gruppo delle trecce, sue rappresentazioni e invarianti dei nodi

4.1 Definizione e proprietà 47
La definizione 4.1 si riferisce alla dipendenza da un solo parametro q; esiste
tuttavia una definizione più generale per cui Hn dipende da due parametri
q1 e q2.
Definizione 4.2. Assegnati un intero positivo n e q1, q2 elementi unità di un
campo R, l’algebra di Hecke Hn(q1, q2) è la R-algebra associativa, generata
da 1, x1, x2, ...xn−1 e in cui valgono le relazioni:
xixk = xkxi |i − k| > 1 (4.7)
xixi+1xi = xi+1xixi+1 1 ≤ i ≤ n − 1 (4.8)
(xi − q1)(xi − q2) = 0. (4.9)
Osservazione 3. L’uso di un solo parametro corrisponde alla scelta Hn(−1, q),
oppure Hn(1, −q). Non c’è perdita di generalità nel definire l’algebra in
termini di un solo parametro, poichè esiste un isomorfismo naturale tra
Hn(q1, q2) e Hn(−1, − q2
q1 ), dato da xi ↦→ q1xi.
vale
Se q1 e q2 sono elementi unità, anche gli xi sono elementi unità in Hn e
x −1
i = xi − q1 − q2
.
q1q2
Si può determinare inoltre una mappa naturale Hn → Hn+1 tra R-
algebre, che rende Hn+1 un (Hn, Hn)-bimodulo del tipo Hn⊕[Hn⊗Hn−1Hn].
Fissato q, vale la seguente:
Proposizione 4.1.2. Esiste un isomorfismo naturale tra (Hn, Hn)-bimoduli
φ : Hn ⊕ [Hn ⊗Hn−1 Hn] → Hn+1, (4.10)
dato da φ(a +
i bi ⊗ ci) = a +
i bixnci.
Si noti fin da ora che l’isomorfismo φ è il punto chiave per poter ricavare
le proprietà della funzione traccia, che sarà definita in seguito.