Analisi dimensionale - Dipartimento di Ingegneria informatica ...

UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Dipartimento di Energetica -S.Stecco
Disciplina che si occupa dello studio delle dimensioni delle grandezze fisiche.
L’analisi dimensionale si applica nella teoria dei modelli al fine di limitare il
numero delle grandezze occorrenti per descrivere un dato fenomeno fisico.
Le leggi di conservazione delle dimensioni possono essere applicate per
organizzare le variabili o i parametri di un dato problema fisico in un numero di
gruppi non dimensionali. Il set originale di variabili può essere quindi sostituito
dai gruppi non dimensionali che possono essere utilizzati per descrivere una
qualsiasi relazione fisica o sperimentale legata al fenomeno fisico in esame.
Teorema di Buckingham:
Analisi dimensionale
Se un fenomeno è funzione di (n) variabili descritte dalle dimensioni di (m)
grandezze fondamentali, allora è possibile raggruppare le (n) variabili in (i=n-k)
gruppi non dimensionali che descrivono il fenomeno stesso. Si verifica che k≤m
anche se in genere si ha k=m.
3 Fluidodinamica

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Vantaggi dell’analisi dimensionale
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L’uso di gruppi adimensionali risulta universale. Una relazione che coinvolge
gruppi adimensionali è infatti indipendente dal sistema di riferimento, dalla scala o
dalla grandezza del problema. Una legge in variabili adimensionali risulta unica.
Il numero dei gruppi adimensionali utilizzati per descrivere un problema risulta
sempre minore delle variabili originali. Le relazioni risultano pertanto più semplici
e il lavoro per la rappresentazione o ricerca di una legge fisica risulta molto
minore se si usano gruppi adimensionali invece che le variabili indipendenti.
L’uso di gruppi adimensionali consente di trasferire le informazioni rilevate da
prove in scala su modelli al prototipo reale verificando chiaramente i vincoli di
similitudine geometrica, cinematica e dinamica.
L’uso di gruppi adimensionali consente di caratterizzare in modo generico ed
univoco specifiche condizioni di moto o regime di flusso.
Importante: la teoria della similitudine non consente di definire le leggi fisiche e
non può sostituire le relazioni che governano il moto. Tale teoria consente solo di
raggruppare le variabili in un numero minimo di gruppi indipendenti con cui può
essere rappresentata una in modo equivalente la legge fisica che deve
comunque essere ricavata per via teorica o sperimentale.
4 Fluidodinamica

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I passaggi dell’analisi dimensionale
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1. Identificazione delle variabili o parametri che influenzano il problema
2. Conteggio delle dimensioni con cui compaiono le variabili o i parametri
3. Selezione delle variabili di riferimento
4. Risoluzione delle equazioni dimensionali in termini delle variabili di
riferimento
5. Rappresentazione dimensionale delle variabili ausiliarie a mezzo delle
variabili di riferimento
6. Determinazione dei gruppi adimensionali
Per comprendere i passaggi dell’analisi dimensionale si riportano due esempi
relativamente allo studio del flusso nei condotti e allo studio delle
prestazioni di portanza e resistenza di corpi aerodinamici.
5 Fluidodinamica

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Flusso nei condotti
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Problema: caratterizzare il moto incomprimibile di un fluido viscoso in un
condotto a mezzo dell’analisi dimensionale.
1. Identificazione delle variabili o parametri che influenzano il problema
si considerano importanti per lo studio del problema le seguenti variabili:
V
µ
ρ
= velocità del flusso, Δp = perdita di carico, D = diametro del condotto
L = lunghezza del condotto, ε = rugosità, ρ = densità, µ = viscosità
ε
L
La scelta delle variabili o parametri viene fatta in base all’esperienza o intuito,
ma risulta determinante nell’analisi. La scelta determina i fenomeni fisici
che verranno inclusi nella definizione dei gruppi adimensionali e pertanto
nelle relazioni che rappresentano il flusso in esame.
6 Fluidodinamica
D

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Flusso nei condotti
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2. Conteggio delle dimensioni con cui compaiono le variabili o i parametri
Variabile
V
∆p
ρ
µ
Dimensioni
[ l / t]
[ M t l]
3 [ M / l ]
2
/
[ M / tl]
D
[ l]
L
[ l]
ε [ l]
7 variabili 3 dimensioni
Dal teorema di Buckingham si ricava che la relazione tra le variabili individuate
per descrivere il problema si può esprimere in modo equivalente utilizzando 7-
3=4 gruppi adimensionli tra di loro indipendenti.
7 Fluidodinamica

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Flusso nei condotti
3. Selezione delle variabili di riferimento
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Si deve scegliere un gruppo di variabili di riferimento per ricavare i gruppi
adimensionali.
Risulta opportuno ricordare i seguenti criteri:
a. Il numero di variabili di riferimento deve essere uguale al numero di
dimensioni fondamentali del problema e quindi in questo caso 3.
b. Nessuna coppia di variabili di riferimento deve avere le stesse dimensioni
c. Tutte le dimensioni fondamentali devono comparire almeno una volta
nelle variabili di riferimento scelte
d. La scelta delle variabili non è univoca e conviene farla in modo che i
gruppi adimensionali che ne risultano siano il più possibile significativi.
Nel problema in esame risulta conveniente fare la seguente scelta:
3
[ D ] =
L,
[ V ] = L / t,
[ ρ]
= M / L
8 Fluidodinamica

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Flusso nei condotti
4. Risoluzione delle equazioni dimensionali
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Assegnate le variabili di riferimento, si invertono le relazioni dimensionali che
le caratterizzano in modo da ricavare un’espressione che possa
rappresentare, a mezzo delle variabili scelte, tutte le dimensioni fondamentali
che caratterizzano il problema in esame:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3
D , t = D / V , M = ρ D
L =
⋅
Tale fase risulta tanto più semplice tanto tanto più è semplice la combinazione
delle dimensioni nelle variabili scelte a riferimento.
5. Risoluzione delle equazioni dimensionali
Si sostituisce la definizione formale ricavata al passo precedente nella
definizione delle dimensioni delle altre variabili considerate utili nella
definizione del problema.
9 Fluidodinamica

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Flusso nei condotti
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5. Rappresentazione dimensionale delle variabili ausiliarie
Si ottiene nel caso specifico:
6. Definizione gruppi adimensionali
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[][ ]
[][ ][ ]
[ ][ ][ ]
[ ]
[][ ]
[][ ]
[ ][ ( ][ ] )
2
ε = L = D ,
L = L = D ,
3
M ρ D
μ = = = ρ V D
Lt D D V
3
M ρ D
∆P
= =
= ρ V
2
2
Lt D D V
Le equazioni ricavate al punto 5 sono delle identità dimensionali e quindi
dividendo un membro con l’altro si ottengono tanti gruppi adimensionali quante
sono le relazioni sopra impostate.
10 Fluidodinamica

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Flusso nei condotti
6. Definizione gruppi adimensionali
Nel caso del moto nei condotti si ottiene:
N
N
N
N
1
2
3
4
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ε
=
D
Scabrezza relativa
L
=
D
Rapporto di Lunghezza
ρVD
=
µ
Numero di Reynolds
∆P
= 2
ρV
Coefficiente di pressione
11 Fluidodinamica

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Flusso nei condotti
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La descrizione del flusso nei condotti si esprime tramite una relazione del tipo
∆P
ρV
2
=
( V , D,
L,
ε,
ρ µ )
∆ = f
,
P n
f
a
⎛ L ρVD
ε
⎜ , ,
⎝ D µ D
⎞
⎟
⎠
Generica legge che, in base all’evidenza
sperimentale, risulta legare tra di loro le
variabili e definisce la dipendenza delle
perdite di carico in un condotto.
Legame fisico equivalente al precedente tra i
gruppi adimensionali. Il legame tra gruppi
adimensionali risulta più semplice e
coinvolge un numero inferiore di variabili
indipendenti.
La relazione tra grandezze adimensionali risulta equivalente a quella tra le
variabili fisiche ed indipendente dalla scala del problema e dalle
dimensioni ed unità di misura adottate.
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Flusso nei condotti
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La descrizione del flusso attraverso gruppi adimensionali non è univoca ma
dipende dalla scelta delle variabili fondamentali. Una differente scelta
produce differenti gruppi adimensionali che determinano un legame
equivalente ai fini della descrizione del problema.
Supponendo che il condotto sia molto lungo e gli effetti d’imbocco trascurabili,
il parametro di perdita che interessa è la perdita di carico per unità di
lunghezza. Si definisce pertanto la variabile
∆P
/
L
in luogo di
Il numero di variabili di partenza pertanto si riduce da 7 a sei e quindi il
numero di gruppi adimensionali dovrà essere di 3. Ripetendo i passaggi
o più semplicemente dividendo N4 e N2 si ootiene che i gruppi in
argomento sono:
N
1
ε
= ,
D
N
3
ρVD
= ,
µ
13 Fluidodinamica
N
∆P
6
=
e
D ∆P
2
L ρV
L

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D ∆P
2
L ρV
=
f
a
⎛ ρVD
ε
⎜ ,
⎝ µ D
⎞
⎟
⎠
Flusso nei condotti
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La descrizione del flusso attraverso gruppi adimensionali risulta in questo
caso:
Reynolds
Coefficiente di attrito f
Scabrezza relativa
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