Equazioni e disequazioni goniometriche

ARCHI ASSOCIATI
Si tratta di angoli in cui le funzioni goniometriche mantengono lo stesso valore
assoluto, cambiando al più il segno. Per questo motivo, le tavole goniometriche
riportano soltanto i valori relativi al primo quadrante. Chiamando con α l’angolo del
primo quadrante, quelli degli altri quadranti si otterranno dal seguente grafico:
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
Equazioni e disequazioni elementari.
Vi compare una sola funzione goniometrica, di primo grado. Tutte le altre si ridurranno
a queste.
senx ≥ k;
cos x ≥ k;
tan x ≥ k;
< < <
1. senx ≥ k;
<
• Si disegna la circonferenza goniometrica e si prende k sull’asse y
tracciando da lì la parallela all’asse x fino ad incontrare la circonferenza
(se la incontra) in P 1 e P 2 ;
• Se P 1 e P 2 esistono si determina il valore degli angoli che terminano in essi
cercando k sulle tavole nella colonna del seno e vedendo l’angolo che vi
corrisponde, gli altri angoli si ricavano usando gli archi associati. Se k non
dovesse trovarsi sulle tavole si usa la calcolatrice con il seguente
1

2. cos x ≥ k;
<
1
procedimento: passare in radianti e poi digitare sin k
−
2
usare poi sempre gli
archi associati;
• Le linee tracciate dividono la circonferenza in due archi, quello superiore e
quello inferiore sceglieremo l’arco superiore se il verso della disequazione
è> e quello inferiore se è Poiché ≈ −0.
3
4
4
Cerchiamo sulle tavole nella colonna del seno
la corda sarà sotto l’asse x.
−1+
4
5
cioè il valore positivo
π
corrispondente e troviamo che esso corrisponde all’ angolo , poiché ci
10
π
troviamo nel terzo e quarto quadrante gli angoli cercati saranno π + e
10
π
2π
− . Scriviamo la soluzione partendo da 0
10
π π
Sol: 0 ≤ x < π + ∨ 2π
− < x ≤ 2π
10 10
• Si disegna la circonferenza goniometrica e si prende k sull’asse x tracciando da
lì la parallela all’asse y fino ad incontrare la circonferenza (se la incontra) in P 1
e P 2 ;

• Se P 1 e P 2 esistono si determina il valore degli angoli che terminano in essi
cercando k sulle tavole nella colonna del coseno e vedendo l’angolo che vi
corrisponde, gli altri angoli si ricavano usando gli archi associati. Se k non
dovesse trovarsi sulle tavole si usa la calcolatrice con il seguente
1
procedimento: passare in radianti e poi digitare cos k
−
usare poi sempre
gli archi associati;
• Le linee tracciate dividono la circonferenza in due archi, quello di destra e
quello di sinistra, sceglieremo l’arco di destra se il verso della disequazione
è> e quello di sinistra se è

3. tan x ≥ k;
<
• Si disegna la circonferenza goniometrica e la retta ad essa tangente
nell’intersezione con il semiasse x positivo, si prende poi k sulla tangente e si
traccia da k la retta passante per il centro della circonferenza, P 1 e P 2 sono i
punti di intersezione della retta con la circonferenza;
• Si determina il valore degli angoli che terminano in P 1 e P 2 cercando k sulle
tavole nella colonna della tangente e vedendo l’angolo che vi corrisponde, gli
altri angoli si ricavano usando gli archi associati. Se k non dovesse trovarsi
sulle tavole si usa la calcolatrice con il seguente procedimento: passare in
1
radianti e poi digitare tan k
−
usare poi sempre gli archi associati;
• Poiché il periodo della tangente è π, bisogna considerare solo la
semicirconferenza a destra dell’asse y, prendendo l’arco superiore se il verso
della disequazione è > e quello inferiore se è

Equazioni e disequazioni elementari in cui l’argomento è diverso da x.
Si tratta di disequazioni del tipo sen(
ax + b)
≥ k;
o con le altre funzioni
goniometriche. Si risolvono come quelle elementari tranne al momento in cui si
3
scrive la soluzione finale. Se per esempio la soluzione dovesse essere π < x < 2π
2
3
nel nostro caso diventerebbe π < ax + b < 2π
a questo punto occorre isolare la x
2
3
π − b
− b
portando b sia a sinistra che a destra e poi dividere per a,
2
2π
< x < come
a a
si può vedere la soluzione non chiude più la circonferenza al primo giro perché non
arriva più a 2π, in questo caso occorre prendere le soluzioni su tanti giri quanto
vale a.
1
π
π
Es. cos( 2x
) ≤ . Procedendo come indicato sopra si ottiene ≤ 2x
≤ 2π
− ma
2
3
3
π
π
anche aggiungendo un secondo giro (perché a vale 2) + 2π
≤ 2x
≤ 2π
− + 2π
3
3
π π π
π
dividiamo ora ogni termine per 2. Soluzione: ≤ x ≤ π − ∨ + π ≤ x ≤ π − + π .
6 6 6
6
Equazioni e disequazioni di secondo grado
Si tratta di equazioni e disequazioni in una sola funzione goniometrica:
2
2
2
asen x + bsenx + c ≥0;
a cos x + bcos
x + c ≥ 0;
a tan x + b tan x + c ≥0
<
*Potrebbe succedere che nella stessa disequazione compaiano sia sen x
2
in questo caso basta trasformare una nell’altra usando la prima relazione
2
2
2
2 sen x = 1−
cos x
fondamentale della goniometria sen x + cos x = 1 ⇒
*
2
2
cos x = 1−
sen x
<
<
<
5
2
che cos x ,
Dopo aver sostituito la funzione goniometrica con t si risolve la disequazione
2
at + bt + c ≥0
e poi si riportano gli archi sulla circonferenza nel seguente modo:
senx

cosx
tanx
Ricorda poi di fare la simmetria.
Equazioni e disequazioni lineari.
Si presentano nella forma asenx + bcos
x + c ≥0
.
Si risolvono usando le formule parametriche che le trasformano in disequazioni di
secondo grado nella variabile t, dopo si procede come nel caso precedente l’unica
differenza è che tan
2
x
t = per cui la soluzione prevederà intervalli in cui la variabile
x
è , occorrerà quindi moltiplicare tutto per 2.
2
Es. senx + 5 cos x > 3 2 . Con le formula parametriche si avrà
2
⎛ 2t
⎞ ⎛1
− t ⎞
⎜ 5 3
2 ⎟ +
1
⎜ 2
1
⎟ >
⎝ + t ⎠ ⎝ + t ⎠
2
2t
+ 5 − 5t
− 3
2 ⇒
2
1+
t
2 − 3
2
2t
> 0 , essendo il denominatore
sicuramente positivo, può essere tolto, sommando i termini simili si arriva a:
2
2
17 −13
2
− 5t
− 3 2t
+ 2t+
5 − 3 2 > 0 che risolta ci darà < t < 2 −1
cioè
a
b c
7
17 −13 2 x
< tan <
7 2
2 −1
che risolta sulla circonferenza
<
6

x π
−1
x π
−1
0 ≤ < ∨ π − tan ( 0.
2)
< < π + < 2π
− tan ( 0.
2)
< x ≤ 2π
2 8
2 8
Dobbiamo ora moltiplicare ogni termine per 2 in modo da determinare i valori
relativi ad x, come si può vedere si supera il primo giro di circonferenza, basta
quindi nel scrivere la soluzione fermarsi al primo mezzo giro
x π
−1
x
π
−1
0 ≤ < ∨ π − tan ( 0.
2)
< < π ⇒ 0 ≤ x < ∨ 2π
− 2 tan ( 0.
2)
< x < 2π
2 8
2
4
Equazioni e disequazioni che presentano più argomenti diversi.
Si risolvono con le formule goniometriche.
Disequazioni goniometriche in forma di frazioni o prodotti.
Si risolvono con lo schema con i segni come le disequazioni algebriche, solo che lo
schema si fa sulla circonferenza.
2senx
−1
NUM 2senx
−1
> 0
1
senx >
Es. < 0;
⇒ 2 si passa ora alla circonferenza
cos x DEN cos x > 0
cos x > 0
π π π 3
Sol. 0 < x
< ∨ < x < π − ∨ π < x < 2π
6 2 6 2
7

Esercizi.
1. senx>2;
2. cosx>-2;
3. tanx>-1;
4. 2senx-1 0;
7. 2 cos(
3x
) < 3;
8.
x
2 sen + 1 > 0;
2
9.
⎛ π ⎞
tan ⎜ x + ⎟ >
⎝ 4 ⎠
3;
10.
2
2cos
x < 1;
11.
2
2sen
x − senx ≥ 0;
12.
senx
≤ 0;
cos x + 1
13.
2
2cos
x + 3cos
x + 1 < 0;
14. sen(2x)-cosx ;
2
17. tan 2 tan 3;
2
x + x <
18. sen2x+cos2x 0;
2
20. 2
2
3 cos x − sen2x
< 3;
21. 3senx + cos x ≥ 1;
2 x
22. sen + cos x + 1 > 0;
2
2cos
x − 3
23. ≥ 0;
senx
24. cos x
− 3senx
< 0.
8