gruppo delle trecce, sue rappresentazioni e invarianti dei nodi

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1.2 Costruzione secondo Artin 11 Definizione 1.3. Due trecce β e β ′ Figura 1.1: Treccia su 4 componenti costruire una collezione di trecce βs, come sopra. sono equivalenti se e solo se è possibile Si osservi infine che, sempre nell’ambito delle costruzioni topologiche, si possono considerare punti distinti p1, p2, ...pn, presi all’interno del disco D, centrato nell’origine del piano complesso e avente raggio n + 1. Si denota con Dn il disco n-puntato D\{p1, p2, ...pn}, con punto base p0 = −(n + 1)i su ∂Dn. Definizione 1.4. Il gruppo delle trecce Bn è il gruppo di tutte e sole le classi di equivalenza di omeomorfismi h : Dn → Dn, che preservano l’orientazione e fissano puntualmente ∂Dn. Due omeomorfismi sono equivalenti se risultano omotopi relativamente a ∂Dn. 1.2 Costruzione secondo Artin Una costruzione, ancora più intuitiva, dovuta originariamente ad Artin e ripresa anche da Bigelow [3], presenta le trecce come stringhe “intrecciate”
1.2 Costruzione secondo Artin 12 nello spazio, con estremi fissati su piani paralleli. Questa costruzione è quella che ritrova immediato riscontro nelle applicazioni alla teoria dei nodi, poichè ogni nodo è presentabile come chiusura di un’opportuna treccia (si veda il capitolo 6). Fissato un insieme P = {p1, p2, ...pn} di punti distinti nel piano complesso, si ha: Definizione 1.5. Una treccia su n componenti è un insieme costituito da n bordi distinti immersi regolarmente in C × I, che congiungono ogni punto (pi, 0) a qualche (pj, 1), in modo che ogni piano orizzontale C × {s} interseca ciascun bordo in esattamente un punto. Definizione 1.6. Due trecce α e β su n componenti sono tra loro in relazione se e solo se esiste un’applicazione che deforma con continuità una nell’altra, mantenendo fissi gli estremi P × {0, 1}. Si scrive α ∼ β. Proposizione 1.2.1. La relazione ∼ tra trecce è di equivalenza. Dimostrazione. 1. α ∼ α. La mappa identica è continua e trasforma una treccia in se stessa: vale la proprietà riflessiva. 2. α ∼ β ⇒ β ∼ α. Se la treccia α viene deformata con continuità nella treccia β, l’inversa dell’applicazione che realizza tale trasformazione deforma con continuità β in α: questo prova la proprietà simmetrica. 3. α ∼ β, β ∼ γ ⇒ α ∼ γ. Se la treccia α viene trasformata nella treccia β e β è a sua volta deformata in γ, componendo le due mappe si determina una deformazione continua, che manda α in γ: vale anche la proprietà transitiva. Se α è una treccia, si indica con [α] la classe di equivalenza associata ad α. Il gruppo delle trecce Bn è l’insieme delle classi di equivalenza di trecce su n componenti; si definisce un prodotto in Bn: [αβ] = [α][β], in cui αβ è la treccia ottenuta per traslazione, ponendo α sopra a β e congiungendo opportunamente gli estremi.
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