Capitolo 6 - Ateneonline

Fondamenti di analisi numerica - Maria Laura Lo Cascio
E1-C6 Si consideri la matrice
⎡
2
⎢
A = ⎢ 0.5
⎣ 0
0.5
0.5
−1
0
−0.5
3
⎤
0
0 ⎥
0.5 ⎦
0 0 0.5 1
I. Individuare un insieme cui appartengono gli autovalori di A.
Soluzione
Usiamo i teoremi di Gershgorin per un insieme in cui cadono gli autovalori.
Con riferimento alle notazioni usate nel testo:
per righe per colonne
R1 = |z − 2| ≤ 0.5 S1 = R1
R2 = |z − 0.5| ≤ 1 S2 = |z − 0.5| ≤ 1.5
R3 = |z − 3| ≤ 1.5 S3 = |z − 3| ≤ 1
R4 = |z − 1| ≤ 0.5 S4 = R4
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
R 2 , R 3
R 1 =S 1 ,R 4 =S 4
S 2 ,S 3
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Non esistono unioni
massimali e quindi gli autovalori di A appartengono
all’insieme (R2 R3)
(S1 S2 S3).
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II. A partire dalle informazioni ottenute al punto I. stabilire se A è definita
positiva.
Soluzione
La matrice non è simmetrica, quindi, indipendentemente dalle informazioni
fornite dai Teoremi di Gershgorin, non può essere definita
positiva.
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E2-C6 Sia assegnata la matrice
⎡
1 −1
⎤
0
A = ⎣ −1 4 1 ⎦
0 1 −3
I. Si verifichi che A ammette un autovalore di modulo massimo λ1.
Soluzione
La matrice è simmetrica: utilizziamo i teoremi di Gershgorin per individuare
gli intervalli sull’asse reale in cui cadono gli autovalori.
I1 = [0, 2], I2 = [2, 6], I3 = [−4, −2]
e pertanto la matrice ammette un autovalore in I3 e due autovalori
in I = [0, 6]. Poichè A è tridiagonale, possiamo utilizzare il metodo
di Sturm per vedere se esiste un autovalore in (4, 6], che costituirebbe
l’autovalore di modulo massimo.
p0(λ) = 1 p0(4) = 1
p1(λ) = λ − 1 p1(4) = 3
p2(λ) = (λ − 4)p1(λ) − 1 p2(4) = −1
p3(λ) = (λ + 3)p2(λ) − p1(λ) p3(4) = −10
e quindi esiste un autovalore di modulo massimo λmax > 4.
Osserviamo che questo risultato unito a quanto dedotto dai teoremi di
Gershgorin garantisce che la matrice A ha 3 autovalori distinti, cui corrispondono
autovettori indipendenti ⇒ λmax può essere approssimato
col metodo delle potenze.
II. Si calcolino almeno due iterate successive, β1, β2 del metodo delle potenze,
assumendo v0 = (1, 1, 1) T ; sapendo che |λ2/λ1| ≈ 0.71 si stimi
il numero di iterate sufficienti a ottenere una approssimazione di λ1
arrotondata alla terza cifra decimale.
Soluzione
Scelto v02 = √ 3 ⇒
Step 1. v1 = Av0 = (0, 4, −2) T , µ1 = vT 0 v1
v0 2 2
= 2
3
Step 2. v2 = Av2 = (−4, 14, 10) T , µ2 = vT1 v2 9
=
v12 5
= 1.8
3
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Una stima del numero di iterate, tenendo conto che la matrice è simmetrica
si ottiene imponendo che sia (λ2/λ1) 2k ≤ 0.5e−03 ed eseguendo
i calcoli si ottiene k ≥ 11.1 ovvero k ≥ 12.
Si suggerisce di esaminare il comportamento del metodo utilizzando
lo script dato nella sezione Laboratorio, variando l’approssimazione
iniziale.
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E3-C6 Si consideri la matrice
⎡
A = ⎣
−2 −1 0
−1 −2 1
0 1 −3
I. Determinare l’insieme cui appartengono gli autovalori di A.
Soluzione
Ricorrendo al Teorema di Gershgorin e tenendo conto che la matrice è
simmetrica, si individuano gli intervalli
I1 = [−3, −1], I1 = [0, 4], I1 = [−4, −2]
e A ammette 2 autovalori in [−4, −1] e 1 autovalore in [0, 4].
II. Utilizzare il metodo di Sturm per separare gli autovalori e stabilire se
A ammette un unico autovalore di modulo minimo.
Soluzione
La successione di Sturm è
che per λ = 1 fornisce
⎤
⎦
p0(λ) = 1, p1(λ) = λ + 2
p2(λ) = (λ + 2)p1(λ) − 1
p3(λ) = (λ + 3)p2(λ) − p1(λ)
p0(1) = 1, p1(1) = 3, p2(1) = 5, p3(1) = 17 ⇒
non ci sono autovalori λ ≥ 1 e quindi esiste un unico autovalore di
modulo minimo λmin ∈ [0, 1).
Per separare gli autovalori negativi assumiamo λ = −3:
p0(−3) = 1, p1(−3) = −1, p2(−3) = 0, p3(−3) = 1 ⇒
esistono 2 autovalori maggiori di −3 e quindi infine A ha 3 autovalori
distinti
λ1 ∈ [−4, −3), λ2 ∈ (−3, −1], λ3 = λmin ∈ [0, 1)
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E4-C6 Si consideri la matrice
⎡
2α
⎢
M = ⎢ 1
⎣ 0
1
0
1/2
0
1/2
−3
⎤
−1
0 ⎥
−1 ⎦
−1 0 −1 4
I. Determinare una condizione sufficiente su α atta ad assicurare che la
matrice ammette un autovalore dominante isolato.
Soluzione
La matrice è simmetrica. Dal 1 o Teorema di Gershgorin si ottiene
I1 = [2α−1, 2α+1], I2 = [−1.5, 1.5], I3 = [−4.5, −1.5], I4 = [2, 6]
e quindi una condizione sufficiente a garantire l’esistenza di un autovalore
di modulo massimo si ottiene imponendo che sia 2α −1 > 6 oppure
2α + 1 < −4.5 ⇔ α > 3.5, α < −2.75
II. Per tutti i valori di α individuati al punto I. è possibile approssimare
l’autovalore di modulo massimo con il metodo delle potenze?
Soluzione
Si perchè la simmetria assicura l’esistenza di n = 4 autovettori linearmente
indipendenti.
III. Assunto α = −2 si calcolino due approssimazioni successive β1, β2,
dell’autovalore dominante, giustificando la scelta dell’approssimazione
iniziale.
Soluzione
Per α = −2 non è affatto garantita l’esistenza di un autovalore di
modulo massimo perchè I1 e I4 sono simmetricamente disposti, quindi
potrebbe esserci un autovalore positivo e uno negativo aventi lo stesso
modulo.
Proviamo ad applicare il metodo delle potenze assumendo come v0 un
versore del sistema di riferimento (v. sezione Laboratorio)
a) v0 = (0, 0, 0, 1) T : v1 = (−1, 0, −1, 4) T , µ1 = 4, centro dell’ultimo
intervallo ; v2 = (0, −1.5, −1, 18) T , µ2 ≈ 4.0556;
b) v0 = (1, 0, 0, 0) T : v1 = (−4, 1, 0, −1) T , µ1 = −4, centro del primo
intervallo; v2 = (18, −4, −1.5, 0) T , µ2 ≈ −4.2222.
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Dalle prime iterate non è possibile stabilire se il metodo converge: si applichi
lo script dato nella sezione Laboratorio e si verifichi che il metodo
converge all’autovalore dominate (negativo) ma, poichè |λ2/λ1| ≈ 0.97,
con la condizione d’arresto |µk+1 − µk| ≤ 1.e − 07, si eseguono 340 iterate
nel caso a) e 200 iterate nel caso b) e il valore ottenuto ha solo 5
cifre decimali esatte.
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Domande di verifica Cap. 6
1. Si può affermare che se l’autovalore di modulo massimo di A ∈ R n×n è
complesso il metodo delle potenze non converge?
SI perchè esiste anche l’autovalore complesso coniugato (di uguale modulo).
2. Il metodo di Sturm consente di isolare gli autovalori di una matrice
tridiagonale.
VERO
3. Se il polinomio caratteristico di A ha solo zeri reali e simmetrici rispetto
all’origine il metodo delle potenze non converge.
VERO esistono due autovalori di modulo uguale e segno opposto.
4. Se A è simmetrica il metodo QR fornisce una matrice diagonale.
SI il metodo QR mantiene la simmetria e una matrice triangolare
simmetrica è necessariamente diagonale.
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