gruppo delle trecce, sue rappresentazioni e invarianti dei nodi

1.3 Mapping class group 13
1.3 Mapping class group
Una ulteriore definizione del gruppo delle trecce, l’ultima che viene trat-
tata, può essere introdotta a partire dal mapping class group di un disco
puntato Dn. Questa definizione risulta molto utile, soprattutto nello studio
della rappresentazine di Lawrence-Krammer, che sarà trattata nel capitolo
3.
Sia Σ una superficie connessa, compatta e orientabile 2 , dotata di un contorno
∂Σ e sia P un insieme finito di punti (punture), scelti all’interno della super-
ficie. Si definisce H(Σ, P ) come il gruppo degli omeomorfismi h : Σ → Σ che
preservano l’orientazione, in modo che ciascun h sia l’identità sul contorno
di Σ e h(P ) = P . Sia I(Σ, P ) il sottogruppo di H(Σ, P ), costituito dagli
omeomorfismi isotopi all’identità relativamente a ∂Σ ∩ P .
Definizione 1.7. Il mapping class group M(Σ, P ) è il gruppo H(Σ, P )/I(Σ, P ).
Scelti un disco D e P = {p1, p2, ...pn} un insieme di punti al suo interno,
il gruppo delle trecce Bn è il mapping class group M(D, P ).
Si mostra ora, senza dettagli, che la costruzione geometrica di Artin - espos-
ta nella sezione 1.2 - e quella con il mapping class danno luogo al medesimo
gruppo.
Se h ∈ H(D, P ) è un rappresentante di un elemento in M(D, P ), esiste
un’isotopia ht : D → D, per cui h0 è la mappa identica e h1 = h. La treccia
geometrica che corrisponde ad h è l’insieme dei punti (ht(p), t), ∀t ∈ I e
p ∈ P .
Viceversa, sia σ una treccia geometrica che sta in (D\∂D) × I; σ descrive
un’isotopia ht : D → D, relativa a ∂D, dalla mappa identità h0 alla map-
pa h1, che soddisfa l’uguaglianza h1(P ) = P . La mappa h1 rappresenta
l’elemento di M(D, P ), che corrisponde alla treccia geometrica σ.
2 Una superficie Σ regolare di classe C k si dice orientabile se esiste un campo di versori
di classe C k , normali su Σ.