Dispensa n.2 Autovalori nascosti nei sistemi interconnessi Sono dati ...

Dimostrazione. Per ipotesi i due sistemi Σ1 e Σ2 non hanno autovalori
nascosti. Di conseguenza, se T1(s) e T2(s) vengono scritte come rapporto di
polinomi primi, nella forma
T1(s) = N1(s)
D1(s) , T2(s) = N2(s)
D2(s) ,
si può affermare che D1(s) ha grado n1 e che D2(s) ha grado n2.
Si consideri ora la funzione di trasferimento del sistema interconnesso (1),
che può essere evidentemente scritta nella forma
T (s) = T1(s)T2(s) = N1(s) N2(s)
D1(s) D2(s) .
Il sistema interconnesso non ha autovalori nascosti se e solo se il polinomio
N(s) = N1(s)N2(s) e il polinomio D(s) = N1(s)N2(s) sono primi tra loro. Se
infatti ciò accade, la funzione T (s) presenta un numero di poli esattamente
pari a n1 + n2, uguale alla dimensione dello spazio di stato del sistema (1) e
quindi tale sistema non possiede autovalori nascosti. Viceversa, se i polinomi
N(s) e D(s) non sono primi tra loro, la funzione T (s) presenta un numero di
poli strettamente inferiore alla dimensione dello spazio di stato del sistema (1)
e quindi tale sistema certamente possiede autovalori nascosti. La condizione
che nessun polo di T1(s) sia uno zero di T2(s) e nessuno zero di T1(s) sia polo
di T2(s) è proprio la condizione che assicura che N(s) e D(s) siano primi.
Si noti inoltre che, ove la condizione indicata non risulti soddifatta, il/i
polo/poli di Ti(s) in comune con lo/gli zero/zeri di Tj(s) individua/-duano
lo/gli autovalori nascosti di (1).
2. Si consideri la connessione in parallelo (che corrisponde a porre u1 = u2 =
u e a definire y = y1 + y2), la cui rappresentazione ingresso-stata-uscita ha
la forma
˙x1
˙x2
=
A1 0 x1 B1
+
0 A2 x2 B2
y = ( C1 C2 )
x1
x2
u
+ (D1 + D2)u .
Tale rappresentazione ha uno spazio di stato a dimensione n1 + n2. Sussiste
in proposito il seguente risultato:
2
(2)