esercizi geometria solida - Liceo Scientifico Statale "Giuseppe Peano"

406 CAPITOLO DECIMO
248, IJnparallelepipedo rettangolo haladiagonale, la cui misura, rispetto al metro, è ÈVJ, che forma con
la diagonale di base un angolo di 30" e questa forma con una delle dimensioni di base un angolo di75o.
Calcolare area della superficie totale e volume del parallelepipedo.
lono = 1 p't, + z^Jl); uotume : ]^ P C1
L5)2J
249, Una piramide quadrangolare regolare ha 1o spigolo laterale che misura 2 a eI'angolo formato dall' altezza
e da tale spigolo è di 10". Calcolare area della superficie totale e volume della piramide.
l** = 2a2(Ji + t); uolume = 1 r' fÀ
))
250, Lo spigolo laterale di una piramide regolare a base quadrata forma con il piano di base un angolo di 60".
Calcolare area della superficie totale e volume, sapendo che lo spigolo suddetto misura 4a.
ytrea
= sa2617 + r); uolume = n *l
*
251. Una piramide esagonale regolare ha le facce laterali inclinate di 30o sul piano di base. Sapendo che
I'apotema di base misura a, calcolarc area della superficie totale e volume della piramide.
larea = 6a2(J3 + 2); aolunae = za3"6l
252. lJnapiramide esagonale regolare ha 1o spigolo laterale, di misura k.J1, che forma con il piano di base
un angolo di 15o. Calcolare area della superficie totale e volume.
| 3 r- - b' -l
l** = ; k'z7 + 2,13 +.J zs + t2 | 3\; uolurne = ;
É *Vttl
25J. tJn cono circolare retto ha I'angolo di apertura di 45'ed il raggio di base che misura ali. Calcolarc
I'area della superficie totale e il volume.
larea = 3ra2(J2 + l); uolume = not lTl
254, rJncono circolare retto ha l'apotema, la cui misura C a6l 5 - 1), che forma con il piano di base un angolo
di 36". Calcolare area della superficie totale e volume.
lono = no'.li: uolunte - " ot'vf 5 - 2.fi]
L3J
255. L'arca della base di una piramide quadrangolare regolare è2a2 e lo spigolo laterale è inclinato di 15o
256. Una piramide triangolarPlqgqlql: ha lo spigolo laterale che forma conl'altezza un angolo di 15o e
l'altezza che misura: a",l 7 - 4V3. Calcolaîe aîea della suoerficie totale e volume.
257, Una piramide ha per base un rombo avente un angolo di 60'. Calcolare area della superficie laterale e
volume della piramíde sapendo ínoltre che I'apoiema della piramide, che è di kr[6 cm, forma con
l'altezza della piramide stessa un angolo di 45'
farea = 8kt,,lZ; aolume: 8&rl
258. Un trapezio rettangolo ABCD, circoscrittibile ad un cerchio, ed avente I'angolo acuto di 60o, è base di
una píramide retta di vertice V. Sapendo che lo spigolo laterale VB, inclinato di 30" sul piano della base,
è di8 crn, calcolare area della superficie laterale e volume della piramide.
lorro
=8Vt(Vl + 2); uolunte =
3
rr.,/t . ttl

u
í + Unità 3
{: t':.::
{}:li' t-a somma del lato di base e dell'apotema di una piramide quadrangolare regolare e cm gg e il loro
rappotto e Calcolare l'area della superlicie
,r.
totale e il volume della piramide. 17200; 34560]
tlii\r,.ttit...
'ffirl| lrr' |n una piramide regolare quadrangolare, la somma del lato di base e dell'alrezza è cm 20, mentre
l'altezza
" i O"t lato di base; calcolare l'area della superficie totale e il volume. 1384; 38al
,t':111.ìi' e
ìi,,,,,lr
d ,,, Una piramide triangolare ha lo spigolo laterale che è i di quello di base; sapendo che il volume, in
I
cm3, e 72\/m, determinare I'area della suoerficie totale. I lato base : cm .12]
*|#. Un solido è formato da un cubo sormontato da una piramide retta avente per base una faccia del
cubo e lo spigolo laterale della piramid"
"
I
Oi quello del cubo. Sapendo che la somma di tutti gli
spigoli del solido è di cm 176, trovare superficie e volume del solido. fspigolo cubo: cm 10]
,{3
ììì,,,,l.:t,
il i
Calcolare l'altezza e il volume di una piramide regolare a base quadrata, dato il lato di base / e
sapendo che la sua superlicie laterale e
i
di quella del prisma retto di base e allezza eguali a quelle
dettapiramide.
Cilindro, cono, sfera
-2,,u -3,'l
t,
.5,, 3
l' 1,,,,,,i',,,, ln un cilindro I'altezza è del raggio di base e inoltre la somma dell'alLezza con i del diametro è di
a f,
,,,,,,:li,,f
dm 5.7. Trovare la misura del raggio, dell'allezza, la superficie totale il volume del cilindro.
A
lr - (dm) 1.81
ilr .: ,, fssuperficietotaledi uncilindroè1950re1'altezzaei]del diametrodi base.Calcolareil volumedel
cilindro. " lr-i1;V:ii250r]
ìììììììlllì
iírrrr,il
]f ,'rrtilii,,, '" La differenza fra la super4icie laterale e la supedicie delle due basi di un cilindro e 1 8. 75r. L'altezza è
'f
Oet Oiametro
I
di base. Calcolare il volume del cilindro.
ir-2.5:Y:39,0625211
.i rn un cilindro l'altezzae I o"r raggio e l'area della sezione fatta con un piano passante per l'asse e, in
dmz. 12.348. Calcolare l'area della superficie totale e il volume. fr - (cm) 2.11
-,,11,
,,,1i
,,i1' "'""iii",,,, La superficie laterale di un cilindo ha per sviluppo un quadrato il cui lato è lungo cm 48. Trovare I'area
della superficie totale e il volume.
| 2a
lr--':h-481
ì
"'v:.;:,|ir)
;Í i-ì,,, ln un cilindro il raggio e
i
dell'altezza e la sezione fatta con un piano passante per l'asse ha il
perimetro di cm 43,20. Tro"vare l'area della superficie totale e il volume. lr : (cm)4, 8: h : (cm)121
"''',1ìì :ttt,.,ll'
t ir l ln un cilindro è inscritto un prisma triangolare regolare la cui superficie laterale è di m2 7 .20 el'allezza
e Oet lati di base. Trovare l'area della superlicie totale e il volume del cilindro.
i
llato di base del prisma: m 2l
,i' d ,* ln un cilindro la superficie è cm2 197.82, l'altezza e i ] Oet diametro di base; trovare la misura del
raggio, dell'altezza e il volume del cilindro. " [r: (cm) 3]
I lliiiilf' Un cilindro e un cono hanno lo stesso raggio di base, che è dm 15, e le stesse aree laterali. Calcolare
l'allezza del cilindro, sapendo che quella del cono e di dm 8. fdm g.5l
r} Inunc
di cm
l\{'" ,n ,n
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Aree e volumi 75'.',,
':,|:,:::,li
..15 , , . 4
,,)' ,,, ln un cono l'alLezzae if oet raggio di base e la somma dei] oett'attezzacon il doppio dell'apotema è
di cm 108. Calcolare le misure del raggio, dell'altezza, dell'apotema e il volume del cono.
[r : (cm) 16]
: t.F' rn un cono la superlicie totale è di cm2628 e l'apotema e i { oer raggio di base. Calcolare il volume
del cono.
o
lr _ (cm) 8l
::a|" ".11 ,,,.::,:
rr,,,,lì lll lnunconoequilaterolasuperficielateraleèdi cm2 2769.48.Trovareil volume. [r-(cm)21]
,:11""',i g!.
\l
r,r,,,.i,r- ,' Le generatrici di un cono sono inclinate di 30' sul piano della base. Sapendo che la superlicie laterale
è di cm2 56,52v6, determinare il volume. [h - (cm)3]
,r' 'a,
':"iìì:
',1,,,,11r,,,,,,,:ì
,, ll raggio di base di un cono è r e le generatrici formano con I'asse un angolo di 45"; determinare I'area
della supedicie totale e il volume.
lorrl.l Jr,, lrl
,:,'3é$ L ó l
,'ae&' Calcolare il raggio, l'altezzae l'apotema di un cono, sapendo che sono in progressione aritmetica e
conoscendo il volume 12na3.
L3a . 4a. 5a)
t"::,,ì...1."' 1 6
1,,,,,,.',,,,,,r,, tn un tronco di cono I'apotema è . del raggio maggiore ed e i ] Oet minore. La somma del raggio
426
minore e di dell'aOotema è di cm 40. Trovare l'area della superficie totale e il volume.
a
lR:40; r-24; a:201
.,.,,..jj. O"t"rtinare il volume di un cono la cui superficie laterale si sviluppa in un settore circolare di 'l 20'e
raggio cm 12.
Lh - !ve)
Un tronco di cono, avente il raggio della base minore di dm 9, e circoscritto ad una sfera di dm 12 di
raggio. Òalcolare l'area laterale e il volume del tronco.
@25tr: s44gr)
Calcolare l'area della superficie e il volume di una sfera circoscritta ad un cubo di lato /. l, -'*]
,1,,,,,,;. 111
L z)
. t,. ::"1:
'í'a.,'"':,
La supedicie totale di un cubo è di cm2 384; trovare il volume della sfera inscritta e quello della sfera
circoscritta.
B:4tE: r:al
.....llli,,,il c"r""rare ta superficie e il volume di una sfera circoscritta ad un cono avente I'area di base ra2 e
l'allezza 2a.
| 25 , 125
"'l
ìì'ì ,:
l+"" 48'*l
S i . Calcolare la superficie e il volumedi
una sfera inscritta in un cono di altezza 4a e raggio base 3a..,
Area della superficie sferica
lona2: Ioa3l
L-l
'- Una sfera e circoscritta ad un cono, il quale ha il raggio di base di cm 20 e I'allezza di cm 16.
Calcolare I'area della sfera.
,..r'j 1ì 1
.ii*. L'altezza di un cilindro e Oet raggio di base. Sapendo che della somma dell'allezzae del diametro
i U
è dm 4,2, si calcoli il raggio della sfera, la cui super-ficie è equivalente alla superficie totale del cilindro.
'"
:
Una sfera ha il diametro di m 26; a quale distanza dal centro bisogna condurre un piano per secarla
secondo un cerchio di area (m2) 25r?

M557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO
Tema di: MATEMATICA
Il candidato scelga a suo piacirnento dtre dei seguenti problemi c li risolva:
1. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l'asse reale. tale che:
tll Jr1*;a'=z . Jq*;dx=*5
00
a) Di ciascuno dei seguenti integrali:
I /__\ 2 / \ { ,/ \ ì
itf 1 lo- lrf I lo- frl l lo. frlz*ya*
it \z)
',, \z)
': \l) i,
dire se le condizroni I sono sufficienti per calcolame il valore e in caso di risposta affermativa qual e
questo.
b) Posto:
f(x):ax'+bx+c'
dove a, b, c sono plrantetri reali con a* 0, determinare le curve di equazione y: f(x) che soddisfano
alle condizioni [].
c) Dimostrare che ognuna delle curve trovate ha uno ed un solo punto di flesso che è centro di simmetria
per la curva medesima.
d) Determinarc quella, tra tali curye, che ha il flesso nel punto di ordinata - 4 .
e) Fra le curve suddette determinare, infine, quelle che hanno punti estremanti e quelle che non ne hanno.
i'2. Il rettangolo ABCD è tale che la rctta che congiunge i punti medi dci suoi lati piu lunghi. AB e CD, 1o divide
f
in due rettangoli simili a quello dato. Tali latihanno lunghezzaassegnata a.
a) Determinare la lunghezza dei lati minori del rettangolo.
b) Sulla retta condotta perpendicolarmente al piano del rettangolo nel punto medio del lato AD prendere un
punto V in modo che il piano dei punti V, B, C fonni col piano del rettangolo dato un angolo di
2
coseno . Calcolare il
-
volume della piramide di vertice V e base ABCD.
VIJ
c) Condotto il piano cr parallelo al piano della faccia VAD della piramide, ad una distanza x da questo, in
tnodo pero che cr sechi la piramide stessa, esprimere in funzione di x I'area del poligono sezione.
d) Calcolare infine i volumi delle due parti in cui il piano cr divide la piramide nel caso in r =
"ui 1 .
L
3. Il candidato dimostri i seguenti enunciati:
a) Fra tutti i triangoli rettangoli aventi la stessa ipotenusa, quello isoscele ha l'area massima.
b) Fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una data sfera, quello di minima area laterale ha il suo
vertice distante dalla superFrcie sferica della quantitl rJ 2, se r è il raggio della sfera.
Il candidato chiarisca, infine, il significato di nl (fattoríole din ) e il suo legame con i coeffrcienti binomiali.
Durata rnassima della prova: 5 ore.
E consentito l'uso della calcolatrice tascabile non progralnmabile.
Non e cottsentito lasciare l'Istituto prilna che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.