Cap. 5 - Ateneonline

G. Rizzoni, Elettrotecnica - Principi e applicazioni 

Capitolo 5 – Istruzioni 

Soluzioni ai problemi, Capitolo 5 

Il Capitolo 5 è stato riorganizzato tenendo conto dei suggerimenti inviati dai lettori della 

terza edizione del libro. Il materiale è ora suddiviso in tre sezioni di base (generalità sull’analisi dei 

transitori, scrittura delle equazioni differenziali e soluzione stazionaria in DC) e due successive 

sezioni principali: transitorio nei circuiti del primo ordine e del secondo ordine. Sono stati aggiunti 

alcuni nuovi esempi, mentre tutti i precedenti sono stati riorganizzati in funzione della metodologia 

adottata nel testo. 

Nella sezione dedicata ai transitori del primo ordine, un “Il punto sulla metodologia: 

transitori del primo ordine” (p. 181) delinea con chiarezza la metodologia adottata nell’analisi dei 

circuiti del primo ordine; questa metodologia è adeguatamente esposta e motivata, ed è applicata a 

sette esempi, quattro dei quali relativi ad applicazioni ingegneristiche (5.8 – Carica del flash di un 

apparecchio fotografico; 5.9 e 5.11 – Transitori di un motore DC; e 5.12 Transitorio dei 

supercondensatori). L’analogia fra i sistemi elettrici e quelli termici introdotta nel Capitolo 3 è 

estesa agli elementi accumolatori di energia ed alla risposta transitoria (OA6: Capacità termica, p. 

172; OA6: Sistemi termici dinamici, p. 173; Sistemi termici del primo ordine, p. 184-185); 

similmente, l’analogia fra circuti idraulici ed elettrici, introdotta nel Capitolo 2 e sviluppata nel 

Capitolo 4, è quì ripresa (OA6: Serbatoio idraulico, p. 181-182). L’analisi della (Focus sulla 

misure:) risposta all’impulso di un cavo coassiale (p. 194-195) illustra una importante procedura 

computazionale adoperata nell’analisi dei transitori (questo problema fu suggerito molti anni 

addietro da un collega Ingegnere nucleare). 

La sezione dedicata ai transitori dei circuiti del secondo ordine riassume l’analisi dei circuiti 

del secondo ordine nei due spazi “Il punto sulla metodologia: autovalori dei sistemi del seconodo 

ordine” (p. 202) e “Il punto sulla metodologia: transitori del seconodo ordine” (p. 206 –207). Essi 

indicano con chiarezza la metodologia seguita nell’analisi del transitorio dei circuti del secondo 

ordine; la motivazione e le giustificazioni addotte in questa sezione sono accompagnate da cinque 

esempi molto dettagliati in cui la procedura di analisi è applicata passo passo. L’ultimo di questi 

esempi è dedicato alla risposta transitoria del circuito di accensione di una automobile (con molti 

ringraziamenti all’amico John Auzins, già della Delco Elettronics, per aver suggerito un circuito 

semplice ma realistico). L’analogia fra sistemi elettrici e meccanici è esplorata in Sospensione per 

automobile (1-2) a p. 202-203 e p.206-207. 

I problemi a fine capitolo sono divisi in quattro sezioni, e comprendono una varietà di temi che 

spaziano dalle nozioni base a quelle piuttosto avanzate. L’attenzione è incentrata sulla capacità di 

padroneggiare i metodi risolutivi illustrati nel testo e negli esempi contenuti nel capitolo. 

Obiettivi di apprendimento 

1. Scrivere le equazioni differenziali per circuiti contenenti induttori e condensatori. 

2. Determinare la soluzione stazionaria DC di circuiti contenenti induttori e condensatori.. 

3. Scrivere le equazioni differenziali di circuiti del primo ordine in forma standard e 

determinare la soluzione completa dei circuti del primo ordine eccitati dall’accensione di 

sorgenti DC. 

4. Scrivere le equazioni differenziali di circuiti del secondo ordine in forma standard e 

determinare la soluzione completa dei circuti del secondo ordine eccitati dall’accensione 

di sorgenti DC. 

5. Comprendere le analogie tra circuiti elettrici e sistemi idraulici, termici e meccanici. 

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Sezione 5.2: Scrittura delle equazioni differenziali per circuiti contenenti condensatori ed 

induttori 

Soluzione: 

Problema 5.1 

Quantità note: 

L=0.9 mH, Vs=12 V, R1 = 6 kΩ, R2 = 6 kΩ, R3 = 3 kΩ 

Trovare: 

L’equazione differenziale per t>0 (interruttore aperto) del circuito di figura 5.21. 

Analisi: 

Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale. Notate 

che la tensione al nodo superiore è la tensione sull’induttore, vL. 

Ora, utilizziamo la definizione di tensione sull’induttore per eliminare la variabile vL 

dall’equazione al nodo: 

Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale: 

Soluzione: 

Problema 5.2 


V1=12 V, C= 0.5 μF, R1 = 0.68 kΩ, R2 = 1.8 kΩ 

Trovare: 

L’equazione differenziale per t>0 (tasto chiuso) del circuito di figura 5.23. 

Analisi: 

Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale. Notate 

che la tensione al nodo superiore è la tensione sul condensatore, vC. 

Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare la variabile iC 






__________________________________________________________________________ 

Soluzione: 

Problema 5.3 


V1=12 V, R1 = 0.68 kΩ, R2 = 2.2 kΩ, R3 = 1.8 kΩ, C= 0.47 μF 

Trovare: 

L’equazione differenziale per t>0 (interruttore chiuso) del circuito di figura 5.27. 

Analisi: 

Applichiamo la LKC al secondo nodo (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale. Notate 

che la tensione al nodo n. 1 è la tensione sul condensatore, vC. 

Per il nodo n.1: 


Risolvendo il sistema: 







________________________________________________________________________________ 

Soluzione: 

Problema 5.4 


VS2=13 V, L= 170 mH , R2 = 4.3 kΩ, R3 = 29 kΩ 

Trovare: 


Analisi: 

Applicando la LKT otteniamo: 

Ora, utilizziamo la definizione di tensione sull’induttore per eliminare la variabile vL 

dall’equazione al nodo 


Soluzione: 

Problema 5.5 


Io=17 mA, C= 0.55 μF, R1 = 7 kΩ, R2 = 3.3 kΩ, 

Trovare: 

L’equazione differenziale per t>0 del circuito di figura 5.32. 



Analisi: 

Applicando la definizione di corrente nel condensatore: 


Soluzione: 

Problema 5.6 


VS2=11 V, C= 0.5 nF, R1 = 14 kΩ, R2 = 13 kΩ, R3 = 14 kΩ, 

Trovare: 



Analisi: 

Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale. 

Notiamo che la tensione nodale v1 è uguale a: 

Sostituendo la tensione nodale v1 nella prima equazione: 







Soluzione: 

Problema 5.7 


VS= 20 V, R1 = 5 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 6 Ω, C1= 4 F, C2= 4 F, IS= 4 A. 

Trovare: 

L’equazione differenziale per t>0 (interruttore chiuso) del circuito di figura 5.41 

Analisi: 

Applichiamo la LKC a due nodi (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale. Notiamo che la 

tensione del nodo n.1 è uguale a quelle ai capi dei due condensatori, vC1 = vC2 = vC. 



Risolvendo il sistema: 




Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare le variabili iCi 

dall’equazione nodale: 





____________________________________________________________ 

___________________ 

Problema 5.8 (I valori di VS , R1 e R2 sono assegnati) 

Soluzione: 


C1= 1 μF, RS = 15 kΩ, R3 = 30 kΩ. 

Trovare: 


Ipotesi: 

Assumiamo che VS= 9 V, R1 = 10 kΩ, R2 = 20 kΩ. 

Analisi: 


1. Prima dell’apertura dell’interruttore. Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per 

scrivere l’equazione circuitale. 




2. Dopo l’apertura dell’interruttore. Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per 

scrivere l’equazione circuitale. 







_____________________ 

Soluzione: 

Problema 5.9 

_________________________________________________________ 


I valori della tensione del generatore di tensione, delle induttanze e delle resistenze 

Trovare: 


Analisi: 


Osserviamo che la tensione del nodo v1 è uguale a: 

Sostituendo il valore della tensione nodale v1 nella prima equazione: 

Ora, adoperando la definizione di tensione sull’induttore per eliminare la variabile vL dall’equazione 

nodale: 

____________________ 

________________________________________________________________________________ 

___________________ 

Problema 5.10 

Soluzione: 


IS= 4 A, L1 = 1 H, L2 = 5 H, R = 10 kΩ, 



Trovare: 



Analisi: 


Osserviamo che la tensione del nodo v1 è uguale a: 

Sostituendo il valore della tensione nodale v1 nella prima equazione: 

Ora, adoperando la definizione di tensione sull’induttore per eliminare la variabile vL dall’equazione 

nodale: 


___________________________________________________ 

____________________________ 

Sezione 5.3: Soluzione stazionaria in DC di circuiti contenenti induttori e 

condensatori. Condizioni iniziali e finali 

Soluzione: 

Problema 5.11 


L = 0.9 mH, VS= 12V, R1 = 6 kΩ, R2 = 6 kΩ, R3 = 3 kΩ. 

Trovare: 

Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.21. 

Analisi: 

Prima di essere aperto, l’interruttore è rimasto chiuso per un lungo intervallo di tempo. Abbiamo, 

quindi, una condizione stazionaria, e trattiamo l’induttore come un corto circuito. La tensione ai 

capi dei resistori R1 e R3 è uguale a zero, poiché essi sono in parallelo al corto circuito, sicché tutta 

la corrente attraversa il resistore R2 : 




Dopo che l’interruttore è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo, abbiamo una condizione 

stazionaria e trattiamo l’induttore come un corto circuito. Quando l’interruttore è aperto, la sorgente 

di tensione non è connessa al circuito. Quindi: 

Soluzione: 

Problema 5.12 


V1= 12V, C = 0.5 μF, R1 = 0.68 kΩ, R2 = 1.8 kΩ 

Trovare: 


Analisi: 

Prima di essere chiuso, l’interruttore è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo. Abbiamo, 

quindi, una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. Quando 

l’interruttore è aperto, la sorgente di tensione non è connessa al circuito. Quindi: 

Dopo che l’interruttore è rimasto chiuso per un lungo intervallo di tempo, abbiamo una condizione 

stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. La tensione ai capi del 

condensatore è uguale e quella ai capi del resistore R2 : 

Soluzione: 

Problema 5.13 


V1= 12V, R1 = 0.68 kΩ, R2 = 2.2 kΩ, R3= 1.8 kΩ, C = 0.47 μF 

Trovare: 


Analisi: 

Prima di essere chiuso, l’interruttore è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo. Abbiamo, 

quindi, una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. Quando 

l’interruttore è aperto, la sorgente di tensione non è connessa al circuito. Quindi: 





stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. Poiché la corrente che attraversa il 

resistore R2 è nulla, la tensione ai capi del condensatore è uguale a quella ai capi del resistore R3 

: 

Soluzione: 

Problema 5.14 


Vs2= 13V, L = 170 mH, R2 = 4.3 kΩ, R3= 29kΩ. 

Trovare: 


Analisi: 

In condizioni stazionarie possiamo trattare l’induttore come un corto circuito. Prima della 

commutazione dell’interruttore, applicando la LKT otteniamo: 

Dopo un lungo intervallo di tempo dalla commutazione dell’interruttore, abbiamo una condizione 

stazionaria, e trattiamo l’induttore come un corto circuito. Quindi, applicando la LKT abbiamo: 

Soluzione: 

Problema 5.15 (non esiste soluzione stazionaria) 


I0= 17 mA, C = 0.55 μF, R1 = 7 kΩ, R2 = 3.3 kΩ. 

Trovare: 





Analisi: 

Prima della 

commutazione dell’interruttore, il condensatore è sconnesso dal circuito, per cui non 

abbiamo alcuna informazione sulla sua condizione iniziale. 

Dopo la commutazione dell’interruttore, la sorgente di corrente 

e il condensatore saranno in serie 

così che la coreente attraverso il condensatore risulterà costante. Pertanto, la velocità di accumulo 

della carica sulle armature del condensatore sarà anch’essa costante e, di conseguenza, la tensione ai 

capi del condensatore crescerà ad un tasso costanre, senza mia raggiunfere un punto di equilibrio. 

________________________________________________________________________________ 

Problema 5.16 

Soluzione: 

Quantità 

note: 

Vs2= 11V, C = 0.5 nF, R1 = 14 kΩ, R2 = 13 kΩ, R3 = 14kΩ. 

Trovare: 

Le condizioni 

iniziali e finali del circuito di figura 5.34. 

Analisi: 

In condizioni 

stazionarie possiamo trattare il condensatore come un circuito aperto. Prima della 

commutazione dell’interruttore, applicando la LKT abbiamo che la tensione ai capi del 

condensatore è uguale alla tensione della sorgente Vs1 : 

Dopo 

un lungo intervallo di tempo dalla commutazione, abbiamo una condizione stazionaria, e 

trattiamo il condensatore come un circuito aperto. Poiché la corrente attraverso il resistore R2 è 

uguale a zero, la tensione ai capi del condensatore è uguale a quella ai capi del resistore R3 : 

Soluzione: 

Problema 

5.17 

Quantità 

note: 

Vs= 20V, R1 = 5Ω, 

R2 = 4Ω, R3 = 3Ω, R4 = 6Ω, C1 = 4F, C2 = 4F, IS = 4A. 

Trovare: 

Le condizioni 

iniziali e finali del circuito di figura 5.41. 

Analisi: 

L’interruttore 

S1 è sempre aperto e quello S2 si chiude nell’istante t=0. Prima di chiudersi, 

l’interruttore S2 è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo. Quindi abbiamo una condizione 




stazionaria, e trattiamo i condensatori come circuiti aperti. Quando l’interruttore S2 è aperto, la 

sorgente di corrente non è connessa al circuito. Allora, 

Dopo che l’interruttore S2 è rimasto chiuso per un lungo periodo di tempo, abbiamo una condizione 

stazionaria, e trattiamo i condensatori come circuiti aperti. Entrambe le tensioni ai capi dei 

condensatori sono uguali alla tensione ai capi del resistore R3 : 

Soluzione: 

Problema 5.18 (I valori di VS , R1 e R2 sono assegnati) 


C = 1 μF, RS = 15 kΩ, R2 = 30 kΩ. 

Trovare: 


Ipotesi: 

Assumiamo che VS= 9 V, R1 = 10 kΩ, R2 = 20 kΩ. 

Analisi: 

Prima della chiusura, l’interruttore è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo. Abbiamo, 

quindi, una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. La tensione 

ai capi del condensatore è uguale a quella ai capi del resistore R1. Allora, 

Dopo che l’interruttore è stato chiuso per un lungo periodo di tempo, abbiamo una condizione 

stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. La tensione ai capi del 

condensatore è uguale a quella ai capi del resistore R1. Allora: 

Soluzione: 

Problema 5.19 


Tensione della sorgente, induttanze e resistenze del circuito. 

Trovare: 





Analisi: 

Prima della commutazione dell’interruttore, applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) 

per scrivere l’equazione del circuito. 

Dopo la commutazione, applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere 

l’equazione del circuito. 

__________________________________________________________________________ 

Soluzione: 

Problema 5.20 


IS= 5 A, L1 = 1H, L2 = 5H, R = 10 kΩ. 

Trovare: 


Analisi: 

Prima della chiusura, l’interruttore è rimasto aperto per un lungo periodo di tempo. Qiundi, 

abbiamo una condizione stazionaria, e trattiamo gli induttori come corto circuiti. I valori delle due 

resistenze sono uguali così che la corrente che attraversa gli induttori è: 


stazionaria, e trattiamo gli induttori come corto circuiti. In questo caso i resistori sono cortocircuitati 

sicchè tutta la corrente attraversa gli induttori 



Sezione 5.4: Transitorio nei circuiti del primo ordine 


Il punto sulla metodologia: Transitori del primo ordine 

1. Determinate la risposta transitoria del circuito prima che l’interruttore cambi stato (t=0 – ) e 

dopo che il transitorio si è esaurito (t → ∞). Faremo riferimento a queste risposte come 

come x(0) e x(∞). 

2. Identificate le condizioni iniziali del circuito (x=0 + ), utilizzando la continuità delle 

tensioni sui condensatori [vc(0 + )= vc(0 – )] e delle correnti negli induttori [iL(0 + )= iL(0 – )], 

come mostrato nel paragrafo 5.3 

3. Scrivete l’equazione diferenziale del circuito per t=0 + , ossia immediatamente dopo che 

l’interruttore ha cambiato stato. La variabile x(t) dell’equazione differenziale sarà o la 

tensione sul condensatore o la corrente nell’induttore. A questo punto è utile ridurre il 

circuito alla forma equivalente di Thévenin o di Norton, con l’elemento di accumulo 

dell’energia (condensatore o induttore) trattato come un carico per il circuito equivalente. 

Riducete questa equazione alla sua forma standard (Equazione 5.8) 

4. Trovate la costante di tempo del circuito τ=RTC per i circuiti capacitivi, τ=L/RT per i 

circuiti induttivi. 

5. Scrivete la soluzione completa del circuito nella forma: 

– t/τ 

x(t) = x(∞) + [x(0) – x(∞)] e 

Soluzione: 

Problema 5.21 


L = 0.9 mH, VS= 12 V, R1 = 6 kΩ, R2 = 6 kΩ, R3 = 3 kΩ. 

Trovare: 

Se esistono, le condizioni stazionarie immediatamente prima dell’apertura dell’interruttore. 

Ipotesi: 

iL = 1.70 mA appena prima dell’apertura dell’interruttore in t=0 

Analisi: 




Determiniamo le corrente stazionaria nell’induttore per t


Nell’istante t=0 + : 

Applichiamo la LKT: 

Soluzione: 

Problema 5.23 


V1= 12V, C= 0.5 μF, R1 = 0.68 kΩ, R2 = 1.8 kΩ. 


Trovare: 

La corrente attraverso il condensatore subito prima e subito dopo che l’interruttore venga chiuso 

Ipotesi: 

Il circuito è in regime stazionario per t



La CORRENTE attraverso il condensatore NON è continua ma cambia da 0 a 17.65 mA quando 

l’interruttore si chiude. La tensione ai capi del condensatore è continua perché l’energia accumulata 

NON PUO’ VARIARE ISTANTANEAMENTE. 

Soluzione: 

Problema 5. 24 


V1= 12V, C= 150 μF, R1 = 400 mΩ, R2 = 2.2 kΩ. 

Trovare: 

La corrente attraverso il condensatore subito prima e subito dopo che l’interruttore venga chiuso. 

Ipotesi: 



Soluzione: 



V1= 12V, L= 0.9 mH, R1 = 6 kΩ, R2 = 6 kΩ, R3 = 3 kΩ. 

Trovare: 

La tensione ai capi di R3 subito dopo che l’interruttore è aperto. 

Ipotesi: 

iL = 1.70 mA prima dell’apertura dell’interruttore a t=0. 


Analisi: 

Quando l’interruttore è aperto la sorgente di tensione è sconnessa dal circuito e non gioca alcun 

ruolo. Poichè la corrente attraverso l’induttore non può cambiare istantaneamente la corrente 

nell’induttore per t=0 + è ancora 1.70 mA. In quest’istante, trattiamo l’induttore come una sorgente 

DC di corrente e determiniamo la tensione su R3 con il partitore di corrente o la LKC e la Legge di 

Ohm. 

Assumiamo la polarità della tensione ai capi di R3 

Applichiamo la LKC: (Somma delle correnti in uscita dal nodo superiore) 

Soluzione: 



V1= 12V, L= 100 mH, R1 = 22 kΩ, Rs = 0.7 kΩ. 

Trovare: 

La tensione ai capi dell’induttore subito prima e subito dopo che l’interruttore cambi stato. 



Ipotesi: 

Il circuito è in condizioni stazionarie per t



quei valori costanti devono essere zero. D’altra parte, se il condensatore erogasse corrente, la sua 

tensione decrescerebbe al diminuire della carica immagazzinata, e l’energia associata verrebbe 

dissipata dai resistori. Il processo continuerebbe fino alla scomparsa della carica sulle armature 

corrispondente ad un livello di tensione pari a zero. In condizioni stazionarie, allora, la tensione sul 

condensatore è nulla 

Per t=0 + , la tensione ai capi del condensatore è ancora nulla in quanto essa non può cambiare 

istantaneamente. In quell’istante, il condensatore può essere considerato come un generatore di 

tensione di valore nullo (cortocircuito). Comunque, la corrente attraverso il condensatore può 

mutare istantaneamente da zero ad un nuovo valore. In questo problema essa cambierà quando 

l’interruttore si chiude perché il generatore di tensione V1 erogherà corrente attraverso R1 e il 

parallelo di R2 e R3 . La corrente in R2 coincide con quella nel condensatore. 


Ricordiamo che le tensione sul condensatore (Volts = Jouls/Coulombs) rappresenta l’energia 

immagazzinata nel campo elettrico compreso fra le armature del condensatore. Il campo elettrico è 

determinato dalla quantità di carica immagazzinata nel condensatore e non è possibile rimuovere 

istantaneamente carica elettrica dalle armature del condensatore. Pertanto, la tensione sul 

condensatore non può cambiare istantaneamente quando l’interruttore si chiude. 

Comunque, la velocità con la quale la carica elettrica è rimossa dalle armature del condensatore 

(cioè la corrente nel condensatore) può cambiare istantaneamente quando il circuito è sede di 

commutazione. 

Notiano anche che queste condizioni sono valide solo per t=0 + . Per t>0 + , durante la carica del 

condensatore, tutte le tensioni e le correnti tendono esponenzialmente al loro valore finale o valore 

stazionario. 


Soluzione: 





VS1= 35V, VS2= 130V, R1 = 17 kΩ, R2 = 7 kΩ, R3 = 23 kΩ, C= 11 μF. 

Trovare: 

La costante di tempo del circuito per t>0. 

Ipotesi: 

Il circuito è in condizioni stazionarie per t0, il transitorio è in corso. La costante di tempo è una misura relativa dellla velocità alla quale 

le tensioni e le correnti stanno variando durante la fase transitoria. La costante di tempo di un 

sistema con una sola capacità è ReqC dove Req è la resistenza equivalente di Thevenin vista dal 

condensatore, cioè rispetto alla porta o ai morsetti del condensatore. Per calcolare Req si spegne (si 

pone a zero) il generatore ideale indipendente di tensione e si risponde alla domanda “ Qual è la 

resistanza complessiva equivalente incontrata procedendo all’interno del circuito da un morsetto del 

condensatore all’altro?”. Allora: 

Soluzione: 



VS1= 13V, VS2= 13V, L= 170 mH, R1 = 2.7 kΩ, R2 = 4.3 kΩ, R3 = 29 kΩ.. 

Trovare: 


Ipotesi: 










Soluzione: 



V1= 12V, C= 0.47 μF, R1 = 680 Ω, R2 = 2.2 kΩ, R3 = 1.8 kΩ.. 

Trovare: 


Ipotesi: 








Soluzione: 



VS = 12V, L= 0.9 mH, R1 = 6 kΩ, R2 = 6 kΩ, R3 = 3 kΩ.. 

Trovare: 


Ipotesi: 

La corrente nell’induttore è iL = 1.70 mA prima dell’apertura dell’interruttore per t=0. 

Analisi: 

Per t>0, il transitorio è in corso. La costante di tempo è una misura relativa dellla velocità alla quale 










Soluzione: 



Vc(0 – ) = - 7 V, Io=17 mA, C= 0.55 μF, R1 = 7 kΩ, R2 = 3.3 kΩ, 

Trovare: 

La tensione Vc(t) ai capi del condensatore per t>0. 

Ipotesi: 

Appena prima che l’interruttore cambi stato la tensione sul condensatore è - 7 V. 

Analisi: 

Il generatore di corrente ed il condensatore saranno in serie in modo che la corrente nel 

condensatore sarà costante e pari a Io. Pertanto, la velocità di accumulo della carica sul 

condensatore sarà anch’essa costante e, di consequenza, la tensione ai capi del condensatore 

crescerà a velocità costante. La forma integrale del legame i-V sul condensatore esprime al meglio 

la dinamica di questo processo di accumulo della carica. La continuità della tensione ai capi del 

condensatore richiede: 




Soluzione: 


VS1= 23V, VS2= 20V, L= 23 mH, R1 = 0.7 kΩ, R2 = 13 kΩ, R3 = 330 kΩ.. 

Trovare: 

La corrente iR3(t) attraverso il resistore R3 per t>0. 


Ipotesi: 

Il circuito è in condizioni stazionarie per t0. Per fare questo, si fa uso 

semplicemente dell’analisi circuitale in regime DC per determinare la corrente in R3 sostituendo 

l’induttore con un cortocircuito. Infine, determinare la costante di tempo del circuito per t>0. 

Ciascuno di questi tre risultati è necessario per ricavare la soluzione completa del transitorio. 

Per t = 0 - : 

Ipotizziamo che esista la condizione stazionaria. In tal caso, l’induttore è modellato da un 

cortocircuito. Applichiamo la LKT: 

Questa corrente fluisce nella direzione che va dall’induttore all’interruttore. 

Determiniamo Io per t = 0 + : 

La continuità della corrente attraverso l’induttore richiede: 

Determiniamo ISS per t → ∞: 

Ipotizziamo che sia passato un tempo sufficiente per il raggiungimeto delle condizioni di regime 

stazionario. In tal caso l’induttore è modellato da un cortocircuito; pertanto la tensione ai suoi 

morsetti è zero. Ne risulta una semplice connessione serie fra i resistori R2 ed R3. 

La corrente che scorre in R3 si determina utilizzando direttamente la Legge di Ohm. 



Determiniamo τ per t > 0: 


Per determinare la costante di tempo τ è dapprima necessario determinare la resistenza equivalente 

di Thevenin vista dai morsetti dell’induttore. Per fare questo, si pongono a zero tutte le sorgenti 

ideali indipendenti e si determina la resistenza equivalente “vista” dall’induttore, cioè valutata 

rispetto ai morsetti dell’induttore: 

Ora la risposta completa può essere scritta facendo uso della soluzione per i transistori di tensione e 

corrente nei circuiti del primo ordine. 

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Soluzione: 


VS1= 17V, VS2= 11V, R1 = 14 kΩ, R2 = 13 kΩ, R3 = 14 kΩ., C= 70 nF. 

Trovare: 

a. V(t) per t>0. 

b. Il tempo necessario affinchè la tensione V(t) raggiunga il 98% del suo valore di regime 

Ipotesi: 

Il circuito è in condizioni stazionarie per t0. Per fare questo, si fa uso semplicemente dell’analisi circuitale in regime DC per 

determinare la tensione sul resistore R3 (sostituendo il condensatore con un circuito aperto). Infine, 

determinare la costante di tempo del circuito per t>0 trovando la resistenza equivalente di Thevenin 




RTH vista ai morsetti del condensatore. Ciascuno di questi tre risultati è necessario per ricavare la 

soluzione completa del transitorio. 

a. 

Per t = 0 – : 

La condizioni di regime stazionario sono specificate. A regime, il condensatore si può 

schematizzare come un circuito aperto: 


Per t = 0 + : 

La tensione ai capi del condensatore rimane la stessa: 

Applichiamo la LKC: 

Per t > 0: 

Determiniamo le resistenza equivalente vista dal condensatore, cioè rispetto ai morsetti el 

condensatore. Sopprimendo le sorgenti ideali indipendenti di tensione: 



Per t → ∞: 


Il circuito ha raggiunto il regime. In tale condizione il condensatore è schematizzabile con un 

circuito aperto: 

Poiché le corrente che attraversa il lato capacitivo è nulla, a regime la tensione ai capi di R3 può 

essere immediatamente ricavata facendo uso del partitore di tensione 

La risposta completa per t>0 è allora: 

b. 

il tempo necessario affinché V(t) ragginga il 98% del suo valore fianle si ricava da: 

Ovvero 




________________________________________________________________________________ 

___________________________________ 

Soluzione: 



VG = 12V, RG = 0.37Ω, R = 1.7 kΩ.. 

Trovare: 

Il valore di L e di R1. 

Ipotesi: 

La tensione VR fra gli elettrodi della candela subito dopo lo scatto dell’interruttore è 23 kV e tale 

tensione decresce esponenzialmente con una costante di tempo τ = 13 ms. 

Analisi: 

Per t = 0 – : 

Ipotizziamo che esista la condizione di regime stazionario. In tale condizione l’induttore è 

schamatizzabile con un cortocircuito: 




La corrente attraverso l’induttore a questo punto è espressa direttamente dalla Legge di Ohm: 

Per t = 0 + : 

La continuità della corrente attraverso l’induttore richiede che: 

Notiamo che la tensione fra gli elettrodi VR è stata scritta come -23 kV in quanto la corrente 

nell’induttore ha un verso opposto a quello associato alla polarità assunta per VR; cioè la polarità 

reale della tensione ai capi di R è opposta a quella mostrata in figura. 

Per t > 0: 

Determiniamo la resistenza equivalente di Thevenin come “vista” dall’induttore, cioé rispetto alla 

porta o ai morsetti dell’induttore: 

_______________________________________________________________________________ 

Soluzione: 



Quando iL≥ + 2 mA, il relè entra in funzione. 

VS= 12V, L = 10.9 mH, R1 = 3.1 kΩ. 

Trovare: 

R2 tale che il relè funzioni nell’istante t = 2.3 s. 



Ipotesi: 

Il circuito è in condizioni stazionarie per t 0: 

Determiniamo la resistenza equivalente di Thevenin come “vista” dall’induttore, cioé rispetto alla 

porta o ai morsetti dell’induttore: 

E quindi, 

Per t → ∞: 

La condizione di regime stazionaria è stata raggiunta. In tale condizione l’induttore è 

rappresentabile come un cortocircuito. Allora, la corrente attraverso R2 è zero e la 

correnteattraverso l’induttore è data da 

Sostituiamo la precedente quantità nella espressione della soluzione completa ed imponiamo che la 

corrente nell’induttore sia pari a 2 mA per un tempo di 2.3 s. 



O 

O 

τ = 3.16 secondi 

risolvendo rispetto a R2: 

O 


_______________________________________________________________________________ 


Soluzione: 


V1= 12V, C= 150 μF, R1 = 400 mΩ, R2 = 2.2 kΩ. 

Trovare: 

La corrente attraverso il condensatore subito prima e subito dopo che l’interruttore venga chiuso. 

Ipotesi: 



Per t=0 + , l’interruttore si chiude e inizia il transitorio. La continuità richiede: 


Poiché la tensione ai capi del condensatore è nulla in quest’istante, la tensione sul resistore R2 è 

ancora nulla e questo comporta che nessuna corrente attraversa il resistore in t=0 + . Pertanto, per 

t=0 + , la corrente erogata dalla sorgente coincide con quella nel condensatore. 

La CORRENTE attraverso il condensatore NON è continua ma cambia da 0 a 17.65 mA quando 

l’interruttore è chiuso. La tensione ai capi del condensatore è continua perché l’energia accumulata 

NON PUO’ CAMBIARE ISTANTANEAMENTE. 

Soluzione: 



VS= 12V, RS = 0.24Ω, R1 = 33 kΩ, L = 100 mH. 

Trovare: 

La tensione ai capi dell’induttore subito prima e subito dopo che l’interruttore cambi stato. 

Ipotesi: 

Il circuito è in condizioni stazionarie per t


e 


L’elevato valore di questa tensione è riferito al terminale di massa a causa del verso di percorrenza 

assunto dalla corrente che attraversa R1. 

RISPOSTA: 0V, - 1.65 MV 

Soluzione: 



V1= 12V, C= 150 μF, R1 = 4 MΩ, R2 = 80 MΩ, R3 = 6 MΩ. 

Trovare: 

La costante di tempo del circuito per t > 0. 

Ipotesi: 



VS= 12 V, L= 100 mH, R1 = 400Ω, R2 = 400Ω, R3 = 600Ω.. 

Trovare: 

La costante di tempo del circuito per t > 0. 

Ipotesi: 

iL = 1.70 mA immediatamente prima che l’interruttore venga aperto in t = 0. 


Analisi: 

Per t=0 + , immediatamente prima che l’interruttore sia aperto, inizia il transitorio. Poiché questo è in 

circuito del primo ordine (esiste una singola induttanza indipendente) il transitorio evolverà in 

maniera esponenziale con una data costante di tempo. Tale costante di tempo è il prodotto 

dell’induttanza dell’indutttore e della resistenza equivalente di Thevenin vista ai morsetti 

dell’induttore. In questo problema la determinazione della resistenza equivalente di Thevenin è 

particolarmente facile in quanto non ci sono sorgenti connesse. Rispetto ai morsetti dell’induttore: 

La costante di tempo è data semplicemente da 

RISPOSTA: 291.7 ns. 

_____________________________________________________________________________ 


Soluzione: 


VS= 20V, R1 = 5Ω, R2 = 4Ω, R3 = 3Ω., C1= 4F, C2= 4F, IS= 4A. 

Trovare: 

a. La tensione sul condensatore VC(t) per t=0 + . 

b. La costante di tempo τ per t ≥0. 

c. L’espressione di vC(t) e disegnare la funzione. 

d. Trovare vC(t) per ciascuno dei seguenti valori di t: 0, τ, 2τ, 5τ, 10τ. 

Ipotesi: 

L’interruttore S1 è sempre aperto e che l’interruttore S2 si chiuda per t = 0. 

Analisi: 

a. Senza generatori applicati, le tensioni stazionarie di regime nel circuito sono nulle 

indipendentemente dalla dissipazione energetica nei resistori. 




Quando la condizione iniziale da cui si origina un transitorio è nulla, la soluzione generale del 

transitorio si semplifica in 

b. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un condensatore equivalente di 8 

F. La resistenza equivalente di Thevenin vista da tale condensatore si trova sopprimendo il 

generatore di corrente (cioè sostituendolo con un circuito aperto) e calcolando R2 + R3 // R4. 

c. La tensione di lungo termine di regime ai capi dei condensatori si determina sostituendoli 

con circuiti aperti e calcolando la tensione ai capi di R3. Questa tensione si trova immediatamente 

applicando il partitore di tensione 

Sostituendo nell’espressione generale data precedentemente si ottiene 

Soluzione: 

d. 



VS= 20V, R1 = 5Ω, R2 = 4Ω, R3 = 3Ω., R4 = 6Ω., C1= 4F, C2= 4F, IS= 4A. 

Trovare: 








Ipotesi: 

L’interruttore S1 è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo e si chiude in t = 0; invece 

l’interruttore S2 è rimasto chiuso e si apre per t = 0. 

Analisi: 

a. La tensione sui condensatori immediatamente dopo che S1 si chiuda e S2 si apra è uguale a 

quella esistente sugli stessi quando il primo era aperto ed il secondo chiuso. Poiché il secondo 

interruttore è rimasto chiuso per un lungo periodo di tempo si può ipotizzare che la tensione sui 

condensatori abbia raggiunto il valore di regime stazionario. Questo valore si trova sostituendo 

entrambi i condensatori con circuiti aperti e calcolando la tensione ai capi di R3. Questa tensione si 

trova immediatamente applicando il partitore di tensione 

b. La resistenza equivalente di Thevenin vista dal parallelo dei condensatori è (R2 + R3 ) // R1. 

c. La soluzione dinamica generale del transitorio è 

La tensione di regime stazionario ai capi dei condensatori si determina sostituendoli con circuiti 

aperti e calcolando la tensione ai capi di R3. Questa tensione si trova immediatamente applicando il 

partitore di tensione. Allora, 

Sostituendo nell’espressione generale data precedentemente si ottiene 




d. 

__________________________________________________________________________ 


Soluzione: 



Trovare: 


b. L’espressione di vC(t) e disegnare la funzione. 

Ipotesi: 

L’interruttore S2 è rimasto sempre aperto; l’interruttore S1 è rimasto chiuso per un lungo intervallo 

di tempo e si apre in t = 0. L’interruttore S1 si chiude ancora per t = t1 = 3τ (NOTA mia: 3 s) 

Analisi: 

L’approccio al problema consiste quì nel trovare la soluzione transitoria nell’intervallo 0 < t 0 è 

necessario trovare la tensione sui condensatori quando S1 si chiude a t = 3 s. Per fare questo, è 

d’apprima necessario trovare la soluzione transitoria completa quando l’interruttore è aperto. 

La tensione di regime stazionario sui condensatori quando l’interruttore è aperto è zero. La costante 

di tempo è semplicemente RTH CEQ = 56 s. Allora, la soluzione transitoria completa per i primi 3 

secondi è 

Per t = 3 s, la tensione sul condensatore è 

Quando t = 3 s l’interruttore S1 si richiude. La continuità della tensione sui condensatori fa si che 




Con l’interruttore chiuso la tensione di regime stazionario sui condensatori è la stessa calcolata al 

punto a. 

La nuova costante di tempo si trova sopprimendo la sorgenti indipendenti di tensione (cioè 

sosstituendole con cortocircuiti) e determinando la resistenza equivalente di Thevenin vista dai 

condensatori. 

e 

Infine, la soluzione transitoria per t > 3 s è 

Si noti l’uso della traslazione nella scala dei tempi (t-3) nell’esponenziale. 

_____________________________________________________________________________ 

Problema 5. 44 (Questo problema è uguale a quello P5.42. assumiamo che entrambi gli 

interruttori chiudano a t=0) 

Soluzione: 



Trovare: 





Ipotesi: 

Entrambi gli interruttore S1 e S2 si chiudono in t = 0. 

Analisi: 

Senza alcuna sorgente di potenza connessa al circuito le tensioni di regime stazionario sono zero a 

causa della completa dissipazione di tutta l’energia del circuito nei resistori. 

Quando le condizioni iniziali del transitorio sono nulle, la soluzione generale del transitorio si 

semplifica così 




b. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un unico condensatore equivalente 

di 8 F. La resistenza equivalente di Thevenin vista da tale condensatore si trova sopprimendo le 

sorgenti indipendenti (cioè sostituendo il generatore di corrente con un circuito aperto e quello di 

tensione con un corto circuito) e calcolando R1 // ( R2 + R3 // R4 ). 

c. A questo punto solo la tensione di regime stazionario del condensatore è necessaria per 

esprimere la soluzione transitoria completa. In regime DC il condensatore si può modellare con un 

circuito aperto. Inoltre, il parallelo R3 // R4 può essere sostituito da un’unica resistenza equivalente. 

Tale resistenza è in parallelo con un generatore di corrente per cui facendo uso del equivalente di 

Thevenin possiamo sostituire ad essi la serie di un appropriato generatore di tensione con in serie la 

stessa resistenza. Effetuata la sostituzione è agevole con il partitore di tensione determinare la 

tensione sul condensatore. 

La trasformazione equivalente della sorgente assegna un valore di 8 V al generatore di tensione in 

serie con questa resistenza. Allora, usando il partitore di tensione 

Ora sostituendo nell’espressione generale della soluzione transitoria si ottiene 

d. 

______________________________________________________________________________ 


Soluzione: 





Trovare: 


b. La costante di tempo τ per 0 ≤ t ≤ 48 s. 

c. L’espressione di VC(t) valida per 0 ≤ t ≤ 48 s. 

d. La costante di tempo τ per t > 48 s. 

e. L’espressione di VC(t) valida per t > 48 s. 

f. Disegnare VC(t) per tutti gli istanti di tempo. 

Ipotesi: 

L’interruttore S1 apre a t = 0; l’interruttore S2 apre per t = 48 s. 


Analisi: L’approccio al problema consiste quì nel trovare la soluzione transitoria nell’intervallo 0 < 

t < 48 secondi e far uso di quella soluzione per determinare le condizioni iniziali (tensione sul 

condensatore) esistenti all’inizio del nuovo transitorio originato dalla apertura di S2. 

a. S1 e S2 sono stati chiusi per lungo tempo e in condizioni di regime stazionario i condensatori 

possono essere sostituiti con circuiti aperti. Allora, facendo uso dell’analisi nodale 

b. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un unico condensatore equivalente 

di 8 F. La resistenza equivalente di Thevenin vista da tale condensatore si trova sopprimendo le 

sorgenti indipendenti (cioè sostituendo il generatore di corrente con un circuito aperto) e calcolando 

( R2 + R3 // R4 ). 

c. Come detto in precedenza, per trovare la soluzione transitoria completa per t > 0 è necessario 

trovare la tensione sul condensatore quando S2 apre per t = 48 s. per far ciò occorre prima trovare la 

soluzione transitoria completa 

riferita alla sistuazione in cui solo S1 è aperto (cioè come se l’interruttore S2 non si aprisse mai) . 

La soluzione generalizzata per il transitorio è 

La tensione di regime stazionario ai capi dei condensatori si trova sostituendo ad essi circuiti aperti 

e calcolando la tensiona ai capi di R3. questa tensione si trova per mezzo del partitore di corrente. 

Allora, 



Ora sostituendo nella soluzione generalizzata data in precedenza si trova 

Per t = 48 s, la tensione sul condensatore è 

La continuità della tensione sul condensatore fa si che 


d. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un unico condensatore equivalente 

di 8 F. Quando entrambi gli interruttori sono aperti, non ci sono sorgenti indipendenti connesse al 

circuito. Allora, la resistenza equivalente di Thevenin vista da tale condensatore si trova calcolando 

(R2 + R3 ). 

e. La soluzione generalizzata del transitorio è 

La tensione di regime stazionario sul condensatore dopo l’apertura dell’interruttore è zero poiché 

non ci sono sorgenti indipendenti connesse al circuito e tutta l’energia iniziale nel circuito è stata 

eventualmente dissipata dia resistori. Allora, 

Sostituendo nella soluzione generalizzata data in precedenza si trova 

f. L’andamento della VC(t) per tutti gli istanti è mostrato nella figura seguente. 



Soluzione: 




Trovare: 

a. 

La tensione del condensatore . 

b. 

La costante di tempo τ per . 

c. 

L’espressione per valida per . 

d. 

La costante di tempo τ per . 

e. 

L’espressione per valida per . 

f. 

Disegna per ogni istante di tempo. 

Ipotesi: 

Switch S 1 apre at t = 0; switch S 2 apre a t =48s. 





Analisi: L’approccio è trovare la soluzione transitoria nell’intervallo 0 < t < 48 secondi e usare 

quella soluzione per determinare la condizione iniziale (tensione sul condensatore) per il nuovo 

transitorio dopo che lo switch S2 apre. 

a. S 1 e S 2 sono stati chiusi per un lungo tempo e in DC il condensatore può essere sostituito 

con un circuito aperto. Quindi, dall’analisi nodale 

b. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un condensatore equivalente da 

8 F. la resistenza equivalente di Thevenin vista dalla capacità di 8F può essere trovata 

eliminando le sorgenti indipendenti e calcolando (R2 + R3||R4). 

c. Come menzionato sopra, per trovare la risposta completa per for t > 0 è necessario trovare la 

tensione del condensatore quando lo switch S2 apre a t = 48 s. A tal fine è necessario trovare 

la soluzione transitoria completa quando il solo switch S1è aperto. La soluzione 

generalizzata per il transitorio è: 

La tensione a regime sui condensatori è trovata sostituendoli con Circuiti aperti e determinando la 

tensione su R3. 

Questa tensione può essere determinate col partitore. 

Utilizzando tale espressione per quella precedente 

A t=48sec, la tensione sul condensatore è: 

Dalla continuità per la tensione: 

d. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in uno equivalente da 8F. Quando 

entrambi gli switch sono aperti, non ci sono sorgenti indipendenti connesse al circuito. 

Quindi, la resistenza equivalente di Thevenin vista dal condensatore equivalente può essere 

determinata come (R2 + R3). 



e. La soluzione generalizzata è: 


f. LA tensione sul condensatore a regime dopo l’apertura dello switch è zero poichè non ci 

sono sorgenti indipendenti connesse e tutta l’energia inziale nel circuito è eventualmente 

dissipata dai resistori. Quindi 

Mettendo nella soluzione generale : 

g. Il diagramma di VC(t) è riportato nella figura seguente 

Soluzione: 



Trovare: 

Il valore dei resistori R1 e R2 

Analisi: 

Prima che lo switch apra: 



Dopo che lo switch ha aperto: 

Risolvendo il sistema si ottiene: 

Soluzione: 



Trovare: 

Il valore della tensione sul condensatore dopo t = 2.666 ms. 


Analisi: 

Prima di aprire, lo switch è stato chiuso per un lungo period. Quindi si ha una condizione di regime, 

e il condensatore può essere considerato come un circuito aperto. La tensione sul condensatore è 

uguale alla tensione su resistore R1. Quindi: 

Dopo che lo switch ha aperto, la costante di tempo del circuito è: 

La soluzione generale per il transitorio è: 

La tensione a regime sui condensatori è trovata sostituendoli con circuiti aperti e determinando la 

tensione su R1. Questa tensione può essere determinata col partitore di tensione. Quindi 



Mettendo nella soluzione generale : 

Infine: 

___________ 

Soluzione: 



come descritto in Fig. P5.49 


Trovare: 

L’istante in cui la corrente di induttore è uguale a 5°, e l’espressione iL (t) per t ≥ 0. 

Analisi: 

A t < 0: 

Usando il partitore di corrente: 

A t > 0: 


Per trovare la costante di tempo del circuito dobbiamo trovare la resistenza di Thevenin vista 

dall’induttore: 

La soluzione è: 

Risolvendo l’equazione: 

Il diagramma di iL(t) è riportato nella figura seguente 



____________ 


Soluzione: 


come descritto in Fig. P5.49 

Trovare: 


L’espressione di iL (t) per . La massima tensione tra i morsetti durante i 5 ms. 

Ipotesi: 

L’azione meccanica dello switch richiede 5 ms. 

Analisi: 

a. A t < 0: 


Per 

La corrente di induttore a regime dopo che lo switch è stato aperto è zero poichè nessuna sorgente 

indipendente è connessa al circuito e tutta l’energia iniziale nel circuito è eventualmente dissipata 

dal resistore. Quindi, 

Per trovare la costante di tempo del circuito dobbiamo trovare la resistenza di Thevenin vista 

dall’induttore: 



La soluzione è: 

Quindi 

b. La tensione tra i morsetti durante i 5 ms è uguale a: 

La massima tensione tra i morsetti durante i 5 ms è: 

Soluzione: 




Come descritto in P 5.51. lo switch chiude quando la tensione sul condensatore raggiunge . 

Lo switch apre quando la tensione sul condensatore raggiunge . Il periodo della forma 

d’nda della tensione è 200 ms. 

Trovare: 

La tensione 

Ipotesi: 

La tensione iniziale sul condensatore è V 1 e lo switch ha appena aperto. 

Analisi: 

Con lo switch aperto: 

Ora dobbiamo determine l’istante in cui 

Usando l’espressione per la tensione sul condensatore: 



Con lo switch chiuso, il condensatore vede l’equivalente di Thevenin definito da: 

(partitore di tensione) 


Il valore iniziale di questa parte del transitorio è a t = t0. Con questi valori possiamo scrivere 

l’espressione: 

La fine di un intero ciclo della forma d’onda sul resistore da 10Ω accade quando il secondo 

transitorio raggiunge . Detto t1 l’istante al quale accade tale evento, allora: 

e così 

Graficamente, la soluzione è l’intersezione tra le seguenti funzioni: 



che corrisponde a . 

Soluzione: 



Come descritto in P 5.52. A t=0 lo switch chiude. 

Trovare: 

a. iL (t) per t ≥ 0. 

b. VL1 (t) per t ≥ 0. 

Ipotesi: 


Analisi: 

a. A regime DC dopo che lo switch è chiuso gli induttori possono essere modellati come corto 

circuiti e così tutta la corrente dalla sorgente atraverserà gli induttori. 




Dopo aver soppresso la sorgente di corrente (trattata come un circuito aperto) la resistenza 

equivalente di Thevenin vista dagli induttori in serie e la costante di tempo associata sono: 

b. La tensione sugli induttori è derivata direttamente dalla relazione differenziale tra corrente e 

tensione per un induttore. 

Soluzione: 



Come descritto in P 5.52. A t=0 lo switch chiude. 

Trovare: 

La tensione su resistore da 10-kΩ in parallelo con lo switch for t ≥ 0. 

Analisi: 

Quando lo switch chiude a t = 0, il resistore da 10-kΩ è in parallelo con un corto-circuito, così la 

sua tensione è uguale a zero per tutti gli istanti (t ≥0). 



Paragrafo 5.5: Analisi del transitorio per circuiti del secondo ordine 

Punto sulla metodologia: Radici di sistemi del secondo ordine 


Caso 1: Radici reali e distinte. Accade quando ζ>1, poiché il termine sotto radice è positivo e le radici sono: 

. Si ottiene una risposta sovra-smorzata. 

Caso 2: Radici reali e coincidenti. Accade quando ζ=1, poiché il termine sotto radice è nullo e 

. 

Si ottiene una risposta criticamente smorzata. 

Punto sulla metodologia: Radici di sistemi del secondo ordine 

Transitorio per circuiti del secondo ordine 

1. Trova la risposta a regime del circuito prima che l’interruttore cambi stato (t = 0 - ) e dopo che il 

transitorio sia esaurito (t → ∞). In generale chiameremo queste risposte come x(0 - ) e x(∞). 

2. Individua le condizioni iniziali per il circuito x(0 + ) e , usando la continuità delle tensioni sui 

condensatori e delle correnti negli induttori (vC(0 + ) = vC (0 - ), iL(0 + ) = iL(0 - 3. 

)), oltre all’analisi 

circuitale. Ciò sarà illustrato con un esempio. 

Scrivi l’equazione differenziale del circuito per t = 0 + , cioè immediatamente dopo che l’interruttore ha 

commutato. La variabile x(t) nell’equazione differenziale sarà o una tensione su un condensatore, vC(t), 

o una corrente in un induttore, iL(0 + ). Riduci quest’equazione in forma standard. 

4. Determina i parametri del circuito del secondo ordine: ωn and ζ . 

5. Scrivi la soluzione completa per il circuito in una delle tre forme seguenti: 

Caso sovra-smorzato ( ζ > 1): 

Caso criticamente smorzato ( ζ = 1): 

Caso sotto-smorzato ( ζ < 1): 

6. Applica le condizioni iniziali per determinare le costanti α1 e α2. 



Problema 5.54 

Soluzione: 


Trovare: 

Tensione sul condensatore e corrente nell’induttore e in RS2 per t→ ∞. 

Ipotesi: 

Il circuito è a regime per t < 0. 


Analisi: 

La condizione a t < 0 non ha effetti sulle condizioni a regime a lungo termine. A regime DC 

l’induttore si comporta come un corto circuito e il condensatore come un circuito aperto. In questo 

caso, l’induttore corto-circuita il ramo R1 e il ramo R2 C. Quindi, la tensione su questi lati e la 

corrente in essi sono zero. In altre parole, tutta la corrente prodotta dalla sorgete da 9V attraversa 

l’induttore. 

il resistore da 290 Ω. 

Naturalmente questa corrente è anche la corrente attraverso 

E poiché la tensione sull’induttore a regime DC è zero (corto-circuito) 

Problema 5.55 

Soluzione: 


Trovare: 

Tensione sul condensatore e corrente nell’induttore per t→ ∞. 

Ipotesi: 

Il circuito è a regime per t < 0. 

Analisi: 

La condizione a t < 0 non ha effetti sulle condizioni a regime a lungo termine. A regime DC 

l’induttore si comporta come un corto circuito e il condensatore come un circuito aperto. In questo 

caso, l’induttore corto-circuita il ramo R1 e il ramo R2 C. Quindi, la tensione su questi lati e la 

corrente in essi sono zero. In altre parole, tutta la corrente prodotta dalla sorgete da 12V attraversa 

l’induttore. 



Naturalmente questa corrente è anche la corrente attraverso il resistore da 290 Ω. 

E poiché la tensione sull’induttore a regime DC è zero (corto-circuito) 

Problema 5.56 

Soluzione: 


Trovare: 

Corrente nell’induttore e tensione sul condensatore su R1 per t→ ∞. 


Analisi: 

Per t→ ∞, il circuito tornerà in condizioni di regime DC. A regime DC l’induttore si comporta 

come un corto circuito e il condensatore come un circuito aperto. Quindi, la corrente in R2 è zero e 

la tensione sul condensatore dev’essere uguale alla tensione su R1. Inoltre, la corrente nell’induttore 

e in R1 è semplicemente VS/(RS + R1). 

e 

Problema 5.57 

Soluzione: 


Trovare: 

Corrente nell’induttore e tensione sul condensatore e su R1 per t→ ∞. 

Analisi: 





come un corto circuito e il condensatore come un circuito aperto. Quindi, la tensione sul 

condensatore dev’essere uguale alla tensione su R2. Inoltre, la corrente nell’induttore e in R2 è 

semplicemente VS/(R1 + R2). 

e 

Tutte le risposte sono positive indicando che le direzioni delle correnti e le polarità delle tensioni 

assunte inizialmente sono corrette 

Problema 5.58 

Soluzione: 


Trovare: 

Corrente nell’induttore e tensione sul condensatore per t→ ∞. 

Analisi: 


come un corto circuito e il condensatore come un circuito aperto. Quindi, la tensione sul 

condensatore dev’essere uguale alla tensione su R2. Inoltre, la corrente nell’induttore e in R2 è 

semplicemente VS/(R1 + R2). 

e 

In teoria, quando lo switch è aperto, la corrente nell’induttore deve continuare a fluire, almeno 

momentaneamente. Comunque, l’induttore è in serie con un interruttore aperto attraverso il quale la 

corrente non può fluire. Ciò che la teoria non predice è che una tensione molto elevata si manifesta 




ai capi del circuito aperto e ciò crea un arco con cuna corrente. L’energia immagazzinata nel campo 

magnetico dell’induttore è rapidamente dissipata nell’arco. Lo stesso effetto sarà importante più 

tardi quando si discuterà dei transistors come interruttori. 

Problema 5.59 

Soluzione: 


Trovare: 

Tensione iniziale su R2 subito dopo la commutazione dello switch. 

Ipotesi: 

A t < 0 il circuito è a regime e la tensione sul condensatore è + 7V . 

Analisi: 

É importante ricordare solo per i valori della tensione sul condensatore e della corrente 

nell’induttore è garantita la continuità dall’istante immediatamente prima a quello immediatamente 

successivo alla commutazione. 

Quindi, per determinare la tensione iniziale su R2 è necessario prima determinare la tensione 

iniziale sul condensatore e la corrente iniziale nell’induttore. Assumi che prima della commutazione 

dello switch si era in condizioni stazionarie. A regime DC l’induttore può essere modellato come un 

corto-circuito e il condensatore come un circuito aperto. La tensione iniziale su C vale +7V. La 

corrente iniziale nell’induttore è uguale alla corrente in R3, che è data dalla legge di Ohm. 

e 

Applica la LKC 



È possibile anche determinare VR2 con il principio di sovrapposizione 

Problema 5.60 

Soluzione: 


Trovare: 

Corrente e tensione di induttore e condensatore e corrente in Rs2 a t=0. 

Ipotesi: 

A t < 0 il circuito è a regime DC. 


Analisi: 

Since this was not done in the specifications above, you must note on the circuit the assumed 

polarities of 

voltages and directions of currents. 

At t = 0 - : 

Assumi che ci siano le condizioni a regime. Induttore modellato come un corto-circuito e 

condensatore come un circuito aperto. Fissa un nodo di riferimento. Note che non c’è caduta di 

tensione dal nodo in alto rispetto a massa (a causa dell’induttore). 


Applica la LKT 

A t=0+ 





Applica la LKT di nuovo 

Problema 5.61 

Soluzione: 


Trovare: 

Tensione su condenstaore e corrente nell’induttore per t tendente all’infinito. 

Ipotesi: 

A t < 0 il circuito è a regime DC. 





Analisi: 

Le condizioni per t < 0 non hanno affetto sulle condizioni all’infinito. Poiché a regime DC 

l’induttore può essere modellato come un corto-circuito e il condensatore come un circuito aperto, 

l’induttore corto-circuita i lati R1 e R2 C. 

Quindi, la tensione su questi lati e la corrente in essi sono nulle. In altre parole tutta la corrente 

erogata dalla sorgente a 12 V scorre nell’induttore. 



Problema 5.62 

Soluzione: 


Come descritto in Fig. P5.62. 

Trovare: 

L’espressione per la corrente di induttore per t ≥ 0 . 

Ipotesi: 

Lo switch è stato chiuso per lungo tempo; è aperto repentinamentea t=0 e qundi richiuso a t=5s 

Analisi: 

Per 0 ≤ t ≤ 5 : 

Definisci le correnti di maglia in senso orario. Le equazioni di maglia sono: 

Dalle quali si determina che: 

La corrente nell’induttore è della forma: 



Dalle condizioni iniziali: 

La tensione sul condensatore avrà la stessa forma: 


Dai risultati 

Queste sono le condizioni iniziali per la soluzione dopo che lo switch è richiuso. 

Per t > 5 

Le equazioni di maglia sono: 

Dalle quali si determina che 

La corrente nell’induttore è della forma: 





Risolvendo le equazioni: 

Da cui si ottiene la soluzione completa. 

Problema 5.63 

Soluzione: 




Trovare: 

determina se il circuito è sovra o sotto-smorzato e il valore della capacità per ottenere lo 

smorzamento critico. 

Ipotesi: 

Il circuito inizialmente non immagazzina energia. Lo switch è chiuso a t=0. 

Analisi: 

a. Per t ≥ 0 : 

Il polinomio caratteristico è: 

Il rapporto di smorzamento: 

Il sistema è sotto-smorzato: infatti 

b. il valore del condensatore è: 



Problema 5.64 

Soluzione: 




Trovare: 

La tensione sul condensatore per t tendente all’infinito, la tensione sul condensatore dopo 20 μs e il 

valor massimo della sua tensione. 

Ipotesi: 

Il circuito inizialmente non immagazzina energia. Lo switch è chiuso a t=0. 

Analisi: 

a. Per t ≥ 0 : 


La soluzione è della forma: 



a. la tensione sul condensatore per t tendente all’infinito è: 

b. la tensione sul condensatore dopo 20 μs 

c. graficamente la tensione massima è: 



Problema 5.65 

Soluzione: 



Trovare: 

L’espressione per la tensione sul condensatore per t ≥ 0 . 


Ipotesi: 

Il circuito inizialmente nonimmagazzina energia, lo switch S1 è aperto e S2 chiuso. Il primo si 

chiude a t=0 mentre il secondo si apre a t=5s. 

Analisi: 

Il circuito nell’intervallo 0 ≤ t ≤ 5s ha la stessa configurazione del circuito del problema 5.39 per 

t>5s. Le radici del polinomio caratteristico saranno le stesse: sono: 

Per 0 ≤ t ≤ 5s 

Le condizioni iniziali sono: 


Nota che 

Per t > 5s 

Semplice decadimento RC: 



Problema 5.66 

Soluzione: 



C = 1.6nF ; Dopo che lo switch è chiuso a t=0, la tensione del condensatore raggiunge un valore di 

picco iniziale di 70V quando ed eventualmente a regime raggiunge 50V 

Trovare: 

Valori di R e L . 

Analisi: 

Risolvendo per α: 

Il periodo è: 

Confrontando con la forma standard di un polinomio caratteristico di un circuito RLC 



Problema 5.67 

Soluzione: 


Come P5.66, ma i primi due picchi accadono a e 

Trovare: 

Spiega come modificare il circuito per soddisfare le specifiche 

Ipotesi: 

Il valore di C non può essere cambiato 

Analisi: 

Assumendo doi voler avere la stessa ampiezza, procediamo così: 

Il nuovo periodo è: 

Da cui la nuova frequenza 

In questo caso il valore di α è dato da: 



Nota che la frequenza per questo problema è un terzo di quella del problema 5.66, l’induttanza è 3 

volte così come la resistenza. 

Problema 5.68 

Soluzione: 


Trovare 

Analisi: 

La condizione iniziale per la tensione su C è . Applicando LKC 



Dove 

Quindi 

Dove 

Quindi 

Risolvendo l’equazione differenziale: 

Risolvendo per k1 e k 2 si ottiene 

Problema 5.69 

Soluzione: 


Come in fig. P5.69 

Trovare: 

Valor massimo di V . 

Ipotesi: 

Il circuito è a regime a t = 0− . 

Analisi: 

Applicando LKT 






Il valor massimo di V è 

Problema 5.70 

Soluzione: 



Trovare: 

Valore di t tale che i = 2.5 A. 

Ipotesi: 



Analisi: 

A regime l’induttore si comporta da corto circuito. Applicando il metodo degli anelli, possiamo 

trovare le condizioni iniziali. 

Dopo che lo switch è chiuso, il circuito è modificato. 

Applicando l’analisi nodale: 





Problema 5.71 

Soluzione: 



Trovare: 

Valore di t tale che i =6 A. 

Ipotesi: 



Analisi: 

A regime l’induttore si comporta da corto circuito. Applicando il metodo degli anelli, possiamo 

trovare le condizioni iniziali. 

Dopo che lo switch è chiuso, il circuito è modificato. 

Applicando l’analisi nodale: 



Problema 5.72 

Soluzione: 



Trovare: 

Valore di t tale che V = 5.72 V. 

Ipotesi: 


Analisi: 



A regime il condensatore si comporta da circuito aperto. 

Dal partitore di corrente: 

Dopo che lo switch è aperto, applicando LKC: 

Applicando LKT 

Applicando LKC 






Problema 5.73 

Soluzione: 



Trovare: 

Massimo valore di V e massima tensione tra i contatti degli interruttori. 

Ipotesi: 

Il circuito è a regime a t = 0− . L = 3 H. 

Analisi: 

A t = 0 - : 

Dopo che lo switch è chiuso, applicando LKT: 

L’integrale particolare è zero per t > 0 perchè nell circuito non ci sono sorgenti. 


Sostituisci la soluzione nell’equazione di partenza LKC e valuta per t = 0 + : 




Valore massimo assoluto di V: 

Valore massimo della tensione tra i morsetti degli interruttori: 


La tensione tra i contatti è costante. 

________________________________________________________________________________ 

Problema 5.74 

Soluzione: 



Trovare: 

V per t>0. 

Ipotesi: 


Analisi: 

A t = 0 - : 

Per t>0. 




Quindi

Cap. 5 - Ateneonline

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