gruppo delle trecce, sue rappresentazioni e invarianti dei nodi

3.4 Fedeltà della rappresentazione 35
4. β2 da z ′ a z ′ i, lungo T (F ′ );
5. γ1 da zi a dk, lungo N 2 ;
6. γ2 da z ′ j a dk ′, lungo N 3 .
Posto δi,j = {α1, α2}{β1, β2}{γ1, γ2}, si ha:
mi,j = φ(δi,j).
Per stimare ɛi,j bisogna scegliere delle orientazioni per Σ(F ), Σ(N) e Γ.
Su Γ conviene introdurre l’orientazione indotta sul prodotto D × D dall’ori-
entazione fissata su D.
Siano f : T (F ) → I e f ′ : T (F ′ ) → I due diffeomorfismi che inducono su
T (F ) e T ′ (F ) due orientazioni parallele. Se f1 e f2 sono mappe da Σ(F )
in I, tali che se x ∈ T (F )\P e y ∈ T (F ′ )\P , allora f1({x, y}) = f(x) e
f2({x, y}) = f ′ (x). L’orientazione di Σ(F ) è data da df1 ∧ df2.
Sia g un diffeomorfismo per cui g(d1) = 0 e g(d2) = 1; se g1, g2 : Σ(N) → I
sono mappe per cui g1({x, y}) = min(g(x), g(y)) e g2({x, y}) = max(g(x), g(y)),
allora dg1 ∧ dg2 da l’orientazione di Σ(N).
Introdotte queste tre orientazioni, ɛi,j si calcola applicando la seguente for-
mula:
Proposizione 3.4.4. ɛi,j = −mi,imi,jmj,j, valutato con q = 1, t = −1.
Dimostrazione. Per definizione, ɛi,j è dato dal segno dell’intersezione tra N
e T (F ) in zi, dal segno dell’intersezione tra N e T (F ′ ) in z ′ i e da quale tra i
due punti zi e z ′ i si trova più vicino a d1, lungo N.
Questi tre elementi si determinano considerando rispettivamente i valori di
mi,i, mj,j e mi,j, con q = 1 e t = −1. Infatti, il segno di mi ′ ,j ′, valutato per
2 k = 1, 2 è tale che γ1 non passa per z ′ j .
3 k ′ = 1, 2 è tale che γ2 non passa per zj.