipendenza tra y e q (a meno che tale operazione non sia banale);
una volta accertatisi di aver scritto correttamente le equazioni algebriche del
tipo della (5) conviene concentrarsi sulla loro derivazione ed eventualmente
sulla scrittura del fattore di scala ∂y/∂q.
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Esempio: manovellismo ordinario
Si consideri, a titolo di esempio, la scrittura dell’equazione del moto del
manovellismo ordinario centrato illustrata nel Capitolo 4 delle dispense,
utilizzando il formalismo delle equazioni di Lagrange del II o tipo.
L’energia cinetica è
Il lavoro delle forze esterne è
Ec = 1
2 Jm ˙α 2 + 1
2
mc˙c 2
(12)
δL = δαC −δcf (13)
La relazione tra lo spostamento del pistone c e l’angolo di manovella è noto
dall’equazione di chiusura; in particolare, si ha
Applicando il formalismo di Lagrange si ottiene
Ne risulta l’equazione del moto
˙c = ∂c
˙α
∂α
(14a)
δc = ∂c
δα.
∂α
(14b)
∂Ec
∂ ˙α = Jm ˙α+mc˙c ∂c
∂α
d ∂Ec ∂c ∂˙c
= Jm¨α+mc ¨c+mc˙c
dt ∂ ˙α ∂α ∂α
∂Ec ∂˙c
= mc˙c
∂α ∂α
Qα = C −f ∂c
∂α
(15a)
(15b)
(15c)
(15d)
∂c ∂c
Jm¨α+mc ¨c = C −f . (16)
∂α ∂α
Dalla descrizione della cinematica è possibile ricavare le espressioni di ∂c
∂α e
¨c (quest’ultima deve essere lineare in ¨α). Tuttavia, ai fini dello svolgimento
dell’esercizio, questa sostituzione non è indispensabile, purché si spieghi
che le grandezze non esplicitate sono note, indicando da quali equazioni si
ricavano.
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